Matemática Tópico 07 Derivadas 23-10-2025

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Tópico 07
Matemática
Derivadas
1. Introdução
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de
variação instantânea de uma função que está presente no
cotidiano das pessoas, por meio, por exemplo, da determinação
da taxa de crescimento de uma certa população, da taxa de
crescimento econômico do país, da taxa de redução da
mortalidade infantil, da taxa de variação de temperaturas, da
velocidade de corpos ou objetos em movimento, enfim,
poderíamos mostrar vários exemplos que apresentam uma
função variando e que a medida desta variação se faz necessária
em um determinado momento.
As aplicações das derivadas na administração estão fortemente
relacionadas à economia e, na maior parte das vezes, são
problemas que envolvem a minimização de custos ou
a maximização de lucro.
Numa linguagem mais especifica de administradores
e economistas, podemos afirmar que o custo marginal, que é
a variação do custo total de produção em função da quantidade
unitária produzida, pode ser expresso por meio da derivada do
custo total pela quantidade produzida.
As aplicações das derivadas na administração estão fortemente
relacionadas à economia.
Para entendermos como isso se dá, inicialmente, vejamos a
definição matemática da derivada de uma função em um ponto:
2. Derivada
Para você conhecer um pouco mais da história da
derivada de uma função, sugiro que leia o texto” A
origem do cálculo diferencial e Integral“.
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https://docplayer.com.br/11783827-A-origem-do-calculo-diferencial-e-integral.html
https://docplayer.com.br/11783827-A-origem-do-calculo-diferencial-e-integral.html
Para facilitar o entendimento, elencamos algumas etapas no
cálculo da derivada de uma função.
Exemplo 01: Utilizando a definição estudada acima, calcule a
derivada da função f(x)=3x.
Resolução:
1ª etapa: Calcule f(x+ h).
f(x+h)= 3(x +h)= 3x + 3h
2ª etapa: calcule f(x+h) – f(x).
f(x+h) – f(x)= 3x + 3h – 3x= 3x – 3x + 3h= 3h.
4ª etapa: Resposta.
A derivada de f(x)= 3x é f “ (x)=3
Exemplo 02: Calcule a derivada da função f(x)= x2 + 3x
Solução:
1ª etapa: Calcule f(x+ h).
f(x+h)=( x+ h) +3(x +h)= x + 2xh + h + 3x + 3h
2ª etapa: calcule f(x+h) – f(x).
f(x+h) – f(x)= x + 2xh + h + 3x + 3h – (x + 3x).
Para conhecer um pouco mais sobre a origem do
Conceito de derivada de uma função, acesse o site.

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2 2 2
https://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php
f(x+h) – f(x)= x + 2xh + h + 3x + 3h – x – 3x = x – x + 2xh +
h + 3x – 3x + 3h
f(x+h) – f(x)= 2xh + h = h( 2x + h)
4ª etapa: Resposta.
A derivada de f(x)= x + 3x é f “ (x)=2x
As possíveis interpretações de derivadas
Exemplo 03: Suponha que a posição de uma partícula em
movimento sobre uma reta r seja dada por s(t) = t – 6t, onde s(t)
é a medida em metros e t em segundos.
a) Determine a velocidade em um instante t=a (a é um número
real qualquer);
b) Determine a aceleração em um instante t=a (a é um número
real qualquer).
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2
2
2
Para acrescentar ainda mais conteúdo de estudo sobre a
definição de derivadas, assista ao vídeo.
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2
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-2/v/alternate-form-of-the-derivative
Veículos
Solução:
Para resolver este exemplo, faremos uma adaptação na definição
de derivada, assim: f(x)= s(t) e h=a.
a) Lembrando que velocidade é a derivada do espaço em relação
ao tempo teremos:
1ª etapa: Calcule s(t+ a).
s(t+a)=( t+ a) -6(t +a)= t + 2ta + a –6t–6a
2ª etapa: calcule s(t+a) – s(t).
s(t+a) – s(t)= t + 2ta + a – 6t–6a – (t – 6t).
s(t+a) – s(t)= t + 2ta + a – 6t–6a – t + 6t.=2ta + a –6a
s(t+a) – s(t)=a(2t + a – 6)
4ª etapa: Resposta.
