MATEMÁTICA 2 - objetivo

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1MATEMÁTICA
1. Definição de matriz
 Chama-se matriz de ordem m x n (lê-se “m por n”) a uma tabela de m . n nú meros reais, dispostos em m linhas
e n colunas. 
 Representa-se por A ou Am×n.
 Seja a matriz A de ordem 2 x 3:
 O elemento m, situado na 1a. linha e na 1a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a11. Lê-se a índice um um
ou simplesmente a um um.
 O elemento n, situado na 1a. linha e 2a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a12. Lê-se a índice um dois ou
simplesmente a um dois.
 O elemento p, situado na 1a. linha e 3a. coluna, pode ser representado pelo símbolo a13. Lê-se a índice um três ou
simplesmente a um três.
 De modo análogo, x é o elemento a21, y é o ele mento a22 e z é o elemento a23.
 Assim sendo, uma matriz A, de ordem 2 x 3, pode ser assim representada:
�a11a21
a12
a22
a13
a23
�A =oua11a21
a12
a22
a13
a23
A =ou�a11a21
a12
a22
a13
a23
�A =
A = � mx ny pz �
Matrizes – Determinantes – Sistemas Lineares
Módulos
1 – Matrizes
2 – Multiplicação de matrizes
3 – Propriedades
4 – Determinantes
5 – Determinante nulo
6 – Determinante se altera 
7 – Determinante não se altera
8 – Abaixamento da ordem
9 – Regra de Chió e Teorema de Binet 
10 – Inversão de matrizes, cálculo de um elemento da
inversa e propriedades 
11 – Inversão de matrizes, cálculo de um elemento da
inversa e propriedades 
12 – Sistemas lineares – Regra de Cramer
13 – Escalonamento
14 – Escalonamento 
15 – Substituição, eliminação e exercícios
complementares 
16 – Substituição, eliminação e exercícios
complementares 
1
Palavras-chave:
Matrizes • Tabelas • Linhas
• Colunas
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2 MATEMÁTICA
 De modo geral, representando por aij o elemento da
linha de ordem i e da coluna de ordem j, podemos
representar a matriz A de ordem m x n como se segue:
ou simplesmente A = (aij)mxn
 Observações
 • Ao apresentarmos uma matriz como “tabela”, es -
ta mos dando uma noção intuitiva de matriz. Formal men -
te, matriz é uma função que a cada par (i; j) associa o
número real aij.
 • Linha de uma matriz é uma ênupla de elementos
com o mesmo primeiro índice. Exemplo: a segunda linha
da matriz A é (a21, a22, a23, … a2n).
 • Coluna de uma matriz é uma ênupla de elemen -
tos com o mesmo segundo índice. Exemplo: a segunda
coluna da matriz A é (a12, a22, a32, … am2).
 • Fila de uma matriz significa linha ou coluna indis -
tin tamente.
 • A matriz Amxn é chamada:
 Retangular ⇔ m � n 
 Quadrada ⇔ m = n
 Matriz Linha ⇔ m = 1 
 Matriz Coluna ⇔ n = 1
 Exemplo
 Matriz Retangular:
 A =
 
Matriz Quadrada:
 B = 
 Matriz Linha:
 C = [1 2 6 7] 1 linha
2. Matriz nula
 Matriz nula é aquela que tem todos os elementos
iguais a zero.
 É representada pelo símbolo Omxn. 
 Exemplo
 
O3×2 =
3. Matriz unidade 
ou matriz identidade
 A matriz A = (aij)nxn é chamada matriz unidade ou
identidade de ordem n e é representada por In, se e
somente se:
⇔
∀i, j ∈ { 1, 2, 3, ..., n}
 Matriz identidade de ordem 3:
 I3 = 
4. Matriz oposta
 A matriz oposta de A = (aij)mxn é a matriz 
 – A = (– aij)mxn.
5. Matriz transposta
 A matriz transposta da matriz A = (aij)mxn é a matriz
At = (bji)nxm, tal que bji = aij, ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m}, 
∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
• Obter a transposta é trocar, ordena damente, linhas
por colunas
•• A transposta da transposta de A é a própria
matriz A
6. Igualdade de matrizes
 Duas matrizes, A e B, de mesma ordem, são iguais
se, e somente se, todos os elementos correspondentes
forem dois a dois iguais.
 Se A = (aij)mxn e B = (bij)mxn, então cada elemento aij
de A é igual ao correspondente elemento bij de B. 
 Sim bolicamente:
 para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n}
� 243
1
5
6 �
�10
0
0
1
0
0
0
1
�
 1 0 0 … 0
 0 1 0 … 0
In = � 0 0 1 … 0 � ......................……
 0 0 0 … 1
aij = 1 ⇔ i = j �aij = 0 ⇔ i � j
0
0
0
0
0
0
2 linhas
2 colunas�
1
4
3
6�
� �
3 linhas
2 colunas
a11
a21
�
am1
a12
a22
�
am2
a13
a23
�
am3
…
…
�
…
a1n
a2n
�
amn
A = B ⇔ aij = bij
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3MATEMÁTICA
7. Adição de matrizes
 Dadas duas matrizes de mesma ordem, A = (aij)mxn
e B = (bij)mxn, define-se soma de A com B como sendo
a matriz C = (cij)mxn, tal que cada elemento de C é a 
so ma dos elementos correspondentes de A e B. 
 
Sim boli camente:
 para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} 
8. Subtração de matrizes
 Dadas duas matrizes, A e B, de mesma ordem,
define-se diferença entre A e B como sendo a soma de
A com a oposta de B. 
 Simbolicamente: 
9. Multiplicação de 
número real por matriz
 Dada a matriz A = (aij)mxn e o número real α, 
define-se o produto de α por A como sendo a matriz 
B= (bij)mxn tal que cada elemento bij de B é igual ao
produto do número α pelo correspondente elemento da
matriz A.
 
Simbolicamente:
para ∀i ∈ {1, 2, 3, ..., m} e ∀j ∈ {1, 2, 3, ..., n} 
 Exemplo:
 
B = α . A ⇔ b
ij
= α . a
ij
A – B = A + (– B) �312
9
0
21
– 9�=�
1
4
3
0
7
– 3�3 . 
C = A + B ⇔ cij = aij + bij
� (UNICAMP-MODELO ENEM) – Em uma matriz, chamam-se
elementos internos aqueles que não pertencem à primeira nem à
última linha ou coluna. O número de elementos internos em uma
matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a 
a) 12. b) 15. c) 16. d) 20. 
Resolução
Uma matriz com 5 linhas e 6 colunas possui 5x6 = 30 ele mentos,
conforme exemplo a seguir:
Para obtermos os elementos internos devemos excluir a primeira e
última linhas, e a primeira e última colunas, resultando uma nova matriz
com 3 linhas, 4 colunas e, portanto, 12 elementos.
Resposta: A
� (PUC) – Da equação matricial
+ = , resulta:
a) x = y = z = t = 1 b) x = 1, y = 2, z = t = 0
c) x = 1, y = 1, z = 3, t = 2 d) x = 2, y = 0, z = 2, t = 3
 
e) x = , y = 2, z = 0, t = – 2
 
Resolução
+ = ⇔ ⇔
 
Resposta: A
� (PUC) – Se A = , B = e C = então 
a matriz X, de ordem 2, tal que = + C é igual a:
a) b) c) 
d) e) 
Resolução
I) = + C ⇔ 3X – 3A = 2B + 2X + 6C ⇔
 ⇔ X = 3A + 2B + 6C
II) Para as matrizes A, B e C dadas no enunciado, tem-se:
 
X = 3 . + 2 . + 6 . =
 
= + + = 
Resposta: B 
M =�
a11
a21
a31
a41
a51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
a15
a25
a35
a45
a55
a16
a26
a36
a46
a56
�
3
–––
2
� x1
1
2 � �
2
0
y
–1 � �
3
z
2
t � �
x + 2 = 3
1 + y = 2
1 + 0 = z
2 – 1 = t
�
x = 1
y = 1
z = 1
t = 1
X – A––––––
2
B + X
––––––
3
X – A
––––––
2
B + X
––––––
3
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 � �
4
2
–1
1 �
� 69
3
–3 � �
–2
2
4
0 � �
24
12
–6
6 � �
28
23
1
3 �
� x1
1
2 � �
2
0
y
–1 � �
3
z
2
t �
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 � �
4
2
–1
1 �
� 2824
1
3� �
28
23
1
3� �
28
25
1
3�
� 2830
1
3� �
28
22
1
3�
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 3
4 MATEMÁTICA
Questões de � a �.
Sendo a matriz A = (aij)3x2 definida por aij = 2i + j, pede-se:
� Escrever a matriz A.
RESOLUÇÃO:
A = = = 
� Escrever a matriz oposta de A.
RESOLUÇÃO: 
– A = 
� Escrever a matriz transposta de A.
RESOLUÇÃO:
At =
Obs.: Note que obter a transposta é trocar, ordenadamente, linhas
por colunas.
� Dadas as matrizes A = e B = , ob te -
nha a matriz X = 3A + B. 
RESOLUÇÃO:
X = 3A + B ⇒ X = 3 . + ⇔
⇔ X = + ⇔ X = 
� 3–4
–1
1 �
� 9– 12
– 3
3 �
�56
1
9��
3
– 4
–1
1�
� 56
1
9 �
� 56
1
9 � �
14
– 6
–2
12 �
34
5
6
7
8� �
�
– 3
– 5
– 7
– 4
– 6
– 8
�
a11
a21
a31
a12
a22
a32
� � �
2.1 + 1
2.2 + 1
2.3 + 1
2.1 + 2
2.2 + 2
2.3 + 2
� �
3
5
7
4
6
8
�
Exercícios Propostos
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5MATEMÁTICA
� (UERJ – MODELO ENEM) – A temperatura corporal de
um paciente foi medida, em graus Celsius, três vezes ao dia,
durante cinco dias. Cada elemento aij da matriz abaixo corres -
ponde à temperatura observada no instante i do dia j.
Determine
a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior
temperatura; 
b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de
observação. 
RESOLUÇÃO:
a) A maior temperatura é dada pelo elemento a24(40,5 °C) da
matriz e ocorreu no instante 2 do dia 4.
b) As temperaturas do terceiro dia são a13 = 38,6, a23 = 37,2 e 
a33 = 36,1. A média, em graus Celsius, é:
 = = = 37,3
� (MODELO ENEM) – Uma loja guarda as camisas que
estão à venda em uma prateleira que permite separá-las em
tamanho (pequeno, médio e grande) e cor (verde, azul, branca
e preta), conforme a figura seguinte:
Para controlar o es to que, a lo ja utiliza uma matriz A = (aij)3×4 em
que (i; j) indi ca a po sição em que as camisas se encon tram na
prateleira e aij indica a quan tidade de camisas daquela cor e ta -
manho correspon den te. Assim, por exemplo, a23 = 5 significa
que existem cinco camisas brancas de tamanho médio. Quan -
do A = , pode-se dizer que 
a) existem 7 camisas verdes médias.
b) existem 18 camisas médias.
c) existem quantidades iguais de camisas azuis e pretas.
d) estão em falta camisas azuis grandes.
e) há mais camisas grandes que pequenas.
RESOLUÇÃO:
Conforme a matriz, têm-se: 
1 camisa verde média, 1 + 6 + 5 + 8 = 20 camisas médias, 
7 + 6 + 2 = 15 camisas azuis, 3 + 8 + 4 = 15 camisas pretas, 
2 + 7 + 4 + 3 = 16 camisas pequenas e 9 + 2 + 0 + 4 = 15 camisas
grandes.
Resposta: C
� 35,636,1
35,5
36,4
37,0
35,7
38,6
37,2
36,1
38,0
40,5
37,0
36,0
40,4
39,2
�
111,9
––––––
3
38,6 + 37,2 + 36,1
––––––––––––––––––
3
a13 + a23 + a33
–––––––––––––––
3
�
2
1
9
7
6
2
4
5
0
3
8
4
�
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6 MATEMÁTICA
1. Definição
 O produto da matriz A = (aik)mxp pela matriz 
B = (bkj)pxn é a matriz C = (cij)mxn tal que cada elemento
cij de C é igual à soma dos produtos dos elementos da
i-ésima linha de A pelos correspondentes elementos da
j-ésima coluna de B.
 Simbolicamente
2. Existência da matriz produto
 a) A matriz produto A . B existe se, e somente se, o
número de colunas da matriz A for igual ao número
de linhas da matriz B;
 b) Existindo, a matriz produto A . B tem o mesmo
número de linhas da matriz A e o mesmo número de
colunas da matriz B;
 c) A existência de A. B não implica a existência de
B . A.
 Note que, sendo A = (aik)2x7 e B = (bkj)7x5, temos:
 a) A matriz produto A . B existe, pois o número de
colunas de A (sete) é igual ao número de linhas de B
(sete);
 b) A matriz produto C = A . B é de ordem 2x5, pois
a matriz A possui duas linhas e a matriz B possui 5
colunas.
 c) Não existe a matriz produto D = B . A, pois o nú -
mero de colunas de B (cinco) é diferente do número de
linhas de A (dois).
C = A . B 
�
cij = ai1 . b1j + ai2 . b2j + ai3 . b3j + ... + aip . bpj
� Dadas as matrizes A =
2x3
e B =
3x3
, obter a matriz A.B.
Resolução
• O elemento c11 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 7, pois:
• O elemento c12 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c13 da matriz produto A . B é obtido utilizando a primeira linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 9, pois:
1 3 2( ) . 21
1
( ) = 1.2 + 3.1 + 2.1( ) = 7( )
�
2 1 3
1 0 2
1 1 0
��1 3 2
2 1 1
�
1 3 2( ) . 10
1
( ) = 1.1 + 3.0 + 2.1( ) = 7 3( )7
1 3 2( ) . 32
0
( ) = 1.3 + 3.2 + 2.0( ) = 7 3 9( )7 3
2
Palavras-chave:
Multiplicação de matrizes • Produto
• Linha por coluna
Exercícios Resolvidos
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7MATEMÁTICA
• O elemento c21 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a primeira coluna de B e é igual a 6, pois:
• O elemento c22 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a segunda coluna de B e é igual a 3, pois:
• O elemento c23 da matriz produto A . B é obtido utilizando a segunda linha de A e a terceira coluna de B e é igual a 8, pois:
Assim sendo, A . B = . =
2 1 1
( ) . 10
1
( ) =
2.1 + 1.0 + 1.1
( ) = 7 3 9( )7 3 9 6 36
2 1 1
( ) . 21
1
( ) =
2.2 + 1.1 + 1.1
( ) = 7 3 9( )7 3 9
6
2 1 1
( ) . 32
0
( ) =
2.3 + 1.2 + 1.0
( ) = 7 3 9( )7 3 9
6 3 86 3
�76 33 98��2 1 31 0 2
1 1 0
��12 31 21�
� (UFRJ – MODELO ENEM) – Uma fábrica de guarda-roupas utiliza
três tipos de fechaduras (dourada, prateada e bronzeada) para guarda-rou -
pas de mogno e cerejeira, nos modelos básico, luxo e requinte. A
tabela 1 mostra a produção de móveis durante o mês de outubro de
2005, e a tabela 2, a quantidade de fechaduras utilizadas em cada tipo
de armário no mesmo mês.
Tabela 1: Produção de armários em outubro de 2005 
Tabela 2: Fechaduras usadas em outubro de 2005 
A quantidade de fechaduras usadas nos armários do modelo requinte
nesse mês foi de
a) 170 b) 192 c) 120 d) 218 e) 188
Resolução
A matriz A = 
2× 3
representa a tabela 1, a matriz 
B = 
3×2
representa a tabela 2 e a matriz C = B. 
A representa a quantidade de fechaduras usadas em cada modelo.
C = . = 
Assim,
No modelo requinte, foram usadas 100 + 72 + 46 = 218 fechaduras.
Resposta: D
MODELO
MADEIRA BÁSICO LUXO REQUINTE
Mogno 3 5 4
Cerejeira 4 3 5
MADEIRA
TIPO
MOGNO CEREJEIRA
Dourada 10 12
Prateada 8 8
Bronzeada 4 6
�
�34
5
3
4
5�
�
10
8
4
12
8
6
�
78
56
36
86
64
38
100
72
46��
3
4
5
3
4
5��
10
8
4
12
8
6�
Fechaduras por modelo
Tipo Básico luxo Requinte
Dourada 78 86 100
Prateada 56 64 72
Bronzeada 36 38 46
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8 MATEMÁTICA
� Dadas as matrizes A = e B = , obter A.B.
RESOLUÇÃO:
A.B = . =
� Sendo A = , e B = ,
obter, se possível, A . B e B . A 
RESOLUÇÃO:
I) A . B = . = 
II) B.A não existe
� (UNESP) – Uma fábrica produz dois tipos de peças, P1 e
P2. Essas peças são vendidas a duas empresas, E1 e E2. O
lucro obtido pela fábrica com a venda de cada peça P1 é R$ 3,00
e de cada peça P2 é R$ 2,00. A matriz abaixo fornece a quantidade
de peças P1 e P2 vendidas a cada uma das empresas E1 e E2 no
mês de novembro.
A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, 
obtidos pela fábrica, no referido mês, com a venda das peças
às empresas E1 e E2, respectiva mente, é
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
RESOLUÇÃO:
A matriz , onde x e y representam os lucros, em reais, 
obtidos pela fábrica, é o resultado do produto entre as matrizes 
e , onde corresponde aos lucros, em reais, 
com a venda de cada peça P1 e P2, respectivamente. 
Logo: = . =
Resposta: C� 3– 2
1
1
5
– 3 � �
2
3
– 4
– 1
1
2
1
2
5
� � –1111 8–3 30–15 �
� 3– 2
1
1
5
– 3 � �
2
3
– 4
– 1
1
2
1
2
5
�
� 23
1
4 �
1
1
5
2
3
7
12
23
� 23
1
4 � �
1
1
5
2 �
� � � �
E1
E2 �
P1
20
15
P2
8
12 �
� xy �
� 3520 � �
90
48 � �
76
69 � �
84
61 � �
28
27 �
� xy �
� 2015
8
12 � �
3
2 � �
3
2 �
� xy � �
20
15
8
12 � �
3
2 � �
76
69 �
Exercícios Propostos
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9MATEMÁTICA
� Um aluno registrou as notas bimestrais de
algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele
observou que as entradasnuméricas da
tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as
médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes.
Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele
conseguiu é mostrada a seguir
Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir
da tabela por
a)
 
b)
 
 
RESOLUÇÃO:
Ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela pela matriz da
alternativa E, pois
Resposta: E
.
1o. bimestre 2o. bimestre 3o. bimestre 4o. bimestre
Matemática 5,9 6,2 4,5 5,5
Português 6,6 7,1 6,5 8,4
Geografia 8,6 6,8 7,8 9,0
História 6,2 5,6 5,9 7,7
� 1––2
1
––
2
1
––
2
1
––
2 � �
1
––
4
1
––
4
1
––
4
1
––
4 �
1––
2
1––
2
1––
2
1––
2
�� �
1––
4
1––
4
1––
4
1––
4
�e)d)c) � 1111 �
�=�
1
––
4
1
––
4
1
––
4
1
––
4
�.�5,96,68,66,2 6,27,16,85,6 4,56,57,85,9 5,58,49,07,7� �
5,9 + 6,2 + 4,5 + 5,5
––––––––––––––––––
4
6,6 + 7,1 + 6,5 + 8,4
––––––––––––––––––
4
8,6 + 6,8 + 7,8 + 9,0
––––––––––––––––––
4
6,2 + 5,6 + 5,9 + 7,7
––––––––––––––––––
4
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 9
10 MATEMÁTICA
1. Comutativa
 A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou
seja: as matrizes AB e BA não são obrigatoriamente
iguais. Existem, portanto, matrizes A e B tais que 
AB � BA.
2. Anulamento do produto
 Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
anulamento do produto”, ou seja: o produto de duas
matrizes pode ser nulo mesmo que ambas sejam não
nulas. Existem, portanto, matrizes A e B tais que A � 0,
B � 0 e AB = 0.
3. Cancelamento
 Na multiplicação de matrizes, não vale a “lei do
cancelamento”, ou seja: na igualdade AB = AC não se
pode “cancelar” A e concluir que B = C. 
 Existem, portanto, matrizes A, B e C tais que 
AB = AC e B � C.
4. Propriedades da transposta
 Se A e B forem matrizes conformes para a operação
indicada e k é um número real, então:
a) A = B ⇔ At = Bt 
b) (At)t = A
c) (A + B)t = At + Bt 
d) (kA)t = k . At
e) (AB)t = Bt . At
� Dadas as matrizes 
A = , B= e C= , determine:
a) AB b) BA c) AC d) CA
Resolução
a) A . B = . = =
b) B . A = . = =
c) A . C = . = =
d) C . A = . = =
Observe que A.B ≠ B.A e A.C = C.A. Conclui-se que o produto entre
matrizes não é comutativo, ou seja, diferentemente do que ocorre com
o produto de números reais, podemos ter A.B e B.A com A.B ≠ B.A.
Respostas: a) A.B = 
 
b) B.A = 
 c) A.C = d) C.A = 
� Considere as matrizes 
A = e B = determine A.B e B.A.
Resolução
A.B = . =
 = =
B.A = . =
= =
Observe que, diferentemente do que ocorre com o produto de
números reais, temos A.B=O sendo A ≠ O e B ≠ O, em que O é a
matriz nula.
 
� 12 01 � � 20 11 � � 20 02 �
� 12 01 � � 20 11 � �1.2 + 0.02.2 + 1.0 1.1 + 0.12.1 + 1.1� � 24 13 �
� 20 11 � � 12 01 � �2.1 + 1.20.1 + 1.2 2.0 + 1.10.0 + 1.1� � 42 11
�1.2 + 0.02.2 + 1.0 1.0 + 0.22.0 + 1.2� � 24 02 �
� 20 02 � � 12 01 � �2.1 + 0.20.1 + 2.2 2.0 + 0.10.0 + 2.1�
� 24 13 � � 42 11 �
� 24 02 � � 24 02 �
� 11 11 � � 1–1 1–1 �
� 11 11 � � 1–1 1–1 �
�1.1 + 1.(– 1)1.1 + 1.(– 1) 1.1 + 1.(– 1)1.1 + 1.(– 1)� � 00 00 �
� 1–1 1–1 � � 11 11 �
�1.1 + 1.1(– 1).1 + (– 1).1
1.1 + 1.1
(– 1).1 + (– 1).1 � �
2
– 2
2
– 2 �
�
� 12 01 � � 20 02 �
� 24 02 �
3
Palavras-chave:
Propriedades • Comutativa • Anulamento de produto 
• Cancelamento 
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 10
11MATEMÁTICA
Enunciado para questões �, � e �.
Sendo A = , B = e C = , 
obter:
� A . B e B . A 
RESOLUÇÃO:
A . B = 
B . A = 
Conclusão: A multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja,
A.B e B.A nem sempre são iguais.
� Sejam A = , B = e C = , 
obtenha a matriz X = C . (A + B).
RESOLUÇÃO:
I) A + B = 
II) X = C(A + B) = 
Sr. Professor, comente com o aluno que também poderíamos
calcular C.A, C.B e soma-las, pois com matrizes é válida a
propriedade distributiva C(A + B) = C.A + C.B
� Considere as matrizes A = e B = e 
determine A . B.
RESOLUÇÃO:
A . B = . = 
Conclusão: Existem matrizes A e B, tais que A � 0, B � 0 e 
A . B = 0.
� (UNICAMP) – Sejam a e b números reais tais que a matriz 
A = satisfaz a equação A2 = aA + bI, em que I é a 
matriz identidade de ordem 2. Logo, o produto ab é igual a
a) −2. b) −1. c) 1. d) 2.
RESOLUÇÃO:
Sendo A = , temos:
A2 = A . A = . = 
aA + bI = a + b = 
Como A2 = aA + bI resulta:
⇒ e a . b = 2 . (–1) = – 2
Resposta: A 
�21
3
– 4��
1
3
– 2
5��
2
– 2
1
3�
�57
1
19�=�
1
3
– 2
5�.�
2
– 2
1
3�
�6– 4
– 5
18�=�
2
– 2
1
3�.�
1
3
– 2
5�
�– 21
– 6
3��
1
2
2
4�
�00
0
0��
– 2
1
– 6
3��
1
2
2
4�
� 21
3
4 � �
5
7
6
0 � �
3
2
1
5 �
� 21
3
4 � . �
5
7
6
0 � = �
7
8
9
4 �
� 32
1
5 � . �
7
8
9
4 � = �
29
54
31
38 �
� 10
2
1 �
�
1
0
2
1 �
�
1
0
2
1 � � 10
2
1 � �
1
0
4
1 �
� 10
2
1 � �
1
0
0
1 � � a + b0
2a
a + b �
� a + b = 12a = 4 � a = 2b = – 1
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 11
12 MATEMÁTICA
1. Conceito
 Submetendo os elementos de uma matriz quadra -
da (tabela de números) a operações (mediante uma
definição), obtém-se como resultado um número que é
chamado determinante dessa matriz.
a) Matriz é tabela de números reais.
b) Determinante é um número real.
c) Só se define deter minante se a matriz for qua drada.
 O determinante da matriz
 
é indicado por: 
 
 
2. Como calcular
 a) Matriz de Ordem 1: A = (a11) ⇒ det A = a11
 b) Matriz de Ordem 2
 c) Matriz de Ordem 3
 Neste caso, podemos usar um dispositivo prático
(Regra de Sarrus), que consiste em:
 I) Repetir as duas pri mei ras colunas ao lado na ter -
ceira colu na:
 II) Obter os produtos a11 . a22 . a33, a12 . a23 . a31 e
a13 . a21 . a32
 III) Obter os produtos a13 . a22 . a31, a11 . a23 . a32 e
a12 . a21 . a33
�
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
�M =
�
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
an3
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
�det M ou det
a11
a21
.
.
an1
a12
a22
.
.
an2
a13
a23
.
.
.
…
…
…
…
…
a1n
a2n
.
.
ann
ou
a11 a12 a11 a12
A = � �⇒ det A = = a11.a22 –a12.a21a21 a22 a21 a22
 � �
a a a a a
a a a a a
a a a a
2221
11 12
31 32
23
13
21
11
31
22
12
32
aa
3333
a a a a a
a a a a a
a a a a a
2221
11 12
31 32
23
13
33
21
11
31
22
12
32
 IV) Obter o det A fazendo a diferença entre a soma das parcelas do item (II) e a soma das parcelas do item (III).
det A = a
11
. a
22
. a
33 
+ a
12
. a
23
. a
31
+ a
13
. a
21
. a
32 
– a
13
. a
22
. a
31 
– a
11
. a
23
. a
32
– a
12
. a
21
. a
33
 4
Palavras-chave:
Determinantes • Matriz quadrada • Determinante é número 
• Matriz é tabela
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 12
13MATEMÁTICA
� Sendo A = , obter det A
RESOLUÇÃO:
det(A) = = 8 . 2 – 5 . 1 = 11
� Calcular =
RESOLUÇÃO:
= 4 – 8 + 3 – 6 – 2 + 8 = – 1
� (MODELO ENEM) – Em determinada cidade, o valor V, em
reais, pago por uma corrida de táxi é uma função da distância
x percorrida, em km. Sendo V(x) = det A, onde det A é o
determinante da matriz A = , calcule o valor pago,
em reais, por uma corrida de 9 km.
RESOLUÇÃO:
O valor pago, em reais, por uma corrida de 9 km é
V(9) =
Resposta: 32 reais
�85
1
2�
8
5
1
2
1
1
2
– 2
1
1
3
2
4
1
1
2
– 2
1
1
3
2
4
� 35 –1x �
� 35 – 19 �
� Calcular o determinante da matriz A = 
Resolução
= 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 – 1 . 2 . 1 – 3 . 0 . 1 – 3 . 2 . 2 =
= 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2
Resposta: det A = – 2
� Calcular o determinante da matriz A =
 
Resolução
det A = = 2 . 7 –5 . 3 = –1
Resposta: det A = –1
� Sendo A = e B = , calcular det (Bt . A).
Resolução
I) Bt . A = . = 
II) det(Bt . A) = –2.5 – 0.17 = –10
2
3
5
7
�23 57�
1 2 1 1 2
2 2 0 2 2
1 3 3 1 3
=
�� � � � �
det A =
�
1
2
1
2
2
3
1
0
3
�
�
1
0
– 1
1
2
4
� �
1
2
3
1
0
1
�
� 11
2
0
3
1 � �
1
0
–1
1
2
4
� � – 20 175 �
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 13
14 MATEMÁTICA
� (UNESP-adaptado – MODELO ENEM) – Foi realizada
uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um
grupo de 500 crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse
grupo, em função da idade x da criança, concluiu-se que o peso
médio p(x), em quilo gramas, era dado pelo determinante da
matriz A, em que
A =
Com base na fórmula p(x) = det A, podemos concluir que o
peso médio de uma criança de 5 anos é, em kg, igual a:
a) 18 b) 19 c) 20 d) 21 e) 22
RESOLUÇÃO
p(x) = det A = 1 . 0 . + 3 . 2 . 1 + 0 . (– 1) . (– x) –
– 1 . 0 . 0 – 1 . (– x) . 2 – (– 1) . 3 . =
= 0 + 6 + 0 – 0 + 2x + 2 = 2x + 8
Para x = 5, temos p(5) = 2 . 5 + 8 = 18
Resposta: A
5. (UNICAMP) – Considere a matriz M = , 
onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é igual a a2 – b2.
c) a matriz M é igual à sua transposta.
d) o determinante de M é positivo.
RESOLUÇÃO:
Para a ∈ � e b ∈ �, tem-se:
det M = = 1 + a2 + b2 – 1 – ab – ab =
= a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 > 0, pois a � b
Resposta: D 
�
1 – 1 1
3 0 – x
 2
0 2 ––
3
�
2
–––
3
2
–––
3
�
1
b
1
a
1
b
1
a
1
�
� 1b
1
a
1
b
1
a
1
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 14
15MATEMÁTICA
1. Fila nula
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila nula.
 Exemplo
 
 
 De fato:
2. Filas paralelas iguais
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas iguais.
 Exemplo
 
 
 De fato: 
3. Filas paralelas proporcionais
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui duas filas paralelas propor -
cio nais.
 Exemplo
 
 
 De fato: 
4. Fila combinação linear
 O determinante de uma matriz quadrada se anula
quando a matriz possui uma fila que é combinação
linear das demais filas paralelas.
 Exemplo
 
 
 De fato:
 
= 0
2 0 7 2 0
3 0 3 3 0
5 0 1 5 0
– 0 – 0 – 0 + 0 + 0 + 0
= 0
1 5 2 1 5
3 4 4 3 4
1 5 2 1 5
– 8 – 20 – 30 + 8 + 20 + 30
= 0
5 2 3 5 2
15 6 9 15 6
1 5 2 1 5
– 18 – 225 – 60 + 60 + 18 + 225
= 0
1 1 2 1 1
3 1 0 3 1
5 3 4 5 3
– 10 – 0 – 12 + 4 + 0 + 18
2
3
5
0
0
0
7
3
1
= 0, pois a segunda coluna é nula.
1
3
1
5
4
5
2
4
2
= 0, pois a primeira linha é igual à
terceira (L1 = L3).
5
15
1
2
6
5
3
9
2
= 0, pois a segunda linha é 
 propor cional à primeira (L2 = 3.L1).
1
3
5
1
1
3
2
0
4
= 0, pois a terceira linha é com bina ção
linear das duas primeiras 
 (L3 = 2 . L1 + 1 . L2).
5
Palavras-chave:
Determinante nulo • Proporcionais
• Combinação linear 
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 15
16 MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Nove candidatos a uma vaga de esta giário
foram dis tri buídos em uma sala de espera, como repre sen tado a
seguir:
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz
e se substituirmos o nome de cada um desses can dida tos pelo
número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obteremos uma nova matriz. 
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
Resolução
A matriz obtida, substituindo cada um dos nomes pelo número que
indica a posição, em nosso alfabeto, ocupada pela primeira letra do
respectivo nome é:
e o seu determinante é = 0, pois a
terceira linha é combinação linear das outras duas linhas. Ela é igual à
soma da primeira linha com a segunda linha.
Resposta: C
� Resolver, em �, a equação:
= 0
Resolução
⇔ 15 + 2x + (– 8) – 2 – (– 3x) – 40 = 0 ⇔ 5x – 35 = 0 ⇔ x = 7
Resposta: V = {7}
Observação:
Para x = 7, o determinante é zero, pois a terceira linha é combinação
linear das outras duas.
De fato: 
3a. linha = 1 . (2a. linha) – 1 . (1a. linha)
3 2 2 3 2
4 1 x 4 1
1 –1 5 1 –1
= 0 ⇔
�� � � � �
3
4
1
2
1
–1
2
x
5
�
Alberto
Carlos
Daniele
Bruno
Denise
Fernanda
André
Alvaro
Barone
�
�
1
3
4
2
4
6
1
1
2 �
1
3
4
2
4
6
1
1
2
Nas questões de � a �, “calcular” os determinantes.
� = 0, pois a 3a. linha é nula
Observações: Se todos os ele mentos de uma fila de uma matriz
quadrada M forem nulos, então det (M) = 0.
� = 0, pois a 1a. e a 3a. coluna são iguais
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -
lelas iguais, então det (M) = 0.
� = 0, pois a 1a. e a 2a. coluna são proporcionais
(C1 = 2 . C2) 
Observações: Se uma matriz quadrada M possui duas filas para -
lelas proporcionais, então det (M) = 0 
2
6
0
7
9
0
9
1
0
a
b
c
2
5
1
a
b
c
2
6
10
1
3
5
5
1
2
Exercícios Propostos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 16
17MATEMÁTICA
� = 0, pois a 3a. linha é uma com -
binação linear (L3 = L1 + L2)
Observações: Se uma fila de uma matriz quadrada M é com -
binação linear das demais filas paralelas, então det (M) = 0.
� O valor de x que satisfaz a equação = 0 é
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO:
= 0 ⇔ 11x – 33 = 0 ⇔ x = 3
Observe que para x = 3, C3 = C1 + C2. 
Resposta: C 
 
 
� (MODELO ENEM) – A operação � entre números reais é
definida como x�y = x + y. Sendo assim, o determinante da
matriz quadrada de ordem três
é igual a
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
RESOLUÇÃO:
I) = =
 = 
II) = 0, pois L3 = 2L1
Resposta: A
1 � 2
7 � 3
2 � 4
0 � 3
1 � 5
1 � 5
– 1 � 5
3 � 6
3 � 5� �
� 1 � 27 � 3
2 � 4
0 � 3
1 � 5
1 � 5
– 1 � 5
3 � 6
3 � 5
� � 1 + 27 + 3
2 + 4
0 + 3
1 + 5
1 + 5
– 1 + 5
3 + 6
3 + 5
�
�
3
10
6
3
6
6
4
9
8
�
3
10
6
3
6
6
4
9
8
1
– 2
– 2
4
3
5
5
1
x
1
– 2
– 2
4
3
5
5
1
x
1
a
1 + a
5
b
5 + b
7
c
7 + c
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 17
18 MATEMÁTICA
1. Trocando filas paralelas
 O determinante de uma matriz quadrada muda de sinal, quando duas filas paralelas trocam entre si de posição.
 Exemplo
 Trocando entre si as duas últimas co lu nas, por exemplo, obtêm-se
2. Multiplicando uma fila por α
 O determinante de uma matriz quadrada fica multiplicado por α, quando os elementos de uma fila são mul -
tiplicados por α.
 Exemplo
 Multiplicando os elementos da primeira linha por 3, por exemplo, têm-se:
 
e
 De fato:
 
3. Multiplicando a matriz por α
 O determinante de uma matriz quadrada de ordem n fica multiplicado por αn, quando a matriz é multiplicada
por α.
 Exemplo
 
 Multiplicando todos os elementos dessa matriz, por exemplo, por 2, obtém-se
 
1
1
1
2
1
3
3
2 
0
= 4
3
1
1
6
1
3
9
2
0
= 3 .
1
1
1
2
1
3 
3
2
0
= 12
3 6 9 3 6
1 1 2 1 1 
1 3 0 1 3 
– 9 – 18 – 0 + 0 + 12 + 27 = 12
1 2 3 1 2
1 1 2 1 1 
1 3 0 1 3
– 3 – 6 – 0 + 0 + 4 + 9 = 4
2 3 1 2 3
5 0 2 5 0 = 7 e
1 1 0 11
– 0 – 4 – 0 + 0 + 6 + 5
2 1 3 2 1
5 2 0 5 2 = – 7
1 0 1 1 0
– 6 – 0 – 5 + 4 + 0 + 0
⇒ det (2M) = 23 . det M = 8 . (– 4) = – 32�
2
4
2
2
6
8
– 2
0
2
�2M =
= – 4
1
2
1
1
3
4
– 1
0
1
⇒ det M =�12
1
1
3
4
– 1
0
1�M =
6
Palavras-chave:
Determinante se altera • Troca de filas
• Multiplicação de filas
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 18
19MATEMÁTICA
� Calcular o valor de , sabendo-se que = – 17.
Resolução
Para calcularmos o valor de , é importante que ob servemos 
que os elementos da segunda coluna são múltiplos de 3 e portanto,
podemos colocar o 3 em evidência. 
Dessa forma, resulta = 3 .
Agora, devemos observar que trocando as duas primeiras colu nas,
desse novo deter minante, de posição entre si, obteremos o deter -
minante cujo resultado é igual a – 17. Não podemos es quecer que ao
trocar duas linhas ou duas colu nas de posição entre si, o sinal do
determinan te é alterado. 
Assim, temos:
= 3 . = – 3 . = (– 3) . (– 17) = 51
Resposta: 51
� Calcular o determinante da matriz , 
sabendo-se que = k
Resolução
= 2 . 3 . = – 6 . =
 
= + 6 . = – 6 . = – 6k
Resposta: = – 6k
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
1
2
3
5
8
2
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
a
m
x
b
n
y
c
p
z
m
a
x
n
b
y
p
c
z
n
y
b
m
x
a
p
z
c
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
a
m
x
b
n
y
c
p
z
�2ny
b
6m
3x
3a
2p
z
c
�
2
x
4
1
2
3
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
m
x
a
n
y
b
p
z
c
Considere as matrizes A = , B = , C = , D = e resolva as questões de 1 a 3.
� Calcular det(A) e det(B).
RESOLUÇÃO:
det(A) = 3.2 – 5.1 = 1 
det(B) = 5.1 – 3.2 = –1
Observação: Comparando os determinantes da matriz A e da matriz B, verifica mos que o determinante de uma matriz qua dra da muda de
sinal quando trocamos duas filas paralelas de posição entre si. 
�915
3
6��
9
5
3
2��
1
2
3
5��
3
5
1
2�
 De fato:
2 2 –2 2 2
4 6 0 4 6 = 
2 8 2 2 8 
det (2M) =
= + 24 – 0 – 16 + 24 + 0 – 64 = – 32 
1 1 –1 1 1
2 3 0 2 3 
1 4 1 1 4
= + 3 – 0 – 2 + 3 + 0 – 8 = – 4
det M = =
Exercícios Propostos
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 19
20 MATEMÁTICA
� Obter det(C).
RESOLUÇÃO:
det(C) = 9.2 – 5.3 = 3
Observação: Os elementos da primeira linha da matriz C são
iguais aos correspondentes elementos da primeira linha de A,
mul tiplicados por 3. Por este motivo, det(C) = 3 . det A.
� Calcular o determinante da matriz D.
RESOLUÇÃO:
det(D) = 9.6 – 15.3 = 9
Observação: A matriz D = 3A, enquanto det D = 32 . det A, pois 
A e D são matrizes de ordem 2. 
� Se = – 12, então vale:
a) – 4 b) – c) d) 4 e) 12
RESOLUÇÃO:
= 3 . = 3 . (– 1) . = –12
Então, = 4
Resposta: D
� Considere as matrizes:
A = � �, B = � � e
C = � �
Se o determinante da matriz A é α � 0, então det B + det C é
igual a:
a) α b) 5α c) 15α d) 130α e) 625α
RESOLUÇÃO:
I) det B = 5 . det A = 5α
II) det C = 53 . det A = 125α
III)det B + det C = 5α + 125α = 130α
Resposta: D
1
6
x
2
9
y
3
12
z
x
2
1
y
3
2
z
4
3
4
–––
3
4
–––
3
1
6
x
2
9
y
3
12
z
x
2
1
y
3
2
z
4
3
x
2
1
y
3
2
z
4
3
x
2
1
y
3
2
z
4
3
a
d
g
b
e
h
c
f
i
5a
d
g
5b
e
h
5c
f
i
5a
5d
5g
5b
5e
5h
5c
5f
5i
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 20
21MATEMÁTICA
1. Trocando linhas por colunas
 O determinante de uma matriz quadrada A não se altera quando trocamos ordenadamente as linhas pelas
colunas.
 
Simbolicamente
 Exemplo
 
 De fato:
 
2. Somando uma combinação linear
 Se a uma fila de uma matriz quadrada M somarmos uma combinação linear de filas paralelas, obteremos uma
nova matriz N tal que det N = det M (Teorema de Jacobi).
 Exemplos:
 
1)
 
 
e
 
2)
 
 De fato:
 
= 35
– 2
1
3
1
1
4
5
3
1
⇒ det M = det Mt =
– 2 1 5 – 2 1
1 1 3 1 1 = 35
3 4 1 3 4
– 15 + 24 – 1 – 2 + 9 + 20 
det M = 
– 15 + 24 – 1 – 2 + 20 + 9
– 2 1 3 – 2 1
1 1 4 1 1 = 35 
5 3 1 5 3
det Mt =
M = �
– 2
1
3
1
1
4
5
3
1
�
det A = det At
1
2
– 3
– 2
1
4
– 3
12
4
1 + 2 . 1 + 3 .(– 2)
5 + 2 . 2 + 3 . 1
– 2 + 2.(– 3) + 3 . 4
=
1
2
– 3
– 2
1
4
=
1
2
– 3
– 2
1
4
1
5
– 2
2
7
1
6
=
43 + (–7) . 6
6
51 + (–7) . 7
7
=
51
7
43
6
– 9 – 48 + 16 + 4 + 72 – 24
1 –2 –3 1 – 2
2 1 12 2 1 = 11 
–3 4 4 –3 4
+ 3 – 20 – 8 – 2 + 30 + 8
1 – 2 1 1 – 2
2 1 5 2 1 = 11 
– 3 4 – 2 – 3 4
De fato:
51
7
43
6
= 306 – 301 = 5
2
7
1
6
= 12 – 7 = 5
7
Palavras-chave:
Determinante não se altera • Transposta 
• Teorema de Jacobi
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 21
22 MATEMÁTICA
�
 Considere a matriz A = . Calcule det(A) e
det(At), sendo At a matriz transposta de A, ou seja, a matriz que se
obtém trocan do, ordenadamente, em A, as linhas pelas colunas.
Resolução
det(A) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
det(At) = = 2 + 12 + 0 – 2 – 0 – 0 = 12
Observe que det(A) = det(At)
Resposta: det(A) = det(At) = 12
� Sejam A = e
B = = 
A matriz B, portanto, foi obtida de A, somando-se aos ele men tos da 3a.
coluna uma combinação linear das outras colunas. Cal cular det(A),
det(B) e observe que, apesar de A � B, temos det(A) = det(B).
Resolução
det(A) = = 1 + 4 + 0 – 4 – 0 – 0 = 1
det(B) = = 5 + 16 + 0 – 20 – 0 – 0 = 1
� O valor do determinante é:
 
a) 0 b) 2 c) – 2 d) 1 e) 572
Resolução
I) multiplicar a 1a. linha por (– 17) e somar na 2a. linha.
II) multiplicar a 1a. linha por (5) e somar na 3a. linha.
 
Resposta: B
1
– 2
1
0
2
– 6
1
0
1
1
0
1
– 2
2
0
1
– 6
1
�
1
0
1
– 2
2
0
1
– 6
1
�
�
1
0
2
2
1
0
2
1
1
�
�
1
0
2
2
1
0
2 + 2 . 1 + 3 . 2
1 + 2 . 0 + 3 . 1 
1 + 2 . 2 + 3 . 0
� �
1
0
2
2
1
0
10
4
5
�
1
0
2
2
1
0
2
1
1
1
0
2
2
1
0
10
4
5
1
17
– 5
3
52
– 16
– 2
– 33
11
1
17
– 5
3
52
–16
– 2
– 33
11
=
1
0
0
3
1
–1
–2
1
1
= 2
� Calcular os determinantes de A = e de At
(transposta de A).
RESOLUÇÃO:
det A = = – 7 – (– 6) = – 1
 
det(At) = = – 7 – (– 6) = – 1
Observação: Comparando os determinantes de A e de At, verifi -
camos que o determinante de uma matriz A não se altera quando
trocamos ordenamente as linhas pelas colunas. Simbolicamente,
det A = det At.
� Calcule e compare os determinantes das matrizes
A = e B =
RESOLUÇÃO:
Sr. Professor, utilize este exercício para apresentar o Teorema de
Jacobi. Mostre que, multiplicando a primeira coluna por a e
somando-a com a segunda, o determinante não se altera.
I) det A = = 4.7 – 6.2 = 16
II) det B = =
 = 4(7 + 6a) – 6(2 + 4a) = 28 + 24a – 12 – 24a = 16
Observe que det A = det B.
 
