Derivadas e Regras de Derivação (1)

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<p>DERIVADAS E REGRAS DE DERIVAÇÃO</p><p>Aula 1</p><p>INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS</p><p>Introdução às derivadas</p><p>Olá, estudante!</p><p>Nesta videoaula você irá conhecer uma das principais definições de cálculo diferencial e integral, chamada de derivada.</p><p>Compreender esse conteúdo é crucial para sua prática profissional, uma vez que muitos problemas podem ser estudados por meio das derivadas de funções.</p><p>Essas derivadas são essenciais para analisar várias situações que envolvem taxas de variação. Tais situações abrangem desde a velocidade de um objeto até</p><p>questões econômicas, sendo uma ferramenta valiosa em diferentes áreas.</p><p>Prepare-se para essa jornada de conhecimento!</p><p>Ponto de Partida</p><p>Desejamos boas-vindas a você, estudante! No cálculo diferencial e integral, o conceito de derivada pode ser destacado como um dos conceitos centrais. No</p><p>entanto, apesar de compor um dos campos da Matemática, sua aplicação se dá nas mais variadas áreas, como nas Engenharias, Física, Biologia, Geografia,</p><p>Economia, entre outras, tendo como principal aplicação a descrição de fenômenos relacionados a taxas de variação.</p><p>Dessa forma, vamos estudar a definição de derivada, tomando por base os conceitos de função e limite, devido à sua importância tanto na caracterização de uma</p><p>derivada em um ponto quanto para a derivada enquanto função.</p><p>A derivada de uma função em um ponto é uma medida da taxa de variação instantânea da função nesse ponto. Intuitivamente, podemos pensar na derivada como</p><p>a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em determinado ponto. Se a função representa, por exemplo, a posição de um objeto em relação ao tempo, a</p><p>derivada dessa função em um instante específico indicará a velocidade instantânea desse objeto nesse momento.</p><p>Para contribuir com esse estudo, vamos analisar as situações indicadas a seguir:</p><p>Água escoando através de um cano a uma taxa constante de 50 cm3 por segundo.</p><p>A taxa de variação do volume de água em um reservatório, durante as 10 primeiras horas de escoamento, é igual a 3 000 litros por hora.</p><p>Como podemos representar essas situações em linguagem matemática? De que forma o conceito de derivada está associado a esses modelos?</p><p>Quais são os conceitos que devem ser empregados para a resolução dessas tarefas? Prossiga em seus estudos e confira os fundamentos necessários para</p><p>cumprir esse desafio.</p><p>Vamos Começar!</p><p>Um dos principais conceitos do cálculo diferencial e integral é o de derivada, o qual pode ser empregado quando desejamos avaliar taxas de variação. Um dos</p><p>primeiros problemas matemáticos que envolve esse conceito corresponde ao problema de determinar a reta tangente a uma curva, em um ponto fixado, sendo que</p><p>os conceitos relacionados foram introduzidos pelos matemáticos Newton e Leibniz no século XVIII.</p><p>O problema da reta tangente</p><p>Seja uma função f , cujo gráfico y= f ( )x seja descrito a partir da Figura 1(a), bem como um ponto P ( )x0,f ( )x0 fixado e pertencente ao gráfico de f . Queremos</p><p>determinar a inclinação da reta tangente ao gráfico de f passando pelo ponto P e, para isso, vamos construir retas secantes, isto é, retas que interceptam o gráfico</p><p>de f em dois pontos, sendo um deles necessariamente P , de modo que os dois pontos estejam cada vez mais próximos entre si, conforme a Figura 1(b).</p><p>Figura 1 | O problema da reta tangente.</p><p>Seja a reta secante ao gráfico de f nos pontos P e Q ( )x0+h, f ( )x0+h , com h uma constante real. O coeficiente angular, ou ainda, a inclinação a da reta secante</p><p>que contém P e Q é dada por:</p><p>a=</p><p>f ( )x0+h −f (x0)</p><p>( )x0+h −x0</p><p>=</p><p>f ( )x0+h −f ( )x0</p><p>h</p><p>Como desejamos determinar a inclinação da reta tangente que contém P , então desejamos aproximar o ponto Q de P , o que é possível tomando valores de h</p><p>cada vez mais próximos de zero. Sendo assim, a partir de , se calcularmos o limite quando h→0, teremos:</p><p>m= lim</p><p>x→0</p><p>f ( )x0+h −f ( )x0</p><p>h</p><p>sendo m a inclinação da reta tangente, ou coeficiente angular da reta tangente, ao gráfico de f contendo P , desde que o limite indicado exista.</p><p>Consequentemente, a reta tangente consiste na reta que contém P e cuja inclinação, ou coeficiente angular, é dada por m. Nesse caso, podemos entender a</p><p>derivada da função f em x=x0, denotada por f ' ( )x0 como sendo a inclinação da reta tangente ao gráfico de f no ponto P , desde que o limite envolvido exista.</p><p>Além do problema matemático discutido, o conceito de derivada também pode ser aplicado em situações práticas, como é o caso do estudo da velocidade, mais</p><p>especificamente da velocidade instantânea.</p><p>Considere, por exemplo, a situação de conduzir um veículo. Quando estamos dirigindo um automóvel, o velocímetro do veículo nos informa a todo momento qual é</p><p>a velocidade em cada instante, sendo que ela pode aumentar ou reduzir conforme o acionamento dos pedais. Porém, se considerássemos apenas um instante</p><p>específico e fotografássemos o veículo, por exemplo, não conseguiríamos calcular a velocidade porque, ao congelar a imagem, teríamos apenas um veículo</p><p>parado.</p><p>Diante dessa situação, como podemos determinar a velocidade de um veículo, em um instante específico, de modo a exibir a informação no velocímetro? Para</p><p>isso, podemos também empregar o conceito de derivada.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Taxas de variação e velocidade instantânea</p><p>Suponha, por exemplo, que um automóvel se mova sobre uma reta conforme a equação s= f ( )t , com s representando o deslocamento desse objeto, a partir da</p><p>origem, no instante t . A função f é chamada de função posição do objeto. Como desejamos calcular a velocidade instantânea do automóvel, queremos determinar</p><p>a taxa de variação da função posição no tempo. Para isso, iniciemos pelo estudo da velocidade média. Tomando um intervalo de tempo entre t0 e t0+h , a variação</p><p>de posição será de f ( )t0 até f ( )t0+h , assim, a velocidade média atingida por esse automóvel nesse intervalo será de:</p><p>velocidade média=</p><p>deslocamento</p><p>tempo</p><p>=</p><p>f ( )t0+h −f ( )t0</p><p>( )t0+h −t0</p><p>=</p><p>f ( )t0+h −f ( )t0</p><p>h</p><p>Para calcular a velocidade instantânea, desejamos que o intervalo de tempo seja tão pequeno quanto se queira, o que pode ser obtido ao tomar h cada vez mais</p><p>próximo de zero, ou h→0. Assim, calculando o limite da razão que caracteriza a velocidade média, quando h tende a zero, teremos a velocidade instantânea v ( )t0</p><p>, avaliada em t= t0 e dada por:</p><p>v ( )t0 = lim</p><p>h→0</p><p>f ( )t0+h −f ( )t0</p><p>h</p><p>Comparando essa informação com o estudo realizado anteriormente a respeito da reta tangente, observe que a velocidade instantânea do automóvel em um</p><p>instante t= t0 pode ser interpretada como a inclinação da reta tangente ao gráfico de s= f ( )t no ponto T ( )t0,f ( )t0 , ou como a derivada da função s= f ( )t em t= t0.</p><p>Considerando essas aplicações, observe, a seguir, como definir a derivada em um ponto.</p><p>Derivada de uma função em um ponto</p><p>Dada a função f e um número x=a , a derivada da função f no ponto a , denotada por f ' ( )a , pode ser definida como:</p><p>f ' ( )a = lim</p><p>h→0</p><p>f ( )a+h −f (a )</p><p>h</p><p>se o limite existir. A derivada também pode ser escrita como f ' ( )a = lim</p><p>x→a</p><p>f ( )x −f (a )</p><p>x−a</p><p>, pois se x=a+h , então h→0 implica x→a , permitindo uma equivalência entre as</p><p>duas expressões.</p><p>Vamos determinar a derivada da função f ( )x =2x2−1 em um número a ∈ℝ.</p><p>f ' ( )a = lim</p><p>h→0</p><p>f ( )a+h −f ( )a</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>2 ( )a+h 2−1 −</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>2a2−1</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>2 ( )a2+2ah+h2 −1−2a2+1</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>2a2+4ah+2h2−1−2a2+1</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>4ah+2h2</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>(4a+2h )=4a</p><p>Logo, f ' ( )a =4a .</p><p>Podemos, além de calcular as derivadas em pontos específicos, interpretar a derivada enquanto uma função. Nesse caso, a derivada permanece sendo definida</p><p>em função de um limite, mas de tal forma que possamos avaliar todos os valores x pertencentes ao seu domínio.