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Dados internacionais de Catalogação na Publicação
Ficha catalográfica
MARANHÃO. Secretaria de Estado da Educação,
Caderno de Letramento 2025 – 3º Período: Matemática, Secretaria de Estado da Educação. 
– São Luís, 2025.
XXX p.:il.
ISBN: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
1. Caderno de Letramento. 2. Matriz de Referência. 3. Re(composição) e Recuperação da 
Aprendizagem de Matemática.
CDD XXXXX
Ficha catalográfica elaborada por
XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
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CADERNO DE LETRAMENTO 2025
MATEMÁTICA
GOVERNO DO ESTADO DO MARANHÃO
Carlos Orleans Brandão Júnior
Governador do Maranhão
Jandira Dias Araújo Silva
Secretária de Estado da Educação
José Antônio Barros Heluy
Subsecretário de Estado da Educação
Nádya Christina Guimarães Dutra
Secretária Adjunta de Gestão da Rede de Ensino e da Aprendizagem
Adelaide Diniz Coelho Neta
Superintendente de Gestão do Ensino e Desenvolvimento da Aprendizagem
Pedro de Alcantara Lima Filho
Superintendente de Informação e Avaliação de Desempenho Educacional
Francimone da Graça Barros Dutra
Supervisora de Avaliação Educacional
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FICHA TÉCNICA
EQUIPE DE ELABORAÇÃO
Profa. Ma. Jacy Pires dos Santos
Prof. Me. Washington Luís Parga Garrido Júnior
EQUIPE DE REVISÃO
Prof. Esp. Edvilson Silva 
Prof. Esp. Pedro de Alcantara Lima Filho
DIAGRAMAÇÃO
Fabiel Lima
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 SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO ............................................................................................................................................ 6
AULA 21 - D048. Utilizar equação polinomial de 2º grau na resolução de problema: Equação de 2º grau, 
Fórmula de Bhaskára e relação de Girard ........................................................................................................... 7
AULA 22 - D048. Utilizar as relações entre medidas dos ângulos formados entre uma reta transversal 
e um feixe de retas paralelas para se obter a medida de um ângulo especificado: Equação de 2º grau, 
Fórmula de Bhaskára e relação de Girard ........................................................................................................... 8
AULA 23 - D047. Utilizar proporcionalidade entre duas grandezas na resolução de problemas: Relações 
entre ângulos ..................................................................................................................................................... 11
AULA 24 - D047. Resolver problemas que envolvam altura, bissetriz, mediana e mediatriz de um triân-
gulo: Triângulos ................................................................................................................................................ 13
AULA 25 - AVALIAÇÃO 1 ................................................................................................................................ 15 
AULA 26 - D047. Resolver problemas que envolvam ângulos internos ou externos de polígonos: Ângu-
los em um polígono ........................................................................................................................................... 15
AULA 27 - D060. Identificar triângulos semelhantes: Triângulo e critérios de semelhança de triângulos .... 17
AULA 28 - D060. Identificar triângulos semelhantes: Triângulo e critérios de semelhança de triângulos .... 20
AULA 29 - D064. Utilizar relações métricas de um triângulo retângulo na resolução de problemas: Rela-
ções métricas de um triângulo retângulo ........................................................................................................... 21
AULA 30 - AVALIAÇÃO 2 ................................................................................................................................ 24
REFERÊNCIAS .............................................................................................................................................. 25
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APRESENTAÇÃO
A qualidade da educação depende de oportunidades equitativas de aprendizagem. No entan-
to, muitos estudantes apresentam defasagem no aprendizado, o que dificulta a consolidação de co-
nhecimentos essenciais, especialmente os pré-requisitos para as séries seguintes do Ensino Médio. 
Grande parte dessas lacunas são de desafios das etapas anteriores, comprometendo a compreensão 
de conteúdos mais complexos e o progresso acadêmico. Essa defasagem foi confirmada pelos resul-
tados de avaliações externas, como as realizadas pelo Sistema Estadual de Avaliação do Maranhão 
(SEAMA).
Diante desse cenário, é fundamental adotar estratégias eficazes para apoiar os estudantes na 
superação dessas dificuldades, garantindo que avancem com uma base sólida e preparada para os 
desafios das próximas etapas da educação. Além disso, é essencial fornecer materiais de apoio que 
auxiliem os docentes na prática em sala de aula, contribuindo para um ensino mais direcionado e efi-
ciente.
Como apoio, apresentamos o fascículo de Letramento em Matemática, organizado em sequ-
ências didáticas, com aulas constituídas por atividades que podem ser desenvolvidas em sala de aula, 
priorizando as habilidades contempladas nas Avaliações Diagnóstica e Formativa do SEAMA 2025.
Este material, portanto, tem como propósito contribuir para o desenvolvimento do letramento ma-
temático, buscando fortalecer competências essenciais, como a capacidade de leitura, interpretação e 
análise de informações – habilidades fundamentais para a vida em sociedade.
O fascículo, para este 3º período letivo, está estruturado em 10 aulas de Matemática, elabora-
das por professores da rede estadual. As aulas seguem como suporte a Base Nacional Comum Cur-
ricular (BNCC) do Ensino Médio, o Documento Curricular do Território Maranhense (DCTMA) volume 
1 e volume 2 e as habilidades do SEAMA. Para cada habilidade, foram analisados conteúdos que 
podem ser trabalhados em sala de aula para garantir o desenvolvimento de competências essenciais, 
promovendo o aprendizado significativo e a formação integral dos estudantes.
As aulas estão disponíveis em duas versões:
• Versão para professores: Inclui orientações e sugestões para a abordagem dos conteúdos, 
além de gabaritos e respostas das atividades propostas.
• Versão para estudantes: Contém explicações claras sobre os conteúdos e atividades práti-
cas baseadas em situações reais, incentivando a aplicação do conhecimento e a motivação 
para aprender.
A proposta é que cada aula tenha duração de 50 minutos, sendo utilizada no contexto da sala 
de aula.
Esperamos que este fascículo de Letramento seja uma ferramenta útil aos professores, ajudan-
do-os(as) no desafio de recuperar e consolidar aprendizagens comprometidas, como também aos 
estudantes, no apoio à superação das defasagens e no avanço de sua trajetória escolar com sucesso, 
alcançando as competências esperadas para cada etapa de ensino.
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AULA 21
HABILIDADES
D048_M. Utilizar equação poli-
nomial de 2º grau na resolução 
de problema.
CONTEÚDO(S)
Equação de 2º grau, Fórmu-
la de Bhaskára e relação de 
Girard.
Prezado(a) professor(a), ao introduzir esta aula 
é oportuno perguntar aos estudantes a respeito de 
conceitos elementares de equação de 2° grau visto 
na aula anterior. No entanto, caso queira revisar, sin-
ta-se à vontade! É importante que o estudante tenha 
conhecimento desse assunto para resolver situações 
dentro e fora da Matemática.
Vamos com bastante calma analisar a situação re-
solvida.
Questão Resolvida. (INSTITUTO ACCESS – 2024 - 
adaptado) Carol irá visitar a avó em Jaraguá, ela 
sempre faz o percurso para a casa da avó a pé e 
demora em média 35 minutos para chegar. Porém, 
Carol comprou um carro e o tempo que ela irá de-
morar para chegar à casa da avó será a soma das 
raízes reais da equação de 2º grau:
x2 - 7x + 10 = 0
Sendo assim, assinale a alternativa que apresenta 
o tempo percorrido de carro por Carol até a casa 
da avó.
