Função Polinomial do 2º Grau

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MATEMÁTICA - 9ª Série -
capitulo 7 - Ed SM - Função
Polinomial do 2º Grau
Matemática
Centro Universitário Anhanguera de São Paulo
24 pag.
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O que você vai aprender
Texto o que vai ser estudado no capítulo �
Texto o que vai ser estudado no capítulo �
Texto o que vai ser estudado no capítulo �
Texto o que vai ser estudado no capítulo �7
Função polinomial 
do 2º grau
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O que você vai aprender
Texto o que vai ser estudado no capítulo �
Texto o que vai ser estudado no capítulo �
Texto o que vai ser estudado no capítulo �
Texto o que vai ser estudado no capítulo �7
O que você vai aprender
Reconhecimento de uma função polinomial do �
2o grau a partir de sua lei ou de seu gráfico 
Construção do gráfico de uma função do 2 � º grau 
e análise dos principais elementos do gráfico
O estudo das funções é muito importante, pois permite a análise de 
diferentes situações do cotidiano. As funções do 2o grau, ou funções 
quadráticas, têm como gráfico uma curva chamada parábola e serão 
estudadas mais detalhadamente neste capítulo.
Pense nisto
 1 A fotografia mostra aviões realizando uma ma-
nobra permitida somente para voos acrobáticos. 
Observando a fumaça emitida, é possível per-
ceber a trajetória desses aviões, que é descrita, 
aproximadamente, por uma curva muito conhe-
cida no estudo das funções.
 Essa mesma curva pode ser observada, também, 
embora em posição diferente, nos lançamentos 
de objetos quando se quer alcançar maior dis-
tância tanto na horizontal quanto na vertical.
• Observando a fotografia, imagine e desenhe 
no seu caderno a provável trajetória que uma 
bola de basquete percorreria desde a mão do 
jogador até a cesta.
 2 Suponha que, em determinado arremesso para 
a cesta, num jogo de basquete, a altura h atingi-
da pela bola, em metros, seja dada pela função 
h(t) 5 2 1 6t 2 5t2.
a) O instante t 5 0 corresponde ao momento em 
que a bola está saindo das mãos do arremes-
sador. Calcule h(0) para determinar de que al-
tura a bola foi lançada.
b) A altura da cesta é aproximadamente igual a 
3 metros. Em quais instantes a bola atinge 
essa altura? Para responder a esta pergunta, 
basta obter t tal que h(t) 5 3. 
c) Para uma altura determinada, como a da cesta, 
que é 3 metros, são encontradas duas respos-
tas possíveis, mas apenas uma delas representa 
o instante em que a bola chega à cesta. Qual é 
esse instante? Justifique sua resposta.
d) Pode-se provar que a bola atingirá sua má-
xima altura 0,6 segundo após o lançamento. 
Qual é essa altura máxima?
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196
1 Função do 2º grau
O salão de festas de um edifício 
tem a forma de um retângulo com 12 
metros de comprimento e 8 metros 
de largura. Pretende-se aumentar x 
metros no comprimento e x metros 
na largura desse salão.
Qual é a lei matemática em fun-
ção de x que representa a nova área 
A do salão em metros quadrados?
O novo salão terá o formato de um 
retângulo de dimensões, em metros, 
(12 1 x) e (8 1 x). Assim, sua área A, 
em metros quadrados, será dada pela 
expressão A 5 (12 1 x) ? (8 1 x).
A 5 (12 1 x) ? (8 1 x) V
V A 5 96 1 12x 1 8x 1 x2 V A 5 x2 1 20x 1 96
A lei obtida acima define uma função polinomial. Observe que 
x2 é o termo em que a variável apresenta expoente igual a 2, e esse 
é o maior expoente da expressão.
Então, o grau do polinômio é 2. Por isso, essa função é chamada 
de função do 2o grau ou função quadrática.
Uma pessoa pretende pedir, 
a um banco, um empréstimo 
de RS|| 10 000,00, a ser 
pago após dois meses. 
Considerando que o banco 
cobra juros compostos de 
x% ao mês, determinar a lei 
da função V que representa 
o valor a ser pago ao final 
do empréstimo.
Resolução
1o mês: 
x% de 10 000 5
5 x ____ 100 ? 10 000 5 100x
Daí, o valor da dívida após 
um mês é 
V1 5 10 000 1 100x.
2o mês:
x% de (10 000 1 100x) 5
5 x ____ 100 ? (10 000 1 100x) 5
 5 100x 1 x2
Então, o valor final da 
dívida é:
V 5 10 000 1 100x 1 100x 1 x2
V 5 x2 1 200x 1 10 000
Observe que a lei que 
representa o valor final da 
dívida em função dos juros 
de x% ao mês define uma 
função quadrática, em que 
a 5 1, b 5 200 e c 5 10 000. 
Assim, para x 5 3% ao mês, 
por exemplo, calcula-se:
V(3) 5 32 1 200 · 3 1 10 000
V(3) 5฀RS|| 10 609,00
ATIvIdAdE REsoLvIdA
Na função quadrática de lei A(x) 5 x2 1 20x 1 96, os coeficien-
tes são a 5 1, b 5 20 e c 5 96. 
Veja como é possível obter a nova área do salão de festas desse 
edifício para alguns valores de x.
• se x 5 1 ¬ A(1) 5 12 1 20 ? 1 1 96 V A(1) 5 117
• se x 5 5 ¬ A(5) 5 52 1 20 ? 5 1 96 V A(5) 5 221
Pode-se dizer que 117 e 221 são, respectivamente, as imagens 
correspondentes a x 5 1 e a x 5 5.
Pode-se ainda calcular o valor de x para o qual a nova área 
do salão seja igual a 192 m2. Para isso, basta resolver a equação 
x2 1 20x 1 96 5 192, ou seja, x2 1 20x 2 96 5 0.
d 5 202 2 4 ? 1 ? (296) 5 784
x 5 220 6 d XXXX 784 ___________ 
2 ? 1
 5 220 6 28 _________ 
2
 . Assim, x 5 4 ou x 5 224.
No problema apresentado, x representa o valor de uma medida em 
metros. Nesse caso, x só pode assumir valores maiores que zero.
Então, o valor de x para que a área seja igual a 192 m2 é igual a 4.
Uma função f, de R em R, cuja lei pode ser escrita na forma 
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a  0, é chamada função polinomial 
do 2o grau ou função quadrática. Os números reais a, b e c são 
os coeficientes da função.
12
8
x
x
área ampliada
salão original
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197
 Gráfico de uma função do 2º grau
Será estudado agora o comportamento do gráfico de uma fun-
ção polinomial do 2o grau.
Para construir o gráfico da função quadrática definida pela lei 
f(x) 5 x2 2 4x 1 3, pode-se fazer uma tabela com valores aleató-
rios de x e os valores de f(x) correspondentes. Em seguida, repre-
sentam-se os pares ordenados no plano cartesiano.
Uma das principais características de uma parábola é a sime-
tria que ela apresenta. O eixo de simetria da parábola é uma reta 
que a intercepta em um único ponto, denominado vértice.
Uma re ta perpendicular ao eixo de simetria cruza a parábola 
em dois pontos que estão à mesma distância desse eixo, como 
mostrado na figura abaixo. 
�3�4 �2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4 5 6
4
y
x
�2
�3
�3�4 �2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4 5 6
4
y
x
�2
�3
vértice
eixo de simetria
x f(x)
0 3
1 0
2 21
3 0
4 3
Os pontos obtidos são unidos por uma linha que determina 
uma curva denominada parábola. PARÁBoLAs
Não é só nos gráficos de 
funções quadráticas que as 
parábolas podem ser vistas. 
Na verdade, elas são curvas 
que aparecem com certa 
frequência na natureza e na 
arquitetura. 
A trajetória de um jato de 
água lançado de um chafariz 
ou os arcos de uma ponte 
são dois exemplos em que as 
parábolas estão presentes, 
como mostram as seguintes 
fotografias.
Igreja de São Francisco de Assis 
(Igreja da Pampulha). 
Belo Horizonte, MG.
Fonte no lago do parque Ibirapuera. 
São Paulo, SP.
Fique฀de฀olho
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Atividades฀para฀classe
 6 Qual o número real cuja imagem pela função 
g(x) 5 2x2 1 6x 1 1 é igual a 4?