</p><p>Derivada como função</p><p>A derivada de uma função f , em relação à variável x , correspondente à função f ' descrita por:</p><p>f ' ( )x = lim</p><p>h→0</p><p>f ( )x+h −f ( )x</p><p>h</p><p>desde que o limite exista. Dessa forma, o domínio da função derivada é composto por todos os valores de para os quais o limite anterior</p><p>existe.</p><p>Quando uma função f admite uma derivada em um ponto x, dizemos que f é derivável ou que f é diferenciável em x , e quando f ' existe em cada ponto do</p><p>domínio de f , tem-se que f é derivável ou diferenciável. Por outro lado, quando o limite não existe em x, temos que a função f não é derivável em x , ou não é</p><p>diferenciável em x .</p><p>Vejamos o exemplo da função cuja lei de formação é f ( )x = </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>x . Analisaremos se a função f é diferenciável em x=0. Para isso, vamos calcular o limite via definição</p><p>formal. Nesse caso, note que:</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>f ( )0+h −f (0)</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0+h − </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>0</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>|h|</p><p>h</p><p>Note que |h|</p><p>h</p><p>=</p><p>⎧</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎨</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎪</p><p>⎩</p><p>1, h≥0</p><p>−1, h</p><p>na seção 7.6 “Derivabilidade e continuidade”, entre as páginas 150 e 152, uma discussão acerca da relação existente entre os conceitos de derivada</p><p>e a continuidade de funções.</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>ANTON, Howard; BIVENS, Irl C.; DAVIS, Stephen L.; et al. Cálculo. v. 1. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. E-book. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo. v.1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. E-book. ISBN 9788521635574. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>ROGAWSKI, Jon; ADAMS, Colin; DOERING, Claus I. Cálculo. v.1. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. E-book. ISBN 9788582604601. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021.</p><p>Aula 2</p><p>CALCULANDO DERIVADAS</p><p>Calculando derivadas</p><p>Olá, estudante!</p><p>Nesta videoaula você irá conhecer as primeiras regras de derivação, bem como as derivadas de funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.</p><p>Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois possibilita o cálculo das derivadas de algumas funções de forma mais prática, sem a necessidade</p><p>de recorrer ao cálculo de limites, favorecendo o estudo do comportamento das mais variadas funções por meio do cálculo das derivadas correspondentes.</p><p>Prepare-se para essa jornada de conhecimento!</p><p>Ponto de Partida</p><p>Quando estudamos uma derivada por meio de sua definição, precisamos calcular um limite e, caso ele exista, identificar se a função é diferenciável e qual sua</p><p>derivada. No entanto, quando estamos lidando com funções diferenciáveis, podemos empregar as regras de derivação com o intuito de determinar suas leis de</p><p>formação com base em propriedades conhecidas a priori.</p><p>Também é fundamental conhecer o comportamento das derivadas de funções empregadas com grande frequência, como é o caso das funções exponenciais,</p><p>logarítmicas e trigonométricas.</p><p>Assim, para complementar o estudo desses temas, considere as funções a seguir:</p><p>f ( )x =3cos ( )x +x3</p><p>g ( )x =2ln x−53 x2</p><p>h ( )x =3 ⋅ 5x−1</p><p>i ( )x =4x−sen x</p><p>Determine as derivadas de primeira ordem das funções apresentadas, com base nas regras de derivação e das categorias de funções envolvidas.</p><p>Dê continuidade em seus estudos e confira quais são os conceitos necessários para cumprir essa tarefa.</p><p>Vamos Começar!</p><p>O conceito de derivada pode ser empregado em múltiplos contextos, especialmente quando nos deparamos com taxas de variação de funções.</p><p>Por definição, uma função f é diferenciável em um ponto quando existir o limite a seguir:</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>f ( )a+h −f ( )a</p><p>h</p><p>Se estendermos esse limite para um ponto qualquer do domínio de f , podemos fazer um estudo de uma função diferenciável.</p><p>A definição de derivada via limites é utilizada quando desejamos verificar se uma função é diferenciável em um ou mais valores de seu domínio. Porém existem</p><p>casos nos quais não precisamos recorrer diretamente à definição de derivada, visto que são conhecidos alguns resultados importantes, chamados de regras de</p><p>derivação, e que podem ser empregados quando, sabendo que a função é derivável, desejamos determinar a lei de formação de sua derivada.</p><p>Regras de derivação</p><p>Algumas regras de derivação que podem ser aplicadas na determinação de derivadas de funções são as seguintes:</p><p>(1) Regra da constante: d</p><p>dx</p><p>(c)=0, para c∈ℝ ;</p><p>(2) Regra para x: d</p><p>dx</p><p>(x)=1;</p><p>(3) Regra da potência: d</p><p>dx</p><p>(xn )=nxn−1;</p><p>(4) Regras da linearidade: para funções f e g deriváveis, temos</p><p>(a) Multiplicação por constante: d</p><p>dx</p><p>(cf (x))=c</p><p>d</p><p>dx</p><p>(f (x)), para c∈ℝ ;</p><p>(b) Soma de funções: d</p><p>dx</p><p>(f (x)+g (x))=</p><p>d</p><p>dx</p><p>(f (x))+</p><p>d</p><p>dx</p><p>(g (x)).</p><p>Se combinarmos as quatro regras entre si, por exemplo, podemos determinar a derivada de funções polinomiais. Se desejamos determinar a derivada da função</p><p>f ( )x =2x3−x2+4x+5, por exemplo, pelas regras apresentadas obtemos:</p><p>f ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )2x3−x2+4x+5 =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )2x3 +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )−x2 +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )4x +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )5 =2</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3 −</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x2 +4</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )5 =2 ( )3x2 − ( )2x +4 ( )1 + ( )0 =6x2−2x+4</p><p>As regras de derivação podem ser aplicadas desde que as funções envolvidas sejam deriváveis nos pontos e/ou conjuntos em estudo. Além disso, essas regras</p><p>também podem ser utilizadas quando desejamos determinar derivadas de ordens superiores. Por exemplo, a derivada de 2ª ordem para a função</p><p>f ( )x =2x3−x2+4x+5 pode ser determinada a partir da derivada de 1ª ordem de f ' . Assim, sabendo que f ' ( )x =6x2−2x+4, aplicando as regras de derivação</p><p>obtemos:</p><p>f '' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )f ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )6x2−2x+4 =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )6x2 +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )−2x +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )4 =6</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x2 −2</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )4 =6 ( )2x −2 ( )1 + ( )0 =12x−2</p><p>Dessa forma, dada a função f ( )x =2x3−x2+4x+5, sua derivada de 1ª ordem consiste em f ' ( )x =x2−2x+4 e a derivada de 2ª ordem, f '' ( )x =12x−2 , ambas</p><p>deriváveis em todo o conjunto de números reais. Na Figura 1, podemos observar os gráficos das funções f , f ' e f '' , o que permite comparar o comportamento da</p><p>função f com os de suas duas primeiras derivadas.</p><p>Figura 1 | Função f ( )x =2x3−x2+4x+5 e suas derivadas de 1ª e 2ª ordens.</p><p>As regras apresentadas anteriormente podem ser empregadas especialmente para as funções polinomiais, no entanto, também podemos aplicar em outros tipos</p><p>de funções. Para isso, precisamos conhecer as derivadas de funções de outras categorias. Vejamos agora o caso de funções exponenciais, logarítmicas e</p><p>trigonométricas.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Derivadas de funções exponenciais e logarítmicas</p><p>Iniciemos pelo estudo da função exponencial f ( )x =bx . Pela definição temos:</p><p>f ' ( )x = lim</p><p>h→0</p><p>bx+h−bx</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>bx (bh−1)</p><p>h</p><p>=bx lim</p><p>h→0</p><p>bh−1</p><p>h</p><p>Como lim</p><p>h→0</p><p>bh−1</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>b0+h−b0</p><p>h</p><p>= f ' ( )0 , se f for diferenciável em zero, então será diferenciável em todos os reais, com f ' ( )x =bx f ' ( )0 . Sendo o número de Euler, e ,</p><p>definido de tal forma que lim</p><p>h→0</p><p>eh−1</p><p>h</p><p>=1, adotando b=e , teremos f ' ( )0 =1 e, consequentemente,</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )ex =ex</p><p>que consiste na regra de derivação da função exponencial de base e.