auto aprendizagem vetorial e edo

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Atividade de Autoaprendizagem 2
1 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO 0 / 0
2 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO 0 / 0
As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis 
podem calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar volumes.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I.  V
G
= ∫ ∫ ∫
G
dxdydz é uma integral que mensura volume.
II. V = ∬
R
f (x ,y ) dxdy , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume.
III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: dV = dx * dy * dz.
IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas.
Está correto apenas o que se afirma em:
A I e II.
B I, II e IV.
Resposta correta
Correta:
I, II e III.
D I, III e IV.
E II e IV.
Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um sistema de coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os elementos de área 
ou volume, caso contrário, o resultado da integração pode ficar comprometido.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas, analise as afirmativas a seguir:
I. O elemento de área em coordenadas polares é dA = rdrd0 .
II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = rdrd0dz .
III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é  dV = rsinϑdrdθ .
IV. Dada uma função f(x,y,z) em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é escrita como .
ENVIADO EM: 01/09/25 20:27
RECIBO: 73E0A1D702EF40028A90465C8AB55A73
Nota final
Tentativa com a nota mais alta
3 MÚLTIPLA ESCOLHA CORRETO 0 / 0
Está correto apenas o que se afirma em:
A I, III e IV.
Resposta correta
Correta:
I, II e IV.
C II e IV.
D I e II.
E II e III.
As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de 
coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana. Tenha como base a seguinte integral tripla:
 . V = ∫
0
2n∫
0
3∫
r 2
9
, rdzdrd0 
Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) refere-se ao diferencial de volume dV.
II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a e por último com relação a .
III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas.
IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy.
Agora, assinale a alternativa que representa a sequência correta:
A V, F, F, V.
B F, V, F, V.
Resposta correta
Correta:
V, V, F, F.
D F, V, V, F.
E V, F, V, F.
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Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações algébricas que deixam os cálculos mais palatáveis. A mudança de coordenadas é uma manipulação algébrica que 
consegue, muitas vezes, transformar limites integrativos complexos em limites mais simples. As principais mudanças de coordenadas são para as polares, cilíndricas e esféricas.
 
 Figura – Representação de um sólido.
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos acerca de integrais triplas e mudança de coordenadas, pode se afirmar que o volume do sólido em 
questão pode ser mensurado por coordenadas cilíndricas, porque:
Resposta correta
Correta:
há simetria do sólido com relação ao eixo z.
B há simetria do sólido com relação ao eixo y.
C os parâmetros utilizados são r , 0 e ᵠ.
D há simetria do sólido com relação ao eixo x.
E o sólido é limitado por funções circulares.
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A soma de Riemann em uma variável consiste em dividir uma curva em n retângulos de largura delta , sendo a área da curva aproximadamente a soma da área dos retângulos. Em duas variáveis, a soma 
de Riemann é: 
n∑
i =1
j∑
m =1
f (xi ,yj) ∆ x ∆ y , onde x e y são pontos amostrais.
Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de Riemann:
I. ( ) Definir o número de retângulos n e m e suas respectivas larguras e .
II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório.
III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por exemplo.
IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
A 1, 2, 4, 3.
B 4, 3, 2, 1.
Resposta correta
Correta:
1, 3, 2, 4.
D 2, 1, 3, 4.
E 3, 4, 1, 2.
As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas, comprimentos e volumes com elas de maneira extremamente distinta. A seguinte integral dupla de uma função 
de duas variáveis efetua a mensuração de uma dessas medidas:
  ∬
R
f (x ,y ) dxdy 
Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a integral supracitada mensura o volume de uma superfície, porque:
A o diferencial de volume dv = dxdy.
Resposta correta
Correta:
a região integrativa é uma região R retangular.
C a função que compõe o integrando é uma função par.
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D o contradomínio dessa função faz parte dos reais R.
E o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis.
O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de linha em caminhos fechados. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formada pelo 
caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. O teorema de Green possui mais de uma forma de ser escrito.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir.
I.  ∮
c
F · dr = ∬
D
( ∇ × F) · kdA é uma forma do teorema de Green.
II. ∮
c
(Mdx + Ndy ) = ∬
D
(
aN
ax
−
aM
ay
) dA  é uma forma do teorema de Green, sendo f (x ,y ) = Mi + Nj . 
III.  ∬
S
F · dS = ∫ ∫ ∫
V
∇ × FdV é uma forma do teorema de Green.
IV.  ∮ c F · nds = ∬
D
∇ · FdA é uma forma do teorema de Green.
Está correto apenas o que se afirma em:
A II e IV.
B I e IV.
C I, II e III.
Resposta correta
Correta:
I, II e IV.
E I e II.
Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões retangulares. Porém, existem maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não estejam definidas em regiões 
retangulares, mas a região no plano xy deve ser limitada por funções. Cada tipo de limitação funcional caracteriza um certo tipo de região (Tipo I ou Tipo II).
De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
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I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma   ∫
a
b∫
g1
g2
f (x ,y ) dydx . 
II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte forma ∫
c
d∫
h1
h2
f (x ,y ) dydx .  .
III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y.
IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares.
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:
Resposta correta
Correta:
V, V, V, F.
B F, V, F, V.
C F, F, V, V.
D V, V, F, F.
E F, V, V, F.
Um dos requisitos do teorema de Green é que o caminho de integração seja fechado. Isto é, o ponto do começo da integração e do fim são o mesmo. Lembrando que o que está sendo somado são os 
vetores do campo, portanto o fato de ser fechado não torna a integral nula.
A o caminho fechado faz a orientaçãoser anti-horário.
B a integral de caminho em um campo vetorial é definida em caminho fechado.
C o caminho fechado permite definir um volume.
Resposta correta
Correta:
só é possível definir uma área de integração com uma superfície fechada.
E o caminho aberto poder ter singularidades.
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Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de linha, analise as afirmativas a seguir:
I. A função 
⇀
F (x ,y , z) = f (x ,y , z) i + g (x ,y , z) j + h (x ,y , z) descreve um campo vetorial.
II. ∫ f ds
c
 A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica.
III. é uma representação de uma integral de linha.
IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo.
Está correto apenas o que se afirma em:
A II e IV.
B II, III e IV.
C I, III e IV.
Resposta correta
Correta:
I, II e III.