LISTA 3 - Limites

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<p>Universidade de São Paulo</p><p>Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”</p><p>Departamento de Ciências Exatas</p><p>LCE 0120 - Cálculo I</p><p>Profª. Cristiane Mariana Rodrigues da Silva</p><p>Monitor: Felipe Leiber Coelho Pimentel</p><p>Exercícios de Revisão – LISTA 3</p><p>Exercícios extraídos dos livros: O Cálculo com Geometria Analítica – volume 1 – 3°</p><p>edição: (Leithold, Louis, 1994); Cálculo 1 – volume 1 – 5°edição: (Guidorizzi, L. H.,</p><p>2001); Calculus one-Variable Calculus, with an Introduction to Linear Algebra –</p><p>volume 1 – second edition: (Apostol, Tom M, 1967)</p><p>1. Calcule os limites, se existir:</p><p>a. lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥3 − 3 b. lim</p><p>𝑥→2</p><p>√𝑥4 − 8 c. lim</p><p>𝑥→2</p><p>√</p><p>𝑥3 + 2𝑥 + 3</p><p>𝑥2 + 5</p><p>d. lim</p><p>𝑥→−3</p><p>𝑥2− 9</p><p>𝑥+3</p><p>e. lim</p><p>𝑥→1</p><p>3⁄</p><p>3𝑥2 − 𝑥</p><p>3𝑥 − 1</p><p>f. lim</p><p>𝑥→3</p><p>𝑥3 − 27</p><p>𝑥 − 3</p><p>g. lim</p><p>𝑥→0</p><p>√𝑥 + 3 − √3</p><p>𝑥</p><p>h. lim</p><p>𝑥→3</p><p>2⁄</p><p>√</p><p>8𝑥3 − 27</p><p>4𝑥2 − 9</p><p>i. lim</p><p>𝑥→3</p><p>2𝑥3 − 5𝑥2 − 2𝑥 − 3</p><p>4𝑥3 − 13𝑥2 + 4𝑥 − 3</p><p>j. lim</p><p>𝑥→−3</p><p>√</p><p>𝑥2 − 9</p><p>2𝑥2 + 7𝑥 + 3</p><p>k. lim</p><p>𝑥→5</p><p>𝑥</p><p>√5+𝑥 − √5</p><p>l. lim</p><p>𝑥→0</p><p>√3+3𝑥 − √3</p><p>𝑥</p><p>m. lim</p><p>𝑥→2</p><p>𝑥4 − 16</p><p>𝑥 − 2</p><p>n. lim</p><p>𝑥→1</p><p>𝑥 − 1</p><p>𝑥2 − 1</p><p>o. lim</p><p>𝑥→3</p><p>√𝑥 − √3</p><p>𝑥 − 3</p><p>p. lim</p><p>𝑥→−1</p><p>√</p><p>𝑥3 + 1</p><p>𝑥 + 1</p><p>3</p><p>q. lim</p><p>𝑥→1</p><p>√𝑥2 + 3 − 2</p><p>𝑥2 − 1</p><p>r. lim</p><p>𝑥→10</p><p>log 𝑥 − ln 𝑥</p><p>s. lim</p><p>𝑥→𝑎</p><p>√𝑥</p><p>3</p><p>− √𝑎</p><p>3</p><p>𝑥 − 𝑎</p><p>, 𝑎 ≠ 0 t. lim</p><p>𝑥→1</p><p>√𝑥23</p><p>− 2 √𝑥</p><p>3</p><p>+ 1</p><p>(𝑥 − 1)2</p><p>2. O gráfico a seguir representa uma função 𝒇 de [𝟔, 𝟗] em ℝ. Determine:</p><p>a. 𝑓(2) b. lim</p><p>𝑥→2−</p><p>𝑓(𝑥) c. lim</p><p>𝑥→2+</p><p>𝑓(𝑥)</p><p>d. lim</p><p>𝑥→2</p><p>𝑓(𝑥) e. 𝑓(−2) f. 𝑓(7)</p><p>3. Para cada uma das funções abaixo, calcule os limites:</p><p>𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟏</p><p>𝒇(𝒙) − 𝒇(𝟏)</p><p>𝒙 − 𝟏</p><p>𝒆 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟏</p><p>𝒇(𝟏 + 𝒉) − 𝒇(𝟏)</p><p>𝒉</p><p>a. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 b. 𝑓(𝑥) = 𝑥3 c. 𝑓(𝑥) = √𝑥 d. 𝑓(𝑥) =</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>4. Seja 𝒇 uma função definida ℝ tal que 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟏</p><p>𝒇(𝒙)</p><p>𝒙</p><p>= 𝟏. Calcule:</p><p>a. 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟏</p><p>𝒇(𝟕𝒙)</p><p>𝟑𝒙</p><p>b. 