</p><p>No entanto, podemos estudar funções exponenciais em que a base não corresponde ao número de Euler, mas a um número b qualquer positivo e diferente de 1.</p><p>Assim, analisemos agora a derivada da função f ( )x =bx para b>0 e b≠1. Pelas propriedades das funções exponenciais e logarítmicas, sabemos que b=e ln b ,</p><p>então bh=e (ln b )h , então:</p><p>f ' ( )x =bx lim</p><p>h→0</p><p>bh−1</p><p>h</p><p>=bx lim</p><p>h→0</p><p>e (ln b )h−1</p><p>h</p><p>Podemos adotar a mudança de variáveis na forma ( )ln b h= t, o que permite expressar h em função de t como h= t</p><p>ln b</p><p>. Relacionando essa mudança com o limite</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>eh−1</p><p>h</p><p>=1, então</p><p>lim</p><p>h→0</p><p>e (ln b )h−1</p><p>h</p><p>= lim</p><p>t→0</p><p>et−1</p><p>t/ln b</p><p>= lim</p><p>t→0</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>ln b ⋅ et−1</p><p>t</p><p>= ln b ⋅ lim</p><p>t→0</p><p>et−1</p><p>t</p><p>= ln b ⋅ 1= ln b</p><p>Portanto, f ' ( )x =bxln b .</p><p>Em suma, para as funções exponenciais, com b>0 e b≠1, segue que d</p><p>dx</p><p>( )bx =bxln b e para b sendo o número de Euler, d</p><p>dx</p><p>( )ex =ex .</p><p>Podemos associar essas informações às regras de derivação apresentadas inicialmente. Por exemplo, calculando a derivada da função f ( )x =3ex+4 ⋅ 2x obtemos:</p><p>f ' ( )x =3 ( )ex +4 ( )2xln 2 =3ex+4ln 2 ⋅ 2x</p><p>Para a derivada de funções logarítmicas, consideremos a relação existente entre elas e as funções exponenciais via o conceito de função inversa. Consideremos</p><p>que se uma função f é definida em um intervalo I, de tal forma que sua derivada f ' ( )x existe e não se anula em I , sua inversa f −1 é também derivável em qualquer</p><p>ponto de seu domínio. Para determinar o valor da derivada de f −1 em um ponto b , ou ( )f −1 '</p><p>( )b , podemos empregar a seguinte relação:</p><p>( )f −1 '</p><p>( )b =</p><p>1</p><p>f ' ( )f −1 ( )b</p><p>ou seja, ( )f −1 '</p><p>( )b consiste no recíproco de f ' calculado no ponto a= f −1 ( )b . Diante dessa relação,</p><p>seja f ( )x =ex , cuja inversa é f −1 ( )x = ln x. Da regra apresentada</p><p>anteriormente, e sabendo que f ' ( )x =ex , note que:</p><p>( )f −1 '</p><p>( )x =</p><p>1</p><p>f ' ( )f −1 ( )b</p><p>=</p><p>1</p><p>e f</p><p>−1( )x</p><p>=</p><p>1</p><p>e ln x</p><p>=</p><p>1</p><p>x</p><p>Portanto, 𝑑</p><p>𝑑𝑥</p><p>𝑙𝑛 𝑥 = 1</p><p>𝑥</p><p>. Com base nessa informação, podemos calcular a derivada de funções na forma f ( )x = logb x , com b>0 e b≠1, sendo x>0. Pela mudança de</p><p>base sabemos que logb x=</p><p>ln x</p><p>ln b</p><p>, sendo ln b constante. Calculando a derivada temos:</p><p>d</p><p>dx ( )logb x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>ln x</p><p>ln b</p><p>=</p><p>1</p><p>ln b</p><p>⋅ d</p><p>dx</p><p>(ln x)=</p><p>1</p><p>ln b</p><p>⋅ 1</p><p>x</p><p>=</p><p>1</p><p>xln b</p><p>Outras funções que também podem ser estudadas diante do conceito de derivada são as funções trigonométricas. Observe, a seguir, como podemos determinar</p><p>as derivadas dessas funções por meio da definição de derivada envolvendo limites.</p><p>Derivadas de funções trigonométricas</p><p>Para estudar as derivadas de funções trigonométricas, precisamos conhecer identidades trigonométricas e limites importantes, como lim</p><p>x→0</p><p>sen x</p><p>x</p><p>=1 e</p><p>lim</p><p>x→0</p><p>1−cos x</p><p>x</p><p>=0. Avaliemos o caso da função seno, f ( )x = sen x, estudando a derivada por meio de sua definição:</p><p>f ' ( )x = lim</p><p>h→0</p><p>sen (x+h )−sen x</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>sen xcos h+sen hcos x−sen x</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>sen x</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>cos h−1</p><p>h</p><p>+cos x</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>sen h</p><p>h</p><p>= lim</p><p>h→0</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>cos x</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>sen h</p><p>h</p><p>−sen x</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>1−cos h</p><p>h</p><p>=cos x ⋅ lim</p><p>h→0</p><p>sen h</p><p>h</p><p>−sen x ⋅ lim</p><p>h→0</p><p>1−cos ( )h</p><p>h</p><p>=cos x ⋅ 1−sen x ⋅ 0=cos x</p><p>Sendo assim, d</p><p>dx</p><p>(sen x)=cos x. Procedendo de forma análoga, podemos concluir também que d</p><p>dx</p><p>(cos x)=−sen x .</p><p>Podemos, ainda, avaliar as demais funções trigonométricas, de modo a obter:</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )tg x =sec2 x</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )sec x =sec x ⋅ tg x</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )cossec x =−cossec x ⋅ cotg x</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )cotg x =−cossec2 x</p><p>Vamos agora aplicar as regras de derivação e as derivadas de funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas nos exemplos a seguir.</p><p>(a) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f ( )x =3cos ( )x +πx em x=0.</p><p>Inicialmente, vamos determinar f ( )0 =3cos ( )0 +π ⋅ 0=3.</p><p>Agora, vamos reconhecer a inclinação da reta tangente a partir da derivada:</p><p>f ' ( )x =3 ( )−sen x +π=−3sen x+π</p><p>Calculando a derivada em x=0 obtemos:</p><p>f ' ( )0 =−3sen 0+π=π</p><p>A equação da reta tangente pode ser determinada por:</p><p>y−3=π ( )x−0</p><p>y=πx+3</p><p>(b) g ( )x =</p><p>3</p><p>x4 +2x1,1</p><p>Podemos reescrever a função como:</p><p>g ( )x = 3 x−4+2x1,1</p><p>Calculando a derivada pelas regras de derivação, segue que:</p><p>g ' ( )x = 3 ( )−4x−5 +2 ( )1,1 x0,1 =−4 3 x−5+2,2x0,1=−</p><p>4 3</p><p>x5 +2,2x0,1</p><p>Logo, g ' ( )x =−</p><p>4 3</p><p>x5 +2,2x0,1.</p><p>(c) h ( )x =5 ⋅ 3x+2cos ( )x −x2</p><p>Aplicando as regras de derivação, além das derivadas de funções exponenciais e trigonométricas, segue que:</p><p>h ' ( )x =5</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )3x +2</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )cos x −</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x2 =5 (3xln 3)+2 ( )−sen x − (2x)=5 ⋅ ln 3 ⋅ 3x−2sen x−2x</p><p>Sendo assim, h ' ( )x =5 ⋅ ln 3 ⋅ 3x−2sen x−2x.</p><p>(d) Determine os valores de em que a função i ( )x =6x3+5x−2 possui uma reta tangente com uma inclinação igual a 6.</p><p>A inclinação da reta tangente é dada pela derivada da função i ( )x . Nesse caso, temos:</p><p>i ' ( )x =6 ( )3x2 +5 ( )1 −0=18x2+5</p><p>Agora, queremos determinar para os quais a derivada é igual a 6. Sendo assim,</p><p>18x2+5=6 ⇒ 18x2=1 ⇒ x2=</p><p>1</p><p>18</p><p>⇒ x=±</p><p>1</p><p>18</p><p>⇒ x=±</p><p>1</p><p>3 2</p><p>⇒ x=±</p><p>2</p><p>6</p><p>Assim, a inclinação será igual a 6 para os pontos x=− 2</p><p>6</p><p>e x= 2</p><p>6</p><p>.</p><p>Articulando as regras de derivação, com os conhecimentos sobre as derivadas das funções de outras categorias, podemos explorar diferentes tipos de funções,</p><p>possibilitando a construção e análise de modelos matemáticos dos mais variados tipos, provenientes de contextos diversos.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Prosseguindo com o estudo das funções e de suas derivadas, vamos calcular as derivadas de primeira ordem de cada uma das funções apresentadas,</p><p>considerando as regras de derivação e as derivadas das funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.</p><p>f ( )x =3cos ( )x +x3</p><p>Pelas regras de derivação e derivadas de funções trigonométricas segue que:</p><p>f ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )3cos x+x3 =3</p><p>d</p><p>dx</p><p>(cos x)+</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3 =3 ( )−sen x + ( )3x2 =−3sen x+3x2</p><p>Sendo assim, f ' ( )x =−3sen x+3x2.</p><p>g ( )x =2ln x−53 x2</p><p>Podemos reescrever a função g da seguinte forma:</p><p>g ( )x =2ln x−5x2/3</p><p>Desse modo,</p><p>g ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )2ln x−5x2/3 =2</p><p>d</p><p>dx</p><p>(ln x)−5</p><p>d</p><p>dx</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎠x</p><p>2</p><p>3 =2 ⋅ 1</p><p>x</p><p>−5</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>2</p><p>3</p><p>x</p><p>−</p><p>1</p><p>3 =2 ⋅ 1</p><p>x</p><p>−</p><p>10</p><p>3</p><p>⋅ 1</p><p>x1/3 =</p><p>2</p><p>x</p><p>−</p><p>10</p><p>33 x</p><p>Logo, g ' ( )x =</p><p>2</p><p>x</p><p>−</p><p>10</p><p>33 x</p><p>.</p><p>h ( )x =3 ⋅ 5x−1</p><p>Pelas regras de derivação e derivadas de funções exponenciais, segue que:</p><p>h ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx ( )3 ⋅ 5x−1 =3</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )5x −</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )1 =3 ⋅ 5x ⋅ ln 5−0=3 ⋅ ln 5 ⋅ 5x</p><p>Desse modo, h ' ( )x =3 ⋅ ln 5 ⋅ 5x.