Aula 7

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Ajuste de curvas – O método dos ḿınimos
quadrados
Josuel Kruppa Rogenski
jkrogenski@ufu.br
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Material de apoio baseado nas notas de aula dos Professores Alessandro Alves Santana e
Rafael Alves Figueiredo
Método dos Ḿınimos Quadrados
Relembrando...
MMQ discreto: caso linear
a11 a12 a13 · · · a1m
a21 a22 a23 · · · a2m
a31 a32 a33 · · · a3m
...
...
...
. . .
...
am1 am2 am3 · · · amm


α1
α2
α3
...
αm
 =

b1
b2
b3
...
bm

aij =
n∑
k=1
ϕi (xk)ϕj(xk) =, bi =
n∑
k=1
f (xk)ϕi (xk) =
Método dos Ḿınimos Quadrados
Exemplo
Exerćıcio
Ajuste os dados da tabela abaixo
xk 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
f (xk) 0.00000 2.75077 2.15249 2.86170 4.23256 3.49705
por um polinômio de grau 3 p3(x) = α1 + α2x + α3x
2 + α4x
3. Trabalhe
com 5 casas decimais. Resolva o sistema linear associado ao problema via
MEGPP.
α1= 0.27778 α2= 2.04237 α3=-0.46756 α4= 0.03959
Método dos Ḿınimos Quadrados
Exemplo
Exerćıcio
Ajuste os dados da tabela abaixo
xk 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
f (xk) 0.00000 2.75077 2.15249 2.86170 4.23256 3.49705
por um polinômio de grau 3 p3(x) = α1 + α2x + α3x
2 + α4x
3. Trabalhe
com 5 casas decimais. Resolva o sistema linear associado ao problema via
MEGPP.
α1= 0.27778 α2= 2.04237 α3=-0.46756 α4= 0.03959
Método dos Ḿınimos Quadrados
Erro de truncamento
p3(x) = 0.27778 + 2.04237x − 0.46756x2 + 0.03959x3
-1
 0
 1
 2
 3
 4
 5
 0 1 2 3 4 5
y
x
p3(x)
desvios
(xk,f(xk))
Método dos Ḿınimos Quadrados
Erro de truncamento
O erro de truncamento no MMQ discreto é dado por:
Q = ∥f − g∥2 =
n∑
k=1
[f (xk)− g(xk)]
2
Vamos calcular o erro de truncamento do exerćıcio anterior Temos que
xk 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
f (xk) 0.00000 2.75077 2.15249 2.86170 4.23256 3.49705
e
p3(x) = 0.27778 + 2.04237x − 0.46756x2 + 0.03959x3
Logo,
Q = ∥f − p3∥2 =
6∑
k=1
[f (xk)− p3(xk)]
2 = (−0.27778)2 + 0.858592+
+(−0.65651)2 + (−0.40408)2 + 0.732502 + (−0.25233)2 = 2.0089
Método dos Ḿınimos Quadrados
Erro de truncamento
Observações
O valor encontrado (Q = 2.0089) corresponde à soma dos quadrados
dos devios entre os valores da função e do polinômio calculados nos
pontos tabelados.
Podemos afirmar que o polinômio encontrado é o melhor entre os
polinômios 3◦ grau, ou seja, para qualquer polinômio de 3◦ grau ter-
emos para Q um valor maior do que o encontrado.
Em muitos casos, os dados tabelado não se assemelham a polinômios.
Assim, faz-se necessário procurar funções que melhor aproximem os
dados.
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear
Quando se ajusta uma curva via MMQ uma função f (x) com valores
tabelados por uma função
g(x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2(x) + α3ϕ3(x) + · · ·+ αmϕm(x)
dizemos estamos lidando com um caso linear pois os parâmetros αi , i =
1, 2, . . . ,m, a serem estimados aparecem linearmente na expressão de g(x)
e ϕi (x), i = 1, 2, . . . ,m, só depende da variável independente x . Agora,
quando o ϕi (x), i = 1, 2, . . . ,m, depende também do parâmetro a ser
estimado, dizemos que o caso é não linear.
Por exemplo, se os dados de uma função f (x) tabelada é melhor ajustada
por uma função da forma
g(x) = α1ϕ1(α2 x) + α3ϕ2(α4 x)
estamos diante de um caso não linear pois ϕ1(x) e ϕ2(x) dependem, re-
spectivamente, dos parâmetros α2 e α4 que precisam serem estimados.
Nessa situação, para aplicar o MMQ é necessário antes linearizar a função
de ajuste.
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 1: f (x) = aeb x :
f (x) = aeb x ⇒ ln[f (x)] = ln
(
aeb x
)
⇒
F (x)︷ ︸︸ ︷
ln[f (x)] =
α1︷︸︸︷
ln(a) ·
ϕ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
ϕ2(x)︷︸︸︷
x
F (x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2(x) onde
F (x) = ln[f (x)]
α1 = ln(a) ϕ1(x) = 1
α2 = b ϕ2(x) = x
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 2: f (x) = abx :
f (x) = abx ⇒ ln[f (x)] = ln (abx) ⇒
F (x)︷ ︸︸ ︷
ln[f (x)] =
α1︷︸︸︷
ln(a) ·
ϕ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷ ︸︸ ︷
ln(b) ·
ϕ2(x)︷︸︸︷
x
F (x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2(x) onde
F (x) = ln[f (x)]
α1 = ln(a) ϕ1(x) = 1
α2 = ln(b) ϕ2(x) = x
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 3: f (x) =
√
a+ bx :
f (x) =
√
a+ bx ⇒ [f (x)]2 = a+ bx ⇒
F (x)︷ ︸︸ ︷
[f (x)]2 =
α1︷︸︸︷
a ·
ϕ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
ϕ2(x)︷︸︸︷
x
F (x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2(x) onde
F (x) = [f (x)]2
α1 = a ϕ1(x) = 1
α2 = b ϕ2(x) = x
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Ex. 4: f (x) =
a+ bx
c + x2
:
f (x) =
a+ bx
c + x2
⇒ cf (x) + x2f (x) = a+ bx ⇒
F (x)︷ ︸︸ ︷
x2f (x) =
α1︷︸︸︷
a ·
ϕ1(x)︷︸︸︷
1 +
α2︷︸︸︷
b ·
ϕ2(x)︷︸︸︷
x +
α3︷ ︸︸ ︷
(−c) ·
ϕ3(x)︷︸︸︷
f (x)
F (x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2(x) + α3ϕ3(x) onde
F (x) = x2f (x)
α1 = a ϕ1(x) = 1
α2 = b ϕ2(x) = x2
α3 = −c ϕ3(x) = f (x)
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização
Tome cuidado!!! Após obter os parâmetros da função linearizada,
deve se aos parâmetros da função original. Para ilustrar isso, no
exemplo 1, depois de obter α1 e α2, deve se obter a e b da função
original. Naquele exemplo, temos que a = eα1 e b = α2.
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Ajuste os dados da tabela abaixo
x 0.15 0.55 0.66 0.70 0.79 1.26 3.24 4.82
f (x) 0.34611 0.65147 0.70619 0.72289 0.75454 0.81391 0.55051 0.39790
por uma função da forma
f (x) =
a+ x
1 + bx2
.
Resolução
É um caso não linear e portanto é necessário antes linearizar para aplicar
o MMQ. Linearizando, temos que
f (x) =
a+ x
1 + bx2
⇒ f (x) + bx2f (x) = a+ x ⇒ f (x)− x = a− bx2f (x)
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Portanto,
F (x) = α1ϕ1(x) + α2ϕ2(x)
sendo F (x) = f (x)− x , α1 = a, ϕ1(x) = 1, α2 = −b e ϕ2(x) = x2f (x).
É um problema com dois parâmetros para serem estimados e portanto o
sistema linear a ser montando para obter esses parâmetros é um sistema
de duas equações e duas incógnitas.
[
a11 a12
a21 a22
] [
α1
α2
]
=
[
b1
b2
]
⇒