 7 Observe o gráfico de uma função quadrática 
g para responder o que se segue.
 1 Observando as leis das funções f, g, h, i e j, 
copie em seu caderno aquelas que são fun-
ções quadráticas. 
  f(x) 5 8 2 3x2 
 i(x) 5 1 ___________ 
x2 1 2x 1 1
 
  g(x) 5 x2 1 x3
 j(x) 5 d XXXXXX x2 1 1 
  h(x) 5 6x2
 2 São dadas abaixo as leis de seis funções do 
2o grau. Escreva em seu caderno os valores 
dos coeficientes a, b e c de cada uma delas.
a) f(x) 5 2x2 1 3x 1 7 
b) g(x) 5 5x2 1 x __ 2 2 1 __ 3 
c) h(x) 5 2 x
2
 __ 4 
d) i(x) 5 x(x 2 3) 
e) j(x) 5 (2 2 x)(x 1 7) 
f) k(x) 5 (x 1 1)2 1 (x 2 1)2 
 3 Dentre as curvas desenhadas abaixo, identi-
fique quais são parábolas.
a) c) 
 4 Considere a função do 2o grau dada pela lei 
f(x) 5 kx2 2 3x 2 8. Determine o valor do 
número real k sabendo que f(2) 5 2. 
 5 Considerando a função quadrática f, de R em 
R, dada pela lei f(x) 5 2x2 2 7x 1 1, determi-
ne o que se pede em cada item.
a) f(0), f(2) e f(21) 
b) f @ 1 __ 2 # 
c) Um elemento do domínio cuja imagem 
pela função f seja igual a 5. 
d) Um elemento do domínio cuja imagem pe-
la função f seja igual a 2 41 ___ 8 . 
b) d) 
a) Qual o valor de g(2)? 
b) Calcule o valor da soma g(0) 1 g(21). 
c) Obtenha todos os elementos do domínio 
cuja imagem pela função g seja igual a 0. 
d) O número 3 pertence ao conjunto imagem 
da função g? Justifique.
 8 Na função do 2o grau f(x) 5 2x2 1 px 2 18 
sabe-se que f(p) 5 3p. Determine o valor do 
número real p. 
 9 Considere a lei da função f(x) 5 x2 2 4x 1 4.
a) Para valores aleatórios de x, determine os 
valores de f(x) correspondentes e organi-
ze-os em uma tabela.
b) Represente esses pares ordenados no 
pla no cartesiano e una-os para obter uma 
parábola.
 10 Na figura abaixo, ABC é um triângulo retângu-
lo em A, BCDE é um quadrado e os lados 
___
 AB e ___
 AC medem 3 cm e x cm, respecti vamente.
Seja f a função que associa, para cada valor 
de x, a área do quadrado BCDE, em centíme-
tros quadrados.
a) Determine a lei de f(x). 
b) Calcule f(4). 
c) Obtenha x tal que f(x) 5 17. 
�3�4 �2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
y
x
�2
�3
�4
B
E
D
A
x
3
C
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199
Atividades฀para฀casa
 11 Copie a tabela em seu caderno, completando 
a última coluna conforme o código abaixo.
0 ¬ função constante
1 ¬ função do 1o grau 
2 ¬ função do 2o grau 
3 ¬ outras funções
Função Lei Código
f f(x) 5 7x 1 3 ฀
g g(x) 5 26x2 1 3x 1 7 ฀ 
h h(x) 5 2x 1 x2 ฀
i i(x) 5 4 2 x
2
 __ 3 ฀ 
j j(x) 5 (x 1 3) 2 (x 1 1) ฀ 
k k(x) 5 x 1 4 ______ 2x 2 1 
฀
 12 Determine os valores dos coeficientes a, b e 
c das funções quadráticas seguintes.
a) f(x) 5 x2 2 x 1 2 
b) g(x) 5 2x2 1 5 
c) h(x) 5 6 2 3x2 1 9x
d) i(x) 5 2x
2
 ____ 7 2 x __ 6 
e) j(x) 5 (x 2 10)2
f) j(x) 5 (2x 1 5)2
 13 Indique, em seu caderno, qual(is) curva(s), 
dentre as desenhadas abaixo, é(são) si mé tri-
ca(s) em relação à reta r. 
 16 A função polinomial do 2o grau h é dada 
pela lei h(x) 5 23x2 1 x 1 2. Determine:
a) h(0), h(21) e h(3) 
b) h @ 7 __ 3 # 
c) um elemento do domínio cuja imagem 
pela função h seja igual a 2.
d) um elemento do domínio cuja imagem 
pela função h seja igual a 25 ___ 12 . 
 17 Encontre todos os números reais cujas ima-
gens pelas funções quadráticas f e g são 
iguais, sabendo que f(x) 5 7x2 2 10x 2 2 e 
g(x) 5 2x2 1 3x 1 4. 
 18 Na figura, as duas 
circunferências têm 
seus centros no pon -
to O, x é um número 
real positivo e A(x) 
é a área da região 
verde. 
a) Determine a expressão de A(x) em função 
de x. 
b) Calcule A(2). 
c) Escreva os coeficientes a, b e c da lei da 
função A(x) que define uma função qua-
drática. 
d) Calcule x para que se tenha A(x) 5 10p. 
 19 Parte do gráfico de uma função do 2o grau 
f está desenhada abaixo.
 14 Sendo k um número real, considere a função 
f(x) 5 (k 2 2)x3 1 (k 1 1)x2 1 kx 1 3k.
a) Calcule o valor de k, sabendo que f é uma 
função do 2o grau. 
b) Determine os valores numéricos dos coefi-
cientes a, b e c. 
 15 Se g(x) 5 x2 2 6x 1 5, calcule g @ 3 1 d XX 2 # . 
a) Qual o valor de f(5)? E de f(1)?
b) Determine todos os valores de x para os 
quais se tem f(x) 5 0. 
c) Usando a propriedade da soma e do pro-
duto das raízes, determine a lei f(x). 
C
D
B
A
r
O
1 x
�2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4 5 6 7
4
5
6
7
8
y
x
�2
�3
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Título do capítulo1
200
Saiba฀mais
2 Gráfico da função do 2º grau
f(x) 5 x2 1 2x
 Concavidade
Observe os gráficos de duas funções, f e g do 2o grau, dadas, 
respectivamente, pelas leis f(x) 5 x2 1 2x e g(x) 5 2x2 1 2x.
As duas parábolas obtidas acima têm a forma bem parecida, 
mas suas posições no plano cartesiano são diferentes. A primeira 
tem a concavidade (“abertura”) voltada para cima, enquanto que a 
concavidade da segunda está voltada para baixo.
Não é necessário desenhar o gráfico de uma função quadrática 
para conhecer a concavidade. Compare os coeficientes das funções 
f e g representadas pelos gráficos acima.
Se a . 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima.
Se a , 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo.
g(x) 5 2x2 1 2x
x g(x)
21 23
0 0
1 1
2 0
3 23
x f(x)
23 3
22 0
21 21
0 0
1 3
�2 �1�3
0
�1
1
1
2
2
3
3
y
x
�2
�3
�2 �1�3
0
�1
1
1
2
2
3
3
y
x
�2
�3
�2 �1 0
�1
1
1
2
a � 0,5
a � 1
a � 2
g
h
f
2
3
y
x
CoEFICIEnTE a
O coeficiente a não define 
apenas se a função 
quadrática tem a concavidade 
para cima ou para baixo. 
Ele também influencia na 
“abertura” da parábola.
A figura abaixo mostra 
os gráficos das funções 
quadráticas 
f(x) 5 2x2, g(x) 5 x2 e 
h(x) 5 0,5x2.
Observe que quanto maior o 
valor de a, mais fechada é a 
parábola.
Coeficiente
Função a b c
f(x) 5 x2 1 2x 1 2 0
g(x) 5 2x2 1 2x 21 2 0
Note que somente o coeficiente a é diferente nas duas funções: 
na função f o coeficiente a é positivo e na função g ele é negativo.
O sinal do coeficiente a determina a concavidade do gráfico de 
uma função do 2o grau.