A) 6
B) 7
C) 9
D) 10
E) 11
Resolução: A equação dada é x2 - 7x + 10 = 0, em 
que a = 1, b = -7 e c = 10. Cálculo do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-7)2 - 4[1(10)] = 49 - 40 = 9
Cálculodas raízes: 
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-7) ± √9]/2(1) = (7 ± 3)/2
Ou seja:
x1 = (7 + 3)/2 = 10/2 = 5
x2 = (7 - 3)/2 = 4/2 = 2
A somas das raízes: 2 + 5 = 7.
Outra maneira de resolver a situação é utilizando a 
relação de Girard:
x1 + x2 = -(b/a) = -(-7/1) = 7
Logo, o tempo percorrido de carro por Carol até a 
casa da avó é de 7 minutos. Gabarito: Alternativa B.
VAMOS PRATICAR!
Questão 1. (INSTITUTO ÂNIMA SOCIESC – 2019) 
Após a análise de um exame, o resultado encon-
trado é a soma das raízes da equação x2 + 3x - 4 = 
0, qual o resultado desse exame?
A) -2
B) -1
C) -5
D) -4
E) -3
Professor(a), utilizando a fórmula de Bháskara x2 + 
3x - 4 = 0, temos que a = 1, b = 3 e c = -4. Cálculo do 
discriminante:
∆ = b2 - 4ac = 32 - 4[1(-4)] = 9 + 16 = 25
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = (-3 ± √25)/2(1) = (-3 ± 5)/2
Ou seja:
x1 = (-3 + 5)/2 = 2/2 = 1
x2 = (-3 - 5)/2 = -8/2 = -4
Portanto, o resultado do exame é obtido pelas somas 
das raízes: 1 + (-4) = -3.
Utilizando a relação de Girard:
x1 + x2 = -(b/a) = -(3/1) = -3
Gabarito: Alternativa E.
Questão 2. (OBJETIVA – 2024 - Adaptado) Sabe-se 
que a idade de dois irmãos corresponde às raízes 
da equação abaixo. Sendo assim, assinalar a al-
ternativa que apresenta CORRETAMENTE a idade 
deles:
x2 -17x + 60 = 0
A) 4 e 13
B) 5 e 12
C) 6 e 11
D) 7 e 10
E) 8 e 14
Professor(a), em x2 - 17x + 60, temos que a = 1, b = 
-17 e c = 60. Cálculo do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-17)2 - 4[1(60)] = 289 - 240 = 49
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-17) ± √49]/2(1) = (17 ± 7)/2
Ou seja:
x1 = (17 + 7)/2 = 24/2 = 12
 8
x2 = (17 - 7)/2 = 10/2 = 5
Portanto, as idades são 5 e 12 anos. Gabarito: Alter-
nativa B.
Questão 3. (AROEIRA – 2023 – Adaptado) A fór-
mula y = x2 + 2x representa o volume de água num 
recipiente, onde x está em minutos, y é medido 
em metros cúbicos. Quanto tempo leva para que 
o volume do recipiente seja de 35 metros cúbi-
cos?
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
Professor(a), considerando y = x2 + 2x, temos que 
35 = x2 + 2x → x2 + 2x - 35 = 0. Logo, temos que a = 
1, b = 2 e c = -35. Cálculo do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = 22 - 4[1(-35)] = 4 +140 = 144
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = (-2 ± √144)/2(1) = (-2 ± 12)/2
Ou seja:
x1 = (-2 + 12)/2 = 10/2 = 5
x2 = (-2 - 12)/2 = -14/2 = -7
Portanto, o tempo é de 5 minutos. Gabarito: Alterna-
tiva B.
Questão 4. (CETREDE – 2023 - Adaptado) O perío-
do de garantia de uma máquina lava e seca pode 
ser definido pela solução da equação a seguir:
4x2 + 7x - 15 = 42
A) 3 anos
B) 4 anos
C) 2 anos
D) 5 anos
E) 8 anos
Professor(a), considerando 4x2 + 7x -15 = 42, temos 
que 4x2 + 7x - 15 - 42 = 0 → 4x2 + 7x - 57 = 0. Logo, 
temos que a = 4, b = 7 e c = -57. Cálculo do discrimi-
nante:
∆ = b2 - 4ac = 72 - 4[4(-57)] = 49 + 912 = 961
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = (-7 ± √961)/2(4) = (-7 ± 31)/8
Ou seja:
x1 = (-7 + 31)/8 = 24/8 = 3
x2 = (-7 - 31)/8 = -38/8 = 4,75
Portanto, o período de garantia é de 3 anos. Gabari-
to: Alternativa A.
Questão 5. (INSTITUTO CONSULPLAN – 2021) 
Maurício alugou um apartamento em um prédio 
onde moram apenas matemáticos. Neste prédio, 
ele tem direito a uma vaga na garagem para colo-
car seu carro, mas o número da vaga foi passado 
a ele através da seguinte mensagem:
“O número de sua vaga na garagem é composto 
pela diferença entre as raízes da seguinte equa-
ção: 2x2 - 70x = -600."
Qual é o número da vaga de Maurício?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 13
E) 14
Professor(a), considerando 2x2 - 70x = -600, temos 
que 2x2 - 70x + 600 = 0. Logo, temos que a = 2, b = 
-70 e c = 600. Cálculo do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-70)2 - 4[2(600)] = 4900 - 4800 = 100
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-70) ± √100]/2(2) = (70 ± 10)/4
Ou seja:
x1 = (70 + 10)/4 = 80/4 = 20
x2 = (70 - 10)/4 = 60/4 = 15
Portanto, o número de vagas é obtido pela diferença 
entre as raízes, ou seja, x2 - x1 = 20 - 15 = 5. Gabarito: 
Alternativa A.
AULA 22
HABILIDADES
D048_M. Utilizar equação poli-
nomial de 2º grau na resolução 
de problema.
CONTEÚDO(S)
Equação de 2º grau, Fórmu-
la de Bhaskára e relação de 
Girard.
Prezado(a) professor(a), esta aula é dedicada a re-
solução de problemas que utilizam ferramentas de 
equação de 2° grau. Antes de partir para as questões 
propostas, é importante instigar os estudantes a co-
nhecimentos adquiridos em aulas anteriores sobre o 
conteúdo o qual ajudará no momento de desenvolver 
 9
o raciocínio. Mãos à obra!
VAMOS PRATICAR!
Questão 1. (CONSEP 2017 – Adaptado) A idade 
de uma criança é igual ao produto das raízes da 
equação 4x2 - 18x + 8 = 0.
Quantos anos possui essa criança?