α1 =
b1a22 − b2a12
a11a22 − a212
α2 =
b2a11 − b1a12
a11a22 − a212
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
a11 =
8∑
k=1
ϕ1(xk)ϕ1(xk) =
8∑
k=1
1
a12 = a21 =
8∑
k=1
ϕ1(xk)ϕ2(xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)
a22 =
8∑
k=1
ϕ2(xk)ϕ2(xk) =
8∑
k=1
[
x2k f (xk)
]2
b1 =
8∑
k=1
ϕ1(xk)F (xk) =
8∑
k=1
[f (xk)− xk ]
b2 =
8∑
k=1
ϕ2(xk)F (xk) =
8∑
k=1
x2k f (xk)[f (xk)− xk ]
Método dos Ḿınimos Quadrados
Caso Não Linear - Processo de Linearização - Exemplo
Calculando os dados do sistema linear e em seguida a solução deste,
temos que:[
8 17.65296
17.65296 121.00236
] [
α1
α2
]
=
[
−7.22647
−56.97059
]
⇒

α1 =
(−7.22647)(121.00236)− (−56.97059)(17.65296)
656.391944
= 0.20000
α2 =
(−56.97059)(8)− (−7.22647)(17.65296)
656.391944
= −0.50000
Como α1 = a ⇒ a = 0.2 e α2 = −b ⇒ b = 0.5. Logo, a função de
ajuste para os dados tabelados é
f (x) =
0.2 + x
1 + 0.5x2
.
Método dos Ḿınimos Quadrados
Erro de truncamento
f (x) =
0.2 + x
1 + 0.5x2
com Q = 9.635362× 10−11
 0.2
 0.3
 0.4
 0.5
 0.6
 0.7
 0.8
 0.9
 0 1 2 3 4 5
y
x
f(x)
(xk,f(xk))