Método de Iteração Linear

Cálculo Numérico

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Gabriel Silva

em 04/06/2026

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Zero de função – Método de Iteração Linear
Josuel Kruppa Rogenski
jkrogenski@ufu.br
Instituto de Matemática e Estat́ıstica
Universidade Federal de Uberlândia
Zero de função - Método de Iteração Linear
Considere o problema de encontrarmos x̄ que satisfaça a equação
f (x) = 0.
É posśıvel reescrever f (x) = 0 como
x = ϕ(x),
de maneira que x̄ é solução de ambas as equações. Para qualquer
função ϕ(x), a solução da equação acima é denominada de ponto
fixo de ϕ(x).
Zero de função - Método de Iteração Linear
Existem muitas formas de expressarmos a equação original. Vejamos
alguns exemplos para a equação f (x) = x2 − x − 2 = 0.
x = x2 − 2 x = 1 + 2
x
x =
√
x + 2 x = x − x2−x−2
m ,m ̸= 0
A reescrita da equação original como x = ϕ(x) motiva o seu uso de
uma forma iterativa, em que
xk+1 = ϕ(xk), k = 0, 1, 2, . . .
Zero de função - Método de Iteração Linear
Sabemos que, para a equação do segundo grau x2 − x − 2 = 0,
temos duas ráızes: x̄1 = 2 e x̄2 = −1.
Por exemplo, ao se buscar a raiz x̄ = 2 considerando o processo
iterativo xk+1 = x2k − 2 e tendo como aproximação inicial o valor
x0 = 2, 5, observa-se que:
k xk xk+1 = x2k − 2
0 2,5 4,25
1 4,25 16,0625
2 16,0625 256,00390625
O método iterativo gera uma sequência de valores divergente. A
escolha da função ϕ dessa forma não produz método iterativo con-
vergente.
Zero de função - Método de Iteração Linear
Sabemos que, para a equação do segundo grau x2 − x − 2 = 0,
temos duas ráızes: x̄1 = 2 e x̄2 = −1.
Tome agora, como exemplo, o processo iterativo xk+1 =
√
xk + 2
sob a mesma condição inicial x0 = 2, 5.
k xk xk+1 =
√
xk + 2
0 2,50000 2,12132
1 2,12132 2,03010
2 2,03010 2,00751
3 2,00751 2,00188
4 2,00188 2,00047
A sequência numérica gerada converge à x̄ = 2.
Zero de função - Método de Iteração Linear
Teorema: Considere x̄ solução de f (x) = 0, isolada em um intervalo
I = (a, b). Seja ϕ(x) uma função iteração de f (x). Sendo:
ϕ′ cont́ınua em I,
|ϕ′(x)| ≤ M

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