Métodos Lineares de Passo Múltiplo

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Resolução Numérica de Equações Diferenciais
Ordinárias
Josuel Kruppa Rogenski
jkrogenski@ufu.br
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Material de apoio baseado nas notas de aula dos Professores Alessandro Alves Santana e
Rafael Alves Figueiredo
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Definição de Método Linear de Passo Múltiplo: Um método linear de
passo múltiplo é definido pela relação
k∑
j=0
αj yn+j = h
k∑
j=0
βj fn+j (1)
onde αj e βj são constantes arbitrárias independentes de n, com αk ̸= 0 e
α0 e β0 não ambos nulos. Dizemos que o MLPM é expĺıcito se βk = 0 e
impĺıcito se βk ̸= 0.
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Exemplos de MLPM
(a) yn+1 = yn + hfn (Método de Euler)
(b) yn+2 = yn + 2hfn+1 (Regra do Ponto Médio)
(c) yn+1 = yn +
h
2
[fn + fn+1] (Método do Trapézio)
(d) yn+2 = yn +
h
3
[fn + 4fn+1 + fn+2] (Método de Simpson)
(e) yn+2 = yn+1 +
h
12
[−fn + 8fn+1 + 5fn+2] (Método de
Adams-Moulton de 2 passos)
(f) yn+2 = yn+1 +
h
2
[−fn + 3fn+1] (Método de Adams-Bashforth de 2
passos)
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Exemplos de MLPM
Utilize o Método de Adams-Bashforth de 2 passos para resolver o PVI
y ′ = −y + x + 2, y(0) = 2, com h = 0.1, e encontrar y(1.3). Utilize o
método de Taylor de ordem 2 quando necessário.
Observação: Relembrando que y1 = 2.005 e f1 = 0.095 pela aplicação do
método de Taylor de ordem 2.
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Cálculo da Ordem
Operador Diferença Linear O operador diferença linear L associado
ao MLPM (1) é definido por
L[y(t); h] =
k∑
j=0
[αj y(t + j h)− h βj y
′(t + j h)] , (2)
onde y(t) é uma função arbitrária continuamente diferenciável em [a, b].
Expandindo em Série de Taylor em torno de t, desenvolvendo o somatório
e agrupando os termos semelhantes, obtemos
L[y(t); h] = C0y(t)+C1 h y
(1)(t)+C2 h
2 y (2)(t)+ · · ·+Cq h
q y (q)(t)+ · · ·
(3)
onde

C0 = α0 + α1 + α2 + · · ·+ αk
C1 = (α1 + 2α2 + 3α3 + · · ·+ kαk)− (β0 + β1 + β2 + · · ·+ βk)
Cq =
1
q!
(α1 + 2qα2 + 3qα3 + · · ·+ kqαk)+
− 1
(q − 1)!
(β1 + 2q−1β2 + · · ·+ kq−1βk) q ≥ 2
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Cálculo da Ordem
Ordem de um MLPM O operador diferença linear
L[y(t); h] =
k∑
j=0
[αj y(t + j h)− h βj y
′(t + j h)] ,
e o MLPM associado
k∑
j=0
αj yn+j = h
k∑
j=0
βj fn+j
tem ordem q se em
L[y(t); h] = C0y(t)+C1 h y
(1)(t)+C2 h
2 y (2)(t)+ · · ·+Cq h
q y (q)(t)+ · · ·
ocorrer C0 = C1 = C2 = · · · = Cq = 0 e Cq+1 ̸= 0. A constante Cq+1 é
chamada constante do erro.
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Cálculo da Ordem - Exemplo
Obtenha a ordem e a constante do erro do Método de Adams-Moulton
de dois passos
yn+2 = yn+1 +
h
12
[−fn + 8fn+1 + 5fn+2]
Resolução
Como é um MLPM de dois passos, precisamos extrair desse método os
parâmetros αk e βk para k = 0, 1 e 2. Analisando o esquema numérico,
temos que
α0 = 0, α1 = −1, α2 = 1, β0 = − 1
12
, β1 =
8
12
e β2 =
5
12
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Cálculo da Ordem - Exemplo

C0 = α0 + α1 + α2 = 0− 1 + 1 = 0
C1 = (α1 + 2α2)− (β0 + β1 + β2) = (−1 + 2)−
(
− 1
12
+
8
12
+
5
12
)
= 1− 1 = 0
C2 =
1
2
(α1 + 4α2)− (β1 + 2β2) =
1
2
(−1 + 4)−
(
8
12
+
10
12
)
=
3
2
− 3
2
= 0
C3 =
1
6
(α1 + 8α2)−
1
2
(β1 + 4β2) =
1
6
(−1 + 8)− 1
2
(
8
12
+
20
12
)
=
7
6
− 7
6
= 0
C4 =
1
24
(α1 + 16α2)−
1
6
(β1 + 8β2) =
1
24
(−1 + 16)− 1
6
(
8
12
+
40
12
)
= − 1
24
̸= 0
Portanto, como C0 = C1 = C2 = C3 = 0 e C4 ̸= 0, segue que o Método de
Adams-Moulton de dois passos tem ordem 3 sendo C4 = − 1
24 a constante
do erro.
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Cálculo da Ordem - Exerćıcio
Exerćıcio Obtenha a ordem e a constante do erro para:
o método de Euler;
a regra do trapézio.
Métodos Lineares de Passo Múltiplo (MLPM)
Consistência, estabilidade e convergência
Definição 1: Um método de passo múltiplo é consistente se tem ordem
q ≥ 1.
Definição 2: Um método de passo múltiplo é estável se nenhuma raiz do
polinômio
ρ(x) =
k∑
j=0
αjx
j
possui módulo maior que 1 e toda raiz de módulo 1 é simples.
Definição 3: Um método de passo múltiplo é convergente se e somente
se é estável e consistente.