A) 12 anos
B) 11 anos
C) 8 anos
D) 4 anos
E) 2 anos
Professor(a), esse problema pode ser resolvido de 
duas maneiras: pela fórmula de Bháskara ou pela re-
lação de Girard. Utilizando 4x2 - 18x + 8 = 0, em que 
a = 4, b = -18 e c = 8. Cálculo do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-18)2 - 4[4(8)] = 324 - 128 = 196
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-18) ± √196]/2(4) = (18 ± 14)/8
Ou seja:
x1 = (18 + 14)/8 = 32/8 = 4
x2 = (18 - 14)/8 = 4/8 = 1/2
O produto das raízes:
x1∙x2 → 4(1/2) → 4/2 → 2
Aplicando a relação de Girard:
x1∙x2 = c/a = 8/4 = 2
Portanto, a criança tem 2 anos. Gabarito: Alternativa 
E.
Questão 2. (FUNDATEC – 2017) Um agente admi-
nistrativo procede a conferência de documentos 
que necessitavam de autenticação em cartório. 
Considerando que o número de documentos con-
feridos, em uma hora de trabalho, corresponde ao 
produto das raízes reais da equação x2 - 11x + 28 
= 0, esse número é igual a:
A) 11
B) 13
C) 18
D) 24
E) 28
Professor(a), utilizando a fórmula de Bháskara: x2 - 
11x + 28 = 0, em que a = 1, b = -11 e c = 28. Cálculo 
do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-11)2 - 4[1(28)] = 121 - 112 = 9
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-11) ± √9]/2(1) = (11 ± 3)/2
Ou seja:
x1 = (11 + 3)/2 = 14/2 = 7
x2 = (11 - 3)/2 = 8/2 = 4
O produto das raízes:
x1∙x2 → 7∙4 → 28
Aplicando a relação de Girard:
x1∙x2 = c/a = 28/1 = 28
Portanto, o número de documentos conferidos, em 
uma hora, corresponde a 28. Gabarito: Alternativa E.
Questão 3. (OBJETIVA – 2019 - Adaptado) Certa 
loja de eletrodomésticos vende fogões e geladei-
ras. A quantidade de fogões e geladeiras vendidos 
em certo mês corresponde às raízes da equação 
abaixo. Sabendo-se que foram vendidas mais ge-
ladeiras do que fogões, ao todo, quantos fogões 
foram vendidos nesse mês?
x2 - 62x + 912 = 0
A) 20
B) 24
C) 30
D) 38
E) 40
Professor(a), utilizando a fórmula de Bháskara: x2 - 
62x + 912 = 0, em que a = 1, b = -62 e c = 912. Cál-
culo do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-62)2 - 4[1(912)] = 3844 - 3648 = 196
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-62) ± √196]/2(1) = (62 ± 14)/2
Ou seja:
x1 = (62 + 14)/2 = 76/2 = 38
x2 = (62 - 14)/2 = 48/2 = 24
Nomeando o número de fogões por x2 e o número 
de geladeiras por x1, então, o número de fogões, que 
foram vendidos corresponde a 24. Gabarito: Alterna-
tiva B.
Questão 4. (IFMA – 2020) Pedro perguntou a ida-
de do seu professor de Matemática que pronta-
mente respondeu: “minha idade é a raiz inteira da 
equação 5x2 - 122x - 75 = 0". Qual a idade desse 
professor?
A) 45
B) 30
 10
C) 35
D) 42
E) 25
Professor(a), utilizando a fórmula de Bháskara: 5x2 
- 122x - 75 = 0, em que a = 5, b = -122 e c = -75. Cál-
culo do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-122)2 - 4[5(-75)]
14884 + 1500 = 16384
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-122) ± √16384]/2(5)
(122 ± 128)/10
Ou seja:
x1 = (122 + 128)/10 = 250/10 = 25
x2 = (122 - 128)/10 = -6/10 = -0,6
A idade do professor é de 25 anos. Gabarito: Alter-
nativa E.
Questão 5. (OBJETIVA – 2020) As quantidades de 
professores de matemática e português em certa 
escola correspondem às raízes da equação abai-
xo. Sabe-se que há mais professores de matemá-
tica do que de português. Sendo assim, assinalar 
a alternativa que apresenta a quantidade de pro-
fessores de matemática dessa escola:
x2 - 20x + 96 = 0
A)8
B) 10
C) 12
D) 14
E) 16
Professor(a), utilizando a fórmula de Bháskara: x2 - 
20x + 96 = 0, em que a = 1, b = -20 e c = 96. Cálculo 
do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-20)2 - 4[1(96)] = 400 - 384 = 16
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-20) ± √16]/2(1) = (20 ± 4)/2
Ou seja:
x1 = (20 + 4)/2 = 24/2 = 12
x2 = (20 - 4)/2 = 16/2 = 8
Nomeando o número de professores de Português 
por x2 e o número de professores de Matemática por 
x1, então, teremos 12 professores de Matemática. 
Gabarito: Alternativa C.
Questão 6. (FUNDATEC – 2011) A soma das raízes 
da equação do 2º grau 3x2 - 27x + 42 = 0.
corresponde ao número de horas extras realiza-
das por um motorista, no final de semana. Nessas 
condições, o número de horas extras realizadas 
pelo motorista é igual a 
A) 1
B) 3
C) 5
D) 7
E) 9
Professor(a), utilizando a fórmula de Bháskara: 3x2 - 
27x + 42 = 0, em que a = 3, b = -27 e c = 42. Cálculo 
do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = (-27)2 - 4[3(42)] = 729 - 504 = 225
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = [-(-27) ± √225]/2(3) = (27 ± 15)/6
Ou seja:
x1 = (27 + 15)/6 = 42/6 = 7
x2 = (27 - 15)/6 = 12/6 = 2
A soma das raízes: 2 + 7 = 9. Utilizando a relação de 
Girard:
x1+ x2 = -(b/a) = -(-27/3) = 9
Portanto o número de horas extras realizadas pelo 
motorista corresponde a 9 horas. Gabarito: Alterna-
tiva E.
Questão 7. (SEDUC – SP) As quantidades de va-
gas de carros e motos na garagem de uma casa 
são dadas pelas raízes da equação -x2 + 6x = 5.
Sabendo que há mais vagas de carros do que de 
motos, a quantidade de vagas de moto nesta ga-
ragem é de:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
Professor(a), considerando -x2 + 6x = 5, temos que 
-x2 + 6x -5 = 0. Logo, temos que a = -1, b = 6 e c = -5. 
Cálculo do discriminante:
∆ = b2 - 4ac = 62 - 4[-1(-5)] = 36 - 20 = 16
Cálculo das raízes:
x = (- b ± √∆)/2a = (-6 ± √16)/2(-1) = (-6 ± 4)/-2
Ou seja:
 11
x1 = (-6 + 4)/-2 = -2/-2 = 1
x2 = (-6 - 4)/-2 = -10/-2 = 5
Nomeando o número de vagas de carros por x2 e o 
número de motos por x1, então, o número de vagas 
de motos é 1. Gabarito: Alternativa A.
AULA 23
HABILIDADES
D047_M. Utilizar as relações 
entre medidas dos ângulos for-
mados entre uma reta transver-
sal e um feixe de retas parale-
las para se obter a medida de 
um ângulo especificado.
CONTEÚDO(S) Relações entre ângulos.
Prezado(a) professor(a), daremos início ao estudo 
da geometria, revisando o conhecimento sobre as 
relações angulares que se estabelecem a partir da 
interseção de retas paralelas por uma transversal.