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201
 Raízes reais
Considere a função polinomial f do 2o grau, dada pela lei
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que a  0. Para encontrar as raízes, deve-
-se igualar a lei da função a zero.
ax2 1 bx 1 c 5 0
Note que foi obtida uma equação do 2o grau. Para resolvê-la, 
basta utilizar a fórmula de Bhaskara.
Exemplo:
Encontrar as raízes da função f(x) 5 2x2 2 5x 2 3.
Igualando a expressão a zero, tem-se: 2x2 2 5x 2 3 5 0.
Assim, d 5 (25)2 2 4 ? 2 ? (23) 5 25 1 24 5 49
 x1 5 3
x 5 
2(25) 6 d XXX 49 
 ____________ 
2 ? 2
 5 5 6 7 _____ 
4
 
 x2 5 2 1 __ 
2
 
Logo, as raízes de f são 3 e 2 1 __ 
2
 .
No gráfico, as raízes são os pontos 
onde a parábola corta o eixo x.
Duas raízes reais distintas.
O gráfico intercepta o eixo x 
em dois pontos.
Duas raízes reais iguais.
O gráfico intercepta o eixo x 
em um ponto.
Não há raízes reais.
O gráfico não intercepta o eixo x.
�4 �2
0
�2
2
3
4
y
x
�4
�6
1
2�
2
x
1 
x
2 x
y y
x
1
 � x
2 x
x
y
Número de raízes reais
No estudo das equações do 2o grau, foi observado que o núme-
ro de raízes reais que essas equações possuem depende do valor do 
discriminante (d 5 b2 2 4ac).
d • . 0: a equaçãopossui duas raízes reais distintas.
d • 5 0: a equação possui duas raízes reais iguais.
d • , 0: a equação não possui raízes reais.
Veja como fica o gráfico de uma função quadrática em cada um 
desses casos. Para ilustrar, considerou-se que as três parábolas têm 
a concavidade para cima. Em parábolas com a concavidade para 
baixo as relações também se aplicam.
Para฀recordar
RAízEs dE umA 
FunçÃo
Todo elemento r do domínio 
de uma função f tal que 
f (r) 5 0 recebe o nome de 
raiz dessa função.
As raízes de uma função 
correspondem aos pontos 
em que seu gráfico 
intercepta o eixo x.
r3r2r1
f
x
r1, r2 e r3 são raízes da função f.
d . 0 d 5 0 d , 0
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202
 Vértice
Foi estudado que o vértice de 
uma parábola é o ponto onde ela 
intercepta o seu eixo de simetria. 
Será discutido agora como obter 
as coordenadas desse vértice.
Considere, por exemplo, a fun-
ção qua drática f(x) 5 x2 2 6x 1 5. 
Suas raízes podem ser determina-
das usando a fórmula de Bhaskara. 
A concavidade da parábola é para 
cima, pois a 5 1. A partir desses 
dados é possível fazer o esboço do 
gráfico ilustrado ao lado.
O ponto V, vértice da parábola, tem coordenadas represen-
tadas por (xV; yV). Como a parábola é simétrica em relação ao eixo, 
pode-se concluir que M é o ponto médio do segmento 
___
 AB . Portanto, 
xV 5 1 1 5 _____ 
2
 , ou seja, xV 5 3.
Basta substituir o valor de xV na lei da função para obter a or-
denada yV ¬ yV 5 f(xV) 5 f(3). Daí, yV 5 32 2 6 ? 3 1 5 5 24.
Logo, o vértice V tem coordenadas (3; 24).
Pode-se, então, obter a abscissa xV do vértice do gráfico da fun-
ção do 2o grau f(x) 5 ax2 1 bx 1 c a partir de suas raízes, x1 e x2, 
usando a relação xV 5 
x1 1 x2 ______ 
2
 .
xV 5 
x1 1 x2 ______ 
2
 5 
 2b 1 d XX d ________ 
2a
 1 2b 2 d XX d ________ 
2a
 
 __________________ 
2
 5 
 2b 1 d XX d 2 b 2 d XX d ________________ 
2a
 
 _________________ 
2
 .
xV 5 22b ____ 
2a
 ? 1 __ 
2
 ¬ xV 5 2 b ___ 
2a
 .
Substituindo o valor de xV na lei da função obtém-se yV:
yV 5 a ? @ 2 b ___ 
2a
 # 2 1 b ? @ 2 b ___ 
2a
 # 1 c 5฀a ? b
2
 ___ 
4a2 2 b
2
 ___ 
2a
 1 c
yV 5 b
2 2 2b2 1 4ac _____________ 
4a
 5 
2(b2 2 4ac)
 __________ 
4a
 ¬ yV 5 2 d 
___ 
4a
 
Observação:
No cálculo feito acima, considerou-se que a função f tinha ra-
ízes reais. É possível, porém, considerar que a abscissa do vérti-
ce da parábola definida por uma função quadrática que não pos-
sua raízes reais também é dada por 2 b ___ 
2a
 . Por exemplo, na função 
f(x) 5 x2 2 6x 1 10, que não tem raízes reais, xV 5 2 26 ___ 
2
 5 3.
As coordenadas do vértice da parábola que é o gráfico da 
função quadrática f, de lei f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, com a i 0, são 
dadas por @ 2 b ___ 
2a
 ; 2 d 
___ 
4a
 # .
Determine as coordenadas 
do vértice da parábola 
que é o gráfico da 
função g, dada por 
g(x) 5 2x2 1 7x 1 6.
Resolução
Observe que a 5 2, b 5 7 e 
c 5 6. Assim,
xV 5 2 b ___ 2a  5 2 7 _____ 2 ? 2 52 7 __ 4 
yV 5 2 
d
 
___ 4a  5 
2(72 2 4 ? 2 ? 6)
 ______________ 4 ? 2 
yV 5 2 1 __ 8 
Logo, as coordenadas do 
vértice são @ 2 7 __ 4 ; 2 1 __ 8 # .
ATIvIdAdE REsoLvIdA
0 1 xv 5
B
y
x
yv
V
MA
eixo de 
simetria
3P_YYM9_LA_C07_194A217.indd 202 18.09.08 14:41:06
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203
Atividades฀para฀casa
x
y
x
y
x
y
�1 0 2
5
9
y
x
y
xO
 6 A função f é dada por f(x) 5 ax2 1 12x 1 3, 
em que a é um número real diferente de zero. 
Sabendo que o gráfico dessa função tem o 
vértice no ponto (2; v), calcule:
a) o valor de a. b) o valor de v.
 7 Em quantos pontos o gráfico da função f, 
dada por f(x) 5 22x2 1 2x 2 3, intercepta o 
eixo das abscissas?
 8 Observe o gráfico ao 
lado, da função po-
linomial do 2o grau 
g(x) 5 ax2 1 bx 1 c. 
Em seguida, copie em 
seu caderno o quadro 
abaixo, completando- 
o adequadamente.
 1 Qual a concavidade das parábolas definidas 
pelas funções seguintes?
a) f(x) 5 24x2 1 4x 1 1 
b) g(x) 5 x
2
 __ 2 1 2x 1 1 
c) h(x) 5 8 2 x2 1 13x 
d) i(x) 5 x(2 2 x) 1 2x(x 1 1) 
 2 Calcule, se existirem, as raízes reais das fun-
ções quadráticas dadas pelas leis expressas 
em cada um dos itens abaixo.
a) f(x) 5 x2 2 7x 1 12 
b) g(x) 5 22x2 2 5x 2 2 
c) h(x) 5 23x2 1 x 2 1 
d) i(x) 5 11x2 1 11x
e) j(x) 5 12x2 1 p
f) k(x) 5 9x2 2 12x 1 4 
 3 Determine as coordenadas do vértice das pa-
rábolas definidas pelas seguintes funções.
a) f(x) 5 x2 1 6x 2 4 
b) g(x) 5 2x2 1 2x 1 4 
c) h(x) 5 2 x2 __ 
2
 2 5x 
d) i(x) 5 3x2 1 7x 1 8
e) j(x) 5 2x2 2 4x 1 2
f) k(x) 5 25x2 1 17
 4 Calcule o valor do número real m de modo 
que o gráfico da função dada pela lei 
f(x) 5 2x2 2 6x 1 m intercepte o eixo das 
abscissas em um único ponto. 
 5 As informações da tabela referem-se ao va-
lor do coeficiente a e do discriminante (d) de 
três funções quadráticas (f, g e h).