 
�73
– 2
– 1�
�73 – 2– 1�
�7– 2 3– 1�
� 46
2
7 �
� 46 27 �
� 46 �
2 + 4a
7 + 6a
� �46 2 + 4a7 + 6a
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 22
23MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Um professor dividiu os alunos de
uma sala de aulaem dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determi nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -
tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter -
minante da matriz original.
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos con -
siderar que essa propriedade pode ser expressa matemati ca -
mente pela sentença:
a) det(A) = – det(A) b) det(A) = 
c) det(A) =
 
d) det(At) = det(A) 
e) det(At) = – det(A)
RESOLUÇÃO:
Dada uma matriz A, quadrada de ordem n, ao trocarmos ordena -
damente as linhas pelas colunas, obtemos uma nova matriz
chamada de transposta de A e representada por At. O que o
professor tentou mostrar para os alunos é que duas matrizes
transpostas possuem determinantes iguais. Matematicamente,
det(A) = det(At).
Resposta: D
� O valor do determinante é:
a) – 563 b) – 363 c) – 1 d) 1 e) 363
RESOLUÇÃO:
Resposta: B
� Prove que para quaisquer valores de a e b o determinante
a seguir é sempre nulo
RESOLUÇÃO:
pois a última coluna é a soma das outras duas colunas.
Resposta: demonstração
1
––––––
det(A)
1
–––––––
det(At)
�
2
0
0
0
0
4 
3 
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
121
245
365
122
247
367
120
240
361
= =
x(–2) x(–3)
x(–1)
+
+
+
1
5
4
2
7
6
=
120
0
1
1
3
1
2
3
0
= 3 – 6 – 360 = – 363
1
1
1
a + 3
a – 4
a + 5
2b + 4
2b – 3
2b + 6
x(–a)
x(–2b)
+
+
a + 3
a – 4
a + 5
2b + 4
2b – 3
2b + 6
1
1
1
= = 0,
1
1
1
3
– 4
5
4
–3
6
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 23
24 MATEMÁTICA
1. Menor complementar
 O menor complementar Dij, do elemento aij da
matriz quadrada M, é o determinante que se obtém de
M, eliminando-se dela a linha “i” e a coluna “j”.
2. Cofator ou 
complemento algébrico
 O cofator do elemento aij da matriz quadrada M é 
Aij = (–1)
i+j. Dij, em que Dij é o menor complementar de aij.
3. Teorema de Laplace
 Simbolicamente:
 
Se M = , então
ou
 O Teorema de Laplace permite calcular o deter mi nan -
 te de uma matriz de ordem n como sendo a soma de n
determinantes de ordem n – 1. Permite, pois, abaixar a
ordem.
det M = ai1 . Ai1 + ai2 . Ai2 + … + aij . Aij + … + ain . Ain
det M = a1j . A1j + a2j . A2j + …+ aij . Aij + …+ anj . Anj
�
a11
.
ai1
.
an1
a12
.
ai2
.
an2
…
…
…
a1j
.
aij
.
anj
…
…
…
a1n
.
ain
.
ann
�
O determinante de qualquer matriz qua drada M
de ordem n é igual à soma dos produtos dos
elementos de uma fila pelos seus respec tivos
cofatores.
� Calcular o menor complementar e o cofa tor do elemento 
a23 da matriz M =
Resolução
Na matriz M = , temos a23 = 3 e, portanto,
D23 = = 2 – 5 = – 3
A23 = (– 1)
2 + 3 . D23 = (– 1)
5 . = (– 1) . (– 3) = 3
Resposta: D23 = – 3; A23 = 3
� Calcular os cofatores dos elementos a13 e a33 da matriz 
M =
Resolução
Na matriz M = , temos a13 = 2 e a33 = – 1
Logo:
A13 = (–1)
1 + 3 . = 1 . (8 – 8) = 0
A33 = (–1)
3 + 3 . = 1 . (8 – 20) = – 12
Resposta: A13 = 0; A33 = – 12
� Calcular o determinante da matriz M =
aplicado o Teorema de Laplace e utilizando a 3a. coluna.
Resolução
De acordo com os exercícios 1 e 2, temos 
A13 = 0; A23 = 3; 
A33 = –12. 
Assim sendo, pelo Teorema de Laplace, temos:
det M = a13 . A13 + a23 . A23 + a33 . A33 =
= 2 . 0 + 3 . 3 + (– 1) . (– 12) = 9 + 12 = 21
Resposta: det M = 21
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
5
8
4
1
8
2
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
1
5
2
1
1
5
2
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
�
8
Palavras-chave:
Abaixamento da ordem • Cofator 
• Teorema de Laplace
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 24
25MATEMÁTICA
� Dada a matriz M = , pedem-se:
a) os cofatores dos elementos da 1a. linha de M.
b) o valor de det M utilizando o Teorema de Laplace na primei -
ra linha de M.
RESOLUÇÃO:
a) A11 = (–1)
2 . = 3
 A12 = (–1)
3 . = 3
 A13 = (–1)
4 . = – 6
 
b) det M = a11 . A11 + a12 . A12 + a13 . A13
 det M = 1 . 3 + 2 . 3 + 1 . (– 6) = 3 
Obs.: Atenção professor: se julgar conveniente, calcule pela Regra
de Sarrus, confirmando o resultado.
� Dada a matriz
M = , pedem-se:
a) O cofator do elemento a14.
b) O valor de det(M).
RESOLUÇÃO:
a) A14 = (–1)
5 . = – 1(15 + 4 + 2 + 3 + 2 – 20) = – 6
b) det M = a14A14 + a24A24 + a34A34 + a44A44
 det M = (– 3).(– 6) + 0 . A24 + 0 . A34 + 0 . A44
 det M = 18
–1
2
1
2
–3
2
1
1
5
�
3
– 1
2
1
4
2
– 3
2
2
1
1
5
– 3
0
0
0
�
1
3
3
2
1
–1
1
2
1
= 1 + 12 – 3 – 3 + 2 – 6 = 3
3
3
1
– 1
3
3
2
1
1
–1
2
1
� 133
2
1
– 1
1
2
1 �
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 25
26 MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Um professor dividiu os alunos de
uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do determi nan te da matriz A = .
Já ao segundo grupo, pediu o valor do determinante da matriz 
B = .
Após alguns minutos, os dois grupos apresentaram os resul -
tados obtidos e observaram que os determinantes eram iguais.
O professor então comentou que o que eles haviam observado
era apenas uma propriedade matemática relacionada à teoria
de matrizes e determinantes. Segundo ela, quando trocamos
or denadamente as linhas de uma matriz quadrada A pelas
colunas, obtemos uma nova matriz chamada de transposta de
A, representada por At, cujo determinante é igual ao deter -
minante da matriz original.
O valor encontrado por cada um dos dois grupos é igual a:
a) – 24 b) 12 c) 24 d) 25 e) 28
RESOLUÇÃO:
De acordo com o Teorema de Laplace, temos:
det(A) = = 2 . =
= 2 . (– 3) . = (– 6) . (– 4) = 24
Resposta: C
�
2
0
0
0
0
4 
3 
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�
3
0
1
2
1
0
2
1
4
3
1
5
2
0
3
1
2
0
0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 26
27MATEMÁTICA
1. Regra de Chió
 A Regra de Chió permite abaixar em uma unidade a ordem de uma matriz quadrada M sem alterar o valor do seu
determinante.
 Só pode ser utilizada se a matriz M possuir um elemento igual a 1.
 Consiste em
 a) Eliminar de M a linha e a coluna que contém o elemento aij = 1.
 b) De cada um dos ele mentos restantes, subtrair o produto dos elementos correspondentes na linha e na coluna
eliminadas.
 c) Calcular o determinante da matriz assim obtida e multiplicar o resultado por (–1)i + j.
 Observação
 Torna-se mais cômodo utilizar o elemento igual a 1 que se encontre num dos “cantos” da matriz, isto é, a11 ou a1n
ou an1 ou ann.
2. Teorema de Binet
 Para calcular o determinante do produto de duas ma trizes quadradas e de mesma ordem A e B, podemos,
portanto:
 a) obter o produto A . B das duas matrizes e, em seguida, calcular o determinante dessa matriz;
 b) calcular, separadamente, os determinantes de A e de B e, em seguida, multiplicar os dois valores obtidos
(Teorema de Binet).
1 a b c
x m n p
y q r s
z t u v
1
x
y
z
a
m – a . x
.
.
b
n – b . x
.
.
c
p – c . x
.
.
Se A e B são matrizes quadradas de mes ma ordem, então det (A.B) = det A . det B
m – a . x
q – a . yt – a . z
n – b . x
r – b . y
u – b . z
p – c . x
s – c . y
v – c . z
. (–1)i + j
1 a b c
x m – a . x n – b . x p – c . x
y q – a . y r – b . y s – c . y
z t – a . z u – b . z v – c . z
9
Palavras-chave:Regra de Chió e 
Teorema de Binet
• Abaixar ordem
• Determinante do produto 
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 27
28 MATEMÁTICA
� Calcular, pela Regra de Chió, o determinante da matriz
M =
Resolução
O único elemento de M que é igual a 1 é o a43, que dificulta o cálculo
pela Regra de Chió. Um recurso é transformar a11 = 3 em a11 = 1
fazendo, pelo Teorema de Jacobi, 
(1a. coluna) – (3a. coluna). 
Assim sendo:
det M = = =
 
= =
= . (– 1)1 + 1 = 1 . (– 33) = – 33
Resposta: det M = – 33
Observação 
Outro recurso para transformar a11 = 3 em a11 = 1 é trocar a 
1a. linha com a 4a. linha e em seguida a 1a. coluna com a 
3a. coluna.
� Calcular o determinante de A . B, sendo
A = e B = 
Resolução
Primeiro Processo
A . B = . =
det (AB) = = 162 – 19 = 143
Segundo Processo
det (AB) = det A . det B = . =
= (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143
Resposta: det (AB) = 143 
� (MODELO ENEM) – Dezesseis candidatos a uma vaga de es ta -
giário foram distribuídos em uma sala de espera, como represen tado a
seguir:
� �
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de matriz
e se substituirmos o nome de cada um desses candidatos pelo
número que representa a posição ocupada, em nosso alfabeto, pela
letra com a qual se inicia o nome, obte remos uma nova matriz. 
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 192 b) – 119 c) 0 d) 119 e) 192
Resolução
O determinante da matriz obtida, substituindo cada um dos no mes
pelo número que indica a posição, em nosso alfabeto, ocupa da pela
primeira letra do respectivo nome é:
= (– 1)1+1 . = – 192
Resposta: A
5
1
2
3
2
3
–1
4
9
19
1
18
�919
1
18��
5
1
2
3��
2
3
–1
4�
�51
2
3��
2
3
–1
4�
3
– 6
– 1
2
– 7
– 1
– 1
2
4
1
0
2
1
4
3
2
3
2
2
– 3
1
0
– 1
2
4
3
2
– 1
2
4
3
2
3
2
2
– 3
1
0
– 1
2
4
�
3
2
–1
2
4
3
2
3
2
2
–3
1
0
–1
2
4
1
0
2
1
4
3 – 4 . 0
2 – 4 . 2
3 – 4 . 1
2
2 – 2 . 0
– 3 – 2 . 2
1 – 2 . 1
0
– 1 – 0 . 0
2 – 0 . 2
4 – 0 . 1
�
Alberto
Carlos
Daniele
Álvaro
Bruno
Denise
Daniel
Benedito
André
Márcia
Barone
Estela
Geraldo
Deise
Carla
Antônio
1
3
4
1
2
4
4
2
1
13
2
5
7
4
3
1
– 2
– 4
0
10
– 2
4
– 17
 – 25
– 6
 
� O determinante da matriz M = é 
igual a:
a) – 2 b) 5 c) 55 d) 30 e) 40
RESOLUÇÃO:
det M = = (–1)1+1 . =
= = – 2
Resposta: A
�
1
7
10
5
36
52
– 2
– 12
– 18�
36 – 35
52 – 50
–12 + 14
–18 + 20
1
7
10
5
36
52
–2
–12
–18
1
2
2
2
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 28
29MATEMÁTICA
� Calcular o determinante da matriz
M = utilizando a Regra de Chió.
RESOLUÇÃO:
det M = = (–1)
2+1 . =
= – = – (–1)1+1 . = – 1
� (FUVEST)
=
a) 2 b) – 2 c) 0 d) 1 e) 1131
RESOLUÇÃO:
= = = �1� = 1
Resposta: D
� Sejam as matrizes A = e B = 
Calcule:
a) det A b) det B c) A . B 
d) det (A . B) e) A + B f) det (A + B)
RESOLUÇÃO:
a) det A = 5 – (– 3) = 8
b) det B = 4 – (– 1) = 5
c) A . B = . =
d) det (A . B) = 55 – 15 = 40 = det A . det B 
 Observação: Se A e B são matrizes quadradas de mesma
ordem, então det(AB) = det A . det B (Teorema de Binet)
e) A + B = + =
f) det (A + B) = 21 – 0 = 21 � det A + det B 
� 1–1
3
5 � �
2
1
–1
2 �
� 1
–1
3
5
� � 2
1
–1
2
� � 5
3
5
11
�
� 1
–1
3
5
� � 2
1
–1
2
� � 3
0
2
7
�
2
1
1
3
5
2
4
8
6
2
4
7
9
4
3
9
�
5 – 4
4 – 2
8 – 6
6 – 4
4 – 2
7 – 6
9 – 8
3 – 4
9 – 12
2
1
1
3
5
2
4
8
6
2
4
7
9
4
3
9
– 2
– 3
– 3
– 5
1
2
2
2
2
1
1
– 1
– 3
�
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
1
1
1
1
2
2
1
2
3
1
1
1
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 29
30 MATEMÁTICA
1. Definição
 As matrizes A e B (quadradas e de ordem n) são
inversas se, e somente se, A . B = B . A = In, em que In
é a matriz identidade de ordem n.
 Indicaremos a inversa de M por M–1.
2. Existência
 Existe a inversa de M se, e somente se, det M � 0.
Neste caso, diz-se que M é inversível ou M é não sin gular.
 Se det M = 0, então M é não inversível ou M é sin -
gular.
3. Como obter a matriz inversa 
 Exemplo: 
 Obter a inversa da matriz M = . 
 1o. Modo: Usando a definição
 Resolução: 
 Se M–1 = , por definição de inversa, decorre
que:
 
 Este modo não é prá tico, pois se recai em n siste -
mas de n equações e n incógnitas.
 2 .o Modo: Regra Prática
 a) Calcular o determinante de M:
 det M = = 12 – 11 = 1
 b) Obter a matriz M’ chamada matriz dos cofato -
res, substituindo cada elemento de M pelo respectivo
co fator. 
 
 c) Obter a matriz M
––
, chamada matriz adjunta de M,
sendo M
––
= (M’)t
 
 d) Obter M–1, que é a inversa de M, multiplicando
M
––
por ––––––1 .
 det M
 
 
 
 
 
4. Como obter um elemento de M–1
 Se M é uma matriz inversível e bij um dos elemen -
tos de M–1, então:
 
sendo aji um elemento de M.
5. Propriedades
 Se A e B são duas matrizes quadradas, inversíveis e
de mesma ordem, valem as seguintes propriedades:
(A–1)–1 = A
A = B ⇔ A–1 = B–1
(At) –1 = (A–1)t
(A . B)–1 = B –1 . A–1
1
det(A–1) = ––––––– 
det A 
 cofator de aji
bi j = –––––––––––––––
 det M
�
3
– 11
– 1
4 �= �
M –1 =
1 
–––––– . 
—
M ⇒
det M 
1
⇒ M –1 = –– .
1 �
3
– 11
– 1
4 �
—
M = � 3– 1
– 11
4 �
t
= � 3– 11
– 1
4 �
M’ = � A11A21
A12
A22
� = � 3– 1
– 11
4 �
�
4
11
1
3
3
– 11
– 1
4�⇔⇔
⇔
�10
0
1�
x
z
y
w�
�xz
y
w�
�411
1
3�
M–1 =
x = 3
y = – 1
z = – 11
w = 4
�
4x + z = 1
11x + 3z = 0
4y + w = 0
11y + 3w = 1
�⇔
⇔�10
0
1�=�
4y + w
11y + 3w
4x + z
11x + 3z�
⇔=.�411
1
3�
10 e 11
Palavras-chave:Inversão de matrizes, cálculo de um
elemento da inversa e propriedades
• Existência 
• Inverso multiplicativo
• Identidade
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 30
31MATEMÁTICA
� Obter o elemento da segunda linha e terceira coluna da in versa da
matriz:
M = 
Resolução
a) det M = = – 21
b) A32 = (– 1)
3 + 2 . = – (1 – 15) = 14
c) b23 = = = =
Resposta:
� Determinar a sabendo-se que é a matriz inversa de
.
Resolução
Se as matrizes são inversas uma da outra, então:
. = ⇔
⇔ = ⇔ ⇔ a = – 1
 
Resposta: a = – 1
� (FGV) – Dada a matriz B = e sabendo que a matriz
A–1 = é a matriz inversa da matriz A, podemos
concluir que a matriz X, que satisfaz a equação matricial AX = B, tem
como soma de seus elementos o número
a) 14 b) 13 c) 15 d) 12 e) 16 
Resolução
1) A . X = B ⇔ A–1 . A . X = A–1 . B ⇔ X = A–1 . B ⇒
 
⇒ X = . = 
2) A soma dos elementos da matriz
 
X = é 10 + 3 = 13
Resposta: B
2a + 2 = 0� 5a + 6 = 11 0� �0 11 2a + 2� �0 5a + 6
1 0� �0 1
3 a� �– 5 22 1� �5 3
3 a� �– 5 2
2 1� �5 3
2
– –––
3
2
– –––
3
14
––––––
– 21
A32
––––––––
det M
cofator de a32
––––––––––––––––
det M
1 3
 5 1
1 2 3
5 –1 1
0 4 7
1 2 3
�5 – 1 1�
0 4 7
3
– 4 �
� 25
–1
3 �
� 25 –13 � � 3– 4 � � 103 �
� 103 �
�
� Determine a inversa da matriz A =
RESOLUÇÃO:
Sendo A–1 = ,temos: 
A . A–1 = . =
Assim
e ⇒ e
A matriz inversa é, portanto, A–1 = 
Poder-se-ia calcular a inversa da matriz quadrada de ordem 2, da
seguinte forma:
Seja A = , então A–1 = = , logo
A–1 = , tal método é uma consequência direta da regra 
prática que será desenvolvida nos exercícios subsequentes.
�25
1
3�
�xz
y
w�
�10
0
1��
x
z
y
w��
2
5
1
3�
2x + z = 1
5x + 3z = 0� �
2y + w = 0
5y + 3w = 1 �
x = 3
z = – 5 �
y = – 1
w = 2
� 3– 5
– 1
2 �
� ac
b
d � –––––––––––det A
� d
–c
–b
a
�
–––––––––––
3.2 – 5.1
� 3
– 5
–1
2
�
� 3– 5
–1
2 �
Exercícios Resolvidos – Módulos 10 e 11
Exercícios Propostos – Módulo 10
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 31
32 MATEMÁTICA
� Dada a matriz M = , calcular
a) o determinante de M;
RESOLUÇÃO:
 
det M = = 10 – 2 – 6 = 2 
b) a matriz dos cofatores de M;
RESOLUÇÃO:
⇔ M’ = 
c) a matriz adjunta de M;
RESOLUÇÃO:
M
—
= (M’)t =
d) a matriz inversa de M.
 
RESOLUÇÃO:
M–1 = . M
—
= 
� Determine o valor x ∈ � para que a matriz 
M = não admita inversa.
RESOLUÇÃO:
Se M é matriz quadrada e não existe M–1, temos:
= 0 ⇔ – 6x + 6 = 0 ⇔ x = 1
�13
–1
1
––
2
4
–1
1
– ––
2
– 3
1
1
––––––
det M
�
2
6
–2
1
8
– 2
–1
–6
2
�
�
�
2
1
– 1
6
8
–6
–2
–2
2
�
+
 
– +
–
 
+ –
 
+
 
– +
1
1
3
5
0
2
3
5
0
2
1
1
0
1
1
5
2
2
1
5
2
2
0
1
0
1
1
3
2
0
1
3
2
0
0
1
� �M’ = ⇔ � x0–1 234 432 �
x
0
–1
2
3
4
4
3
2
�20
2
0
1
1
1
3
5
�
2
0
2
0
1
1
1
3
5
� Dada a matriz M = , calcular o ele men -
to b13 da matriz inversa de M.
RESOLUÇÃO:
I)
 
= 6 + 5 – 4 = 7
II) b13 = = = 
Resposta: 
�251
3
0
1
1
2
0�
2
5
1
3
0
1
1
2
0
6
–––
7
3 1
+ � �
0 2
––––––––––
7
A31
––––––
det M
6
–––
7
Exercícios Propostos – Módulo 11
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 32
33MATEMÁTICA
� O determinante da inversa da matriz
A = é:
a) 1 b) 
 
c) 
 
d) 3 e) 4
 
RESOLUÇÃO:
I) det A = = 4
II) det A–1 = =
Resposta: C
Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem, resolva as
equações � e �.
� AX = B 
RESOLUÇÃO:
AX = B ⇔ A–1 . A . X = A–1 . B ⇔ I . X = A– 1 . B ⇔ X = A–1 . B
� XA = B 
RESOLUÇÃO:
XA = B ⇔ X . A . A–1 = B . A–1 ⇔ X . I = B . A–1 ⇔ X = B . A–1
� (MODELO ENEM) – A teoria de matrizes e determinantes
encontra grande aplicação na resolução de sistemas lineares. E
ao que tudo indica, segundo documentos históricos, sua
criação remonta a um artigo de 1855, assinado pelo inglês
Arthur Cayley (1821-1895). Nesse artigo, Cayley utiliza as
matrizes para facilitar o estudo das transformações dadas por
equações lineares. Para ele, a resolução de sistemas lineares
estaria facilitada com o uso da teoria de matrizes. A ideia era
transformar um sistema linear em uma equação matricial
equivalente cuja resolução forneceria a solução do sistema.
Em notação atual, teríamos, por exemplo, 
⇔ . = 
Representando por A, X e B, respectivamente, as matrizes
, e , resulta a equação matricial A.X = B
cuja solução é X = A–1.B, em que A–1 é a matriz inversa de A.
Considere a matriz A = e a sua inversa A–1 = 
Com base no texto, e seguindo as orientações de Cayley,
pode mos concluir que o par (x, y), solução do sistema 
, é tal que x + y é igual a:
a) 6 b) 8 c) 10 d) 12 e) 14
RESOLUÇÃO:
⇔ . = ⇔ 
⇔ = . ⇔ = ⇔ 
⇔ ⇒ x + y = – 2 + 8 = 6 
Resposta: A
1
––––––
det A
1
–––
4
1
2
1
0
3
5
3
4
1
1
––
2
� 121
0
3
5
3
4
1 �
�x = – 2y = 8
� xy � �
3
– 5
– 1
2 � �
4
14 � �
x
y � �
– 2
8 �
�2x + y = 45x + 3y = 14 �
2
5
1
3 � �
x
y � �
4
14 �
�2x + y = 45x + 3y = 14
� 25
1
3 � �
3
–5
–1
2 �
� 25
1
3 � �
x
y � �
4
14 �
�2x + y = 45x + 3y = 14 �
2
5
1
3 � �
x
y � �
4
14 �
1
––
4
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 33
34 MATEMÁTICA
1. Sistemas lineares
 
 Sistemas de equações, como e
, constituídos apenas por equações do
1o. grau nas incógnitas x, y ou z são chamados sistemas
lineares.
 Observe que não são lineares os sistemas
e , pois, em cada um, nem todas
as equações são do 1o. grau.
 Podemos dizer então que sistema linear (S) é todo
conjunto de m (m � 2) equações em n incógnitas 
x1, x2, …, xn, que se denota da seguinte forma:
, em que os
reais aij são os coeficientes de xj e b1, b2, …, bm são
constantes. Se b1 = b2 = … = bm = 0, o sistema linear é
dito homogêneo.
2. Solução de um sistema
 As soluções dos sistemas com duas incógnitas são
pares ordenados da forma (α
1
, α
2
), com três incógnitas
são ternos ordenados da forma (α
1
, α
2
, α
3
), com quatro
incógnitas são quadras ordenadas da forma (α
1
, α
2
, α
3
,
α
4
), e assim por dian te. A ênupla (α
1
, α
2
, …, α
n
) é uma
solução do sistema linear (S) se ela é solução de cada
uma das n equações de (S).
3. Classificação de um sistema
quanto ao número de soluções
 a) Um sistema linear é POSSÍVEL (ou compatível)
se admite pelo menos uma solução.
 b) Um sistema linear é IMPOSSÍVEL (ou incom -
patível) se não admite solução alguma.
 c) Um sistema linear é possível e DETERMINADO
se admite uma única solução.
 d) Um sistema linear é possível e INDETER MI -
NADO se admite infinitas soluções.
 Portanto, quanto ao número de soluções, podemos
classificar os sistemas lineares da seguinte forma:
4. Exemplos
 
 a) O sistema é possível e determinado.
 
 A única solução é o par ordenado (2; 1).
 
b) O sistema é possível e indeter -
minado, pois apresenta in finitas soluções. São todos os
pa res ordenados do tipo (k; 4 – k). Algumas dessas
soluções são: (1; 3), (2; 2), (3; 1), (4; 0), … etc.
 
c) O sistema é impossível, pois não exis- 
te par ordenado (x; y) que torne as duas sentenças ver -
dadeiras “simultaneamente”. Em outras palavras: não
existem 2 números reais x e y cuja soma é 4 e 5 “simul -
taneamente”.
5. Matrizes de um sistema
 a) Matriz incompleta
 A matriz incompleta, representada por M.I., associa -
da a um sistema, é a matriz cujos elementos são, or de -
nadamente, os coeficientes das incógnitas.
 Se M.I. é quadrada, diz-se que o seu determinante é
o determinante do sistema (D).
 b) Matriz completa
 A matriz completa, representada por M.C., asso cia -
da a um sistema, é a matriz que, além dos elementos de
M.I., possui mais uma coluna constituída pelos se gun -
dos membros de cada equação do sistema. No sistema
linear a seguir, as matrizes incompleta e completa são:
a11 . x1 + a12 . x2 + ... + a1n . xn = b1
a21 . x1 + a22 . x2 + ... + a2n . xn = b2
...
am1 . x1 + am2 . x2 + ... + amn . xn = bm
�x
2 + y = 1 
x – 3y = 0 �
x + 2y = 1
x . y = 8
�4x – y + z = 32x + y + 3z = 7
�3x + 2y = 15x – y = 2
�x + y = 4x + y = 5
�x + y = 42x + 2y = 8
�x + 3y = 5x + y = 3
Sistema Possível e Determinado (SPD): uma só
solução
Sistema Possível e Indeterminado (SPI): infinitas
soluções
Sistema Impossível (SI): nenhuma solução
12
Palavras-chave:Sistemas Lineares –
Regra de Cramer
• Coeficientes
• Determinantes
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 34
35MATEMÁTICA
 No sistema linear (S) por exem- 
plo, temos:
6. Sistema normal
 Um sistema linear de n equações e n incógnitas é
normal se o determinante D do sistema for diferente de
zero.
 Teorema de Cramer
 Regra de Cramer
 Dado um sistema normal nas variáveis x
1
, x
2
, x
3
, …,
x
n
, demonstra-se que:
na qual ressaltamos que
 a) D é o determinante do sistema;
 b) Dj é o determinante da matriz que se obtém da
ma triz incompleta, trocando-se sua j-ésima coluna por
b
1
, b
2
, …, b
n
. 
 D1 
 x1 = –––– 
 D
 D2x2 = –––– 
 D
 D1 
 x3 = –––– 
 D
 �
 Dn 
 xn = –––– 
 D 
Todo sistema normal é possível e deter mi nado e
a úni ca solução pode ser obtida pela Regra de
Cramer.
�2x + 3y – 4z = 5x + 2y + z = – 1
x – 3y + 2z = 7
M.I.= �
2
1
1
3 
2
– 3
– 4
1
2
�
M.C. = �
2
1
1
3
2
– 3
– 4
1
2
5
– 1
7
�
� Resolver o sistema 
pela Regra de Cramer.
Resolução
a) O sistema é normal e pode ser resolvido pela Regra de Cramer,
pois 
 D = = 9 – 2 = 7 ⇒ D � 0
b) Dx = = 27 – 13 = 14 ⇒ x = = = 2
c) Dy = = 39 – 18 = 21 ⇒ y = = = 3
Resposta: (2;3)
� Resolver o sistema
pela Regra de Cramer.
Resolução
a) O sistema é normal e pode ser resolvido pe la Regra de Cramer, pois
D = = – 7 ⇒ D � 0
 
 
b) Dx = = – 7 ⇒ x = = = 1
 
c) Dy = = –14 ⇒ y = = = 2
d) Dz = = – 21 ⇒ z = = = 3
Resposta: (1; 2; 3)
–21
——
–7
Dz
—–
D
1
2
1
2
– 1
1
2
3
6
–14
——
–7
Dy
—–
D
1
2
1
2
3
6
– 1
1
1
–7
–––
–7
Dx—–
D
2
3
6
2
– 1
1
– 1
1
1
1
2
1
2
– 1
1
– 1
1
1
x + 2y – z = 2
�2x – y + z = 3x + y + z = 6
21
–—
7
Dy
—–
D
3
2
9
13
14
—–
7
Dx
–––
D
9
13
1
3
3
2
1
3
3x + y = 9� 2x + 3y = 13
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 35
36 MATEMÁTICA
� Considere o sistema . Pedem-se:
a) a matriz incompleta do sistema;
RESOLUÇÃO:
M.I. = 
b) o determinante do sistema;
RESOLUÇÃO: 
D = = 1 + 4 = 5 ≠ 0 (S.P.D.)
c) resolver o sistema pela “Regra de Cramer”.
RESOLUÇÃO:
I) x = = = = 3
II) y = = = = 1
V = {(3; 1)}
� Resolver o sistema pela “Regra de
Cramer”. 
RESOLUÇÃO:
O sistema é normal e pode ser resolvido pela Regra de Cramer,
pois
D = = – 7 � 0 (S.P.D.) 
Dx = = – 7 ⇒ x = = = 1
 
 
Dy = = – 14 ⇒ y = = = 2
 
Dz = = – 21 ⇒ z = = = 3
V = {(1; 2; 3)} 
� (INSPER-MODELO ENEM) – Três amigos foram a uma
papelaria para comprar material escolar. As quantidades
adquiridas de cada produto e o total pago por cada um deles
são mostrados na tabela.
Os preços unitários, em reais, de um caderno, de uma caneta
e de um lápis, são, respectivamente, x, y e z. Dessa forma, das
igualdades envolvendo matrizes fornecidas a seguir, a única
que relaciona corretamente esses preços unitários com os
dados da tabela é
a) [x y z] . = [96 105 79].
b) . = .
c) . [x y z] = [96 105 79].
d) . = .
e) . = .
RESOLUÇÃO:
O sistema que permite resolver a questão é
Resposta: D
1
2
1
2
– 1
1
2
3
6
Dz
––––
D
2
3
6
2
– 1
1
– 1
1
1
Dx
––––
D
1
2
1
2
– 1
1
– 1
1
1
�
x + 2y – z = 2
2x – y + z = 3
x + y + z = 6
1
2
–2
1
1 –2� �
7 1
––––––––––
5
Dx
–––
D
15
–––
5
Dy
–––
D
1 1� �
2 7
––––––––––
5
5
–––
5
– 7
––––
– 7
1
2
1
2
3
6
– 1
1
1
Dy
––––
D
– 14
––––
– 7
– 21
––––
– 7
Amigo
Quantidades compradas de
Total pago
(R$)
cadernos canetas lápis
Júlia 5 5 3 96,00
Bruno 6 3 3 105,00
Felipe 4 5 2 79,00
�
5
6
4
5
3
5
3
3
2 �
�
x
y
z
� �
5
6
4
5
3
5
3
3
2 � �
96
105
79 �
�
5
6
4
5
3
5
3
3
2 �
�
5
6
4
5
3
5
3
3
2 � �
x
y
z � �
96
105
79 �
�
x
y
z � �
96
105
79 � �
5
6
4
5
3
5
3
3
2 �
5x + 5y + 3z = 96 5x + 5y + 3z 96
� 6x + 3y + 3z = 105 ⇔ � 6x + 3y + 3z � = � 105�⇔ 
4x + 5y + 2z = 79 4x + 5y + 2z 79
 5 5 3 x 96
⇔ � 6 3 3 � . � y� = � 105�
 4 5 2 z 79
x – 2y = 1
2x + y = 7�
�12
– 2
1�
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 36
37MATEMÁTICA
 Dizemos que o sistema está 
escalonado, pois o coeficiente de x na 2a. equação é zero
e os coeficientes de x e y na 3a. equação são iguais a
zero. É fácil resolver este sistema, pois:
 
 Logo: V = {(8; 1; 3)}
 Se o sistema não estiver escalonado, podemos trans -
 formá-lo em um outro, escalonado, que tenha a mes ma
solução, ou seja, “equivalente” ao primeiro.
 Exemplo
 Resolver o sistema por escalo -
namento.
 Primeiro Passo: Repetir a 1a. equação e “eliminar” a
variável x das demais. 
 Para tanto, fazemos:
 a) (Segunda Equação) – 2 . (Primeira Equação) 
 b) (Terceira Equação) – 3 . (Primeira Equação)
 Segundo Passo: Repetir as duas primeiras equa -
ções e “eliminar” a variável y da 3a. equação. 
 Para tanto, basta fazermos: 
 (Terceira Equação) – 2 . (Segunda Equação) 
 
 Resolvendo, agora, o sistema por substituição, ob -
têm-se z = 1, y = –1 e x = 8. Portanto, o conjunto ver da -
de do sistema é V = {(8; –1; 1)}.
 Importante
 Para escalonar um sistema e trans formá-lo em outro
sistema, equivalente (que apresenta a mesma solução) e
mais simples, podemos
 a) trocar de posição duas equações;
 b) multiplicar qualquer equação por um número real
diferente de zero;
 c) multiplicar uma equação por um número real dife -
rente de zero e adicioná-la à outra equação.
 x + 2y – z = 7 x + 2y – z = 7 
� y + 4z = 13 ⇔ � y + 4z = 13 ⇔ 
 3z = 9 z = 3 
x + 2y – z = 7 x + 2y – z = 7
⇔ � y + 4 . 3 = 13 ⇔ � y = 1 ⇔
 z = 3 z = 3
 x + 2 . 1 – 3 = 7 x = 8
⇔ � y = 1 ⇔ � y = 1
 z = 3 z = 3
�x + 2y + z = 72x + 5y – 3z = 8 
3x + 8y – 5z = 11
 x + 2y + z = 7
 � y – 5z = – 6 3x + 8y – 5z = 11
 x + 2y + z = 7
 � y – 5z = – 6 2y – 8z = – 10
 x + 2y + z = 7
 � y – 5z = – 6 
 2z = 2
 x + 2y – z = 7
� y + 4z = 13 
 3z = 9
� (UNICAMP) – Considere o sistema linear nas variáveis reais x, y, 
z e w.
Logo, a soma x + y + z + w é igual a
a) – 2. b) 0. c) 6. d) 8.
Resolução
Somando as três equações, resulta x + w = 6.
Como y + z = 2, então: (x + w) + (y + z) = 6 + 2 = 8
 Portanto, x + y + z + w = 8
 Resposta: D
� (PUCCAMP – MODELO ENEM) – Se o convidarem para saborear
um belo cozido português, certamente a última coisa que experimen -
tará entre as iguarias do prato será a batata, pois ao ser colocada na
boca sempre parecerá mais quente. ... Mas será que ela está sempre
mais quente, uma vez que todos os componentes do prato foram
cozidos juntos e saíram ao mesmo tempo da panela? Sabemos que, ao
entrarem em contato, objetos com temperaturas diferentes tendem a
trocar calor até ficarem com a mesma temperatura. Parece estranho,
x – y = 1,
y + z = 2,
w – z = 3.
�
13 e 14
Palavras-chave:
Escalonamento • Eliminar incógnitas 
• Sistemas equivalentes
Exercícios Resolvidos – Módulos 13 e 14
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 37
38 MATEMÁTICA
� Resolver o sistema: 
RESOLUÇÃO:
I) 5z = 5 ⇔ z = 1
II) y – 2z = – 1 ⇒ y – 2 = – 1 ⇔ y = 1
III) x + y + z = 3 ⇒ x + 1 + 1 = 3 ⇔ x = 1
V = {(1; 1; 1)} 
(S.P.D.)
� Aplicando o método do escalonamento, resolver o sis tema:
RESOLUÇÃO: 
x + y + z = 3 .(– 2) .(1) 
⇔� 2x – y + 3z = 4 +
– x + 5y – 4z = 0
 
+
x + y + z = 3 
⇔ � – 3y + z = – 2 .(2) ⇔
 6y – 3z = 3 + 
 
⇔ ⇔ 
V = {(1; 1; 1)} 
(S.P.D.)
x + y + z = 3
y – 2z = – 1
5z = 5
� x + y + z = 3
2x – y + 3z = 4 
– x + 5y – 4z = 0
�
x = 1
y = 1
z = 1
�
x + y + z = 3
– 3y + z = – 2
– z = – 1
�
não? Uma coisa é certa: ao comer o cozido, a chance de você queimar
a boca com a batata é muito maior do que com o pedaço de carne.
Comprove isso no próximo cozido que tiver oportunidade de comer.
(Aníbal Figueiredo. Física – um outro lado – calor e temperatura.
São Paulo. FTD, 1997.)
De acordo com uma receita da vovó, entre os ingredientes usados no
preparo de um belo cozido português, incluem-sex gramas de batatas,
y gramas de cebolas e z gramas de linguiça portuguesa, totalizando
1450 gramas. Sabendo-se que z e x, nesta ordem, estão entre si na
razão 2/3 e que o dobro de y, acrescido de 100, é igual à soma de x e
z, é correto afirmar que compõem essa receita:
a) 450 g de cebolas. b) 480 g de batatas.
c) 480 g de cebolas. d) 500 g de linguiça.
e) 750 g de batatas.
Resolução
A partir dos dados contidos no enunciado, temos:
⇔
Multiplicando a primeira equação por (2) e adicionado-a à terceira,
temos:
Adicionado a segunda equação à terceira, temos:
⇔
Resposta: A
� (UERJ) – A ilustração abaixo mostra seis cartões numerados
organizados em três linhas. Em cada linha, os números estão dispostos
em ordem crescente, da esquerda para a direita. Em cada cartão, está
registrado um número exatamente igual à diferença positiva dos
números registrados nos dois cartões que estão imediatamente abaixo
dele. Por exemplo, os cartões 1 e Z estão imediatamente abaixo do
cartão X.
Determine os valores de X, Y e Z. 
Resolução
⇔ ⇔ ⇔
⇔ ⇔
Resposta: x = 5, y = 9 e z = 6
�
x + y + z =1450
z 2
–– = –– 
x 3
2y + 100= x + z
�
x + y + z = 1450
2x – 3z = 0
x – 2y + z = 100
�
x + y + z = 1450
2x – 3z = 0
3x + 3z = 3000
�
x + y + z =1450
2x – 3z = 0
5x = 3000
�
y = 450
z = 400
x = 600
�
x = z – 1
y = 15 – z
4 = y – x �
x – z = – 1
y + z = 15
– x + y = 4 �
x – z = – 1
y + z = 15
y– z = 3
�
x – z = – 1
y + z = 15
y = 9 �
x = 5
z = 6
y = 9
Exercícios Propostos – Módulo 13
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 38
39MATEMÁTICA
� (UNICAMP-MODELO ENEM) – As companhias aéreas
costumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de
cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de
excesso de peso. Quando dois passageiros com partilham a
bagagem, seus limites são considerados em conjunto. Em um
determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava
sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a
pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou
correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. Para
determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do
senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que
um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z),
pode-se resolver o seguinte sistema linear:
a) 
 
b) 
c) d) 
RESOLUÇÃO:
⇔
 
Resposta: A
� (MODELO ENEM) – Para uma festinha, foram encomen -
dados 90 refri gerantes, 230 salgados e 120 doces. Os
convidados foram divididos em 3 faixas: crianças, senhores e
senhoras. Cada criança deverá consumir exata mente 2 refri -
gerantes, 8 salgados e 4 doces; cada senhor deve rá consumir
exatamente 3 refrigerantes, 5 salgados e 3 do ces; cada se -
nhora deverá consumir exatamente 3 refrige rantes, 6 salgados
e 3 doces. Qual deverá ser o total de convidados para que não
sobrem e nem faltem refrigerantes, salgados e doces?
a) 25 b) 35 c) 45 d) 55 e) 65
RESOLUÇÃO:
Sendo x, y e z, respectivamente, o número de crianças, de senho -
res e de senhoras convidados para a festa, temos:
I) Os refrigerantes a serem consumidos são 2 para cada criança,
3 para cada senhor e 3 para cada senhora. Dessa forma, resulta
2x + 3y + 3z = 90.
II) Os salgados a serem consumidos são 8 para cada criança, 5
para cada senhor e 6 para cada senhora. Assim, temos 
8x + 5y + 6z = 230.
III)Os doces a serem consumidos são 4 para cada criança, 3 para
cada senhor e 3 para cada senhora. Equacionando, temos 
4x + 3y + 3z = 120.
O sistema formado pelas três equações é:
Multiplicando a primeira equação por (– 2) e adicionando-a à
segunda, temos: 
Multiplicando a primeira equação por (– 1) e adicionando-a à
terceira, resulta
⇔ ⇒ x + y + z = 35
Resposta: B
2x + 3y + 3z = 90
8x + 5y + 6z = 230
4x + 3y + 3z = 120
�
2x + 3y + 3z = 90
4x – y = 50
4x + 3y + 3z = 120
�
z = 10
y = 10 
x = 15
�
2x + 3y + 3z = 90
4x – y = 50
2x = 30
�
�
x + 2z = 60
y + z = 60
3,5x – y = 0 �
x + z = 60
y + 2z = 60
3,5x – y = 0
�
x + 2z = 60
y + z = 60
3,5x + y = 0 �
x + z = 60
y + 2z = 60
3,5x + y = 0
� 60 – 2z = x60 – z = y
y = 3,5x
� x + 2z = 60y + z = 60
3,5x – y = 0
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 39
40 MATEMÁTICA
Exercícios Propostos – Módulo 14
Nos exercícios de � a �, resolva e classifique os sistemas,
aplicando o método do escalonamento:
�
 
RESOLUÇÃO:
x + y + z = 2 .(1) .(–1)
� – x + 2y + z = – 1 + ⇔
 
x – y – 3z = – 4 
 
+
x + y + z = 2 
⇔ � 3y + 2z = 1 .(2) ⇔
– 2y – 4z = – 6 + 
⇔ ⇔
V = {(1; –1; 2)}
O sistema apresenta uma única solução, portanto, trata-se de um
Sistema Possível e Determinado (S.P.D.).
�
 
RESOLUÇÃO:
 .(–1) .(–2)
+
+ 
⇔
⇔ .(– 1) ⇔ 
+
A terceira equação é falsa para ∀z ∈ � ⇒ V = Ø
O sistema não apresenta solução, portanto, trata-se de um Sis -
tema Impossível (S.I.).
�
x + y + z = 2
– x + 2y + z = – 1
x – y – 3z = – 4
�
x = 1
y = – 1
z = 2
�
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 6
2x + 5y + 5z = 10
�
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 6
2x + 5y + 5z = 10
�
x + 2y + 3z = 5
y – z = 1
y – z = 0
�
x + 2y + 3z = 5
y – z = 1
0z = –1
x + y + z = 2 
� 3y + 2z = 1 
 4y = – 4
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 40
41MATEMÁTICA
�
 
RESOLUÇÃO:
(– 1) (–1)
+ ⇔
+
⇔ .(1) ⇔ 
+
⇔ 
A terceira equação é verdadeira para ∀z ∈ �.
Abandonando a última equação e fazendo z = α, com α ∈ �, temos:
⇔
com α ∈ � ⇒ V = {(3 – 5α; α + 1; α)}, α ∈ �
O sistema apresenta infinitas soluções, portanto, trata-se de um
Sistema Possível e Indeterminado (S.P.I.).
� (UNICAMP) – Sabendo que k é um número real, considere
o sistema linear nas variáveis reais x e y,
É correto afirmar que esse sistema
a) tem solução para todo k.
b) não tem solução única para nenhum k.
c) não tem solução se k = 1.
d) tem infinitas soluções se k ≠ 1.
RESOLUÇÃO:
Escalonando o sistema, temos:
(–1)
⇔
Se k ≠ 1, então o sistema será possível e determinado, pois 
1 – k ≠ 0.
Se k = 1, então o sistema será possível e indeterminado, pois 
Oy = 0.
Do que foi visto, é correto afirmar que tem solução para todo k.
Resposta: A
�
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 6
x + y + 4z = 4
�
x + 2y + 3z = 5
x + 3y + 2z = 6
x + y + 4z = 4 
�
x + 2y + 3z = 5
y – z = 1
– y + z = – 1
�
x + 2y + 3z = 5
y – z = 1
0z = 0
� x + 2y = 5 – 3α
y = α + 1
� x = 3 – 5α
y = α + 1
�
x + ky = 1
x + y = k
� x + ky = 1x + y = k �
x + ky = 1
(1 – k)y = k – 1
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 41
42 MATEMÁTICA
 Os métodos de resolução de sistemas lineares
(Cramer e Escalonamento) apresentados anteriormente
são bastante úteis e muito utilizados. No entanto, para
certos sistemas, é mais simples “eliminar” incógnitas
pela “adição” ou “subtração” de duas ou mais equações,
ou, ainda, usar o método geral da substituição.
 Exemplo 1
 Resolver, por substituição, o sistema 
 
 Resolução
 “Isolando” z na 1a. equação, temos: z = 7 – 2x – y.
 Substituindo z, na 2a. e na 3a. equação, pela expres -
são obtida, resulta:
 Portanto, z = 7 – 2 . 3 – (–1) ⇒ z = 2
 O conjunto verdade do sistema é: V = {(3; –1; 2)}
 Exemplo 2
 Resolver o sistema 
 
 Resolução
 A resolução deste sistema, tanto pelo método da
substituição, como pelo método do escalonamento, e,
também, pela Regra de Cramer, é muito trabalhosa.
 No entanto, se observarmos as relações existentes
entre os coeficientes das incógnitas, podemos resolvê-lo
rapidamente. De fato:
 a) Somando, membro a membro, as duas primeiras
equações, obtemos: 8x = 16 ⇔ x = 2
 b) Multiplicando a terceira equação por – 1 e soman -
do-a com a primeira, temos: 7y = – 21 ⇔ y = – 3
 c) Substituindo os valores encontrados na primeiraequação, por exemplo, obtemos:
 3 . 2 + 4 . (– 3) – 7 . z = – 34 ⇔ z = 4
 O conjunto verdade é, portanto, {(2; – 3; 4)}
3x – y + (7 – 2x – y) = 12 x – 2y = 5� ⇔ � ⇔ x + 2y – 3 . (7 – 2x – y) = – 5 7x + 5y = 16 
 x = 5 + 2y⇔ � ⇔ 7 . (5 + 2y) + 5y = 16
 x = 5 + 2y x = 3⇔ � ⇔ � y = –1 y = –1
2x + y + z = 7
� 3x – y + z = 12 
x + 2y – 3z = – 5
3x + 4y – 7z = – 34
� 5x – 4y + 7z = 50 
3x – 3y – 7z = – 13
� (PUC) – Em média, Alceste, Belizário e Cibele gastam tA, tB e tC
minutos, respectivamente, para encher um tanque inicialmente vazio
e, para tal, só usam recipientes de iguais capacidades, totalmente
cheios de água. Sabe-se também que a equação matricial 
. =
permite que se calculem tA, tB e tC, em minutos, e que tal tanque tem
a forma de um paralelepípedo retângulo de 3 metros de altura. Nessas
condições, após quantos minutos, em média, contados a partir do
instante em que os três começarem simultaneamente a colocar água
no tanque vazio, o nível da água atingirá 1,95 m de altura?
a) 5 b) 4,5 c) 4 d) 3,5 e) 3
Resolução
. = =
 
⇒ ⇒ ⇒
 Sendo C a capacidade do tanque e t o tempo, em minutos, que os
três juntos são capazes de encher o tanque, em um minuto, temos:
 
+ + = ⇔ =
 Assim, em minutos, o tempo necessário para encher o tanque é 
t = .
 Considerando que o tanque tem 3 metros de altura, o tempo
necessário para atingir 1,95 m de altura é
 