RETAS PARALELAS E TRANSVERSAIS
O conceito de retas paralelas cortadas por uma trans-
versal, embora possa parecer abstrato, está presente 
em diversas áreas. Na arquitetura e engenharia, por 
exemplo, as linhas horizontais e verticais de edifícios, 
assim como a inclinação de vigas e pilares em pon-
tes e viadutos, são calculadas com base nos princí-
pios das retas paralelas e transversais. Essa aplica-
ção garante a estabilidade, segurança e estética das 
construções.
ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE
Consideremos duas retas, r e s, que se cruzam em 
um ponto V e os ângulos de medidas x e y.
Os ângulos de medidas x e y são opostos pelo vértice 
V.
Dois ângulos opostos pelo vértice são congruen-
tes, ou seja, têm a mesma medida.
Assim, podemos concluir que x = y.
A partir dessa ideia, vamos determinar o valor de m a 
seguir:
Solução: Os ângulos 3m – 75° e m + 15° são opos-
tos pelo vértice, então:
3m – 75° = m + 15° → 3m – m = 15° + 75°
2m = 90° → m = 45°
ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS 
PARALELAS E UMA TRANSVERSAL
Dadas duas retas paralelas, r e s, interceptadas por 
uma transversal t, obtemos oito ângulos:
• Ângulos correspondentes: Os pares de ângulos 
a seguir são correspondentes:
Dois ângulos correspondentes formados por 
duas retas paralelas e uma reta transversal têm 
medidas iguais.
• Ângulos alternos: Os pares de ângulos a seguir 
são alternos:
Duas retas paralelas cortadas por uma reta trans-
versal determinam ângulos alternos congruentes 
(internos ou externos).
• Ângulos colaterais: Os pares de ângulos a se-
 12
guir são colaterais:
Duas retas paralelas cortadas por uma reta trans-
versal determinam ângulos colaterais (internos 
ou externos) suplementares.
Lembrete: Ângulos suplementares são dois ângulos 
que, quando somados, resultam em 180°, ou seja, 
um ângulo raso.
VAMOS PRATICAR!
Questão 1. Em cada item a seguir, determine o va-
lor de x, sabendo que r//s (r paralelo a s):
A)
B)
C)
3x + 60° + 2x + 20° = 180° → 5x + 80° = 180°
5x = 180° - 80° → 5x = 100° → x = 20°
Questão 2. (Itame - adaptado) Na figura abaixo, as 
retas “r” e “s” são paralelas, cortadas por uma 
transversal “t”. Se a medida do ângulo alfa é o 
triplo da média do ângulo beta, então a diferença 
entre alfa e beta vale:
A) 90°
B) 85°
C) 80°
D) 75°
E) 70°
Professor(a), os ângulos α e β são suplementares:
α + β = 180°
Como α é o triplo de β, temos:
3β + β = 180° → 4β = 180° → β = 45°
Se β = 45°, então α = 135°. A diferença entre eles 
será igual a 90°. A alternativa A é a certa.
Questão 3. (UFG) Na figura abaixo as retas r e s 
são paralelas. A medida do ângulo b é:
A) 100°
B) 120°
C) 110°
D) 140°
E) 130°
Professor(a), a soma dos ângulos 2x e 4x é corres-
Professor(a), segue a resolução:
a) Como os ângulos apresentados são alternos ex-
ternos, temos:
4x = 3x + 8° → 4x – 3x = 8° → x = 8°
b) Os ângulos destacados são correspondentes, as-
sim:
10x – 28° = 8x – 2° → 10x – 8x = 28° - 2°
2x = 26° → x = 13°
c) Os ângulos colaterais são suplementares:
 13
pondente ao ângulo de 120°. Logo:
2x + 4x = 120° → 6x = 120° → x = 20°
Os ângulos b e 4x são colaterais internos, conse-
quentemente, serão suplementares:
b + 4x = 180° → b + 4∙20° = 180° → b + 80° = 180°
b = 180° - 80° → b = 100°
A alternativa A é a correta.
Questão 4. (UFES) Uma transversal intercepta 
duas paralelas formando ângulos alternos inter-
nos expressos em graus por (5x + 8°) e (7x – 12°). 
A soma das medidas desses ângulos é:
A) 40°
B) 58°
C) 80°
D) 116°
E) 150°
Professor(a), ângulos alternos são congruentes:
7x - 12° = 5x + 8° → 7x - 5x = 8° + 12°
2x = 20° → x = 10°
A soma dos ângulos será:
7∙10° - 12° + 5∙10° + 8°
70° - 12° + 50° + 8°
58° + 58° = 116°
A alternativa D é a certa.
AULA 24
HABILIDADES
D047_M. Resolver problemas 
que envolvam altura, bissetriz, 
mediana e mediatriz de um 
triângulo.
CONTEÚDO(S) Triângulos.
Prezado(a) professor(a), nessa aula, os(as) estu-
dantes verão alguns elementos do triângulo, suas 
definições e suas características. Ao compreender os 
elementos do triângulo, eles estarão mais prepara-
dos para resolver problemas que envolvam essa fi-
gura geométrica.
CEVIANAS
As cevianas (medianas, bissetrizes internas e alturas) 
são definidas como segmentos de reta que conectam 
um vértice do triângulo a um ponto qualquer da reta 
que contém o lado oposto. O nome ceviana foi dado 
a esses segmentos em homenagem ao matemático 
italiano Giovanni Ceva. 
ALTURAS DE UM TRIÂNGULO
As alturas de um triângulo são os segmentos de reta 
que têm uma extremidade nos vértices e a outra nos 
lados opostos ou nos prolongamentos deles, forman-
do com eles ângulos retos.
Nos dois triângulos ABC abaixo, AH é a altura relativa 
ao lado BC:
MEDIANAS DE UM TRIÂNGULO
As medianas de um triângulo são os segmentos de 
reta que têm uma extremidade nos vértices e a outra 
nos pontos médios dos lados opostos.
No triângulo ABC abaixo, M é o ponto médio do lado 
BC e AM é a mediana relativa ao lado BC:
BISSETRIZES DE UM TRIÂNGULO
As bissetrizes de um triângulo são os segmentos de 
reta que têm uma extremidade nos vértices, dividem 
os ângulos internos em dois ângulos congruentes e 
têm a outra extremidade nos lados opostos.
 14
No triângulo ABC abaixo, AS é a bissetriz relativa ao 
ângulo A:
MEDIATRIZES DE UM TRIÂNGULO
As mediatrizes de um triângulo são retas perpendicu-
lares aos lados em seus respectivos pontos médios.
A reta r é a mediatriz do lado AB no triângulo ABC a 
seguir:
SOMA DOSÂNGULOS INTERNOS 
DE UM TRIÂNGULO
Em qualquer triângulo, a soma de seus ângulos inter-
nos mede 180°. 
Em que, a + b + c = 180°.^ ^^
VAMOS PRATICAR!
Questão 1. No triângulo ABC, AM é a bissetriz re-
lativa ao ângulo BÂC. Qual a medida do ângulo 
BÂM?
Professor(a), vamos determinar o valor do ângulo 
BÂC:
BÂC + 45° + 35° = 180° → BÂC + 80° = 180°
BÂC = 180° - 80° → BÂC = 100°
Sendo AM a bissetriz do ângulo BÂC, o ângulo BÂM 
será a metade do ângulo BÂC. Logo, o ângulo BÂM 
é igual a 50°.
