6. Encontre as dimensões de uma caixa com volume de 1.000 cm3 que tenha a área de sua superfície mínima.

Para encontrar as dimensões de uma caixa com volume de 1.000 cm³ que tenha a área de superfície mínima, podemos usar o seguinte raciocínio: 1. Definições: Seja \( x \), \( y \) e \( z \) as dimensões da caixa. O volume \( V \) é dado por: \[ V = x \cdot y \cdot z = 1000 \, \text{cm}^3 \] 2. Área da superfície: A área da superfície \( A \) da caixa é dada por: \[ A = 2(xy + xz + yz) \] 3. Substituição: Para minimizar a área da superfície, podemos expressar uma das variáveis em termos das outras usando a equação do volume. Por exemplo, podemos expressar \( z \): \[ z = \frac{1000}{xy} \] 4. Substituindo na área: \[ A = 2\left(xy + x\left(\frac{1000}{xy}\right) + y\left(\frac{1000}{xy}\right)\right) \] Simplificando, temos: \[ A = 2\left(xy + \frac{1000}{y} + \frac{1000}{x}\right) \] 5. Minimização: Para encontrar os valores de \( x \) e \( y \) que minimizam \( A \), podemos usar cálculo diferencial, encontrando as derivadas parciais e igualando a zero. No entanto, uma abordagem mais simples é assumir que a caixa é um cubo, pois isso geralmente minimiza a área da superfície para um dado volume. 6. Cubo: Se a caixa for um cubo, temos \( x = y = z \). Assim, temos: \[ x^3 = 1000 \implies x = 10 \, \text{cm} \] Portanto, as dimensões da caixa que minimizam a área da superfície, mantendo o volume de 1.000 cm³, são \( 10 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} \times 10 \, \text{cm} \).