A velocidade em um instante t=a é dada pela função v(t)=2t-6
(em m/s)
Lembre-se que a aceleração é a derivada da velocidade em
relação ao tempo e que, no item, obtivemos v(t)=2t-6. Para
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2 2 2 2
resolver este exemplo, faremos uma adaptação na definição de
derivada. Assim f(x)= v(t) e h=a.
1ª etapa: Calcule v(t+ a).
v(t+a)=2( t+ a)- 6= 2t + 2a – 6
2ª etapa: calcule v(t+a) – v(t).
v(t+a) – v(t)= 2t + 2a – 6 – (2t – 6)
v(t+a) – v(t)= 2t + 2a – 6 – 2t + 6= 2a
v(t+a) – v(t)=2a
4ª etapa: Resposta.
A aceleração em um instante t=a é dada pela função a(t)=2 m/s
Exemplo 04: no decorrer de uma experiência, derrama-se um
líquido sobre uma superfície plana de vidro. Se o líquido vertido
recobre uma região circular e o raio desta região aumenta
uniformemente, qual será a taxa de crescimento da área ocupada
pelo líquido em relação à variação do raio, quando o raio for
igual a 5cm?
Solução:
Lembrando que a área de um região circular pode ser calculada
por A=πr , onde A é a área da região e r é o raio e que taxa de
variação da área pode ser interpretada como a derivada da área
em relação ao raio, teremos:
f(x)=A(r) e h=a é a variação do raio
2
2
1ª etapa: Calcule A(r+ a).
A(r+ a).= π (r+ a) = π(r + 2ra + a )
2ª etapa: calcule A(r+a) – A(r).
A(r+a) – A(r).= π (r + 2ra + a – r )= π (2ar + a )
A(r+a) – A(r).= 2a πr + πa
4ª etapa: Resposta.
A taxa de variação da área será obtida quando r=5cm. Neste
caso, teremos:
A “ (r)=2rπ
A ” (r)=2*5π=10π cm
Em Matemática, a derivada de uma função f em um ponto a
fornece o coeficiente angular (inclinação) da reta tangente ao
gráfico de f no ponto (a, f(a)) (veja imagem abaixo).
Considere a seguinte situação: dada uma curva plana que
representa o gráfico de f, se conhecermos um ponto P(a, f(a)),
então a equação da reta tangente r à curva em P é dada por y –
f(a) = m (x – a), onde m é o coeficiente angular da reta. Desta
forma, basta que conheçamos o coeficiente angular m da reta e
um de seus pontos, para conhecermos a sua equação. Mas, como
obter m, para que r seja tangente à curva em P (Bonetto e
Murolo-2016)?
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2
Reta tangente a uma curva.
Exemplo 05: Seja f(x) = x2, determine a equação da reta
tangente ao gráfico de f , no ponto P(3, 9).
Solução:
Vamos calcular o coeficiente angular, isto é m=f “ x)
1ª etapa: Calcule f(x+ h).
f(x+h)=( x+ h) = x + 2xh + h
2ª etapa: calcule f(x+h) – f(x).
f(x+h) – f(x)= x + 2xh + h – x = 2xh + h
f(x+h) – f(x)=2xh + h = h( 2x + h)
4ª etapa: Resposta.
A derivada de f(x)= x + 3x é f “ (x)=m=2x
Agora, basta substituir os valores de P(3; 9) em f ” (x)=m=2x que
teremos o coeficiente angular.
f “ (2)=m=2*3=6
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2 2 2 2
2
2
Encontrando a equação da reta tangente, lembre-se que: a=3 e
f(3)= 9
y – f(a) = m (x – a)
y – 9 = 6(x -3); y – 9 = 6x – 18; y = 6x – 18 + 9
y = 6x –9
Resposta: a equação procurada é y = 6x –9.
Em Economia e Administração, dada uma função f(x), costuma-
se utilizar o conceito de função marginal para avaliar o efeito
causado em f(x) por uma pequena variação de x. Partindo desse
ponto de vista, podemos pensar na função marginal de f(x) como
a função derivada de f(x). Assim, a função custo marginal é a
derivada da função custo, a função receita marginal é a derivada
da função receita e assim por diante (Medeiros-2010).
Considere os exemplos a seguir:
Custos e Taxas.
Exemplo 06: Considere C(x)= – x + 300x + 100. Determine o
custo marginal para produzir 10 unidades.