Questão 2. Sendo AH uma altura do triângulo 
ABC, determine as medidas x e y.
Professor(a), a altura AH do triângulo ABC é perpen-
dicular ao lado BC, ou seja, forma um ângulo de 90°. 
Nesse caso, teremos dois triângulos retângulos: ABH 
e ACH.
Vamos usar a soma dos ângulos internos de um triân-
gulo para calcular o valor de x e y:
Calculando x:
x + 70° + 90° = 180° → x + 160° = 180°
x = 180° - 160° → x = 20°
Calculando y:
y + 40° + 90° = 180° → y + 130° = 180°
y = 180° - 130° → y = 50°
 15
Questão 3. No triângulo ABC a seguir, AD é bisse-
triz relativa ao ângulo BÂC.
O valor de x, em graus, é
A) 92
B) 94
C) 96
D) 98
E) 100
Professor(a), vamos calcular a medida do ângulo 
BÂC pela soma dos ângulos internos de um triângulo:
BÂC + 52° + 48° = 180° → BÂC + 100° = 180°
BÂC = 180° - 100° → BÂC = 80°
Como AD é a bissetriz relativa ao ângulo BÂC, te-
mos que a medida do ângulo DÂC será a metade da 
medida de BÂC, ou seja, DÂC é igual a 40°. Agora 
podemos calcular o valor de x:
x + 48° + 40° = 180° → x + 88° = 180°
x = 180° - 88° → x = 92°
Assim, a alternativa A é a certa.
Questão 4. No triângulo abaixo, AM é mediana re-
lativa ao lado BC.
Qual a medida do lado BM, em centímetros, do triân-
gulo ABM?
A) 39cm
B) 46cm 
C) 52cm 
D) 64cm 
E) 73cm
Professor(a), sendo AM mediana relativa ao lado 
BC, teremos:
4x -12 = 2x + 20 → 4x – 2x = 20 + 12
2x = 32 → x = 16cm
Calculando a medida do lado BM:
2x + 20 = 216 + 20 = 32 + 20 = 52cm
A alternativa C é a certa.
AULA 25
AVALIAÇÃO 1
Prezado(a) professor(a), este é o momento de re-
alizar a avaliação dos estudantes referente às aulas 
efetuadas anteriormente (aulas 21 a 24).
A organização das atividades desta avaliação é de 
sua responsabilidade, como sugestão, realize ativi-
dades de múltipla escolha. Aproveite essa atividade 
para verificar as principais dúvidas dos estudantes e 
saná-las.
AULA 26
HABILIDADES
D047_M. Resolver problemas 
que envolvam ângulos internos 
ou externos de polígonos.
CONTEÚDO(S) Ângulos em um polígono.
Prezado(a) professor(a), concluindo as aulas que 
tinham por objetivo o desenvolvimento da habilidade 
D047, abordamos conceitos geométricos de ângulos 
entre retas, elementos de um triângulo e ângulos de 
um polígono. Agora, iremos consolidar o estudo so-
bre os ângulos internos e externos de um polígono e 
como determinar suas somas.
 16
ÂNGULO INTERNO E ÂNGULO 
EXTERNO DE UM POLÍGONO
Observe o polígono abaixo:
Temos que:
A + a = 180°
B + b = 180°
C + c = 180°
D + d = 180°
Assim, um ângulo interno e um ângulo externo de 
mesmo vértice de um polígono são sempre adjacen-
tes suplementares.
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS 
INTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO
Para se determinar a soma dos ângulos internos de 
um polígono convexo, usamos a seguinte fórmula:
Si = (n - 2)∙180°
Em que:
Si → Soma dos ângulos internos;
n → Número de lados do polígono.
Vejamos os exemplos a seguir:
a) Calcule a soma dos ângulos internos de um hep-
tágono.
Solução: O heptágono é um polígono formado por 
7 lados. Logo, substituiremos o valor de n por 7 para 
encontrar Si:
Si = (n - 2)∙180° = (7 - 2)∙180° = 5∙180° = 900° 
A soma dos ângulos internos de um heptágono é 
900°.
b) A soma das medidas dos ângulos internos de um 
polígono é 540°. Qual é esse polígono?
Solução: Nesse caso, vamos calcular o valor de n, 
sabendo que Si é igual a 540°.
(n - 2)∙180° = 540° → n - 2 = 540°/180° 
n - 2 = 3 → n = 3 + 2 = 5
Podemos concluir que o polígono que tem a soma 
^ ^
^ ^
^ ^
^ ^
dos ângulos internos igual a 540° é um pentágono.
SOMA DAS MEDIDAS DOS ÂNGULOS 
EXTERNOS DE UM POLÍGONO CONVEXO
Vamos calcular a soma das medidas de todos os ân-
gulos internos e externos de um polígono convexo de 
n lados, tomando em cada vértice o ângulo interno (i) 
e o ângulo externo (e):
(i1 + e1) + (i2 + e2) + … + (in + en)
Sabendo que um ângulo interno e um ângulo externo 
de um mesmo vértice são suplementares, temos:
180° + 180° + … + 180° = n∙180°
Assim, a soma (i1 + e1) + (i2 + e2) + … + (in + en) pode 
ser expressa como:
(i1 + i2 + … + in) + (e1 + e2 + … + en) = n∙180°
Sendo (i1 + i2 + … + in) a soma Si dos ângulos internos 
do polígono e (e1 + e2 + … + en) a soma Se dos ângu-
los externos do polígono, temos:
Si + Se = n∙180° 
Substituindo Si por (n - 2)∙180°:
(n - 2)∙180° + Se = n∙180°
(n∙180°) - 360° + Se = n∙180°
Se = (n∙180°) - (n∙180°) + 360° = 360°
Concluimos que:
A soma das medidas dos ângulos externos de 
qualquer polígono convexo é igual a 360°.
ÂNGULOS DE UM POLÍGONO REGULAR
Chama-se polígono regular o polígono convexo que 
tem todos os lados congruentes e todos os ângulos 
internos congruentes.
• Medida do ângulo interno (ai) de um polígono regu-
lar de n lados:
ai = Si/n
• Medida do ângulo externo (ae) de um polígono re-
gular de n lados:
ae = Se/n
Exemplo: Qual a medida do ângulo interno e do ân-
gulo externo de um polígono regular de 10 lados?
Solução: Vamos calcular primeiro a medida do ângu-
lo interno do polígono:
ai = Si/n = [(n - 2)∙180°]/n = [(10 - 2)∙180°]/10 
ai = (8∙180°)/10 = 1440°/10 = 144°
Agora, vamos calcular a medida do ângulo externo 
do polígono:
ae = Se/n = 360°/10 = 36°
O ângulo interno mede 144°, e o ângulo externo 
mede 36°.
 17
Dica: poderíamos ter respondido o exemplo através 
da propriedade que afirma que o ângulo interno e o 
ângulo externo em um mesmo vértice são suplemen-
tares. Vejamos:
• A medida do ângulo externo:
ae = Se/n = 360°/10 = 36°
• A medida do ângulo interno:
ai + ae = 180° → ai + 36° = 180°
ai = 180° - 36° = 144°
VAMOS PRATICAR!
