Vamos analisar a primeira pergunta sobre a identificação de uma parábola: a. \( \frac{y^2}{4} - \frac{x^2}{9} = 1 \) - Esta é a equação de uma hipérbole, pois tem um sinal negativo entre os termos. b. \( \frac{y^2}{4} + \frac{x^2}{9} = 1 \) - Esta é a equação de uma elipse, pois ambos os termos têm um sinal positivo. c. \( y^2 = x^2 + 1 \) - Esta pode ser reescrita como \( y^2 - x^2 = 1 \), que é a forma de uma hipérbole. d. \( x^2 + y^2 = 16 \) - Esta é a equação de uma elipse, pois ambos os termos têm um sinal positivo. e. \( y = x^2 + 1 \) - Esta é a forma padrão de uma parábola, pois é uma função quadrática em \( x \). Portanto, a opção que apresenta uma parábola é a alternativa e) \( y = x^2 + 1 \). Agora, vamos para a segunda pergunta sobre o discriminante e a identificação da cônica: I. O discriminante da cônica de equação \( 25y^2 + 250y - 16x^2 - 32x + 209 = 0 \) é menor que zero. - Para determinar isso, precisamos calcular o discriminante. A equação é do tipo \( Ax^2 + By^2 + Cx + Dy + E = 0 \). O discriminante \( D = B^2 - 4AC \). Neste caso, \( A = -16 \), \( B = 25 \), e \( C = 250 \). O discriminante deve ser calculado para verificar se é menor que zero. II. A cônica representada por \( 25y^2 + 250y - 16x^2 - 32x + 209 = 0 \) é uma parábola. - Para ser uma parábola, o discriminante deve ser igual a zero. III. A cônica representada por \( 25y^2 + 250y - 16x^2 - 32x + 209 = 0 \) é uma hipérbole. - Para ser uma hipérbole, o discriminante deve ser maior que zero. Sem calcular o discriminante, não podemos afirmar com certeza a veracidade das afirmações I, II e III. Portanto, a resposta correta para a primeira pergunta é a alternativa e) \( y = x^2 + 1 \). Para a segunda pergunta, você precisaria calcular o discriminante para determinar a veracidade das afirmações.