Avaliação I - Cálculo Diferencial e Integral III

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<p>Prova Impressa</p><p>GABARITO | Avaliação I - Individual (Cod.:990757)</p><p>Peso da Avaliação 2,00</p><p>Prova 89658437</p><p>Qtd. de Questões 10</p><p>Acertos/Erros 9/0</p><p>Canceladas 1</p><p>Nota 10,00</p><p>O Teorema de Fubini é uma ferramenta essencial no cálculo de integrais duplas, permitindo que a</p><p>integração sobre uma região bidimensional seja transformada em integrações iteradas</p><p>unidimensionais. Para aplicar o Teorema de Fubini, a função deve ser contínua sobre o domínio de</p><p>integração, que pode ser um retângulo ou uma região mais complexa, em que o teorema garante que a</p><p>ordem de integração possa ser trocada.</p><p>Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 8. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2015.</p><p>Sobre a aplicação do Teorema de Fubini em integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a</p><p>seguir:</p><p>I. O Teorema de Fubini permite a troca da ordem de integração de uma integral dupla quando a</p><p>função é contínua em um domínio retangular.</p><p>II. Para aplicar o Teorema de Fubini em domínios não retangulares, a função deve ser contínua em</p><p>toda a região de integração.</p><p>III. O Teorema de Fubini é aplicável apenas a domínios retangulares, pois a troca da ordem de</p><p>integração não é garantida em domínios mais complexos.</p><p>IV. A troca da ordem de integração pode simplificar o cálculo de integrais duplas, especialmente</p><p>quando os limites de integração são mais facilmente manipuláveis em uma ordem específica.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A II e III, apenas.</p><p>B I, II e IV, apenas.</p><p>C I, II e III, apenas.</p><p>D I e IV, apenas.</p><p>E III e IV, apenas.</p><p>A região D, associada à integral tripla, descreve um sólido tridimensional cuja análise depende da</p><p>definição precisa dos limites de integração. Esses limites delimitam a extensão das variáveis dentro da</p><p>região e são essenciais para representar corretamente a forma do sólido. Sólidos comuns, como</p><p>prismas, cilindros e esferas, frequentemente aparecem em tais regiões. A correta especificação dos</p><p>limites permite a representação exata da geometria desses sólidos, assegurando uma modelagem</p><p>adequada e a interpretação precisa das integrais triplas e, em muitos momentos, permite a</p><p>possibilidade de realizar a mudança de variável, facilitando o cálculo da integral.</p><p>Considere uma integral tripla em que D é uma região tridimensional no primeiro octante delimitada</p><p>pelos planos x = 0, y = 0, z = 0 e pela superfície x² + y² + z² = 4. Nesse sentido, avalie as asserções a</p><p>seguir e a relação proposta entre elas:</p><p>VOLTAR</p><p>A+ Alterar modo de visualização</p><p>1</p><p>2</p><p>I. A mudança para coordenadas esféricas simplifica a integral tripla ao expressar a região D.</p><p>PORQUE</p><p>II. Pela equação da superfície apresentada, temos uma parte de uma esfera de raio igual a 4.</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>B As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>C A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>D As asserções I e II são falsas.</p><p>E As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>Atenção: Esta questão foi cancelada, porém a pontuação foi considerada.</p><p>Em problemas de cálculo integral envolvendo geometria tridimensional, a escolha do sistema de</p><p>coordenadas adequado é essencial para a simplificação do cálculo. Quando a região de integração</p><p>possui simetria axial, como cilindros e cones, o uso de coordenadas cilíndricas pode facilitar</p><p>significativamente a resolução das integrais triplas.</p><p>Fonte: BORGES, E. M.; RUGGIERO, M. A. Cálculo Volume 2. São Paulo: Editora Pearson, 2010.</p><p>Podemos entender que, ao realizar a conversão de coordenadas cartesianas para cilíndricas, surgem</p><p>novos parâmetros específicos. Sobre esses parâmetros, assinale a alternativa correta:</p><p>A As coordenadas cilíndricas são definidas pelos parâmetros raio, ângulo e altura.</p><p>B Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o ângulo azimutal, o raio radial e a coordenada</p><p>vertical.</p><p>C Em coordenadas cilíndricas, os parâmetros são o comprimento radial, o ângulo de inclinação e a</p><p>altura.</p><p>D As coordenadas cilíndricas utilizam os parâmetros raio, ângulo e profundidade.</p><p>E As coordenadas cilíndricas são descritas pelos parâmetros distância radial, ângulo azimutal e</p><p>altura.