Questão 1. Qual é a soma das medidas dos ân-
gulos internos de um polígono convexo com 12 
lados?
Professor(a), vamos aplicar diretamente a fórmula 
que possibilita calcular a soma dos ângulos internos 
de um polígono convexo:
Si = (n - 2)∙180° = (12 - 2)∙180° = 10∙180° = 1800°
Portanto, a soma das medidas dos ângulos internos 
de um polígono convexo com 12 lados é 1800°.
Questão 2. Como se chama o polígono cuja soma 
das medidas dos ângulos internos é 3240°?
Professor(a), teremos que calcular quantos lados 
tem esse polígono, ou seja, o valor de n, para isso, 
faremos:
(n - 2)∙180° = 3240° → n - 2 = 3240°/180° 
n - 2 = 18 → n = 18 + 2 = 20
Portanto, o polígono com a soma das medidas dos 
ângulos internos igual a 3240° tem 20 lados, ou seja, 
um icoságono.
Questão 3. Quantos lados tem um polígono con-
vexo em que Si + Se = 1080°?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
Professor(a), como a soma dos ângulos externos 
de um polígono convexo é 360°, podemos calcular 
a soma dos ângulos internos desse polígono da se-
guinte forma:
Si + Se = 1080° → Si + 360° = 1080°
Si = 1080° - 360° = 720°
Agora, vamos determinar o número de lados desse 
polígono:
(n - 2)∙180° = 720° → n - 2 = 720°/180° 
n - 2 = 4 → n = 4 + 2 = 6
O polígono convexo tem 6 lados. Portanto, a resposta 
correta é a alternativa B.
Questão 4. (IFTM) Uma porca sextavada é um ele-
mento de fixação utilizado em conjunto com os 
parafusos. Ela possui esse nome porque seu for-
mato é associado a um polígono regular de seis 
lados. A figura mostra uma representação geomé-
trica desse tipo de porca.
Qual é a medida do ângulo ABC?
A) 100º
B) 108º
C) 120º
D) 135º
E) 144º
Professor(a), para responder a questão, vamos cal-
cular o valor do ângulo interno de um polígono regu-
lar de 6 lados. 
ai = Si/n = [(n - 2)∙180°]/n = [(6 - 2)∙180°]/6 
ai = (4∙180°)/6 = 720°/6 = 120° 
A medida do ângulo ABC é 120°. A alternativa correta 
é a C.
AULA 27
HABILIDADESD060_M. Identificar triângulos 
semelhantes.
CONTEÚDO(S) Triângulo e critérios de seme-
lhança de triângulos.
Prezado(a) professor(a), este material está dividido 
em duas aulas. Na Aula 27 apresentamos a noção 
de semelhança entre triângulos, focando em alguns 
critérios que nos permitem decidir se dois triângulos 
são semelhantes, juntamente com aplicações de tais 
 18
critérios. Na Aula 28 abordamos a Propriedade Fun-
damental da Semelhança de Triângulos.
TRIÂNGULO
É um polígono formado por três segmentos de retas 
e se cruzam duas a duas. Possui três ângulos, três 
vértices e três lados.
De maneira simplificada, podemos definir triângulo 
como uma figura plana formada por três segmen-
tos de reta. Esses segmentos de reta não são dis-
postos de qualquer maneira. Eles devem formar três 
lados e três ângulos bem definidos. Veja:
Fonte: (Cursinho Pré Universitário UNESP, caderno 
2, v. 4. p. 169, 2016).
TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Dois triângulos são semelhantes quando têm a mes-
ma forma, mas não têm necessariamente o mesmo 
tamanho. Veja a figura a seguir.
Fonte: (Cursinho Pré Universitário UNESP, caderno 
2, v. 4. p. 169, 2016).
Considerando os triângulos ABC e A’B’C’ semelhan-
tes, é possível estabelecer uma relação entre os la-
dos desse triângulo.
No ABC≈∆A'B'C' → {α≅α' β≅β' γ≅γ' 
a/a' = b/b' = c/c' = k (chamada de constante de pro-
porcionalidade)
Observe que sempre fazemos a razão entre dois 
lados correspondentes. Cuidado para não misturar 
tudo!
Note que "a" e "a’" são opostos ao mesmo ângulo, 
por isso, fazemos a razão a/a'.
CASOS DE SEMELHANÇA
Considerando os lados e os ângulos dos triângulos, 
é possível determinar quando os triângulos são se-
melhantes. 
Casos (ou critérios) de semelhança entre triângulos:
• Critério Ângulo - Ângulo (AA): Dois triângulos 
são semelhantes quando possuem dois ângulos, 
respectivamente, com mesma medida.
Fonte: (SEDUC- ES – Material Estruturado – Ensino 
Médio, p. 3, 2024).
Nos triângulos ABC e A'B'C', temos:
med(B) = med(B') = 50°
med(A) = med(A') = 70°
Portanto, pelo critério AA, os triângulos ABC e A'B'C' 
são semelhantes.
• Critério Lado - Ângulo - Lado (LAL): Dois triân-
gulos são semelhantes quando possuem dois la-
dos, respectivamente, proporcionais e os ângulos 
compreendidos entre esses lados com a mesma 
medida.
Fonte: (SEDUC- ES – Material Estruturado – Ensino 
Médio, p. 3, 2024).
Nos triângulos ABC e A'B'C', temos:
med(A) = med(A') = 105°
AB/A'B' = 4cm/2cm = 2cm
AC/A'C' = 6cm/3cm = 2cm
• Critério Lado - Lado-Lado (LLL): Dois triângulos 
são semelhantes quando possuem os lados, res-
^ ^
^ ^
^ ^
 19
pectivamente, proporcionais.
Fonte: (SEDUC- ES – Material Estruturado – Ensino 
Médio, p. 3, 2024).
Os triângulos acima são semelhantes. Eles possuem 
ângulos internos iguais e os lados são proporcionais.
AB/A'B' = 6cm/9cm = 2/3cm
BC/B'C' = 8cm/12cm = 2/3cm
AC/A'C' = 10cm/15cm = 2/3cm
Chamamos 23 de razão de semelhança. Ele reflete a 
proporcionalidade entre os lados.
Vamos com bastante calma analisar a situação re-
solvida.
Questão Resolvida. (SAEPB) Para fazer as velas 
de sua miniatura de veleiro, um artesão contratou 
os serviços de uma costureira. Ele solicitou que 
elas fossem produzidas em tecido de forma que 
os triângulos representados em cinza no dese-
nho abaixo fossem semelhantes. O desenho abai-
xo representa o projeto do veleiro desse artesão 
com algumas medidas indicadas. Qual é a altura, 
em centímetros, da maior vela dessa miniatura de 
veleiro?
Solução: Utilizando o critério de semelhança de tri-
ângulos (AA), temos:
altura da torre/15cm = 30cm/10cm
h/15 = 30/10 → h/15 = 3 → h = 15∙3 = 45
A altura, em centímetros, da maior vela dessa minia-
tura de veleiro é de 45 cm.
VAMOS PRATICAR!