Solução:
2
1ª etapa: Calcule C(x+ h).
C(x+h)= -(x +h) +300(x +h) +100 = -x – 2xh – h + 300x +
300h + 100
2ª etapa: calcule C(x+h) – C(x).
C(x+h) – C(x)= -x – 2xh – h + 300x + 300h + 100 – (– x +
300x + 100).
C(x+h) – C(x)=-x – 2xh – h + 300x + 300h + 100 + x – 300x
– 100).
C(x+h) – C(x)= -2xh – h + 300h = h( -2x – h + 300)
4ª etapa: Resposta.
O custo marginal da produção de 10 unidades é C “ (10)= -2*10 +
300
C ” (10)=-20 + 300; C “ (10)=280 
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2 2 2
2 2 2
2
Apresentamos algumas regras de derivação. Agora,
mostraremos a você algumas formas de derivar outras
funções como, por exemplo:
1. se f (x) = senx então f ´ (x) = cosx
2. se f (x) = cosx então f ´(x) = senx
3. se f (x) = a  então f ´ (x) = a lna
4. se f (x) = e  então f ´(x) = e
5. se f (x) = log x então f ´(x) = 1/xlna
6. se f (x) = lnx entãof ´ (x) = 1/x

x x
x x
a
3. Regras De Derivação
O processo de calcular derivada por meio da definição pode ser
muito cansativo se f(x) é uma expressão complicada. Nesta
seção, apresentaremos fórmulas e técnicas gerais que nos
permitem determinar f´ (x) sem recorrer ao limite.
Exemplo 01: Use a 1ª regra para calcular a derivada de:
2ª Regra: Seja f: R → R uma função definida por f (x) = x , para
todo n ∈Z e x ≠ 0 quando n ≤ 0. Então df (x)/dx = nx .
Existem outras derivadas e, para conhecê-las, leia
Laurence e Bradley-2010.
n
n-1
Para aprimorar um pouco mais o seu aprendizado sobre
a regra da potência para derivadas, assista ao vídeo.
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https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-diff-intro/dc-power-rule/v/power-rule?modal=1&utm_account=Grant&utm_campaignname=AdWords_Brasil_DSA&gclid=EAIaIQobChMIn-Opv4fa4wIVgg2RCh3-BAtKEAAYASAAEgJuPPD_BwE
Exemplo 02: Use a 2ª regra para calcular a derivada de f(x)= x :
3ª Regra: Sejam X ⊆ R um intervalo aberto, f, g: X →R duas
funções e c ∈R
uma constante. Se f e g são diferenciáveis em X, então:
Exemplo 03: Use a 3ª regra para calcular a derivada das funções
dadas:
4ª Regra: Produto de funções.
10
5ª Regra: Quociente de funções.
Exemplo 05: Use a 5ª regra para calcular a derivada das funções
dadas
a) f(x)= 2x e g(x)= 5x4 3
Suponha que desejamos derivar a seguinte expressão: u(x) =
(x + x + 1)1000 com as regras dadas. Temos duas
possibilidades: 1) desenvolver o trinômio e aplicar,
sucessivamente, a regra da soma ou 2) escrever como produto de
1000 polinômios e usar a regra do produto. Como ambas as
possibilidades são tediosas, vamos tentar reescrever esta função.
Seja g(x) = x e f(x) = x + x + 1; é claro que u(x) = (g f)(x).
Logo, se soubermos derivar a composta de funções o problema
estará resolvido. O seguinte teorema nos ensina a derivar uma
função composta g f em termos das derivadas de f e g, que são
mais simples (Hoffmann e Bradley- 2010).
6ª Regra: Regra da Cadeia.
9 6
1000 9 6
0
0
Sejam f e g funções, tais que gof esteja bem definida. Se f é
derivável em x e g é derivável em f(x), então g f é derivável em x
e:
Outra maneira de escrever o último parágrafo é: se y = g(x) e x =
f(t), nas hipóteses da regra, temos que (Stewart-2013):
Exemplo 06: Use a 6ª regra para calcular a derivada da função
v(x)= (x + x + 1) .