</p><p>i ( )x =4x−sen x</p><p>Pelas regras de derivação e derivadas de funções exponenciais e trigonométricas, segue que:</p><p>i ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )4x−sen x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )4x −</p><p>d</p><p>dx</p><p>(sen x)=4xln 4−cos x</p><p>Portanto, i ' ( )x =4xln 4−cos x. Assim, concluímos a resolução da tarefa proposta.</p><p>Saiba Mais</p><p>O livro Cálculo, volume 1, de Howard, Bivens e Davis, é a primeira sugestão de material complementar para aprofundamento do estudo das estratégias de cálculo</p><p>de derivadas. Para isso, sugerimos que você estude as seções 2.3 “Introdução a técnicas de diferenciação”, entre as páginas 155 e 160, bem como a seção 2.5</p><p>“Derivadas de funções trigonométricas”, entre as páginas 169 e 171.</p><p>Outra sugestão para o estudo de regras de derivação é o livro Cálculo, volume 1, de Stewart, Clegg e Watson. Nesse caso, confira a seção 3.1 “Derivadas de</p><p>funções polinomiais e exponenciais”, entre as páginas 158 e 164, bem como a seção 3.3 “Derivadas de funções trigonométricas”, entre as páginas 174 e 179.</p><p>Para complementar o estudo de regras de derivação para funções reais, consulte a obra Um curso de cálculo, volume 1, de Guidorizzi. Nesse livro, o tema em</p><p>questão é discutido nas seções 7.3 “Derivadas de xn e n x ” a 7.5 “Derivadas das funções trigonométricas”, entre as páginas 144 e 149.</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>ANTON, Howard; BIVENS, Irl C.; DAVIS, Stephen L.; et al. Cálculo. v.1. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo. v.1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. E-book. ISBN 9788521635574. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.</p><p>SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.</p><p>STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Saleem. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>Aula 3</p><p>OUTRAS REGRAS DE DERIVAÇÃO</p><p>Outras regras de derivação</p><p>Olá, estudante!</p><p>Nesta videoaula você irá conhecer outras regras de derivação, especialmente para a determinação de produtos e quocientes de funções, bem como para as</p><p>funções compostas.</p><p>Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois complementa as regras de derivação para as diferentes categorias de funções, possibilitando o</p><p>estudo de funções dos mais variados tipos. Com isso, existe a possibilidade da construção e do estudo de modelos matemáticos associados a diferentes</p><p>fenômenos.</p><p>Prepare-se para essa jornada de conhecimento!</p><p>Ponto de Partida</p><p>Desejamos boas-vindas a você, prezado estudante! Nesta aula, prosseguindo com o estudo das derivadas, vamos explorar as regras de derivação, utilizadas com</p><p>bastante frequência na resolução de problemas.</p><p>Quando exploramos o conceito de derivada, começamos com sua definição, que requer o cálculo de um limite. Se esse limite existe, podemos afirmar que a</p><p>função é diferenciável e determinar sua derivada. No entanto, quando lidamos com funções já diferenciáveis, podemos usar as regras de derivação para</p><p>encontrar</p><p>suas expressões analíticas sem calcular o limite novamente. Além das regras básicas, como soma, diferença, multiplicação por constante e potência, e das regras</p><p>para funções exponenciais, logarítmicas e trigonométricas, há outras que podemos aplicar para investigar as características das funções diferenciáveis,</p><p>especialmente a regra do produto, do quociente e da cadeia.</p><p>Diante desse tema, sejam as funções:</p><p>f ( )x =</p><p>3cos ( )x</p><p>ex</p><p>g ( )x = ( )1−2x3 ( )x2−x3</p><p>Quais estratégias podemos aplicar para calcular a derivada de 1ª ordem para cada uma das funções apresentadas? Prossiga em seus estudos e confira quais são</p><p>os conceitos necessários para cumprir a tarefa proposta.</p><p>Vamos Começar!</p><p>O conceito de derivada é fundamental na modelagem de fenômenos que envolvem taxas de variação, especialmente no caso instantâneo. Um exemplo notável é a</p><p>determinação da velocidade instantânea de um móvel, que está diretamente relacionada à derivada da função posição correspondente. Além disso, graficamente,</p><p>a derivada de uma função em um ponto pode ser interpretada como a inclinação, ou coeficiente angular, da reta tangente ao gráfico da função nesse ponto</p><p>específico.</p><p>Para definir uma derivada, é fundamental que o limite correspondente exista, permitindo a determinação tanto da derivada no ponto quanto da função derivada,</p><p>juntamente com suas características e notações específicas.</p><p>Embora a derivada esteja intrinsecamente ligada ao cálculo de limites por definição, podemos obter regras de derivação por meio da consideração de limites mais</p><p>gerais, o que nos permite aplicá-las em diversas situações sem a necessidade de recalcular limites repetidamente, desde que as funções envolvidas sejam</p><p>diferenciáveis. Vejamos, a segui, algumas regras que podem ser aplicadas nesse estudo.</p><p>Regras de derivação: produto e quociente</p><p>Além das regras de derivação envolvendo constantes, potências, soma, diferença, multiplicação por escalar, também podemos definir regras de derivação para</p><p>produto e quociente de funções, conforme apresentado a seguir.</p><p>(1) Regra do produto: Se f e g forem funções diferenciáveis em um conjunto X , então o produto fg também é diferenciável, com:</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )f ( )x g ( )x =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )f ( )x g ( )x +f ( )x</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )g ( )x</p><p>Podemos, ainda, representar a regra da forma ( )fg ' ( )x = f ' ( )x g ( )x +f ( )x g ' ( )x , empregando a notação linha na representação das derivadas.</p><p>Exemplo: calculando a derivada de f ( )x =xex obtemos:</p><p>f ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x ⋅ ex+x ⋅ d</p><p>dx</p><p>( )ex =ex+xex</p><p>(2) Regra do quociente: Se f e g forem funções diferenciáveis em X , com g ( )x ≠0, então o quociente f/g também é diferenciável, com:</p><p>d</p><p>dx</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>f (x)</p><p>g ( )x</p><p>=</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx ( )f ( )x g ( )x −f ( )x</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx ( )g ( )x</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦g ( )x 2</p><p>Podemos, ainda, representar a regra da forma (f/g )' (x)=</p><p>f ' ( )x g ( )x −f ( )x g ' ( )x</p><p>( )g ( )x 2 , utilizando a notação linha na representação das derivadas.</p><p>Exemplo: calculando a derivada de g ( )x =</p><p>ex</p><p>x</p><p>obtemos:</p><p>g ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx ( )ex ⋅ x−ex ⋅ d</p><p>dx (x)</p><p>x2 =</p><p>ex ⋅ x−ex ⋅ 1</p><p>x2 =</p><p>xex−ex</p><p>x2</p><p>Agora, com base nas regras apresentadas, observe como determinar a derivada da função q ( )x =</p><p>3x2−1</p><p>x3 . Podemos empregar duas estratégias diferentes nesse</p><p>caso:</p><p>Opção 1: Podemos interpretar a função q como um produto de funções da forma q ( )x = ( )3x2−1 x−3 e, nesse caso, aplicar a regra do produto tomando f ( )x =3x2−1</p><p>e g ( )x =x−3. Assim, f ' ( )x =6x e g ' ( )x = ( )−3 x−4, e:</p><p>q ' ( )x = f ' ( )x g ( )x +f ( )x g ' ( )x = ( )6x ( )x−3 + ( )3x2−1 ( )( )−3 x−4 =6x−2+ ( )−3 ( )3x−2−x−4 =6x−2−9x−2+3x−4=−3x−2+3x−4=−</p><p>3</p><p>x2 +</p><p>3</p><p>x4</p><p>Logo, q ' ( )x =−</p><p>3</p><p>x2 +</p><p>3</p><p>x4 .</p><p>Opção 2: Podemos aplicar a regra do quociente tomando f ( )x =3x2−1 e g ( )x =x3. Desse modo, f ' ( )x =6x , ( )g ( )x 2=x6 e g ' ( )x =3x2 , logo:</p><p>q ' ( )x =</p><p>f ' ( )x g ( )x −f ( )x g ' ( )x</p><p>( )g ( )x 2 =</p><p>( )6x ( )x3 − (3x2−1) (3x2)</p><p>x6 =</p><p>6x4−3 (3x4−x2)</p><p>x6 =</p><p>6x4−9x4+3x2</p><p>x6 =</p><p>−3x4+3x2</p><p>x6 =</p><p>−3x4</p><p>x6 +</p><p>3x2</p><p>x6 =−</p><p>3</p><p>x2 +</p><p>3</p><p>x4</p><p>Portanto, q ' ( )x =−</p><p>3</p><p>x2 +</p><p>3</p><p>x4 .</p><p>Além dessas duas possibilidades, note que podemos simplificar a lei de formação da função q da seguinte forma:</p><p>q (x)=</p><p>3x2−1</p><p>x3 =</p><p>3x2</p><p>x3 −</p><p>1</p><p>x3 =</p><p>3</p><p>x</p><p>−</p><p>1</p><p>x3 =3x−1−x−3.</p><p>Com isso, a derivada de q pode ser obtida da seguinte forma:</p><p>q' (x)=3 (−1)x−2− (−3)x−4=−3x−2+3x−4=−</p><p>3</p><p>x2 +</p><p>3</p><p>x4</p><p>Além dessas possibilidades, podemos simplificar a lei de formação de q como segue:</p><p>q ( )x =</p><p>3x2−1</p><p>x3 =</p><p>3x2</p><p>x3 −</p><p>1</p><p>x3 =</p><p>3</p><p>x</p><p>−</p><p>1</p><p>x3 =3x−1−x−3</p><p>Assim, a derivada será:</p><p>q ' ( )x =3 ( )( )−1 x−2 − ( )−3 x−4=−3x−2+3x−4=−</p><p>3</p><p>x2 −</p><p>3</p><p>x4</p><p>Dessa forma, podemos calcular as derivadas de funções que são apresentadas na forma de produtos e quocientes, sabendo que essas regras podem ser</p><p>articuladas com as demais regras, como a soma e a diferença de funções, por exemplo.