Função a D
f 22 5
g 8 0
h 21 26
Identifique em seu caderno, dentre as figuras 
abaixo, os gráficos dessas três funções. 
 I. II. III.
Atividades฀para฀classe
Função g
Sinal do coeficiente a ฀ 
Coordenadas do vértice ฀ 
Sinal do discriminante (d) ฀ 
Raízes reais da função ฀ 
Valor de g(0) ฀ 
Valor de g(4) ฀ 
 9 A função polinomial do 2o grau g é dada pela 
lei g(x) 5 ax2 1 5x 1 c.
a) Sabendo que g(0) 5 22, calcule o valor do 
coeficiente c. 
b) Sabendo que g(3) 5 10, calcule o valor do 
coeficiente a. 
 10 A figura ao lado mostra o 
gráfico da função h, dada 
pela lei h(x) 5 ax2 1 bx 1 c, 
em que a i 0. A partir do 
gráfico, determine o sinal 
em cada caso.
a) Do coeficiente a. 
b) Do discriminante (d). 
 11 Considere uma função quadrática f, cuja lei é 
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.
a) Sabendo que f(0) 5 0, calcule o valor do 
coeficiente c. 
b) O vértice da parábola definida pela fun-
ção f está localizado no ponto (1; 22). Com 
esta informação, determine os valores dos 
coeficientes a e b.
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204
x
y
x
y
x
y
f
g h
f
g h
V1
V3V2
�2 �1
0
y
V
x
�3 321�4
�
49
4
�10
Atividades฀para฀casa
 12 Classifique, de acordo com a concavidade, as 
parábolas definidas pelas funções quadráti-
cas seguintes.
a) f(x) 5 26x2 2 11x 1 12 
b) g(x) 5 x2 1 x __ 2 
c) h(x) 5 22x2 1 x 1 1 
d) i(x) 5 3 1 5x 2 x2 
e) j(x) 5 (6 2 x)2 
 13 Observe os gráficos das funções do 2o grau 
f, g e h. Em seguida, copie a tabela abaixo 
em seu caderno, completando-a de forma 
adequada.
Função
sinal do 
coeficiente a
sinal do 
discriminante (d)
f ฀ ฀ 
g ฀ ฀ 
h ฀ ฀ 
 14 Encontre, se existirem, todas as raízes reais 
das seguintes funções do 2o grau. 
a) f(x) 5 x2 2 9x 1 14 
b) g(x) 5 2x2 2 6x 2 8 
c) h(x) 5 12x2 2 x 2 6 
d) i(x) 5 x
2
 __ 2 1 x 1 3 __ 2 
e) j(x) 5 22x2 2 18x 1 44 
f) k(x) 5 100x2 1 103
 15 Obtenha as coordenadas do vértice das pa-
rábolas que representam os gráficos das se-
guintes funções do 2o grau. 
a) y 5 x2 1 8x 2 1 
b) y 5 22x2 1 12x 
c) y 5 3x2 2 2x 2 1 
d) y 5 11x2 2 44 
e) y 5 2x2 2 8x 1 3
f) y 5 2 x2 __ 
3
 1 2x
g) y 5 5x2 2 7x 1 3
h) y 5 x
2
 __ 2 2 x __ 3 1 1 __ 4 
 16 Seja k um número inteiro positivo. Quais são 
os valores de k para os quais a função qua-
drática g(x) 5 kx2 2 3x 1 1 possui duas raí-
zes reais e distintas?
 17 Determine em seu caderno o número de raí-
zesreais que possui cada uma das funções 
expressas abaixo.
a) y 5 x2 1 3x 1 7
b) y 5 12x2 1 x 2 19
c) y 5 x2 1 0,01
d) y 5 2 009x2 2 2 010x 
 18 Calcule todos os possíveis valores do núme-
ro real m para os quais o gráfico da função 
f(x) 5 x2 2 mx 1 (2m 2 3) intercepta o eixo 
das abscissas em um único ponto.
 19 Observe os gráficos 
das funções do 2o 
grau f, g e h, cujos 
vértices são os pon-
tos V1, V2 e V3, respec-
tivamente. Sabendo 
que f é dada pela lei 
f(x) 5 x2 2 4x 1 4, 
determine e seu ca-
derno as raízes reais 
das três funções. 
 20 Observe, na figura, o gráfico da função qua-
drática g(x) 5 ax2 1 bx 1 c. 
Determine o que é pedido em cada item:
a) As raízes reais de g. 
b) O sinal do coeficiente a. 
c) O sinal do discriminante (d). 
d) As coordenadas de seu vértice V.
e) O valor de g(22). 
f) O valor de g(1). 
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205
Atividades฀para฀casa
0 p 3p
A B
8
y
V
x
O
y
x
 21 O ponto V1 é o vértice da parábola definida 
pela função f(x) 5 2x2 2 6x 2 9 e o ponto V2 
é o vértice da parábola definida pela função 
g(x) 5 x2 1 4.
a) Determine os pontos V1 e V2. 
b) Represente os pontos V1 e V2 no plano car-
tesiano.
 22 Durante a correção de uma tarefa, o pro-
fessor Raimundo desenhou no quadro os 
gráficos das funções f(x) 5 x2 2 x 1 1, 
g(x) 5 2x2 1 x 2 1, h(x) 5 x2 2 3x 1 1 e 
i(x) 5 2x2 1 3x 2 1, mas não representou a 
escala de nenhum deles.
 26 A figura mostra o gráfico 
da função f, dada pela lei 
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c.
A partir do gráfico, determine 
o sinal pedido em cada item:
a) Do coeficiente a. 
b) Do discriminante (d). 
 27 Dado um número real p, diferente de zero, 
considere a função h, dada pela expressão 
h(x) 5 px2 2 4x 1 (p 2 3). Sobre a função h, 
sabe-se que:
Identifique em seu caderno qual gráfico re-
presenta cada função.
 23 Uma função do 2o grau h é dada pela lei 
h(x) 5 6x2 1 bx 1 c, em que b e c são núme-
ros reais. 
a) Se h(0) 5 2, calcule o valor de c.
b) Uma das raízes da função h é 1 __ 2 . Determi-
ne o valor de b.
 24 Na afirmação feita no quadro abaixo, a res-
peito da função f(x) 5 x2 2 10x 1 36, foram 
cometidos três erros. 
Copie-a em seu caderno, corrigindo esses 
erros.
 25 Verifique se são verdadeiras as afirmações 
seguintes, corrigindo no caderno as falsas.
a) Uma parábola com concavidade para cima 
tem o coeficiente a positivo. 
b) O vértice de uma parábola é o ponto onde 
ela cruza o eixo y.
c) A parábola y 5 x2 possui duas raízes reais 
e iguais. 
a) Escreva no seu caderno, em função de p, 
as coordenadas do ponto V. 
b) Calcule em seu caderno o valor de p.
c) Qual é o valor de q? 
 29 Dados dois números reais não-nulos, a e b, 
define-se a função g(x) 5 ax2 1 bx 2 42. 
Sabe-se que o vértice da parábola que re-
presenta o gráfico de g tem abscissa 2, e 
que uma das raízes da função é 23. A par-
tir desses dados, calcule em seu caderno o 
que se pede.
a) A outra raiz da função. 
b) Os valores de a e b. 
O gráfico da função f, que possui duas raízes 
reais, tem concavidade voltada para baixo e 
vértice no ponto (5; 2).
· ela possui duas raízes reais iguais;
· seu gráfico é uma parábola com a conca-
vidade voltada para baixo.
Com essas informações, calcule o valor de p. 
 28 Considere a parábola de vértice V da figura 
abaixo, que intercepta o eixo x nos pontos 
A e B. Esta parábola representa o gráfico 
da função polinomial do 2o grau cuja lei é 
f(x) 5 2px2 1 (7p 1 2)x 1 q, sendo p . 0 
e q , 0.
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206
�1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4 5
4
y
x
3
Construção do gráfico de uma 
função do 2º grau
Até o momento, você viu como construir o gráfico de uma fun-
ção do 2o grau a partir de uma tabela, em que são escolhidos vários 
valores para a variável x e calculados os valores correspondentes da 
variável y.