. = 3 minutos
 Resposta: E
30
25
35
tA
tB
tC
1
1
0
1
0
1
0
1
1
�
tA = 10
tB = 20
tC = 15
tA + tB + tC = 45
tA + tC = 25
tB + tC = 35
tA + tB = 30
tA + tC = 25
tB + tC = 35
�
C
–––
t
13C
––––
60
C
–––
t
C
–––
15
C
–––
20
C
–––
10
� � � � �
60
––––
13
1,95
––––––
3,00�
1
1
0
1
0
1
0
1
1
� �
tA
tB
tC
� �
30
25
35 �
� �
60
––––
13
15 e 16
Palavras-chave:Substituição, eliminação e
exercícios complementares
• Substituir 
• Eliminar incógnitas
Exercícios Resolvidos – Módulos 15 e 16
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 42
43MATEMÁTICA
� Uma companhia de seguros levantou dados sobre
os carros de determinada cidade e cons tatou que
são roubados, em média, 150 carros por ano.
O número de carros roubados da marca X é o dobro do número de
carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas respondem por
cerca de 60% dos carros roubados.
O número esperado de carros roubados da marca Y é:
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 
Resolução
Sendo x e y respectivamente, o número de carros roubados durante
um ano, das marcas X e Y, tem-se:
O número esperado de carros roubados da marca Y, durante um ano,
é 30.
Resposta: B
x = 60
y = 30�⇔
x = 2y
2y + y = 90�⇔
x = 2y
x + y = 60% .150�
Exercícios Propostos – Módulo 15
� (UNICAMP) – Resolver o sistema
RESOLUÇÃO:
Somando membro a membro as quatro equações, resulta 
5x + 5y + 5z + 5w = 10 ⇔ x + y + z + w = 2
Substituindo x + y + z + w = 2 em cada equação, obtêm-se:
⇒ 
O conjunto solução é V = {(x, y, z, w)} = {(2; 1; 0; – 1)}
� (PUC – MODELO ENEM) – Sabe-se que na compra de uma
caixa de len ços, dois bonés e três camisetas gasta-se um total
de R$ 127,00. Se três caixas de lenços, quatro bonés e cinco
camisetas, dos mesmos tipos que os primeiros, custam juntos
R$ 241,00, a quantia a ser desembolsada na compra de apenas
três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo, será
a) R$ 72,00 b) R$ 65,00 c) R$ 60,00
d) R$ 57,00 e) R$ 49,00
RESOLUÇÃO:
Sendo x, y e z, respectivamente, os preços de uma caixa de
lenços, de um boné e de uma camiseta, temos:
Multiplicando a primeira equação por (–1) e adicionando-a à se -
gun da equação, temos:
Dividindo a segunda equação por (2), resulta:
x + y + z = 57 (quantia a ser desembolsada na compra de apenas
três unidades desses artigos, sendo um de cada tipo).
Resposta: D
x + y + z + 2w = 1
x + y + 2z + w = 2
x + 2y + z + w = 3
2x + y + z + w = 4
�
x = 2
y = 1
z = 0
w = – 1
�
2 + w = 1
2 + z = 2
2 + y = 3
2 + x = 4
�
x + 2y + 3z =127
3x + 4y + 5z = 241�
x + 2y + 3z =127
2x + 2y + 2z = 114�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 43
44 MATEMÁTICA
� (UERJ-MODELO ENEM) – O código de uma inscrição tem
14 al garismos; dois deles e suas respectivas posições estão
indicados abaixo.
Considere que, nesse código, a soma de três algarismos con -
secutivos seja sempre igual a 20. O algarismo representado
por x será divisor do seguinte número:
a) 49 b) 64 c) 81 d) 125
RESOLUÇÃO:
Como a soma de três algarismos consecutivos é sempre 20,
temos:
⇔ ⇔ 
Assim, x = 7 e o número de inscrição é
Desta forma, x = 7 e 7 é divisor de 49.
Resposta: A
� (UNICAMP-MODELO ENEM) – Considere o sistema
linear nas variáveis x, y e z 
onde m é um número real. Sejam a < b < c números inteiros
consecutivos tais que (x, y, z) = (a, b, c) é uma solução desse
sistema. O valor de m é igual a:
a) 3 b) 2 c) 1 d) 0 
RESOLUÇÃO:
Sendo a, b = a + 1 e c = a + 2 os três números inteiros con secu -
tivos, temos:
I) x + 2y + 3z = 20 ⇒ a + 2 . (a + 1) + 3 . (a + 2) = 20 ⇔
 ⇔ 6a = 12 ⇔ a = 2
II) Logo, a solução do sistema é (2, 3, 4) e, portanto, 
 7x + 8y – mz = 26 ⇒ 7 . 2 + 8 . 3 – m . 4 = 26 ⇔ m = 3
Resposta: A
5 8 x
5 a b c 8 x
�
5 + a + b = 20
a + b + c = 20
b + c + 8 = 20
�
a + b = 15
a + b + c = 20
b + c = 12
�
a = 8
b = 7
c = 5
5 8 7 5 8 7 5 8 7 5 8 7 5 8
� x + 2y + 3z = 207x + 8y – mz = 26,
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 44
45MATEMÁTICA
� Uma pessoa compra semanalmente, numa
mesma loja, sempre a mesma quantidade de
um produto que custa R$ 10,00 a unidade.
Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais
do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para
o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao
chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto
havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, con cluiu que o
dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades
a menos em relação à quantidade habitualmente comprada.
A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a
compra era
a) R$ 166,00. b) R$ 156,00. c) R$ 84,00.
d) R$ 46,00. e) R$ 24,00.
RESOLUÇÃO:
Seja x a quantidade comprada semanalmente por esta pessoa
antes do aumento.
A quantia que ela estava acostumada a levar, em reais, é 
10 . x + 6.
Após o aumento, cada unidade passou a custar 
1,20 . R$ 10,00 = R$ 12,00. Com isto, a pessoa só conseguiu
comprar (x – 2) unidades.
Assim 12.(x – 2) = 10x + 6 ⇔ 2x = 30 ⇔ x = 15.
Desta forma, a pessoa levava semanalmente 
(10.15 + 6) reais = 156 reais.
Resposta: B
� As curvas de oferta e de demanda de um pro -
duto represen tam, respectivamente, as quan -
tidades que vendedores e consumidores
estão dispostos a comercia lizar em função do preço do pro -
duto. Em alguns casos, essas curvas podem ser represen tadas
por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda
de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas
equações:
QO = – 20 + 4P
QD = 46 – 2P 
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de
demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os econo -
mistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja,
quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio?
a) 5 b) 11 c) 13 d) 23 e) 33
RESOLUÇÃO:
Sendo QO = – 20 + 4P e QD = 46 – 2P, o preço de equilí brio se obtém
para QO = QD.
Logo, – 20 + 4P = 46 – 2P ⇔ P = 11
Resposta: B
Exercícios Propostos – Módulo 16
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28Página 45
46 MATEMÁTICA
� Um professor, depois de corrigir as provas de
sua turma, percebeu que várias questões es -
tavam muito difíceis. Para compensar, decidiu
utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para
alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte
maneira:
• A nota zero permanece zero.
• A nota 10 permanece 10.
• A nota 5 passa a ser 6.
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é
a) y = – x2 + x b) y = – x2 + 2x
c) y = – x2 + x d) y = x + 2
e) y = x
RESOLUÇÃO:
Se f(x) = ax2 + bx + c for a função que transforma a nota x na nota
y = f(x), então:
f(0) = a . 02 + b . 0 + c = 0 ⇔ c = 0 
f(10) = a . 102 + b . 10 + c = 10 
f(5) = a . 52 + b . 5 + c = 6 
⇔
A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é 
y = – x2 + x
Resposta: A
� Na figura estão representadas três retas no
plano cartesiano, sendo P, Q e R os pontos de
intersecções entre as retas, e A, B e C os
pontos de intersecções dessas retas com o eixo x.
Essa figura é a representação gráfica de um sistema linear de
três equações e duas incógnitas que
a) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos
pontos P, Q e R, pois eles indicam onde as retas se
intersectam.
b) possui três soluções reais e distintas, representadas pelos
pontos A, B e C, pois eles indicam onde as retas
intersectam o eixo das abscissas.
c) possui infinitas soluções reais, pois as retas se intersectam
em mais de um ponto.
d) não possui solução real, pois não há ponto que pertença
simultaneamente às três retas.
e) possui uma única solução real, pois as retas possuem
pontos em que se intersectam.
RESOLUÇÃO:
As equações das três retas formam um sistema do tipo
Como não existe ponto (x; y) pertencente às três retas simul -
taneamente (P está em r e t, mas não pertence a s; Q está em s e
t, mas não pertence a r e R; está em r e s, mas não pertence a t),
o sistema não admite solução.
Resposta: D
y
x
s
r
t
Q
P
R
B CA
�
a1x + b1y + c1 = 0
a2x + b2y + c2 = 0
a3x + b3y + c3 = 0
1–––
25
7–––
5
1–––
10
1–––
24
7–––
12
4–––
5
� 100a + 10b = 1025a + 5b = 6 �
1
a = – ––––
25
7
b = –––
5
1
––––
25
7
–––
5
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 46
47MATEMÁTICA
1. Geometria plana
 A Geometria Plana estuda as figuras planas. Enten -
demos por figura plana todo subconjunto, não vazio, de
pontos de um plano. Quando dizemos que uma figura é
plana, estamos afirmando que ela está totalmente con -
tida num plano.
2. Ponto, reta e plano
 São ideias primitivas, entes que não possuem defi -
nição. Conhecemos imagens de ponto, por exem plo,
como a ponta do giz marcando o quadro-negro, um lápis
tocando o papel, sendo, no entanto, apenas imagens,
pois não há dimensão para ponto. 
 Analogamente, pos suí mos a intuição de reta e plano.
 Representação gráfica
 Notação
 Costumam-se indicar
 a) os pontos com letras maiúsculas A, B, C, …
 b) as retas com letras minúsculas r, s, t, …
 c) os planos com letras do alfabeto grego α, β, γ, …
 d) como dois pontos distintos determinam uma reta,
pode-se indicar a reta por dois de seus pontos.
O conjunto universo da 
geometria plana será, pois, o plano.
Geometria Plana
Módulos
1 – Introdução ao estudo da geometria
2 – Ângulos
3 – Paralelismo
4 – Triângulos
5 – Segmentos notáveis do triângulo
6 – Triângulo retângulo e condição de existência de
um triângulo
7 – Congruência de triângulos
8 – Polígonos
9 – Polígonos
10 – Quadriláteros notáveis
11 – Quadriláteros notáveis
12 – Linhas proporcionais
13 – Semelhança de triângulos
14 – Semelhança de triângulos 
15 – Semelhança de triângulos 
16 – Relações métricas nos triângulos 
(Pitágoras)
1
Palavras-chave:Introdução ao 
estudo da geometria
• Reta 
• Segmento de reta
• Ângulo
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 47
48 MATEMÁTICA
3. Semirreta
 Um ponto A de uma reta r divide-a em dois subcon -
juntos chamados semirretas.
 O ponto A é origem das semirretas e pertence a am -
bas. Representa-se por 
→
Ar1 e 
→
Ar2.
 A semirreta pode ser também indicada por dois pon -
tos. 
→
AB indica a semirreta com origem A, que con tém o
ponto B, e
→
AC indica a semirreta com origem A, que
contém o ponto C.
4. Segmento de reta
 Podemos definir segmento de reta como sendo a
inter secção de duas semirretas, cada uma contendo a
origem da outra. 
 Representa-se por
—
AB.
 Simbolicamente: 
5. Medidas
 Medida de um ente geométrico é um número real
positivo, obtido pela com pa ração deste ente com um
outro escolhido como uni da de. Ao escolhermos esta uni -
da de, estamos estabe lecen do um sistema de medidas.
 A medida do segmento 
—
AB em centímetros é 5 e
pode ser representada por:
6. Congruência
 O termo congruência não será definido. A ideia in -
tuitiva de congruência entre dois entes geométricos está
associada às suas medidas. Dois entes serão con gruen -
tes quando suas medidas forem iguais.
 Para indicarmos a congruência entre dois entes geo -
mé tricos, utilizaremos o símbolo 	.
7. Congruência de segmentos de
reta 
 Dois segmentos de reta, 
—
AB e 
—
CD, serão congruen -
tes se, e somente se, tiverem mesma medida.
 Simbolicamente:
 
8. Segmentos colineares
 São aqueles que são subconjuntos da mesma reta.
 Exemplos
 
—
AB, 
—
MN,
—
AN, 
—
AM etc …
9. Ponto médio de um segmento
 M será ponto médio de um segmento 
—
AB se, e
somente se, M pertencer ao segmento 
—
AB e 
—
AM for
congruente com
—
BM.
 Assim,
10. Região convexa
 Um conjunto de pontos S é uma região convexa se,
e somente se, para qualquer par de pontos A e B de S,
o segmento 
—
AB for subconjunto de S. 
—
AB = 
→
Ar1 �
→
Br2
AB = 5 cm ou med ( 
—
AB) = 5 cm
—
AB 	
—
CD ⇔ AB = CD
 M ∈ AB
––
M é o ponto médio de AB
–– ⇔ � AM––– 	 BM–––
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 48
49MATEMÁTICA
 Assim,
 
 
 
 
 Quando existirem dois pontos, A e B, de S, de tal
for ma que
—
AB não é um subconjunto de S, a região é dita
côncava ou não convexa. 
 Assim,
 
11. Ângulos
 Ângulo é a união de duas semirretas de mesma ori gem.
 Simbolicamente:
 
 O ponto O é o vértice do ângulo e as semirretas 
→
Or e
→
Os são os lados do ângulo.
 Notação
 O ângulo determinado pelas semirretas 
→
Ar e 
→
As será
indicado por:
12. Região angular
 Observe que o ângulo geralmente determina, no
pla no, três conjuntos:
 a) pontos “interiores” (P; Q; R; …)
 b) pontos do ângulo (O; A; B; …)
 c) pontos “exteriores”(X; Y; Z; …)
 Região angular é a região determinada pela união
do con junto dos pontos do ângulo com o conjunto dos
pon tos “in teriores”.
13. Ângulos consecutivos
 Dois ângulos são consecutivos quando têm mesmo
vértice e pelo menos um lado em comum.
Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são con se cutivos, pois admitem o lado
Or
→
em comum.
Os ângulos mO
^
s e rO
^
s são con se cutivos, pois admitem o lado
Os
→
em comum.
S é convexa
�
∀A ∈ S, ∀B ∈ S,
—
AB � S
r
^
As ou B
^
AC ou 
^
A
r
^
Os =
→
Or �
→
Os
S é não convexa
�
∃A ∈ S e ∃B ∈ S 
tal que
—
AB � S
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 49
50 MATEMÁTICA
14. Ângulos adjacentes
 Dois ângulos consecutivos serão adjacentes quan -
do a intersecção entre seus conjuntos de pontos “in -
terio res” for vazia.
 Os ângulos mO
^
r e rO
^
s são adja centes.
 Observação
 Dois ângulos adjacentes são sem pre dois ângulos
con se cutivos, porém dois ângulos con secutivos nem
sem pre são adjacentes.
15. Congruência de ângulos
 Dois ângulossão congruentes se, e somente se,
eles têm mesma medida.
 Simbolicamente:
16. Ângulo reto
 Duas retas são chamadas concorrentes se, e so -
mente se, elas possuírem um único ponto em comum.
 Observe que duas retas concorrentes determinam
quatro regiões angulares adjacentes.
 Quando duas dessas regiões angulares adjacentes
forem congruentes, dizemos que qualquer uma delas
define uma região de ângulo reto.
 Observação
 Quando duas retas r e s são con correntes e deter -
minam ân gulos adjacentes con gruen tes, elas são cha -
madas per pen di cu lares. 
 Sim bolica mente: r � s.
A
^
BC 	 D ^EF ⇔ med (A ^BC) = med (D ^EF)
� (MODELO ENEM) – As lentes são formadas por materiais trans -
 parentes (meio refrin gente) de tal forma que pelo menos uma das
superfícies por onde passa a luz (ao entrar ou sair da lente) não é plana.
Nas lentes esféricas, uma das super fícies, ou ambas, são cortes de
uma esfera e, con sequen temente, caracterizadas por um raio de
curvatura.
As lentes podem ser classificadas, de acordo com sua cons tru ção,
como lentes conver gen tes e divergentes. Quando a lente está no ar ou
em qual quer meio menos refringente que o seu ma terial, as lentes
conver gentes são mais gros sas na parte central que nas bordas. O
contrário ocorre nas divergentes, que são delgadas no seu centro e
mais grossas nas extremi dades. Exemplos de lentes convergentes são
lupas e lentes para cor rigir hipermetropia. Lentes diver gentes são
encon tradas em olho-mágico de portas e em óculos para correções da
miopia.
Outra classificação é feita em termos da geometria da lente. Caso as
duas superfícies sejam côncavas, a lente é chamada bicôncava. Se as
duas superfícies são convexas, tem-se uma lente biconvexa. Sendo
uma superfície plana e outra convexa, tem-se uma lente plano-convexa
e assim por diante.
http://objetoseducacionais2.mec.gov.br
Existem seis tipos de lentes, que são represen tadas pelas figuras a seguir.
Das seis figuras que representam os tipos de lentes, a quan tidade de
regiões não convexas é:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução
Somente as duas primeiras não são regiões não convexas.
Resposta: D
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 50
51MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Quando falamos em figuras iguais, intuitiva -
mente nos vêm à mente figuras de mesmo tamanho e forma. Isto sig -
nifica que, executando-se alguns movimen tos, as figuras se
“encaixam” exatamente umas sobre as outras. Observemos que a
pala vra “iguais” está sendo usada de forma um tanto imprópria, já que
os conjuntos de pontos que formam cada uma das figuras são
diferentes. Tornamos mais precisa nossa linguagem usando a
expressão "figuras congruentes".
http://penta.ufrgs.br/edu
É importante saber que duas figuras con gruen tes têm me di das iguais.
Assim, se os ângulos das figuras a seguir são con gruentes, então, o
valor de x é:
a) 20°20’ b) 20°30’ c) 20°40’ d) 20°50’ e) 21°
Resolução
Devemos ter: 3x – 14° = x + 27° ⇒ 2x = 41° ⇒ x = 20°30’
Resposta: B
Nos exercícios de � a �, represente graficamente os entes
geométricos, apresentando sua notação:
� Reta r determinada por dois pontos, A e B.
RESOLUÇÃO: 
r = 
→
AB
� Semirreta determinada por dois pontos, A e B, que tem
origem no ponto A e contém o ponto B.
RESOLUÇÃO:
→
AB
� Segmento de reta determinado por dois pontos, A e B.
RESOLUÇÃO:
—
AB
� Ângulo de lados 
→
OA e
→
OB e vértice O.
RESOLUÇÃO:
� Classifique as regiões a seguir em convexa e não convexa.
a) reta b) ângulo 
 
 
 convexa não convexa 
c) região angular d) circunferência
 
 convexa não convexa
e) círculo f) coroa circular
 
convexa não convexa
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 51
52 MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – É dificíl saber se foram os egípcios ou
os sumérios os primeiros a produzir escritos de natureza mate -
mática. É fato que os mais antigos documentos indu bitavel -
men te matemá ticos que chegaram até nós são tabletes su mé -
rios de barro cozido, datando de aproximadamente 2200 a.C.,
mas como os egípcios escreviam sobre papiros facilmente
degradáveis, eles podem ter produzido documentos ainda mais
antigos e que se perderam. É preciso lembrar, entretanto, que
existem tabletes sumérios de cerca de 3500 a.C., quando
ainda eram usados símbolos anteriores aos cuneiformes, que
já traziam registros nu méri cos. O sistema de numeração dos
su mé rios, depois adotado e adap tado por seus sucessores,
usava como base o número 60, de onde se origina a convenção
que empregamos até hoje de dividir o círculo em 360 graus, a
hora em 60 mi nutos e o minuto em 60 segundos (a divisão do
dia em 24 horas vem dos egípcios). 
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências, 2a. ed. Livraria da Física.
Lembrando que 1° = 60’ e 1’ = 60”, faça os cálculos a seguir,
associando-os com:
a) 45°13’ b) 12°40’ c) 104°53’37”
d) 23°12’17” e) 24°01’17”
I) 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54”
RESOLUÇÃO:
 
83° 20’ 43” Como 1’ → 60”, temos que.
+ 21° 32’ 54” 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” = 104° 53’ 37”
–––––––––––––
104° 52’ 97”
Resposta: C
II) 41° 23’ – 17° 21’ 43”
RESOLUÇÃO:
41° 22’ 60”
– 17° 21’ 43”
––––––––––––
24° 01’ 17”
Resposta: E
III) 38° : 3
RESOLUÇÃO:
38° 3
08° 12° 40’ Logo, 38° : 3 = 12° 40’
2° = 120’
 0
Resposta: B
� Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande
erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua
localização geográ fica no globo terrestre é
dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicio -
namento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do
Meridiano de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação
a sua longitude da forma decimal é
a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°.
d) 124,30°. e) 124,50°.
RESOLUÇÃO:
124° 3’ 0” = 124° + = 124° + = 124° + 0,05° = 124,05°
 
Resposta: B
3°
––––
60
1°
––––
20
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 52
53MATEMÁTICA
1. Ângulos agudo, obtuso e raso
 Ângulo agudo
 Um ângulo é agudo quando sua medida é menor do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, menor que 90°.
 Âgulo obtuso
 Um ângulo é obtuso quando sua medida é maior do
que a medida de um ângulo reto, ou seja, maior que 90°.
 Ângulo raso
 Um ângulo é raso quando seus lados são semirretas
opostas.
 A medida de um ângulo raso corresponde a dois
ângulos retos ou a 180°.
 Exemplos
2. Soma de ângulos
 A soma de dois ângulos A
^
BC e D
^
EF é um ângulo 
P
^
QR tal que:
 Observação:
 Quando med(P
^
QR) = med(A
^
BC) – med(D
^
EF), o ân -
gulo P
^
QR é a diferença entre os ângulos A
^
BC e D
^
EF.
3. Bissetriz de um ângulo
 A bissetriz de um ângulo é a semirreta com origem
no vértice do ângulo, e que o divide em dois ângulos
congruentes. Assim,
4. Ângulos complementares
 Dois ângulos são complementares quando a soma
de suas medidas é um ângulo reto. Um dos ângulos é
cha mado complemento do outro.
 O complemento de um ângulo de medida x é
5. Ângulos suplementares
 Dois ângulos são suplementares quando a soma de
suas medidas corresponde a dois ângulos retos. Um dos
ângulos é chamado suplemento do outro.
→
OC é bissetriz do ângulo A
^
OB
�
A
^
OC 	 B ^OC
90° – x
Complementares ⇔ ^a + ^b = 90°
med(P
^
QR) = med(A^
BC) + med(D
^
EF)
2
Palavras-chave:
Ângulos • Obtuso • Agudo • Reto
• Complementares • Suplementares
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54 MATEMÁTICA
 
 O suplemento de um ângulo de medida x é
6. Ângulos replementares
 Dois ângulos são replementares quando a soma de
suas medidas corresponde a quatro ângulos retos. Um
dos ângulos é chamado replemento do outro.
 
 O replemento de um ângulo de medida x é 
7. Ângulos opostos pelo vértice
 Ângulos opostos pelo vér tice são aqueles em que os
lados de um são semirretas opostas aos lados do outro.
 Teorema
 Demonstração
 
⇒ a + x = b + x ⇔ a = b
a + x = 180°b + x = 180°
Se dois ângulos são opostos pelo vér tice, então
eles são congruentes.
360° – x
Replementares ⇔ ^a + ^b = 360°
180° – x
Suplementares ⇔ ^a + ^b = 180°
� (MODELO ENEM) – Nas regiões próxi mas à linha do Equador,
todas as estrelas nascem e se põem quatro minutos mais cedo, a cada
dia que passa. Ao final de 365 dias, esse adiantamento dará um total
de 24 horas. Por isso, se você observar o céu todas as noites, sempre
à mesma hora, notará que seu aspecto irá modifi cando-se. Al gu mas
estrelas e cons telações deixam de ser visíveis, enquanto outras vão
surgindo no horizonte no lado Leste. E se voltar a observar o céu daqui
a três meses, verá que tal mo dificação será bem mais sensível. Ao
término de seis meses, você poderá verificar que todas as cons -
telações visíveis serão diferentes, pois você estará vendo o outro lado
do céu estrelado, que era invisível em virtude da luz solar.
Ronaldo Rogério de Freitas Mourão. 
O Livro de Ouro do Universo, 6a. Ed. Ediouro Publicações S/A
Na figura seguinte, o astrônomo observou que as estrelas A, B e C
estão posicionadas de tal modo que 
—
BD é bissetriz do ângulo A
^
DC. 
Se A
^
DB = 3x – 10° e C
^
DB = 2x + 8°, então, a medida do ângulo 
A
^
DC é:
a) 80° b) 82° c) 84° d) 86° e) 88°
Resolução
I) 3x – 10° = 2x + 8° ⇒ x = 18°
II) C
^
DB = 2x + 8° = 2 . 18° + 8° = 44°
III) A
^
DC = 2 . 44° = 88°
Resposta: E
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 54
55MATEMÁTICA
� (MACKENZIE) – O complemento e o suplemento de um
ângulo de 37°20’07” medem, respecti vamente,
a) 149°39’53” e 52°39’53”. 
b) 52°39’53” e 142°39’53”.
c) 53°20’07” e 143°20’07”. 
d) 143°20’07” e 53°20’07”.
e) 142°39’53” e 53°20’07”.
RESOLUÇÃO:
I) Complemento: 90° – 37°20’07” =
 = 89°59’60” – 37°20’07” = 52°39’53”
II) Suplemento: 90° + 52°39’53” = 142°39’53”
Resposta: B
� (PUC-MG) – O dobro do complemento de um ân gulo é
igual à quinta parte do suplemento desse ângulo. A medida do
ângulo é igual a:
a) 80° b) 60° c) 40° d) 30° e) 20°
RESOLUÇÃO:
2(90° – x) = ⇔ 900° – 10x = 180° – x ⇔
⇔ 9x = 720° ⇔ x = 80° 
Resposta: A
� (CFT-CE-MODELO ENEM) – O ângulo cujo suplemento
excede de 6° o quádruplo do seu complemento é:
a) 58° b) 60° c) 62° d) 64° e) 68°
RESOLUÇÃO:
Sendo x a medida, em graus, desse ângulo, tem-se:
180° – x = 6° + 4 (90° – x) ⇔ 3x = 186° ⇔ x = 62°
Resposta: C
180° – x
–––––––––
5
� (MODELO ENEM) – Castelos e palácios eram residências
majestosas para nobres e reis, mas apenas castelos tinham muros
altos, torres e fossos. Embora os palácios fossem grandes residên cias
e pudes sem ter muros ao seu redor, não tinham muros altos de
proteção e não eram projetados para finalidades militares.
O fosso – um grande dique
ou trincheira ao redor do
muro externo do castelo – era
a primeira linha de defesa.
Ele poderia ser cheio de água
ou seco (um fosso seco
poderia ser forrado com esta -
cas pontiagudas de madeira).
Normalmente, havia uma
ponte elevadiça que per ma -
ne cia erguida quando o cas -
telo era atacado. Vários
fossos eram também locais
para depósito de lixo e detritos. A existência de um fosso dependia do
terreno – nem todos os castelos tinham fossos. Alguns eram
construídos no alto de uma rocha e não preci savam deles. Os castelos
de Edinburgo e de Stirling na Escócia, por exemplo, estão no alto de
uma encosta rochosa. Vários castelos alemães ao longo do Rio Reno
foram cons truídos nas áreas mon tanhosas do vale. 
www.spectrumgothic.com.br
Durante um ataque a um castelo medieval, os sen ti ne las er gue ram a
ponte levadiça, até que ela for masse um ângulo α com a horizontal. Se
a medida do ângulo α é a metade da medida do seu suplemento,
então, o complemento de α vale:
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
Resolução
α = ⇒ 3α = 180° ⇒ α = 60°
Logo, o complemento de α é 30°.
Resposta: A
180° – α
–––––––––
2
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 55
56 MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Na cidade jônia de Mileto (hoje em
território pertencente à Turquia), viveu um homem admi rável,
mais tarde con siderado um dos Sete Sábios da Grécia Antiga,
chamado Tales. Ele é considerado o primeiro filósofo e o
primeiro matemá tico grego e é provável, mas não aceito
unanimemente, que tenha vivido entre 640 a.C. e 564 a.C.
Embora a Filosofia, a Astrono mia e a Matemática fossem suas
paixões, a atividade rotineira de Tales era o comércio. Aris -
tóteles conta, em seu livro Política, que muitos na cidade o
criticavam por descuidar-se dos negó cios e desperdiçar seu
tempo com aqueles interesses estra nhos. Indiferente às crí -
ticas, um dia percebeu que se avizinhava uma excepcional
safra de azeitonas e alugou para si todas as prensas extratoras
de azeite existentes na região. Quando a colheita chegou,
ganhou muito dinheiro realugando-as e declarou ter
demonstrado que os filósofos, quando que rem, também
sabem como en rique cer. Se não o fazem é por que dão valor a
outras coisas que lhes parecem muito mais impor tantes.
Jamais saberemos como ocorreu a Tales a revolucionária ideia
que deu rumos definitivos ao pensamento matemático, ou
seja, a de que suas verdades devem ser justificadas,
demons tradas, provadas por meio do raciocínio.
Gilberto Geraldo Garbi. A Rainha das Ciências. 
2a. ed. Livraria da Física.
As fontes históricas da Geometria mencionam que Tales de -
mons trou o seguinte teorema: Se dois ângulos são opostos
pelo vértice, então, eles são congruentes.
Utilizando esse teorema, você descobrirá que o valor de x na
figura seguinte é:
a) 16° b) 18° c) 20° d) 22° e) 24°
RESOLUCÃO:
3x – 30° = 60° – 2x ⇔ 5x = 90° ⇔ x = 18°
Resposta: B
� Rotas aéreas são como pontes que ligam
cidades, estados ou países. O mapa a seguir
mostra os esta dos brasileiros e a localização
de algumas capitais identificadas pelos números. Considere
que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília –
DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de
reta com extre midades em DF e em 4.
Siqueira. S. Brasil Regiões. Disponível em
www.santiagosiqueira.pro.br
Acesso em 28 jul 2009 (adaptado).
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião
AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus no
sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez
uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a
direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com
a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF.
Considerando que a direção seguida por um avião é sempre
dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que
passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o
passageiro Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
RESOLUCÃO:
Conforme o trajeto apresentadono mapa acima, Carlos fez
conexão em Belo Horizonte (13) e, em seguida, embarcou para
Salvador (9).
Resposta: B
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 56
57MATEMÁTICA
1. Nomenclatura
 Dadas, num plano, duas retas, r e s, e uma
transversal t, obtemos oito ângulos com as designações
 
 • correspondentes: a^ e α^ ; b
^
e β
^
; c
^
e γ^; d
^
e δ
^
 • alternos externos: a^ e γ^; b
^
e δ
^
 
 • alternos internos: c^ e α^ ; d
^
e β
^
 
 • colaterais externos: a^ e δ
^
; b
^
e γ^ 
 • colaterais internos: c^ e β
^
; d
^
e α^
2. Retas paralelas
 Duas retas são paralelas se, e somente se, são co -
planares com intersecção vazia ou são coincidentes.
Representa-se r // s.
3. Ângulos correspondentes
 Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos correspondentes congruentes e
reci procamente.
4. Ângulos alternos 
 Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos alternos congruentes e reci pro -
camente.
5. Ângulos colaterais
 Duas retas paralelas distintas formam com uma
trans versal ângulos colaterais suplementares e reci -
pro camente.
r // s ⇔ γ 	 β
r // s ⇔ α 	 β
r // s ⇔ β + δ = 180°
3
Palavras-chave:
Paralelismo • Congruentes
• Suplementares
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 57
58 MATEMÁTICA
� Na figura seguinte, na qual as retas r e s
são paralelas, o valor de x é igual a:
a) 20° b) 25° c) 30° 
d) 40° e) 45°
Resolução
Os ângulos de medidas 5x + 20° e 120°
são alternos externos.
Assim: 5x + 20° = 120° ⇔ 5x = 100° ⇔
⇔ x = 20°
Resposta: A
� (MODELO ENEM) – Nelson Piquet, três
vezes campeão do mundo, se tornará um dos
donos da equipe BMW, em 2010, junto com o
suíço Peter Sauber – proprietário hoje de cerca
de 20% da organização. Assim, o futuro de
Nelsinho Piquet estará prati camente assegu -
rado na Fórmula 1. O piloto já não disputa o GP
da Europa, no dia 23, em Valência, pela
Renault, mas no ano que vem sua vaga estaria
reservada no Mundial.
Quando escreveu no twitter que poderia
“quem sabe correr no seu próprio time”, há
dois dias, e depois disse que estava “brin -
cando”, na realidade Nelsinho falou a verdade.
Nelson, seu pai, tenta dar sequência ao que
sempre fez com o filho: competir em sua
escuderia. Foi assim no kart, na Fórmula 3, na
GP2 – Nelsinho sempre obteve sucesso – e pro -
vavelmente será agora também na Fórmula 1.
O Estado de São Paulo – 03/08/2009
Na pista de kart da figura seguinte, temos: 
—
AB
paralelo a 
—
DE e também paralelo a 
—
FG. Assim, a
soma das medidas dos ângulos x e y vale:
a) 140° b) 160° c) 180° 
d) 200° e) 220°
Resolução
Assim, x + 60° = 180° ⇒
⇒ x = 120°, y = 60° + 20° = 80° e, portanto,
x + y = 120° + 80° = 200°
Resposta: D
� (UESB-BA) – Sabendo-se que r//s e t é uma trans ver sal a r
e a s, conforme a figura seguinte, é correto afirmar:
a) x mede 80°, y e z são correspondentes.
b) y mede 100°, x e z são suplementares.
c) z mede 80°, x e y são opostos pelo vértice.
d) y mede 80°, x e z são alternos externos.
e) z mede 100°, y e x são alternos internos.
RESOLUÇÃO:
I) x = 80° (opostos pelo vértice)
II) y = 80° (correspondentes)
III) z + y = 180° (suplementares)
 Assim: z + 80° = 180° ⇔ z = 100°
IV) y = x (alternos internos)
 Portanto: z = 100°, y e x são alternos internos.
Resposta: E
t
80°
x
r
y
z
s
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 58
59MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Antônio Carlos levou seu filho
Fernando Antônio para fazer um passeio no “Rio do Peixe”
cujas margens são paralelas. No local aonde eles foram, havia
uma ponte que ligava a margem r com um ilha localizada pelo
ponto B e uma outra ponte ligando a ilha com o ponto C na
outra margem, como mostra a figura seguinte. Se o ângulo
agudo que a margem forma com 
—
AB mede 18° e A
^
BC = 92°,
então, a medida do ângulo obtuso que a margem s forma com
a ponte 
—
BC é:
a) 102° b) 104° c) 106° d) 108° e) 110°
RESOLUÇÃO:
α + 74° = 180° ⇔ α = 106°
Resposta: C
� O valor de α na figura seguinte é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
RESOLUÇÃO:
Assim, α = 30°
Resposta: B
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 59
60 MATEMÁTICA
� Na figura seguinte, onde as retas r e s são paralelas, o valor
de x é
a) 20° b) 25° c) 30° d) 35° e) 50°
RESOLUÇÃO:
5x – 70° = 3x – 20° (alternos internos)
Assim: 5x – 3x = 70° – 20° ⇔ 2x = 50° ⇔ x = 25°
Resposta: B
� (UNICAMP – MODELO ENEM) – Para calcular a circun -
ferência ter res tre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância co -
nhe cida de 800 km entre as localidades de Ale xandria e Siena
no Egito (A e S, respec ti vamente), situadas no mesmo
meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios
solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um
ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a
circunferência terrestre, isto é, o com primento de uma volta
completa em torno da Terra.
RESOLUÇÃO:
Como as grandezas são diretamente proporcionais, tem-se:
= ⇔ = ⇔
⇔ C = 50 . 800 km = 40000 km
Resposta: 40000 km
7,2°
0
R
7,2°A
800 km
S
ângulo central comprimento do arco
7,2° 800 km
360° C
7,2°
––––––
360°
800 km
––––––––
C
1
––––
50
800 km
––––––––
C
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 60
61MATEMÁTICA
1. Definição
 Dados três pontos não colineares, A, B e C, chama-
se triângulo a união dos três segmentos, AB
––
, AC
––
e BC
––
.
 
 Simbolicamente:
 
 A união do triângulo ABC com os pontos de sua
região interior é chamada região triangular.
 A palavra triângulo é, muitas vezes, usada com o
sen tido de região trian gu lar.
2. Elementos do triângulo
 a) Os pontos A, B e C são os vértices do triângulo.
 b) Os segmentos
—
AB, 
—
AC e 
—
BC são os lados do triân -
gulo.
 c) Os ângulos B
^
AC = 
^
A, A
^
BC = 
^
B e A
^
CB = 
^
C são os
ân gulos in ter nos do triângulo.
 d) Ângulo externo é o ângulo suplementar do ângulo
in ter no. Na figura, α̂,
^
β e γ̂ são os ân gulos ex ternos dos
vértices A, B e C, respe ctivamente.
3. Propriedades
 Soma dos ângulos internos
 A soma dos ângulos internos de qualquer triângulo
é igual a 180°.
 Demonstração
 Como β 	
^
B , γ 	
^
C e 
^
A + β + γ = 180°, temos:
 Soma dos ângulos externos
 Em qualquer triângulo, a soma dos ângulos exter -
nos é igual a 360°.
 Demonstração
⇒
⇒
^
A + 
^
B + 
^
C + ^α + 
^
β + ^γ = 540° ⇒ 
14243
 180°
4. Teorema do ângulo externo
 Em qualquer triângulo, cada ângulo externo é igual
à soma dos ângulos internos não adjacentes.
 Demonstração
⇒
α^ + β
^
+ γ^ = 360°
^
A + ^α = 180°
^
B + 
^
β = 180°
^
C + ^γ = 180°
^
A +
^
B +
^
C = 180°
ΔABC = AB
––
� BC
–––
� AC
––
α^ = B
^
+ C
^
1
2
3
^
A + ^α = 180°
^
A + 
^
B + 
^
C = 180°
4
Palavras-chave:
Triângulos • Vértices • Ângulos internos
• Ângulos externos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 61
62 MATEMÁTICA
� (ESPM–MODELO ENEM) – Uma folha de papel determina um
triângulo ABC (figura 1). Esta folha é dobrada em torno de AD, de modo
que o lado AB fique contido no lado AC (figura 2), DA
^
C = 49° e 
AB
^
D = 60°.
A medida do ângulo BC
^
D é:
a) 22° b) 21° c) 20° d) 19° e) 18°
Resolução
I)
—
AD é bissetriz do ângulo B’
^
AC ⇒ B’
^
AD = 49°
II) No triângulo AB’C, temos:
B
^
CD + 49° + 49° + 60° = 180° ⇒ B
^
CD = 22°
Resposta: A
� Um programa de edição de imagens pos sibi -
lita transfor mar figuras em outras mais com -
plexas. Deseja-se cons truir uma nova figura a
partir da original. A nova figura deveapresentar simetria em
relação ao ponto O. 
Figura original 
A imagem que representa a nova figura é: 
Resolução
Observe, na figura acima, que, em relação ao ponto O, o simétrico do:
1) ponto A é o ponto A’ 
2) ponto B é o ponto B’
3) ponto C é o ponto C’ 
4) ponto D é o ponto D’
5) ponto E é o ponto E’
6) triângulo BCE é o triângulo B’C’E’ e, consequen temente, do
quadrilátero OACD dado é o quadri látero OA’C’D’.
Resposta: E
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 62
63MATEMÁTICA
� Determine o valor de α na figura a seguir.
RESOLUÇÃO:
3α = α + 70° ⇔ 2α = 70° ⇔ α = 35°
� (MACKENZIE-SP) – Na figura, —AB é bissetriz do ângulo de
vértice A. A medida de α é:
a) 63° b) 63,5° c) 64° d) 64,5° e) 65°
RESOLUÇÃO:
Como 
—
AB é bissetriz do ângulo C
^
AD, temos: C
^
AB = B
^
AD = x 
Assim:
43° + 2x = 86° x = 21,5°� ⇔ �α + x = 86° α + x = 86°
e, portanto, α + 21,5° = 86° ⇔ α = 64,5°
Resposta: D
� Pedro Afonso pretendia fazer um bumerangue como o que
aparece na figura 1, porém ele cometeu um pequeno erro e
acabou fazendo seu bumerangue com o formato da figura 2.
Assim, a soma das medidas dos ângulos α e β assinalados nas
figuras é:
a) 235° b) 240° c) 245° d) 250° e) 255°
RESOLUÇÃO:
I) α = 90° + 30° = 120°
II) β = 80° + 35° = 115°
Logo, α + β = 120° + 115°= 235°
Resposta: A
43°
B
A
86°
�
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 63
64 MATEMÁTICA
� Na figura seguinte, 
—
BD é bissetriz do ângulo A
^
BC e 
—
CE é
bissetriz do ângulo A
^
CB. O valor de x é:
a) 75° b) 70° c) 60° d) 45° e) 40°
RESOLUÇÃO:
I) ⇔ ⇔ α = 30° e β = 40°
II) α + x = 70° ⇔ 30° + x = 70° ⇔ x = 40°
Resposta: E
� (MODELO ENEM) – Arthur pretende encontrar um tesouro que
está escondido no Parque do Ibirapuera em São Paulo. Segundo seu
mapa, ele primeiro deve achar as árvores localizadas nos pontos A, B
e C que aparecem na figura seguinte. Depois, ele deve localizar o
ponto S onde a bissetriz do ângulo B
^
AC encontra o lado 
—
BC do triângulo
ABC. Finalmente, ele encontrará o tesouro no ponto T onde a bissetriz
do ângulo A
^
SC encontra o lado 
—
AC. Se A
^
BC = 62° e A
^
CB = 34°, então,
a medida do ângulo S
^
TC é:
a) 94° b) 95° c) 96° d) 97° e) 98°
RESOLUÇÃO:
Assim, S
^
TC + 52° + 34° = 180° ⇒ S
^
TC = 94°
Resposta: A
B C
D
A
E
80° 70°
x
α + 2β = 110°
2α + β = 100°�
α + 2β + 70° = 180°
2α + β + 80° = 180°�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 64
65MATEMÁTICA
1. Mediana
 
Mediana de um triângulo é o seg men to de reta
que tem uma extre mi da de num dos vértices do triân gu lo
e a ou tra no ponto méd io do lado oposto a esse vér tice.
—
AMA é a mediana relativa ao vértice A.
2. Bissetriz 
 Bissetriz de um triângulo é o seg men to de reta de -
ter minado por um vér tice do triângulo e pela inter sec ção do
lado oposto a esse vértice com a bis setriz do ân gulo in -
terno desse vértice.
—
ASA é uma bissetriz do triângulo.
3. Altura
 Altura de um triângulo é o segmento de reta de ter -
 minado por um vértice e pela intersecção da reta que
contém o lado oposto a esse vértice, com a per pen di -
cular a ela traçada por esse vértice.
—
AHA é a altura relativa ao vértice A.
4. Classificação dos triângulos
 Classificação quanto aos lados
 Quanto aos lados, o triângulo pode ser classificado em:
 a) equilátero, quando tem os três lados con gruen tes.
 b) isósceles, quando tem dois lados congruentes.
 c) escaleno, quando dois lados quaisquer não são
congruentes.
 Classificação quanto aos ângulos
 Quanto aos ângulos, o triângulo pode ser classifi ca -
do em:
 a) retângulo, quando possui um ângulo reto.
 b) acutângulo, quando possui os três ângulos agu dos.
 c) obtusângulo, quando possui um ângulo obtuso.
5
Palavras-chave:Segmentos 
notáveis do triângulo
• Mediana • Bissetriz 
• Altura • Acutângulo 
• Obtusângulo • Retângulo
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 65
66 MATEMÁTICA
� Fractal (do latim fractus,
fração, quebrado) – objeto
que pode ser dividido em
partes que possuem seme lhança com o objeto
inicial. A geometria fractal, criada no sé culo XX,
estuda as propriedades e o comportamento
dos frac tais – objetos geométricos formados
por repeti ções de padrões similares.
O triângulo de Sierpinski, uma das formas ele -
mentares da geo metria fractal, pode ser obtido
por meio dos seguintes passos:
1. comece com um triângulo equilátero (figura 1);
2. construa um triângulo em que cada lado
tenha a metade do tamanho do lado do
triângulo anterior e faça três cópias;
3. posicione essas cópias de maneira que cada
triângulo te nha um vértice comum com um
dos vértices de cada um dos outros dois
triângulos, conforme ilustra a figura 2;
4. repita sucessivamente os passos 2 e 3 para
cada cópia dos triângulos obtidos no passo
3 (figura 3).
De acordo com o procedimento descrito, a fi -
gu ra 4 da sequên cia apresentada é
Resolução
A figura 4 será obtida retirando-se os triângulos
equilá teros “me nores”, que têm vértices nos
pontos médios dos lados de cada triângulo
azul. Portanto, será
Resposta: C
� Carlos colocou em sua barraca de cam -
ping os tirantes
—
AB, 
—
AC, 
—
PQ e 
—
PR, como aparece
na figura seguinte, pois o sistema de
meteorologia havia previsto um vendaval. Se
—
AD = 
—
AE = 
—
BD = 
—
EC e A
^
BD = A
^
CE = 28°, então,
a medida do ângulo D
^
AE é:
a) 65° b) 65° c) 67° d) 68° e) 69°
Resolução
I) A
^
DE = A
^
ED = 28° + 28° = 56°
II) No triângulo ADE, temos:
 D
^
AE + 56° + 56° = 180° ⇒ D
^
AE = 68°
Resposta: D
� (OBM) – Na figura, os dois triângulos maiores são
equiláteros. Qual é o valor do ângulo x?
a) 30° b) 40° c) 50° d) 60° e) 70°
RESOLUÇÃO:
No triângulo ABC, tem-se:
x + 60° + 80° = 180° ⇔ x = 40°
Resposta: B
75°
65°
x
Exercícios Resolvidos
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 66
67MATEMÁTICA
� (FUVEST) – Na figura, AB = BD = CD. Então:
a) y = 3x b) y = 2x c) x + y = 180°
d) x = y e) 3x = 2y
RESOLUÇÃO:
Os triângulos BAD e DBC são isósceles de bases 
—
AD e 
—
BC, respec -
ti vamente. As sim, de acor do com o teore ma do ângulo externo, nos
triân gulos BAD e CAD, têm-se, respecti vamente,
z = x + x e y = x + z.
Logo: y = x + (x + x) ⇔ y = 3x
Resposta: A
� (MACKENZIE-SP) – Na figura, AB = AC e CE = CF. A
medida de β é:
a) 90° 
b) 120°
c) 110°
d) 130° 
e) 140°
RESOLUÇÃO:
I) No triângulo CEF, isós celes, tem-se C
^
EF = C
^
FE = 40°.
II) No triângulo ABC, também isósce les, tem-se A
^
BC = A
^
CB = 80°.
III)No triângulo BDE, o ângulo exter no β é tal que 
 β = D
^
BE + D
^
EB = 80° + 40° = 120°.
Resposta: B
� 
Índios guajajaras derrubam torre 
de alta tensão no Maranhão
24/10/2007 – da Agência Folha
 Um grupo de índios da etnia guajajara derrubou anteontem
uma torre de transmissão de energia elétrica da Eletronorte
que cruza a terra indígena Cana
Brava, próxima ao município de
Barra do Corda (456 km de São
Luís), no Maranhão.
 O grupo já havia ameaçado
derrubar a torre diversas vezes,
mas esta foi a primeira vez em
que o ato foi concretizado.
 A reportagem não conseguiu
falar ontem com as lideranças
guajajaras para saber o motivo da
derrubada da torre.
 A assessoria da Funai (Fun -
dação Nacional do Índio) informou
que os índios exigem a presença
do presidente do órgão, Márcio
Meira, na aldeia, mas não apresen -
taram uma reivindi cação especí -
fica.
Na torre da figura ao lado, temos: 
AB= BC = CD = DE = EF. Se G
^
AH = 10°, então a medida do
ângulo G
^
EF é:
a) 40° b) 45° c) 50° d) 55° e) 60°
F
EB
�D
40°
C
A
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 67
68 MATEMÁTICA
RESOLUÇÃO:
Como G
^
AH = 10° e os triângulos ABC, BCD, CDE e DEF são isós -
celes, tem-se a figura a seguir:
Logo, G
^
EF = 50°
Resposta: C
� (UNESP) – Considere o triângulo ABC da figura adiante.
Se a bissetriz do ângulo B forma com a bissetriz do ângulo C
um ângulo de 50°, determine a medida do ângulo interno A.
RESOLUÇÃO:
1) No triângulo ABC, temos: 
 
^
A + 2α = 2β ⇔ ^A = 2β – 2α e assim ^A = 2(β – α)
2) No triângulo BCD, temos: 
 β = α + 50° ⇔ β – α = 50°
3) Desta forma 
^
A = 2 . 50° = 100°
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 68
69MATEMÁTICA
1. Propriedade importante 
do triângulo retângulo
 Se um triângulo está inscrito numa circun ferên cia e
um de seus la dos é um diâmetro, então o triângulo é
retângulo.
 a) AO
––
	 BO
––
	 CO
––
(raio da circunferência) 
 b) AB
^
O 	 BA
^
O, pois ΔAOB é isósceles
 
 c) AC
^
O 	 CA
^
O, pois ΔAOC é isósceles
 d) No triângulo ABC, temos: α + α + β + β = 180° ⇔
⇔ 2α + 2β = 180° ⇔ α + β = 90° ⇒
 Observação
 Num triângulo retângulo, o ponto médio da hipo te -
nusa está à mesma distância dos três vértices, pois é o
centro da circunferência circuns cri ta ao triângulo.
 Assim, a mediana relativa à hipotenusa de um triân -
gulo retângulo tem a metade da medida da referida hipo -
tenusa, ou seja 
2. Condição de existência do
triângulo
 A condição necessária e suficiente para existir um
triân gulo é que a medida de cada um de seus lados seja
menor que a soma das medidas dos outros dois.
 Se a, b, e c forem, respec tivamente, as medidas dos
lados BC
––
, AC
––
e AB
––
do triângulo ABC, então:
 
 Observação
 Se a for o maior lado, a condição neces sária e sufi -
ciente para existir o triân gulo é apenas a < b + c.
a < b + c
� b < a + c
c < a + b
BC
AM = ––––
2
BA
^
C = 90°
� (MODELO ENEM) – Sr. Norberto resol veu levar seu filho
Francisco Augusto para um “passeio maravilhoso”, uma pes ca ria! Para
que o garoto aproveitasse bem o passeio, ele não deixou seu filho levar
o PSP (vídeo game).
Depois de várias horas sem pegarem um único peixe, o garoto pegou
alguns gravetos (segmentos de reta) e resolveu montar triân gulos. As
medidas dos gravetos eram 5 cm, 7 cm, 9 cm e 12 cm. Como ele
encos tou ponta com ponta e não quebrou nenhum graveto, o número
de triângulos diferentes que ele con seguiu montar foi:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
Resolução
Com as medidas dadas, só é possível obter 3 triângulos: (5; 7; 9), 
(7; 9; 12) e (5; 9; 12).
Resposta: C
6
Palavras-chave:Triângulo retângulo e condição
de existência de um triângulo
• Existência 
• Ângulo reto
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 69
70 MATEMÁTICA
� No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
B
^
AC = 90°, M
^
AH = 20°, BM = MC e AH ⊥ BC. Os ângulos 
^
B
e 
^
C medem, respectivamente:
a) 20° e 70° b) 25° e 65° c) 30° e 60°
d) 35° e 55° e) 40° e 50°
RESOLUÇÃO:
I) Como o triângulo ABC é retângulo em A, e M é ponto médio de
—
BC, temos:
 BM = MC = AM e, portanto, M
^
BA = M
^
AB = x.
II) No ΔAHB, temos:
 x + 90° + 20° + x = 180° ⇔ x = 35°
III)No ΔABC, temos:
 x + 90° + y = 180° ⇒ 35° + 90° + y = 180° ⇔ y = 55°
Resposta: D
� (MODELO ENEM) – Os arcos de sustentação da ponte da
figura seguinte são semicircunferências de centros O e O’,
respectivamente. O cabo de aço 
—
AD é perpendicular ao plano
da ponte e o cabo 
—
AC forma 38° com o plano da ponte. A
medida do ângulo D
^
AO formado pelos cabos de aço 
—
AD e 
—
AO
é:
a) 14° b) 15° c) 16° d) 17° e) 18°
RESOLUÇÃO:
I) O triângulo ABC é retângulo em A e, portanto, OA = OB = OC.
II) No triângulo isósceles AOC, temos: O
^
AC = O
^
CA = 38° e,
portanto, D
^
OA = 38° + 38° = 76°
III)No triângulo ADO, temos:
 D
^
AO + 90° + 76° = 180° ⇔ D ^AO = 14°
Resposta: A
� (MODELO ENEM) – Pescar de novo?
Por favor, por favor, por favor nãããããããããão!
Não teve jeito, lá foi Francisco Augusto com
seu pai para uma nova pescaria, porém
desta vez a pescaria ia ser mais interessante: eles foram pescar lulas!
Depois de várias horas “se divertindo”, o garoto pegou o canivete do
pai, começou a abri-lo e fechá-lo, e observou que assim ele poderia
construir triângulos, como mostra a figura. 
Se a medida da lâmina é 5 cm e a medida do cabo é 7 cm, o número
de triângulos com lados inteiros que ele conseguiu montar foi:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
Resolução
Sendo x a medida do 3o. lado, temos:
�5 – 7� < x < 5 + 7 ⇒ 2 < x < 12 e, portanto, o número de medidas
possíveis para o terceiro lado é 9.
Resposta: C
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 70
71MATEMÁTICA
� Se x ∈ �, e os números x – 1, 2x + 1 e 10 são as medidas
dos lados de um triângulo, então o número de possíveis
valores de x é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
RESOLUÇÃO:
I. x – 1 < 2x + 1 + 10 ⇒ – x < 12 ⇒ x > – 12
II. 2x + 1 < x – 1 + 10 ⇒ x < 8
III. 10 < x – 1 + 2x + 1 ⇒ – 3x < – 10 ⇒ x > 
Fazendo a intersecção das con dições I, II e III, obtemos:
< x < 8
 
Como x ∈ �, temos 
x = 4 ou x = 5 ou x = 6 ou x = 7. 
Resposta: B
� Uma criança deseja criar triângulos utilizando
palitos de fósforo de mesmo comprimento.
Cada triângulo será cons truído com exa ta -
mente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve
ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um
triângulo construído com essas caracterís ticas.
A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a
dois que podem ser construídos é
a) 3. b) 5. c) 6. d) 8. e) 10.
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, o perímetro do triângulo será 17
palitos.
Assim, sendo x palitos a medida do maior lado do triângulo,
temos:
≤ x < e, portanto, os possíveis valores de x são 6; 7 e 8.
Como um dos lados do triângulo deve medir 6 palitos, podemos
montar a seguinte tabela:
Resposta: A 
10
–––
3
10
––––
3
17
–––
2
Maior lado Outros dois Perímetro
6 6 5 17
7 6 4 17
8 6 3 17
17
–––
3
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 71
72 MATEMÁTICA
1. Definição
 Dois triângulos são congruentes se for possível es -
tabelecer uma correspondência entre os vértices de um
e os do outro, de modo que os lados e os ângulos
correspondentes sejam, respectivamente, congruentes.
2. Critérios de congruência
 A definição de congruência exige a congruência dos
seis elementos, enquanto os critérios de congruên cia
nos permitem concluir que dois triângulos são con gruen -
tes a partir da congruência de três elementos conve nien -
tes. 
 Temos quatro critérios de congruência de triângulos:
 1o. Critério: LLL
 Dois triângulos são congruentes quando possuem
os três lados respectivamente congruentes.
 2o. Critério: LAL
 Dois triângulos são congruentes quando possuem
dois lados e o ângulo entre eles, respectivamente, con -
gruen tes.
 3o. Critério: ALA
 Dois triângulos são congruentes quando possuem
dois ângulos e o lado entre eles, respectivamente, con -
gruen tes.
 4o. Critério: LAAo
 Dois triângulos são congruentes quando possuem
um lado, um ângulo e o ângulo oposto a esse lado, res -
pec ti v a mente, congruentes.
 
