Calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) = x³ / 4 − 4 ln x + 1
(b) f(x) = (x⁴ − 2x + 1)(x² − 6 cos x)
(c) f(x) = (x² sen x) / (1 + eˣ)

Question

Ed · Answer

Vamos calcular as derivadas passo a passo:

(a) $ f(x) = \frac{x^3}{4} - 4 \ln x + 1 $

Derivando termo a termo:

$$
f'(x) = \frac{3x^2}{4} - \frac{4}{x} + 0 = \frac{3x^2}{4} - \frac{4}{x}
$$

---

(b) $ f(x) = (x^4 - 2x + 1)(x^2 - 6 \cos x) $

Usando a regra do produto: $(uv)' = u'v + uv'$

- $ u = x^4 - 2x + 1 \Rightarrow u' = 4x^3 - 2 $
- $ v = x^2 - 6 \cos x \Rightarrow v' = 2x + 6 \sin x $

Logo,

$$
f'(x) = (4x^3 - 2)(x^2 - 6 \cos x) + (x^4 - 2x + 1)(2x + 6 \sin x)
$$

---

(c) $ f(x) = \frac{x^2 \sin x}{1 + e^x} $

Usando a regra do quociente: $\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

- $ u = x^2 \sin x \Rightarrow u' = 2x \sin x + x^2 \cos x $ (regra do produto)
- $ v = 1 + e^x \Rightarrow v' = e^x $

Logo,

$$
f'(x) = \frac{(2x \sin x + x^2 \cos x)(1 + e^x) - (x^2 \sin x)(e^x)}{(1 + e^x)^2}
$$

---

Resumo das respostas:

a) $ f'(x) = \frac{3x^2}{4} - \frac{4}{x} $

b) $ f'(x) = (4x^3 - 2)(x^2 - 6 \cos x) + (x^4 - 2x + 1)(2x + 6 \sin x) $

c) $ f'(x) = \frac{(2x \sin x + x^2 \cos x)(1 + e^x) - x^2 \sin x \cdot e^x}{(1 + e^x)^2} $

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