Interpolação Polinomial de Lagrange

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Interpolação polinomial
Josuel Kruppa Rogenski
jkrogenski@ufu.br
Faculdade de Matemática
Universidade Federal de Uberlândia
Material de apoio baseado nas notas de aula dos Professores Alessandro Alves Santana e
Rafael Alves Figueiredo
Forma de Lagrange – Motivação
O polinômio que interpola uma função f (x) em um único ponto x0 é dado
por
pn(x) = f (x0).
Considerando um conjunto de dois pares ordenados (x0, y0) e (x1, y1) sendo
x0 ̸= x1, sabemos que existe uma única reta que interpola os pontos em
questão. Podemos expressar essa reta da seguinte forma
f (x) = L0(x)y0 + L1(x)y1,
sendo L0(x) e L1(x) funções de grau máximo 1 e que satisfazem as seguintes
relações: L0(x0) = 1, L0(x1) = 0, L1(x0) = 0 e L1(x1) = 1.
Forma de Lagrange – Motivação
Observem que, por construção,
L0(x) =
x − x1
x0 − x1
,
L1(x) =
x − x0
x1 − x0
.
Forma de Lagrange – Motivação
Resolva o exerćıcio da aula anterior utilizando a Forma de Lagrange. En-
contre o polinômio interpolador associado aos dados abaixo:
x 1 2
f (x) 3 5
Forma de Lagrange
A forma de Lagrange para o polinômio que interpola uma função f (x) em
n + 1 pontos distintos x0, x1, x2, . . . , xn é dado por
pn(x) = L0(x)f (x0) + L1(x)f (x1) + L2(x)f (x2) + · · ·+ Ln(x)f (xn),
sendo
Lk(x) =
n∏
i=0
i ̸=k
(x − xi )
n∏
i=0
i ̸=k
(xk − xi )
.
As funções Lk(x), k = 0, 1, 2, . . . , n, funcionam como se fossem pesos no
momento de fazer a avaliação de pn(x) para um determinado x .
Forma de Lagrange
Abrindo os polinômios Lk(x), temos que
Lk(x) =
(x − x0)(x − x1)(x − x2) · · · (x − xk−1)(x − xk+1) · · · (x − xn)
(xk − x0)(xk − x1)(xk − x2) · · · (xk − xk−1)(xk − xk+1) · · · (xk − xn)
.
Pode-se notar que
Lk(xi ) =
{
0 se i ̸= k
1 se i = k
Dessa forma, temos garantia que pn(xi ) = f (xi ) em cada um dos pontos
de interpolação.
Forma de Lagrange
Exemplo
Encontre o polinômio interpolador associado aos dados abaixo apresenta-
dos:
x 0 1 2
f (x) 1 1 3
Forma de Lagrange
Exemplo
Considere a tabela abaixo e obtenha uma aproximação para o valor de
f (1.6) usando um polinômio de grau 2 utilizando interpolação polinomial.
x 0.5 0.9 1.7 2.5 3.0
f (x) 0.52 0.12 0.37 0.30 0.29
Resolução:
Para obter uma aproximação utilizando um polinômio de grau 2, devemos
considerar 3 pontos consecutivos da tabela acima de tal forma que:
O valor de x , o qual se quer estimar f (x), deve estar entre os três
pontos consecutivos;
A distância entre os extremos desses 3 pontos consecutivos seja a
menor posśıvel para minimizar o erro na estimativa.
Analisando a tabela dada, devemos considerar os seguintes pontos com
seus respectivos valores:
x 0.5 0.9 1.7
f (x) 0.52 0.12 0.37
Forma de Lagrange
Exemplo
Calculando os polinômios Lk(x):
L0(x) =
(x − x1)(x − x2)
(x0 − x1)(x0 − x2)
x=1.6−−−→ L0(1.6) =
(1.6 − 0.9)(1.6 − 1.7)
(0.5 − 0.9)(0.5 − 1.7)
⇒ L0(1.6) = −0.14583
L1(x) =
(x − x0)(x − x2)
(x1 − x0)(x1 − x2)
x=1.6−−−→ L1(1.6) =
(1.6 − 0.5)(1.6 − 1.7)
(0.9 − 0.5)(0.9 − 1.7)
⇒ L1(1.6) = 0.34375
L2(x) =
(x − x0)(x − x1)
(x2 − x0)(x2 − x1)
x=1.6−−−→ L2(1.6) =
(1.6 − 0.5)(1.6 − 0.9)
(1.7 − 0.5)(1.7 − 0.9)
⇒ L2(1.6) = 0.80208
Avaliando agora o polinômio,
p2(1.6) = L0(1.6)f (0.5) + L1(1.6)f (0.9) + L2(1.6)f (1.7)
p2(1.6) = (−0.14583)(0.52) + (0.34375)(0.12) + (0.80208)(0.37)
p2(1.6) = 0.26219
Portanto, temos que f (1.6) ≈ p2(1.6) = 0.26219 .
Forma de Lagrange
Exemplo
Conhecendo-se a tabela
x -1 0 3
f (x) 15 8 -1
Determine o polinômio de Lagrange e calcule uma aproximação para f (1).
Forma de Lagrange
Exerćıcios
1. Utilizando a tabela abaixo, obtenha uma estimativa para f (0.25) us-
ando polinômio de interpolação de grau 2.
xi 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5
f (xi ) 0 0.1350 0.3644 0.7379 1.3280 2.2408
2. Considere a função f (x) = e−x2
no intervalo [0, 1]. Obtenha uma
aproximação para f (0.85) utilizando um polinômio de grau 3, via
forma de Lagrange. Utilize os pontos de Chebyshev para montar a
tabela de valores. Os (n + 1) pontos de Chebyshev em um intervalo
[a, b] são definidos pela expressão
xi =
a+ b
2
+
b − a
2
ϵi ,
em que ϵi = cos
(
(2i+1)π
2n+2
)
, i = 0, 1, . . . , n. Trabalhe com 4 casas
decimais.