Nesse processo, torna-se necessário determinar muitos pon-
tos da parábola para conseguir representá-la, o que é trabalhoso 
em algumas situações. Uma maneira mais prática de construir um 
gráfico de uma função de 2o grau é seguindo os passos indicados 
a seguir.
1o) Determinar as coordenadas do vértice V(xV; yV).
2o) Determinar as raízes da função (x1 e x2).
3o) Verificar a concavidade da função.
4o) Encontrar o ponto em que a parábola intercepta o eixo das 
ordenadas.
5o) Marcar os pontos determinados e traçar a parábola por es-
ses pontos.
Exemplo:
Veja como construir o gráfico da função g(x) 5 x2 2 4x 1 3 
seguindo a sequência acima.
d 5 (24)2 2฀4 ? 1 ? 3 5 16 2 12 5 4
1o) xV 5 2 b ___ 
2a
 5 
2(24)
 ______ 
2 ? 1
 5 2
 yV 5 2 d 
___ 
4a
 5 24 ____ 
4 ? 1
 5 21
2o) Como d 5 24 temos:
 x 5 
2(24) 6 d XX 4 
 ___________ 
2 ? 1
 5 4 6 2 _____ 
2
 . Logo, x1 5 1 e x2 5 3.
3o) Como o coeficiente a é positivo (a 5 1), a parábola tem a 
concavidade voltada para cima.
4o) O ponto em que x 5 0 é representado no gráfico pelo 
ponto onde a parábola intercepta o eixo y. Ou seja, numa fun-
ção quadrática y 5 ax2 1 bx 1 c em que x 5 0, o resultado é: 
y 5 a ? 0 1 b ? 0 1 c 5 c.
Assim, com x 5 0, calcula-se: y 5 g(0) 5 02 2 4 ? 0 1 3 5 3.
5o) Marcados os pontos, a parábola é traçada por esses pontos 
determinados.
Desafio
O vértice do gráfico da função 
f(x) 5 (x 1 1)(x 2 1) 1 1 
intercepta o eixo das 
abscissas e das ordenadas 
em quais pontos? Construa o 
gráfico dessa função. 
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207
 Máximo ou mínimo de uma função 
do 2º grau
Dada uma função quadrática f, cujo gráfico apresenta o vértice 
no ponto V(xV ; yV). Essa função, dependendo do valor do coefi-
ciente a da função f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, tem um valor máximo ou 
um valor mínimo. 
Exemplos:
• Observe o gráfico a seguir.
Seja uma função do 2o grau f(x) 5 ax2 1 bx 1 c de vértice no 
ponto V(xV, yV).
Se • f tem a concavidade voltada para baixo, ou seja, a , 0, 
então yV é o valor máximo que f pode assumir, e (xV; yV) é 
o ponto de máximo.
Se • f tem a concavidade voltada para cima, ou seja, a . 0, 
então yV é o valor mínimo assumido por f, e (xV; yV) é 
o ponto de mínimo.
Quais são, respectivamente, 
o valor máximo e o ponto de 
máximo da função y 5 2x2? 
E o valor mínimo e o ponto 
de mínimo da função y 5 x2?
Cálculo฀mental
O gráfico de f tem a concavidade para baixo, pois a , 0.
Note que o maior valor que a função f pode assumir é o da or-
denada yV. Portanto, pode-se dizer que yV é o valor máximo de f. 
Nesse caso, o ponto (xV; yV) é chamado de ponto de máximo 
de f.
• Considere agora o gráfico abaixo.
O gráfico de f tem a concavidade para cima, pois a . 0.
Observe que o menor valor que a função f pode assumir é o da 
ordenada yV. Ou seja, yV é o valor mínimo de f.
Nesse caso, o ponto (xV; yV) é chamado de ponto de mínimo 
de f.
0 xv
y
v
y
x
0 xv
y
v
y
x
TAnGEnCIAndo o 
EIXo X
Pode-se dizer que a parábola 
tangencia o eixo das 
abscissas quando o vértice 
se encontra no eixo x.
Saiba฀mais
3P_YYM9_LA_C07_194A217.indd 207 18.09.08 14:41:08
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208
x0 x2x1
y
� �
�
xx2x1 0
y
� �
�
xx1 � x20
y
� �
x
x
1
 � x
2
y
0
� �
x0
y
� �
�
x0
y
� �
�
 Estudo do sinal de uma função do 2º grau
Estudar o sinal de uma função significa informar todos os va-
loresde x para os quais os valores de y são positivos, negativos ou 
iguais a zero. Para estudar o sinal de uma função do 2o grau, pode-
-se fazer um esboço de seu gráfico, considerando as raízes reais e a 
concavidade da parábola.
Veja as três situações que devem ser consideradas.
A função tem duas raízes reais e distintas • x1 e x2.
A função tem duas raízes reais e iguais • x1 5 x2.
A função não tem raízes reais. •
y 5 0 quando x 5 x1 ou x 5 x2
y . 0 quando x , x1 ou x . x2
y , 0 quando x1 , x , x2
y 5 0 quando x 5 x1 ou x 5 x2
y . 0 quando x1 , x , x2
y , 0 quando x , x1 ou x . x2
y 5 0 quando x 5 x1
y . 0 quando x i x1
y 5 0 quando x 5 x1
y , 0 quando x i x1
y . 0 para todo x i R y , 0 para todo x  R
AnTEnA 
PARABÓLICA 
E InTEGRAçÃo
Com o avanço da tecnologia, 
a comunicação entre as pes-
soas do mundo todo ocorre 
cada vez mais rapidamente. 
A antena parabólica, assim 
chamada por ter a forma 
de uma parábola, tem papel 
fundamental nessa história.
Sua instalação possibilita que 
habitantes das regiões mais 
longínquas, como os que 
vivem perto da fronteira do 
Brasil e Peru, tenham acesso 
ao rádio, à TV e à internet, 
podendo obter informações, 
usar serviços disponíveis 
nessa rede e comunicar-se 
por e-mail com pessoas do 
mundo todo.
Indique alguns � sites da 
internet que podem 
facilitar a comunicação 
entre as pessoas.
Diga um cuidado a ser �
tomado ao divulgar dados 
ou imagens pessoais em 
sites de relacionamento.
A instalação de antenas �
parabólicas em todo o país 
pode ajudar a integrar as 
pessoas à vida social e 
política do país? 
De que modo?
Estudar o sinal da função representada pelo gráfico ao lado.
Resolução
Note que a parábola não intercepta o eixo x. Logo, a função 
não tem raízes reais. Como a concavidade da parábola é vol-
tada para baixo, podemos concluir que y , 0 para todo x Ñ R.
ATIvIdAdE REsoLvIdA
�2 �1�3 0
�1
1
1
2 3
y
x
�2
�3
�4
Antena parabólica receptora de 
sinal de satélite.
4P_YYM9_LA_C07_194A217.indd 208 26.09.08 10:21:45
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209
Atividades฀para฀casa
�2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4
y
x
�2
�3
�1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4 5
4
y
x
5
�2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
y
x
�2�3 �1 0
�1
1
1
2 3
y
x
�2
�3
�4
�5
0
�1
1
1
2
2
3
3
4
4
y
x �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4
4
y
x
�4
y
x
5
y
x0
0 5
y
x
 1 Construa em seu caderno o gráfico das fun-
ções quadráticas abaixo.
a) f(x) 5 x2 2 4x 
b) g(x) 5 22x2 2 8x 2 6
c) h(x) 5 x2 1 2x
d) i(x) 5 2x2 1 5x 1 3
e) j(x) 5 2x2 1 3x 1 2
 2 Observe os gráficos das funções quadráticas 
e escreva em seu caderno o valor máximo ou 
mínimo e o ponto de máximo ou de mínimo 
de cada uma delas.
a) d) 
 4 Estude o sinal das funções representadas 
pelos gráficos a seguir.
a) c)
Atividades฀para฀classe
b) e) 
c) f) 
 3 Determine o valor máximo ou mínimo e o 
ponto de máximo ou de mínimo das funções 
quadráticas a seguir.
a) y 5 x2 1 8x 1 10
b) y 5 2x2 2 5x 2 3
c) y 5 x2
d) y 5 3x2 2 11x
e) y 5 2x2 1 4x 1 9
f) y 5 23x2 1 3x 2 5 
g) y 5 26x2 
h) y 5 2x2 1 8 
b) d)
 5 Considere duas funções f e g, dadas pelas 
leis f(x) 5 x2 2 2x e g(x) 5 2x 1 2.
a) Determine os graus das duas funções. 
b) Construa, no mesmo plano cartesiano, os 
gráficos das duas funções.
c) Quais as coordenadas dos pontos em que 
os dois gráficos se cruzam? 
d) Como você poderia encontrar esses pon-
tos sem representar os dois gráficos?