</p><p>Em cálculo de integrais múltiplas, a mudança de variável é uma técnica que transforma a integral</p><p>sobre um domínio complexo em uma integral sobre um domínio mais simples ou mais conveniente.</p><p>Para implementar essa mudança, utiliza-se um mapeamento de coordenadas que facilita o cálculo. O</p><p>determinante do Jacobiano da transformação ajusta o volume ou a área no novo sistema de</p><p>coordenadas. Essa técnica é comum em física e engenharia para resolver problemas de simetria</p><p>circular ou esférica.</p><p>Fonte: THOMAS, G. B.; WEIR, M. D.; HASS, J. Cálculo: volume 2. 13. ed. São Paulo: Pearson,</p><p>2015.</p><p>Sobre a mudança de variável em integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:</p><p>3</p><p>Revisar Conteúdo do Livro</p><p>4</p><p>I. A mudança de variável em integrais múltiplas é usada apenas para simplificar a função integrada,</p><p>sem modificar a forma do domínio de integração.</p><p>II. Em coordenadas esféricas, a função x² + y² + z² se transforma em ρ².</p><p>III. Coordenadas polares são especialmente úteis para integrais duplas sobre regiões circulares, pois</p><p>simplificam a função integrada e os limites de integração.</p><p>IV. A coordenada Φ em coordenadas esféricas representa a distância radial do ponto à origem.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A II e III, apenas.</p><p>B I, II e III, apenas.</p><p>C I e IV, apenas.</p><p>D I e III, apenas.</p><p>E II, III e IV, apenas.</p><p>Quando a função f(x, y) é igual a 1 em toda a região D no plano, o cálculo da integral dupla sobre</p><p>essa região se resume a encontrar a área de D. Isso ocorre porque, com f(x, y) = 1, a função não</p><p>adiciona nenhuma variação à medida que percorremos a região, o que significa que estamos</p><p>simplesmente somando as pequenas áreas que compõem D. Por exemplo, se a região D for um</p><p>retângulo, o resultado do cálculo será a área desse retângulo, que pode ser obtida multiplicando a</p><p>largura pela altura. De maneira geral, quando a função é constante e igual a 1, o processo de</p><p>integração sobre uma região plana equivale a determinar a área dessa região.</p><p>Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.</p><p>Dessa forma, seja a região D delimitada pelas curvas y = 2x² e y = 6x, avalie as asserções a seguir e a</p><p>relação proposta entre elas:</p><p>I. Podemos determinar a área delimitada região D utilizando uma integral dupla, o qual resultará em</p><p>6.</p><p>PORQUE</p><p>II. Considerando f(x, y) = 1, a área de região D pode ser determinada pela integral dupla</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>B As asserções I e II são falsas.</p><p>C As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>D A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>E As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>5</p><p>Considere uma região D do plano cartesiano, na qual a densidade de carga elétrica em qualquer ponto</p><p>(x, y) é descrita pela função δ(x, y). Essa função, contínua e integrável no intervalo considerado,</p><p>representa a quantidade de carga por unidade de área naquele ponto específico. A carga elementar</p><p>correspondente a uma pequena área dxdy em torno do ponto (x, y) é dada por δ(x,y) dxdy. A carga</p><p>total distribuída na região D pode ser obtida através da integração dupla sobre toda a área, conforme a</p><p>expressão:</p><p>Fonte: SILVA, M. C. Cálculo Avançado e Aplicações. Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna,</p><p>2015.</p><p>Sendo assim, dada uma região D correspondente a um retângulo, conforme ilustração a seguir:</p><p>A distribuição de carga elétrica nessa área é descrita pela função densidade δ(x, y) = 9x²y², expressa</p><p>em Coulombs por metro quadrado (C/m²). Assinale a alternativa correta que apresenta o valor para a</p><p>carga total acumulada na região:</p><p>A 342 Coulombs.</p><p>B 385 Coulombs.</p><p>C 519 Coulombs.</p><p>D 421 Coulombs.</p><p>E 494 Coulombs.</p><p>O Teorema de Fubini é um resultado fundamental no cálculo de integrais duplas, permitindo que uma</p><p>integral dupla em uma região R³ seja calculada como uma integral iterada. Em um domínio</p><p>retangular, a função deve ser contínua para que a troca da ordem de integração seja válida. O teorema</p><p>é especialmente útil em aplicações práticas, como o cálculo de volumes, áreas e outros problemas em</p><p>engenharia e física, em que a troca da ordem de integração pode simplificar significativamente a</p><p>solução do problema.