Grátis: O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de linha em caminhos fechados. O teorema relaciona... – Questões Respondidas

Cálculo Vetorial

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O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de integrais de linha em caminhos fechados. O teorema relaciona a borda do caminho com a área formada pelo caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise as afirmativas a seguir.
I. ∮ c F · dr = ∬ D ( ∇ × F) · kdA é uma forma do teorema de Green.
II. ∮ c (Mdx + Ndy ) = ∬ D ( aN/ax − aM/ay ) dA é uma forma do teorema de Green, sendo f (x ,y ) = Mi + Nj.
III. ∬ S F · dS = ∫ ∫ ∫ V ∇ × FdV é uma forma do teorema de Green.
IV. ∮ c F · nds = ∬ D ∇ · FdA é uma forma do teorema de Green.
A II e IV.
B I e IV.
C I, II e III.
D I e II.
E I e II.

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Vamos analisar cada uma das afirmativas sobre o teorema de Green: I. ∮ c F · dr = ∬ D ( ∇ × F) · kdA é uma forma do teorema de Green. FALSO. Esta expressão se refere ao teorema de Stokes, não ao teorema de Green. II. ∮ c (Mdx + Ndy) = ∬ D (aN/ax − aM/ay) dA é uma forma do teorema de Green, sendo f(x, y) = Mi + Nj. VERDADEIRO. Esta é uma das formas clássicas do teorema de Green, que relaciona a integral de linha com a integral dupla sobre a região D. III. ∬ S F · dS = ∫ ∫ ∫ V ∇ × FdV é uma forma do teorema de Green. FALSO. Esta expressão se refere ao teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície com a integral de linha. IV. ∮ c F · n ds = ∬ D ∇ · F dA é uma forma do teorema de Green. FALSO. Esta é uma forma do teorema da divergência, não do teorema de Green. Agora, vamos resumir as análises: - I: FALSO - II: VERDADEIRO - III: FALSO - IV: FALSO Portanto, a única afirmativa verdadeira é a II. Assim, a alternativa correta que apresenta as afirmativas verdadeiras é: E I e II.

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As integrais variam sua utilidade conforme os objetos matemáticos que elas integram. Integrais de uma variável costumam mensurar áreas sob curvas, integrais duplas com funções de duas variáveis podem calcular volumes e integrais triplas também podem mensurar volumes.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de integrais para funções de várias variáveis e integrais múltiplas, analise as afirmativas a seguir:
I. V G = ∫ ∫ ∫ G dxdydz é uma integral que mensura volume.
II. V = ∬ R f (x ,y ) dxdy , sendo uma integral em uma região retangular, tem a função de mensurar volume.
III. Um volume infinitesimal em três dimensões pode ser escrito da seguinte forma: dV = dx * dy * dz.
IV. As coordenadas cartesianas são melhores para a resolução de integrais do que outras coordenadas.
A I e II.
B I, II e IV.
C I, II e III.
D I, III e IV.
E II e IV.

Ao descrever uma função em um dado sistema de coordenadas e fazer a mudança de um sistema de coordenadas para outro, é necessário ter cautela para escrever corretamente os elementos de área ou volume, caso contrário, o resultado da integração pode ficar comprometido.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de sistemas de coordenadas, analise as afirmativas a seguir:
I. O elemento de área em coordenadas polares é dA = rdrd0.
II. O elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = rdrd0dz.
III. O elemento de volume em coordenadas esféricas é dV = rsinϑdrdθ.
IV. Dada uma função f(x,y,z) em coordenadas cartesianas. Em coordenadas esféricas, ela é escrita como.
A I, III e IV.
B I, II e IV.
C II e IV.
D I e II.
E II e III.

As integrais triplas são utilizadas para efetuar cálculos de volumes de sólidos. Porém, existem inúmeros jeitos de se mensurar numericamente esses volumes. Um exemplo disso é a mudança de coordenadas, podendo ser cilíndrica, esférica ou cartesiana.
Tendo em vista seus conhecimentos acerca de integrais triplas em diversas coordenadas, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) refere-se ao diferencial de volume dV.
II. ( ) A integral será efetuada primeiro com relação a z, depois com relação a e por último com relação a .
III. ( ) A integral está escrita em coordenadas esféricas.
IV. ( ) Essa integral mensura a área de uma região no plano xy.
A V, F, F, V.
B F, V, F, V.
C V, V, F, F.
D F, V, V, F.
E V, F, V, F.

