Utilize o Teorema do Valor Intermediário para provar que a função f(x) = x³ − 4x + 2 admite 3 raízes reais e distintas.

Claro! Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI) para mostrar que a função \( f(x) = x^3 - 4x + 2 \) tem 3 raízes reais e distintas. Passo 1: Entenda a função \( f(x) = x^3 - 4x + 2 \) é um polinômio cúbico, contínuo e derivável em todo \(\mathbb{R}\). Passo 2: Encontre pontos onde a função muda de sinal Para aplicar o TVI, precisamos encontrar intervalos onde \( f(x) \) muda de sinal, indicando a existência de pelo menos uma raiz. Calcule \( f \) em alguns pontos: - \( f(-3) = (-3)^3 - 4(-3) + 2 = -27 + 12 + 2 = -13 \) (negativo) - \( f(-1) = (-1)^3 - 4(-1) + 2 = -1 + 4 + 2 = 5 \) (positivo) - \( f(0) = 0 - 0 + 2 = 2 \) (positivo) - \( f(2) = 8 - 8 + 2 = 2 \) (positivo) - \( f(3) = 27 - 12 + 2 = 17 \) (positivo) Até aqui, só encontramos mudança de sinal entre \(-3\) e \(-1\). Vamos tentar outros pontos para encontrar mais mudanças de sinal: - \( f(-2) = (-2)^3 - 4(-2) + 2 = -8 + 8 + 2 = 2 \) (positivo) - \( f(1) = 1 - 4 + 2 = -1 \) (negativo) Agora temos: - Entre \(-2\) (positivo) e \(-1\) (positivo) — sem mudança de sinal. - Entre \(-1\) (positivo) e \(1\) (negativo) — mudança de sinal! - Entre \(1\) (negativo) e \(2\) (positivo) — mudança de sinal! Passo 3: Identifique os intervalos com mudança de sinal - Entre \(-3\) (negativo) e \(-2\) (positivo): mudança de sinal → 1 raiz - Entre \(-1\) (positivo) e \(1\) (negativo): mudança de sinal → 1 raiz - Entre \(1\) (negativo) e \(2\) (positivo): mudança de sinal → 1 raiz Passo 4: Conclusão pelo Teorema do Valor Intermediário Como \( f \) é contínua, em cada intervalo onde há mudança de sinal, existe pelo menos uma raiz. Portanto, \( f \) tem pelo menos 3 raízes reais. Passo 5: Verificar se as raízes são distintas Como \( f \) é um polinômio cúbico e encontramos 3 intervalos distintos com raízes, as raízes são reais e distintas. --- Resumo: Pelo TVI, \( f(x) = x^3 - 4x + 2 \) tem 3 raízes reais e distintas, pois a função muda de sinal em três intervalos diferentes: \([-3, -2]\), \([-1, 1]\) e \([1, 2]\).