</p><p>Fonte: ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo: um novo horizonte. 11. ed. Porto Alegre:</p><p>Bookman, 2019.</p><p>Sobre o Teorema de Fubini aplicado a integrais de duas variáveis, analise as afirmativas a seguir:</p><p>6</p><p>7</p><p>I. O Teorema de Fubini só é aplicável em domínios retangulares quando a função é contínua em todo</p><p>o domínio.</p><p>II. Em problemas práticos, como o cálculo de áreas e volumes, a troca da ordem de integração pode</p><p>ser utilizada para simplificar os limites de integração e facilitar o cálculo.</p><p>III. O Teorema de Fubini é restrito a integrais duplas e não pode ser estendido a integrais triplas ou de</p><p>ordem superior.</p><p>IV. Para aplicar o Teorema de Fubini em um domínio que não seja retangular, a função precisa ser</p><p>contínua em todo o domínio, mas a ordem de integração ainda pode ser trocada.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A III e IV, apenas.</p><p>B I, II e III, apenas.</p><p>C I e IV, apenas.</p><p>D II e IV, apenas.</p><p>E II e III, apenas.</p><p>A integral dupla é uma extensão natural da integral simples para funções de duas variáveis,</p><p>permitindo o cálculo de volumes sob superfícies em um plano. O conceito é amplamente utilizado em</p><p>diversas áreas da matemática e da física para modelar fenômenos em que a dependência espacial é</p><p>crucial.</p><p>Fonte: STEWART, J. Cálculo: volume 2. 6. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009.</p><p>Dessa forma, seja a região definida por Dxy = {(x, y) ∈ R : 0 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1} e a função f(x, y) =</p><p>y²x, avalie as asserções a seguir e a relação proposta entre elas:</p><p>I. O volume do sólido acima da região D e abaixo da função f é 2/3.</p><p>PORQUE</p><p>II. Pelos dados fornecidos, a integral que resolve o volume deste sólido é definida por:</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>A As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>B A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>C As asserções I e II são falsas.</p><p>D As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>E A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>8</p><p>A resolução de problemas envolvendo integrais duplas frequentemente exige uma compreensão não</p><p>apenas da técnica algébrica, mas também da interpretação geométrica do problema. Suponha que</p><p>você esteja resolvendo uma integral dupla para calcular o volume de um sólido delimitado por</p><p>superfícies no espaço tridimensional. Para tal, considere uma região D no plano xy e uma função</p><p>f(x,y) que define a altura do sólido sobre essa região. Em muitos casos, a função f(x, y) pode</p><p>representar formas geométricas familiares assim como a região D, e reconhecer imediatamente essas</p><p>formas é essencial para agilizar a resolução do problema.</p><p>Sobre o exposto, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I. A equação de formato x² + y² + z² = 9 representa uma esfera de raio 3.</p><p>II. A região delimitada acima do plano xy, pela equação z² + y² = 1, com 0 ≤ x ≤ 2, representa um</p><p>semicilindro.</p><p>III. Seja uma região D definida por 1 ≤ x² + y² ≤ 3, logo, ela é delimitada por dois círculos</p><p>concêntricos de raios 1 e 3.</p><p>IV. A função f(x, y) = √(x²+y²) representa geometricamente um cone.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>A II e III, apenas.</p><p>B I, II e III, apenas.</p><p>C III e IV, apenas.</p><p>D I, II e IV, apenas.</p><p>E I e IV, apenas.</p><p>Para calcular a massa de uma chapa com densidade de massa variável, é fundamental compreender</p><p>como a densidade se distribui ao longo da superfície. A função densidade descreve essa variação, e a</p><p>massa total da chapa é determinada integrando essa função sobre a área da superfície. Assim, para</p><p>calcular a massa, é necessário realizar a integral dupla da função densidade sobre a região definida no</p><p>plano XY. Esse método permite obter a massa total considerando a variação da densidade ao longo de</p><p>toda a chapa.</p><p>Dessa forma, para uma chapa delimitada por um retângulo no plano XY, com vértices nos pontos (0,</p><p>0), (3, 0), (0, 4) e (3, 4) todos em centímetros, e cuja densidade de massa por área em qualquer ponto</p><p>P é dada por δ(x, y) = 2x²y em g/cm², assinale a alternativa que apresenta o valor correto da massa</p><p>dessa chapa:</p><p>A 144 g.</p><p>B 123 g.</p><p>C 167 g.</p><p>D 198 g.</p><p>E 184 g.</p><p>9</p><p>10</p><p>Imprimir</p>