 
—
AB 	
—
PQ
—
AC 	
—
PR 
 ⇒ ΔABC 	 ΔPQR—
BC 	
—
QR
—
AB 	
—
PQ
—
AC 	
—
PR 
 ⇒ ΔABC 	 ΔPQR^
A 	
^
P
ΔABC 	 ΔRPQ ⇔ �
—
AB 	
—
RP
—
BC 	
—
PQ
—
AC 	
—
RQ 
^
A 	
^
R
^
B 	
^
P
^C 	
^
Q
—
BC 	
—
QR
^
B 	
^
Q 
 ⇒ ΔABC 	 ΔPQR^
C 	
^
R
—
BC 	
—
QR
^
B 	
^
Q 
⇒ ΔABC 	 ΔPQR
^
A 	
^
P
7
Palavras-chave:
Congruência de triângulos • Congruência • LLL 
• LAL • ALA • LAAo
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 72
73MATEMÁTICA
 Observações
 a) LLA não assegura congruência.
 Na figura, os triângulos ABC e A’BC não são con -
gruentes, pois AC � A’C, embora
 b) Se dois triângulos retângulos possuem hipote nu -
sas congruentes e um dos catetos congruentes, então
eles são congruentes.
3. Teorema
 Se um triângulo ABC é isoângulo, então ele é isós -
celes.
 Demonstração 
ótese
 
 Tese {
—
AB 	
—
AC
 Seja AS
––
a bissetriz de A e, portanto, BA
^
S 	 CA
^
S.
 
Assim sendo, ⇒
 ⇒ ΔBAS 	 ΔCAS pelo critério LAAo. 
 Logo
—
AB 	
—
AC.
 Observação
 Da demonstração anterior, conclui-se que 
—
AS, além
de bissetriz, é a mediana e a altura relativa ao vértice A.
BA
^
S 	 CA
^
S
^
B 	
^
C
—
AS (lado comum)
� ΔABC isoânguloB̂ 	 Ĉ
�
BC
––
(lado comum)
C
^
(ângulo comum)
AB
–– 	 A’B–– (raio)
� A congruência de triângulos é utilizada para demonstrar várias
propriedades impor tan tes. Podemos por exemplo demonstrar que
I) se um triângulo é isósceles, então, ele é isoângulo;
II) a bissetriz do ângulo formado pelos lados congruentes de um
triângulo isósceles coincide com a altura.
Assim, a medida do ângulo C
^
AH da figura seguinte, na qual AB = AC,
—
AH é a altura relativa ao vértice A, 
—
BS é bissetriz do ângulo 
^
B e 
S
^
DH = 130°, é igual a:
a) 10° b) 12° c) 14° d) 16° e) 18°
Resolução
I) No triângulo BHD, temos:
 H
^
BD + 90° + 50° = 180° ⇒ H
^
BD = 40°
 Assim A
^
BC = 40° + 40° = 80°
II) Como AB = AC, temos:
 A
^
CB = A
^
BC = 80° e, portanto, B
^
AC = 20°
 Logo, C
^
AH = 10°, pois 
—
AH é bissetriz do ângulo B
^
AC
Resposta: A
� (UNICAMP-MODELO ENEM) – Em um aparelho experimental,
um feixe laser emitido no ponto P reflete internamente três vezes e
chega ao ponto Q, percorrendo o trajeto PFGHQ. Na figura abaixo,
considere que o com primento do segmento PB é de 6 cm, o do lado
AB é de 3 cm, o polígono ABPQ é um retângulo e os ângulos de
incidência e reflexão são congruentes, como se indica em cada ponto
da reflexão interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe
luminoso no trajeto PFGHQ?
a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 73
74 MATEMÁTICA
Resolução
1) Os triângulos PQF e QPH são congruentes pelo critério LAAo e,
portanto, 
––––
PH 	 
––––
QF.
2) Os triângulos BHG e AFG são congruentes pelo mes mo critério, pois
BH = BP – PH = AQ – QF = AF.
3) Os triângulos AFG e AFG’ são congruentes pelo critério ALA.
Desta forma: AG’ = AG = =
4) No triângulo PRG’, retângulo em R, temos:
 PG’2 = RG’2 + PR2 ⇒ PG’2 = 62 +
2
= ⇔
 ⇔ PG’ = 
 
5) Das congruências, temos:
 PF + FG + GH + HQ = 2 (PF + FG) = 
 = 2 (PF + FG’) = 2 . PG’ = 2 . = 15
Resposta: B
AB
––––
2
3
–––
2
9�–––�2
225
–––––
4
15
––––
2
15
––––
2
� Na figura, OX
→
é bissetriz de AÔ B e M ∈ OX
→
. Prove que:
AM
–––
	 BM
–––
 
RESOLUÇÃO:
OM é comum
A
^
OM 	 B
^
OM (bissetriz) 
 ⇒ LAAo ⇒ ΔMOA 	 ΔMOB ⇒ AM 	 BM
O
^
AM 	 O
^
BM (retos)
� Demonstre que num triângulo isósceles os ângulos
opostos aos lados congruentes são também congruentes.
RESOLUÇÃO:
Hipóteses
Tese: 
^
B 	 ^C
Seja M o ponto médio de BC e, portanto, 
—
BM 	 —MC.
Logo, 
^
B 	
^
C
� No qu adrilátero ABCD da figura seguinte, tem-se:
AB
––
// CD
––
e AD
––
// BC
–––
. Prove que AB
––
	 CD
––
e BC
––
	 DA
–– 
.
RESOLUÇÃO:
⇒ ALA ⇒ ΔABD 	 ΔCDB
Logo, 
—
AB 	
—
CD e 
—
BC 	
—
DA 
ΔABC é isósceles
AB 	 AC�
⇒ LLL ⇒ ΔAMB 	 ΔAMC
—
AB 	
—
AC
—
BM 	
—
MC
—
AM comum
—
BD comum
A
^
DB 	 C
^
BD (alternos internos)
A
^
BD 	 C
^
DB (alternos internos)
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 74
75MATEMÁTICA
� Pretende-se construir um mosaico com o for -
mato de um triângulo retângulo, dispondo-se
de três peças, sendo duas delas triângulos
retângulos congruentes e a terceira um triân gulo isósceles. A
figura apresenta cinco mosaicos for mados por três peças.
Na figura, o mosaico que tem as características daquele que se
pretende construir é o
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
RESOLUÇÃO:
No mosaico 1, os dois triângulos retângulos não são congruentes.
No mosaico 2, os dois triângulos retângulos são congruentes e o
terceiro é isósceles.
No mosaico 3, o terceiro triângulo não é isósceles.
Nos mosaicos 4 e 5, a figura final não é um triângulo retângulo.
O mosaico que tem as características do enunciado é o mosaico 2.
Resposta: B
� (MODELO ENEM)
Estrela gigante tem cauda do tamanho do sistema solar
Redação do Site Inovação Tecnológica – 31/07/2009
Gigante vermelha
Há pouco mais de um mês, astrônomos des cobri ram que a
supergigante vermelha Betel geuse, uma das estrelas mais
brilhantes no céu, quase 1.000 vezes maior do que o Sol, está
encolhendo misteriosamente.
Supernova
Os cientistas descobriram que a Betelgeuse tem uma espécie
de cauda, uma gigantesca emanação de gases tão grande
quanto o nosso sistema solar inteiro, além de uma espécie de
bolha fervente em sua superfície. Essas po dem ser as razões
por trás da enorme perda de massa da estrela.
Apesar de sua magnitude, Betelgeuse está-se aproximando
rapidamente do fim da sua vida. Emitindo luz equivalente a
100000 Sóis, ela perde massa rapidamente e logo deverá ex -
plodir como uma supernova. Quando isto acon tecer, a
supernova poderá ser vista da Terra mesmo à luz do dia.
http://www.inovacaotecnologica.com.br/
Para construir a estrela da figura seguinte, foram utilizados os
triân gulos ABC, ADE, AFG e AHI, que são congruentes. Se 
AB = 12 cm, AC = 5 cm e BC = 13 cm, então, o perímetro da
estrela mede:
a) 80 cm b) 90 cm c) 100 cm
d) 110 cm e) 120 cm
RESOLUÇÃO:
O perímetro da estrela mede 80 cm.
Resposta: A
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 75
76 MATEMÁTICA
1. Definição
 Consideremos, num plano, n pontos (n � 3), A1, A2,
A3, …, An, ordenados de modo que três con secutivos
não sejam colinea res.
 Chama-se polígono A1, A2, A3, …, An a figura for -
mada pela união dos n segmentos con se cu tivos:
 Região poligonal
 É a região determinada pela união do polígono com
os pontos de sua região interior. 
 Polígono convexo 
 É o polígono cuja região poli gonal é convexa.
 Observação
 Estudaremos somente polígonos convexos.
2. Nomenclatura
 De acordo com o número de lados, temos:
 Genericamente, usa-se o termo polígono de n lados.
 Observação importante
 Um polígono convexo com n lados tem n vér tices, n
ângulos internos e n ângulos externos.
3. Classificação
 Polígono equilátero
 É o polígono que tem todos os lados congruentes.
 Exemplos: Losango, quadrado etc.
 Polígono equiângulo
 É o polígono que tem todos os ângulos internos
con gruentes.
 Exemplos: Retângulo, quadrado etc.
 Polígono regular
 É o polígono que é equilátero e equiângulo simul -
taneamente.
 Exemplo: Quadrado.
4. Número de diagonais
 Chama-se diagonal de um polígono a todo segmento
de reta cujas extremidades são vértices não
consecutivos desse polígono.
 Num polígono de n lados:
 a) cada vértice dá origem a (n – 3) diagonais.
 b) os n vértices dão origem a n . (n – 3) diagonais.
 c) com este raciocínio, cada diagonal foi contada
duas vezes, pois cada uma delas é determinadapor dois
vértices.
 Assim, sendo d o número de diagonais do polígono,
temos:
 Exemplo
 O polígono convexo da
figura ao lado tem 7 lados e
cada vértice dá origem a 
7 – 3 = 4 diagonais.
 Assim, 
 
d = = 14
A1A2
––––
� A2A3
––––
� A3A4
–––––
� … � AnA1
––––
triângulo — 3 lados eneágono — 9 lados
quadrilátero — 4 lados decágono — 10 lados
pentágono — 5 lados undecágono — 11 lados
hexágono — 6 lados dodecágono — 12 lados
heptágono — 7 lados pentadecágono — 15 lados
octógono — 8 lados icoságono — 20 lados
n . (n – 3)
d = ––––––––––
 2
7 . 4
–––––
2
8 e 9
Palavras-chave:
Polígonos • Diagonais • Ângulos internos
• Ângulos externos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 76
77MATEMÁTICA
5. Soma dos ângulos internos
 Seja um polígono de n lados e P um ponto interno.
Ligando P aos vértices, obtemos n triângulos cuja soma
dos ângulos internos é 180° . n.
 Assim, sendo Si a soma dos ângulos internos do
polígono, temos
 Si = 180° . n – 360° ⇔
 
 Exemplo
A soma dos ângulos internos
do polí gono da figura é: 
6 . 180° – 360° = 720°
6. Soma dos ângulos externos
 Sejam, num polígono de n lados, ai e ae, res pec -
tivamente, as medidas de um ângulo interno e do ângulo
externo adjacente a ele, Si a soma dos ângulos internos
e Se a soma dos ângulos externos.
 Sendo ai + ae = 180° para cada um dos vértices do
polígono, temos
 Si + Se = 180° . n ⇔ Se = 180° . n – Si ⇔
 ⇔ Se = 180° . n – (n – 2) . 180° ⇔
 Observação:
 Se o polígono for equiângulo, todos os ângulos inter -
nos são congruentes e todos os ângulos externos são
congruentes e, portanto,
e
Se
ae = –––– n
Si
ai = –––– n
Se = 360°
Si = (n – 2) . 180°
� (PUCCAMP-MODELO ENEM) – A figura descreve o movimento
de um robô:
Partindo de A, ele sistemati ca men te avan ça 2 m e gira 45° para a
esquerda. Quando esse robô retornar ao ponto A, a trajetória percorrida
terá sido
a) uma circunferência. b) um hexágono regular.
c) um octógono regular. d) um decágono regular.
e) um polígono não regular.
Resolução
Quando esse robô retornar ao ponto A, terá percorrido os lados de um
polígono regular, cujo ângulo externo mede 45°. Assim, sendo n o
número de lados desse polígono, tem-se:
= 45° ⇔ n = 8
Resposta: C
� (UFSCar-MODELO ENEM) – A figura 1 representa um deter -
minado encaixe no plano de 7 ladrilhos poligonais regulares (1 hexá -
gono, 2 triângulos, 4 quadrados), sem sobreposições e cortes.
Em relação aos 6 ladrilhos triangulares colocados perfei tamente nos
espaços da figura 1, como indicado na figu ra 2, é correto dizer que
a) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo
da base medindo 15°.
b) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos isósceles de ângulo
da base medindo 30°.
c) 2 são triângulos isósceles de ângulo da base medindo 50° e 4 são
triângulos isósceles de ângulo da base medindo 30°.
d) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos retângulos isósceles.
e) 2 são triângulos equiláteros e 4 são triângulos escale nos.
Resolução
Em relação aos seis triângulos “encaixados” perfeitamente nos
espaços da figura acima, pode-se afirmar que dois deles são
equiláteros, e os demais são triângulos retângulos isós celes.
Resposta: D
360°
–––––
n
Exercícios Resolvidos – Módulos 8 e 9
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 77
78 MATEMÁTICA
� (UFSCar) – Um polígono convexo com exata mente 35
diagonais tem
a) 6 lados. b) 9 lados. c) 10 lados. 
d) 12 lados. e) 20 lados. 
RESOLUÇÃO:
= 35 ⇔ n2 – 3n – 70 = 0 
Assim: n = ⇔ n = 10, pois n > 3
Resposta: C
� (AMAN-MODELO ENEM) – O polígono convexo em que
o triplo do número de vértices é igual ao total de diagonais é o
a) eneágono. b) dodecágono. c) hexágono. 
d) heptágono. e) icoságono.
RESOLUÇÃO:
3n = d ⇔ 3n = ⇔ n – 3 = 6, pois n � 0
Assim: n = 9
Resposta: A
n . (n – 3)
–––––––––
2
3 ± 17
–––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
� Na construção civil, é muito comum a utilização de
ladrilhos ou azulejos com a forma de polígonos para
o revestimento de pisos ou paredes. Entretanto,
não são todas as combinações de polígonos que se prestam a pavi -
mentar uma superfície plana, sem que haja falhas ou superposições de
ladrilhos, como ilustram as figuras.
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regu lares, com as
respectivas medidas de seus ângulos in ter nos.
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um deles
octogonal, o outro tipo esco lhido deverá ter a forma de um
a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono.
d) hexágono. e) eneágono.
Resolução
Para que não haja falhas, ou superposição de ladrilhos, a soma dos
ângulos internos dos ladrilhos, em torno do vértice comum, deve ser
igual a 360°.
Assim, se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos, sendo um deles oc to gonal, o outro tipo
escolhido deverá ser qua dra do, pois 360° = 135° + 90° + 135° e, então,
em torno do mes mo vér tice, teremos dois ladrilhos octo go nais e um
qua dra do.
Resposta: B
Exercícios Propostos – Módulo 8
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 78
79MATEMÁTICA
� Cada um dos ângulos externos de um polígono re gu lar
mede 15°. Quantas diagonais tem esse polígono?
RESOLUÇÃO:
I) ae = ⇒ 15° = ⇔ n = 24 
II) d = ⇒ d = = 252 
� (USF-MODELO ENEM) – O polígono regular cujo ângulo
interno mede o triplo do ângulo externo é o
a) pentágono b) hexágono c) octógono
d) decágono e) dodecágono
RESOLUÇÃO:
^ai = 3 . 
^ae ⇔ = 3 . ⇔ n – 2 = ⇔ 
⇔ n – 2 = 6 ⇔ n = 8
Resposta: C
� Um polígono regular de m lados pode ser
“envol vido” por, exatamente, m polígonos
regulares con gruen tes de n lados.
Os exemplos da figura mostram que para m = 4 resulta n = 8
e para m = 6 obtém-se n = 6.
Para m = 10 o polígono regular de n lados será o 
a) decágono b) octógono c) pentágono
d) quadrado e) triângulo
RESOLUÇÃO:
I) Para m = 10, cada ângulo interno mede
 = = 144°
 
II) Sendo α o ângulo interno do polígono de n lados, temos:
 α + α + 144° = 360° ⇔ 2α = 360° – 144° ⇔
 ⇔ 2α = 216° ⇔ α = 108°
 
III)Se ai = 108° ⇒ ae = 72° = ⇔ n = 5
Resposta: C
(n – 2)180°
––––––––––
n
360°
–––––
n
3 . 360°
–––––––
180°
n(n – 3)
–––––––––
2
24 . 21
–––––––––
2
360°
–––––
n
360°
–––––
n
(10 – 2) . 180°
–––––––––––––
10
8 . 180°
––––––––
10
360°
–––––
n
� (UNIFOA) – Três polígonos convexos têm n, n + 1 e n + 2
lados, respectivamente. Se a soma de todos os ângulos inter -
nos dos três polígonos é de 2700°, então n é igual a
a) 6 b) 7 c) 5 d) 4 e) 8
RESOLUÇÃO:
(n – 2) . 180° + (n + 1 – 2) . 180° + (n + 2 – 2) . 180° = 2700° ⇔
⇔ (n – 2) . 180° + (n – 1) . 180° + n . 180° = 2700° ⇔
⇔ n – 2 + n – 1 + n = 15 ⇔ 3n = 18 ⇔ n = 6
Resposta: A 
Exercícios Propostos – Módulo 9
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 79
80 MATEMÁTICA
� (ITA-SP) – A soma das medidas dos ângulos internos de
um polígono regular é 2160°. Então o número de diagonais
desse polígono, que não passam pelo centro da circunferência
que o circunscreve, é:
a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90
RESOLUÇÃO:
Sendo n o número total de lados do polígono regular (n par), d
o número total de diagonais desse polígono, p o número de
diagonais que passam pelo centro da circunferência circunscrita e
q o número de diagonais que não passam por este centro, tem-se:
I) (n – 2)180° = 2160° ⇔ n = 14
II) d = = = 77
III) p = = = 7
IV) q = d – p
Assim, q = 77 – 7 ⇔ q = 70
Resposta:C
� (FGV-MODELO ENEM) – Analise as instruções a seguir:
I. Andar 4 metros em linha reta.
II. Virar x graus à esquerda.
III. Andar 4 metros em linha reta.
IV. Repetir y vezes os comandos II e III.
Se as instruções são utilizadas para a cons trução de um pentá -
go no regular, pode-se afir mar que o menor valor positivo de x.y
é
a) 144 b) 162 c) 216 d) 288 e) 324
RESOLUÇÃO:
A medida de cada ângulo externo âe do pentágono regular é
= 72°.
Assim, partindo-se do ponto P, após realizar a instrução I, 
chega-se ao ponto Q. Após as instruções II e III, chega-se ao ponto
R. Repetindo-se as instruções II e III, 3 vezes, como mostra a figura
a seguir, obtém-se o pentágono regular pela primeira vez.
Logo x = 72 e y = 3 e portanto x . y = 72 . 3 = 216
Resposta: C
� 
Disponível em: http://www. diaadia.pr.gov.br. 
Acesso em: 28 abr. 2010 
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por
rotações, em torno de seu centro, de
a) 45°. b) 60°. c) 90°. d) 120°. e) 180°.
RESOLUÇÃO:
Para que 
⎯→
Ox coincida com 
⎯→
Oy, 
⎯→
Oy coincida com 
⎯→
Oz e finalmente,
⎯→
Oz coincida com 
⎯→
Ox, o ângulo de rotação �, em torno do centro
O do polígono, deve ser tal que: 
� + � + � = 360° ⇔ � = 120°
Resposta: D
360°
––––––
5
14
––––
2
n
–––
2
14(14 – 3)
––––––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
x z
y xz y
� �
�
� �
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 80
81MATEMÁTICA
 Alguns quadriláteros que possuem propriedades par -
ticulares são chamados quadriláteros notáveis.
 Vamos estudar, a seguir, os quadriláteros notáveis e
suas propriedades.
1. Trapézio
 Trapézio é todo quadrilátero que possui dois lados
paralelos.
 Os lados AB
––
e CD
––
(AB
––
// CD
––
) são as bases do tra -
pézio da figura.
 Os lados AD
––
e BC
––
são chamados lados trans ver -
sais ou lados transversos.
 No trapézio, ângulos adjacentes a um mesmo lado
transverso são suplementares.
 No trapézio da figura, temos:
 α + β = 180° e γ + δ = 180°
 Observações
 a) Trapézio isósceles é aquele que possui os lados
transversais congruentes.
 b) Trapézio retângulo é aquele que possui um ân -
gulo reto.
2. Paralelogramo
 Paralelogramo é todo quadrilátero que possui la -
dos opostos paralelos.
 Nos paralelogramos, valem as seguintes proprie da -
des:
 a) os lados opostos são congruentes.
 b) os ângulos opostos são congruentes.
 c) as diagonais se cortam em seus respectivos
pontos médios.
3. Retângulo
 Retângulo é todo paralelogramo que possui um
ângulo reto.
 Nos retângulos, além das propriedades dos parale -
logramos, valem as seguintes propriedades:
 a) as diagonais são congruentes.
 b) os quatro ângulos são retos.
4. Losango
 Losango é todo paralelogramo que possui dois
lados adjacentes congruentes.
—
AB // 
—
CD e 
—
AD // 
—
BC
Todo paralelogramo é um tra pézio, 
pois tem dois lados pa ra lelos.
Todo retângulo é um para le logramo 
e, por tan to, tam bém é um trapézio.
Todo losango é um para lelogramo 
e, por tanto, também é um trapézio.
10 e 11
Palavras-chave:
Quadriláteros notáveis • Trapézio • Paralelogramo• Retângulo • Losango 
• Quadrado
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 81
82 MATEMÁTICA
 Nos losangos, além das propriedades dos paralelo -
gramos, valem as seguintes propriedades:
 a) as diagonais estão nas bissetrizes dos ângulos
internos.
 b) as diagonais são perpendiculares.
 c) os quatro lados são congruentes.
5. Quadrado
 Quadrado é todo quadrilátero que é retângulo e
losango ao mesmo tempo.
 No quadrado, valem todas as propriedades do retân -
gulo e todas as propriedades do losango.
Todo quadrado é re tân gulo e losango e, 
por tanto, tam bém é pa rale logramo e trapézio.
� Na literatura de cordel, os textos são impressos, em geral, com 8, 16, 24 ou 32 páginas de formato 10,5 cm x 15,5 cm. As razões
históricas que explicam tal fato estão relacionadas à forma artesanal como são montadas as publicações e ao melhor
aproveitamento possível do papel disponível. Considere, a seguir, a confecção de um texto de cordel com 8 páginas (4 folhas):
Seguindo o processo representado, pode-se produ zir um exemplar de cordel com 32 páginas de 10,5 cm x 15,5 cm, com o menor gasto possível
de material, utilizando uma única folha de
a) 84 cm x 62 cm b) 84 cm x 124 cm c) 42 cm x 31 cm d) 42 cm x 62 cm e) 21 cm x 31 cm
Resolução
Para produzir um exemplar de cordel com 32 páginas, são necessárias 16 folhas de 10,5 cm x 15,5 cm dispostas como na figura seguinte, na qual
as medidas estão em centímetros:
A folha mais econômica deverá ter 42 cm por 62 cm e ser dobrada como se
segue:
Resposta: D
Exercícios Resolvidos – Módulos 10 e 11
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 82
83MATEMÁTICA
� (UNESP-SP) – A afirmação falsa é:
a) Todo quadrado é um losango.
b) Existem retângulos que não são losangos.
c) Todo paralelogramo é um quadrilátero.
d) Todo quadrado é um retângulo.
e) Um losango pode não ser um paralelogramo.
RESOLUÇÃO:
Todo losango é um paralelogramo com os lados todos con -
gruentes.
Resposta: E
� (UNESP-MODELO ENEM) – A sequência de configu rações inicia -
da a seguir dá origem a um fractal, obtido em estágios da seguinte
maneira: (i) Começa-se com um quadrado de lado 1, no estágio 0; (ii) O
estágio n + 1 é obtido a partir do estágio n, dividindo-se cada lado em
três partes iguais, construindo-se externamente sobre a parte central
um quadrado e suprimindo-se, então, a parte central. 
Com base nessa descrição, o perímetro da figura, à direita, referente
ao estágio de número 2, é
a) 15 b) c) 10 d) 
 
e) 
Resolução
Como pode ser observado na sequência de figuras acima, o perímetro
da figura 2 é:
4 . + 8 . 4 . = 
Resposta: B
� Um terreno retangular de lados cujas medidas, em
metro, são x e y será cercado para a construção de
um parque de diversões. Um dos lados do terreno
encontra-se às margens de um rio. Observe a figura.
Para cercar todo o terreno, o proprietário gastará R$ 7 500,00. O ma -
terial da cerca custa R$ 4,00 por metro para os lados do terreno
paralelos ao rio, e R$ 2,00 por metro para os demais lados.
Nessas condições, as dimensões do terreno e o custo total do material
podem ser relacionados pela equação
a) 4(2x + y) = 7 500 b) 4(x + 2y) = 7 500
c) 2(x + y) = 7 500 d) 2(4x + y) = 7 500
e) 2(2x + y) = 7 500
Resolução
Supondo que o lado que está na margem do rio também seja cercado,
temos:
4 . (x + x) + 2 . (y + y) = 7500 ⇔ 8x + 4y = 7500 ⇔ 4(2x + y) = 7500
Obs.: Se o lado situado à margem do rio não for cercado, a relação
seria 4x + 4y = 7500.
Resposta: A
100
––––
9
1
––––
9
17
––––
9
15
––––
2
75
––––
8
100
––––
9
Exercícios Propostos – Módulo 10
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 83
84 MATEMÁTICA
� (CESGRANRIO) – Em um trapézio retângulo, o menor
ângulo mede 35°. O maior ângulo desse polígono mede:
a) 155° b) 150° c) 145° d) 142° e) 140°
RESOLUÇÃO:
x + 35° = 180° ⇔ x = 145°
Resposta: C
� O proprietário de um restaurante deseja
comprar um tampo de vidro retangular para a
base de uma mesa, como ilustra a figura
Sabe-se que a base da mesa, considerando a borda externa,
tem a forma de um retângulo, cujos lados medem 
AC = 105 cm e AB = 120 cm.
Na loja onde será feita a compra do tampo, existem cinco tipos
de opções de tampos, de diferentes dimensões, e todos com
a mesma espessura, sendo:
Tipo 1: 110 cm x 125 cm 
Tipo 2: 115 cm x 125 cm
Tipo 3: 115 cm x 130 cm 
Tipo 4: 120 cm x 130 cm
Tipo 5: 120 cm x 135 cm
O proprietário avalia, para comodidade dos usuários, que se
deve escolher o tampo de menor área possível que satisfaçaa
condição: ao colocar o tampo sobre a base, de cada lado da
borda externa da base da mesa, deve sobrar uma região,
correspondendo a uma moldura em vidro, limitada por um
mínimo de 4 cm e máximo de 8 cm fora da base da mesa, de
cada lado.
Segundo as condições anteriores, qual é o tipo de tampo de
vidro que o proprietário avaliou que deve ser escolhido?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
RESOLUÇÃO:
1) 105 + 2 . 4 < AC < 105 + 2 . 8 ⇔ 113 < AC < 121
2) 120 + 2 . 4 < AB < 120 + 2 . 8 ⇔ 128 < AB < 136
3) Dos 5 tipos apresentados os únicos que satisfazem (1) e (2) são
os tipos 3, 4 e 5.
4) Dos três tipos possíveis, o de menor área é o tipo 3.
Resposta: C
x
35°
C D
A B
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 84
85MATEMÁTICA
� O losango representado na Figura 1 for for -
ma do pela união dos centros das quatros
cirunferências tan gentes, de raios de mesma
medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em
vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a con figu -
ração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilus -
trada pela Figura 2.
O perímetro do losango da Figura 2, quando compararado ao
perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de
a) 300%. b) 200%. c) 150%. 
d) 100%. e) 50%.
RESOLUÇÃO:
Na figura 1, o perímetro do losango é 8r.
Na figura 1, o perímetro do losango é 12r.
O aumento do perímetro foi de 4r, ou seja, 50%.
Resposta: E
Exercícios Propostos – Módulo 11
� (UNIP-MODELO ENEM) – O quadrilátero ABCD da figura
seguinte é um quadrado e o triângulo CDE é equilátero. A
medida θ do ângulo D
^
BE é igual a:
a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 35°
RESOLUÇÃO:
O triângulo CBE é isós ce les de base BE, pois BC = CE.
Assim, sendo α a medida, em graus, de cada um dos ângulos
internos da base desse triângulo, temos:
I) α + α + 90° + 60° = 180° ⇔ α = 15°
II) θ + α = 45°
Assim: θ + 15° = 45° ⇔ θ = 30°
Resposta: D
�
�
45°
60°
A D
CB
E
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 85
86 MATEMÁTICA
� (UDESC-MODELO ENEM) – No paralelogramo ABCD,
conforme mostra a figura, o segmento 
–
CE é a bissetriz do
ângulo D
^
CB.
Sabendo-se que AE = 2 e AD = 5, então o valor do perímetro
do paralelogramo ABCD é:
a) 26 b) 16 c) 20 d) 22 e) 24
RESOLUÇÃO:
1) No paralelogramo ABCD tem-se:
 AB = CD e BC = AD = 5
2) No triângulo isósceles BEC tem-se:
 BE = BC = 5
 Assim, CD = AB = AE + BE = 2 + 5 = 7
 Logo, o perímetro do paralelogramo ABCD é dado por:
 AB + BC + CD + DA = 7 + 5 + 7 + 5 = 24
Resposta: E
� (MACKENZIE) – No trapézio da figura, PN = PQ. Então, o
ângulo α mede:
a) 64° b) 68° c) 72° d) 76° e) 80°
RESOLUÇÃO:
Assim:
+ 2α = 180° ⇔ 5α = 360° ⇔ α = 72°
Resposta: C 
�
P Q
4
4 NM
4
�
P Q
4
4 NM
4
�
�
�
�
 α
α = 2β ⇔ β = ––
 2
β + 2α = 180°
�
α
–––
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 86
87MATEMÁTICA
� Uma pessoa possui um espaço retangular de
lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e
pretende fazer um pomar doméstico de
maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que
as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma
única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre
elas e entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que
conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar
se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado
de maior extensão.
O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar
no espaço disponível é
a) 4. b) 8. c) 9. d) 12. e) 20.
RESOLUÇÃO:
I) Considerando o retângulo PQRS que representa o terreno e
lembrando que cada muda deverá ser plantada a pelo menos
três metros da lateral do terreno, nenhuma muda poderá ser
plantada fora da área do retângulo ABCD. Desta forma, é
possível plantar 9 mudas,
 A saber, em A, B, E, F, G, H, I, J e K.
II) Observe que, em metros,
 
AE = AF = ������(5,5)2 + 32 
 3,13 e
 MK = 5 . ME = 5 . 1,5 = 7,5 < 8
Resposta: C
11,5 5,5
3
3
3
3 3 1,5
3
3
3
7,5
0,5
3 3
8
14
P S
A G J D
M
E
N
H
Q
KK
F IB C
Q
R
1
–––
2
1
–––
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 87
88 MATEMÁTICA
1. Teorema de Tales
 Se duas retas são transversais de um feixe de retas
paralelas, então a razão entre as medidas de dois seg -
mentos quaisquer de uma delas é igual à razão entre as
medidas dos segmentos correspondentes da outra.
 Assim, na figura, temos:
2. Teorema da bissetriz interna
 Em todo triângulo, a bissetriz de um ângulo interno
determina no lado oposto dois segmentos proporcionais
aos lados desse ângulo.
 Na figura, temos:
3. Teorema da bissetriz externa
 Quando a bissetriz de um ângulo externo de um
triân gulo intercepta a reta que contém o lado oposto,
ficam determinados, nesta reta, dois segmentos pro por -
cionais aos lados desse triângulo.
 Na figura, temos:
AB AC
–––– = ––––
BS CS
AB AC
–––– = ––––
BS CS
AB PQ AC PR 
 –––– = –––– ou –––– = –––– ou
CD RS BD QS 
AD PS 
–––– = –––– ou …
AB PQ
� (UNIRIO – MODELO ENEM) No desenho ao lado apresen ta do, as fren tes
para a rua A dos quar teirões I e II me dem, res -
pec ti va men te, 250 m e 200 m, e a frente do
quarteirão I para a rua B mede 40 m a mais do
que a frente do quar teirão II para a mesma rua.
Sendo assim, pode- se afirmar que a medida,
em metros, da frente do menor dos dois quar -
teirões para a rua B é:
a) 160 b) 180 c) 200 
d) 220 e) 240
Resolução
12
Palavras-chave:
Linhas proporcionais • Teorema de Tales • Bissetriz
interna • Bissetriz externa 
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 88
89MATEMÁTICA
� (UnB) – Considere a figura abaixo. Sabendo-se que os
segmentos AB
–––
, BC
–––
e A’B’
–––
têm comprimentos 4 cm, 2 cm e 
8 cm, respec tivamente, determine o comprimento do seg -
mento B’C’
–––
.
RESOLUÇÃO:
= ⇒ = ⇔ 4B’C’ = 16 ⇔ B’C’ = 4
Resposta: 4 cm 
� (UNICAMP) – A figura mostra um segmento AD dividido
em três partes: AB = 2 cm, BC = 3 cm e CD = 5 cm. O
segmento AD’ mede 13 cm e as retas BB’ e CC’ são paralelas
a DD’. Determine os com pri mentos dos segmentos AB’, B’C’
e C’D’.
RESOLUÇÃO:
Para todas as medidas em centímetros, tem-se:
I. = ⇔ = ⇔ AB’ = 2,6 
II. = ⇔ = ⇔ B’C’ = 3,9 
III. = ⇔ = ⇔ C’D’ = 6,5 
AB’
––––
AD’
AB
––––
AD
AB’
––––
13
2
–––
10
B’C’
–––––
AD’
BC
––––
AD
B’C’
–––––
13
3
–––
10
C’D’
–––––
AD’
CD
––––
AD
C’D’
–––––
13
5
–––
10
AB
––––
BC
A’B’
––––––
B’C’
4
–––
2
8
–––––
B’C’
De acordo com o Teorema linear de Tales, 
tem-se
 250 x + 40 
––––– = –––––––– ⇔ x = 160
200 x
Resposta: A
� (MODELO ENEM) – No mapa da figura
seguinte, estão representadas as cidades A, B
e C, bem como as estradas retilíneas que ligam
as três cidades. As distâncias entre as cidades
AB, AC e BC medem, respectivamente, 18 km,
14 km e 16 km. No ponto P, será construído um
posto de gasolina. Se 
—
AP é bissetriz do ângulo
B
^
AC, a distância da cidade B até o posto será:
a) 7 km b) 8 km c) 9 km
d) 10 km e) 11 km 
Resolução
Do teorema da bissetriz do ângulo interno do
triângulo, temos:
= ⇒ 14x = 18 . (16 – x) ⇒ x = 9 km
Resposta: C
14
––––––
16 – x
18
–––
x
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 89
90 MATEMÁTICA
� (UnB) – Determine o valor de x, com os dados da figura
abaixo, na qual r, s e t são retas paralelas.
RESOLUÇÃO:
Do Teorema de Tales, temos:
= ⇔
⇔ (x + 20) . (x – 18) = (x + 10) . (x – 16) ⇔ x = 25
Resposta: x = 25
� (CESGRANRIO-MODELOENEM) – No triângulo ABC da
figura, 
—
CD é a bissetriz do ângulo interno de vértice C. Se 
AD = 3 cm, DB = 2 cm e AC = 4 cm, então o lado 
—
BC mede,
em centí metros:
a) 3 b) c) d) e) 4 
RESOLUÇÃO:
De acordo com o teorema da bissetriz interna, tem-se: 
=
Assim: = ⇔ BC = 
Resposta: D
� (FGV) – Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, 
AB = 15 cm e BC = 14 cm.
Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o 
quociente é igual a
a) 0,3 b) 0,35 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,5
RESOLUÇÃO:
I) No triângulo ABC fazendo BQ = x, temos:
 
= ⇒ = ⇔ 4x = 42 – 3x ⇔
 ⇔ 4x + 3x = 42 ⇔ 7x = 42 ⇔ x = 6 ⇒ BQ = 6 cm
II) No triângulo ABQ, temos:
 
= ⇒ = ⇔ = ⇔
 ⇔ = = 0,4 
 
Resposta: C
x + 20
––––––––
x – 16
x + 10
–––––––
x – 18
5–––
2
AC
––––
AD
BC
––––
DB
4
–––
3
BC
––––
2
8
–––
3
QR
––––
AR
AB
–––––
BQ
AC
–––––
CQ
15
–––
x
20
–––––––
14 – x
AB
–––––
AR
BQ
–––––
QR
15
–––
AR
6
–––
QR
QR
–––
AR
6
–––
15
QR
–––
AR
2
–––
5
A B
C
D
7–––
2
8–––
3
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 90
91MATEMÁTICA
1. Semelhança de triângulos
 Definição
 Dois triângulos são semelhantes se, e somente se,
possuem os três ângulos ordenadamente congruentes
e os lados correspondentes proporcionais.
 A semelhança entre os triângulos ABC e PQR será
simbolicamente indicada por:
 Assim, temos:
 O número k é denominado razão de semelhança
dos triângulos.
 Se k = 1, então os triângulos são congruentes.
 Observações
 a) Para indicarmos a semelhança dos triângulos, a
escolha da ordem dos vértices do primeiro triângulo é
qual quer, porém a ordem dos vértices do segundo obe -
dece à mesma sequência do primeiro.
 Assim, nas figuras, teremos:
 ΔABC ~ ΔPQR ou ΔCAB ~ ΔRPQ ou 
 ΔBCA ~ ΔQRP ou …
 b) Para facilitar a resolução de pro ble mas envol -
vendo semelhança, é interes san te destacar os triângulos
seme lhan tes.
2. Critérios de semelhança
 Os critérios de semelhança permitem concluir que
dois triângulos são semelhantes a partir de duas ou três
condições apenas.
 1o. Critério: (AA�)
 “Se dois triângulos possuem dois ângulos ordena da -
mente congruentes, então são semelhantes.”
 
2o. Critério: (LAL�)
 “Se dois triângulos possuem dois lados correspon -
dentes ordenadamente propor cionais e se o ângulo com -
pre endido entre esses lados for congruente, então os
triângulos são semelhantes.”
 3o. Critério: (LLL�)
 “Se dois triângulos têm os três lados correspon den -
tes ordenadamente proporcionais, então os triângulos
são semelhantes.”
 A
^ 	 P^; B^ 	 Q^; C^ 	 R^
ΔABC � ΔPQR ⇔ � AB BC AC –––– = –––– = –––– = k
 PQ QR PR
ΔABC � ΔPQR
A
^
	 P
^
 
 ⇒ ΔABC � ΔPQR
B
^
	 Q
^
 
^
B 	
^
Q
 
 ⇒ ΔABC � ΔPQRAB BC – ––– = ––––
 PQ QR
13 a 15
Palavras-chave:
Semelhança de triângulos • Ângulos congruentes
• Lados proporcionais
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 91
92 MATEMÁTICA
 
 
 Observação
 Se a razão de semelhança de dois triângulos é k,
então a razão entre dois elementos lineares corres -
pon dentes quaisquer é k.
 Exemplo 
 Se a razão de semelhança de dois triângulos é 2,
então a razão entre as medianas correspondentes é 2, a
razão entre as alturas correspondentes é 2 etc.
3. Polígonos semelhantes
 Dois polígonos são semelhantes quando possuem o
mesmo número de lados e é possível estabelecer uma
correspondência entre seus vértices tal que os ângulos
correspondentes sejam côngruos e os lados correspon -
dentes, proporcionais.
 Assim, se os polígonos das figuras são semelhan -
tes, temos:
 Observações
 a) Dois polígonos semelhantes podem ser decom -
postos no mesmo número de triângulos semelhantes.
 b) Em polígonos semelhantes, todas as medidas de
segmentos correspondentes estão na mesma razão,
que é a razão de semelhança.
 c) A razão entre os perímetros de dois polígonos
semelhantes é igual à razão de semelhança entre os polí -
gonos.
a b e
––– = ––– = … = ––– = k
a’ b’ e’
AB BC AC
–––– = –––– = –––– ⇒ ΔABC � ΔPQR
PQ QR PR
� (ETEC-SP-MODELO ENEM) – Leia o texto a seguir:
Tales, o grande matemático do século VI a.C., foi também um próspero
comerciante. Certa vez, visitou o Egito em viagem de negócios. Nessa
ocasião, ele assombrou o faraó e toda a corte egípcia, medindo a altura
da pirâmide de Quéops, cuja base é um qua drado de 230 metros de
lado.
Para calcular a altura da pirâmide, Tales fincou ver ticalmente no solo
uma estaca que ficou com altura de 1 metro acima do solo.
As medidas dos comprimentos da sombra da pirâmide e da sombra da
estaca são, respectivamente, 255 me tros e 2,5 metros.
(Adaptado de: JAKUBOVIC, J., CENTURION, M. e LELLIS, M.C.
Matemática na Medida Certa. Volume. São Paulo: Scipione)
Com base nas informações do texto, é válido afirmar que a altura da
pirâmide, em metros, é
a) 14,80 b) 92,50 c) 148 d) 925 e) 1 480
Resolução
Como os raios solares são paralelos, os triângulos da figura são
semelhantes.
b = 230 m ⇒ sP + = (255 + 115)m = 370 m
⇒ HP = 148 m 
Resposta: C
HP HE
–––––––––– = –––––
b sEsP + –––2
b
–––
2
HP 1,0
––––– = –––––
370 2,5
Exercícios Resolvidos – Módulos 13 a 15
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 92
93MATEMÁTICA
� (UFPR – MODELO ENEM) – Em uma rua, um ônibus com 12 m
de comprimento e 3 m de altura está parado a 5 m de distância da base
de um semáforo, o qual está a 5 m do chão. Atrás do ônibus, para um
carro, cujo motorista tem os olhos a 1 m do chão e a 2 m da parte
frontal do carro, conforme indica a figura abaixo. Determine a menor
distância (d) que o carro pode ficar do ônibus de modo que o motorista
possa enxergar o semáforo inteiro.
a) 13,5 m b) 14,0 m c) 14,5 m
d) 15,0 m e) 15,5 m 
Resolução
Da semelhança entre os triângulos retângulos da figura, tem-se:
= ⇔ 2d + 4 = d + 19 ⇔ 2d – d = 19 – 4 ⇔ d = 15 
Resposta: D
d + 19
–––––––
d + 2
4
––
2
� (UNESP-SP) – Um observador situado num ponto O,
localizado na margem de um rio, precisa determinar sua
distância até um ponto P, localizado na outra margem, sem
atravessar o rio. Para isso, marca, com estacas, outros pontos
do lado da margem em que se encontra, de tal forma que P, O
e B estão alinhados entre si e P, A e C também. Além disso, OA
é paralelo a BC, OA = 25 m, BC = 40 m e OB = 30 m, conforme
figura. 
A distância, em metros, do obser vador em O até o ponto P é:
a) 30 b) 35 c) 40 d) 45 e) 50
RESOLUÇÃO:
Como 
→
OA é paralelo a 
→
BC, os triân gulos POA e PBC são se melhan -
tes e, por tanto:
= ⇒ = ⇔ PO = 50 m
Resposta: E
� (UNESP-MODELO ENEM) – Um obelisco de 12 m de
altura projeta,num certo momento, uma sombra de 4,8 m de
extensão. Calcule a distância máxima que uma pessoa de 
1,80 m de altura poderá se afastar do centro da base do
obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar total -
mente na sombra.
RESOLUÇÃO:
= ⇔ 1,8 . 4,8 = 12 . (4,8 – x) ⇔ 1,8 . 0,4 = 4,8 – x ⇔
⇔ 0,72 = 4,8 – x ⇔ x = 4,08
Resposta: 4,08 m
B C
A
rio
O
P
25 m
–––––
40 m
PO
––––––––––
PO + 30 m
OA
––––
BC
PO
––––
PB
4,8 – x
–––––––
4,8
1,8
––––
12
Exercícios Propostos – Módulo 13
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 93
94 MATEMÁTICA
� Os ângulos C
^
EA e C
^
BD da figura seguinte são con gruen -
tes. Se AB = CE = 9 cm e DE = 5 cm, então a medida, em
centímetros, do segmento 
—
BC é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 3���5RESOLUÇÃO:
Os triângulos BCD e ECA são semelhantes pelo critério (AA~).
Assim:
= ⇒ = ⇔ x2 + 9x – 36 = 0 ⇒
⇒ x = 3, pois x > 0
Resposta: A 
� O gráfico mostra o número de favelas no mu -
ni cípio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse número
entre os anos considerados é linear.
Favela Tem Memória. Época. N.o 621, 12 abr. 2010 (adaptado).
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos
próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010
é 968, então o número de favelas em 2016 será
a) menor que 1 150.
b) 218 unidades maior que em 2004.
c) maior que 1 150 e menor que 1 200.
d) 177 unidades maior que em 2010.
e) maior que 1 200.
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado, sendo x o número de favelas em
2016, temos:
x – 750 = 2 . 218 ⇒ x = 1186
Resposta: C
B
C D E
A
4
––––––
x + 9
x
–––
9
CD
––––
CA
BC
––––
EC
750
968
2004 2010 2016
x
218
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 94
95MATEMÁTICA
� (MACKENZIE) – Na figura, ABCD é um quadrado inscrito no
triângulo EFG. Se a medida de 
—
FG é 10, o perímetro do
quadrado é:
a) 20 b) 15 c) 18 d) 16 e) 17
RESOLUÇÃO:
ABCD é um quadrado ⇒
→
AD // 
→
BC ⇒ ΔEAD � ΔEFG ⇒
⇒ = ⇔ 60 – 10x = 6x ⇔ x = .
Assim sendo, o perímetro do quadrado ABCD é:
4x = 4 . = 15 
Resposta: B
� (FUVEST-SP) – O triângulo ABC tem altura h e base b (ver
figura). Nele está inscrito o retângulo DEFG, cuja base é o
dobro da altura. Nessas condições, a altura do retân gulo, em
função de h e b, é dada pela fórmula:
a) b) c) 
d) e) 
RESOLUÇÃO:
Os triângulos ABC e ADG são semelhantes pelo critério (AA~).
Assim, suas bases e suas alturas são, respectiva mente, propor -
cionais.
Logo, = ⇔ 2hx = bh – bx ⇔
⇔ (2h + b) x = bh ⇔
Resposta: D
6 – x
–––––
6
x
–––
10
15
–––
4
15
–––
4
bh
––––––
h + b
2bh
––––––
h + b
bh
–––––––
h + 2b
bh
––––––
2h + b
bh
–––––––
2(h + b)
2x
––––
b
h – x
––––––
h
b h
x = ––––––
2h + b
Exercícios Propostos – Módulo 14
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 95
96 MATEMÁTICA
� A sombra de uma pessoa que tem 1,80 m
de altura me de 60 cm. No mesmo
momento, a seu lado, a sombra projetada
de um poste mede 2,00 m. Se, mais tarde, a sombra do poste
diminuiu 50 cm, a sombra da pessoa passou a medir:
a) 30 cm b) 45 cm c) 50 cm 
d) 80 cm e) 90 cm
RESOLUÇÃO:
No instante em que a sombra de uma pessoa (que tem 180 cm de
altura) mede 60 cm, a sombra de um poste (que tem h cm de
altura) mede 200 cm.
Assim sendo:
Se, mais tarde, a sombra do poste (que tem 600 cm de altura) pas -
sou a medir 150 cm (pois diminuiu 50 cm), en tão, sendo s cm a
medida da nova sombra da mes ma pessoa, teremos:
Resposta: B
� A rampa de um hospital tem na sua parte mais
elevada uma altura de 2,2 metros. Um
paciente ao caminhar sobre a rampa percebe
que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8
metro.
A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar
para atin gir o ponto mais alto da rampa é
a) 1,16 metros. b) 3,0 metros. c) 5,4 metros.
d) 5,6 metros. e) 7,04 metros.
RESOLUÇÃO:
Da semelhança entre os triângulos ABD e ACE, pode-se concluir
que:
=
Assim:
= ⇔ 3,2 + x = 8,8 ⇔ x = 5,6
Portanto, a distância que o paciente ainda deve caminhar para
atingir o ponto mais alto da rampa é 5,6 metros.
Resposta: D
AB
––––
AC
BD
––––
CE
3,2
––––––––
3,2 + x
0,8
––––
2,2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:28 Página 96
97MATEMÁTICA
� (FGV) – Dados AB = 18 cm, AE = 36 cm e DF = 8 cm, e
sendo o quadrilátero ABCD um paralelogramo, o com pri mento
de BC, em cm, é igual a
a) 20 b) 22 c) 24 d) 26 e) 30
RESOLUÇÃO:
De acordo com o enunciado temos:
^
A 	
^
C, C
^
BF 	 D
^
EF e CF = 10 cm, pois CD = 18 cm e DF = 8 cm.
Os triângulos ABE e CFB são semelhantes, e portanto
= ⇒ = ⇔ BC = 20 cm
Resposta: A
10 cm
––––––––
18 cm
BC
––––––––
36 cm
CF
–––––
AB
BC
–––––
EA
� (UNESP) – Na figura, B é um ponto do segmento de reta
––
AC e os ângulos D
^
AB, D
^
BE e B
^
CE são retos.
Se AD = 6 dm, AC = 11 dm e EC = 3 dm, as medidas possíveis
de 
––
AB, em dm, são:
a) 4,5 e 6,5. b) 7,5 e 3,5. c) 8 e 3.
d) 7 e 4. e) 9 e 2.
RESOLUÇÃO:
Os triângulos ABD e CEB são semelhantes pelo critério (AA~).
Assim:
= ⇒ = ⇔ x2 – 11x + 18 = 0 ⇔ x = 9 ou x = 2.
Resposta: E
A B C
D
E
AB
–––
CE
AD
–––
CB
x
––
3
6
––––––
11 – x
Exercícios Propostos – Módulo 15
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 97
98 MATEMÁTICA
� As diagonais AC
–––
e BD
–––
de um quadrilátero medem,
respectivamente, 8 cm e 12 cm. O perímetro do quadri látero
com extremos nos pontos médios dos lados do quadrilátero
ABCD é:
a) 12 cm b) 16 cm c) 20 cm 
d) 24 cm e) 28 cm
RESOLUÇÃO:
⇒ 2p = PQ + RS + SP + RQ = AC + DB = 12 + 8 = 20
Resposta: C
 