</p><p>É importante destacar que a regra da potência pode ser aplicada também para expoentes não inteiros. Observe o caso da função f ( )x =3 x4=x4/3. Calculando a</p><p>primeira derivada teremos:</p><p>f ' ( )x =</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>4</p><p>3 −1</p><p>=</p><p>4</p><p>3</p><p>x</p><p>1</p><p>3 =</p><p>4</p><p>3</p><p>3 x</p><p>De forma geral, podemos resumir as regras de derivação como segue:</p><p>(a) d</p><p>dx</p><p>( )c =0, com c∈ℝ;</p><p>(b) d</p><p>dx</p><p>( )xn =nxn−1 com n∈ℝ;</p><p>(c) d</p><p>dx</p><p>( )cf =c ⋅</p><p>df</p><p>dx</p><p>, com c∈ℝ;</p><p>(d) d</p><p>dx</p><p>( )f+g =</p><p>df</p><p>dx</p><p>+</p><p>dg</p><p>dx</p><p>;</p><p>(e) d</p><p>dx</p><p>( )fg =</p><p>df</p><p>dx</p><p>⋅ g+f ⋅ dg</p><p>dx</p><p>;</p><p>(f) d</p><p>dx</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>f</p><p>g</p><p>=</p><p>df</p><p>dx ⋅ g−f ⋅ dg</p><p>dx</p><p>g2 .</p><p>Vejamos outras aplicações das regras estudadas associando com funções logarítmicas e trigonométricas.</p><p>Vamos determinar a derivada de f ( )x =</p><p>ln x</p><p>x</p><p>. Aplicando a regra do quociente e sabendo que d</p><p>dx</p><p>( )ln x =</p><p>1</p><p>x</p><p>e d</p><p>dx</p><p>( )x =1, obtemos, pela regra do quociente:</p><p>f ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx (ln x) ⋅ x− ln x ⋅ d</p><p>dx ( )x</p><p>x2 =</p><p>1</p><p>x ⋅ x− ln x ⋅ 1</p><p>x2 =</p><p>1− ln x</p><p>x2</p><p>Logo, f ' ( )x =</p><p>1− ln x</p><p>x2 . Agora, determinemos a derivada da função tangente f ( )x = tg x . Como tg x=</p><p>sen x</p><p>cos x</p><p>, pela regra do quociente teremos:</p><p>d</p><p>dx</p><p>(tg x)=</p><p>d</p><p>dx</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>sen x</p><p>cos x</p><p>=</p><p>d</p><p>dx (sen x) ⋅ cos x−sen x ⋅ d</p><p>dx ( )cos x</p><p>( )cos x 2 =</p><p>cos x ⋅ cos x−sen x ⋅ ( )−sen x</p><p>cos2 x</p><p>=</p><p>cos2 x+sen2 x</p><p>cos2 x</p><p>=</p><p>1</p><p>cos2 x</p><p>=sec2 x</p><p>Portanto, d</p><p>dx</p><p>( )tg x =sec2 x.</p><p>Além das regras já vistas, vamos analisar a regra direcionada a funções compostas, denominada regra da cadeia.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Regra da cadeia</p><p>Se g for derivável em x e f for derivável em g ( )x , então a composição f ∘g será derivável em x . Além disso, a derivada da função composta ( )f ∘g ( )x = f ( )g ( )x será</p><p>dada por:</p><p>(f ( )g ( )x '= f ' ( )g ( )x ⋅ g ' ( )x</p><p>Se y= f ( )u e u=g ( )x , a regra da cadeia assume a forma:</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=</p><p>dy</p><p>du</p><p>⋅ du</p><p>dx</p><p>A demonstração da regra da cadeia pode ser encontrada na seção 3.4, página 177, do livro Cálculo – Volume 1, de James Stewart, o qual está disponível em</p><p>Minha Biblioteca.</p><p>Considere a função h ( )x = ( )x2+1 7. A função h pode ser entendida como a composta h= f ∘g em que f ( )u =u7 e g ( )x =x2+1. Sabemos que f ' ( )u =7u6 e g ' ( )x =2x,</p><p>pela regra da potência, da soma e da constante. Aplicando a regra da cadeia obtemos:</p><p>h ' ( )x = (f ( )g ( )x '=</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦7 ( )x2+1 6 ⋅ ( )2x =14x ( )x2+1 6</p><p>Portanto, h ' ( )x =14x ( )x2+1 6.</p><p>A regra da cadeia aplicada a uma função composta ( )f ∘g ( )x = f (g (x)) assume a forma (f ( )g ( )x '= f ' (g ( )x ⋅ g ' ( )x . Se pensarmos em f como a função “de fora” e g como</p><p>a função “de dentro”, então a derivada da função composta pode ser entendida como a derivada da função “de fora”, aplicada na função “de dentro”, multiplicada</p><p>pela derivada da função “de dentro”.</p><p>Com a regra da cadeia, podemos avaliar as derivadas de funções compostas por meio da articulação com as demais regras de derivação, em conjunto com as</p><p>derivadas conhecidas para as funções pertencentes às principais categorias, como polinomiais, exponenciais etc. Logo, complementando esse estudo, observe, a</p><p>seguir, outros exemplos de cálculo de derivadas de funções.</p><p>(a) f ( )x = ( )x+1 cos x</p><p>Para a função f precisamos</p><p>empregar, dentre outras, a regra do produto. Nesse caso,</p><p>f ' ( )x = ( )x+1 'cos x+ ( )x+1 ( )cos x '= ( )1 cos x+ ( )x+1 ( )−sen x =cos x−xsen x−sen x</p><p>Logo, f ' ( )x =cos x−xsen x−sen x.</p><p>(b) g ( )x =x2ln x</p><p>Para a função g precisamos empregar, dentre outras, a regra do produto. Assim,</p><p>g ' ( )x = ( )x2 'ln x+x2 ( )ln x '= ( )2x ln x+x2 ⋅ 1</p><p>x</p><p>=2xln x+x</p><p>Desse modo, g ' ( )x =2xln x+x.</p><p>(c) h ( )x =</p><p>x</p><p>sen x</p><p>Empregando, dentre outras, a regra do quociente, teremos:</p><p>h ' ( )x =</p><p>( )x 'sen x−x (sen x)'</p><p>( )sen x 2 =</p><p>1 ⋅ sen x−x ⋅ cos x</p><p>sen2 x</p><p>=</p><p>sen x−xcos x</p><p>sen2 x</p><p>Dessa forma, h ' ( )x =</p><p>sen x−xcos x</p><p>sen2 x</p><p>.</p><p>(d) i ( )x =</p><p>x+2</p><p>3x+5</p><p>Aplicando a regra do quociente, dentre outras, segue que:</p><p>i ' ( )x =</p><p>( )x+2 ' ( )3x+5 − (x+2) (3x+5)'</p><p>( )3x+5 2 =</p><p>( )1 ' ( )3x+5 − (x+2) (3)'</p><p>( )3x+5 2</p><p>=</p><p>( )3x+5 −3 (x+2)</p><p>( )3x+5 2 =</p><p>3x+5−3x−6</p><p>( )3x+5 2 =</p><p>−1</p><p>( )3x+5 2</p><p>Sendo assim, i ' ( )x =−</p><p>1</p><p>( )3x+5 2 .</p><p>(e) j ( )x =</p><p>1</p><p>( )x2−x 5</p><p>Podemos reescrever a função j ( )x na forma:</p><p>j ( )x = ( )x2−x −5</p><p>Pela regra da cadeia, dentre outras, segue que:</p><p>j ' ( )x = ( )−5 ( )x2−x −5−1 ( )2x−1 = ( )−10x+5 ( )x2−x −6=</p><p>−10x+5</p><p>( )x2−x 6</p><p>Logo, j ' ( )x =</p><p>−10x+5</p><p>( )x2−x 6 .</p><p>(f)</p><p>Pela regra do quociente, dentre outras, teremos:</p><p>k ' ( )x =</p><p>( )x ' 1+x2−x ( )1+x2 '</p><p>( )1+x2 2 =</p><p>( )x ' 1+x2−x ( )1+x2 '</p><p>( )1+x2 2</p><p>Reescrevendo a função a ( )x = 1+x2 como a ( )x = ( )1+x2 1/2, aplicando a regra da cadeia teremos a ' ( )x =</p><p>1</p><p>2</p><p>( )1+x2 −1/2=</p><p>1</p><p>2 1+x2</p><p>. Desse modo,</p><p>k ' ( )x =</p><p>(1) 1+x2−x ⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>1</p><p>2 1+x2</p><p>( )1+x2 2 =</p><p>1+x2−</p><p>x</p><p>2 1+x2</p><p>( )1+x2 2 =</p><p>2 ( )1+x2 2</p><p>−x</p><p>2 1+x2</p><p>( )1+x2 2</p><p>=</p><p>2( )1+x2 2</p><p>−x</p><p>2 ( 1+x2 ) ( )1+x2 2 =</p><p>2( )1+x2 2</p><p>−x</p><p>2( )1+x2 3 =</p><p>1</p><p>1+x2</p><p>−</p><p>x</p><p>2( )1+x2 3</p><p>Portanto, k ' ( )x =</p><p>1</p><p>1+x2</p><p>−</p><p>x</p><p>2( )1+x2 3 .</p><p>As regras de diferenciação são estratégias importantes para o cálculo de derivadas, desde que as funções envolvidas atendam aos critérios necessários para a</p><p>existência dos limites correspondentes. Além disso, é importante transitar entre as diferentes representações para derivadas, selecionando de acordo com o tipo</p><p>de estudo a ser realizado.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Com base nas regras de derivação, vamos analisar as funções apresentadas e calcular as respectivas derivadas de 1ª ordem.</p><p>(a) Seja f ( )x =</p><p>3cos ( )x</p><p>ex .</p><p>Como essa função é representada por um quociente entre as funções p ( )x =3cos ( )x e q ( )x =ex, podemos empregar a regra do quociente, em conjunto com os</p><p>conhecimentos de derivadas das funções trigonométricas e exponenciais. Sabemos que p ' ( )x =−3sen ( )x e q ' ( )x =ex , logo:</p><p>f ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>3cos ( )x</p><p>ex =</p><p>d</p><p>dx</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎦3cos ( )x ⋅ ex−3cos ( )x ⋅</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx ( )ex</p><p>( )ex 2</p><p>=</p><p>3 ⋅ d</p><p>dx ( )cos ( )x ⋅ ex−3cos ( )x ⋅</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx ( )ex</p><p>( )ex 2 =</p><p>3 ⋅ ( )−sen ( )x ⋅ ex−3cos ( )x ⋅ ex</p><p>ex ⋅ ex</p><p>=</p><p>−3sen ( )x −3cos ( )x</p><p>ex</p><p>Sendo assim, f ' ( )x =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )f ( )x =</p><p>−3sen ( )x −3cos ( )x</p><p>ex .</p><p>(b) Seja g (x)= ( )1−2x3 ( )x2−x3</p><p>Para calcular a derivada de g ( )x , podemos empregar diferentes procedimentos. Uma possibilidade é aplicar a distributividade, expressar g ( )x como um polinômio e</p><p>aplicar as propriedades da soma, multiplicação por escalar e potência. Vamos resolver pela regra do produto considerando a ( )x =1−2x3 e b ( )x =x2−x3. Sabemos</p><p>que a ' ( )x =−6x2 e b ' ( )x =2x−3x2, logo:</p><p>g ' ( )x =</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )1−2x3 ⋅ ( )x2−x3 + ( )1−2x3 ⋅</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x2−x3</p><p>= ( )−6x2 ⋅ ( )x2−x3 + ( )1−2x3 ⋅ ( )2x−3x2</p><p>=−6x4+6x5+2x−3x2−4x4+6x5=2x−3x2−10x4+12x5</p><p>Dessa forma, podemos concluir que g ' ( )x =2x−3x2−10x4+12x5, o que finaliza a tarefa proposta.