Aula 12

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Integração numérica
Josuel Kruppa Rogenski
jkrogenski@ufu.br
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Material de apoio baseado nas notas de aula dos Professores Alessandro Alves Santana e
Rafael Alves Figueiredo
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica
Teorema do Erro 1 (número ı́mpar de divisões) Se os pontos xj =
x0 + jh, j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número ı́mpar de intervalos
iguais e f (x) tem derivada de ordem (n + 1) cont́ınua em [a, b], então a
expressão do erro para as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com
n ı́mpar, é dada por:
E (f ) =
hn+2f (n+1)(ξ)
(n + 1)!
n∫
0
u(u − 1) . . . (u − n) du
para algum ξ ∈ [a, b].
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica
Teorema do Erro 2 (número par de divisões) Se os pontos xj = x0+ jh,
j = 0, 1, ..., n dividem [a, b] em um número par de intervalos iguais e f (x)
tem derivada de ordem (n + 2) cont́ınua em [a, b], então a expressão do
erro para as fórmulas de Newton-Cotes do tipo fechado, com n par, é dada
por:
E (f ) =
hn+3f (n+2)(ξ)
(n + 2)!
n∫
0
(
u − n
2
)
u(u − 1) . . . (u − n) du
para algum ξ ∈ [a, b].
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica - Erro na Regra dos Trápezios
No caso da Regra dos Trapézios, temos que aplicar o primeiro teorema
onde n = 1. Calculando, temos que:
ET =
h3f (2)(ξ)
2
1∫
0
u(u − 1) du ⇒ ET = −h3f (2)(ξ)
12
com ξ ∈ [x0, x1].
Considerando a RTR, temos em cada subintervalo ocorre um erro, sendo
que o erro no intervalo inteiro é a soma de todos os erros.
ETR = −h3f (2)(ξ1)
12
− h3f (2)(ξ2)
12
− · · · − h3f (2)(ξN)
12
= −h3
12
N∑
k=1
f (2)(ξk).
Pelo Teorema do Valor Intermediário, existe ξ tal que
f (2)(ξ) =
N∑
k=1
f (2)(ξk)
N
⇒
N∑
k=1
f (2)(ξk) = Nf (2)(ξ).
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica - Erro na Regra dos Trápezios Repetida
Logo,
ETR = −Nh3f (2)(ξ)
12
N= b−a
h−−−−→ ETR = − (b − a)h2f (2)(ξ)
12
.
Como f (2)(x) por hipótese é uma função cont́ınua, podemos estabelecer
um limitante para o erro na integração numérica via RTR.
LTR =
(b − a)h2M2
12
onde M2 = max
a≤x≤b
|f (2)(x)| .
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica - Erro na Regra 1/3 de Simpson
No caso da Regra 1/3 de Simpson, temos que aplicar o segundo teorema
onde n = 2. Calculando, temos que:
ES =
h5f (4)(ξ)
24
2∫
0
(u − 1)u(u − 1)(u − 2) du
ES = −h5f (4)(ξ)
90
com ξ ∈ [x0, x2].
Considerando a RSR, temos em cada par de subintervalo ocorre um erro,
sendo que o erro no intervalo inteiro é a soma de todos os erros. Note
que se temos 2N subintervalos, temos no total N erros para somar.
Seguindo procedimento análogo a RTR, o erro para a RSR é dado por
ESR = −Nh5f (4)(ξk)
90
N= b−a
2h−−−−→ ESR = − (b − a)h4f (4)(ξ)
180
.
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica - Erro na Regra 1/3 de Simpson
Como f (4)(x) por hipótese é uma função cont́ınua, podemos estabelecer
um limitante para o erro na integração numérica via RSR.
LSR =
(b − a)h4M4
180
onde M4 = max
a≤x≤b
|f (4)(x)| .
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica - Exemplo
Determine uma aproximação para a integral
1.2∫
0
excos(x) dx
com precisão ε = 0.01 utilizando a Regra dos Trapézios Repetida. Trabalhe
com 5 casas decimais.
Resolução
Extraindo os dados do problema, temos que:
Integrando: f (x) = excos(x);
Intervalo de integração:
[a, b] = [0, 1.2];
Método de integração: RTR;
Precisão: ε = 0.01.
É necessário determinar o número N de divisões, no intervalo [a, b] =
[0, 1.2], com fins de obter uma aproximação com a precisão solicitada.
Para tanto, basta calcular N (inteiro) de tal modo que o limitante do erro
usando RTR seja inferior a ε = 0.01, ou seja, basta que
LTR 
(b − a)M2
12 ε
⇒ N2 >
(b − a)3 M2
12 ε
⇒
N >
√
(b − a)3 M2
12 ε
ε=0.01−−−−−−−→
[a,b]=[0,1.2]
N >
√
14, 4M2 .
O que resta agora é obter
M2 = max
x∈[0,1.2]
|f (2)(x)|.
Para determinar esse máximo, uma alternativa é calcular a derivada se-
gunda de f (x) e depois resolver a equação f (3)(x) = 0 para determinar os
pontos cŕıticos que estão no intervalo de integração [0, 1.2] (candidatos a
máximo de f (2)(x) em módulo). Continuando, temos que
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica - Exemplo
f (x) = excos(x)
f (1)(x) = ex (cos(x)− sen(x))
f (2)(x) = −2ex (sen(x))
f (3)(x) = −2ex(sen(x) + cos(x))
Note que a função f (2)(x) não possui pontos cŕıticos, tendo como máximo
absoluto o maior valor em módulo nos extremos do intervalo [0, 1, 2]. O
limitante M2 nesse caso é |f (x = 1, 2)| = 6, 188957.
Integração Numérica
Estudo do Erro na Integração Numérica - Exemplo
Logo, M2 = 6.188957. Calculando N, segue que
N >
√
(14.4)(6.188957) ⇒ N > 9.44.
Como N tem que ser inteiro, basta tomar N = 10. Com isso, temos que
h = (b − a)/N, ou seja, h = 1.2/10 = 0.12.
ITR =
0.12
2
[
f (x0) + f (x10) + 2
9∑
k=1
f (xk)
]
ITR = 0.06 {f (0) + f (1.2) + 2 [f (0.12) + f (0.24) + . . .+ f (1.08)]}
ITR = 0.06 {1 + 1.203070 + 2 [1.119389 + 1.234813 + . . .+ 1.387911]}
= 1.645306637521383
Para efeito de comparação, uma aproximação com alta precisão para a inte-
gral desse exemplo é 1.648774427347426. O erro aproximado é 0.0060248