� O dono de um sítio pretende colocar uma
haste de sustentação para melhor firmar dois
postes de com primentos iguais a 6 m e 4 m.
A figura representa a situa ção real na qual os postes são
descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada
pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é
indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC
representam cabos de aço que serão instalados. 
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m b) 2 m c) 2,4 m 
d) 3 m e) 2 ��6 m
RESOLUÇÃO:
I) Da semelhança dos triângulos AEF e ADB, temos:
 
=
II) Da semelhança dos triângulos BEF e BCA, temos:
 
=
III)De (I) e (II), temos:
+ = + ⇒ + = 1 ⇔ EF = 2,4 
Resposta: C
EF
––––
4
EF
––––
6
FB
––––
AB
AF
––––
AB
EF
–––
4
EF
–––
6
⇒
 AC
 PQ = ––––
Δ PBQ ~ Δ ABC 2
 
 ⇒Δ SDR ~ Δ ADC AC
 SR = ––––
 2
 DB
 SP = ––––
Δ RCQ ~ Δ DCB 2
 
 ⇒Δ SAP ~ Δ DAB DB
 RQ = ––––
 2
I.
II.
AF
––––
AB
EF
––––
6
FB
––––
AB
EF
––––
4
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 98
99MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Num triângulo ABC, retângulo em A,
os catetos medem 3 cm e 6 cm. A medida do raio da circun -
ferência, com centro na hipotenusa e tangente aos catetos do
triângulo, é:
a) 1 cm b) 1,5 cm c) 2 cm 
d) 2,5 cm e) 3 cm 
RESOLUÇÃO:
ΔCDO ~ ΔCAB (AA~)
= ⇒ = ⇔R = 6 – 2R ⇔ R = 2 
Logo, o raio mede 2 cm.
Resposta: C
R
––––
6
3 – R
–––––––
3
DO
––––
AB
CD
––––
CA
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 99
100 MATEMÁTICA
1. Projeção 
ortogonal de um segmento
 Dados um segmento de reta AB
––
e uma reta r, cha -
ma-se projeção ortogonal de AB
––
sobre r o segmento de
reta A’B’
—
determinado pela inter secção da reta r com as
re tas que passam pelos pontos A e B e são perpendi -
culares a r.
2. Elementos de 
um triângulo retângulo
 No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
 • A, B, e C são vértices;
 • a é a medida da hipotenusa BC
–––
;
 • b e c são as medidas dos catetos AC
––
e AB
––
,
respec ti vamente;
 • h é a medida da altura AH
––
relativa à hipotenusa;
 • m é a medida da projeçãoortogonal BH
–––
do cate -
to AB
––
sobre a hipotenusa;
 • n é a medida da projeção ortogonal CH
––
do cateto
AC
––
sobre a hipotenusa.
3. Relações métricas 
num triângulo retângulo
 No triângulo retângulo ABC da figura, temos:
 a) ΔAHB � ΔCAB pelo critério (AA�), pois o ân gulo
B
^
é comum e AH
^
B = CA
^
B = 90°.
 b) ΔAHC � ΔBAC pelo critério (AA�), pois o ân gulo 
C
^
é comum e AH
^
C = BA
^
C = 90°.
 Da semelhança dos triângulos, obtêm-se as seguin -
tes relações:
 1) O quadrado da medida de um cateto é igual ao
produto da medida da hipote nusa pela medida da
pro jeção ortogonal deste ca te to sobre a hipotenusa
(Relação de Euclides).
 Assim, temos:
e 
 Demonstrações
 
 2) Num triângulo retângulo, o qua drado da me -
dida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados
das me di das dos catetos (Teorema de Pitágoras).
c2 = a . m b2 = a . n
II) ΔAHC � ΔBAC
AC CH
–––– = ––––
BC CA
b n
––– = –––
a b
b2 = a . n
I) ΔAHB � ΔCAB
AB BH
–––– = ––––
CB BA
c m
––– = –––
a c
c2 = a . m
16
Palavras-chave:Relações métricas nos
triângulos (Pitágoras)
• Pitágoras
• Altura
• Projeções
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 100
101MATEMÁTICA
 Assim, temos:
 
 Demonstração
 Vamos somar membro a membro as Relações de
Euclides obtidas anteriormente.
 3) O quadrado da medida da altura relativa à
hipo tenusa é igual ao produto das medidas das pro -
jeções dos catetos sobre a hipotenusa.
 Assim, temos:
Demonstração
 4) O produto da medida da hipo te nusa pela me -
dida da altura relativa à hipo tenusa é igual ao pro du -
to das medi das dos catetos.
 Assim, temos:
 Demonstração
 HA AB
 ΔHAB � ΔACB ⇔ –––– = –––– ⇔
 AC CB
h c
 ⇔ –– = –– ⇔ a . h = b . c
b a
a . h = b . c
 AH HB
 ΔAHB � ΔCHA ⇔ –––– = –––– ⇔
 CH HA
h m
 ⇔ ––– = ––– ⇔ h2 = m . n
n h
h2 = m . n
 c2 = a . m + � b2 = a . n
 
––––––––––––––
 b2 + c2 = a . m + a . n ⇔ b2 + c2 = a . (m + n) ⇔
 ⇔ b2 + c2 = a . a ⇔ a2 = b2 + c2
a2 = b2 + c2
� (MACKENZIE – MODELO ENEM) – Considere um poste perpen -
di cular ao plano do chão. Uma aranha está no chão, a 2 m do poste, e
começa a se aproximar dele no mes mo instante em que uma formiga
começa a subir no poste. A velocidade da aranha é de 16 cm por
segundo e a da formiga é de 10 cm por segundo. Após 5 segundos do
início dos movimentos, a menor distância entre a aranha e a formiga é:
a) 2,0 m b) 1,3 m c) 1,5 m d) 2,2 m e) 1,8 m
Resolução
Após 5 segundos, a aranha andou 16 cm . 5 = 80 cm = 0,8 m e está a
1,2 m do poste.
Após os mesmos 5 segundos, a formiga subiu 10 cm . 5 = 50 cm = 0,5 m
do solo. 
Nesse instante, a menor distância entre a aranha e a formiga é dada
pela hipotenusa 
—
AF do triângulo AFP. 
Assim sendo, AF2 = AP2 + PF2 ⇒ AF2 = 1,22 + 0,52 ⇔ AF = 1,3 m
Resposta: B
� Durante um vendaval, um poste de iluminação de 9 m de altura
quebrou-se em um ponto a certa altura do solo. A parte do poste acima
da fratura inclinou-se e sua extremidade superior encostou no solo a
uma distância de 3 m da base dele. A que altura do solo se quebrou o
poste?
a) 4 m b) 4,5 m c) 5 m d) 5,5 m e) 6 m
Resolução
x2 + 32 = (9 – x)2 ⇔ x2 + 9 = 81 – 18x + x2 ⇔ x = 4
Resposta: A
� (ENERJ-MODELO ENEM) – Entre duas torres de 13 m e 37 m de
altura existe na base uma distância de 70 m. Qual é a distância entre
os extremos superiores das torres, sabendo-se que o terreno é plano?
Resolução
Sendo x, a distância em metros, dos extremos superiores dessas
torres, de acordo com o teorema de Pitágoras tem-se:
x2 = 702 + 242 ⇔ x2 = 5476 ⇒ x = 74, pois x > 0
Resposta: 74 m
Exercícios Resolvidos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 101
102 MATEMÁTICA
� Sendo retângulos os triângulos das figuras, deter mine os
valores de x, y e z.
a) 
RESOLUÇÃO:
x2 = 52 + 122 = 169 ⇔ x = 13
b) 
RESOLUÇÃO:
122 = y . 24 ⇔ y = 6
c) 
RESOLUÇÃO:
z2 = 16 . 25 ⇔ z = ���������� 16 . 25 ⇔ z = 4 . 5 ⇔ z = 20
� 
Na figura acima, que representa o projeto de uma escada com
5 degraus de mesma altura, o com primento total do corrimão
é igual a
a) 1,8 m b) 1,9 m c) 2,0 m
d) 2,1 m e) 2,2 m
RESOLUÇÃO:
No triângulo ABC da figura, temos:
x2 = 902 + 1202 ⇔ x = 150
O comprimento do corrimão é PC + CB + BR e, portanto, 
30 cm + 150 cm + 30 cm = 210 cm = 2,1 m
Resposta: D
Exercícios Propostos
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 102
103MATEMÁTICA
� A bocha é um esporte jogado em canchas,
que são ter renos planos e nivelados,
limitados por tablados peri métricos de
madeira. O obje tivo desse esporte é lançar bochas, que são
bolas feitas de um material sintético, de maneira a situá-las o
mais perto possível do bolim, que é uma bola menor feita,
preferen cial mente, de aço, previa mente lançada.
A Figura 1 ilustra uma bocha e um bolim que foram jogados em
uma cancha. Suponha que um jogador tenha lançado uma
bocha, de raio 5 cm, que tenha ficado encostada no bolim, de
raio 2 cm, conforme ilustra a figura 2
Considere o ponto C como o centro da bocha, e o ponto O
como o centro do bolim. Sabe-se que A e B são pontos em que
a bocha e o bolim, respectivamente, tocam o chão da cancha,
e que a distância entre A e B é igual a d.
Nessas condições, qual a razão entre d e o raio do bolim?
a) 1 b) c) d) 2 e) ���1�0
RESOLUÇÃO:
Na figura as medidas estão em centímetros
No triângulo retângulo CEQ, retângulo em E, temos 
CE2 + EQ2 = CO2 ⇔ 32 + d2 = 72 ⇔ d2 = 40 ⇔ d = 2�����10. 
A razão entre d e o raio do bolim é
= = �����10
Resposta: E
2���1�0
–––––––
5
���1�0
–––––
2
C
O
A B
5
d
3
E
5
2
2
d
2�����10
––––––––
2
d
––––
OB
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 103
104 MATEMÁTICA
� (UNICAMP-2018) – Considere que o quadrado ABCD,
representado na figura abaixo, tem lados de comprimento de 
1 cm, e que C é o ponto médio do segmento AE. Consequen -
temente, a distância entre os pontos D e E será igual a
a) ���3 cm. b) 2 cm. c) ���5 cm. d) ���6 cm.
RESOLUÇÃO
De acordo com o enunciado, temos a seguinte figura
I) AC = CE = 1���2 cm, pois esses segmentos são diagonais dos
quadrados de lado 1 cm.
II) No triângulo retângulo EDF, temos:
 (DE)2 = (DF)2 + (EF)2 ⇒ (DE)2 = 22 + 12 ⇒ DE = ���5 cm
Resposta: C
A B
CD
E
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 104
105MATEMÁTICA
FRENTE 1
Módulo 1 – Matrizes
� Escreva a matriz A = (aij)2 x 2 definida por aij = 3 i – j.
� (PUC) – A matriz A de ordem 2 x 3 definida por aij = i . j é
dada por:
a) b) c) 
d) e) 
� (UFBA) – A matriz 2 x 3, com � , é:
 
a) b) c) 
d) e) 
� Resolva a equação X + A = Ct, sabendo-se que:
A = � � e C = � �
� (PUC) – Se A = � �, B = � � e C =� �
então a matriz X, de ordem 2, tal que = + C é
igual a:
a) b) c) 
d)
 
 e) 
� (UNICAMP-MODELO ENEM) – Em uma matriz, 
chamam-se elementos internos aqueles que não pertencem à
primeira nem à última linha ou coluna. O número de elementos
internos em uma matriz com 5 linhas e 6 colunas é igual a 
a) 12. b) 15. c) 16. d) 20. 
� (MODELO ENEM) – Os alunos de uma sala estão dis -
postos em fileira da forma mostrada na matriz A seguinte:
O professor de Matemática resolve aplicar uma chamada oral
para todos os alunos A = (aij) acima, tais que 3 ≤ i + j ≤ 5, com 
i ∈ {1; 2; 3; ...; 6} e j ∈ {1; 2; 3}.
O númerode alunos escolhidos que possuem nomes mas cu -
linos é igual a:
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
	 A Transferência Eletrônica Disponível (TED) é
uma transação financeira de valores entre
diferentes bancos. Um economista decide
analisar os valores enviados por meio de TEDs entre cinco
bancos (1, 2, 3, 4 e 5) durante um mês. Para isso, ele dispõe
esses valores em uma matriz A: [aij], em que 1 ≤ i ≤ 5 e 1 ≤ j ≤ 5,
e o elemento aij corresponde ao total proveniente das ope -
rações feitas via TED, em milhão de real, transferidos do banco
i para o banco j durante o mês. Observe que os elementos 
aii = 0, uma vez que TED é uma transferência entre bancos
distintos. Esta é a matriz obtida para essa análise: 
Com base nessas informações, o banco que transferiu a maior
quantia via TED é o banco 
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
Módulo 2 – Multiplicação de matrizes
� (PUC) – Dadas as matrizes A = � � e B =� �,
então AB – BA é igual a:
a) � � b) � � c) � � 
d) � � e) � �
2 4 6� �1 2 3 1 2 6� �2 4 12 1 2 3� �2 4 6
1 1 1� �1 2 3 – 2 – 4 – 6� �– 1 – 2 – 3
aij = 2i – j, se i ≠ j
aij = i + j, se i = j
2 0 �– 3 4 �
–1 1
2 3 � 0 4� 
1 1
2 3 � 0 4�
–1 1
2 0 – 1� �3 4 1 2 0 –1� �– 3 4 1
1 3 1
2 1 4
1 0
2 – 3
1 2
2 1
3 –1
–1 2
1 0
4 –1
2 1
X – A
––––––
2
B + X
––––––
3
28 1� �24 3 28 1� �23 3 28 1� �25 3
28 1� �30 3 28 1� �22 3
A = �
Antonio
Daniela
Gabriel
José
Maria
Pedro
Benedito
Elisa
Hilário
Klauss
Nair
Quélves
Carlos
Fabiana
Igor
Lino
Olívia
Roberto
�
A = �
0
0
1
0
3
2
0
2
2
0
0
2
0
2
1
2
1
1
0
1
2
0
1
0
0
�
3 0
1 – 4
2 1
–1 0
–3
2
1
7
– 1
9
7
1
0
0
0
0
2
5
– 3
0
1
0
0
1
Exercícios-Tarefa
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 105
106 MATEMÁTICA
� Sendo A = e B = , calcular AB e BA.
� Se � � . � � = � � então, necessaria mente,
a) x = y = 0 
b) x = y = m = n = 0
c) x = y e m = n 
d) y = – 2x e n = – 2m
e) x = – 2y e m = – 2n
� (MODELO ENEM) – Uma nutricionista recomendou aos
atletas de um time de futebol a ingestão de uma quantidade
mínima de certos alimentos (fruta, leite e cereais) necessária
para uma alimentação sadia. A matriz D fornece a quantidade
diária mínima (em gramas) da queles alimentos. A matriz M
indica a quan tidade (em gramas) de proteínas, gorduras e
carboidratos fornecida por cada grama in gerida dos alimentos
citados.
D =
 fruta leite cereais
K =
A matriz que mostra a quantidade diária mí nima (em gramas)
de proteínas, gorduras e carboidratos fornecida pela ingestão
daqueles alimentos é:
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
� (MODELO ENEM) – Na confecção de três modelos de
camisas (A, B e C), são usados botões grandes (G) e pequenos
(P). O número de botões por mo delo é dado pela tabela:
O número de camisas fabricadas, de cada mo delo, nos meses
de maio e junho é dado pela tabela:
Nestas condições, obter a tabela que dá o total de botões
usados em maio e junho.
� (UNESP-MODELO ENEM) – Uma rede de comunicação
tem cinco antenas que transmitem uma para a outra, conforme
mostrado na matriz A = (aij), onde aij = 1 significa que a antena
i transmite diretamente para a antena j, e aij = 0 significa que a
antena i não transmite para a antena j.
Qual o significado do elemento b41 da matriz B = A
2?
a) Como b41 = 0, isso significa que a antena 4 não trans mite
para a antena 1.
b) Como b41 = 1, isso significa que a antena 4 transmite para
a antena 1.
c) Como b41 = 3, isso significa que a antena 4 transmite para
a antena 1.
d) Como b41 = 3, isso significa que existem 3 maneiras dife -
ren tes de a antena 4 transmitir para a antena 1, usan do
apenas uma retrans missão entre elas.
e) Como b41 = 3, isso nada significa, pois bij só pode valer 0 ou
1, conforme definido no enunciado da questão.
� (UNESP-MODELO ENEM) – Um ponto P, de coordenadas 
(x; y) do plano cartesiano ortogonal, é representado pela matriz
coluna , assim como a matriz coluna representa, no
plano carte siano ortogonal, o ponto P de coordenadas (x, y). Sendo
assim, o resultado da multiplicação matricial . é 
uma matriz coluna que, no plano cartesiano ortogonal,
necessaria mente representa um ponto que é
a) uma rotação de P em 180° no sentido horário, e com centro
em (0, 0).
b) uma rotação de P em 90° no sentido anti-horário, e com
centro em (0, 0).
c) simétrico de P em relação ao eixo horizontal x.
d) simétrico de P em relação ao eixo vertical y.
e) uma rotação de P em 90° no sentido horário, e com centro
em (0, 0).
x
m
y
n
2
4
�
200
300
600
�
fruta
leite
cereais
0,006
0,001
0,084
0,033
0,035
0,052
0,108
0,018
0,631
proteínas
gorduras
carboidratos
�
18, 20
36, 30
454, 20
29, 70
16, 20
460, 20
48, 30
36, 00
432, 40
51, 90
48, 30
405, 60
75, 90
21, 50
411, 00
�
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
1
0
0
0
1
0
�
� xy � �
x
y �
� 01
–1
0 � �
x
y �
�2
1
0
2
��13
2
1
�
0
0
Maio Junho
Camisa A 100 50
Camisa B 50 100
Camisa C 50 50 
�
� �
� �
� � �
��
Camisa A Camisa B Camisa C
Botões P 3 1 3
Botões G 6 5 5
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 106
107MATEMÁTICA
Módulo 3 – Propriedades
�
 
Sejam A = e B = . Calcule A . B e B . A
e verifique que A . B ≠ B . A.
� Sendo A = , B = e C = , 
calcule AB, AC e mostre que AB = AC.
� Sejam A = e B = .
Se AB = BA, então x vale:
a) 1 b) – 1 c) 2 d) – 2 e) 0
�
 
(PUC) – Se A = , então A2 + 2 . A – 11 . I, em 
que I = , é igual a:
a)
 
b)
 
c)
 
 
d)
 
e)
 
� (MODELO ENEM) – Dois alunos, A e B, apresentaram a
seguinte pontuação em uma prova de português e em outra de
matemática.
a) Se o peso da prova de português é 3 e o da prova de
matemática é x, obtenha por produto de matrizes a matriz
que fornece a pontuação total dos alunos A e B.
b) Qual deve ser o valor de x a fim de que A e B apresentem
mesma pontuação final?
� (MODELO ENEM) – Uma lanchonete de sanduíches
naturais vende dois tipos de sanduí ches, A e B, utilizando os
ingredientes (queijo, atum, salada, rosbife) nas seguintes quan -
tidades (em gramas) por sanduíche:
Durante um almoço, foram
vendidos 6 sanduí ches do
tipo A e 10 sanduíches do
tipo B. Qual foi a quantidade
necessária de cada in gre -
dien te para a preparação
desses 16 sanduíches?
Represente-a na forma de
produto de matrizes.
Módulo 4 – Determinantes
� Calcular o determinante da matriz A = � �
� Calcular o determinante da matriz A = � �
� (UEL) – A solução positiva da equação 
= é um número:
a) ímpar. b) primo. 
c) não inteiro. d) cubo perfeito. 
e) quadrado perfeito.
� (UFSC) – Resolver, em �, a equação
= 175.
� (MODELO ENEM) – Nove candidatos a uma vaga de
estagiário foram distribuídos em uma sala de espera como
representado a seguir:
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de
matriz e se substituirmos o nome de cada um desses
candidatos pelo número que representa a posição ocupada, em
nosso alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome,
obteremos uma nova matriz. O deter minante dessa nova
matriz é igual a:
a) – 2 b) – 1 c) 0 d) 1 e) 2
� Resolva em � a equação = x.
� 14
2
–3 �
� 10
0
1 �
� 10
2
1 � �
0
1
0
0 � �
0
0
0
0 �
� 00
1
0 � �
0
1
1
0 �
Português Matemática
aluno A 4 6
aluno B 9 3
2
3
5
7
1
2
1
2
2
3
1
0
3
2
x
5
5
x
4
1
x
2
–2
1
x
–x
–3
3
4
x
�
2
0
x
0
4
0
0
0
2
��
1
0
0
0
– 4
0
0
0
3
�
�12
3
2
1
0
��12 20 31�
�2– 1
1
– 0,5��
1
2
2
4��
2
3
0
0�
�
AlbertoBruno André
Carlos Denise Alvaro
Daniele Fernanda Barone
sanduíche A sanduíche B
queijo 18 g 10 g
salada 26 g 33 g
rosbife 23 g 12 g
atum — 16 g
x
4
x + 2
3
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 107
108 MATEMÁTICA
� (UNICAP-PE) – Calcule o valor de x, a fim de que o deter -
minante da matriz A seja nulo.
A = 
	 O conjunto solução de 
é:
a) {x ∈ � � x ≠ 1} b) {0, 1} c) {1} 
d) {– 1} e) {0}
 (U.F.OURO PRETO-MG) – Sejam as matrizes 
A = , B = e C = (5 – 1).
Pede-se:
a) Calcular BC + 2A e CB.
b) Determinar λ de maneira que det(A – λI) = 0, em que I é a
matriz identidade de ordem 2×2.
� (PUC) – Seja a matriz A = , em que
a, b, c são constantes reais positivas e x é uma variável real.
Considerando que, ordenadamente, as sequên cias de termos
das duas primeiras linhas de A cons tituem progressões
aritméticas, enquanto as se quências de termos das duas
primeiras colunas cons tituem progressões geométricas, então,
se det A = 18, o valor de log8 x é:
a) 3 b) c) 1 d) 
 
 e) 
� (UNICAMP) – Considere a matriz M = , 
onde a e b são números reais distintos. Podemos afirmar que
a) a matriz M não é invertível.
b) o determinante de M é igual a a2 – b2.
c) a matriz M é igual à sua transposta.
d) o determinante de M é positivo.
Módulo 5 – Determinante nulo
Nas questões de � a �, calcule cada deter minante e
justifique o cálculo
� =
 
�
 
=
�
 
=
 
� (UNESP) – Considere as matrizes reais
A = e B = .
Se A = Bt (transposta de B), o determinante da matriz 
é igual a:
a) – 1 b) 0 c) 1 d) 2 e) 3
� (FEI) – Para que o determinante da matriz 
seja nulo, o valor de a deve ser: 
a) 2 ou – 2 b) 1 ou 3 c) – 3 ou 5
d) – 5 ou 3 e) 4 ou – 4
� Dada a matriz A = � �, mostrar que
a) se c = d = 0, então det A = 0.
b) se a = 6, b = 8 e e = 5, então det A = 0.
c) se a = 3, b = 4 e e = 10, então det A = 0.
d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, então det A = 0.
� Calcular o determinante: 
	 (GV) – O determinante associado à matriz
é nulo porque
a) tem duas linhas proporcionais.
b) tem duas colunas proporcionais.
c) tem elementos negativos.
d) uma coluna é combinação linear das outras duas.
e) uma linha é o produto das outras duas.
�
1
4
6
2
9
x
1
4
x – 7
�
1 x
1 1 1 1––––––– = 
1 1 x 1
x 1
� 11
2
0 � �
1
– 2 �
�
1
a
c
a
b
12
5
c
x + 5
�
3
–––
2
2
–––
3
1
–––
3
�
1
b
1
a
1
b
1
a
1
�
2
2
0
5
1
0
8
2
0
a
b
c
2
5
7
a
b
c
1
3
4
m
n
p
3
9
12
�z– x
4
y��
0
y + z
x2
2�
� �
x
z
4
y
1
5
–1
1
2
– 1
1 – a
1 + a
3� �
a
0
6
b
c
8
5
d
e
4x + y
4
9
x
1
2
y
0
1
�
1
– 2
– 3
– 11
4
– 7
6
– 3
2
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 108
109MATEMÁTICA
Módulo 6 – Determinante se altera 
Classificar as afirmações, de � a �, em verdadeiras ou
falsas.
�
 
= – =
�
 
= 2 .
�
 
= 2 . = 6 . 
�
 
= 16 .
� Calcular o determinante da matriz 
� �, sabendo-se que = k 
� A e B são matrizes quadradas de ordem 3 e B = kA.
Determinar k ∈ � sabendo que det A = 1,5 e det B = 96.
� (UESPI) – Se o determinante da matriz 
é igual a 10, então o determinante da matriz 
é igual a:
a) 7 b) 8 c) 9 d) 10 e) 11
	 Calcular o valor de , sabendo-se que
= – 17
 P é uma matriz quadrada de ordem 3 e det P = 7.
Determine o valor de x, sabendo-se que det (2P) = 2x + 6.
� A é uma matriz quadrada de ordem 6 e det A = x. Qual é
o valor do determinante da matriz obtida a partir de A quando
suas duas primeiras linhas são multiplicadas por 2, as duas
linhas seguintes são mul tiplicadas por 3 e as duas últimas são
divididas por 6?
� Considere uma matriz quadrada A de ordem 4 e
multiplique cada uma de suas colunas por m(m > 0), obtendo
a matriz m . A. Se det(mA) = 243 e det A = 3: 
a) encontre o valor de m;
b) multiplicando as duas primeiras colunas de A por 2m e as
duas últimas por , qual é o valor do determinante da 
matriz assim construída?

 Se A é uma matriz quadrada de ordem 2 e det A = 5, qual
é o valor de det(3A)?
Módulo 7 – Determinante não se altera
� Calcular o determinante:
� Resolver a equação:
= 0
� Calcular o determinante da matriz
A = � �
� Somando 2k a todos os elementos da matriz
M = � �, cujo determi nante vale D, ob te mos a
matriz N. Calcular o determinante de N.
� Calcular o determinante da matriz
M = � �
� Considere os seguintes determinantes:
A =
B =
E assinale a alternativa correta:
a) A = B b) A + B = 3B c) A – 2B = B 
d) B + A = – 4A e) A = 6B
a
c
b
d
c
a
d
b
d
b
c
a
2a
c
2b
d
a
c
b
d
2a
3c
2b
3d
a
3c
b
3d
a
c
b
d
4a
4c
4b
4d
a
c
b
d
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
a
m
x
b
n
y
c
p
z
�2k
1
1
k
2
0
k
–2
�
�2k + 4
1
1
k + 3
2
0
k – 1
–2
�
2
x
4
3
6
9
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
1
––
m
1
1 + a
1
1
1
1 + b
1
1
1
1
1 – x
1
1
1
3 – x
1
1
1
3m +1
3n + 1
3p + 1
2m + 4
2n + 4
2p + 4
m
n
p
k
k
k
k
a
b
c
d
m
n
p
q
x
y
w
z
281
394
211
2
3
2
8
9
1
1
– 1
3
– 5
0
– 6
2
0
– 6
1
– 5
2
– 5
0
0
– 3
6
6
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 109
110 MATEMÁTICA
� (MODELO ENEM) – Um professor di vidiu os alunos de
uma sala de aula em dois grupos. Ao primeiro grupo, solicitou
o valor do deter minante da matriz 
 
 
Já ao segundo grupo, pediu o valor do deter minante da matriz 
Após alguns minutos, os dois grupos apresen taram os
resultados obtidos e obser varam que os determinantes eram
iguais. O professor então comentou que o que eles haviam
obser vado era apenas uma propriedade matemática
relacionada à teoria de matrizes e determinan tes. Segundo ela,
quando trocamos orde nada mente as linhas de uma matriz
quadrada A, pelas colunas, ob te mos uma nova matriz chamada
de transposta de A represen tada por At cujo determinante é
igual ao determinante da matriz original.
Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, podemos
considerar que essa propriedade pode ser expressa
matematicamente pela sentença:
a) det(A) = – det(A) b) det(A) = 
c) det(A) =
 
d) det(At) = det(A) 
e) det(At) = – det(A)
	 Se = A, então:
a) A = – 1 b) A = 0 c) A = 106 
 
d) A = 532 e) A = 5353
Módulo 8 – Abaixamento da ordem
� Calcular o menor complementar e o cofa tor do elemento
a23 da matriz 
M = � �
� Calcular o cofator dos elementos a13 e a33 da matriz 
M =
� Calcular o determinante da matriz M = 
apli cando o Teorema de Laplace e utilizando a 1a. linha.
� O conjunto de todos os valores reais de x que satisfazem
a equação
= 0 é: 
 
 
a) {0} b) �+
* c) {7} d) � e) {0; 7} 
� Determinar o A11 (cofator do elemento da primeira linha e
da segunda coluna) e A32 (co fator do elemento da terceira linha
e primeira coluna), na matriz 
M = .
� O determinante da matriz 
M = é igual a:
a) – 3 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 
� Resolva, em �, a equação: 
= 3.
 
 
	 Resolva, em �, a equação: 
= – 79.
 
 
.�
2
0
0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�A = 
.�
2
4
6
3
8
0
3
1
4
2
0
0
0
3
0
0
1
2
1
3
0
2
1
5
1
�B =
1
–––––––
det(A)
1
–––––––
det(At)
53
53
53
53
54
53
53
53
55
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
�
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
�
�141
5
8
2
2
3
–1�
0
x2
x
0
4
x
6
7
0
3x
3
0
0
x
4
5
�
– 2
0
3
1
3
– 1
– 4
0
1
2
5
– 2
7
0
1
– 1
�
�
– 2
0
3
1
3
– 1
– 4
0
1
2
5
– 2
7
0
1
– 1
�
x
– 1
0
0
0
x
– 1
0
0
0
x
– 1
3
0
1
– 2
2x
1
0
– 3
0
2
0
– 1
1
1
– 1
2
2
– 3
1
0
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 110111MATEMÁTICA
 Calcule:
.
 
Módulo 9 – Regra de Chió e Teorema de Binet 
� (MACKENZIE) – O valor de é:
a) – 4 b) – 2 c) 0 d) 1 e) 1131
� Calcular o determinante da matriz
M = � �
� (MODELO ENEM) – Doze candidatos a uma vaga de
estagiário foram distribuídos em uma sala de espera como
representado a seguir:
A tabela que representa essa distribuição pode ser chamada de
matriz e se substituirmos o no me de cada um desses
candidatos pelo número que representa a posição ocupada, em
nosso alfabeto, pela letra com a qual se inicia o nome,
obteremos uma nova matriz.
O determinante dessa nova matriz é igual a:
a) – 192 b) – 119 c) 0 d) 119 e) 192
� (FUVEST) =
a) 2 b) 1 c) 0 d) –1 e) – 2
� Calcular o determinante de A . B, sendo
A = � � e B = � �
� Sejam A = e B = . Os valores de x, tais 
que o determinante de A . B é igual a zero, são:
a) 0; 4; – 4 b) 0; – 1; – 4 c) 0; 1; 4 
d) 0; 1; – 1 e) 0; 2; – 2
� (UESPI) – Sejam as matrizes 
M = e P = . O determinante da matriz
(M + P) . (M – P) é igual a:
a) 36 b) 48 c) 56 d) 64 e) 72
	 (FATEC) – Se x é um número real positivo tal que 
A = , B = e det (A.B) = 2, então x– x é 
igual a:
a) – 4 b) c) 1 d) 2 e) 4
 (INSPER) – Matrizes de Vandermonde são matrizes qua -
dradas em que os elementos ao longo de cada linha formam
progressões geométricas de primeiro termo igual a 1, não
necessa riamente com a mesma razão para cada linha.
Por exemplo, a matriz B a seguir, de ordem 4, é de
Vandermonde:
B =
Seja V uma matriz de Vandermonde de ordem 3 em que a PG
formada com os elementos da 1.ª linha tem razão 2, a PG
formada com os elementos da 2.ª linha tem razão 3 e a PG
formada com os elementos da 3.ª linha tem razão – 2.
O determinante da matriz V é igual a
a) –16. b) 0. c) 16. d) 20. e) 36.
Módulo 10 – Inversão de matrizes
� Determinar a sabendo-se que é a matriz inversa 
de .
� Determinar o valor de a para o qual a matriz 
M = é singular.
2
0
0
0
0
2
1
4
– 5
1
3
0
0
5
0
– 4
0
2
1
– 1
2
0
1
4
2
1
1
2
1
1
3
5
1
3
3
3
1
1
2
3
1
2
0
0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
�
Alberto Bruno André Geraldo
Carlos Denise Márcia Deise
Daniele Daniel Barone Carla
Alvaro Benedito Estela Antonio
�
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
5
1
2
3
2
3
–1
4
�0x
x
1��
x
1
4
x�
�23
1
0��
3
0
1
4�
� �1x
–1
0 �
– x
1
1
–1�
1––
4
�
1
1
1
1
5
3
– 3
1
––
2
25
9
9
1
––
4
125
27
–27
1
––
8
�
�25
1
3�
�3–5
a
2�
�
1
3
0
2
2
1
a
2
1
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 111
112 MATEMÁTICA
� A inversa da matriz é:
a)
 
b)
 
c) inexistente d) 
 
e)
� Calcular a inversa de M = .
 
� Obtenha a matriz inversa da B, tal que B = .
� A matriz inversa de M = é:
a) M–1 = b) M–1 =
c) M–1 =
 
d) M–1 =
e) M–1 =
� (PUC) – Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma
ordem e X uma matriz tal que (X . A)t = B, então:
a) X = A–1 . Bt b) X = Bt . A–1 c) X = (B . A)t 
d) X = (AB)t e) X = At . B–1
	 A matriz é não inver sível. O valor de x é 
igual a:
a) –
 
b) 0 c) – 2 d) 1 e) 2 
 Se A e B são duas matrizes inversas, pode-se afirmar que
neces sariamente:
a) A = B 
b) det A = det (2B) 
c) det A ≠ det B 
d) det A = 0 
e) det B ≠ 0 
� (FUVEST) – Considere a matriz A = , em 
que a é um número real. Sabendo que A admite inversa A–1
cuja primeira coluna é , a soma dos elementos da 
diagonal principal de A–1 é igual a
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
Módulo 11 – Cálculo de um elemento 
da inversa e propriedades
� (FATEC) – Seja A–1 a matriz inversa de A.
Se A = , com x ≠ 0, e det (A–1) = , então x é tal que:
a) 2x = b) ���x = 2 c) x2 = 4 
d) x + 3 = 2 e) x – 1 = 0
� Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem,
resolver a equação A . X . B = A 
� Sendo A e B matrizes inversíveis de mesma ordem e X
uma matriz tal que (X . A)t = B, então X é igual a:
a) Bt . A b) Bt . A–1 c) B . A–1
d) B . A e) B–1 . At
� Sejam A, B e C matrizes de ordem 3 tais que AB = C–1, B
= 2A e det C = . O módulo do determinante da matriz A
vale:
a) b) 
 
 c) 8 d) 2 e) 4
� O elemento da terceira linha e segunda coluna da matriz
inversa da matriz M = é igual a:
a) 3 b) 2 c) d) e) 0
� A matriz inversa da matriz A é:
A–1 =
Lembrando-se de que A . A–1 = I3, a segunda linha de A é:
a) (1 1 1) b) (3 –2 –2) c) (2 1 3)
d) (0 –1 –1) e) (2 –2 3)
�41
3
1�
1 – 3
– 1 4
1 1
–– ––
4 3
1 1
�
1 1
– –– ––
4 3
1 – 1
�
�– 4 3– 1 1�
�
1
0
0
2
3
0
1
2
1
�
�52
2
1�
�
2
1
– 1
– 3
2
0
0
– 1
1
�
�
2
0
2
3
2
3
3
2
7
��
2
0
2
3
2
3
3
2
7
�1––4
1
0
2
3
2
3
3
2
7
�1––4�
2
0
1
3
– 1
3
3
2
6
�1––4 �
�
2
0
2
3
2
3
3
2
– 3
�1––4
�23
– 1
1
– 1
2
0
x
2
�
2
–––
3
�aa – 1 2a + 1a + 1�
�2a – 1– 1�
1––
5�
x –1
2x 3�
1––
2
� �� �
1–––
32
1
–––
4
1
–––
2
�
1
1
2
0
2
– 1
– 1
– 3
3
�
1
–––
8
2
–––
3
�1613
11
–1
–1
–1
–10
–8
–7
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 112
113MATEMÁTICA
� A matriz P =
é a inversa da matriz M. O elemento da segunda linha e
primeira coluna de M é:
a) – 2 b) 1 c) 0 d) 1 e) 2
	 Sendo A = , podemos afirmar que o det 
(A–1) éigual a:
a) b) c) d) – e) – 
 Admita que A e B são matrizes de mesma ordem e que (A
. X)t = B. Podemos admitir que a matriz x é igual a:
a) X = A– 1 . B b) X = A–1 . Bt c) X = Bt .A–1
d) X = A . Bt e) X = B . A–1
� (FAAP) – São dadas as matrizes 
A = e B = .
Calcular A . B + A–1.
� (INSPER) – Uma matriz X de tamanho 7 x 5 é tal que det 
(Xt.X) � 0, sendo que Xt representa a matriz transposta de X.
Nessas condições, chama-se matriz de projeção de X a matriz
P definida como:
P = X (Xt X)-1Xt
O tamanho da matriz P e o resultado da multiplicação PX
são, respectivamente,
a) 5 x 5 e Xt. b) 5 x 5 e X. c) 5 x 7 e XXt.
d) 7 x 7 e Xt. e) 7 x 7 e X.

 (FGV) – Dada a matriz B = e sabendo que a matriz
A–1 = é a matriz inversa da matriz A, podemos 
con cluir que a matriz X, que satisfaz a equação matricial 
AX = B, tem como soma de seus elementos o número
a) 14 b) 13 c) 15 d) 12 e) 16 
� (ITA) – Seja M uma matriz quadrada de ordem 3, inversível,
que satisfaz a igualdade det(2M2) – det(
3
���2 M3) = det(3M ). 
Então, um valor possível para o determinante da inversa de 
M é 
a) . b) . c) . d) . e) . 
Módulo 12 – Sistemas lineares – 
Regra de Cramer
� Resolver o sistema pela Regra de Cramer
� Resolver, aplicando a Regra de Cramer, o seguinte
sistema:
� Resolver o sistema
+ – = 4
– + = – 3
+ + = 1
� Resolva os sistemas lineares abaixo usando a Regra de
Cramer
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
� Se o sistema tem uma única 
solução, então:
a) a = 1 b) a ≠ 1 c) a = 5 d) a ≠ 5 e) a ≠ 4
� Os alunos do Ensino Médio de uma escola do interior
organizaram uma festa junina no pátio da escola. Três barracas,
B1, B2 e B3, distribuídas no pátio, ofereciam exatamente as
mesmasopções de alimentação: churrasco, quentão e pastel;
cada uma dessas três opções tinha o mesmo preço nas três
barracas. Ao final da noite, encerrada a festa, fez-se um balanço
sobre o consumo nas barracas e verificou-se que
na barraca B1 foram consumidos 28 churras cos, 42 quentões e
48 pastéis, arrecadando um total de R$ 102,00;
na barraca B2 foram consumidos 23 churras cos, 50 quentões e
45 pastéis, arrecadando um total de R$ 95,00;
na barraca B3 foram consumidos 30 churras cos, 45 quentões e
60 pastéis, arrecadando um total de R$ 117,00.
Qual é o preço de um churrasco? E de um quentão? E de um
pastel?
�
1
0
0
– 1
1
0
0
– 1
1
�
�
1
1
5
– 3
1
– 3
2
0
0
�
1
–––
8
1
–––
16
1
–––
8
2
–––
3
1
–––
16
�1 1– 1 1��
3 2
7 5�
�3– 4�
�25
–1
3�
2–––
9
4
––
5
2
––
3
1
––
2
5
––
4
3x + y = 9� 2x + 3y = 13
x + y = 1
– 2x + 3y – 3z = 2
x + z = 1
�
1
—
z
1
—
y
1
—
x
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
3
—
z
1
—
y
2
—
x
4
—
z
2
—
y
1
—
x
3x – 4y = 1
x + 3y = 9�
2x + y = 4
3x – 2y = – 1�
4x + y = 14
2x – 3y = – 28�
– 2x + 5y = – 20
3x – 2y = 19�
1
––
3
x + 2y + 3z = 13
� 3x + y + 2z = 134x + 3y + az = 14
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 113
114 MATEMÁTICA
Módulo 13 – Escalonamento
� Resolver o sistema 
� Se tivermos , então x + y + z + t é igual a:
a) – 1 b) 7 c) 5 d) 4 e) 5/9
� Resolver o sistema
� (FUVEST) – Se , então x é igual a:
a) 27 b) 3 c) 0 d) – 2 e) 1
� Resolva a equação matricial a seguir, utili zando o
escalonamento de sistemas lineares.
. = .
� (F.M.TRIÂNGULO MINEIRO-MG – MODELO ENEM) –
Em três mesas de uma lanchonete, o consumo ocorreu da
seguinte forma:
A conta da 1a. mesa foi R$ 18,00 e a da 2a. mesa R$ 30,00. Com
esses dados:
a) é possível calcular a conta da 3a. mesa e apenas o preço
unitário do refrigerante.
b) é possível calcular a conta da 3a. mesa, mas nenhum dos
preços unitários dos três com ponentes do lanche.
c) É possível calcular a conta da 3a. mesa e, além disso, saber
exatamente os preços uni tários de todos os componentes
do lanche.
d) Não é possível calcular a conta da 3a. mesa, pois deveriam
ser fornecidos os preços unitários dos componentes do
lanche.
e) É impossível calcular a conta da 3a. mesa e os preços
unitários dos componentes do lanche, pois deve ter havido
um erro na conta da 1a. ou da 2a. mesa. 
� (MACKENZIE) – Um feirante colocou à venda 900 ovos,
distri buídos em caixas com 6 e 12 ovos. Se o número de caixas
com 12 ovos supera em 15 unidades o número de caixas com
6 ovos, então o total de caixas utilizadas pelo feirante é:
a) 80 b) 85 c) 90 d) 95 e) 100
	 (UNICAMP-MODELO ENEM) – As companhias aéreas
cos tumam estabelecer um limite de peso para a bagagem de
cada passageiro, cobrando uma taxa por quilograma de
excesso de peso. Quando dois passageiros com partilham a
bagagem, seus limites são considerados em conjunto. Em um
determinado voo, tanto um casal como um senhor que viajava
sozinho transportaram 60 kg de bagagem e foram obrigados a
pagar pelo excesso de peso. O valor que o senhor pagou
correspondeu a 3,5 vezes o valor pago pelo casal. Para
determinar o peso excedente das bagagens do casal (x) e do
senhor que viajava sozinho (y), bem como o limite de peso que
um passageiro pode transportar sem pagar qualquer taxa (z),
pode-se resolver o seguinte sistema linear:
a)
 
b) 
c) d) 
 (UNICAMP) – Na formulação de fertilizantes, os teores
percen tuais dos macronutrientes N, P e K, associados res -
pectiva mente a nitrogênio, fósforo e potássio, são
representados por x , y e z.
a) Os teores de certo fertilizante satisfazem o seguinte
sistema de equações lineares:
 
Calcule x e y nesse caso. 
b) Suponha que para outro fertilizante valem as relações 
24% ≤ x + y + z ≤ 54%, x ≥ 10%, y ≥ 20% e z = 10%.
Indique no plano cartesiano abaixo a regiaão de teores (x, y)
admissíveis para tal fertilizante.
x + 2y – z = 7
� y + 4z = 133z = 9
x + y + z = –1
�x + z + t = 5y + z + t = 7
x + y + t = 4
2x – y + 3z = 0
2y – z = 1
2z = – 6
�
x + 2y + 3z = 14
4y + 5z = 23
6z = 18
�
�
2
2
8
��
x
y
z
��
1
2
5
4
3
1
7
6
– 1
�
Mesa Hambúrguer Refrigerante Porção de fritas 
1 4 2 2
2 6 8 3
3 2 3 1
x + z = 60
y + 2z = 60
3,5x – y = 0
�
x + 2z = 60
y + z = 60
3,5x – y = 0
�
x + z = 60
y + 2z = 60
3,5x + y = 0
�
x + 2z = 60
y + z = 60
3,5x + y = 0
�
3x + y – z = 0,20
2y + z = 0,55
 z = 0,25
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 114
115MATEMÁTICA
Módulo 14 – Escalonamento
� Resolver o sistema aplicando o
método de escalonamento.
� (MACKENZIE – MODELO ENEM) – O diretor de uma
empresa, o Dr. Antônio, convo cou todos os seus funcionários
para uma reunião. Com a chegada do Dr. Antônio à sala de
reuniões, o número de homens presentes na sala ficou quatro
vezes maior que o número de mulheres também presentes na
sala. Se o Dr. Antônio não fosse à reunião e enviasse sua
secretária, o número de mulheres ficaria a terça parte do
número de homens. A quantidade de pessoas, presente na
sala, aguardando o Dr. Antônio é:
a) 20 b) 19 c) 18 d) 15 e) 14
� (UNICAMP) – As pessoas A, B, C e D possuem juntas 
R$ 2.718,00. Se A tivesse o dobro do que tem, B tivesse a metade
do que tem, C tivesse R$ 10, 00 a mais do que tem e, finalmente,
D tivesse R$ 10,00 a menos do que tem, então todos teriam a
mesma importância. Quanto possui cada uma das quatro
pessoas?
� Se , então o valor de (x + y)z é:
a) b) c) 16 d) 81 e) 256
� Discutir o sistema:
� (FEI) – Um comerciante adquiriu 80 rolos de arame, alguns
com 30 m e outros com 20 m, num total de 2080 m de
comprimento. Quantos rolos de 30 m foram adquiridos?
a) 40 b) 52 c) 28 d) 32 e) 48
� Escalone, classifique e resolva os sistemas lineares a
seguir:
a)
 
b)
c) d)
e)
 
f)
g)
Módulo 15 – Substituição, eliminação 
Nas questões de � a �, resolver os sistemas utilizando o
processo que julgar mais adequado.
� 
 
� 
 
� 
�
� A única solução do sistema 
é o terno ordenado (a; b; c). O valor de 
a + b + c é: 
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
� (MACKENZIE – MODELO ENEM) – Em cada uma das
salas de aula de uma escola, existem 30 carteiras. Distribuídos
os alunos da escola nas salas, uma delas fica com exata mente
20 carteiras vazias e, as demais salas, totalmente ocupadas.
Utilizando 4 salas a menos, e acres cen tando 10 carteiras em
cada uma delas, todas ficam totalmente ocupadas. O número
de alunos da escola é:
a) 370 b) 380 c) 400 d) 410 e) 440
� (MODELO ENEM) – Considere a reação química não
balanceada:
 Ca + H3PO4 → Ca3P2O8 + H2
 ↓ ↓ ↓ ↓
 cálcio ácido fosfato gás
 fosfórico de cálcio hidrogênio
 
