Divisão de Polinomios

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Instituto Federal Farroupilha – Campus Santa Rosa 
Licenciatura em Matemática 
2º semestre – Fundamentos de Matemática Elementar II 
Prof. Morgani Mumbach 
 
Método da Identidade de Polinômios (Descartes) 
 
Há uma outra maneira de dividir um polinômio f(x) por um g(x) e obter um 
quociente q(x) e um resto r(x). Este método se utiliza da identidade de polinômios e se 
baseia no fato de que o grau do resto deve ser menor do que o do divisor. 
Exemplo: 
𝑓(𝑥) = 𝑥3 + 4𝑥 − 1𝑝𝑜𝑟 𝑔(𝑥) = 𝑥2– 𝑥. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑝(𝑥) = 2𝑥4 − 4𝑥3 + 𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑝𝑜𝑟 𝑏(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 + 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Teorema do resto 
O resto da divisão de um polinômio 𝑝(𝑥) por um binômio (𝑥 − 𝑎) é o próprio valor 
numérico do polinômio para 𝑥 = 𝑎, que indicamos por 𝑝(𝑎). 
 
𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝑎). 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) 
𝑝(𝑎) = (𝑎 − 𝑎)⏟ 
0
. 𝑞(𝑥) + 𝑟(𝑥) 
 
Logo, 𝑝(𝑎) = 𝑟(𝑥) 
 
Exemplo: O resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥 + 1 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 2) é dado pelo 
valor do polinômio 𝑝(𝑥) para 𝑥 = 2, ou seja, para x igual à raiz do binômio. 
𝑝(2) = 4(2)3 − 2(2)2 + 2 + 1 
𝑝(2) = 27 
𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑜 𝑟𝑒𝑠𝑡𝑜 é 𝑟(𝑥) = 27 
Teorema de D’Alembert 
 
 A divisão de um polinômio 𝑝(𝑥) por um binômio (𝑥 − 𝑎) é exata se, e somente se, 
𝑝(𝑎) = 0 
 
Exemplo: A divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 𝑥2 − 11𝑥 + 10 pelo binômio (𝑥 − 2) é exata, 
pois 𝑝(2) = 0 
 
Divisão: dispositivo prático de Briot-Ruffini 
 
O dispositivo de Briot-Ruffini nos permite encontrar o quociente e o resto da divisão de um 
polinômio 𝑝(𝑥) de grau 𝑛 (𝑛 ≥ 1) por um binômio 𝑥 − 𝑎, sendo (𝑛 − 1) o grau do quociente. 
 
Exemplo: Dividir (3𝑥3 − 8𝑥2 + 5𝑥 + 6) 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 2) 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Dividir (𝑥4 + 2𝑥3 + 𝑥 − 6)𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 3) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ex 3: Obter o quociente e o resto da divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 6𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 + 2 pelo 
binômio (2𝑥 − 1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atividades: 
 
1) Obtenha o quociente q(x) e o resto r(x), na divisão de P(x) por B9x), usando o método 
da identidade de polinômios. 
a) 𝑝(𝑥) = 6𝑥3 − 2𝑥 + 1 𝑒 𝑏(𝑥) = 𝑥2 + 𝑥 
b) 𝑝(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥 − 2 𝑒 𝑏(𝑥) = 𝑥2 − 𝑥 
c) 𝑝(𝑥) = 𝑥4 − 2𝑥3 + 3𝑥 − 4 𝑒 𝑏(𝑥) = 𝑥3 − 2 
 
2) (UFGO) Na divisão do polinômio 𝑝(𝑥) = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 pelo polinômio 𝑑(𝑥) =
𝑥2 + 1 encontra-se para o quociente o polinômio 𝑞(𝑥) = 2𝑥 − 1 e para o resto o 
polinômio 𝑟(𝑥) = −𝑥 + 1. Então, p(x) é o polinômio? 
 
3) Determine o resto da divisão do polinômio d(x) pelo binômio a(x) nos seguintes casos: 
 
a) 𝑑(𝑥) = 2𝑥³ + 𝑥² 𝑒 𝑎(𝑥) = (𝑥 − 2) 
b) 𝑑(𝑥) = 4𝑥3 + 3𝑥2 − 𝑥 𝑒 𝑎(𝑥) = (𝑥 + 1) 
 
4) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto, na divisão do 
polinômio pelo binômio, em cada caso: 
a) 𝑑(𝑥) = 𝑥2 − 7𝑥 + 12 𝑒 𝑏(𝑥) = (𝑥 − 5) 
b) 𝑑(𝑥) = 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 3 𝑒 𝑏(𝑥) = (𝑥 − 1) 
c) 𝑑(𝑥) = 4𝑥3 − 2𝑥2 + 3𝑥 − 1 𝑒 𝑏(𝑥) = (𝑥 + 2) 
d) 𝑑(𝑥) = 4𝑥3 − 3𝑥 + 4 𝑒 𝑏(𝑥) = (𝑥 − 4) 
 
5) Utilizando o dispositivo de Briot-Ruffini, determine o quociente e o resto, na divisão do 
polinômio pelo binômio, em cada caso: 
a) 𝑑(𝑥) = 2𝑥3 − 4𝑥2 + 𝑥 − 3 𝑒 𝑏(𝑥) = (2𝑥 − 1) 
b) 𝑑(𝑥) = −6𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 4 𝑒 𝑏(𝑥) = (2𝑥 + 1) 
c) 𝑑(𝑥) = 𝑥4 + 2𝑥3 − 𝑥2 + 1 𝑒 𝑏(𝑥) = (2𝑥 − 3) 
 
6) Qual é o coeficiente do termo em x, no quociente da divisão de 3𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 +
1 𝑝𝑜𝑟 (𝑥 − 4)? Essa é uma divisão exata? Se não, qual o resto? 
 
7) (UCMG) Se o polinômio 𝑥4 − 4𝑥3 − 10𝑥2 + 𝑎𝑥 + 𝑏 é divisível por 𝑥2 − 𝑥 + 5, então 𝑎 + 𝑏 
é igual a: 
𝑎) − 90 
𝑏) − 87 
𝑐) − 10 
𝑑) 5 
𝑒) 10 
 
8) (UFBA) Na divisão de um polinômio pelo binômio 𝑎𝑥 + 𝑏, usou-se o dispositivo prático 
de Briot-Ruffini e encontrou-se: 
 
 
-2 1 p -3 4 -5 
q -4 5 r 7 
 
ooooo 
 
 
 
 
 
Os valores de 𝑎, 𝑏, 𝑝, 𝑞 𝑒 𝑟 são respectivamente: