2014 1-AD1-C1-gabarito

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Respostas AD01 - 1/2014 - CÁLCULO I
QUESTÃO 01. [3, 0 pontos]
Calcule os seguintes limites de funções:
(a) lim
x→1
x3 + 4x2 − 5x
x2 + x− 2
(b) lim
x→5
x− 5
√
x−
√
5
(c) lim
x→1
(4x− 1) sen(x− 1)
x3 + x2 − 2x
Solução:
(a) lim
x→1
x3 + 4x2 − 5x
x2 + x− 2
= lim
x→1
x(x− 1)(x+ 5)
(x− 1)(x+ 2)
= lim
x→1
x(x+ 5)
x+ 2
=
6
3
= 2
(b) lim
x→5
x− 5
√
x−
√
5
= lim
x→5
( x− 5
√
x−
√
5
)(√x+
√
5
√
x+
√
5
)
= lim
x→5
(x− 5)(
√
x+
√
5)
(
√
x−
√
5)(
√
x+
√
5)
=
= lim
x→5
(x− 5)(
√
x+
√
5)
x− 5
= lim
x→5
√
x+
√
5 = 2
√
5
(c) lim
x→1
(4x− 1) sen(x− 1)
x3 + x2 − 2x
= lim
x→1
(4x− 1) sen(x− 1)
x(x+ 2)(x− 1)
= lim
x→1
[
(4x− 1)
x(x+ 2)
sen(x− 1)
(x− 1)
]
=
= lim
x→1
(4x− 1)
x(x+ 2)
lim
x→1
sen(x− 1)
(x− 1)
= 1
QUESTÃO 02. [2, 5 pontos]
Considere a função f(x) =
2x√
x2 − 16
.
(a) Determine o domínio de f ;
(b) Encontre as assíntotas horizontais e as assíntotas verticais, caso existam, do grá�co
de f , fazendo um estudo completo dos limites in�nitos e no in�nito;
(c) Trace um esboço do grá�co de f .
Solução:
(a) D(f) = {x ∈ R; x2 − 16 > 0} = {x ∈ R; (x+ 4)(x− 4) > 0} =
= {x ∈ R; x 4} = (−∞,−4) ∪ (4,+∞)
(b) Temos que:
(i) lim
x→−4−
2x√
x2 − 16
= −∞, pois 2x→ −8 e
√
x2 − 16→ 0+ quando x→ −4−;
(ii) lim
x→4+
2x√
x2 − 16
= +∞, pois 2x→ 8 e
√
x2 − 16→ 0+ quando x→ 4+;
(iii) lim
x→+∞
2x√
x2 − 16
= lim
x→+∞
2x√
x2
(
1− 16
x2
) = lim
x→+∞
2x
x
√(
1− 16
x2
) = 2,
onde utilizamos
√
x2 = |x| = x, pois x > 0;
1
(iv) lim
x→−∞
2x√
x2 − 16
= lim
x→−∞
2x√
x2
(
1− 16
x2
) = lim
x→+∞
2x
(−x)
√(
1− 16
x2
) = −2,
onde utilizamos
√
x2 = |x| = −x, pois x 0 > −1 = f(1), temos, pelo
Teorema do Valor Intermediário, que existe c2 ∈ (0, 1) tal que f(c2) = 0. Logo, f possui
uma raiz c2 em (0, 1).
(iii) Temos que f(1) = −1 e f(2) = 2. Como f(1) = −1