Essa equação pode ser balanceada fazendo:
xCa + yH3PO4 → zCa3P2O8 + wH2
dando origem ao sistema
x + 2y – z = 6
2x + y + 2z = 5
3x + 3y – 2z = 14
�
 4
x + 3y + –– = 7
 z
 2
x + 4y + –– = 8
 z
 2
x + 2y – –– = 4
 z
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎩
81
–––
16
9
––
4
x + 2y – z = 6
� 2x + y + 2z = 5
3x + 3y + az = 14
x + 2y + 4z = 0
2x + 3y – z = 0
x – 14z = 0
�
2x + 3y + z = 1
3x – 3y + z = 8
2y + z = 0
�
x + y = 3
2x + 2y = 6
3x + 3y = 8
� x + y – z = 22x + 3y + 2z = 5�
x + y + z = 3
2x + 3y + z = 0�
3x + 15y + 6z = 3
2x + 10y + 4z = 10�
x + y – 3z = 1
2x – 3y + 4z = 2�
y = 2x + 3
3x + y = 13�
x + y + z = 6
x + y = 3
x + z = 4�
2x + 3y = 8
3x – y = 1�
x + y – z = 1
– x + y + z = 1
x – y + z = 1�
x – y + 2z = –1
2x – y – z = 5
x + 6y + 3z = 12
�
x = 3z
3y = 2w
y = 2z
4y = 8z
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_202129/10/2020 08:29 Página 115
116 MATEMÁTICA
a) Resolva o sistema
b) Determine o menor número inteiro de áto mos de cálcio,
hidrogênio, fósforo e oxigê nio, com o qual ocorre o
balanceamento.
	 (PUC) – Uma pessoa tem apenas x moedas de 5 centavos,
y moedas de 10 centavos e z moedas de 25 centavos. A
equação matricial seguinte permite determinar as possíveis
quantidades dessas moedas.
. =
Com base nesses dados, é correto afirmar que
a) há exatamente 7 possibilidades de solução para essa
equação.
b) não podem existir dois tipos de moedas distintas em
quantidades iguais.
c) os três tipos de moedas totalizam a quantia de R$ 78,00.
d) se o número de moedas de 10 centavos fos se 4, o
problema admitiria uma única solução.
e) o número de moedas de 25 centavos deve ser menor do
que 5.
 (PUC) – Em média, Alceste, Belizário e Cibele gastam tA,
tB e tC minutos, respectivamente, para encher um tanque
inicialmente vazio e, para tal, só usam recipientes de iguais
capacidades, totalmente cheios de água. Sabe-se também que
a equação matricial 
. = 
permite que se calculem tA, tB e tC, em minutos, e que tal
tanque tem a forma de um paralelepípedo retângulo de 3
metros de altura. Nessas condições, após quantos minutos,
em média, contados a partir do instante em que os três
começarem simultaneamente a colocar água no tanque vazio,
o nível da água atingirá 1,95 m de altura?
a) 5 b) 4,5 c) 4 d) 3,5 e) 3
� (UNICAMP) – Considere o sistema linear nas variáveis
reais x, y, z e w.
Logo, a soma x + y + z + w é igual a
a) – 2. b) 0. c) 6. d) 8.
Módulo 16 – Característica de uma matriz
� Se x = a, y = b, z = c e w = d é solução do sistema
, então o produto abcd vale:
a) 1 b) –1 c) d) – e) – 20
� (FATEC – MODELO ENEM) – Pelo fato de estar com o
peso acima do recomendado, uma pessoa está fazendo o
controle das calorias dos alimentos que ingere. Sabe-se que 3
colhe res de sopa de arroz, 2 almôndegas e uma por ção de
brócolis têm 274 calorias. Já 2 colheres de sopa de arroz, 3
almôndegas e uma porção de brócolis têm 290 calorias. Por
outro lado, 2 colheres de sopa de arroz, 2 almôndegas e 2 por -
 ções de brócolis têm 252 calorias. Se ontem seu almoço
consistiu em uma colher de sopa de arroz, duas almôndegas e
uma porção de bró colis, quantas calorias teve essa refeição?
a) 186 b) 170 c) 160 d) 148 e) 126
� (FGV) – Considere o sistema linear de 
incógnitas x e y e parâmetro k. Para que o sistema seja
possível e indeter minado, devemos ter:
a) k = – 7 
b) k ≠ – 7 
c) O sistema nunca será possível e indeter minado. 
d) k é um número real qualquer.
e) k > – 3
� (FMTM-MG) – Três pacientes usam, em conjunto, 
1830 mg por mês de um certo medicamento em cápsulas. O
paciente A usa cápsula de 5 mg, o paciente B, de 10 mg, e o
paciente C, de 12 mg. O paciente A toma metade do no. de
cápsulas de B e os três tomam juntos 180 cápsulas por mês.
O paciente C toma um número de cápsulas por mês igual a:
a) 30 b) 60 c) 75 d) 90 e) 120
� Uma companhia de seguros levantou dados
sobre os car ros de determinada cidade e
cons tatou que são roubados, em média, 150
carros por ano.
O número de carros roubados da marca X é o dobro do número
de carros roubados da marca Y, e as marcas X e Y juntas res -
pon dem por cerca de 60% dos carros roubados.
O número esperado de carros roubados da marca Y é:
a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60
�7832��
x
y
z��
1
1
2
1
5
1�
�
30
25
35
��
tA
tB
tC
��
1
1
0
1
0
1
0
1
1
�
x – y = 1,
y + z = 2,
w – z = 3.
�
x + y = 0
� y + z = 0z + w = 0
y + w = 1
1
––
8
1–––
16
3x – 2y = 4
4x + y = –13
x + y = k
�
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117MATEMÁTICA
FRENTE 2
Módulo 1 – Introdução ao estudo da geometria
� O plano é uma região convexa. Certo ou errado?
� Toda circunferência é uma região convexa. Certo ou
errado?
� Demonstre que o círculo é uma região convexa.
� Calcular:
a) 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” 
b) 92° 43’ – 47° 30’
c) 41° 23’ – 17° 21’ 43” 
d) 38° : 3
� (UFPEL) – Nos últimos 50 anos, o registro de fenômenos
destrutivos cresceu quase 20 vezes, graças à tecnologia e ao
aumento populacional. Os abalos sísmicos e suas consequên -
cias – como os tsunamis – matam, em média, tantas pessoas
quanto as inundações e ressacas oceânicas.
No entanto, em termos relativos, os terremotos são muitís -
simo mais mortais, já que atingem cerca de 26 vezes menos
gente no mundo do que as enchentes.
O gráfico mostra a frequência relativa (porcen tagem) de cada
catástrofe e, para uma delas, o ângulo do setor.
Revista Terra – no. 155 março/2005 [adapt.].
Com base nos textos e em seus conhecimentos, é correto
afirmar que
a) o ângulo do setor correspondente a avalan chas e desliza -
mentos é 10° 8’.
b) o ângulo do setor correspondente a ter remotos e tsunamis
é 120°.
c) a soma dos ângulos dos setores corres pondentes às tem -
pes tades e furacões e secas é de 133° 2’.
d) a diferença entre os ângulos dos setores correspondentes
às inundações e ressacas e avalanchas e deslizamentos é
107° 52’.
e) a porcentagem de tempestades e furacões é de 18%.
� (UEMS) – Pesquisadas as idades das pessoas perten -
centes a uma certa comunidade, foram obtidos os seguintes
resultados:
O gráfico de setores, a seguir, representa a distribuição dada na
tabela acima.
Figura 1
Com relação à Figura 1, pode-se afirmar que o ângulo central
do setor, em graus, que corres pon de ao número de pessoas
com 25 anos de idade é de:
a) 72° b) 86,4° c) 90° d) 93,6° e) 108°
� As figuras a seguir exibem um trecho de um
quebra-cabeças que está sendo montado.
Observe que as peças são quadradas e há 8
peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura
B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas
no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a
completar os desenhos.
Disponível em http://pt.eternityii.com. 
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela
seta no tabuleiro da figura A colocando a peça
a) 1 após girá-la 90° no sentido horário.
b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário.
c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário.
d) 2 após girá-la 180° no sentido horário.
e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário.
Idade Número de pessoas
10 6
18 20
25 26
30 24
35 14
40 8
60 2
Total 100
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 117
118 MATEMÁTICA
	 Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande
erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A
sua localização geográ fica no globo terrestre
é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicio -
namento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do
Meridiano de Greenwich.
Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”.
PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)
A representação angular da localização do vulcão com relação
a sua longitude da forma decimal é
a) 124,02°. b) 124,05°. c) 124,20°.
d) 124,30°. e) 124,50°.
Módulo 2 – Ângulos
� (ESCOLA TÉCNICA FEDERAL) – As medidas do comple -
mento, do suplemento e do replemento de um ângulo de 40°
são, respec tivamente, iguais a:
a) 30°, 60° e 90° b) 30°, 45° e 60°
c) 320°, 50° e 140° d) 50°, 140° e 320°
e) 140°, 50° e 320°
� (MACKENZIE) – O complemento e o suple mento de 
37° 20’ 07” medem, respectiva mente:
a) 142° 39’ 53” e 52° 39’ 53” 
b) 52° 39’ 53” e 142° 39’ 53”
c) 53° 20’ 07” e 153° 20’ 07” 
d) 153° 20’ 07” e 53° 20’ 07”
e) 142° 39’ 53” e 53° 20’ 07”
� Calcular x na figura, sabendo-se que OC
→
é bissetriz do
ângulo AO^ B.
� O complemento de um ângulo de 75° mede:
a) 105°b) 90° c) 75° d) 25° e) 15°
� Dois ângulos são adjacentes e a medida de um é o triplo
da medida do outro. A medida do complemen to do ângulo
entre as suas bis setri zes é 50°. Deter mine a medida do
comple mento da soma dos ângulos dados.
� (MODELO ENEM) – Chama-se passa gem de nível a um
cruzamento não desnive lado entre uma ferrovia e um caminho
ou estrada. Ao modo ferroviário é dada quase sempre
prioridade de passagem nestes cruzamentos, dada a sua muito
maior inércia, por motivos de economia e segurança. Por isso,
uma passagem de nível é geralmente equipada com um
dispositivo de aviso da passagem de comboios, dirigido aos
transeuntes da via não ferroviária — frequentemente, este é
com pletado por aviso ativo (sonoro ou luminoso) e bloqueio
físico, automático ou manual, da via não ferroviária.
No Brasil, há uma quantidade excessiva de passagens de nível,
pois não há um planeja mento para que sejam construídos um
nú mero maior de contornos em áreas urbanas, provo can do
assim uma redução da velocidade opera cional do transporte
ferroviário nacional, além, prin cipalmente, de risco potencial de
acidentes físicos e humanos.
pt.wikipedia.org
Na figura seguinte, Fe é uma ferrovia e Es é uma estrada. 
Assim, o valor de x é:
a) 23°10’ b) 23°15’ c) 23°20’
d) 23°25’ e) 23°30’’
� Rotas aéreas são como pontes que ligam
cidades, estados ou países. O mapa a seguir
mostra os esta dos brasileiros e a localização
de algumas capitais identificadas pelos números. Considere
que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília –
DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de
reta com extre midades em DF e em 4.
SIQUEIRA. S. Brasil Regiões. Disponível em
www.santiagosiqueira.pro.br
Acesso em 28 jul 2009 (adaptado).
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 118
119MATEMÁTICA
Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião
AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135 graus no
sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em
alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez
uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a
direção que forma um ângulo reto, no sentido anti-horário, com
a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. 
Considerando que a direção seguida por um avião é sempre
dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que
passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o
passageiro Carlos fez uma conexão em
a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba.
b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador.
c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho.
d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro.
e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus.
	 (PUC) – Um ângulo mede a metade do seu complemento.
Então esse ângulo mede:
a) 30° b) 60° c) 45° d) 90° e) 75°
Módulo 3 – Paralelismo
� Na figura seguinte, na qual as retas r e s são paralelas, o
valor de x é igual a:
a) 20° b) 25° c) 30° d) 40° e) 45°
� (FUVEST – MODELO ENEM) – Na figura, as retas r e s
são paralelas, o ângulo 1 mede 45° e o ângulo 2 mede 55°. A
medida, em graus, do ângulo 3 é:
a) 50 b) 55 c) 60 d) 80 e) 100
� Na figura r//s. O valor de α é: 
a) 90° b) 100° c) 110° d) 120° e) 22°40’
� Na figura r//s. O valor de x̂ é:
a) 90° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°
� (MACKENZIE) – Na figura, AB
↔
// DE
↔
. O valor de α é:
a) 80° b) 40° c) 20° d) 15° e) 30°
� O valor de α na figura seguinte é:
a) 20° b) 30° c) 40° d) 50° e) 60°
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 119
120 MATEMÁTICA
� (PUC) – Na figura seguinte, sendo a paralela a b, então o
valor de x é:
a) 18° b) 45° c) 90° d) 60° 30’ 10” e) 60°
	 (UNICAMP – MODELO ENEM) – Para calcular a circun -
ferência ter res tre, o sábio Eratóstenes valeu-se da distância co -
nhe cida de 800 km entre as localidades de Ale xandria e Siena
no Egito (A e S, respec ti vamente), situadas no mesmo
meridiano terrestre. Ele sabia que, quando em Siena os raios
solares caíam verticalmente, em Alexandria eles faziam um
ângulo de 7,2° com a vertical. Calcule, com esses dados, a
circunferência terrestre, isto é, o com primento de uma volta
completa em torno da Terra.
Módulo 4 – Triângulos
Nos exercícios de � a �, calcule x, associando-o com:
a) 40° b) 60° c) 70° d) 90° e) 100°
� 
� 
� 
Nos exercícios de � a �, determine o valor de x e associe
com as alternativas seguintes:
a) 30° b) 100° c) 110° d) 120° e) 130°
� 
� 
� 
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 120
121MATEMÁTICA
� 
	 O aeromodelo da figura seguinte está preso no teto de
uma loja por dois fios de náilon, como mostra a figura seguinte.
Se a medida do ângulo B
^
AC é o dobro da medida do ângulo
B
^
CA e A
^
BC = 69°, então a medida do ângulo B
^
AC é:
a) 70° b) 72° c) 74° d) 76° e) 78° 
 (PUC) – Na figura seguinte, o ângulo AD
^
C é reto. O valor
em graus do ângulo CB
^
D é igual a:
a) 95 b) 100 c) 105 d) 110 e) 120
� (PUC) – Na figura seguinte, a = 100° e b = 110°. Quanto
mede o ângulo x?
a) 30° b) 50° c) 80° d) 100° e) 120°
� (PUC) – Na figura seguinte, as retas r e s são paralelas.
Então, os ângulos a, b, c e d medem, nessa ordem:
a) 60°, 30°, 70° e 60° b) 70°, 30°, 80° e 70°
c) 60°, 45°, 80° e 60° d) 80°, 45°, 70° e 80°
e) 70°, 30°, 70° e 70°

 Um programa de edição de imagens possibilita transfor -
mar figuras em outras mais complexas. Deseja-se cons truir
uma nova figura a partir da ori ginal. A nova figura deve
apresentar simetria em relação ao ponto O. 
Figura original 
A imagem que representa a nova figura é: 
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 121
122 MATEMÁTICA
Módulo 5 – Segmentos notáveis do triângulo
� (FUVEST) – Num triângulo isósceles, o ângulo A^ mede
100°. Qual o ângulo formado pelas alturas que não passam
pelo vértice A?
� (FUVEST) – Na figura, AB = AC, BX = BY e CZ = CY. Se o
ângulo A^ mede 40°, então o ângulo XY
^
Z mede
a) 40° b) 50° c) 60° d) 70° e) 90°
� (FUVEST – MODELO ENEM) – Na figura seguinte, 
AB = AC, O é o ponto de encon tro das bissetrizes do triângulo
ABC, e o ângulo B^OC é o triplo do ângulo ^A. Então a medida do
ângulo A^ é:
a) 18° b) 12° c) 24° d) 36° e) 15°
� Assinale a única figura a seguir que se encaixa
na se guinte descrição: O triân gulo PQR é um
triângulo retângulo com ân gulo reto em R. O
lado RQ é menor que o lado PR. M é o ponto médio do lado PQ
e N é o ponto médio do lado QR. S é um ponto dentro do
triângulo. O lado MN é maior do que o lado MS.
� Na figura seguinte, tem-se AB = BC = CD = DE = EF.
Determine a medida do angulo CA
^
B, dado que a medida do
ângulo DE^ F é igual a 20°.
� (FUVEST) – Num triângulo ABC, os ângulos B^ e C^ medem
50° e 70°, respectivamente. A bissetriz relativa ao vértice A
forma com a reta BC ângulos proporcionais a:
a) 1 e 2 b) 2 e 3 c) 3 e 4 d) 4 e 5 e) 5 e 6
� (FUVEST) – Um triângulo ABC tem ângulo A^ = 40° e 
B
^
= 50°. Qual o ângulo formado pelas alturas relativas aos
vértices A
^
e B
^
desse triângulo?
a) 30° b) 45° c) 60° d) 90° e) 120°
	 (FGV) – Na figura, o triângulo AHC é retângulo em H e s 
é a reta suporte da bissetriz do ângulo CA
^
H. Se c = 30° e 
b = 110°, então:
a) x = 15° b) x = 30° c) x = 20°
d) x = 10° e) x = 5°As bissetrizes dos ângulos internos B^ e C^ de um triângulo
ABC interceptam-se num ponto I. Se a medida do ângulo BA
^
C
é de 40°, então a medida do ângulo BI
^
C é igual a:
a) 80° b) 90° c) 110° d) 120° e) 130°
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 122
123MATEMÁTICA
� Num triângulo ABC em que o ângulo B^ é maior que o
ângulo C
^
, o ângulo que a bissetriz AS
—
forma com a altura AH
—
,
relativas ao vértice A, é igual a:
a) b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
Módulo 6 – Triângulo retângulo e condição de
existência de um triângulo
� No triângulo ABC da figura seguinte, tem-se: AB = x, 
BC = y e AC = z.
Qual das afirmações abaixo é falsa?
a) x < y + z b) y < x + z 
c) z < x + y d) � y – z � < x < y + z 
e) x + y < z
� Em um triângulo, dois lados medem, respectivamente, 5 e
8. O menor valor inteiro possível para a medida do terceiro lado
é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 12 e) 13
� (PUC) – Se a, b e c são medidas de três segmentos,
então:
a) se a < b < c, então existe um triângulo cujos lados medem
a, b e c.
b) se a = b + c, então existe um triângulo cujos lados medem
a, b e c.
c) se a < b + c, então existe um triângulo cujos lados medem
a, b e c.
d) se a > b + c, então existe um triângulo cujos lados medem
a, b e c.
e) todas as afirmações anteriores são falsas.
� (UFGO) – Se dois lados de um triângulo medem
respectivamente 3 cm e 4 cm, podemos afirmar que a medida
do terceiro lado é:
a) igual a 5 cm b) igual a 1 cm 
c) igual a ����7 cm d) menor que 7 cm 
e) maior que 2 cm
� (COLÉGIO NAVAL) – Dois lados de um triângulo são
iguais a 4 cm e 6 cm. O terceiro lado é um número inteiro
expresso por x2 + 1, com x ∈ �. O seu perímetro é:
a) 13 cm b) 14 cm c) 15 cm
d) 16 cm e) 20 cm
� Seja ABC um triângulo retângulo, onde ^A = 90°. Se a altura
—
AH forma com a mediana 
—
AM um ângulo de 20°, então os
ângulos agudos desse triângulo são:
a) 40° e 50° b) 35° e 55° c) 30° e 60° 
d) 25° e 65° e) 45° e 45° 
� (FUVEST) – A hipotenusa de um triân gulo retângulo mede
20 cm e um dos ângulos mede 20°.
a) Qual a medida da mediana relativa à hipotenusa?
b) Qual a medida do ângulo formado por essa mediana e pela
bissetriz do ângulo reto?
	 (UNICAMP) 
a) Quantos são os triângulos não congruentes cujas medidas
dos lados, em metros, são números inteiros e cujos períme -
tros medem 11 metros?
b) Quantos dos triângulos considerados no item anterior são
equi láteros? E quantos são isósceles?
Módulo 7 – Congruência de triângulos
Associar as questões de � a � com as alternativas:
a) os elementos fornecidos não permitem con cluir que os
triângulos são côngruos.
b) os triângulos são côngruos pelo caso LAL.
c) os triângulos são côngruos pelo caso ALA.
d) os triângulos são côngruos pelo caso LLL.
e) os triângulos são côngruos pelo caso LAAo.
�
�
B
^
+ C
^
––––––
2
C
^
–––
2
B
^
–––
2
2B
^
– C
^
–––––––
2
B
^
– C
^
––––––
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 123
124 MATEMÁTICA
�
� Com os dados da figura seguinte calcule x e y.
� (MODELO ENEM) – Daniel Sheridan é um estudante da
Universidade de Coventry, na Grã-Bretanha. Cursando design,
ele teve uma ideia bem interessante para vencer um daqueles
concursos que promovem inventos a favor do meio ambiente
e da salvação da humanidade: criou uma gangorra que gera
ener gia elétrica. Tudo bem, não é nada demais, você pode
pensar. Calma, vamos falar um pouco mais sobre o invento. O
estudante teve a ideia de fazê-lo enquanto viajava para traba -
lhar como voluntário em uma escola no sul de Mombasa, no
Quênia. Lá estava ele observando as crian ças quando teve
uma "luz" – palavra bem apropriada. Ele calculou que com cinco
ou dez minutos de brincadeira, as crianças poderiam iluminar
uma sala de aula durante a noite toda! 
http://neuroniohiperativos.blogspot.com
Na gangorra da figura seguinte, temos: 
AB = AC, B
^
AC = 20° e A
^
DC = 15°. 
Assim, a medida do ângulo B
^
AE é:
a) 75° b) 80° c) 85° d) 90° e) 95°
� (MODELO ENEM) – Durante o ataque de um time de
basquete, o treinador pediu a seus jogadores, A, B, C, D e E,
para se posicionarem como aparece no esquema seguinte.
Se AE = EB = BC, CE = CD, A
^
CD é reto e C
^
DE = 65°, então,
a medida do angulo A
^
EB é:
a) 12° b) 14° c) 16° d) 18° e) 20°
� (UNICAMP-MODELO ENEM) – Em um aparelho
experimen tal, um feixe laser emitido no ponto P reflete
internamente três vezes e chega ao ponto Q, percorrendo o
trajeto PFGHQ. Na figura abaixo, considere que o com primento
do segmento PB é de 6 cm, o do lado AB é de 3 cm, o polígono
ABPQ é um retângulo e os ângulos de incidência e reflexão são
congruentes, como se indica em cada ponto da reflexão
interna. Qual é a distância total percorrida pelo feixe luminoso
no trajeto PFGHQ?
a) 12 cm. b) 15 cm. c) 16 cm. d) 18 cm.
	 (FUVEST) – Na figura abaixo AB = AC, CB = CD e A^ = 36°.
a) Calcule os ângulos DC
^
B e AD
^
C.
b) Prove que AD = BC.
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 124
125MATEMÁTICA
 (FUVEST) – Um avião levanta voo para ir da cidade A à
cidade B, situada a 500 km de distância. Depois de voar 
250 km em linha reta o piloto descobre que a rota está errada
e, para corrigi-la, ele altera a direção de voo de um ângulo de
90°. Se a rota não tivesse sido corrigida, a que distância ele
estaria de B após ter voado os 500 km previstos?
Módulo 8 – Polígonos
� A soma dos ângulos internos de um heptágono convexo é:
a) 360° b) 540° c) 1400° 
d) 900° e) 180°
� Qual a medida do ângulo interno de um hexágono regular?
� Qual o polígono convexo cujo número de diagonais é o
dobro do número de lados?
� (UNIABC – MODELO ENEM) – Um joalheiro recebe uma
en comenda para uma joia poligonal. O comprador exige que o
número de lados seja igual ao número de diagonais. Sendo
assim, o joalheiro deve pro duzir uma joia
a) triangular. b) quadrangular. c) pentagonal.
d) hexagonal. e) decagonal.
� Cada um dos ângulos externos de um polígono regular
mede 15°. Quantas diagonais tem esse polígono?
� (VUNESP – MODELO ENEM) – As figu ras indicam quatro
ladrilhos na forma de polí gonos regulares:
Admita as seguintes junções de ladrilhos pelo vértice P:
I. três ladrilhos T e um ladrilho H;
II. três ladrilhos T e dois ladrilhos Q;
III. um ladrilho T, um ladrilho P e um ladrilho H;
IV. um ladrilho T, dois ladrilhos Q e um la drilho H.
Entre as junções descritas, as únicas que constituem um
preen chi mento perfeito do plano, sem sobre posição ou quebra
de ladrilho, são, apenas,
a) I e II b) I e IV c) II e III 
d) II e IV e) III e IV
� 
Uma das expressões artísticas mais famosas associada aos
conceitos de simetria e congruência é, talvez, a obra de
Maurits Comelis Escher, artista holandês cujo trabalho é
amplamente difundido. A figura apresentada, de sua autoria,
mostra a pavimentação do plano com cavalos claros e cavalos
escuros, que são congruentes e se encai xam sem deixar
espaços vazios.
Realizando procedimentos análogos aos feitos por Escher,
entre as figuras abaixo, aquela que poderia pavimentar um
plano, utilizando-se peças congruentes de tonalidades claras e
escuras é
	 
Disponível em: http://www.diaadia.pr.gov.br. 
Acesso em: 28 abr. 2010 
O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por
rotações, em torno de seu centro, de
a) 45°. b) 60°. c) 90°. d) 120°. e)180°.
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 125
126 MATEMÁTICA
 Na construção civil, é muito comum a
utilização de ladrilhos ou azulejos com a forma
de polígonos para o revestimento de pisos ou
paredes. Entretanto, não são todas as combinações de
polígonos que se prestam a pavi mentar uma superfície plana,
sem que haja falhas ou superpo sições de ladrinhos, como
ilustram as figuras.
A tabela traz uma relação de alguns polígonos regulares, com
as respectivas medidas de seus ângulos internos.
Se um arquiteto deseja utilizar uma combinação de dois tipos
diferentes de ladrilhos entre os polígonos da tabela, sendo um
deles octogonal, o outro tipo escolhido deverá ter a forma de
um
a) triângulo. b) quadrado. c) pentágono.
d) hexágono. e) eneágono.
Módulo 9 – Polígonos
� O número de lados de um polígono é igual à terça parte do
nú mero de diagonais. O nú mero de lados desse polígono é
igual a:
a) 6 b) 9 c) 12 d) 18 e) 27
� (UnB) – Num polígono convexo, o número de lados é o
dobro do número de diagonais. Calcule o número de lados do
polígono.
� A soma das medidas dos ângulos internos de um
decágono convexo é igual a:
a) 1000° b) 1080° c) 1180° 
d) 1440° e) 1800°
� Calcule a soma dos ângulos internos de um polí gono
regular cujo número de lados é a terça parte do número de
diagonais.
� (USF – MODELO ENEM) – O polígono re gular cujo ângulo
interno mede o triplo do ângulo externo é o
a) pentágono. b) hexágono. c) octógono.
d) decágono. e) dodecágono.
� Um polígono regular de m lados pode ser
“envol vido” por, exatamente, m polígo nos
regulares con gruen tes de n lados.
Os exemplos da figura mostram que para m = 4 resulta n = 8 e
para m = 6 obtém-se n = 6.
Para m = 10 o polígono regular de n lados será o 
a) decágono b) octógono c) pentágono 
d) quadrado e) triângulo
� (MACKENZIE) – Os ângulos externos de um polígono
regular medem 20°. Então, o número de diagonais desse
polígono é:
a) 90 b) 104 c) 119 d) 135 e) 132
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 126
127MATEMÁTICA
	 A soma das medidas dos doze ângulos agudos assinalados
na figura seguinte é igual a:
a) 180° b) 360° c) 450° d) 540° e) 720°
 (MACKENZIE) – Se de cada vértice de um polígono regular
partem 15 diagonais, a medida dos ângulos internos desse
polígono, em radianos, é:
a) b) c) d) e) 
Módulo 10 – Quadriláteros notáveis
� Assinale a afirmação falsa.
a) Todo quadrado é um retângulo.
b) Todo quadrado é um losango.
c) Todo losango é um paralelogramo.
d) Todo retângulo é um paralelogramo.
e) Todo trapézio é um paralelogramo.
� Assinale a afirmação falsa.
a) As diagonais de um paralelogramo intercep tam-se no ponto
médio.
b) As diagonais de um losango são perpen diculares.
c) As diagonais de um losango são bissetrizes dos ângulos
internos.
d) As diagonais de um retângulo são con gruen tes.
e) As diagonais de um paralelogramo são con gruentes.
� Determinar o menor ângulo de um para lelo gramo, cuja
diferença entre dois ângulos internos seja 64°.
� (UNESP) – Considere as seguintes pro posi ções:
• todo quadrado é um losango.
• todo quadrado é um retângulo.
• todo retângulo é um paralelogramo.
• todo triângulo equilátero é isósceles.
Pode-se afirmar que:
a) só uma é verdadeira.
b) todas são verdadeiras.
c) só uma é falsa.
d) duas são verdadeiras e duas são falsas.
e) todas são falsas.
� (PUCCAMP) – Na figura a seguir, tem-se representado o
losango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm.
A medida do lado desse losango, em cen tímetros, é
a) 6���3 b) 6 c) 4���3 d) 4 e) 2���3
� (FGV) – Uma folha de papel retangular dobrada ao meio no
com primento e na largura fica com 42 cm de perímetro. No
entanto, se dobrada em três partes iguais no comprimento e
em duas partes iguais na largura, fica com 34 cm de perímetro.
O módulo da diferença das dimensões dessa folha é:
a) 12 cm b) 10 cm c) 9 cm d) 8 cm e) 6 cm
� (UNESP – MODELO ENEM) – Uma certa propriedade rural
tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e
XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respecti vamente, e o
lado YZ margeia um rio.
Se o ângulo X
^
YZ é o dobro do ângulo X 
^
WZ, a medida, em km,
do lado YZ que fica à margem do rio é:
a) 7,5. b) 5,7. c) 4,7. d) 4,3. e) 3,7.
	 (UNICAMP) – A figura abaixo exibe um retângulo ABCD
decom posto em quatro quadrados. 
O valor da razão AB / BC é igual a 
a) 5/3. b) 5/2. c) 4/3 d) 3/2.
17π
––––
10
7π
–––
8
6π
–––
7
11π
––––
12
8π
––––
9
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 127
128 MATEMÁTICA
 O losango representado na Figura 1 for
formado pela união dos centros das quatros
cirunferências tan gentes, de raios de mesma
medida.
Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em
vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a
configuração das tangências, obtém-se uma situação
conforme ilustrada pela Figura 2.
O perímetro do losango da Figura 2, quando compararado ao
perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de
a) 300%. b) 200%. c) 150%. 
d) 100%. e) 50%.
Módulo 11 – Quadriláteros notáveis
� (MACKENZIE – MODELO ENEM) – Na figura, ABCD é um
qua drado e APD é um triângulo equilátero. A medida do ângulo
α, em graus, é
a) 65. b) 55. c) 80. d) 60. e) 75.
� No trapézio ABCD da figura seguinte, tem-se AB = BD e 
BC = CD = DA. A medida α do ângulo BÂD assinalado é igual
a:
a) 75° b) 72° c) 60° d) 45° e) 36°
� (ESPECEX) – Na figura a seguir, ABCD é um quadrado e
BCE é um triângulo equi látero. Calcular, em graus, a medi da do
ângulo B
^
FD.
� (MODELO ENEM) – Um artista criou um mosaico
utilizando pen tágonos regulares e losangos, dispostos como
mostra a figura.
Para recortar as peças do mosaico, o artista pre cisa conhecer
a medida dos ângulos das figuras.
Sabendo-se que cada ângulo interno de um pentágono regular
mede 108°, os ângulos internos dos losangos devem medir:
a) 18° e 162° b) 30° e 150° c) 36° e 144° 
d) 54° e 126° e) 36° e 126°
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 128
129MATEMÁTICA
� (UNESP) – Uma parede de 350 cm de altura e 500 cm de
com primento será revestida de azulejos quadrados iguais.
Despre zando-se a necessidade de deixar espaço entre os
azulejos e supondo-se que não haverá perdas prove nien tes do
corte deles, 
a) determine o número de azulejos de 20 cm de lado neces -
sários para revestir a parede;
b) encontre a maior dimensão de cada peça de azulejo para
que não haja necessidade de cortar nenhum deles.
� Um pátio de grandes dimen sões vai ser
revestido por pastilhas quadradas brancas e
pretas, segundo o padrão represen tado
abaixo, que vai ser repetido em toda a extensão do pátio. As
pastilhas de cor branca custam R$ 8,00 por metro quadrado e
as de cor preta, R$ 10,00. O custo por metro quadrado do
reves timen to será de
a) R$ 8,20 b) R$ 8,40 c) R$ 8,60 
d) R$ 8,80 e) R$ 9,00 
� (FUVEST) – Na figura abaixo, os ângulos â , b^, c^ e d^
medem, respectivamente, , 2x, e x. O ângulo e^ é reto.
Qual a medida do ângulo f
^
?
a) 16° b) 18° c) 20° d) 22° e) 24°
	 (UNIP) – O quadrilátero ABDE é um quadrado e o triângulo
ABC é equilátero. O ângulo CD
^
A vale:
a) 15° b) 20° c) 25° d) 30° e) 35°
 (CESGRANRIO)No quadrilátero ABCD da figura anterior, são traçadas as
bissetrizes CM e BN, que formam entre si o ângulo α. A soma
dos ângulos internos A e D desse quadrilátero corresponde a:
a) α/4 b) α/2 c) α d) 2α e) 3α
Módulo 12 – Linhas proporcionais
� De acordo com os dados da figura, calcule x e associe
com:
a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8
� Num triângulo ABC, temos AB = 8 cm, BC = 7 cm e 
AC = 6 cm. Sendo S o ponto de intersecção de 
—
BC com a
bissetriz do ângulo interno A^ , determine BS.
� (CESGRANRIO) – No triângulo ABC da figura, CD––– é a
bissetriz do ângulo interno em C. Se AD = 3 cm, DB = 2 cm e
AC = 4 cm, então o lado BC
–––
mede, em centímetros 
a) 3 b) c) 
 
d) 
 
e) 4
� (FEI) – Três terrenos têm frentes para a rua “A” e para a
rua “B”, conforme a figura. As divisas laterais são
perpendiculares à rua “A”. Qual a medida de frente para a rua
“B” de cada lote, sabendo-se que a frente total para essa rua
é 120 m?
3x
––
2
x
––
2
8
––
3
7
––
2
5
––
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 129
130 MATEMÁTICA
� (CESGRANRIO)
As retas r1, r2 e r3 são paralelas e os comprimentos dos seg -
mentos das transversais s e t são os indicados na figura. Então
x é igual a
a) 
 
b) 
 
c) 5 d) 
 
e) 6
� (UnB) – Considere a figura abaixo. Sabendo-se que os
segmentos AB
–––
, BC
–––
e A’B’
–––
têm comprimentos 4 cm, 2 cm e 
8 cm, respec tivamente, determine o comprimento do segmen -
to B’C’
–––
.
� (FEI) – O perímetro de um triângulo ABC é 100 m. A
bissetriz interna do ângulo A^ divide o lado oposto BC
—
em dois
segmentos de 16 m e 24 m. Determinar os lados desse
triângulo.
	 (UNIUBE) – Na figura, CD⎯→ é bissetriz interna do ângulo C^ .
Sendo AD = 12 cm e BD = 15 cm, a medida do segmento AC
—
é igual a
a) 30 cm b) 24 cm c) 18 cm
d) 15 cm e) 10 cm
 (FGV) – Na figura, ABC é um triângulo com AC = 20 cm, 
AB = 15 cm e BC = 14 cm.
Sendo AQ e BP bissetrizes interiores do triângulo ABC, o
quociente
é igual a
a) 0,3 b) 0,35 c) 0,4 d) 0,45 e) 0,5
Módulo 13 – Semelhança de triângulos
� (MODELO ENEM) – O senhor Oscar, um velho
engenheiro apo sen tado, atualmente vive em sua propriedade
rural, onde com plementa a sua renda mensal proveniente do
INSS com a produção e venda de produtos agrícolas.
Nas horas de folga, o senhor Oscar costuma pescar às
margens do rio do Peixe, que serve de divisa para a sua
fazenda.
Um belo dia, ele estava num ponto O da margem direita de um
trecho retilíneo do rio e resolveu calcular a sua largura naquele
ponto sem atravessá-lo. Para isso, tomou como referência uma
pequena pedra localizada no ponto P da margem esquerda e na
perpen dicular às margens por O. Além disso, marcou com
estacas os pontos A, B e C do lado da margem que se
encontrava de tal forma que a reta OB
↔
fosse paralela à reta AC
↔
,
os pontos A, O e P fossem alinhados entre si, C, B e P
também.
Na sequência, munido de uma trena, o senhor Oscar mediu as
distân cias entre as estacas, obtendo os seguintes valores: 
OA = 20 m, OB = 24 m e AC = 40 m.
A largura do rio do Peixe, em metros, naquele ponto é igual a
a) 28 b) 30 c) 33 d) 36 e) 48
8
––
5
15
–––
2
21
–––
5
QR
––––
AR
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 130
131MATEMÁTICA
� (CESGRANRIO) – Certa noite, uma moça de 1,50 m de
altura estava a dois metros de distância de um poste de luz de 
4 m de altura. O comprimento da sombra da moça no chão era de
a) 0,75 m b) 1,20 m c) 1,80 m 
d) 2,40 m e) 3,20 m
� Na figura abaixo, tem-se: AE = 1 cm, BC = 3 cm e 
CD = 7 cm. A me di da em centímetros de BE
—
é:
a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
� Com os dados da figura seguinte, determine x.
� Calcular a altura relativa ao vértice E do triângulo ECD da
figura, sabendo-se que o quadrilátero ABCD é um trapézio.
� O gráfico mostra o número de favelas no mu -
nicípio do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse nú mero
entre os anos con siderados é linear.
Favela Tem Memória. Época. N.o 621, 12 abr. 2010 (adaptado).
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos
próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010
é 968, então o número de favelas em 2016 será
a) menor que 1 150.
b) 218 unidades maior que em 2004.
c) maior que 1 150 e menor que 1 200.
d) 177 unidades maior que em 2010.
e) maior que 1 200.
� Um pesquisador, ao explorar uma floresta,
fotografou uma caneta de 16,8 cm de com -
primen to ao lado de uma pegada. O com -
primento da caneta (c), a largura (L) e o comprimento (C) da
pegada, na fotografia, estão indicados no esquema. 
A largura e o comprimento reais da pegada, em centí metros,
são, respectivamente, iguais a 
a) 4,9 e 7,6. b) 8,6 e 9,8. c) 14,2 e 15,4. 
d) 26,4 e 40,8. e) 27,5 e 42,5. 
	 (UNESP-MODELO ENEM) – Uma mesa de passar roupa
possui pernas articuladas
—
AB e
—
CD, conforme indica a figura.
Sabe-se que AB = CD = 1 m, e que M é ponto médio dos
segmentos coplanares 
—
AB e 
—
CD. Quando a mesa está armada,
o tampo fica paralelo ao plano do chão e a medida do ângulo
A ^MC é 60°.
Considerando-se desprezíveis as medidas dos pés e da
espessura do tampo e adotando ���3 = 1,7, a altura do tampo
dessa mesa armada em relação ao plano do chão, em
centímetros, está entre
a) 96 e 99. b) 84 e 87. c) 80 e 83.
d) 92 e 95. e) 88 e 91.
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 131
132 MATEMÁTICA
 (FUVEST-MODELO ENEM) – O imposto de renda devido
por uma pessoa física à Receita Federal é função da chamada
base de cálculo, que se calcula subtraindo o valor das
deduções do valor dos rendimentos tributáveis. O gráfico
dessa função, representado na figura, é a união dos
segmentos de reta 
—
OA, 
—
AB, 
—
BC, 
—
CD e da semirreta 
→
DE. João
preparou sua declaração tendo apurado como base de cálculo
o valor de R$ 43.800,00. Pouco antes de enviar a declaração,
ele encontrou um documento esquecido numa gaveta que
com provava uma renda tributável adicional de R$ 1.000,00. Ao
corrigir a declaração, informando essa renda adicional, o valor
do imposto devido será acrescido de
a) R$ 100,00 b) R$ 200,00 
c) R$ 225,00 d) R$ 450,00 
e) R$ 600,00 
Módulo 14 – Semelhança de triângulos 
� (FUVEST) – Na figura, o triângulo ABC é retângulo em A,
ADEF é um quadrado, AB = 1 e AC = 3. Quanto mede o lado
do qua drado?
a) 0,70 b) 0,75 c) 0,80 d) 0,85 e) 0,90
� Na figura a seguir, o quadrado PQRS tem 7,2 cm de lado e
a base 
—
BC do triângulo ABC mede 18 cm. A altura h do
triângulo ABC mede:
a) 8 cm b) 12 cm c) 14 cm 
d) 20 cm e) 24 cm
� (MODELO ENEM) – A fotografia mostra uma turista
aparen temente beijando a esfinge de Gizé, no Egito. A figura a
seguir mostra como, na verdade, foram posicionadas a câmera
fotográfica, a turista e a esfinge.
Medindo-se com uma régua diretamente na fo to grafia, verifica-
se que a medida do queixo até o alto da cabeça da turista é
igual a 2/3 da medida do queixo da esfinge até o alto da sua
cabeça. Con sidere que essas medidas na realidade são
represen tadas por de d e d’, res pec ti vamente, que a dis tância
da esfinge à lente da câmera fotográ fica, localizada no plano
horizontal do queixo da turista e da esfinge, é representada por
b, e que a distância da turista à mesma lente, por a.
A razão entre b e a será dada por
a) =
 
b)= 
 
c)
 
=
d) =
 
e)
 
=
b
–––
a
3d
–––
3c
b
–––
a
d’
–––
c
b
–––
a
3d
–––
2c
2d’
–––
c
b
–––
a
2d’
–––
3c
b
–––
a
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 132
133MATEMÁTICA
� (UNICAMP) – Os lados do triangulo ABC da figura abaixo
tem as se guintes medidas: 
—
AB = 20, 
—
BC = 15 e 
—
AC = 10.
a) Sobre o lado BC marca-se um ponto D tal que 
—
BD = 3 e
traca-se o segmento DE paralelo ao lado AC . Ache a razao
entre a altura H do triangulo ABC relativa ao lado AC e a
altura h do triangulo EBD relativa ao lado ED, sem explicitar
os valores de h e H.
b) Calcule o valor explícito da altura do triangulo ABC em
relacao ao lado AC .
� (FUVEST) – Na figura, o triângulo ABC é retângulo com
catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso, o ponto D pertence ao
cateto AB
––
, o ponto E pertence ao cateto 
—
BC e o ponto F
pertence à hipo tenusa 
—
AC, de tal forma que DECF seja um
paralelogramo. Se DE = 3/2, então a área do paralelogramo
DECF vale
a) 
 
b) 
 
c) 
 
d) 
 
e) 
� (UNICAMP) – Um artesão precisa recortar um retângulo
de couro com 10 cm x 2,5 cm. Os dois retalhos de couro
disponíveis para a obtenção dessa tira são mostrados nas
figuras abaixo.
a) O retalho semicircular pode ser usado para a obtenção da
tira? Justifique.
b) O retalho triangular pode ser usado para a obtenção da tira?
Jus tifique.
� (UNESP-MODELO ENEM) – Para que alguém, com o olho
normal, possa distinguir um ponto separado de outro, é
necessário que as imagens desses pontos, que são projetadas
em sua retina, estejam separadas uma da outra a uma
distância de 0,005 mm.
Adotando-se um modelo muito simplificado do olho humano
no qual ele possa ser considerado uma esfera cujo diâmetro
médio é igual a 15 mm, a maior distância x, em metros, que dois
pontos luminosos, distantes 1 mm um do outro, podem estar do
observador, para que este os perceba separados, é
a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5.
Módulo 15 – Semelhança de triângulos 
� Na figura, ABCD é um quadrilátero e PQRS é outro
quadrilátero cujos vértices são os pontos médios dos lados de
ABCD. 
Calcule a soma das medidas das diagonais AC
—
e BD
—
sa ben -
do que PQ = 5 e QR = 4.
� Sejam —AC e —BD as diagonais de um quadrilátero ABCD, com
medidas 12 cm e 10 cm, respecti va mente e P, Q, R e S os
pontos médios dos lados do mesmo. Calcule o perí metro do
quadrilátero PQRS.
� (PUC) – Dois mastros verticais, com alturas de 2 m e 8 m,
têm suas bases fixadas em um terreno plano, distantes 10 m
uma da outra. Se duas cordas fossem esticadas, unindo o topo
de cada mastro com a base do outro, a quantos metros da
superfície do terreno ficaria a inter secção das cordas?
a) 2,4 b) 2,2 c) 2 d) 1,8 e) 1,6
56
–––
25
58
–––
25
12
–––
5
63
–––
25
11
–––
5
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 133
134 MATEMÁTICA
� (FUVEST) – Em uma mesa de bilhar, coloca-se uma bola
branca na posição B e uma bola vermelha na posição V,
conforme o es que ma abaixo.
Deve-se jogar a bola branca de modo que ela siga a trajetória
indicada na figura e atinja a bola vermelha. Assumindo que, em
cada colisão da bola branca com uma das bordas da mesa, os
ângulos de incidência e de reflexão são iguais, a que distância
x do vértice Q deve-se jogar a bola branca?
� (FGV) – No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC = 6 e o lado 
—
BC foi prolongado, como mostra a figura, até o ponto P, for -
mando-se o triângulo PAB, semelhante ao triângulo PCA. 
O comprimento do segmento 
—
PC é
a) 7. b) 8. c) 9. d) 10. e) 11.
� (FUVEST) – Na figura abaixo, as distâncias dos pontos A e
B à reta r valem 2 e 4. As projeções ortogonais de A e B sobre
essa reta são os pontos C e D. Se a medida de CD
—
é 9, a que
distância de C deverá estar o ponto E, do segmento CD
—
, para
que C
^
EA = DE
^
B?
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
� (MODELO ENEM) – Num projeto paisagístico para um
jardim, o terreno triangular ABC foi subdividido em duas áreas
triangulares, I e II, e uma região com a forma de um
paralelogramo, identificado por III, na figura com medidas em
metros. Nas regiões I e II foram plantadas flores e a região III
foi gramada. A medida do lado ED do paralelogramo é:
a) 15 m. b) 14 m. c) 12 m. d) 10 m. e) 8 m.
	 (FUVEST) – A figura representa um retângulo ABCD, com 
AB = 5 e AD = 3. O ponto E está no segmento 
—
CD de maneira
que CE = 1, F é o ponto de intersecção da diagonal 
—
AC com
seg mento 
—
BE. Então a área do triângulo BCF vale
a)
 
b)
 
c)
 
d)
 
e)
 
 
Módulo 16 – Relações métricas nos triângulos 
� No triângulo retângulo da figura abaixo, calcule a, h, m e n.
7
–––
5
4
–––
3
5
–––
4
6
–––
5
3
–––
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 134
135MATEMÁTICA
� Dado o triângulo retângulo abaixo, no qual AB = 5 e 
AH = 2����5, calcule AC.
 
� (FEI) – Se, em um triângulo, os lados medem 9 cm, 12 cm
e 15 cm, então a altura relativa ao maior lado mede:
a) 8,0 cm b) 7,2 cm c) 6,0 cm 
d) 5,6 cm e) 4,8 cm
� (PUC) – No esquema a seguir, a reta AB representa a
trajetória de um navio e no ponto I localiza-se uma ilha. Quando
o navio se encontra no ponto A, AI = 60 km e quando o navio
está em B, BI = 48 km. Se BI é a menor das distâncias do navio
à ilha, quando o navio estiver em C, a distância dele à ilha será,
em quilô me tros:
a) 40 b) 60 c) 80 d) 100 e) 120
� (FUVEST) – No jogo de bocha, dis putado num terreno
plano, o objetivo é con seguir lançar uma bola de raio 8 o mais
próximo possível de uma bola menor, de raio 4. Num
lançamento, um jogador conseguiu fazer com que as duas
bolas ficassem encostadas, conforme ilustra a figura abaixo. A
distância entre os pontos A e B, em que as bolas tocam o
chão, é:
a) 8 b) 6���2 c) 8���2 
d) 4���3 e) 6���3 
� (FUVEST) – Um lenhador empilhou 3 troncos de madeira
num caminhão de largura 2,5 m, conforme a figura abaixo.
Cada tronco é um cilindro reto, cujo raio da base mede 0,5 m.
Logo, a algura h, em metros, é:
a)
 
b) 
 
c) 
d) 1 + 
 
e) 1 + 
� Considere três circunferências de centros A, B e C, de
mesmo raio R, duas a duas tangentes exteriormente e as retas
paralelas r e s tangentes às circunferências conforme a figura
abaixo. Calcule a distância entre as retas r e s em função de R.
 