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟏</p><p>𝒇(𝒙𝟐−𝟏)</p><p>𝒙−𝟏</p><p>5. Se 𝒇 e 𝒈 forem contínuas, com 𝒇(𝟑) = 𝟓 e 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟑</p><p>[𝟐𝒇(𝒙) − 𝒈(𝒙)] = 𝟒, encontre 𝒈(𝟑).</p><p>6. Sabendo-se que 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟐</p><p>𝒇(𝒙) − 𝟓</p><p>𝒙 − 𝟐</p><p>= 𝟑, calcule 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟐</p><p>𝒇(𝒙)·</p><p>7. Dada 𝒇(𝒙) =</p><p>|𝒙| + 𝒙</p><p>𝒙</p><p>. Existe 𝐥𝐢𝐦</p><p>𝒙→𝟎</p><p>𝒇(𝒙)?</p><p>8. Calcule os limites no infinito, se existir:</p><p>a. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>𝑥4 − 𝑥2 + 1</p><p>𝑥5 + 𝑥3 − 𝑥</p><p>b. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>√1 + 4𝑥2</p><p>4+𝑥</p><p>c. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>1 − √𝑥</p><p>1+ √𝑥</p><p>d. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>√9𝑥2 + 𝑥 − 3𝑥 e. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>cos(5𝑥) f. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>√𝑥</p><p>g. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>𝑥 − √𝑥 h. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>𝑒(−𝑥2) i. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>2𝑥2 − 4𝑥 − 25</p><p>18𝑥3−9𝑥2</p><p>j. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>sin (</p><p>2+𝑥− 𝜋𝑥2</p><p>12𝑥−4𝑥2 ) k. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>(1</p><p>𝜋⁄ )</p><p>𝑥3(𝑥2 − 1)</p><p>−1</p><p>l. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>[𝑥 ln 𝑥 − ln(3𝑥 + 1)] m. lim</p><p>𝑥→−∞</p><p>(√𝑥2 − 3𝑥 + 𝑥)</p><p>n. lim</p><p>𝑥→+∞</p><p>[𝑥(√𝑥2 − 1 − 𝑥)]</p><p>9. Encontre as assíntotas verticais dos gráficos das funções:</p><p>𝒇(𝒙) =</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐 − 𝒙 − 𝟐</p><p>𝒆 𝒈(𝒙) =</p><p>𝒙</p><p>𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟐</p><p>10. Calcule os limites laterais, se existir:</p><p>a. lim</p><p>𝑥→0+</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>b. lim</p><p>𝑥→0−</p><p>1</p><p>𝑥</p><p>c. lim</p><p>𝑥→0+</p><p>1</p><p>𝑥2</p><p>d. lim</p><p>𝑥→0−</p><p>1</p><p>𝑥2 e. lim</p><p>𝑥→3+</p><p>5</p><p>𝑥−3</p><p>f. lim</p><p>𝑥→3−</p><p>5</p><p>𝑥−3</p><p>g. lim</p><p>𝑥→0+</p><p>2𝑥 + 1</p><p>𝑥</p><p>h. lim</p><p>𝑥→0−</p><p>𝑥−3</p><p>𝑥2 i. lim</p><p>𝑥→0+</p><p>3</p><p>𝑥2−𝑥</p><p>j. lim</p><p>𝑥→0−</p><p>3</p><p>𝑥2−𝑥</p><p>k. lim</p><p>𝑥→3+</p><p>𝑥2−3𝑥</p><p>𝑥2−6𝑥+9</p><p>l. lim</p><p>𝑥→−1−</p><p>|𝑥−1|</p><p>𝑥−1</p><p>m. lim</p><p>𝑥→0+</p><p>2𝑥+1</p><p>𝑥2+𝑥</p><p>n. lim</p><p>𝑥→−1+</p><p>3𝑥2−4</p><p>1− 𝑥2 o. lim</p><p>𝑥→0+</p><p>𝑥</p><p>|𝑥|</p><p>p. lim</p><p>𝑥→−1+</p><p>𝑥2+3</p><p>𝑥2−1</p><p>11. Seja função</p><p>𝒇 = {</p><p>−𝒙, 𝒔𝒆 𝒙</p>