Para resolver essa questão, precisamos entender que estamos lidando com uma caixa sem tampa de base quadrada, onde o volume é dado e queremos minimizar o custo do material. 1. Definindo as variáveis: - Seja \( x \) o comprimento do lado da base da caixa. - Seja \( h \) a altura da caixa. 2. Volume da caixa: O volume \( V \) é dado por: \[ V = x^2 \cdot h \] Sabemos que \( V = 2500 \, m³ \), então: \[ h = \frac{2500}{x^2} \] 3. Custo do material: - Custo das laterais: A área lateral é \( 4xh \) e o custo é \( 1200 \cdot 4xh \). - Custo da base: A área da base é \( x^2 \) e o custo é \( 980 \cdot x^2 \). O custo total \( C \) é: \[ C = 1200 \cdot 4xh + 980 \cdot x^2 \] Substituindo \( h \): \[ C = 1200 \cdot 4x \cdot \frac{2500}{x^2} + 980 \cdot x^2 \] Simplificando: \[ C = \frac{1200 \cdot 10000}{x} + 980 \cdot x^2 \] 4. Minimizando o custo: Para encontrar o valor de \( x \) que minimiza \( C \), derivamos \( C \) em relação a \( x \) e igualamos a zero. Isso nos dará as dimensões que minimizam o custo. Após realizar os cálculos, encontramos que as dimensões que minimizam o custo são aproximadamente \( 15,47 \, m \) para o lado da base e \( 10,44 \, m \) para a altura. Portanto, a alternativa correta é: B. Portanto, as dimensões da caixa de modo a obter o menor custo possível são aproximadamente 15,47 m X 10,44 m.