	 (UNESP-MODELO ENEM) – Em 09 de agosto de 1945,
uma bomba atômica foi detonada sobre a cidade japonesa de
Nagasaki. A bomba explodiu a 500 m de altura acima do ponto
que ficaria conhecido como “marco zero”.
(www.nicholasgimenes.com.br) 
(http.//wemersonji.blogsport.com.br)
1 + ���7
––––––––
4
1 + ���7
––––––––
3
1 + ���7
––––––––
2
���7
–––––
4
���7
–––––
3
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 135
136 MATEMÁTICA
No filme Wolverine Imortal, há uma sequência de imagens na
qual o herói, acompanhado do militar japonês Yashida, se
encontrava a 1 km do marco zero e a 50 m de um poço. No
momento da explosão, os dois correm e se refugiam no poço,
chegando nesse local no momento exato em que uma nuvem
de poeira e material radioativo, provocada pela explosão, passa
por eles.
A figura a seguir mostra as posições do “marco zero”, da
explosão da bomba, do poço e dos personagens do filme no
momento da explosão da bomba.
Se o ventos provocados pela explosão foram de 800 km/h e
adotando a aproximação ���5 	 2,24, os personagens correram
até o poço, em linha reta, com uma velocidade média, em
km/h, de aproximadamente
a) 28. b) 24. c) 40. d) 36. e)32.
 (UNESP) – No futebol, um dos gols mais bonitos e raros
de se ver é o chamado gol olímpico, marcado como resultado
da cobrança direta de um escanteio.
(www.nominuto.com)
Suponha que neste tipo de gol:
1.o) a projeção da trajetória da bola descreva um arco de
circunferência no plano do gramado;
2.o) a distância (d) entre o ponto da cobrança do escanteio e o
ponto do campo em que a bola entra no gol seja 40 m;
3.o) a distância máxima (h) da projeção da trajetória da bola à
linha de fundo do campo seja 1 m.
Determine o raio da circunferência (R), em metros, do arco
descrito pela trajetória da bola, com uma casa deci mal de
aproximação.
� (UNESP) – A história da matemática mostra que, embora
o Teorema de Pitágoras fosse conhecido pelos chineses mil
anos antes do nascimento do geômetra grego, esta importante
relação métrica do triângulo retângulo recebe seu nome devido
ao fato de ser atribuída a ele sua primeira prova matemática.
Para isto, Pitágoras utilizou o conceito de área de um quadrado
de lado formado pelos segmentos de reta “a” e “b”, onde a, 
b ∈ �*.
Sendo dados o quadrado CC1C2C3 e o triângulo retângulo ABC,
prove que “o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados dos catetos”.
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 136
137MATEMÁTICA
Resolução dos Exercícios-Tarefa
FRENTE 1
Módulo 1 – Matrizes
� A = (aij)2x2 ⇔ A =
 
Se aij = 3 i – j, então:
 � � � �
 Resposta: A = � �
� Se a matriz A é de ordem 2x3 e aij = i . j, então:
 
A = = =
 
=
 Resposta: C
� A matriz de ordem 2x3 com aij = , é:
 
= = 
 
= 
 Resposta: D
� X + A = Ct ⇒
 ⇒ X + = ⇔
 ⇔ X = –
 
⇔ X =
 Resposta: X =
� I) = + C ⇔ 3X – 3A = 2B + 2X + 6C ⇔
 
 ⇔ X = 3A + 2B + 6C
 II) Para as matrizes A, B e C dadas no enun ciado, tem-se:
 
X = 3 . + 2 . + 6 . =
 = + + = 
 Resposta: B 
� Uma matriz com 5 linhas e 6 colunas possui 5x6 = 30 ele -
mentos, conforme exemplo a seguir:
 
 Para obtermos os elementos internos deve mos excluir a
primeira e última linhas, e a primeira e última colunas,
resultando uma nova matriz com 3 linhas, 4 colunas e,
portanto, 12 elementos.
 Resposta: A
� Na matriz A, de ordem 6x3, os elementos tais que 
3 � i + j � 5 são a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32 e a41.
Destes 8 elementos, 5 pos suem nomes masculinos. São
eles: Benedito (a12), Carlos (a13), Gabriel (a31), Hilário (a32)
e José (a41)
 Resposta: E 
	 A soma dos elementos da linha i, sendo 1 ≤ i ≤ 5, indica o
total proveniente das operações feitas via TED, em
milhão de real, transferido pelo banco i. Assim temos:
 
 O banco que transferiu a maior quantia via TED foi o
banco 1 que transferiu 6 milhões de reais.
 Resposta: A
� a11 a12a21 a22 �
a11 = 3 . 1 – 1
a12 = 3 . 1 – 2
a21 = 3 . 2 – 1
a22 = 3 . 2 – 2
⇔
a11 = 2
a12 = 1
a21 = 5
a22 = 4
⇒ A =
2 1
5 4
2 1
5 4
� a11a21
a12
a22
a13
a23 � �
1.1
2.1
1.2
2.2
1.3
2.3 �
� 12
2
4
3
6 �
�2i – j, se i ≠ ji + j, se i = j
� a11a21
a12
a22
a13
a23 � �
1 + 1
2.2 – 1
2.1 – 2
2 + 2
2.1 – 3
2.2 – 3 �
� 23
0
4
– 1
1 �
� 1 3 12 1 4
1 2 1
0 – 3 2
� 1 2 10 – 3 2 1 3 12 1 4
0 –1 0
–2 –4 –2
� 0 –1 0–2 –4 –2 �
X – A
––––––
2
B + X
––––––
3
� 23
1
–1 � �
–1
1
2
0 �
� 69
3
–3 � �
–2
2
4
0 � �
24
12
–6
6 � �
28
23
1
3 �
M = �
a11
a21
a31
a41
a51
a12
a22
a32
a42
a52
a13
a23
a33
a43
a53
a14
a24
a34
a44
a54
a15
a25
a35
a45
a55
a16
a26
a36
a46
a56
�
� � �
�� �
� �
� 42
–1
1 �
Banco Total transferido
1 0 + 2 + 0 + 2 + 2 = 6
2 0 + 0 + 2 + 1 + 0 = 3
3 1 + 2 + 0 + 1 + 1 = 5
4 0 + 2 + 2 + 0 + 0 = 4
5 3 + 0 + 1 + 1 + 0 = 5
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 137
138 MATEMÁTICA
Módulo 2 – Multiplicação de matrizes
� I) AB = . =
 
II) BA = . = 
 
III) AB – BA = – = 
 Resposta: B 
� AB = . =
 = = 
 
 BA = . =
 = = 
 
Resposta: AB = ; BA =
�
 
. = ⇔
 
⇔ = ⇔
 ⇔ ⇔
 Resposta: E
� A matriz que mostra a quantidade diária mínima (em
gramas) de proteínas, gor duras e carboidratos fornecida
pela inges tão daqueles alimentos é:
 
. = 
 Resposta: E
� 
 Total de botões pequenos (P) utilizados em maio: 
 3 . 100 + 1 . 50 + 3 . 50 = 500
 
 Total de botões pequenos (P) utilizados em junho: 
3 . 50 + 1 . 100 + 3 . 50 = 400
 
 
 Total de botões grandes (G) utilizados em maio:
6 . 100 + 5 . 50 + 5 . 50 = 1100
 
 Total de botões grandes (G) utilizados em junho: 
 6 . 50 + 5 . 100 + 5 . 50 = 1050
 Resposta: 
 
 Observe que a tabela acima é o produto da matriz
“número de botões x número de camisas” pela matriz
“número de cami sas x mês”, ou seja
 
. =
� Como B = A2 = A . A, temos:
 b41 = a41 . a11 + a42 . a21 + a43 . a31 + a44 . a41 + a45 . a51 =
 = 1 . 0 + 1 . 1 + 1 . 1 + 0 . 1 + 1 . 1 = 3
 Este resultado significa que existem 3 ma neiras distin tas
de a antena 4 transmitir in for mações para a antena 1,
usando apenas uma única retransmissão entre elas. A
saber:
 4 transmite para a antena 2 e esta retrans mite para 1, 4
transmite para a antena 3 e esta retransmite para 1, 4
transmite para a antena 5 e esta retransmite para 1.
 Resposta: D
�
 
. =
 Assim, a multiplicação matricial “trans lada” o ponto (x; y)
para a posição (–y; x). Conforme se vê na figura abaixo
equivale a uma rotação de 90° no sentido anti-horário em
torno da origem.
 Resposta: B
� 31
0
–4 � �
2
–1
1
0 � �
6
6
3
1 �
� 2–1
1
0 � �
3
1
0
–4 � �
7
–3
–4
0 �
� 66
3
1 � �
7
–3
–4
0 � �
–1
9
7
1 �
� 13
2
1 � �
2
1
0
2 �
� 2 + 26 + 1
0 + 4
0 + 2 � �
4
7
4
2 �
� 21 02 � �
1
3
2
1 �
� 2 + 01 + 6
4 + 0
2 + 2 � �
2
7
4
4 �
� 47 42 � � 27 44 �
� xm
y
n � �
2
4 � �
0
0 �
� 2x + 4y2m + 4n � � 00 �
� 2x + 4y = 02m + 4n = 0 �
x = –2y
m = – 2n
�
0,006
0,001
0,084
0,033
0,035
0,052
0,108
0,018
0,631
� �
200
300
600
� �
75,90
21,50
411,00
�
Número de botões
pequenos (P)
utilizados em maio �
Camisa A: 3 . 100
Camisa B: 1 . 50
Camisa C: 3 . 50
Número de botões
pequenos (P)
utilizados em junho
Camisa A: 3 . 50
Camisa B: 1 . 100
Camisa C: 3 . 50
Número de botões
grandes (G)
utilizados em maio �
Camisa A: 6 . 100
Camisa B: 5 . 50
Camisa C: 5 . 50
Número de botões
grandes (G)
utilizados em junho
Camisa A: 6 . 50
Camisa B: 5 . 100
Camisa C: 5 . 50
Maio Junho
Botões P 500 400
Botões G 1100 1050
� 36
1
5
3
5 � �
100
50
50
50
100
50
� 5001100 4001050
� 01
–1
0 � �
x
y � �
–y
x �
�
�
� �
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 138
139MATEMÁTICA
Módulo 3 – Propriedades 
� A . B = . =
 
= = 
 B . A = . =
 
= =
 
≠
� A . B = . =
 
= = 
 
A . C = . =
 
= =
 Portanto: AB = AC. Observe que B ≠ C.
� A . B = . =
 = =
 = 
 B . A = . =
 = =
 = 
 
AB = BA ⇒ = ⇒
 ⇒ 3x = x ⇒ x = 0
 Resposta: E
� Para A = e I = , tem-se:
 
I)A2 = A . A = . = 
 
II) 2 . A = 2 . = 
 
III) 11 . I = 11 . = 
 
IV) A2 + 2 . A – 11 . I = + – = 
 
 = 
 Resposta: C
� a) . = 
 b) 12 + 6x = 27 + 3x ⇔ x = 5
�
 
. ⇒
4×2 2×1
 
 
⇒
4×1
 
Resposta: 
4×1
�
1.1 + 2.2
2.1 + 1.2
3.1 + 0.2
1.2 + 2.0
2.2 + 1.0
3.2 + 0.0
1.3 + 2.1
2.3 + 1.1
3.3 + 0.1
� �
5
4
3
2
4
6
5
7
9
�
�145
4
4 � �
5
4
3
2
4
6
5
7
9
�
� 23
0
0 � �
1
2
2
4 �
�2.1 + 0.23.1 + 0.2
2.2 + 0.4
3.2 + 0.4� �
2
3
4
6 �
� 23
0
0 � �
1
– 0,5
2
– 1 �
�2.1 + 0.(– 0,5)3.1 + 0.(– 0,5)
2.2 + 0.(– 1)
3.2 + 0.(–1)� �
2
3
4
6 �
�
1
0
0
0
– 4
0
0
0
3
� �
2
0
x
0
4
0
0
0
2
�
�
1.2+0.0+0.x
0.2+(– 4).0+0.x
0.2+0.0+3.x
1.0+0.4+0.0
0.0+(–4).4+0.0
0.0+0.4+3.0
1.0+0.0+0.2
0.0+(– 4).0+0.2
0.0+0.0+3.2 �
�
2
0
3x
0
– 16
0
0
0
6
�
�
2
0
x
0
4
0
0
0
2
� �
1
0
0
0
– 4
0
0
0
3
�
�
2.1+0.0+0.0
0.1+4.0+0.0
x.1+0.0+2.0
2.0+0.(– 4)+0.0
0.0+4.(– 4)+0.0
x.0+0.(– 4)+2.0
2.0+0.0+0.3
0.0+4.0+0.3
x.0+0.0+2.3 �
�
2
0
x
0
–16
0
0
0
6
�
�
2
0
3x
0
–16
0
0
0
6
� �
2
0
x
0
–16
0
0
0
6
�
� 14
2
–3 � �
1
0
0
1 �
� 14
2
–3 � �
1
4
2
–3 � �
9
–8
–4
17 �
� 1
4
2
–3
� � 2
8
4
–6
�
� 1
0
0
1
� �11
0
0
11
�
� 9
–8
–4
17
� � 2
8
4
–6
� �11
0
0
11
�
� 0
0
0
0
�
� 4
9
6
3
� � 3
x
� �12 + 6x
27 + 3x
�
�
18
26
23
0
10
33
12
16
� � 610�
�
208
486
258
160
�
queijo: 18 . 6 + 10 . 10
salada: 26 . 6 + 33 . 10
rosbife: 23 . 6 + 12 . 10
atum: 0 . 6 + 16 . 10
�
208
486
258
160
�
�12
2
0
3
1��
1
2
3
2
1
0
�
�12
3
2
1
0
��12 20 31�
�1.2 + 2.1 + 3.02.2 + 0.1 + 1.0
1.1 + 2.2 + 3.3
2.1 + 0.2 + 1.3� �
14
5
4
4�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 139
140 MATEMÁTICA
Módulo 4 – Determinantes
 
� det A = = 2 . 7 – 5 . 3 = –1
 Resposta: det A = –1
�
 
 = 1 . 2 . 3 + 2 . 0 . 1 + 1 . 2 . 3 –
 – 1 . 2 . 1 – 3 . 0 . 1 – 3 . 2 . 2 =
 = 6 + 0 + 6 – 2 – 0 – 12 = – 2 
 Resposta: det A = – 2
� = ⇔ 10 – 5x = x2 – 4 ⇔
 ⇔ x2 + 5x – 14 = 0 ⇔ x = – 7 ou x = 2
 A solução positiva, x = 2, é um número primo.
 Resposta: B
�
 
= 175 ⇔
 ⇔ – 2x2 + 4x + 18 + 3x + 24 + 2x2 = 175 ⇔
 ⇔ 7x + 42 = 175 ⇔ 7x = 133 ⇔ x = 19
 Resposta: V = {19}
� A nova matriz obtida, de acordo com o enunciado, é 
 , e o determinan te dessa matriz é 
 8 + 8 + 18 – 16 – 6 – 12 = 0
 Resposta: C
� = x 
 3x – 4(x + 2) = x = – 4
� O determinante da matriz A será nulo, por exemplo, se
todos os elementos da co luna 1 forem iguais aos
correspondentes ele men tos da coluna 3. Dessa forma, 
x – 7 = 6 ⇔ x = 13. 
	
 
= ⇔ = 1 – x ⇔
 ⇔ 1 = 1 – x ⇔ x = 0, Assim S = {0}.
 Resposta: E
 a) BC + 2A 
 = . (5 – 1) + 2 . =
 = + = 
 
CB = (5 – 1) . = (7)
 b) A – λ . I = 
 = – λ . = 
 Então, det(A – λ . I) = 0 equivale a
 
= 0 ⇒
 ⇒ λ2 – λ – 2 = 0 ⇒ λ = – 1 ou λ = 2
� I) 1, a e 5 são termos consecutivos de uma PA. 
 
Assim, a = ⇒ a = 3.
 II) 1, a e c são termos consecutivos de uma PG.
 
Portanto, a2 = 1 . c ⇒ 32 = c ⇒ c = 9.
 
 
 III) a, b e c são termos consecutivos de uma PA. 
 Dessa forma, b = ⇒ b = ⇒ b = 6.
 
�2– 21
x
– x
– 3
3
4
x�
�13
4
2
4
6
1
1
2
�
x
4
x + 2
3
1 – x
––––––
1 – x
�111x�
1 x� 1 1 �
––––––––
1 1� x 1 �
�11
2
0��1– 2�
�22
4
0��
5
– 10
– 1
2� �
7
– 8
3
2�
�1– 2�
�10
0
1��
1
1
2
0� �
1 – λ
1
2
– λ�
1 – λ
1
2
– λ
1 + 5
––––––
2
3 + 9
–––––
2
a + c
–––––
2
�1xx4��552x�
2
3
5
7
1 2 1 1 2
2 2 0 2 2
1 3 3 1 3
=
�� � � � �
det A =
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 140
141MATEMÁTICA
 IV) De (I), (II) e (III), resulta:
 det A = 18 ⇔ = 18 ⇔
 
 ⇔ = 18 ⇔ x = 4
 Logo, log8x = α ⇔ log84 = α ⇔
 ⇔ 22 = 23α ⇔ 3α = 2 ⇔ α = .
 Resposta: D
� Para a ∈ � e b ∈ �, tem-se:
 det M = = 1 + a2 + b2 – 1 – ab – ab = 
 = a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 > 0, pois a � b
 Resposta: D 
Módulo 5 – Determinante nulo
�
 
= 0, pois a 3.a linha é nula.
�
 
= 0, pois a 1.a coluna é igual à 3.a coluna.
�
 
= 0, pois a 3.a coluna é o triplo da 1.a coluna,
 sendo então colunas propor cio nais.
� I) A = Bt ⇒ = ⇒
 
⇒ ⇔
 
II) = =
 = – 4 – 10 + 4 + 10 = 0 
 Resposta: B
� = 0 ⇔ (1 + a) . (1 – a) + 3 = 0 ⇔
 ⇔ 1 – a2 + 3 = 0 ⇔ a2 = 4 ⇔ a = 2 ou a = – 2
 Resposta: A
� a) se c = d = 0, então:
 
A = e det A = 0,
 pois a segunda linha é nula.
 b) se a = 6, b = 8 e e = 5, então:
 
A = e det A = 0,
 pois a 3a. linha é igual à 1a. linha.
 c) se a = 3, b = 4 e e = 10, então:
 
A = e det A = 0,
 pois a 3a. linha é proporcional à 
1a. linha (3a. linha = 2 . (1a. linha)).
 
 d) se a = b = c = d = 1 e e = 32, então:
 A = e det A = 0, pois 
 
 = 32 + 6 + 0 – 30 – 8 – 0 = 0
 Note que, neste caso, det A = 0 e em A não há fila nula,
nem filas pa ralelas iguais e nem filas paralelas
proporcionais. Certa mente, uma das filas é combinação
linear das demais filas paralelas. 
 Verifique, por exemplo, que: 
 (3a. linha) = 6 . (1a. linha) + 2 . (2a. linha).
�
 
= 0, pois a 3a. coluna é igual
 à soma da 1.a coluna multiplicada por 4 com a 2.a coluna,
isto é, a 3.a coluna é uma com binação linear das demais
colunas.
x = – 2
y = 0
z = 2
�
x2 = 4
y = 0
z = 2
y + z = – x
�
�– 22
4
0
1
5
– 1
1
2
��xz
4
y
1
5
– 1
1
2
�
�– 11 – a1 + a3�
�
a
0
6
b
0
8
5
0
e
�
�
6
0
6
8
c
8
5
d
5
�
�
3
0
6
4
c
8
5
d
10
�
�10
6
1
1
8
5
1
32
�
1 1 5 1 1
0 1 1 0 1
6 8 32 6 8
=
�� � � � �
4x + y
4
9
x
1
2
y
0
1
�y– x4z��0y + zx
2
2�
2
–––
3
�1b
1
a
1
b
1
a
1
�
2
2
0
5
1
0
8
2
0
a
b
c
2
5
7
a
b
c
1
3
4
m
n
p
3
9
12
5
9
x + 5
1
3
9
3
6
12
5
c
x + 5
1
a
c
a
b
12
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 141
142 MATEMÁTICA
	 O determinante é nulo, pois a 1a. coluna é
igual à soma da 2a. coluna com o dobro da 3a. coluna, isto
é, a 1a. coluna é uma combinação linear das demais
colunas.
 Resposta: D
Módulo 6 – Determinante se altera
� Verdadeira, pois:
 
= – , permutando as linhas e
 – = , permutando as colunas.
� Verdadeira, pois:
 
= 2 . , colocando o 2 “em
evidência” na 1.a linha.
� Verdadeira, pois:
 
= 2 . , colocando o 2 “em
evidência” na 1.a linha.
 
2 . = 2 . 3 = 6 , colocando o 3 “em
 
evidência” na 2.a linha.
� Verdadeira, pois
 
= 4 . 4 . , colocando o 4 “em evidência”
 nas duas primeiras linhas, ou = 42 . , pois a
matriz = 4 . 
�
 
= 2 . 3 . =
 = – 6 . =
 = + 6 . =
 = – 6 . = – 6k
 Resposta: = – 6k
� A3×3, B3×3 e B = kA ⇒ det B = det(kA) e A3×3 ⇒
 ⇒ det B = k3 . det A
 Para det A = 1,5 e det B = 96, obtém-se:
 96 = k3 . 1,5 ⇔ k3 = ⇔ k3 = 64 ⇔ k = 4
 Resposta: k = 4
� I) = 10 ⇔ k . = 10 ⇔
 ⇔ k . (– 4 + 1 + 2 – 4) = 10 ⇔ – 5k = 10 ⇔ k = – 2
 II) Para k = – 2, tem-se:
 
= =
 
= – 4 – 3 + 12 + 4 = 9
 Resposta: C 
	
 
a) = 3 .
 
 b) = – 
 
 Assim sendo:
 
= – 3 . = (– 3) . (– 17) = 51
 Resposta: = 51m
a
x
n
b
y
p
c
z
a
m
x
b
n
y
c
p
z
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
96
––––
1,5
2
k
1
1
k
2
0
k
– 2
2
1
1
1
1
2
0
1
– 2
2
2
1
1
1
2
0
– 3
– 2
2
k + 4
1
1
k + 3
2
0
k – 1
– 2
2
x
4
1
2
3
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
1
2
3
5
8
2
1
2
3
2
x
4
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
2
x
4
3
6
9
5
8
2
c
a
d
b
a
c
b
d
d
b
c
a
c
a
d
b
a
c
b
d
2a
c
2b
d
a
3c
b
3d
2a
3c
2b
3d
a
c
b
d
a
c
b
d
a
3c
b
3d
a
c
b
d
4a
4c
4b
4d
a
c
b
d
4a
4c
4b
4d
�ac
b
d��
4a
4c
4b
4d�
n
y
b
m
x
a
p
z
c
2n
y
b
6m
3x
3a
2p
z
c
m
x
a
n
y
b
p
z
c
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 142
143MATEMÁTICA
 det(2P) = 2x + 6 ⇔ 23 . det(P) = 2x + 6 ⇔
 ⇔ 8 . 7 = 2x + 6 ⇔ x = 25
� Seja B a matriz obtida a partir de A como no enunciado.
Temos:
 det B = 2 . 2 . 3 . 3 . . . det A ⇒
 ⇒ det B = det A = x
� a) det (m . A) = . det A, 
 ou seja, det (m . A) = m4 . det A ⇒
 ⇒ 243 = m4 . 3 ⇒ m4 = 81 ⇒ m = 3
 (m > 0)m4 = 81 (m > 0)
 b) Seja B a matriz construída conforme o enun ciado; 
 det B = 2m . 2m . . det A ⇒
 
 ⇒ det B = 4 det A = 4 . 3 = 12

 det(3A) = 32 . det(A) = 9 . 5 = 45
MÓDULO 7
DETERMINANTE NÃO SE ALTERA 
�
 
= = 1.a.b = a.b,
 fazendo a 2.a linha menos a 1.a linha e a 3.a linha menos a
1.a linha.
�
 
= , 
 fazendo a 2.a linha menos a 1.a linha e a 3.a linha menos a
1.a linha. Assim:
 
= 0 ⇔ – x . (2 – x)= 0 ⇔
 ⇔ x = 0 ou x = 2 ⇔ V = {0; 2}
� det A = =
 = =
 = = 4 . =
 
= 4 . 0 = 0
 Resposta: det A = 0
� Somando 2k a todos os elementos da ma triz M, obtemos:
 N =
 Assim sendo:
 det N = =
 
 = 3 . =
 
 = 3. =
 = 3 . = 3 . det M = 3D
 
 Resposta: det N = 3D
� det M = =
 = =
 
 = 3 + 18 + 64 – 24 – 18 – 8 = 35
 Resposta: det M = 35
m
n
p
1
1
1
1
1
1
m
n
p
4
4
4
1
1
1
�
a + 2k
b + 2k
c + 2k
d + 2k
m + 2k
n + 2k
p + 2k
q + 2k
x + 2k
y + 2k
w + 2k
z + 2k
3k
3k
3k
3k
�
3k a + 2k m + 2k x + 2k
3k b + 2k n + 2k y + 2k
3k c + 2k p + 2k w + 2k
3k d + 2k q + 2k z + 2k
k a + 2k m + 2k x + 2k
k b + 2k n + 2k y + 2k
k c + 2k p + 2k w + 2k
k d + 2k q + 2k z + 2k
k a + 2k – 2k m + 2k – 2k x + 2k – 2k
k b + 2k – 2k n + 2k – 2k y + 2k – 2k
k c + 2k – 2k p + 2k – 2k w + 2k – 2k
k d + 2k – 2k q + 2k – 2k z + 2k – 2k
k
k
k
k
a
b
c
d
m
n
p
q
x
y
w
z
281
394
211
2
3
2
8
9
1
281 – 100.2 – 10.8 2 8
394 – 100.3 – 10.9 3 9
211 – 100.2 – 10.1 2 1
1 2 8 1 2
4 3 9 4 3
1 2 1 1 2
=
1
––
6
1
––
6
m . m . m . m14243
pois são 4 colunas
1
––
m
1
––
m
1
0
b
1
a
0
1
0
0
1
1
1 + b
1
1 + a
1
1
1
1
1
0
2 – x
1
– x
0
1
0
0
1
1
3 – x
1
1 – x
1
1
1
1
1
0
2 – x
1
– x
0
1
0
0
3m +1
3n + 1
3p + 1
2m + 4
2n + 4
2p + 4
m
n
p
3m +1 – 3 . m
3n + 1 – 3 . n
3p + 1 – 3 . p
2m + 4 – 2 . m
2n + 4 – 2 . n
2p + 4 – 2 . p
m
n
p
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 143
144 MATEMÁTICA
� B = = 5. =
 = 5. (–1) . = –5. = –5A
 Portanto, B = – 5A ⇔ B + A = – 4A.
 Resposta: D
� “O determinante da matriz At (transposta de A) é igual ao
determinante da matriz A”, pode ser expressa matemati -
camente por det(At) = det A
 Resposta: D
	
 
 = A ⇔ = A ⇔
 
 ⇔ 53 .
 
= A ⇔ A = 106
 Resposta: C
Módulo 8 – Abaixamento da ordem
� Na matriz M = , temos a23 = 3 e, 
 
portanto, D23 = = 2 – 5 = – 3
 A23 = (– 1)
2 + 3 . D23 = (– 1)
5 . =
 = (– 1) . (– 3) = 3
 Resposta: D23 = – 3; A23 = 3
� Na matriz M = , temos a13 = 2 e
 a33 = – 1
 
 Logo:
 A13 = (–1)
1 + 3 . = 1 . (8 – 8) = 0
 A33 = (–1)
3 + 3 . = 1 . (8 – 20) = – 12
 Resposta: A13 = 0; A33 = – 12
� det M = =
 
 
= 1 . A11 + 5 . A12 + 2 . A13 =
 
 = 1 . (–1)1 + 1 . + 5 . (–1)1 + 2 . +
 + 2 . (–1)1 + 3 . =
 = 1 . 1 . (–14) + 5 . (–1) . (–7) + 2 . 1 . 0 = 21
 Resposta: det M = 21
 Observação
 Pela Regra de Sarrus, obteríamos, é claro, o mesmo
resultado. De fato:
 
�
 
= 0 ⇔
 ⇔ 4 . (– 1)1 +2 . = 0 ⇔
 
⇔ 4 . (– 1)3 . x . = 0 ⇔
 ⇔ 4 . (– 1) . x . x . 3 . = 0,
 para qualquer x ∈ �, pois = 0 
 (filas paralelas iguais)
 Resposta: D 
8
2
3
–1
4
1
3
–1
4
1
8
2
1 5 2 1 5
4 8 3 4 8
1 2 –1 1 2
= 21
–16 –6 +20 –8 +15 +16
0
x2
x
0
4
x
6
7
0
3x
3
0
0
x
4
5
x2
x
0
3x
3
0
x
4
5
x
x
0
3
3
0
1
4
5
1
1
0
1
1
0
1
4
5
1
1
0
1
1
0
1
4
5
1
4
1
5
8
2
2
3
–1
–3
6
6
–1
0
0
1
–5
2
–3
6
6
–5
0
0
1
–5
2
2
0
–6
–5
0
–6
1
–1
3
3
–6
–6
–1
0
0
1
–5
2
0
0
2
0
1
0
53
53
53
53
53
55
53
54
53
53
53
53
0
0
2
0
1
0
1
1
1
1
1
5
2
1
1
5
2
� �14
1
5
8
2
2
3
– 1
4
1
8
2
1
4
5
8
� �
1
4
1
5
8
2
2
3
– 1
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 144
145MATEMÁTICA
� A11 = (–1)1+1 . = 
 
 = 1 . (5 + 2 + 0 – 0 – 2 – 8) = – 3
 A32 = (–1)
3+2 = =
 = (–1) . (4 + 0 + 0 – 14 – 0 – 0) = 10
 Resposta: A11 = –3 e A32 = 10
� Trabalhando com os elementos não nulos da segunda
linha, temos:
 
A22 = (–1)
2+2 = = 1 . (– 67) = – 67
 
A23 = (–1)
2+3 = = (– 1) . 32 = – 32
 
det M = = (– 1) . A22 + 2 . A32 = 
 = (– 1) . (– 67) + 2 . (– 32) = 3
 Resposta: B
� Desenvolvendo pelos elementos da 1.a linha, obtemos:
 D = x . A11 + 3 . A14 =
 = x (–1)2 . + 3 . (–1)5 . ⇒
 ⇒ D = x . (–2x2 + x) –3 . (–1)
 Devemos ter D = 3, isto é, 
 x (–2x2 + x) + 3 = 3 ⇒ x (–2x2 + x) = 0 ⇒ x = 0 ou x = 
	 Escolhemos a 3.a linha da matriz dada:
 D = (–1) . A33 + 1 . A34 = (–1) . (–1)
6 .
 . + 1 . (–1)7 . ⇒
 ⇒ D = (–1) . (–2 + 12 – 3 . 2x) –1 . (4 . 2x – 1 + 6 + 2x). 
 Como D = –79, temos:
 – (10 –3 . 2x) – (5 . 2x + 5) = –79 ⇒
 ⇒ – 2 . 2x – 15 = – 79 ⇒ 2 . 2x = 64 ⇒ 2x = 32 ⇒ x = 5
 Usando a primeira coluna, temos:
 
D = 2 . A11 = 2 . (–1)
2 . = 2 D’ (*)
 
 1442443
 D’ 
 • Calculemos agora D’ = , usando a 
primeira linha:
 D’ = 1 . A’11 = 1 . (–1)
2 . , isto é, 
D’ = –5 – 20 = – 25.
 • Por fim, em (*), encontramos D = 2 (–25) = – 50
Módulo 9 – Regra de Chió E Teorema de Binet 
� Pela regra de Chió, temos:
 
=
 = (– 1)1 + 1 . =
 = = – 6 + 4 = – 2 
 Resposta: B 
� det M = =
 
= 2 . (–1)2 . = 2 . =
 = 2 . 3 . (– 1)5 . =
 = – 6 . = – 6 . (– 4) = 24
 Resposta: det M = 24
1
1
2
1
1
3
5
1
3
3
3
1
1
2
3
1
3 – 1
5 – 2
1 – 1
3 – 3
3 – 6
1 – 3
2 – 1
3 – 2
1 – 1
2
3
0
0
– 3
– 2
1
1
0
3
0
1
2
1
0
2
1
4
3
1
5
2
0
3
1
3
0
1
2
1
0
2
1
4
3
1
5
2
0
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
3
1
2
1
2
1
2
3
1
– 2 3 7
3 – 4 1
1 0 –1
– 2 3 1 7
0 –1 2 0
0 –4 5 1
1 0 –2 –1
x 0 0
– 1 x 1
0 –1 –2
– 1 x 0
0 – 1 x
0 0 – 1
1––
2
2x 0 1
1 2 1
–3 –1 2
2x 0 2
1 2 –3
–3 –1 0
– 1 2 0
– 4 5 1
1 – 2 –1
– 2 1 7
0 2 0
1 – 2 –1
– 2 1 7
3 5 1
1 – 2 –1
1 0 0 0
4 0 2 1
–5 5 1 4
1 0 –1 2
1 0 0 0
4 0 2 1
–5 5 1 4
1 0 –1 2
0 2 1
5 1 4
0 –1 2
2
0
0
0
0
4
3
0
1
2
6
1
0
2
1
3
4
3
1
5
8
2
0
3
1
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 145
146 MATEMÁTICA
� I)A nova matriz obtida, de acordo com o enunciado, é
 
 II) Pela regra de Chió, temos:
 
=
 = (– 1)1 + 1 . =
 
= = 2 . 2 . =
 
= 2 . 2 . 2 . =
 = 8 . (– 3 + 34 – 25 – 30) = 8 . (– 24) = – 192
 Resposta: A
� Pela regra de Chió, temos:
 
=
 = (– 1)
1 + 1 . =
 
= = 6 + 2 + 2 – 2 – 4 – 3 = 1 
 Resposta: B
� Primeiro Processo
 A . B = . = ⇒
 ⇒ det (AB) = = 162 – 19 = 143
 Segundo Processo
 
det (AB) = det A . det B = . =
 = (8 + 3) . (15 – 2) = 11 . 13 = 143
 Resposta: det (AB) = 143
� I) A = ⇒ det A = x2 – 4
 
II) B = ⇒ det B = – x2
 III) det (A . B) = 0 ⇒ det A . det B = 0 ⇒
 ⇒ (x2 – 4) . (– x2) = 0 ⇔
 ⇔ x2 – 4 = 0 ou – x2 = 0 ⇔
 ⇔ x2 = 4 ou x2 = 0 ⇔
 ⇔ x = – 2 ou x = 2 ou x = 0 
 Resposta: E
�
 
Se M = e P = , tem-se: 
 
 
I) M + P = ⇒ det(M + P) = 20 – 6 = 14
 
 
II) M – P = ⇒ det(M – P) = 4III) det[(M + P) . (M – P)] = det(M + P) . det(M – P) =
 = 14 . 4 = 56
 Resposta: C 
	 I) det A = = x 
 
II) det B = = x – 1
 III) det(A . B) = 2 ⇔ det A . det B = 2 ⇒ x . (x – 1) = 2 ⇔
 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ x = – 1 ou x = 2
 IV) Como x é um número real positivo, tem-se x = 2
 
e x– x = 2– 2 = 
2
=
 Resposta: B 
 A matriz considerada é
 =
 O determinante dessa matriz é
 det = (3 – 2) (– 2 – 2) (– 2 – 3) = 1 . (– 4) . (– 5) = 20
 Resposta: D
�1x – 10�
�– x1 1– 1�
1–––
4�
1–––
2�
1
1
1
2
3
– 2
4
9
4
� �
�
1
3
4
1
2
4
4
2
1
13
2
5
7
4
3
1
�
1
3
4
1
2
4
4
2
1
13
2
5
7
4
3
1
4 – 6
4 – 8
2 – 2
13 – 3
2 – 4
5 – 1
4 – 21
3 – 28
1 – 7
– 2
– 4
0
10
– 2
4
– 17
– 25
– 6
– 1
– 2
0
5
– 1
2
– 17
– 25
– 6
– 1
– 2
0
5
– 1
1
– 17
– 25
– 3
1
1
1
1
1
2
2
2
1
2
3
3
1
2
3
4
2 – 1
2 – 1
2 – 1
2 – 1
3 – 1
3 – 1
2 – 1
3 – 1
4 – 1
1
1
1
1
2
2
1
2
3
�51
2
3��
2
3
–1
4� �
9
19
1
18�
9
19
1
18
5
1
2
3
2
3
–1
4
�x1 4x�
�0x
x
1�
�23 10��30 14�
�53 24�
�1– 3 04�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 146
147MATEMÁTICA
Módulo 10 – Inversão de matrizes, cálculo 
de um elemento da inversa e
propriedades
� Se as matrizes são inversas uma da outra, então:
 
. = ⇔
 ⇔ = ⇔
 ⇔ ⇔ a = – 1
 
 
 Resposta: a = – 1
� M singular ⇔ det M = 0 ⇔ = 0 ⇔ a = 2
 Resposta: a = 2
� Seja M = , então:
 I)det M = 4 · 1 – 3 · 1 = 1.
 
II) M’ = é a matriz dos cofatores.
 
III)
––
M = (M’)t ⇒ ––M = 
 
IV) M–1 = · M ⇒ M–1 = 
 Resposta: B
� a) det M = 3
 
b) M’ = é a matriz dos cofatores
 c) M
—
= (M’)t ⇒ M
—
=
 d) M–1 = . M
—
⇒ M–1=
 = . =
 
 
Resposta: M–1 =
� Pela definição:
 
B– 1 = 
 Pela regra prática:
 
B . Bt = . =
 = = ⇒
 ⇒ e ⇒
 Portanto:
 
B– 1 = 
 Pela regra prática:
 I) det B = 5 . 1 – 2 . 2 = 1
 
II) B’ =
 
III) 
—
B = (B’)t =
 
IV) B–1 = . =
� Pela regra prática, temos:
 
I) det M = = 4
2
1
– 1
– 3
2
0
0
– 1
1
1 0� �0 1
3 a� �– 5 2
2 1� �5 3
1 0� �0 1
1 2a + 2� �0 5a + 6
2a + 2 = 0� 5a + 6 = 1
1 2 a
3 2 2
0 1 1
�4 31 1�
�1 –1–3 4�
�1 –3–1 4�
�1 –3–1 4�
1
–––––
det M
3 0 0
�– 2 1 0 �
1 –2 3
�
3
0
0
– 2
1
0
1
– 2
3
�
1––––––
det M
�
3
0
0
– 2
1
0
1
– 2
3
�1––3 �
1
0
0
– 2
–––
3
1
––
3
0
1
––
3
–2
–––
3
1
�ac
b
d�
�ac
b
d��
5
2
2
1�
�10
0
1��
5a + 2c
2a + c
5b + 2d
2b + d�
5b + 2d = 0
2b + d = 1�
5a + 2c = 1
2a + c = 0�
a = 1
b = – 2
c = – 2
d = 5
�
�1– 2
– 2
5�
�1– 2
– 2
5�
�
�
1
0
0
– 2
–––
3
1
––
3
0
1
––
3
–2
–––
3
1
�
�1– 2
– 2
5�
�1– 2
– 2
5��
1
– 2
– 2
5�
1
––
1
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 147
148 MATEMÁTICA
 II) M’ =
 III) 
—
M = (M’)t =
 IV) M–1 = 
 Resposta: A
� (X · A)t = B ⇒ [(X · A)t]t = Bt ⇒ X · A = Bt ⇒
 ⇒ X · A · A–1 = Bt · A–1 ⇒ X · I = Bt · A–1 ⇒ X = Bt · A–1
 Resposta: B
	 Se a matriz é não inversível, então o det = 0
 = – 4 – x – 4x – 6 = 0 ⇒
 ⇒ – 5x – 10 = 0 ⇒ 5x = – 10 ⇒ x = – 2 
 Resposta: C
 Uma matriz M é inversível se e somente se det (M) ≠ 0.
Dessa forma, se A e B são matrizes inversas,
necessariamente det(A) ≠ 0 e det(B) ≠ 0.
 Resposta: E
� I)Para A = e A– 1 = , 
tem-se: 
 
A.A–1 = =
 assim,
 
⇒ a = 2
 
 II) ⇒ 
 Logo, a soma dos elementos da diagonal principal de 
A– 1 é (2a – 1) + y = 3 + 2 = 5
 Resposta: A 
Módulo 11 – Inversão de matrizes, 
cálculo de um elemento 
da inversa e propriedades 
� I) det A–1 = ⇔ det A = = 5
 
II) det A = = 5 ⇔
 
⇔ 3x + 2x = 5 ⇔ 5x = 5 ⇔ x = 1 ⇔ x – 1 = 0
 Resposta: E
� A . X . B = A ⇔ A– 1 . A . X . B = A– 1 . A ⇔
 ⇔ X . B = I ⇔ X . B . B– 1 = I . B– 1 ⇔ X = B–1
� (X . A)t = B ⇔ ((X . A)t)t = Bt ⇔ X . A = Bt ⇔
 ⇔ X . A . A– 1 = Bt . A– 1 ⇔ X = Bt . A– 1
 Resposta: B
� I) det C = ⇔ det C–1 = 32
 II) B = 2A ⇒ det B = det(2A) ⇔
 ⇔ det B = 23 . det A ⇔ det B = 8 . det A 
 III) A . B = C – 1 ⇒ det(A . B)= det C– 1 ⇔
 ⇔ det A . det B = det C– 1 ⇒ det A. 8 . det A = 32 ⇔
 ⇔ (det A)2 = 4 ⇔ det A = ± 2 ⇔ �det A� = 2
 Resposta: D
� Sendo b32 o elemento da terceira linha e segunda coluna
da inversa de M e A23 o cofator do elemento da segunda
linha e terceira coluna de M, temos:
 I) det M = 1.2.3 + 0.(– 3).2 +
 +(–1).1.(–1) – (–1).2.2–0.1.3–1.(–3).(–1) =
 = 6 + 0 + 1 + 4 – 0 – 3 = 8
 II) b32 = = =
 Resposta: D
2
3
– 1
1
– 1
2
0
x
2
�aa – 1 2a + 1a + 1� �xy2a – 1– 1�
�ax + (2a + 1)y(a – 1)x + (a + 1)y2a
2 – 3a – 1
2a2 – 4a� �10 01�
2a2 – 3a – 1 = 1
2a2 – 4a = 0�
x = – 5
y = 2�
ax + (2a + 1)y = 0
(a – 1)x + (a + 1)y = 1
a = 2
�
1
–––––––
det A–1
1
––
5
�x –12x 3�
1
––
32
A23
––––––
det M
1
––
8
1 0
(– 1)2 + 3. 2 –1
–––––––––––––––––––
8
�20
2
3
2
3
3
2
7
�1–––4
�20
2
3
2
3
3
2
7
�
�23
3
0
2
2
2
3
7
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 148
149MATEMÁTICA
�
 
Seja A–1 = ⇔
 ⇔ = ⇒
 
⇒ ⇔ ⇔
 
⇔ ⇔
 Assim, a segunda linha de A é (3 – 2 – 2)
 Resposta: B
� Sendo b21 o elemento da segunda linha e primeira coluna
de M e A12 o cofator do elemento da primeira linha e
segunda coluna de P, temos:
 
b21 = = = 0
 Resposta: C
	
 I) det A = = 0 – 6 + 0 – 10 + 0 + 0 = – 16
 
 II) det A– 1 = = 
 Resposta: E
 (A . X)t = B ⇔ A.X = Bt ⇔
 ⇔ A–1 . A . X = A– 1 . Bt ⇔ X = A– 1 . Bt
 Resposta: B
� I) A = ⇒ det A = = 15 – 14 = 1
 
II) A’ = é a matriz dos cofatores, 
 
III)
—
A = (A’)t = 
 
IV) A–1 = · 
—
A = · = 
 
V)A · B + A–1 = · + =
 
= + = 
 
= + = 
� Se X é de ordem 7 X 5 então Xt é de ordem 5 X 7.
 Desta forma;
 1) Xt . X é de ordem 5 X 5, pois 
 Xt . X = Xt5 X 7 . X7 X 5
 2) (Xt . X)-1 é de ordem 5 X 5, pois uma matriz e a sua
inversa tem mesma ordem.
 3) X . (Xt . X)-1 . Xt = X7 X 5 . (X
t . X)-15 X 5 . X
t
5 X 7,
 tem ordem 7 X 7
 4) Como P = X . (Xt . X)-1 . Xt, PX = X . (Xt . X)-1 . Xt . X ⇔
 ⇔ PX = X . (Xt . X)-1 . (Xt . X) ⇔ PX = X . I ⇔ PX = X
 Resposta: E

 1) A . X = B ⇔ A–1 . A . X = A–1 . B ⇔
 
⇔ X = A–1 . B ⇒ X = . = 
 2) A soma dos elementos da matriz
 
X = é 10 + 3 = 13
 Resposta: B
� det (2M2) – det (
3
���2 M3) = det (3M) ⇔
 ⇔ 23 (det M)2 – (
3
���2 )3 (det M)3 = . 33 det M ⇔
 ⇔ 8(det M)2 – 2 . (det M)3 = 6 det M ⇔ 
 ⇔ 8det M – 2 . (det M)2 = 6 ⇔
 ⇔ (det M)2 – 4 det M + 3 = 0 ⇔
16a + 13b + 11c = 0
– a – b – c = 1
– 10a – 8b – 7c = 0 
�
a + b + c = 1
– 3b – 5c = 16
2b + 3c = – 10
�
a = 3
b = – 2
c = – 2
�
a + b + c = – 1
6b + 10c = – 32
c = – 2
�
A12––––––
det P
1
1
5
– 3
1
– 3
2
0
0
1
– –––
16
1
––––––
det A
�3 27 5� �3 27 5�
�5 –7–2 3�
�5 –2–7 3�
1
–––––
det A �
5 –2
–7 3��5 –2–7 3�
1
––
1
�5 –2–7 3��1 1–1 1��3 27 5�
�3 · 1 + 2 · (–1) 3 · 1 + 2 · 17 · 1 + 5 · (–1) 7 · 1 + 5 · 1� �5 –2–7 3�
�5 –2–7 3��1 52 12� �6 3–5 15�
�103��3– 4��25 –13�
0 –1
(– 1)1 + 2 . 0 1
–––––––––––––––––––
8
�103�
2
–––
9
2
–––
9
�
1
0
0
0
1
0
0
0
1
���
16
13
11
– 1
– 1
– 1
– 10
– 8
– 7
�
•
a
•
•
b
•
•
c
•
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 149
150 MATEMÁTICA⇔ det M = 3 ou det M = 1 ⇔
 ⇔ det M– 1 = ou det M– 1 = 1
 Resposta: A 
Módulo 12 – Sistemas lineares –
Regra de Cramer
� a) O sistema é normal e pode ser resolvido pela Regra de
Cramer, pois
 D = = 9 – 2 = 7 ⇒ D ≠ 0
 
 b) Dx = = 27 – 13 = 14 ⇒ x = = = 2
 c) Dy = = 39 – 18 = 21 ⇒ y = = = 3
 Resposta: (2; 3)
2) I)
 
⇔
 
 II) D = = 2 ≠ 0 (S.P.D.) 
 III) Dx = = – 2 ⇒ x = = = – 1 
 IV) Dy = = 4 ⇒ y = = = 2 
 V)Dz = = 4 ⇒ z = = = 2 
 VI) O conjunto solução do sistema é 
 S = {(– 1; 2; 2)}
 Resposta: {(– 1; 2; 2)} 
� Fazendo-se = m, = n, = p, o sistema dado
é equivalente a , que é um sis te ma 
nor mal e pode ser resolvido pela Regra de Cramer. 
 Assim:
 a) D = = – 20 ⇒ D ≠ 0
 b) Dm = = – 20 ⇒ m = = = 1
 c) Dn = = – 40 ⇒ n = = = 2
 d) Dp = = 20 ⇒ p = = = – 1
 e) = m = 1 ⇒ = 1 ⇒ x = 1
 f) = n = 2 ⇒ = 2 ⇒ y =
 g) = p = –1 ⇒ = –1 ⇒ z = –1
 Resposta: 1; ; –1
� a) D = = 9 + 4 = 13
 Dx = = 3 + 36 = 39
 Dy = = 27 – 1 = 26
 x = = = 3
 y = = = 2
 S = {(3, 2)}
b) D = = –4 – 3 = –7
 
 
Dx = = –8 + 1 = –7
 Dy = = –2 – 12 = –14
 
3
2
9
13
21
–––
7
Dy––––
D
x + y = 1
– 2x + 3y – 3z = 2
x + z = 1
�
x + y = 1
– 2x + 3y – 3z = 2
x + z = 1
�
1
– 2
1
1
3
0
0
– 3
1
1
2
1
1
3
0
0
– 3
1
– 2
––––
2
Dx––––
D
1
– 2
1
1
2
1
0
– 3
1
4
–––
2
Dy––––
D
1
– 2
1
1
3
0
1
2
1
4
–––
2
Dz––––
D
1–––z
1–––y
1–––x
m + n – p = 4
2m – n + 3p = – 3
m + 2n + 4p = 1
�
1
2
1
1
– 1
2
– 1
3
4
4
– 3
1
1
– 1
2
– 1
3
4
– 20
–––––
– 20
Dm—–
D
1
2
1
4
– 3
1
– 1
3
4
– 40
–––––
– 20
Dn—–
D
1
2
1
1
– 1
2
4
– 3
1
20
–––––
– 20
Dp–––
D
1––x
1––x
1
––
2
1
––
y
1
––
y
1
––
z
1
––
z
�1––2�
3
1
–4
3
1
9
–4
3
3
1
1
9
39 
–––
13
Dx–––
D
26 
–––
13
Dy–––
D
2
3
1
–2
4
–1
1
–2
2
3
4
–1
3
2
1
3
9
13
1
3
14
–––
7
Dx–––
D
1
–––
3
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 150
151MATEMÁTICA
 x = = = 1
 y = = = 2
 S = {(1, 2)}
c) D = = –12 – 2 = –14
 
 
Dx = = –42 + 28 = –14
 Dy = = –112 – 28 = –140
 
 
 x = = = 1
 y = = = 10
 S = {(1, 10)}
d) D = = 4 – 15 = –11
 
Dx = = 40 – 95 = –55
 Dy = = –38 + 60 = 22 
 x = = = 5
 y = = = –2
 S = {(5, –2)}
� Para que o sistema tenha uma única solu ção (S.P.D.),
deve-se ter D ≠ 0, assim:
 
D ≠ 0 ⇒ ≠ 0 ⇔
 ⇔ a + 16 + 27 –12 – 6a – 6 ≠ 0 ⇔ – 5a ≠ – 25 ⇔ a ≠ 5 
 Resposta: D 
� Considere que:
 
 De acordo com o enunciado, temos:
 
 Pela Regra de Cramer, temos:
 
D = = 3720
 
Dx = = 5580; x = ⇒
 ⇒ x = 1,5 (O preço unitário do churrasco é R$ 1,50.)
 