 6 Calcule o valor do número real m de modo 
que o valor máximo da função g dada por 
g(x) 5 22x2 1 12x 1 m seja igual a 21.
 7 Raquel pensou em dois números reais cuja 
soma é 12, e pediu à Rita que descobrisse qual 
era o produto dos dois números. Rita disse 
que havia muitas possibilidades, e escreveu 
algumas delas em uma tabela como a abaixo.
1o número 3 4 7 21 0,5 x
2o número 9 ฀ ฀ ฀ ฀ ฀
Produto 27 ฀ ฀ ฀ ฀ ฀
a) Copie a tabela em seu caderno, comple-
tando-a adequadamente.
b) Usando a última coluna da tabela, escreva a 
lei da função do 2o grau P(x) que representa 
o produto dos dois números em função de x.
c) Sabendo que o produto tinha de ser o má-
ximo possível, encontre o ponto de máxi-
mo e o valor máximo da função P(x). 
d) Qual é o produto desses números e quais são 
os números que Rita deveria descobrir?
0 1
y
x
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210
�3 �2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4
5
y
x
�1
0
�1
1
1
2
2
3 4 5
y
x
�2
�3
�4
�2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4
4
5
y
x
2324 22 21 0 1
1
2
y
x
22
23
24
25
21
�3 �2 �1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4
y
x
�2
�1 0
�1
1
1
2
2
3
3
4 5
4
y
x
�2
0
1
y
x�6
0 2
y
x
Atividades฀para฀casa
 8 Construa em seu caderno o gráfico das fun-
ções quadráticas a seguir.
a) f(x) 5 x2 2 4
b) g(x) 5 2x2 2 6x 2 5
c) h(x) 5 2x2 1 4x 1 2
d) i(x) 5 2x2 2 x 2 1
e) j(x) 5 2x2 1 2x 1 4
f) k(x) 5 24x2 1฀12x 29
g) l(x) 5 2 x2 __ 
2
 1 2
h) m(x) 5 x2 2 6x 1 8
i) n(x) 5 22x2 2 4x 2 4
j) o(x) 5 x2 2 6x 1 9
 9 Observe os gráficos das funções quadráticas 
e escreva em seu caderno o valor máximo ou 
mínimo e o ponto de máximo ou de mínimo 
de cada uma delas. 
a) d)
 11 Estude o sinal das funções quadráticas cujos 
esboços dos gráficos são dados a seguir.
a) b) 
b) e)
c) f)
 10 A função do 2o grau f(x) 5 x2 1 5x 1 7 
admite valor máximo ou valor mínimo? Jus-
tifique a resposta em seu caderno.
 12 Determine a concavidade, as raízes reais, as 
coordenadas do vértice e o ponto em que 
a parábola intercepta o eixo y das funções 
quadráticas a seguir. Em seguida, faça em 
seu caderno o esboço do gráfico.
a) y 5 x2 2 8x 1 7
b) y 5 22x2 1 5x 2 2
c) y 5 x
2
 __ 3 2 3
d) y 5 2 x
2
 __ 2 
e) y 5 2x2 1 6x 2 10
f) y 5 x2 2 3x 1 2
g) y 5 2x2 1 x 1 2
h) y 5 2x2 1 3
 13 Dadas as funções quadráticas a seguir, de-
termine em seu caderno o valor máximo ou 
mínimo e o ponto de máximo ou de mínimo 
de cada uma delas.
a) y 5 3x2 2 12x 1 1
b) y 5 x2 1 x 1 8
c) y 5 2x2 1 3p
d) y 5 7x2 2 8x 1 3
e) y 5 22x2 2 20x 1 13
f) y 5 2 x
2
 __ 2 1 x __ 3 1 17 ___ 18 
g) y 5 2x2 1 2 d XX 7 x 2 5
h) y 5 0,1x2 2 0,2x 1 1
 14 Considere duas funções quadráticas f e g da-
das pelas leis a seguir.
  f(x) 5 2x2 1 11x 2 24 g(x) 5 x2 2 4x 1 3
a) Construa, no mesmo plano cartesiano, os 
gráficos das duas funções.
b) Em quantos pontos os gráficos das duas 
funções se interceptam? 
c) Determine as coordenadas dos pontos em 
que os dois gráficos se interceptam.
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211
Atividades฀para฀casa
�2 �1�4 �3 0
�1
1
1
2
2
3
3
4
y
x
�2
�3
0 2
3
y
x
 15 Estude o sinal de cada uma das funções 
quadráticas a seguir.
a) y 5 x2 2 5x 1 6 
b) y 5 2x2 1 x 2 9 
c) y 5 x
2
 __ 3 2 x 1 2
d) y 5 2x2
e) y 5 2x2 1 4x 1 10
f) y 5 5x2 2 51x 1 10
g) y 5 49x2 2 56x 1 16 
h) y 5 2 x
2
 __ 2 2 3x 2 4
 16 Determine em seu caderno o valor do coe-
ficiente numérico m de modo que a função 
quadrática f(x) 5 2x2 2 mx 1 7 tenha um 
valor mínimo igual a 2 35 ___ 2 . 
 17 Qual é o valor real de k para que a função 
g(x) 5 2x2 1฀2 d XX 6 x 1 k tenha um valor máxi-
mo igual a 4? 
 18 Observe o gráfico de uma função f.
A partir do gráfico, determine em seu cader-
no o que se pede em cada item.
a) Os valores de f(3) e f(4). 
b) Os valores de f(23) e f(24). 
c) Todas as raízes reais de f. 
d) O ponto de máximo e o valor máximo da 
função f.
e) O ponto de mínimo e o valor mínimo da 
funçãof.
f) O intervalo no qual a função é crescente.
 19 Identifique quais afirmações são corretas e 
corrija as falsas em seu caderno.
a) A concavidade de uma função quadrática 
é para cima quando a , 0.
b) Uma função quadrática tem valor máximo 
quando a , 0. 
c) O vértice de uma função quadrática não 
intercepta o eixo das abscissas quando 
tem apenas uma raiz real.
d) Uma função quadrática com concavidade 
para baixo tem valor máximo. 
 20 O gráfico da função f foi obtido unindo parte 
do gráfico da função y 5 2x2 1 7, represen-
tado pela linha azul, e parte do gráfico da 
função y 5 x2 2 8x 1 15, representado pela 
linha verde.
a) Determine em seu caderno todas as raízes 
reais da função f. 
b) Estude o sinal da função f.
 21 Considere uma função f, de modo que 
f(x) 5 ax2 1 bx 1 c, em que o coeficiente a é 
negativo. Sabendo que o valor máximo des-
sa função é 15, determine em seu caderno o 
sinal do discriminante (d) dessa função.
 22 Carol pretende cercar uma região retangular 
no sítio da família para deixar o cachorro Totó. 
Como ela só dispõe de 24 metros de tela, de-
cidiu aproveitar a parede externa de um gal-
pão. As dimensões do cercado, em metros, 
são x e z, e estão indicadas na figura abaixo.
a) Escreva em seu caderno uma lei que re-
presente z em função de x. 
b) Calcule em seu caderno a área do cercado 
em função de x. 
c) Qual deve ser o valor de x para que a área 
do cercado de Totó seja a maior possível? 
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212
Resolução฀de฀problemas
O cinema de Paraíso
Caracterização do problema
Acaba de ser inaugurado o primeiro cinema da pequena cidade de Paraíso. Além de trazer 
toda a magia das telas para a cidade, o novo cinema trouxe também uma grande dúvida ao 
sr. Pepe, o proprietário. Como não existe concorrência em Paraíso, o senhor Pepe não sabe 
quanto a população da cidade estaria disposta a pagar pela entrada. 