Questão 1. (FAPERP – 2015 - Adaptado) Um poste 
vertical projeta uma sombra de 3 metros sobre 
um chão plano, no mesmo instante em que uma 
pessoa de 1,8 metros projeta uma sombra de 0,45 
metros. Assim, é correto afirmar que a altura do 
poste é igual a:
A) 6m
B) 8,6m
C) 9,8m
D) 12m
E) 12,5m
Professor(a), utilizando o critério de semelhança de 
triângulos, temos: 
altura do poste/1,8m = 3m/0,45m → h/1,8 = 3/0,45
0,45∙h = 1,8∙3 → 0,45∙h = 5,4 → h = 5,4/0,45 = 12m
Portanto, a altura do poste é de 12m. Gabarito: Alter-
nativa D.
Questão 2. (UFPR – 2010) Para medir a largura 
aproximada de um rio, utilizou-se o esquema ao 
lado. De acordo com a figura, pode-se de dizer 
que o valor de d é:
 20
Fonte: Q concursos – semelhança de triângulos
A) 28m
B) 18m
C) 16m
D) 25m
E) 20m
Professor(a), utilizando o critério de semelhança de 
triângulos, temos: 
largura do rio/8m = 25m/10m → d/8 = 25/10
10∙d = 8∙25 → 10∙d = 200 → d = 200/10 = 20m
Portanto, a largura do rio é de 20m. Gabarito: Alter-
nativa E.
Questão 3. (IFPE – 2017) Às 10h45min de uma ma-
nhã ensolarada, as sombras de um edifício e de 
um poste de 8 metros de altura foram medidas ao 
mesmo tempo. Foram encontrados 30 metros e 
12 metros, respectivamente, conforme ilustração 
abaixo:
De acordo com as informações acima, a altura h 
do prédio é de
A) 12 metros
B) 18 metros
C) 16 metros
D) 14 metros
E) 20 metros
Professor(a), utilizando o critério de semelhança de 
triângulos, temos: 
altura do prédio/8m = 30m/12m → h/8 = 30/12
12∙h = 8∙30 → 12∙h = 240 → h = 240/12 = 20m
Portanto, a altura do prédio é de 20m. Gabarito: Al-
ternativa E.
AULA 28
HABILIDADES D060_M. Identificar triângulos 
semelhantes.
CONTEÚDO(S) Triângulo e critérios de seme-
lhança de triângulos.
Prezado(a) professor(a), nesta aula trataremos da 
Propriedade Fundamental da Semelhança de Triân-
gulos bem como exploração de questões.
O QUE DIZ ESSA PROPRIEDADE?
Quando adicionamos uma reta paralela a um dos 
lados do triângulo que modo que esta intercepte os 
dois outros lados em pontos diferentes, forma-se um 
novo triângulo semelhante ao primeiro.
Veja o exemplo que ilustra essa propriedade:
Questão Resolvida. (UNESP – SP) Um observador 
situado num ponto O, localizado na margem de 
um rio, precisa determinar sua distância até um 
ponto P, localizado na outra margem, sem atra-
vessar o rio. Para isso marca, com estacas, ou-
tros pontos do lado da margem em que se encon-
tra, de tal forma que P, O e B estão alinhados entre 
si e P, A e C também. Além disso, OA é paralelo a 
BC, OA = 25m, BC = 40m e OB = 30m, conforme 
figura.
A distância, em metros, do observador em O até 
o ponto P, é: 
A) 30 
B) 35 
C) 40 
D) 45 
E) 50 
Solução: Utilizando o critério de semelhança de tri-
ângulos, temos: 
PO/(PO + 30) = 25/40 → PO/(PO + 30) = 5/8 
8∙PO = 5∙(PO + 30) → 8∙PO = 5∙PO + 150
8∙PO - 5∙PO = 150 → 3∙PO = 150
PO = 150/3 = 50m
Logo, PO = 50m. Gabarito: Alternativa E.
 21
VAMOS PRATICAR!
Questão 1. (SEDUC – GO - Adaptado) Na imagem 
a seguir, é possível perceber dois triângulos que 
compartilham parte de dois lados. Sabendo que 
os segmentos BA e DE são paralelos, qual a me-
dida de x?
A) 210m
B) 220m
C) 250m
D) 260m
E) 280m
Professor(a), utilizando o critério de semelhança de 
triângulos, temos: 
100/x = 160/400 →100/x = 4/10 
4∙x = 100∙10 → 4∙x = 1000 → x = 1000/4 = 250
Logo, x = 250m. Gabarito: Alternativa C.
Questão 2. (IBAM – 2012 - Adaptado) Na figura 
abaixo os segmentos AC e DE são paralelos. Sa-
bendo que AB = 20cm, BD = 8cm e BE = 10cm, 
qual é a medida do segmento CE?
A) 14cm
B) 15cm
C) 18cm
D) 22cm
E) 24cm
Professor(a), utilizando o critério de semelhança de 
triângulos, temos: 
8/20 = 10/(x + 10) → 2/5 = 10/(x + 10) 
2∙(x+10) = 5∙10 → 2∙x + 20 = 50
2∙x = 50 - 20 → 2∙x = 30 → x = 30/2 =15
Logo, x = 15cm. Gabarito: Alternativa B.
Questão 3. (Prefeitura de Fortaleza – CE – Adapta-
do). Na figura abaixo, sabe-se que AB = 6, BC = 5, 
DE = 14 e BD = x.
A) 84/5
B) 54/5
C) 35/5
D) 35/3
E) √61
Professor(a), utilizando o critério de semelhança de 
triângulos, temos: 
5/14 = 6/(x + 6) → 5∙(x + 6) = 6∙14 → 5∙x + 30 = 84
5∙x = 84 - 30 → 5∙x = 54 → x = 54/5
Gabarito: Alternativa B.
AULA 29
HABILIDADES
D064_M.Utilizar relações mé-
tricas de um triângulo retângulo 
na resolução de problemas. 
CONTEÚDO(S) Relações métricas de um triân-
gulo retângulo.
Prezado(a) professor(a), vamos iniciar os trabalhos 
envolvendo as relações métricas no triângulo retân-
gulo. Serão três aulas, sendo a última, voltada exclu-
sivamente para resolução de problemas. Os(as) es-
tudantes estão mais familiarizados com o teorema de 
Pitágoras na resolução de atividades que envolvem 
triângulos retângulos, porém, é importante mostrar 
algumas situações em que utilizem as outras rela-
ções métricas.
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Um triângulo retângulo é um polígono com três lados 
e três ângulos, sendo que um deles é reto, ou seja, 
mede 90°. Os outros dois ângulos são agudos, ou 
 22
seja, menores que 90°.
Triângulos retângulos são incrivelmente comuns no 
mundo ao nosso redor, tanto em estruturas constru-
ídas por humanos quanto em fenômenos naturais. 
Aqui estão alguns exemplos de onde você pode en-
contrar triângulos retângulos:
• Telhados: A maioria dos telhados é composta por 
triângulos retângulos, que fornecem suporte e es-
tabilidade à estrutura.
• Escadas: Escadas retas formam um triângulo re-
tângulo com o chão e a parede.
• Rampas: Rampas de acesso para cadeirantes ou 
para veículos também formam triângulos retângu-
los. 
• Pontes: Muitas pontes utilizam triângulos retângu-
los em sua estrutura para aumentar sua resistên-
cia.
• Cristais: Alguns cristais minerais possuem forma-
tos geométricos que incluem triângulos retângulos.
