Vamos responder passo a passo: Função: \( f(x) = \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 16}} \) (a) Domínio de f: - O denominador é \(\sqrt{x^2 - 16}\), que deve ser maior que zero (não pode ser zero nem negativo, pois está no denominador e dentro da raiz quadrada). - Logo, \(x^2 - 16 > 0 \Rightarrow x^2 > 16 \Rightarrow |x| > 4\). - Portanto, o domínio é: \( (-\infty, -4) \cup (4, +\infty) \). (b) Assíntotas verticais: - Assíntotas verticais ocorrem onde a função não está definida e o limite tende a infinito. - Em \(x = \pm 4\), a raiz no denominador se anula, então são candidatos a assíntotas verticais. - Vamos analisar os limites laterais: \[ \lim_{x \to 4^+} f(x) = \lim_{x \to 4^+} \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 16}} = +\infty \] \[ \lim_{x \to 4^-} f(x) \text{ não existe no domínio, pois } x < 4 \text{ não pertence ao domínio para } x \in (-4,4) \] \[ \lim_{x \to -4^-} f(x) = \lim_{x \to -4^-} \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 16}} = -\infty \] \[ \lim_{x \to -4^+} f(x) \text{ não existe no domínio} \] Logo, há assíntotas verticais em \(x = 4\) e \(x = -4\). Assíntotas horizontais: - Analisamos os limites quando \(x \to \pm \infty\): \[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 16}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{|x|\sqrt{1 - \frac{16}{x^2}}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x}{x \sqrt{1 - 0}} = 2 \] \[ \lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{\sqrt{x^2 - 16}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{|x|\sqrt{1 - \frac{16}{x^2}}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x}{-x \sqrt{1 - 0}} = -2 \] Portanto, as assíntotas horizontais são \(y = 2\) e \(y = -2\). (c) Esboço do gráfico: - Domínio: \(x < -4\) e \(x > 4\). - Assíntotas verticais: \(x = -4\) e \(x = 4\). - Assíntotas horizontais: \(y = -2\) para \(x \to -\infty\) e \(y = 2\) para \(x \to +\infty\). - Para \(x > 4\), \(f(x) > 0\) e cresce para \(+\infty\) perto de 4, depois se aproxima de 2. - Para \(x < -4\), \(f(x) < 0\) e vai para \(-\infty\) perto de -4, depois se aproxima de -2. --- Se precisar, posso ajudar a desenhar o gráfico!