Por um lado, ele sabe que, com um preço muito alto, poucas pessoas comprariam ingresso, o que 
faria com que a receita (ou arrecadação) fosse baixa. Por outro lado, um preço muito baixo atrairia 
muitos clientes e lotaria a sala, mas acabaria gerando pouca receita. Qual seria, então, o valor ideal?
Depois de analisar a situação, o senhor Pepe decidiu que para cada final de semana ele 
estabeleceria um preço diferente para o ingresso. Fez isso durante seis finais de semana, e 
registrou quantas pessoas compraram ingresso em cada vez. A ideia dele era ir tentando até 
acertar o valor que resultasse na maior receita possível. 
Representação do problema
Para organizar melhor as ideias, o senhor Pepe montou uma tabela e dois gráficos com os 
dados que obteve nos seis finais de semana.
 a Sabendo que a receita obtida pelo sr. Pepe pode ser calculada multiplicando-se o preço 
do ingresso pelo número de pessoas que compraram ingresso no período considerado, 
ou seja, R 5 x · y, copie a tabela em seu caderno e complete-a adequadamente.
20
0 2
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
4 6 8 10 12 14 16 18 20
Preço do ingresso x (RS||)
Número de pessoas y
semana
Preço do ingresso, 
em reais (x)
número de pessoas que 
compraram ingresso (y)
Receita obtida,
em reais (R)
1 5,00 280 ฀
2 8,00 230 ฀ 
3 10,00 200 ฀ 
4 12,00 168 ฀ 
5 15,00 115 ฀ 
6 18,00 75 ฀ 
 b Na figura abaixo, observam-se pontos marcados no plano cartesiano em que o número 
de pessoas (y) está em função do preço do ingresso (x). Em seu caderno, usando os da-
dos da tabela, faça um esquema semelhante para a receita (R) em função do preço do 
ingresso (x).
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213
Resolução de problema
 a A partir do gráfico da receita em função do preço que você construiu, qual é o preço do 
ingresso que resultaria na maior receita possível? Qual é a receita nesse caso?
O senhor Pepe gostou do resultado da pesquisa, 
mas não ficou totalmente satisfeito. Afinal, ele fez ten-
tativas com apenas seis preços de ingressos. Não seria 
possível existir outro preço, não testado por ele, que lhe 
fornecesse uma receita maior?
Por outro lado, ele não poderia ficar testando preços 
diferentes indefinidamente, pois o público começaria a re-
clamar da variação semanal do preço. Será que ele não 
conseguiria ter certeza do preço ideal usando somente os 
dados de que já dispunha?
No gráfico ao lado, os seis pontos obtidos anteriormen-
te foram unidos por meio de uma reta. Veja como obter a lei 
da função do 1o grau y 5 ax 1 b cujo gráfico é essa reta.
x 5 10 ¬ y 5 200. Portanto, 10a 1 b 5 200. (I)
x 5 5 ¬ y 5 280. Logo, 5a 1 b 5 280. (II)
Fazendo (I) 2 (II), obtém-se 5a 5 280, ou seja,
a 5 216. Substituindo em (I), resulta em b 5 360.
Portanto, o número y de pessoas que compram ingresso é dado em função do preço x 
do ingresso por:
y 5 216x 1 360
 b Lembrando que R 5 x · y, obtenha uma lei que represente R em função de x.
A lei que você obteve representa uma função do 2o grau cujo gráfico tem a concavidade para 
baixo. Por isso, ela tem um ponto de máximo. 
Nesse ponto, o preço do ingresso faz com que o senhor Pepe obtenha a maior receita possí-
vel. Chamando o valor do ingresso nesse ponto de xV, pode-se calcular:
xV 5 2  
b
 
___ 2a   5 2360 ________ 2 ? (216) , ou seja, xV 5 11,25.
Determine em seu caderno o número de pessoas que comprariam o ingresso a RS|| 11,25 
e a receita máxima do senhor Pepe.
Comunicação de resultados
Desenhe o gráfico da receita R em função de x de acordo com o modelo desenvolvido acima, 
para explicar por que o preço ideal do ingresso é RS|| 11,25.
20
0 2
40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
4 6 8 10 12 14 16 18 20 x
 y
Um ano depois da abertura do cinema em Paraíso, o senhor Pepe percebeu que a 
cidade estava prosperando, e que talvez as pessoas estivessem dispostas a pagar mais 
pela entrada, o que aumentaria sua receita. 
Então, ele fez uma nova pesquisa variando o preço do ingresso, e registrou os dados 
na tabela abaixo. 
Preço do ingresso (x) 8,00 10,00 13,00 15,00 18,00
número de pessoas que compraram ingresso (y) 255 225 180 150 105
Calcule, para a nova situação, o preço ideal do ingresso, que produza a maior receita 
possível. Nesse caso, qual é a receita máxima? 
FAçA voCê
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214
Matemática฀e฀tecnologia
Antenas parabólicas 
As antenas parabólicas, como a da foto ao lado, 
podem ser vistas no alto de muitos edifícios, em cida-
des onde não há antena retransmissora ou em locais 
afastados como fazendas ou sítios. Elas são usadas para 
receber o sinal transmitido via satélite pelas redes de 
televisão. É interessante ver como o nome “parabólica” 
está ligado às parábolas estudadas neste capítulo.
Além dos elementos das parábolas (eixo de sime-
tria, vértice, concavidade) já estudados, existe um 
ponto, denominado foco da parábola, que possui 
uma propriedade bem interessante.
Em um espelho construído com a forma de uma 
parábola de foco F, todo raio de luz que incidir para-
lelamente ao eixo de simetria da parábola será refle-
tido numa trajetória que passa pelo foco da parábola, 
como mostra a figura abaixo.
Observando as duas figuras anteriores, é possível 
perceber semelhanças entre as formas da antena e da 
parábola. A superfície da antena é uma forma geo-
métrica conhecida como paraboloide de revolução. 
Pode-se entender um paraboloide como um conjunto 
de várias parábolasunidas. Assim como a parábola, 
o paraboloide também tem um foco, com a mesma 
propriedade mostrada acima.
É a propriedade do foco que explica a utilização 
dos paraboloides como antenas. Cada sinal de tele-
visão, ao chegar paralelamente ao eixo de simetria 
da superfície da antena, é refletido em direção a um 
único ponto, o foco. Assim, basta colocar o receptor 
sobre o foco do paraboloide e apontar o eixo de simetria para 
o satélite, e o receptor captará o sinal com grande intensidade, 
propiciando a transmissão de uma imagem bem nítida na tele-
visão. Na primeira figura o receptor da antena é um pequeno 
dispositivo de aço. 
Outra aplicação dos paraboloides está na construção dos refle-
tores dos faróis dos automóveis. A luz emitida pelos faróis de um 
carro é focalizada num feixe bem estreito, para que não se dissipe, 
de forma que o trajeto à frente do veículo fique bem iluminado.
Considere a parábola que é gráfico da função quadrática y 5 ax2, em que a . 0. O 
eixo de simetria dessa parábola é o eixo y, e o foco dessa parábola pertence ao eixo de 
simetria e tem abscissa igual a a __ 4 . Com base nessa informação, faça o que se pede.
 a Determine as coordenadas do foco da parábola definida por y 5 x2. 
 b Desenhe essa parábola, representando também o seu foco F.
 c Desenhe seis raios de luz chegando a essa parábola, todos paralelos ao eixo de sime-
tria, e indique a trajetória dos raios refletidos pela parábola.
FAçA voCê
Antena parabólica. O receptor de sinais é o 
pequeno dispositivo central de aço.
Esquema de incidência de feixe de luz paralelo 
ao eixo de simetria em espelho de formato 
parabólico.
Paraboloide de revolução.
F
eixo de simetria
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Lendo฀Matemática
215
Antes de ler
Dê um palpite sobre a altura máxima que um saque de �
voleibol pode alcançar.
De que forma você relaciona o termo “Jornada nas Estre- �
las” ao voleibol? 
Jornada nas Estrelas
Um rumor diferente toma conta das arqui-
bancadas. Apesar de a multidão espalhar-se 
por todos os lados, lotando o ginásio de cima 
a baixo, todos se concentram a olhar para uma 
única direção. Lá embaixo, na quadra, um 
jogador se dirige para a linha de fundo. […] 
O jogador prepara a bola. Os expectadores 
ficam com a respiração suspensa. […] Bernard 
joga a bola com suavidade para cima. Impul-
sionando o braço direito, flexiona o corpo e 
salta com velocidade e força. Todos ouvem o 
som do impacto que a jogada causa. A bola 
sobe, rumo às estrelas. Um pouco dos sonhos 
de cada pessoa parece ir junto.