Solução
Seja f(x)= x + x + 1 e g(f(x))=f(x)
f “(x) = 9x + 6x =9x + 6x (I)
g” (f(x)) = 1000 f(x) =1000 f(x) =1000(9x + 6x ) (II)
Agora, vamos substituir (I) e (II) na definição da regra da cadeia
Exemplo 07: Sabendo que y=g(x)= x + x +1 e x=x(t)= t +1, use
a 6ªregra para calcular a derivada de y em relação a t.
Solução
0
9 6 1000
9 6 1000
9-1 6-1 8 5
1000-1 999 8 5 999
3 2
Lembre-se que y=g(x)= x + x +1 e x=x(t)= t +1
4. Conclusão
O tópico discutiu Derivadas, Regras de derivação e Regra da
Cadeia. Primeiramente, foram discutidos os conceitos de
derivada, usada em exemplos, e calculou-se a derivada de uma
função por meio da definição.
Seguindo a discussão, foi possível apresentar as principais regras
de derivação de funções, as quais foram aplicadas em exercícios.
Ao longo do texto, mostramos que derivadas possuem aplicações
em áreas como Física, Matemática, Administração e em
Economia. Além disso, ficou claro que dominar o conteúdo deste
tópico auxiliará muito o seu crescimento durante o curso, para
ter a possibilidade de analisar, de forma crítica e clara, situações
já conhecidas anteriormente, além de auxiliá-los nos tópicos
seguintes.
5. Referências
HOFFMANN, Laurence; BRADLEY, Gerald. Cálculo: um
curso moderno e suas aplicações. Rio de Janeiro: LTC,
2010.
BONETTO, Giacomo Augusto. MUROLO, Afranio
Carlos. Fundamentos de Matemática para engenharias e
3 2
Tecnologias. São Paulo, SP: Cengage Leraning, 2016.
Origem do Conceito de derivada de uma função. Só
Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação,
1998-2019. Disponível
em: .
SILVA, Sebastião Medeiros da. Matemática: para os cursos de
Economia, administração e ciências contábeis. 6ed. São Paulo:
Atlas, 2010.
STEWART, James. Cálculo, volume I. 7ª edição. São Paulo:
Cengage Learning, 2013.
SOUZA, Veriano Catinin. A origem do Cálculo diferencial e
Integral. Rio de Janeiro: Universidade Candido Mendes, 2001.
Disponível em: https://docplayer.com.br/11783827-A-origem-
do-calculo-diferencial-e-integral.html
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Definição
formal e alternativa de derivada / Matemática / Khan
Academy. 7min.12seg. Disponível em:
.
YouTube. (2016, Agosto, 16). Khan Academy Brasil. Definição
formal e alternativa de derivada / Matemática / Khan
Academy. 7min.12seg. Disponível em:
https://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php
https://www.somatematica.com.br/historia/derivadas.php
https://docplayer.com.br/11783827-A-origem-do-calculo-diferencial-e-integral.html
https://docplayer.com.br/11783827-A-origem-do-calculo-diferencial-e-integral.html
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-2/v/alternate-form-of-the-derivative
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-2/v/alternate-form-of-the-derivative
https://pt.khanacademy.org/math/ap-calculus-ab/ab-differentiation-1-new/ab-2-2/v/alternate-form-of-the-derivative
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-diff-intro/dc-power-rule/v/power-rule?modal=1&utm_account=Grant&utm_campaignname=AdWords_Brasil_DSA&gclid=EAIaIQobChMIn-Opv4fa4wIVgg2RCh3-BAtKEAAYASAAEgJuPPD_BwE
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-diff-intro/dc-power-rule/v/power-rule?modal=1&utm_account=Grant&utm_campaignname=AdWords_Brasil_DSA&gclid=EAIaIQobChMIn-Opv4fa4wIVgg2RCh3-BAtKEAAYASAAEgJuPPD_BwE
https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-diff-intro/dc-power-rule/v/power-rule?modal=1&utm_account=Grant&utm_campaignname=AdWords_Brasil_DSA&gclid=EAIaIQobChMIn-Opv4fa4wIVgg2RCh3-BAtKEAAYASAAEgJuPPD_BwE
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https://pt.khanacademy.org/math/differential-calculus/dc-diff-intro/dc-power-rule/v/power-rule?modal=1&utm_account=Grant&utm_campaignname=AdWords_Brasil_DSA&gclid=EAIaIQobChMIn-Opv4fa4wIVgg2RCh3-BAtKEAAYASAAEgJuPPD_BwE
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