Para encontrar o vetor gradiente da função \( f(x,y) = y \sen(xy) \) no ponto \( P(1, \pi) \), precisamos calcular as derivadas parciais \( f_x \) e \( f_y \). 1. Cálculo da derivada parcial em relação a \( x \): \[ f_x(x,y) = \frac{\partial}{\partial x}(y \sen(xy)) = y^2 \cos(xy) \] 2. Cálculo da derivada parcial em relação a \( y \): \[ f_y(x,y) = \frac{\partial}{\partial y}(y \sen(xy)) = \sen(xy) + xy \cos(xy) \] Agora, vamos avaliar essas derivadas no ponto \( P(1, \pi) \): - Para \( f_x(1, \pi) \): \[ f_x(1, \pi) = \pi^2 \cos(1 \cdot \pi) = \pi^2 \cdot (-1) = -\pi^2 \] - Para \( f_y(1, \pi) \): \[ f_y(1, \pi) = \sen(1 \cdot \pi) + 1 \cdot \pi \cos(1 \cdot \pi) = 0 + \pi \cdot (-1) = -\pi \] Portanto, o vetor gradiente \( \nabla f(1, \pi) \) é: \[ \nabla f(1, \pi) = (f_x(1, \pi), f_y(1, \pi)) = (-\pi^2, -\pi) \] Agora, analisando as alternativas: A) \( V_f(1, \pi) = (-\pi^2, \pi) \) B) \( V_f(1, \pi) = (-\pi, \pi^2) \) C) \( V_f(1, \pi) = (\pi, \pi) \) D) \( V_f(1, \pi) = (x^2, \pi) \) E) \( V_f(1, \pi) = (x^2, -\pi) \) Nenhuma das alternativas corresponde ao resultado correto \( (-\pi^2, -\pi) \). Portanto, parece que não há uma alternativa correta fornecida. Você pode querer verificar se as opções estão corretas ou se há um erro na formulação da pergunta.