Vamos calcular os limites passo a passo: (a) \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 + 4x^2 - 5x}{x^2 + x - 2}\) Primeiro, substituímos \(x=1\): Numerador: \(1^3 + 4 \cdot 1^2 - 5 \cdot 1 = 1 + 4 - 5 = 0\) Denominador: \(1^2 + 1 - 2 = 1 + 1 - 2 = 0\) Forma indeterminada \(0/0\), então fatoramos: Numerador: \(x^3 + 4x^2 - 5x = x(x^2 + 4x - 5) = x(x+5)(x-1)\) Denominador: \(x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)\) Cancelamos \((x-1)\): \[ \lim_{x \to 1} \frac{x(x+5)(x-1)}{(x+2)(x-1)} = \lim_{x \to 1} \frac{x(x+5)}{x+2} \] Substituindo \(x=1\): \[ \frac{1 \cdot (1+5)}{1+2} = \frac{6}{3} = 2 \] --- (b) \(\lim_{x \to 5} \frac{x - 5}{\sqrt{x} - \sqrt{5}}\) Substituindo \(x=5\): Numerador: \(5 - 5 = 0\) Denominador: \(\sqrt{5} - \sqrt{5} = 0\) Indeterminação \(0/0\). Racionalizamos o denominador: \[ \frac{x - 5}{\sqrt{x} - \sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{x} + \sqrt{5}}{\sqrt{x} + \sqrt{5}} = \frac{(x - 5)(\sqrt{x} + \sqrt{5})}{x - 5} \] Cancelamos \(x - 5\) (desde que \(x \neq 5\)): \[ \lim_{x \to 5} \sqrt{x} + \sqrt{5} = \sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \] --- (c) \(\lim_{x \to 1} \frac{(4x - 1) \sin(x - 1)}{x^3 + x^2 - 2x}\) Substituindo \(x=1\): Numerador: \((4 \cdot 1 - 1) \sin(1 - 1) = 3 \cdot 0 = 0\) Denominador: \(1 + 1 - 2 = 0\) Indeterminação \(0/0\). Fatoramos o denominador: \[ x^3 + x^2 - 2x = x(x^2 + x - 2) = x(x+2)(x-1) \] Para \(x \to 1\), aproximamos \(\sin(x-1) \approx x-1\) (limite fundamental do seno). Então: \[ \frac{(4x - 1) \sin(x - 1)}{x(x+2)(x-1)} \approx \frac{(4x - 1)(x - 1)}{x(x+2)(x-1)} = \frac{4x - 1}{x(x+2)} \] Substituindo \(x=1\): \[ \frac{4 \cdot 1 - 1}{1 \cdot (1+2)} = \frac{3}{3} = 1 \] --- Respostas finais: (a) 2 (b) \(2\sqrt{5}\) (c) 1