A magia do esporte, mais uma vez, se rea-
liza no palco desportivo. […]
O saque Jornada nas Estrelas, como o pró-
prio nome diz, proporcionou ao voleibol bra-
sileiro uma viagem fantástica. De uma modali-
dade esportiva que até então competia com as 
demais em pé de igualdade, passou a ocupar o 
segundo posto no ranking brasileiro dos espor-
tes, logo depois do futebol.
A jogada extraordinária não consistia ape-
nas em dar um saque “alto”. Sua ideia genial 
era lançar a bola para uma altura infinita, com 
força e efeito, para dificultar ao máximo a recepção adversária. […] A multidão de espectadores 
ia a loucura. A bola subia a uma altura de 25 metros e, depois de fazer sua jornada para além 
dos holofotes, descia a uma velocidade de 72 km/h.
A partir de então, Bernard passaria a introduzir esta jogada com um êxito cada vez maior nas 
competições esportivas, aperfeiçoando o saque de modo a torná-lo quase imbatível.
O Jornada nas Estrelas fez incalculável sucesso. Conquistou o coração dos torcedores e aju-
dou a popularizar em definitivo o voleibol no Brasil.
Disponível em: . Acesso em: 18 dez. 2007.
De olho no texto
 1 De acordo com o texto, qual a altura máxima atingida pela bola quando Bernard rea-
lizava o saque “Jornada nas Estrelas”? Esta altura equivale, aproximadamente, a um 
prédio de quantos andares? 
 2 A trajetória descrita pela bola durante o saque “Jornada nas Estrelas” é uma curva. 
Qual o nome dessa curva? 
Bernard e o saque famoso.
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216
0
y
x
�2 �1�3 0
�1
1
1
2
2
3
3
y
x
�2
�3
0 5
y
x
V
0
V
�4
y
x
 1 Calcule, mentalmente, o valor da abscis-
sa do vértice das parábolas definidas pe-
las funções do 2o grau seguintes:
a) y 5 x2 1 4x 1 9 
b) y 5 5x2 2 20x 1 2 
c) y 5 2x2 1 7x 
d) y 5 22x2 2 4x 1 3
e) y 5 23x2 1 6x 1 10 
 2 Observe as leis das funções dadas abai-
xo. Em seguida, responda às perguntas 
de cada item referentes a essas leis.
y 5 2x 2 3 y 5 x2 2 6x 1 5
y 5 x
2 2 4x
 
_______ 
x2 1 1
 y 5 d XX 3 
a) Qual a lei da função polinomial do 
2o grau, tal que a imagem do elemento 
x 5 3 por esta função é igual a 24?
b) Qual função é constante?
c) Qual a lei da função polinomial do 
1o grau cuja única raiz real é 3 __ 2 ?
d) Qual função não é polinomial?
 3 Uma função quadrática h é dada pela lei 
h(x) 5 22x2 1 7x 2 6.
a) Qual a concavidade da parábola que é 
o gráfico de h?
b) Quais são as coordenadas do vértice 
dessa parábola? 
c) Determine as coordenadas do ponto 
onde o gráfico de h cruza o eixo y.
d) Determine as coordenadas dos pontos 
onde o gráfico da função intercepta o 
eixo das abscissas.
 4 Determine o sinal do coeficiente a e as 
raízes reais das funções do 2o grau cujos 
gráficos são dados abaixo.
a) b)
 5 Em quantos pontos o gráfico da função 
dada por y 5 6x2 1 24x 1 24 intercepta 
o eixo das abscissas? 
�2 �1�3
0
�1
1
1
2
2
3
3
4 5 6 7
4
5
6
7
8
y
x
�2
�2 �1�3 0
�1
1
1
2
2
3
3
y
x
�2
�3
�2 �1�3 0
�1
1
1
2
2
3
3
y
x
�2
�3
�2 �1�3 0
�1
1
1
2
2
3
3
y
x
�2
�3
 6 O gráfico da função quadrática f está 
desenhado na figura abaixo, junto com 
outras curvas.
a) Qual é a cor usada para desenhar o 
gráfico de f?
b) Quais são as coordenadas do vértice 
da parábola definida por f?
c) Quais são as raízes reais dessa função? 
 7 A figura mostra os gráficos das funções 
f(x) 5 ax 1 b e g(x) 5 cx2 1 dx 1 e. De-
termine o sinal do 
que é descrito em 
cada item a seguir.
a) Coeficiente a. 
b) Coeficiente c. 
c) Expressão 
d2 2 4ce.
d) Coeficiente b.
e) Coeficiente e. 
 8 Escreva o conjunto imagem das funções 
cujos gráficos são dados abaixo.
a) c) 
b) d) 
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xx
x
4x
6
F
CD G
BA
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Chegamos ao final deste capítulo. É importante, neste momento, avaliar como foi sua �
assimilação de tudo o que aprendeu até agora.
Reflita sobre seu desempenho nesta matéria e responda às questões a seguir. �
a) Você leu com atenção os textos dos capítulos, buscando compreender o que estava 
sendo explicado?
b) Prestou atenção nas aulas e participou?
c) Realizou todas as tarefas propostas pelo professor?
d) Corrigiu os exercícios que havia errado? Anotou suas dúvidas? Esclareceu-as?
Levando em conta suas respostas, trace um plano para rever o que for necessário deste �
capítulo e também para melhorar seus procedimentos para o estudo no próximo capítulo.
Autoavaliação
 9 Considere as funções polinomiais f e g, da-
das, respectivamente, por f(x) 5 2x2 1 4 
e g(x) 5 2 x __ 2 1 5 __ 2 . 
a) Qual é o grau de cada função?
b) Desenhe, no mesmo plano cartesiano, 
os gráficos das duas funções.
c) Determine as coordenadas dos pontos 
onde os gráficos dessas funções se in-
terceptam.
 10 Na figura ao lado estárepresentado um triân-
gulo equilátero cujos la-
dos medem x cm, com 
x . 0.
a) Calcule o períme-
tro e a área desse 
triân gulo para x 5 2. 
b) Seja f a função que representa o perí-
metro desse triângulo, em cm, em fun-
ção de x. Obtenha a lei de f. 
c) Seja g a função que representa a área 
desse triângulo, em cm2, em função de 
x. Obtenha a lei de g. 
d) Desenhe, no mesmo plano cartesiano, 
os gráficos das duas funções (lembre 
que os valores de x devem ser maiores 
que zero).
e) Para qual valor de x o perímetro do 
triângulo, em cm, é igual à sua área, 
em cm2?
 11 Construa o gráfico das funções abaixo, 
indicando a concavidade, as coordena-
das do vértice e do intercepto, e as raízes 
reais, se existirem.
a) f(x) 5 23x2 2 12x 2 9 
b) g(x) 5 2x2 1 2x 2 1
c) h(x) 5 x2 2 x 1 1
 12 Nas funções a seguir, obtenha o ponto de 
mínimo e o valor mínimo ou o ponto 
de máximo e o valor máximo. 
a) y 5 x2 1 8x 1 10 
b) y 5 2x2 1 6x 2 3 
c) y 5 x2 2 3x
d) y 5 22x2 2 7
 13 Na figura, estão representados um re-
tângulo ABCD de lados medindo 6 cm 
e 4x cm, e um quadrado DEFG, de lados 
medindo 3x cm, com 0 , x , 2.
a) Determine as leis das funções que re-
presentam as áreas do retângulo e do 
quadrado ilustrados. 
b) Determine a lei da função f, que repre-
senta a área do polígono ABCGFE em 
função de x. 
c) Para qual valor de x a função f atinge o 
valor máximo? 
d) Qual é o maior valor que a área do po-
lígono ABCGFE pode ter? 
 14 Estude o sinal das funções do 2o grau de 
cada item abaixo.
a) y 5 x2 2 9x 1 20
b) y 5 2x2 1 8x
c) y 5 2x2 1 4x 1 2 
d) y 5 24x2
e) y 5 x2 1 2x 1 6
f) y 5 2x2 2 12
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