Quando se mensuram volumes por integrais triplas existem inúmeras manipulações algébricas que deixam os cálculos mais palatáveis. A mudança de coordenadas é uma manipulação algébrica que consegue, muitas vezes, transformar limites integrativos complexos em limites mais simples.
Considerando essas informações, o esboço do sólido na figura supracitada e seus conhecimentos acerca de integrais triplas e mudança de coordenadas, pode se afirmar que o volume do sólido em questão pode ser mensurado por coordenadas cilíndricas, porque:
A há simetria do sólido com relação ao eixo z.
B há simetria do sólido com relação ao eixo y.
C os parâmetros utilizados são r , 0 e ᵠ.
D há simetria do sólido com relação ao eixo x.
E o sólido é limitado por funções circulares.

A soma de Riemann em uma variável consiste em dividir uma curva em n retângulos de largura delta, sendo a área da curva aproximadamente a soma da área dos retângulos. Em duas variáveis, a soma de Riemann é: n∑ i =1 j∑ m =1 f (xi ,yj) ∆ x ∆ y , onde x e y são pontos amostrais.
Tendo em vista a definição apresentada, analise os procedimentos e ordene as etapas a seguir, de acordo com a sequência na qual devem ser efetuados os passos para a utilização da soma de Riemann:
I. ( ) Definir o número de retângulos n e m e suas respectivas larguras e .
II. ( ) Fazer o produto dos termos do somatório.
III. ( ) Avaliar a função usando os pontos amostrais escolhido pela regra do ponto médio por exemplo.
IV. ( ) Fazer a soma de todos os termos do somatório.
A 1, 2, 4, 3.
B 4, 3, 2, 1.
C 1, 3, 2, 4.
D 2, 1, 3, 4.
E 3, 4, 1, 2.

As integrais podem representar diversos tipos de mensuração. Pode-se mensurar áreas, comprimentos e volumes com elas de maneira extremamente distinta.
A seguinte integral dupla de uma função de duas variáveis efetua a mensuração de uma dessas medidas: ∬ R f (x ,y ) dxdy. Considerando essas informações e seus conhecimentos acerca de integrais, afirma-se que a integral supracitada mensura o volume de uma superfície, porque:
A o diferencial de volume dv = dxdy.
B a região integrativa é uma região R retangular.
C a função que compõe o integrando é uma função par.
D o contradomínio dessa função faz parte dos reais R.
E o integrando dessa integral é uma função de duas variáveis.

Muitas integrais duplas de funções de duas variáveis são definidas a partir de regiões retangulares. Porém, existem maneiras de se calcular essas integrais, mesmo que não estejam definidas em regiões retangulares, mas a região no plano xy deve ser limitada por funções.
De acordo com os seus conhecimentos sobre integrais duplas definidas em regiões do Tipo I e do Tipo II, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo I são definidas da seguinte forma ∫ a b∫ g1 g2 f (x ,y ) dydx.
II. ( ) As integrais definidas em regiões do Tipo II são definidas da seguinte forma ∫ c d∫ h1 h2 f (x ,y ) dydx.
III. ( ) As regiões do Tipo I são limitadas por funções em y.
IV. ( ) As regiões dos tipos I e II são casos específicos de regiões retangulares.
A V, V, V, F.
B F, V, F, V.
C F, F, V, V.
D V, V, F, F.
E F, V, V, F.

Vetor e campo vetorial são conceitos importantes para o estudo de Cálculo Vetorial. Ambos auxiliam, por exemplo, no entendimento do objeto matemático chamado integral de linha.
De acordo essas informações e com seus conhecimentos acerca de campos vetoriais, vetores e integral de linha, analise as afirmativas a seguir:
I. A função ⇀ F (x ,y , z) = f (x ,y , z) i + g (x ,y , z) j + h (x ,y , z) descreve um campo vetorial.
II. ∫ f ds c A integral de linha mensura o efeito geral de um campo ao longo de uma curva específica.
III. é uma representação de uma integral de linha.
IV. Um vetor possuí dois parâmetros básicos: sentido e módulo.
A II e IV.
B II, III e IV.
C I, III e IV.