a) Para encontrar os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função f(x, y) = 9− 2x+ 4y − x² − 4y², é necessário calcular as derivadas parciais de primeira e segunda ordem em relação a x e y. Assim, temos: fx = -2x - 2y fy = 4 - 8y fxx = -2 fxy = -2 fyx = -2 fyy = -8 Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero: fx = -2x - 2y = 0 fy = 4 - 8y = 0 Resolvendo o sistema, encontramos o ponto crítico (1, 1/2). Para determinar se esse ponto é um máximo local, mínimo local ou ponto de sela, é necessário calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante da matriz Hessiana: H = [fxx fxy; fyx fyy] = [-2 -2; -2 -8] det(H) = fxx * fyy - fxy * fyx = (-2) * (-8) - (-2) * (-2) = -12 Como o determinante é negativo e fxx é negativo, temos um ponto de sela em (1, 1/2). b) Para a função f(x, y) = y³ + 3x²y − 6x² − 6y² + 2, temos: fx = 6xy - 6x fy = 3y² - 12y fxx = 6y - 6 fxy = 6x fyx = 6x fyy = 6y - 12 Igualando as derivadas parciais a zero, temos: fx = 6xy - 6x = 0 fy = 3y² - 12y = 0 Resolvendo o sistema, encontramos os pontos críticos (0, 0), (2, 0) e (0, 4). Para determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela, é necessário calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante da matriz Hessiana em cada ponto crítico. Para (0, 0): H = [fxx fxy; fyx fyy] = [-6 0; 0 -12] det(H) = fxx * fyy - fxy * fyx = (-6) * (-12) - 0 * 0 = 72 Como o determinante é positivo e fxx é negativo, temos um máximo local em (0, 0). Para (2, 0): H = [fxx fxy; fyx fyy] = [6 0; 0 -12] det(H) = fxx * fyy - fxy * fyx = 6 * (-12) - 0 * 0 = -72 Como o determinante é negativo e fxx é positivo, temos um ponto de sela em (2, 0). Para (0, 4): H = [fxx fxy; fyx fyy] = [-6 0; 0 24] det(H) = fxx * fyy - fxy * fyx = (-6) * 24 - 0 * 0 = -144 Como o determinante é negativo e fxx é negativo, temos um ponto de sela em (0, 4). c) Para a função f(x, y) = x³ − 12xy + 8y³, temos: fx = 3x² - 12y fy = -12x + 24y² fxx = 6x fxy = -12 fyx = -12 fyy = 48y Igualando as derivadas parciais a zero, temos: fx = 3x² - 12y = 0 fy = -12x + 24y² = 0 Resolvendo o sistema, encontramos os pontos críticos (0, 0) e (2, 1). Para determinar se esses pontos são máximos locais, mínimos locais ou pontos de sela, é necessário calcular as derivadas parciais de segunda ordem e o discriminante da matriz Hessiana em cada ponto crítico. Para (0, 0): H = [fxx fxy; fyx fyy] = [0 -12; -12 0] det(H) = fxx * fyy - fxy * fyx = 0 * 0 - (-12) * (-12) = 144 Como o determinante é positivo e fxx é zero, não é possível determinar se temos um máximo local, mínimo local ou ponto de sela em (0, 0). Para (2, 1): H = [fxx fxy; fyx fyy] = [12 -12; -12 48] det(H) = fxx * fyy - fxy * fyx = 12 * 48 - (-12) * (-12) = 720 Como o determinante é positivo e fxx é positivo, temos um mínimo local em (2, 1). d) Para a função f(x, y) = y cos(x), não é possível encontrar valores máximos e mínimos locais ou pontos de sela, pois a função não possui derivadas parciais de segunda ordem contínuas em todo o seu domínio.