</p><p>Saiba Mais</p><p>Uma sugestão de material complementar para o estudo de regras de derivação é o livro Cálculo, volume 1, de Stewart, Clegg e Watson. Nesse caso, confira as</p><p>seções de 3.2 “As regras do produto e quociente”, entre as páginas 174 e 179, e 3.4 “A regra da cadeia”, entre as páginas 181 e 187.</p><p>O livro Cálculo, volume 1, de Howard, Bivens e Davis, é outra sugestão de material complementar para aprofundamento do estudo das estratégias de cálculo de</p><p>derivadas. Para isso, estude as seções 2.4 “Regras do produto e do quociente” até 2.6 “Regra da cadeia”, entre as páginas 163 e 178.</p><p>Para complementar o estudo das regras de derivação para funções reais, consulte a obra Um curso de cálculo, volume 1, de Guidorizzi. Nesse livro, o tema em</p><p>questão é discutido nas seções 7.7 “Regras de derivação”, da página 153 até a 156, e na seção 7.10 “Regra da cadeia para derivação de função composta”, entre</p><p>as páginas 168 e 169.</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>ANTON, Howard; BIVENS, Irl C.; DAVIS, Stephen L.; et al. Cálculo. v.1. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo. v.1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. E-book. ISBN 9788521635574. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.</p><p>SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.</p><p>STEWART, James; CLEGG, Daniel; WATSON, Saleem. Cálculo. v.1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021. E-book. ISBN 9786555584097. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>Aula 4</p><p>DERIVAÇÃO IMPLÍCITA</p><p>Derivação implícita</p><p>Olá, estudante!</p><p>Nesta videoaula você irá conhecer estratégias para o cálculo de derivadas de funções definidas implicitamente.</p><p>Esse conteúdo é importante para sua prática profissional, pois existem situações nas quais não conseguimos descrever um fenômeno por meio de uma função na</p><p>forma , mas sim de forma implícita, sendo essencial o emprego da derivação implícita quando é necessário investigar, por exemplo, taxas de variação ou</p><p>inclinação de retas tangentes a curvas em pontos dados.</p><p>Prepare-se para essa jornada de conhecimento!</p><p>Ponto de Partida</p><p>Desejamos a você boas-vindas!</p><p>Nesta aula estudaremos a derivação implícita, observando que existem situações em que não conseguimos expressar a derivada como uma função do tipo y=g ( )x</p><p>, mas conseguimos apenas representá-la de forma implícita em uma igualdade.</p><p>A derivação implícita é uma técnica poderosa na análise de funções definidas implicitamente, ou seja, aquelas em que a variável dependente não é explicitamente</p><p>isolada. Em vez de resolver diretamente a função para a variável dependente, tratamos a função como uma equação e derivamos ambas as variáveis</p><p>independentes e dependentes com relação à variável independente. Isso nos permite encontrar a taxa de variação da variável dependente em termos da variável</p><p>independente, mesmo quando não podemos isolar a variável dependente explicitamente.</p><p>Assim, para complementar os estudos a respeito desse tema, a primeira tarefa proposta é determinar a derivada de 1ª ordem da função f ( )x = sen3 x , reconhecendo</p><p>as regras de derivação empregadas. Em seguida, a segunda tarefa é determinar a equação da reta tangente à curva x3+y3=2 no ponto ( )1,1 .</p><p>Quais estratégias podem ser empregadas no estudo das tarefas propostas? Prossiga em seus estudos e confira os conceitos necessários para solucionar os</p><p>desafios propostos.</p><p>Vamos Começar!</p><p>As derivadas são empregadas, dentre outras situações, no estudo de problemas que envolvam taxas de variação, como é o caso do estudo da velocidade em</p><p>relação ao tempo, a qual pode ser entendida como a taxa de variação da função posição no tempo. Nesse tipo de estudo, como o objetivo não é demonstrar a</p><p>validade de resultados, mas utilizar os conceitos matemáticos na resolução e interpretação de problemas reais. Podemos recorrer às regras de derivação com o</p><p>intuito de determinar derivadas, aplicando-as nos estudos a serem realizados. Dentre as principais regras de derivação, podemos destacar as regras da soma, do</p><p>produto,</p><p>do quociente, de potências, de constantes, da cadeia, entre outras.</p><p>As regras de derivação podem ser aplicadas na determinação de derivadas de funções como y=cos ( )e2x ou y=x3+4ln ( )x−1 , por exemplo. Em ambos os casos</p><p>temos uma função da forma y= f ( )x , a qual define y explicitamente como uma função de x. No entanto, existem funções que são definidas implicitamente, como é</p><p>o caso de x2+y2=3xy, por exemplo, isto é, não é possível isolar y de tal forma a representá-lo como uma função explícita de x . Porém, ainda que tenhamos esse</p><p>tipo de problema, podemos empregar o método da derivação implícita com o objetivo de determinar, por exemplo, dy</p><p>dx</p><p>, mesmo que de forma implícita, o que</p><p>viabiliza a solução de problemas modelados por funções dessa natureza. Para o estudo desse tipo de situação, precisamos estudar o processo de derivação</p><p>implícita, que será apresentado a seguir.</p><p>Derivação implícita</p><p>Consideremos a equação do círculo unitário x2+y2=1, na qual y é dado implicitamente em função de x. Queremos determinar dy</p><p>dx</p><p>e, para isso, iniciaremos</p><p>derivando os dois membros da igualdade em relação a x :</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x2+y2 =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )1</p><p>Pelas regras de derivada da soma, da potência e da constante obtemos:</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x2 +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2 =0</p><p>2x+</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2 =0</p><p>Note que y é uma função de x , ainda que definida implicitamente. Desse modo, se y= f ( )x , então y2= ( )f ( )x 2 e, pela regra da cadeia, teremos que:</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2 =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )( )f ( )x 2 = ( )2f ( )x ⋅ d</p><p>dx</p><p>( )f ( )x =2y ⋅ dy</p><p>dx</p><p>Logo, d</p><p>dx</p><p>( )y2 =2y ⋅ dy</p><p>dx</p><p>, o que implica:</p><p>2x+</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2 =0</p><p>2x+2y ⋅ dy</p><p>dx</p><p>=0</p><p>2y ⋅ dy</p><p>dx</p><p>=−2x</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=−</p><p>2x</p><p>2y</p><p>=−</p><p>x</p><p>y</p><p>Sendo assim, dy</p><p>dx</p><p>=−</p><p>x</p><p>y</p><p>.</p><p>Observe que é possível determinar dy</p><p>dx</p><p>, ainda que y seja dado implicitamente em função de x , desde que consideremos y= f ( )x e a aplicação da regra da cadeia a</p><p>y. Vejamos outro exemplo de aplicação da derivação implícita.</p><p>Queremos determinar a inclinação da reta tangente, no ponto P ( )1,2 , da curva descrita pela equação y2+2xy=x3−x+8. Sabemos que a inclinação da reta tangente</p><p>pode ser dada por uma derivada, no caso, dy</p><p>dx</p><p>aplicada ao ponto P . Mas como y é dado implicitamente como função de x, então podemos aplicar a derivação</p><p>implícita.</p><p>Iniciemos derivando ambos os membros da equação em relação a x e aplicando as regras da soma, do produto, da potência, da constante e da multiplicação por</p><p>escalar, como segue:</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2+2xy =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3−x+8</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2 +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )2xy =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3 +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )−x +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )8</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2 +2</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )xy =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3 −</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )8</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2 +2</p><p>⎡</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎢</p><p>⎣</p><p>⎤</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎥</p><p>⎦</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x ⋅ y+x ⋅ d</p><p>dx</p><p>( )y +3x2−1+0</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y2 +2y+2x ⋅ dy</p><p>dx</p><p>=3x2−1</p><p>Como d</p><p>dx</p><p>( )y2 =2y ⋅ dy</p><p>dx</p><p>, pois y=y (x), então:</p><p>2y ⋅ dy</p><p>dx</p><p>+2y+2x ⋅ dy</p><p>dx</p><p>=3x2−1</p><p>( )2y+2x</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=3x2−1−2y</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=</p><p>3x2−1−2y</p><p>2y+2x</p><p>Queremos determinar a inclinação da reta tangente em P ( )1,2 , então basta tomar x=1 e y=2 na expressão de dy</p><p>dx</p><p>, donde segue que:</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>dy</p><p>dx (1,2)</p><p>=</p><p>3 ⋅ 12−1−2 ⋅ 2</p><p>2 ⋅ 2+2 ⋅ 1</p><p>=</p><p>3−1−4</p><p>4+2</p><p>=−</p><p>2</p><p>6</p><p>=−</p><p>1</p><p>3</p><p>Portanto, a inclinação da reta tangente à curva em questão no ponto P ( )1,2 é igual a − 1</p><p>3</p><p>.