Imagem: https://www.prismatic.com.br/como-calcu-
lar-inclinacao-de-um-telhado/ (acesso: 05/02/25)
ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO 
RETÂNGULO
Os elementos de um triângulo retângulo recebem de-
nominações especiais:
• Lado de medida a é a hipotenusa; 
• Os lados de medidas b e c são os catetos;
• m é a medida da projeção do cateto que mede b 
sobre a hipotenusa;
• n é a medida da projeção do cateto que mede c 
sobre a hipotenusa;
• h é a medida da altura relativa à hipotenusa.
AS RELAÇÕES MÉTRICAS NO 
TRIÂNGULO RETÂNGULO
• 1ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o 
quadrado da medida de um cateto é igual ao pro-
duto da medida da hipotenusa pela medida da pro-
jeção desse cateto sobre a hipotenusa.
• 2ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o 
quadrado da medida da altura relativa à hipotenu-
sa é igual ao produto das medidas dos segmentos 
que essa altura determina sobre a hipotenusa.
h2 = m∙n
• 3ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, o pro-
duto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa 
pela altura relativa a ela.
b∙c = a∙h
• 4ª relação: Em qualquer triângulo retângulo, a 
soma dos quadrados dos catetos é igual ao qua-
drado da hipotenusa.
b2 + c2 = a2
 23
Essa última relação é conhecida como teorema de 
Pitágoras, que iremos explorar mais nas próximas 
aulas.
Vamos aplicar as relações apresentadas para deter-
minar, no triângulo retângulo a seguir, as medidas a, 
b, h e m indicadas.
Solução: A medida do lado a (relação 1):
12² = a∙8 → 144 = a∙8 → a = 144/8 = 18
A medida do lado b (relação 4 – Teorema de Pitágo-
ras):
18² = b² + 12² → 324 = b² + 144 → b² = 324 - 144
b² = 180 → b = √180 = 65
A medida de m (através da medida do lado a):
m = a - 8 = 18 - 8 = 10
A medida da altura h (relação 2):
h² = 10∙8 → h² = 80 → h = √80 = 45
VAMOS PRATICAR!
Questão 1. Determine o valor de x em cada item.
A)
B)
C)
C) x2 = 4∙8 = 32 → x = √32 = 4√2 
Questão 2. Em um triângulo retângulo, um cate-
to mede 10cm, e a projeção desse cateto sobre a 
hipotenusa mede 5cm. Nessas condições, qual a 
medida da hipotenusa?
A) 15cm
B) 20cm
C) 25cm
D) 30cm
E) 35cm
Professor(a), vamos ilustrar a situação e aplicar a 
relação métrica:
102 = 5∙x → 100 = 5∙x → x = 100/5 = 20
A hipotenusa do triângulo retângulo mede 20cm (op-
ção B).
Questão 3. (PROEB - adaptado). Para reforçar a 
estrutura PQR, foi colocada uma trave PM, como 
mostra a figura abaixo.
Qual a medida do comprimento da trave PM, sa-
bendo que o triângulo PQR é retângulo?
A) 1m
B) 2,4m
C) 3m
D) 3,5m
E) 5m
Professor(a), aplicando o teorema de Pitágoras para 
determinar a medida da hipotenusa QR:
(QR)2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 → QR = √25 = 5
Professor(a), vamos usar as seguintes relações mé-
tricas para determinar o valor de x em cada item: 
A) x2 = 8∙18 = 144 → x = √144 = 12
B) 62 = x∙12 → 36 = 12∙x → x = 36/12 = 3 
 24
Aplicando a relação métrica para calcular a medida 
de PM:
(QR)∙(PM) = (PQ)∙(PR) → 5∙(PM) = 3∙4 = 12 
PM = 12/5 = 2,4
Assim, a medida da trave PM é de 2,4cm. Alternativa 
B correta.
AULA 30
AVALIAÇÃO 2
Prezado(a) professor(a), este é o momento de re-
alizar a avaliação dos estudantes referente às aulas 
efetuadas anteriormente (aulas 26 a 29).
A organização das atividades desta avaliação é de 
sua responsabilidade, como sugestão, realize ativi-
dades de múltipla escolha. Aproveite essa atividade 
para verificar as principais dúvidas dos estudantes e 
saná-las.
 25
REFERÊNCIAS
BRASIL ESCOLA. Exercícios sobre Teorema de Tales. Disponível em: https://exercicios.brasilescola.uol.
com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-teorema-tales.htm. Acesso em: 7 fev. 2025.
ESPAÇO PEDAGÓGICO. Teorema de Thales & Proporcionalidade. Disponível em: https://professordiminoi.
com.br/teorema-de-tales. Acesso em 7 fev. 2025.
GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática: 8° Ano: Ensino Fundamental: Anos 
Finais. São Paulo: FTD, 2018.
GIOVANNI JÚNIOR, J. R.; CASTRUCCI, B. A Conquista da Matemática: 9° Ano: Ensino Fundamental: Anos 
Finais. São Paulo: FTD, 2018.
GOVERNO DO ESTADO DO ESPIRITO SANTO. SECRETARIA DA EDUCAÇÃO. Material Estruturado. Mate-
mática. Semelhança de Triângulos. Disponível em: https://curriculo.sedu.es.gov.br/curriculo/wp-content/uplo-
ads/2024/03/2a-SERIE-MATEMATICA-SEMANA-2.pdf. Acesso em: 5 fev. 2025.
GRANCONCUROS. Questões de Matemática: questões sobre descritor D01 – Matemática – 3° ano do 
ensino médio. Disponível em: https://bancoquestoes.com.br/descritores/matematica-3-ano-do-ensino-medio/
d01/. Acesso em: 8 fev. 2025.
IEZZI, Gelson; DOLCE, Osvaldo; MACHADO, Antonio. Matemática e realidade: 9º ano. 10. ed. São Paulo: 
Saraiva Educação S.A., 2022.
OLIVEIRA, Marcelo Rufino de. Elementos da Matemática: Álgebra, proporção e frações. – 1 ed. - Fortaleza: 
Vestseller, 2012.
QCONCURSOS. Questões de Matemática: semelhança de triângulos. Disponível em: https://www.
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B3pVC8vwHj790rMEAqJ8zxd1hoCo4IQAvD_BwE&page=2&utm_campaign=qconcursos_acq_alwayson_pma-
x&utm_medium=google_pmax&utm_source=midia_paga. Acesso em: 5 fev. 2025. 
ROONEY, Anne. A História da Matemática: Desde a criação das pirâmides até a exploração do infinito. 
São Paulo: M. Books do Brasil, 2012.
Souza, J. R. de. (2018). Matemática realidade & tecnologia: 9o ano: ensino fundamental: anos finais. 1. ed. 
São Paulo: FTD.
UNESP – Universidade Estadual Paulista. Caderno 2 do Cursinho Pré-Universitário. Matemática. Disponível 
em: https://www2.unesp.br/Home/servico_ses/caderno_matematica.pdf. Acesso em: 6 fev. 2025.
	SUMÁRIO
	APRESENTAÇÃO
	AULA 21
	AULA 22
	AULA 23
	AULA 24
	AULA 25
	AULA 26
	AULA 27
	AULA 28
	AULA 29
	AULA 30
	REFERÊNCIAS