</p><p>Para aplicar a derivação implícita na determinação de dy</p><p>dx</p><p>, quando x e y estão relacionados a partir de uma equação, em que y é dado implicitamente em função</p><p>de x, podemos empregar a seguinte estratégia:</p><p>Passo 1: derivar ambos os membros da equação em relação à variável independente (geralmente x );</p><p>Passo 2: resolver em dy</p><p>dx</p><p>, isto é, agrupar os termos envolvendo dy</p><p>dx</p><p>em um membro da equação e os demais termos no outro lado da equação.</p><p>É importante sempre lembrar que a derivada de qualquer função dependendo de y, em relação a x, envolve a aplicação da regra da cadeia, o que origina um</p><p>produto pelo termo dy</p><p>dx</p><p>.</p><p>A derivação implícita também pode ser estudada quando desejamos determinar derivadas associadas a funções inversas.</p><p>Por exemplo, seja a função y= f ( )x =x5+x+1, a qual admite inversa. Queremos determinar a derivada da função inversa de f , sabendo que essa inversa é uma</p><p>função f −1 tal que x= f −1 ( )y , isto é, uma função que depende de y . Assim, sua derivada será dada por dx</p><p>dy</p><p>, pois, nesse caso, a variável independente do problema</p><p>é y.</p><p>Diante dessa informação, e considerando a lei de formação da função f , derivando implicitamente a expressão de f em relação a y, e sabendo que x depende de</p><p>y porque desejamos avaliar o comportamento da inversa f −1, obtemos:</p><p>d</p><p>dy</p><p>( )y =</p><p>d</p><p>dy</p><p>( )x5+x+1</p><p>1=</p><p>d</p><p>dy</p><p>( )x5 +</p><p>d</p><p>dy</p><p>( )x +</p><p>d</p><p>dy</p><p>( )1</p><p>1=5x4 ⋅ dx</p><p>dy</p><p>+</p><p>dx</p><p>dy</p><p>+0</p><p>1= ( )5x4+1</p><p>dx</p><p>dy</p><p>dx</p><p>dy</p><p>=</p><p>1</p><p>5x4+1</p><p>Como não é possível reescrever a igualdade y=x5+x+1 de modo a representar y explicitamente em função de x, então podemos manter a expressão de dx</p><p>dy</p><p>da</p><p>forma como foi obtida, concluindo que dx</p><p>dy</p><p>=</p><p>1</p><p>5x4+1</p><p>corresponde à derivada da função inversa de f ( )x =x5+x+1. Logo, se temos que y= f ( )x admite inversa,</p><p>sabendo que f ' ( )x =</p><p>dy</p><p>dx</p><p>, então a inversa x= f −1 ( )y é diferenciável, com sua derivada ( )f −1 '</p><p>( )y =</p><p>dx</p><p>dy</p><p>.</p><p>Portanto, podemos aplicar a derivação implícita no estudo de funções que são definidas implicitamente e, ainda, empregar essas derivadas para a resolução de</p><p>problemas envolvendo inclinação de reta tangente, taxas de variação, funções inversas, entre outras.</p><p>No tópico a seguir, vamos explorar as principais regras de derivação e conceitos por meio da prática do cálculo de derivadas.</p><p>Siga em Frente...</p><p>Calculando derivadas de funções</p><p>(a) Calcule a derivada de 1ª ordem da função f ( )x = ( )x2+1 4 x3+5 .</p><p>Podemos reescrever a função f como f ( )x = ( )x2+1 ( )x3+5 1/4.</p><p>Empregando a regra do produto e a regra da cadeia teremos:</p><p>f ' ( )x = ( )x2+1 '</p><p>( )x3+5</p><p>1</p><p>4+ ( )x2+1</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎠( )x3+5</p><p>1</p><p>4</p><p>'</p><p>= ( )2x ( )x3+5</p><p>1</p><p>4+ ( )x2+1</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>1</p><p>4</p><p>( )x3+5</p><p>−</p><p>3</p><p>4 ( )3x2</p><p>=2x ( )x3+5 1</p><p>( )x3+5</p><p>−</p><p>3</p><p>4+</p><p>3</p><p>4</p><p>x2 ( )x2+1 ( )x3+5</p><p>−</p><p>3</p><p>4</p><p>= ( )x3+5</p><p>−</p><p>3</p><p>4 ⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>2x ( )x3+5 +</p><p>3</p><p>4</p><p>x2 ( )x2+1 =</p><p>2x4+10x+</p><p>3</p><p>4 x4+</p><p>3</p><p>4 x2</p><p>( )x3+5</p><p>3</p><p>4</p><p>=</p><p>11</p><p>4 x4+</p><p>3</p><p>4 x2+10x</p><p>( )x3+5</p><p>3</p><p>4</p><p>=</p><p>11x4+3x2+40x</p><p>4 ( )x3+5 3/4</p><p>(b) Determine a derivada de g ( )x =x ⋅ 6−5x .</p><p>Empregando a regra do produto e a regra da cadeia, teremos:</p><p>g ' ( )x = ( )x '6−5x+x ( )6−5x '=1 ⋅ 6−5x+x ( )6−5x ⋅ ln 6 ⋅ ( )−5 =6−5x ( )1−5ln 6 ⋅ x</p><p>(c) Determine a equação da reta tangente ao gráfico de h ( )x =</p><p>ex2</p><p>x</p><p>em x=2.</p><p>Vamos determinar o ponto ( )x,y tal que x=2. Nesse caso,</p><p>h ( )2 =</p><p>e22</p><p>2</p><p>=</p><p>e4</p><p>2</p><p>Assim, teremos o ponto (2,</p><p>e4</p><p>2</p><p>). Agora, calculando a derivada teremos:</p><p>h ' ( )x =</p><p>( )ex2 '</p><p>x−ex2</p><p>(x)'</p><p>x2 =</p><p>( )ex2</p><p>⋅ 2x x−ex2</p><p>⋅ 1</p><p>x2 =</p><p>2x2ex2</p><p>−ex2</p><p>x2</p><p>Calculando h ' ( )2 obtemos:</p><p>h ' ( )2 =</p><p>2 ⋅ 22 ⋅ e22</p><p>−e22</p><p>22 =</p><p>8e4−e4</p><p>4</p><p>=</p><p>7e4</p><p>4</p><p>Para a equação da reta tangente teremos:</p><p>y−</p><p>e4</p><p>2</p><p>=</p><p>7e4</p><p>4</p><p>( )x−2</p><p>y=</p><p>7e4</p><p>4</p><p>x−</p><p>14e4</p><p>4</p><p>+</p><p>2e4</p><p>4</p><p>⇒ y=</p><p>7e4</p><p>4</p><p>x−3e4</p><p>(d) Determine a derivada dy</p><p>dx</p><p>de x3y3+xcos y=7.</p><p>Calculando a derivada em ambos os membros em relação a x obtemos:</p><p>d</p><p>dx</p><p>(x3y3+xcos y)=</p><p>d</p><p>dx</p><p>(7)</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3y3 +</p><p>d</p><p>dy</p><p>(xcos y)=0</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3 ⋅ y3+x3 ⋅ d</p><p>dy</p><p>( )y3 +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x ⋅ cos y+x ⋅ d</p><p>dx</p><p>( )cos y =0</p><p>3x2y3+x3 ⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>3y2 ⋅ dy</p><p>dx</p><p>+1 ⋅ cos y+x</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>−sen y ⋅ dy</p><p>dx</p><p>=0</p><p>3x2y3+3x3y2 dy</p><p>dx</p><p>+cos y−xsen y</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=0</p><p>( )3x3y2−xsen y</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=−3x2y3−cos y</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=</p><p>−3x2y3−cos y</p><p>3x3y2−xsen y</p><p>Quando resolvemos problemas empregando as regras de derivação ou derivação implícita, precisamos estudar as funções ou equações para identificar as</p><p>estratégias e regras que devem ser aplicadas, além de ter o conhecimento das derivadas das funções mais utilizadas, como polinomiais, racionais, exponenciais,</p><p>logarítmicas e trigonométricas. É por meio da prática das regras de derivação que podemos desenvolver as estratégias mais adequadas e eficientes para a</p><p>resolução dos problemas envolvendo as derivadas. E para esses estudos, não se esqueça de que a diferenciabilidade das funções nos pontos ou conjuntos é</p><p>imprescindível para a aplicação das regras de derivação e a resolução dos problemas relacionados.</p><p>Vamos Exercitar?</p><p>Para</p><p>a resolução das tarefas propostas, iniciemos pelo primeiro problema. Nesse caso, calculando a derivada de f ( )x = sen3 x= ( )sen x 3 pela regra da cadeia</p><p>teremos:</p><p>f ' ( )x =3 ( )sen x 2 ( )cos x =3sen2 xcos x</p><p>No caso da segunda tarefa, devemos determinar a equação da reta tangente à curva x3+y3=2 em ( )1,1 . Como a curva é tal que sua equação expressa y</p><p>implicitamente em função de x, precisamos inicialmente avaliar a inclinação da reta tangente por meio da aplicação da estratégia da derivação implícita à equação</p><p>da curva. Para isso, derivando ambos os membros da equação em relação à x, aplicando regra da cadeia, da soma, da potência e da constante, obtemos:</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3+y3 =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )2</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )x3 +</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y3 =</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )2</p><p>3x2+</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )y3 =0</p><p>3x2+3y2 ⋅ dy</p><p>dx</p><p>=0</p><p>3y2 ⋅ dy</p><p>dx</p><p>=−3x2</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=−</p><p>3x2</p><p>3y2 =−</p><p>x2</p><p>y2</p><p>Sendo assim, a inclinação da reta tangente pode ser avaliada a partir de dy</p><p>dx</p><p>. Como desejamos estudar a equação da reta tangente em ( )1,1 , substituindo x=1 e</p><p>y=1 em dy</p><p>dx</p><p>obtemos a inclinação da reta tangente desejada, que é dada por dy</p><p>dx</p><p>=−1. Sendo assim, como a reta tangente consiste na reta com inclinação −1,</p><p>passando pelo ponto ( )1,1 , sua equação será:</p><p>y−1= ( )−1 ( )x−1</p><p>y=−x+1+1</p><p>y=−x+2</p><p>Portanto, a equação da reta tangente é y=−x+2.</p><p>Saiba Mais</p><p>O livro Cálculo, volume 1, de Howard, Bivens e Davis, é uma sugestão interessante de material complementar para aprofundamento do estudo da derivação</p><p>implícita. Para isso, consulte a seção 3.1 “Derivação implícita”, entre as páginas 185 e 190. Recomendamos que estude os exemplos apresentados,</p><p>complementando seus estudos acerca do tema em questão.</p><p>No livro Cálculo, volume 1, de Rogawski e Adams, você também encontrará exemplos e abordagens interessantes para complementar seus estudos acerca das</p><p>derivadas implícitas. Para isso, sugerimos que você estude a seção 3.8 “Derivação implícita”, da página 167 até a 171.</p><p>Para complementar o estudo de derivadas, consulte a obra Um curso de cálculo, volume 1, de Guidorizzi. Nesse livro, indicamos que você estude a seção 7.13</p><p>“Derivação da função dada implicitamente”, entre as páginas 182 e 187, de modo a complementar seus estudos acerca do cálculo de derivadas de funções</p><p>definidas implicitamente.</p><p>Referências Bibliográficas</p><p>ANTON, Howard; BIVENS, Irl C.; DAVIS, Stephen L.; et al. Cálculo. v.1. 10 ed. Porto Alegre: Bookman, 2014. E-book. ISBN 9788582602263. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>GUIDORIZZI, Hamilton L. Um Curso de Cálculo. v.1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. E-book. ISBN 9788521635574. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>ROGAWSKI, Jon; ADAMS, Colin; DOERING, Claus I. Cálculo. v.1. 3 ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. E-book. ISBN 9788582604601. Disponível em:</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/. Acesso em: 15 abr. 2024.</p><p>SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. v. 1. 9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021.</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>DERIVADAS E REGRAS DE DERIVAÇÃO</p><p>Videoaula de Encerramento</p><p>Olá, estudante!</p><p>Nesta videoaula você irá retomar os principais conceitos envolvendo as derivadas, especialmente a definição, as regras de derivação e suas aplicações.</p><p>Esse conteúdo é importante para a sua prática profissional, pois a partir da derivada de uma função podemos obter informações a respeito da função original,</p><p>sendo esse conhecimento bastante útil para a construção e o estudo de modelos matemáticos vinculados a problemas reais.</p><p>Prepare-se para essa jornada de conhecimento!</p><p>Ponto de Chegada</p><p>Para desenvolver a competência desta unidade, que é reconhecer as regras de derivação e suas aplicações na resolução de problemas, você deverá,</p><p>primeiramente, conhecer os conceitos fundamentais envolvendo as derivadas, sabendo que elas são definidas formalmente com base nos limites de funções.</p><p>As derivadas de funções podem ser associadas à inclinação das retas tangentes aos gráficos das funções, bem como a taxas de variação correspondentes, sendo</p><p>as primeiras motivações para o estudo desse conceito. No entanto, existem outras possibilidades para isso. Dessa forma, precisamos saber determinar as</p><p>derivadas de funções corretamente.</p><p>O cálculo de derivadas é feito com base no conceito de limites, quando observamos a definição formal. No entanto, podemos empregar regras de derivação com o</p><p>intuito de efetuar os cálculos de forma simplificada, visto que são estratégias que provém dos limites, mas que não exigem o cálculo direto de um limite. Dentre</p><p>essas regras, podemos destacar a da soma, produto, quociente, potência e cadeia. Também é importante conhecer as derivadas das funções mais comuns, como</p><p>as exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.</p><p>Outro conceito importante é o que envolve derivação implícita, visto que alguns modelos matemáticos são definidos com base em equações que definem uma</p><p>relação entre as variáveis de forma implícita, exigindo o cálculo de derivadas por meio dessa estratégia.</p><p>Assim, em suma, para o estudo do conceito de derivada é importante compreender a definição formal, baseado nos conhecimentos prévios de limites, bem como</p><p>das regras de derivação, a estratégia de derivação implícita e as interpretações possíveis para esse conceito a partir das diferentes funções.</p><p>É Hora de Praticar!</p><p>Considere que, para realizar um experimento, um pesquisador selecionou um pedaço de fio não homogêneo, de modo que sua massa, medida a partir de uma</p><p>extremidade fixada do fio, seja descrita pela função:</p><p>m ( )x =2x ( )1+ x</p><p>em que x indica a distância, em metros, medida a partir da extremidade fixada, enquanto m representa a massa, dada em quilogramas.</p><p>Sabendo que a densidade linear do fio consiste na taxa de variação da massa em relação ao comprimento do fio, qual é a densidade linear desse fio considerando</p><p>o comprimento de 2 metros, medido a partir da extremidade fixada?</p><p>Reflita</p><p>Como podemos definir a derivada de uma função?</p><p>Quais estratégias podem ser aplicadas no cálculo da derivada de uma função?</p><p>Quais as interpretações possíveis para a derivada de uma função?</p><p>Resolução do estudo de caso</p><p>Se a densidade linear do fio, que denotaremos por ρ , corresponde à taxa de variação da massa em relação ao comprimento do fio, então a densidade linear pode</p><p>ser dada por ρ= dm</p><p>dx</p><p>. Aplicando a regra do produto, segue que:</p><p>dm</p><p>dx</p><p>=</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )2x ⋅ ( )1+ x +2x ⋅ d</p><p>dx</p><p>( )1+ x</p><p>=</p><p>d</p><p>dx</p><p>( )2x ⋅ ( )1+ x +2x ⋅ d</p><p>dx</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎠1+x</p><p>1</p><p>2</p><p>= ( )2 ⋅ ( )1+ x +2x ⋅</p><p>⎛</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎜</p><p>⎝</p><p>⎞</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎟</p><p>⎠</p><p>0+</p><p>1</p><p>2</p><p>x</p><p>−</p><p>1</p><p>2</p><p>= ( )2+2 x +2x ⋅ 1</p><p>2 x</p><p>=2+2 x+</p><p>x</p><p>x</p><p>=2+2 x+ x</p><p>=2+3 x</p><p>Sendo assim, ρ ( )x =2+3 x . Logo, a densidade linear em cada ponto x é dada pela função ρ ( )x =2+3 x . Para um fio com 2 metros de comprimento, a densidade</p><p>linear no ponto x=2 corresponde a:</p><p>ρ ( )2 =2+3 2≈6,24</p><p>Isto é, a densidade linear em x=2 é de aproximadamente 6,24 kg/m.</p><p>Dê o play!</p><p>Assimile</p><p>Para o estudo das derivadas de funções, além da definição, um dos principais conhecimentos que devemos construir está associado às regras de derivação.</p><p>Dependendo do tipo de função, na determinação das derivadas, devemos reconhecer o tipo de estratégia que pode ser empregada em seu cálculo.</p><p>Desse modo, o diagrama a seguir visa resumir as principais regras de derivação empregadas nesse tipo de estudo. Complemente esse esquema com exemplos</p><p>que evidenciam a aplicação de cada regra e construa uma tabela com as derivadas das principais funções de tal forma a sintetizar os principais conceitos</p><p>necessários para o cálculo de derivadas de funções.</p><p>Fonte: elaborado pela autora.</p><p>Referências</p><p>ANTON, H. et al. Cálculo. v. 1. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.</p><p>GUIDORIZZI, H. L. Um curso de cálculo. v. 1. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018.</p><p>ROGAWSKI, J.; ADAMS, C.; DOERING, C. I. Cálculo. v. 1. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018.</p><p>SALAS, S. L.; HILLE, E.; ETGEN, G. J. Cálculo. v. 1.</p><p>9. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2005.</p><p>STEWART, J.; CLEGG, D.; WATSON, S. Cálculo. v. 1. São Paulo: Cengage Learning Brasil, 2021.</p><p>Alto Contraste A- A+ Imprimir</p><p>Unidade 3</p><p>Derivadas e Regras de</p><p>Derivação</p><p>Aula 1</p><p>Introdução às Derivadas</p><p>Aula 2</p><p>Calculando Derivadas</p><p>Aula 3</p><p>Outras Regras de Derivação</p><p>Aula 4</p><p>Derivação Implícita</p><p>Encerramento da Unidade</p><p>Derivadas e Regras de Derivação</p><p>Introdução às Derivadas</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582604601/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9786555584097/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9786555584097/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9786555584097/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9786555584097/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788582604601/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/#/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582602263/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788521635574/</p><p>https://integrada.minhabiblioteca.com.br/%23/books/9788582604601/</p>