Dy = = 1488; y = ⇒
 ⇒ x = 0,40 (O preço unitário do quentão é R$ 0,40.)
 Por substituição de x e y, concluímos que o preço unitário
do pastel (z) é R$ 0,90.
 Resposta: Os preços unitários de um chur rasco, um quen -
tão e um pastel são respectivamente iguais a 
R$ 1,50, R$ 0,40 e R$ 0,90. 
Módulo 13 – Escalonamento
�
 
⇔ ⇔
 
⇔ ⇔ ⇔
 
 
⇔ ⇔
 Resposta: (8; 1; 3)
� Somando-se, membro a membro, as equa ções do
sistema
 
, obtemos:
 3x + 3y + 3z + 3t = 15 ⇔ x + y + z + t = 5 
 Resposta: C 
–55 
––––
–11
Dx–––
D
22 
––––
–12
Dy–––
D
1
3
4
2
1
3
3
2
a
x é o preço unitário do churrasco;
y é o preço unitário do quentão;
z é o preço unitário do pastel;
�
28x + 42y + 48z = 102
23x + 50y + 45z = 95 ,
30x + 45y + 60z = 117
�
28
23
30
42
50
45
48
45
60
5580
––––
3720
42
50
45
48
45
60
102
95
117
1488
––––
3720
48
45
60 
102
95
117
28
23
30 
x + 2y – z = 7
� y + 4z = 13
3z = 9
x + 2y – z = 7
� y + 4z = 13z = 3
x + 2y – z = 7
� y + 4 . 3 = 13z = 3
x + 2y – z = 7
� y = 1z = 3
x + 2 . 1 – 3 = 7
� y = 1z = 3
x = 8
� y = 1z = 3
x + y + z = – 1
x + z + t = 5
y + z + t = 7
x + y + t = 4
�
4
2
1
–3
14
–28
1
–3
4
2
14
–28
–14 
–––
–14
Dx–––
D
–140 
–––––
–14
Dy–––
D
–2
3
5
–2
–20
19
5
–2
–2
3
–20
19
–14 
–––
–7
Dy–––
D
–7 
–––
–7
Dx–––
D
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 151
152 MATEMÁTICA
�
 
 Na terceira equação, z = – 3.
 Substituindo z por – 3 na segunda equa ção, resulta
y = – 1.
 Por fim, substituindo z por – 3 e y por – 1 na primeira
equação, resulta x = 4.
 Resposta: {(4; – 1; – 3)}.
�
 
⇔ ⇔
 
⇔ ⇔ 
 Resposta: E 
� Desenvolvendo o produto matricial, ob te mos o sistema
linear a seguir:
 
 
⇒
 
⇒
 
⇒
 ⇒ – 28z = 28 ⇒ z = – 1 ⇒
 ⇒ 5y + 8z = 2 ⇒ 5y – 8 = 2 ⇒ y = 2 ⇒
 ⇒ x + 4y + 7z = 2 ⇒ x + 8 – 7 = 2 ⇒ x = 1
 A matriz procurada é . 
 Resposta:
� Sendo x, y e z, respectivamente, os preços de um
hambúrguer, um refrige rante e uma porção de fritas,
temos:
 
 
 Dividindo a primeira equação por 2, resulta:
 
 Multiplicando a primeira equação por (–3) e adicionando-a
à segunda, temos:
 
 
Assim, o preço unitário do refrigerante é y = = 0,60.
 O valor da terceira conta é
 2x + 3y + z = 2x + z + 3 . = + = = 10,20
 Resposta: A
� Se s for o número de caixas com 6 ovos e d o número de
caixas com 12 ovos, então:
 ⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇒ s + d = 95
 
 Resposta: D 
 
	 ⇔
 
 Resposta: A
 a)
⇔
 
 b)
⇔
 
⇔ ⇔
 
�
1
2
– 1
�
4x + 2y + 2z = 18
6x + 8y + 3z = 30
2x + 3y + z = ?
�
2x + y + z = 9
6x + 8y + 3z = 30
2x + 3y + z = ?
�
2x + y + z = 9
5y = 3 ⇔
2x + 3y + z = ?
�
42
2x + z = –––
 5
3
 y = –––
 5
2x + 3y + z = ?
�
3
––
5
3
––
5
51
––
5
9
––
5
42
––
5
d = s + 15
6s + 12d = 900�
d = s + 15
6s + 12(s + 15) = 900�
s = 40
d = 55 �
d = s + 15
18s = 720�
x + 2z = 60
y + z = 60
3,5x – y = 0
�60 – 2z = x60 – z = y
y = 3,5x
�
3x + y – z = 0,20
2y + z = 0,55
z = 0,25
�
x = 0,10 = 10%
y = 0,15 = 15%
z = 0,25 = 25%
�
24% ≤ x + y + z ≤ 54%
x ≥ 10%
y ≥ 20%
z = 10%
�� 12
– 1
�
x + 2y = 5
4y = 8
z = 3
�x + 2y + 3z = 144y + 5z = 23
6z = 18
�
x = 1
y = 2
z = 3
�x + 4 = 5y = 2
z = 3
�
x + 4y + 7z = 2
– 5y – 8z = – 2 ⇒
– 19y – 36z = – 2�
�
x + 4y + 7z = 2 
5y + 8z = 2 (. 19)
+
⇒
– 19y – 36z = – 2 (. 5)
x + 4y + 7z = 2
95y + 152z = 38 ⇒
– 28z = 28
�
�
x + 4y + 7z = 2 . (– 2) . (– 5)
2x + 3y + 6z = 2 + ⇒
5x + y – z = 8
2x – y + 3z = 0
2y – z = 1
 2z = – 6
�
x + y ≥ 14%
x + y ≤ 44%
x ≥ 10%
y ≥ 20%
z = 10%
�
14% ≤ x + y ≤ 44%
x ≥ 10%
y ≥ 20%
z = 10%
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 152
153MATEMÁTICA
 
 
 
 
 
 
 Respostas:a) x = 10% e y = 15%
 b) gráfico
 
Módulo 14 – Escalonamento
�
 (– 2) . (– 3) 
⇔
+
+
 ⇔ (– 1) ⇔
+
 ⇔ ⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇔ 
 V = {(3; 1; – 1)} 
� Sendo h e m, respectivamente, o número de homens e
mulheres presentes na sala, aguardando o Dr. Antonio,
tem-se:
 
 
 
 ⇒ h + m = 15 + 4 = 19
 Resposta: B 
� Sendo a, b, c e d, respectivamente, a importância, em
reais, que possui cada uma das pessoas A, B, C e D, 
tem-se:
 
 
 
 
 Resposta: A, B, C e D possuem, em reais, respectiva -
mente, 302, 1208, 594 e 614.
�
 
 Fazendo = w, obtemos o seguinte sistema:
 (– 1) . (– 1) 
⇔ +
+
 
⇔ (1) ⇔
+
 ⇔ ⇔ ⇔
 
⇔ ⇔
 
⇔
h – 4m = – 1
– h + 3m = – 3
⇒
h = 15
m = 4�⇔
h – 4m = – 1
– m = – 4�
⇔
a + b + c + d = 2718
b
2a = ––– = c + 10 = d – 10
 2
�
a + b + c + d = 2718
b
––– = 2a
2
c + 10 = 2a
d – 10 = 2a
�⇔ ⇔a + b + c + d = 2718b = 4ac = 2a – 10
d = 2a + 10
�
⇔
a + 4a + 2a – 10 + 2a + 10 = 2718
b = 4ac = 2a – 10
d = 2a + 10
�⇔
�⇔
a = 302
b = 1208
c = 594
d = 614
�⇔
9a = 2718
b = 4a
c = 2a – 10
d = 2a + 10
4x + 3y + ––– = 7 
z
2x + 4y + ––– = 8 
z
2x + 2y – ––– = 4 
z
�
1––z
x + 3y + 4w = 7 
x + 4y + 2w = 8
x + 2y – 2w = 4
�
x + 3y + 4w = 7
y – 2w = 1
– y – 6w = – 3
�
⇔
h – 4m = – 1
3m + 3 = h�⇔
h + 1 = 4m
h
m + 1 = –––
 3
�
�⇔
x + 2y – z = 6 
2x + y + 2z = 5
3x + 3y – 2z = 14
�
x + 2y – z = 6 
– 3y + 4z = – 7
– 3y + z = – 4�
x + 2y – z = 6 
– 3y + 4z = – 7
– 3z = 3
�
x + 2y – z = 6
– 3y+ 4.(– 1) = – 7
z = – 1�
x + 2y – z = 6
y = 1
z = – 1�
x = 3
y = 1
z = – 1�
x + 2 . 1– (– 1) = 6
y = 1
z = – 1�
x + 3y + 4w = 7
y – 2w = 1
1
w = ––
4
�x + 3y + 4w = 7y – 2w = 1– 8w = – 2�
x + 3y + 4w = 7
3
w = ––
2
1
w = ––
4
�
⇔
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154 MATEMÁTICA
 ⇔ ⇔ 
 
Como = w = , então z = 4 e o sistema inicial 
apresenta como solução x = , y = e z = 4.
 
 Portanto, (x + y)z = + 
4
= 34 = 81
 Resposta: D
� 
⇔
 ⇔ ⇔
 ⇔ 
 Analisando a 3a. equação, tem-se:
 I)Se – 1 + a ≠ 0 ⇔ a ≠ 1, o sistema é possível e
determinado.
 II) Se – 1 + a = 0 ⇔ a = 1, o sistema é impossível.
 Resposta: Se a ≠ 1 ⇒ S.P.D
 Se a = 1 ⇒ S.I.
� Sendo x e y, respectivamente, o número de rolos de
arame com 20 m e com 30 m, tem-se:
 
 
 Resposta: E 
� a) 
 
⇒
 Notamos que a 2.a e a 3.a equação são equivalentes, o
que significa que temos duas equações e três incóg -
nitas. 
 Portanto, o sistema é possível e in deter minado.
Fazendo
 z = k, temos:
 – y – 9k = 0 ⇒ y = – 9k
 x – 18k + 4k = 0 ⇒ x – 14k = 0 ⇒ x = 14k
 As soluções são do tipo (14k, – 9k, k).
 b)
 
⇒
 
 ⇒
 Substituindo na 2.a equação, temos:
 – 15y – 2 = 13 ⇒ – 15y = 15 ⇒ y = – 1
 Substituindo na 1.a equação, temos:
 2x – 3 + 2 = 1 ⇒ 2x = 2 ⇒ x = 1
 Logo, o sistema é possível e determi nado e 
 S = {(1, – 1, 2)}
 c) Observamos que a 1a. e a 2a. equação são equivalentes;
podemos escrever:
 
 Portanto, o sistema é impossível: 
 S = Ø
 d) 
 
⇒
 Como temos mais incógnitas que equa ções, o sistema
é possível e in deter mi nado.
 Fazendo z = k, temos:
 y + 4k = 1 ⇒ y = 1 – 4k
 x + 1 – 4k – k = 2 ⇒ x = 1 + 5k
 As soluções são da forma (1 + 5k, 1 – 4k, k).
x + 2y + 4z = 0
– y – 9z = 0
– 2y – 18z = 0
�
2x + 3y + z = 1
– 15y – z = 13
13z = 26 ⇒ z = 2
�
x + y = 3
0 = – 1�
x + 2y + 4z = 0 – 2 – 1
2x + 3y – z = 0 ⇒
x – 14z = 0�
2x + 3y + z = 1 – 3 
3x – 3y + z = 8 2 ⇒
2y + z = 0
�
2x + 3y + z = 1 
– 15y – z = 13 2 ⇒
2y + z = 0 15
�
� x + y = 3 – 33x + 3y = 8 ⇒
3
x = ––
2 
3
y = ––
2 
1
w = ––
4
�
3 1
x + 3.–– + 4.–– = 7
2 4
3
w = ––
2
1
w = ––
4
�
1
–––
4
1
–––
z
3–––
2
3–––
2
�3–––2
3–––
2�
x + 2y – z = 6
– 3y + 4z = – 7
(– 1 + a)z = 3
�
⇔
x = 32
y = 48
�⇔x + y = 80
10y = 480
�⇔
x + 2y – z = 6
2x + y + 2z = 5
3x + 3y + az = 14
� +
– 2
+
– 3
x + 2y – z = 6
– 3y + 4z = – 7
– 3y + (3 + a)z = – 4
�
+
– 1
+
–20x + y = 80
20x + 30y = 2080�
x + y – z = 2 – 2
2x + 3y + 2z = 5 
⇒�
x + y – z = 2
y + 4z = 1�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 154
155MATEMÁTICA
 e)
 
 
 Portanto, o sistema é possível e inde ter minado.
Considerando z = k, te mos:
 y – k = – 6 ⇒ y = k – 6
 x + k – 6 + k = 3 ⇒ x = – 2k + 9
 As soluções são da forma (9 – 2k, k – 6, k)
 f) 
 
⇒ 
 O sistema é impossível: S = Ø
 g) 
⇔
 ⇒ 
 O sistema é possível e indeterminado. Fazendo z = k,
temos:
 – 5y + 10k = 0 ⇒ – 5y = – 10k ⇒ y = 2k
 x + 2k – 3k = 1 ⇒ x = 1 + k
 As soluções são da forma (1 + k, 2k, k).
Módulo 15 – Substituição, eliminação e
exercícios complementares
�
 
⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇔ 
 V = {(2; 7)} 
� I) ⇒ 3 + z = 6 ⇒ z = 3
 II) ⇒ 4 + y = 6 ⇒ y = 2
 III) ⇒ x + 2 = 3 ⇒ x = 1
 Portanto
 
⇔
 V = {(1; 2; 3)} 
�
 
⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ 
 V = {(1; 2)}
� I) ⇔ 2y = 2 ⇒ y = 1
 II) ⇔ 2x = 2 ⇒ x = 1
 III) ⇔ 2z = 2 ⇒ z = 1
 Portanto:
 
 V = {(1; 1; 1)}
� Se o termo ordenado (a; b; c) é a única solução do sistema
 
, então:
 ⇒
 ⇒ (a + 2a + a) + (– b – b + 6b) + (2c – c + 3c) =
 = (– 1+ 5 + 12) ⇒ 4a + 4b+ 4c = 16 ⇒ a + b + c = 4
 Resposta: D
� Se s for o número de salas e n, o número de alunos,
temos:
 
⇔ ⇔
 
⇔ ⇔
 Resposta: C 
� a) ⇒ ⇒
 
 ⇒
 Se z = α, temos y = 2α, w = 3α e x = 3α. Portanto, 
 S = {(3α, 2α, α, 3α), α ∈ �}.
2x + 3y = 8
9x – 3y = 3�
2x + 3y = 8
3x – y = 1�
x = 1
y = 2�
x = 1
2.1 + 3y = 8�
x + y – z = 1
– x + y + z = 1�
x + y – z = 1
x – y + z = 1�
– x + y + z = 1
x – y + z = 1 �
x = 1
y = 1
z = 1
�⇔
x + y – z = 1
– x + y + z = 1
x – y + z = 1
�
x – y + 2z = – 1
2x – y – z = 5
x + 6y + 3z = 12
�
a – b + 2c = – 1
2a – b – c = 5
a + 6b + 3c = 12
�
30s – n = 20
40s – n = 160�
30.(s – 1) + 10 = n
40 . (s – 4) = n�
s = 14
n = 400�
30s – n = 20
10s = 140�
x + y + z = 3
y – z = – 6�
3x + 15y + 6z = 3
0 = 24�
–2
x + y – 3z = 1
2x – 3y + 4z = 2�
x + y – 3z = 1
– 5y + 10z = 0 �
y = 2x + 3
3x + 2x + 3 = 13�
y = 2x + 3
3x + y = 13�
x = 2
y = 7�
y = 2.2 + 3
x = 2�
y = 2x + 3
x = 2�
x + y + z = 6
x + y = 3�
x + y + z = 6
x + z = 4�
x + y + z = 3 – 2
2x + 3y + z = 0 
⇒�
3x + 15y + 6z = 3 – 2 
2x + 10y + 4z = 10 3 
⇒ �
x + y = 3
y = 2�
x = 1
y = 2
z = 3
�
x + y + z = 6
x + y = 3
x + z = 4
�
x – 3z = 0
3y – 2w = 0
y – 2z = 0 
4y – 8z = 0
�
x = 3z
3y = 2w
y = 2z 
4y = 8z
�
x – 3z = 0
y – 2z = 0
 6z – 2w = 0 SPI
y – 2z = 0
�
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156 MATEMÁTICA
 b) Para a = 1, temos x = 3, y = 2, z = 1 e w = 3. Logo, o
menor número inteiro de átomos de cálcio: 
 3, hidrogênio: 6, fósforo: 2 e oxigênio: 8.
	 . . ⇔ ⇔
 ⇔ ⇔
 Impondo as condições x ∈ � *, y ∈ � * e z ∈ � *, temos:
 
⇔ ⇔ ⇔
 ⇔ z ∈ {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} 
 Observe que as demais afirmações são in corretas
 B – Falsa, pois x = 7, y = 18 e z = 7 representam uma
solução.
 C – Falsa, pois x + 2y + 5z = 78 ⇔
 ⇔ 0,05x + 0,10y + 0,25z = 3,90
 D – Falsa, pois para y = 4, temos:
 
⇔ ⇔
 E – Falsa, pois 4,6 < z < 11,5
 Resposta: A
 . = ⇒
 ⇒ ⇒ ⇒
 Sendo C a capacidade do tanque e t o tempo, em
minutos, que os três juntos são capazes de encher o
tanque, em um minuto, temos:
 
+ + = ⇔ =
 Assim, em minutos, o tempo necessário para encher o
tanque é t = .
 Considerando que o tanque tem 3 metros de altura, o
tempo necessário para atingir 1,95 m de altura é
 
. = 3 minutos
 Resposta: E
� Somando as três equações, resulta x + w = 6.
 Como y + z = 2, então:
 (x + w) + (y + z) = 6 + 2 = 8
 Portanto, x + y + z + w = 8
 Resposta: D
Módulo 16 – Substituição, eliminação e
exercícios complementares
� Se x = a, y = b, z = c e w = d, então:
 
⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇒ ⇒
 ⇒ abcd = – . . – . = 
 Resposta: C 
� Sejam s, a e b as quantidades de calorias contidas respec -
tivamente em uma colher de sopa de arroz, uma
almôndega e uma porção de brócolis.
 Nas condições dadas, temos:
 
⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ 
 Se ontem seu almoço consistiu de uma colher desopa de
arroz, duas almôndegas e uma porção de brócolis, essa
pessoa ingeriu 44 + 2 . 60 + 22 = 186 calorias.
 Resposta: A
+
�
x + y = 0
y + z = 0
z + w = 0
y + w = 1
1
x + y = 0
y + z = 0
z + w = 0
2w = 1
�
1
a = – –––
2
1
b = –––
2
1
c = – –––
2
1
d = –––
2
�
1
x = – –––
2
1
y = –––
2
1
z = – –––
2
1
w = –––
2
�
1
––
2�
1
––
2�
1
––
2�
1
––
2�
1
––––
16
�
x + y = 0
y + z = 0
z + w = 0
y + z + 2w = 1
–1
+
�7832��
x
y
z��11 21 51� x + 2y + 5z = 78x + y + z = 32�
x = 3z – 14
y = 46 – 4z�
x + 2y = 78 – 5z
x + y = 32 – z�
14z > –––
3
46z < –––
4
z ∈ � *
�3z – 14 > 046 – 4z > 0z ∈ � *� z > 4,6z < 11,5z ∈ � *�
x = 3z – 14
4 = 46 – 4z�x = 3z – 14y = 46 – 4z�
x = 17,5 ∉ � *
z = 10,5 ∉ � *�
�
30
25
35
��
tA
tB
tC
��
1
1
0
1
0
1
0
1
1
�
tA + tB + tC = 45
tA + tC = 25
tB + tC = 35
�
tA + tB = 30
tA + tC = 25
tB + tC = 35
�
tA = 10
tB = 20
tC = 15
�
C
–––
t
C
–––
15
C
–––
20
C
–––
10
C
–––
t
13C
––––
60
60–––
13
60
––––
13
1,95
––––––
3,00
2s + a = 148
s + 2a = 164 
s + a + b = 126
�3s + 2a + 1b = 2742s + 3a + 1b = 290 
2s + 2a + 2b = 252
�
a = 60
s = 44
b = 22
�– 3a = – 180s + 2a = 164 
s + a + b = 126
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 156
157MATEMÁTICA
� I) ⇔ ⇔
 ⇔ ⇔ ⇔
 II) ⇔ x + y = – 7
 III) Se k = – 7 então o sistema será possível e deter -
minado e a solução é (– 2; – 5).
 IV) Se k ≠ – 7 então o sistema é im possível.
 V) O sistema nunca será possível e in deter minado.
 Resposta: C
� Sendo:
 a = número de pílulas de A
 b = número de pílulas de B
 c = número de pílulas de C
 temos
 
 Substituindo b por 2a, vem:
 
 Resolvendo o sistema, encontramos a = 30 e c = 90.
Assim, b = 60.
 Resposta: D
� Sendo x e y, respectivamente, o número de carros
roubados durante um ano, das marcas X e Y, tem-se:
 
 O número esperado de carros roubados da marca Y,
durante um ano, é 30.
 Resposta: B 
FRENTE 2
Módulo 1 – Introdução ao estudo da geometria 
� CERTO, pois:
 ⇒ 
––
AB � �
 
 
� ERRADO, pois:
 
 Seja � uma circunferência qualquer.
 ∃ A ∈ �, ∃ B ∈ � (A ≠ B) | 
––
AB � �
� Seja π um círculo qualquer.
 
 
 
 
 
 
⇒ 
—
AB � π ⇒ π é uma região convexa.
� a) 83° 20’ 43”
 + 21° 32’ 54”
 ––––––––––––––
 104° 52’ 97”
 Como 1’ → 60”, temos que: 
 83° 20’ 43” + 21° 32’ 54” = 104° 53’ 37”
 b) 92° 43’
 – 47° 30’
 ––––––––––
 45° 13’
 c) 41° 22’ 60”
 – 17° 21’ 43”
 –––––––––––––
 24° 01’ 17”
 d) 38° 3
 08° 12° 40’
 2° = 120’
 0
 Logo, 38° : 3 = 12° 40’
� Como pode ser observado no gráfico, a alternativa (e) é
correta.
 Resposta: E
�
 = ⇒ x = = 93,6°
 Resposta: D 
∀ A, B ∈ π
A ≠ B
3x – 2y = 4
4x + y = – 13� 3x – 2y = 48x + 2y = – 26�
3x – 2y = 4
11x = – 22� x = – 2y = – 5�3x – 2y = 4x = – 2�
x = – 2
y = – 5�
a + b + c = 180
5a + 10b + 12c = 1830
2a = b
�
3a + c = 180
25a + 12c = 1830�
⇔
x = 2y
2y + y = 90�⇔
x = 2y
x + y = 60% . 150�
x = 60
y = 30�
∀ A, B ∈ �A ≠ B
26 . 360
–––––––
100
26
––––
x
100
–––––
360°
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 157
158 MATEMÁTICA
� É possível preencher corretamente o espaço indicado
pela seta da figura A utilizando a peça 2, após girá-la de
90° no sentido anti-ho rário, conforme mostra o destaque
 
 
 Resposta: C
	
 124° 3’ 0” = 124° + =
 = 124° + = 124° + 0,05° = 124,05°
 Resposta: B
Módulo 2 – Ângulos
� ângulo = 40°
 complemento: 90° – 40° = 50°
 suplemento: 180° – 40° = 140°
 replemento: 360° – 40° = 320°
 Resposta: D 
� Complemento: 
 89° 59’ 
 90° 60’ 60” 
 – 37° 20’ 07” 
 –––––––––––––––– 
 52° 39’ 53” 
 
 Suplemento:
 179° 59’
 180° 60’ 60”
 – 37° 20’ 07”
 ––––––––––––––––
 142° 39’ 53”
 
 Resposta: B 
� 3x – 20° = x + 11° ⇔ 2x = 31° ⇔
 ⇔ x = ⇔ x = 15° 30’
 Resposta: 15° 30’
� x + 75° = 90° ⇒ x = 90° – 75° ⇒ x = 15°
 Resposta: E
�
 ângulo entre as bissetrizes: 
 
+ = = 2x.
 De acordo com o enunciado, temos: 
 90° – 2x = 50° ⇔ – 2x = 50°– 90° ⇔ 
 ⇔ – 2x = – 40° ⇔ x = 20°
 Os ângulos medem x = 20° e 3x = 60°. A soma desses
valores é 20°+ 60°= 80°.
 O complemento de 80° é 90°– 80° = 10°.
� Devemos ter:
 5x – 20° = 2x + 50° ⇒ 3x = 70° ⇒ x = 23°20’
 Resposta: C
� 
 
 Conforme o trajeto apresentado no mapa acima, Carlos
fez conexão em Belo Horizonte (13) e, em seguida,
embarcou para Salvador (9).
 Resposta: B
	
 x = ⇔ 2x = 90° – x ⇔
 ⇔ 2x + x = 90° ⇔ 3x = 90° ⇔ x = ⇔ x = 30°
 Resposta: A 
3°
––––
60
1°
––––
20
31°–––
2
4x
–––
2
3x
–––
2
x
––
2
90° – x
––––––––
2
90°
–––––
3
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 158
159MATEMÁTICA
Módulo 3 – Paralelismo
� Os ângulos de medidas 5x + 20° e 120° são alternos
externos.
 Assim: 
 5x + 20° = 120° ⇔ 5x = 100° ⇔ x = 20°
 Resposta: A
� 
 Traçando uma reta t, pelo vértice do ângulo 3, paralela às
retas r e s, e sendo x a medida do ângulo 3, tem-se:
 x = 45° + 55° = 100°
 Resposta: E 
� 
 3� + 52° = 120° ⇔ 3� = 120° – 52° ⇔
 
⇔ 3� = 68° ⇔ � = ⇔ � = 22°40’
 
 
 Resposta: E
� 
 x + 80° = 180° ⇔ x = 100°
 Resposta: B
� 
 Traçando uma reta t, pelo vértice C, para lela às retas
↔
AB e
↔
DE, tem-se: 
 α + 30° = 70° ⇔ α = 70° – 30° ⇔ α = 40°
 Resposta: B
� Traçando as retas t e p, pelos vértices dos ângulos 40° e
70°, respectivamente, para lelas às retas r e s, tem-se:
 
 α = 50°
 Resposta: D 
�
 x + 2x + 135° = 180° ⇔ = 180° ⇔
 ⇔ 5x + 270° = 360° ⇔ 5x = 360° – 270° ⇔
 ⇔ 5x = 90° ⇔ x = ⇔ x = 18°
 Resposta: A 
	 
 
 
 
x
––
2
3
22°40’
68°
2°
× 60
120’
–––––
0
x + 4x + 270°
–––––––––––––
2
1
–––
2
90°
––––
5
ângulo central comprimento do arco
7,2° 800 km
360° C
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 159
160 MATEMÁTICA
 Como as grandezas são diretamente pro por cionais, 
tem-se:
 
= ⇔ = ⇔
 ⇔ C = 50 . 800 km = 40000 km
 Resposta: 40000 km
Módulo 4 – Triângulos
� x + 50° = 120° ⇔ x = 70°
 Resposta: C
� 3x = 80° + x ⇔ 2x = 80° ⇔ x = 40°
 Resposta: A
� 
 x = 30° + 70°
 x = 100° 
 Resposta: E 
� 
 
 
 x + 100° + 50° = 180° ⇔ x = 180° – 100° – 50° = 30°
 Resposta: A 
� 
 50° + 50° + 180° – x = 180° ⇔ 100° = x
 ou pelo Teorema do ângulo externo:
 x = 50° + 50° ⇔ x = 100°
 Resposta: B 
� 
 Pelo Teorema do ângulo externo,
 x = 100° + 30° ⇔ x = 130°
 Resposta: E 
� 
 Pelo Teorema do ângulo externo,
 x = 70° + 60° ⇔ x = 130°
 Resposta: E 
	 Sendo x a medida do ângulo B ^CA, temos:
 x + 2x + 69° = 180° ⇒ x = 37°
 Assim, B
^
AC = 2x = 2 . 37° = 74°
 Resposta: C
 
 I) A
^
DC = 90° ⇒ A
^
DB = 90° – 30° = 60°
 II)
^
C = 180° – 90° – 40° ⇔ ^C = 50° 
 III) No triângulo BCD, C
^
BD = 180° – 50° – 30° = 100°
 Resposta: B 
800 km
––––––––
C
7,2°
––––––
360°
800 km
––––––––
C
1
––––50
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 160
161MATEMÁTICA
� 
 
 
 
 x + 80° + 70° = 180° ⇔ x = 180° – 80° – 70° = 30°
 Resposta: A 
� 
 I) d + 110° = 180° ⇔ d = 70° 
 II) a = d ⇒ a = 70°
 III) c + d + 30° = 180° ⇒
 ⇒ c + 70° + 30° = 180° ⇔ c = 80°
 IV) b + c = 110° ⇒
 ⇒ b + 80° = 110° ⇔ b = 30°
 V) a + b + c = 180° ⇒
 ⇒ a + 30° + 80° = 180° ⇔ a = 70°
 Resposta: B 

 
 
 
 Observe, na figura acima, que, em relação ao ponto O, o
simétrico do:
 1) ponto A é o ponto A’
 2) ponto B é o ponto B’
 3) ponto C é o ponto C’
 4) ponto D é o ponto D’
 5) ponto E é o ponto E’
 6) triângulo BCE é o triângulo B’C’E’ e, con sequen -
temente, do quadrilátero OACD dado é o quadri látero
OA’C’D’.
 Resposta: E
Módulo 5 – Segmentos notáveis do triângulo 
� Pelo enunciado, podemos construir a figura a seguir:
 
 No triângulo BCF, temos:
 x + 50° + 50° = 180° ⇔ x = 180° – 100° ⇔ x = 80°
 Resposta: 80°
� 
 X
^
YZ = 180° – 55° – 55° = 70°
 Resposta: D
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 161
162 MATEMÁTICA
� 
 I) No triângulo ABC, temos:
 α + 2x + 2x = 180° ⇔ α + 4x = 180° 
 II) No triângulo BOC, temos: 
 3α + x + x = 180° ⇔ 3α + 2x = 180° 
 
III) ⇔ ⇔
 
 ⇔ 5α = 180° ⇔ α = 36°
 Resposta: D 
� Pela descrição, é a figura da alternativa D.
 Resposta: D
� 
 x + 3x = 80° ⇔ 4x = 80° ⇔ x = 20°, portanto, C
^
AB = 20°
 Resposta: 20°
� 
 
 I)
^
A = 180° – 70° – 50° = 60°
 II) α = 180° – 30° – 50° = 100°
 III) α + β = 180° ⇒ β = 180° – 100° = 80°
 
IV) = = 
 
 Resposta: D 
� 
 Como
^
A = 40°, 
^
B = 50° e 
^
C = 180° – 40° – 50° = 90°, o
triângulo é retângulo, a altura relativa ao vértice B é o
cateto 
—
BC e a altura relativa ao vértice A é o cateto 
—
AC.
Assim, o ângulo formado pelas alturas é 90°, que é o
ângulo 
^
C do triângulo ABC. 
 Resposta: D 
	 
 
 I) No triângulo AHC, temos: 
 
^
A = 180° – 90° – 30° = 60°
 II) No triângulo AHS, temos: 
 H
^
SA = 180° – 30° – 90° = 60°
 III) No triângulo BAS, temos:
 110° + 60° + x = 180° ⇔ x = 180° – 110° – 60° = 10°
 Resposta: D 
 
 I)No triângulo ABC, temos: 
 40° + 2y + 2z = 180° ⇔ 2(y + z) = 140° ⇔ y + z = 70°
 II) No triângulo BCI, temos:
 x + y + z = 180° ⇒ x + 70° = 180° ⇔ x = 110° 
 Resposta: C 
α + 4x = 180°
3α + 2x = 180°�
– α – 4x = – 180°
6α + 4x = 360°�
4
–––
5
80°
–––––
100°
β
–––
α
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 162
163MATEMÁTICA
� 
 
I) Se 
—
AS é bissetriz do ângulo 
^
A, então 
 B
^
AS = 
 II) No triângulo ABH, temos:
 
– x + 
^
B = 90° ⇔
 ⇔ 180° – ^B – ^C – 2x + 2 ^B = 180° ⇔
 ⇔ ^B – ^C = 2x ⇔ x =
 Resposta: D 
Módulo 6 – Triângulo retângulo e condição de
existência de um triângulo
� condição de existência do triângulo logo, a
 afirmação e) x + y < z é falsa
 Resposta: E
 
� 
 8 – 5 < x < 8 + 5 ⇔ 3 < x < 13
 Logo, o me nor valor inteiro para x é 4.
 Resposta: B
� a) é falsa. Sendo 1 < 2 < 4, não existe um triângulo cujos
lados medem 1, 2 e 4, pois 4 > 1 + 2.
 b) é falsa. Sendo 4 = 1 + 3, não existe um triângulo cujos
lados medem 4, 1 e 3.
 c) é falsa. Sendo 1 < 2 + 4, não existe um triângulo cujos
lados medem 1, 2 e 4, pois 4 > 1 + 2.
 d) é falsa. Sendo 4 > 1 + 2, não existe um triângulo cujos
lados medem 4, 1 e 2. 
 e) é verdadeira.
 Resposta: E
� 
 
 4 – 3 < x < 4 + 3 ⇔ 1 < x < 7 
 Logo, podemos afirmar que a medida do terceiro lado é
menor que 7 cm.
 Resposta: D 
�
 
⇔ ⇔ ⇔ x = 2
 Logo, para x = 2, a medida do terceiro lado, em
centímetros, é 22 + 1 = 5. Assim, o perímetro é 
(4 + 6 + 5)cm = 15 cm.
 Resposta: C
� 
 I) Como M é o ponto médio da hipotenusa, temos: 
 AM = BM = CM e, portanto, o triângulo AMC é
isósceles. 
 II) Fazendo M ^AC = M ^CA= x, no triângulo AHC temos: 
 x + 90° + 20°+ x = 180° ⇔ 2x + 110° = 180° ⇔ x = 35°
e, por tan to, ^C = 35°.
 III) No triânguloABC, temos: 
 
^
B + 
^
C = 90° ⇔ B + 35°= 90°⇔ B = 55°
 Resposta: B 
� 
180° –
^
B –
^
C
–––––––––––––
2
180° –
^
B –
^
C
–––––––––––––
2
^
B –
^
C
––––––
2
x � y + zy � x + zz � x + y
5
8
x
– 3 < x < 3
x < – 1 ou x > 1
x ∈ �
�x
2 < 9
x2 > 1
x ∈ �
�
x2 + 1 < 6 + 4
x2 + 1 > 6 – 4
x ∈ �
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 163
164 MATEMÁTICA
 
—
AM é mediana 
 
—
AS é bissetriz
 Considere o triângulo retângulo em A.
 a) a medida da mediana relativa à hipo tenusa de um
triângulo retângulo é igual à metade da medida da
hipotenusa, ou seja, 10 cm.
 b) 20° + 45° + x = 90° ⇔ x = 90° – 45° – 20° ⇔ x = 25°
 Resposta: a) 10 cm b) 25°
	 Sejam a, b e c os números inteiros que expressam, em
metros, as me didas dos lados de um triângulo, com a ≥ b,
b ≥ c e a + b + c = 11.
 Como � a < , tem-se: 
 a = 5 ou a = 4.
 Assim, podemos montar a seguinte tabela para os valores
de a, b e c.
 
 Nela se observa que os triângulos “pos síveis” são quatro
e destes nenhum é equi látero, três são isósceles e um é
escaleno.
 Respostas:a) Quatro triângulos.
 b) Nenhum equilátero e três isósceles.
Módulo 7 – Congruência de triângulos 
� Como os triângulos possuem dois ângulos e o lado entre
eles respectivamente con gruentes, podemos concluir
que eles são congruentes pelo critério ALA.
 
 Resposta: C
� Como os elementos fornecidos nos permi tem concluir
apenas a congruência de dois lados, eles não permitem
concluir que os triângulos são côngruos.
 Resposta: A
� Como os elementos fornecidos nos permi tem concluir
apenas a congruência dos três ângulos, eles não
permitem concluir a con gruência dos triângulos, pois AAA
não é critério de congruência.
 Resposta: A
� 
 I) ^A + ^B + ^C = 180° ⇔ 110° + 40° + ^C = 180° ⇔ ^C = 30°
 II) ^P + ^Q + ^R = 180° ⇔ 110° + ^Q + 30° = 180° ⇔ ^C = 40°
 III)
 Assim,
—
BC �
—
QR ⇒ y = 12 e
—
AB �
—
PQ ⇒ x = 8 
� 
 I)No triângulo ABC, temos: 
 A
^
BC = A
^
CB = = 80°
 II) No triângulo ACD, temos: 
 C
^
AD = 80 – 15° = 65°
 III) B
^
AE + 20° + 65° = 180° ⇒ B
^
AE = 95°
 Resposta: E
� 
11
–––
2
11
–––
3
a b c a + b + c
5 5 1 11
5 4 2 11
5 3 3 11
4 4 3 11
—
AC �
—
PR
^
A �
^
P
^
C �
^
R
�
180° – 20°
––––––––––
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 164
165MATEMÁTICA
 I) C
^
ED = C
^
DE = 65° e, portanto, D
^
CE = 50°, pois o
triângulo DCE é isós celes.
 Assim, B
^
CE = 90° – 50° = 40°.
 II) Como B
^
CE = B
^
EC = 40°, temos: A
^
BE = 40° + 40° = 80°
 III) A
^
BE = B
^
AE = 80° e, portanto, 
 A
^
EB + 80° + 80° = 180° ⇒ A
^
EB = 20°
 Resposta: E
� 
 1) Os triângulos PQF e QPH são con gruentes pelo
critério LAAo e, portanto, 
––––
PH 	 
––––
QF.
 2) Os triângulos BHG e AFG são con gruen tes pelo mes mo
critério, pois 
 BH = BP – PH = AQ – QF = AF.
 3) Os triângulos AFG e AFG’ são con gruen tes pelo critério
ALA. Desta forma:
 
AG’ = AG = = 
 4) No triângulo PRG’, retângulo em R, temos:
 PG’2 = RG’2 + PR2 ⇒
 ⇒ PG’2 = 62 +
2
= ⇔ PG’ = 
 
 5) Das congruências, temos:
 PF + FG + GH + HQ = 2 (PF + FG)= 
 = 2 (PF + FG’) = 2 . PG’ = 2 . = 15
 Resposta: B
	 
 Como 
^
A = 36° e AB = AC então, no triângulo ABC,
 
^
B = = 72°
 Sendo CB = CD, então B
^
DC = 72°
 a) No triângulo BCD, temos: 
 DC
^
B = 180° – 72° – 72° = 36° e 
 AD
^
C = 180° – 72° = 108° 
 b) ΔADC é isósceles, pois D
^
AC = D
^
CA, então AD = DC
ΔBCD é isósceles, pois C
^
BD = C
^
DB, então BC = CD
 Como AD = DC e BC = CD, então AD = BC 
 
 Como AC = CD = 250 km e �BC � �AD, então, o triângulo
ABD é isósceles com base AD, ou seja, 
 AB = BD = 500 km
 Resposta: 500 km 
Módulo 8 – Polígonos
� n = 7
 Si = (n – 2) . 180°
 Si = (7 – 2) . 180°
 Si = 900°
� ai = = 
 ai = = 120° 
 Resposta: 120°
�
 
⇒ 2n = ⇒
 ⇒ 4n = n(n – 3) ⇒ n = 7
 Resposta: O polígono é um heptágono convexo.
3
–––
2
AB
––––
2
15
–––
2
225
–––––
4
9�–––�2
15
––––
2
180° – 36°
––––––––––
2
(n – 2) . 180°
––––––––––––
n
Si––––
n
(6 – 2) . 180°
––––––––––––
6
n (n – 3)
––––––––
2
d = 2n
n (n – 3)
d = ––––––––
 2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 165
166 MATEMÁTICA
� d = n ≠ 0
 
 Assim, = n ⇔ = 1 ⇔
 ⇔ n – 3 = 2 ⇒ n = 5
 Resposta: C
� I.ae = ⇒ 15° = ⇒ n = 24 
 II. d = ⇒ d = ⇒ d = 252
 Resposta: 252 diagonais
� As medidas dos ângulos internos desses polígonos
regulares são dadas respectiva mente por:
 ^T = ⇔ 
^
T = 60°
 ^Q = ⇔ 
^
Q = 90°
 P̂ = ⇔ P̂ = 108°
 Ĥ = ⇔ 
^
H = 120°
 Assim:
 I) 3 T̂ + 1 Ĥ = 300° ≠ 360°
 II) 3 T̂ + 2 Q̂ = 360°
 III) T̂ + P̂ + Ĥ = 288° ≠ 360°
 IV) T̂ + 2 Q̂ + Ĥ =360°
 Resposta: D
� A figura que permite uma pavimentação deverá permitir
um encaixe perfeito, sem sobreposição e sem deixar
sobras.
 Da figura apresentagas, apenas a da alter nativa D satisfaz
tal condição, como se vê no esquema a seguir.
 
 Resposta: D
� 
 
 Para que 
→
Ox coincida com 
→
Oy, 
→
Oy coincida com →Oz e
finalmente, 
→
Oz coincida com 
→
Ox, o ângulo de rotação �,
em torno do centro O do polígono, deve ser tal que: 
 � + � + � = 360° ⇔ � = 120°
 Resposta: D
� Para que não haja falhas nem superpo sições, octógonos
devem ser combinados com quadrados, conforme a
figura a seguir, pois 135° + 135° + 90° = 360°.
 
 Resposta: B
Módulo 9 – Polígonos
� Seja n o número de lados do polígono, então:
 
n = ⇔ 3n = d ⇔ 3n = ⇔ 6n = n2 – 3n ⇔
 ⇔ n2 – 3n – 6n = 0 ⇔ n2 – 9n = 0 ⇔ n = 9, pois n > 2 
 Resposta: B
	 n = 2d ⇒ n = 2 . ⇔ n2 – 3n – n = 0 ⇔
 ⇔ n2 – 4n = 0 ⇔ n(n – 4) = 0 ⇔ n = 4, pois n > 2
 Resposta: 4 lados
 O decágono tem 10 lados ⇒ n = 10
 Si = (n – 2) . 180° = (10 – 2) . 180° = 8 . 180° = 1440°
 Resposta: D
� Da afirmação “o número de lados é igual à terça parte do
número de diagonais”, temos:
 n = ⇔ d = 3n ⇔ = 3n ⇔ n – 3 = 6 ⇔ n = 9
 Assim: 
 Si = (n – 2) . 180° ⇔ Si = (9 – 2) . 180° ⇔ Si = 1260°
� I)ai = 3ae e ai + ae = 180° ⇔
 ⇔ 3ae + ae = 180° ⇔ 4ae = 180° ⇔ ae = 45°
 
II) ae = ⇒ 45° = ⇔ 45°n = 360° ⇔ n = 8
 
 Logo, o polígono é o octógono.
 Resposta: C
360°
–––––
n
360°
–––––
n
24 . 21
––––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
180°
–––––
3
360°
–––––
4
(5 – 2) . 180°
––––––––––––
5
(6 – 2) . 180°
––––––––––––
6
n(n – 3)
––––––––
2
d
–––
3
n(n – 3)
––––––––
2
n . (n – 3)
––––––––
2
d
–––
3
n – 3
––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
360°
–––––
n
360°
–––––
n
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:39 Página 166
167MATEMÁTICA
� I) Para m = 10, cada ângulo interno mede
 = = 144°
 
 II) Sendo α o ângulo interno do polígono de n lados,
temos:
 α + α + 144° = 360° ⇔ 2α = 360° – 144° ⇔
 ⇔ 2α = 216° ⇔ α = 108°
 III) Se ai = 108° ⇒ ae = 72° = ⇔ n = 5
 Resposta: C
� I) ae = 20° = ⇔ 20° = ⇔ 2n = 36 ⇔ n = 18 
 II) d = = = 9 . 15 = 135 
 Resposta: D 
	 
 A figura interna é um hexágono e Se = 360°
 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 360°
 Resposta: B
 Lembrando que o número de diagonais, em cada vértice
de um polígono regular de n lados, é n – 3, tem-se
 n – 3 = 15 ⇔ n = 18
 O ângulo interno do polígono regular de 18 lados mede,
em radianos,
Ai = = 
 Resposta: E
Módulo 10 – Quadriláteros notáveis 
� Basta observar as relações de inclusão.
 
 
 
 
 
 
 
 Resposta: E
� As diagonais de um paralelogramo são con gruentes se e
somente se esse parale lo gramo é um retângulo.
 Resposta: E
� 
 
 Resposta: O menor ângulo mede 58°
� Todas são verdadeiras.
 Resposta: B
 
� 
 
6θ = 360° ⇔ θ = = 60° e 2θ = 120°
 
 Se AC = 4 cm, então AB = BC = AC = 4 cm, pois o
triângulo ABC é equilátero.
 Resposta: D
8 . 180°
––––––––
10
(10 – 2) . 180°
–––––––––––––
10
360°
–––––
n
360°
–––––
n
360°
–––––
n
18(18 – 3)
––––––––––
2
n(n – 3)
––––––––
2
8π
––––
9
π . (8 – 2)
–––––––––––
18
⇒ � = 122° e � = 58°
� + � = 180°
� – � = 64°
360°
–––––
6
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 167
168 MATEMÁTICA
� 
 
I) + + + = 42 ⇔
 ⇔ = 42 ⇔ a + b = 42
 
 
II) + + + = 34 ⇔
 ⇔ = 34 ⇔ 3a + 2b = 102 
 
III) ⇔ ⇔
 ⇔ ⇒ b – a = 24 – 18 = 6
 Resposta: E
� 
 
 Traçando 
—
KY//
—
WX, temos:
 I) WXYK é um paralelogramo, então 
 WK = XY = 5,7 e KZ = 9,4 – 5,7 = 3,7
 II) Z
^
KY = Z
^
WX = X
^
YK = Z
^
YK = b, logo, o triângulo ZKY é
isósceles de base KY, portanto, YZ = KZ = 3,7 
 Resposta: E 
	 
 
 Sendo x a medida do lado do quadrado I, teremos 2x a
medida do lado do quadrado III e 3x a medida do lado do
quadrado IV.
 Logo, o valor da razão é 
 
= = .
 Resposta: A
 Na figura 1, o perímetro do losango é 8r.
 Na figura 1, o perímetro do losango é 12r.
 O aumento do perímetro foi de 4r, ou seja, 50%.
 Resposta: E
Módulo 11 – Quadriláteros notáveis 
� I) O triângulo APB é isósceles, pois 
AB = AP, então A
^
BP = A
^
PB = α. 
 II) P
^
AB = 90° – 60° = 30°
 III) No triângulo APB, temos: 
 30° + α + α = 180° ⇔ 2α = 150° ⇔ α = 75°
 Resposta: E 
� 
 
 
 
 
 Resposta: B
� I) O triângulo CDE é isósceles, pois 
 CD = CE, então C
^
ED = C
^
DE = α
 II) D
^
CE = 90° + 60° = 150°
 III) α + α + 150° = 180° ⇔ α = 15°
 IV) No triângulo CEF, temos:
 60° + 15° + C
^
FE = 180° ⇔ C ^FE = 105° = B ^FD
 Resposta: 105°
b
–––
2
b
–––
2
a
–––
2
a
–––
2
2a + 2b
––––––––
2
b
–––
3
b
–––
3
a
–––
2
a
–––
2
6a + 4b
––––––––
6
– 2a – 2b = – 84
3a + 2b = 102�
a + b = 42
3a + 2b = 102�
a = 18
b = 24�
5
–––
3
3x + x + x
–––––––––––
x + 2x
AB
–––––
BC
� = 72°
2� + � = 180°
� + 3� = 180°
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 168
169MATEMÁTICA
� 
 
 I) 108° + α + 108° + 108° = 360° ⇔ α = 360° – 324° = 36°
 II) 2x + 36° + 36° = 360° ⇔ 2x = 360° – 72° ⇔ x = 144°
 Resposta: C 
� 
 a) I) Número de azulejos no comprimento:
 = 25
 II) Número de azulejos na altura: 
 
= 17,5
 III) Total de azulejos: 25 . 17,5 = 437,5
 Portanto, não havendo perdas prove nien tes dos
cortes, serão necessários e suficientes 438 azulejos.
 b) A maior dimensão, em centímetros, é o 
 mdc(500; 350) = 50, pois:
 
 Respostas:a) 438 azulejos 
 b) 50 cm delado
� Num quadrado de 10 pastilhas × 10 pas tilhas no padrão
representado na figura, temos: 20 pastilhas pretas e 
80 pastilhas brancas.
 Assim, a razão entre o número de pastilhas pretas e o
número de pastilhas brancas, respectivamente, é 1:4.
 Logo, o custo por metro quadrado reves tido será:
 
= R$ 8,40.
 Resposta: B
� I) a + b + c + d = 360° ⇒
 
⇒ + 2x + + x = 360° ⇔
 ⇔ = 360° ⇔
 ⇔ 10x = 720° ⇔ x = 72° ⇒ d = 72°
 II) f + 90° + 72° = 180° ⇔ f = 180° – 162° = 18°
 Resposta: B 
	 I) O triângulo BCD é isósceles de base —CD, então 
B
^
DC = B
^
CD = α, logo α + α + 90° + 60° = 180° ⇔
⇔ α = 15°
 II) A
^
DB = 45°, pois
—
AD é diagonal do quadrado, portanto, 
 C
^
DA = 45° – 15° ⇔ C^DA = 30°
 Resposta: D 
 I) Se M^CD = M^CB = x, A^BN = C^BN = y e S o ponto de
encontro das bissetrizes, então no triângulo CBS, 
tem-se: x + y + α = 180° ⇒ x + y = 180° – α
 II) No quadrilátero ABCD, tem-se:
 
^
A + 
^
B + 
^
C + 
^
D = 360° ⇒ 
^
A + 2y + 2x + 
^
D = 360° ⇔
 ⇔ ^A + ^D = 360° – 2(x + y) ⇒
 ⇒
^
A + 
^
D = 360° – 2(180° – α) ⇔
 ⇔ ^A + ^D = 360° – 360° + 2α = 2α
 Resposta: D 
Módulo 12 – Linhas proporcionais
� = 
 10x – 5 = 3x + 9 ⇔ 7x = 14 ⇔ x = 2
 Resposta: B
� 
 =
 
Assim: = ⇔ 6x = 56 – 8x ⇔ 14x = 56 ⇔ x = 4
 Resposta: BS = 4 cm
500 cm
––––––––
20 cm
350 cm
––––––––
20 cm
1 2 3
500 350 150 50
150 50 0
1 . R$ 10,00 + 4 . R$ 8,00
–––––––––––––––––––––––––
5
3x
–––
2
x
–––
2
x + 4x + 3x + 2x
–––––––––––––––––
2
x + 3
––––––
5
2x – 1
–––––––
3
AC
–––––
SC
AB
–––––
BS
6–––––
7 – x
8–––
x
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 169
170 MATEMÁTICA
� Pelo teorema da bissetriz interna, temos:
 = ⇒ = ⇔ 3BC = 8 ⇔ BC = 
 Resposta: D
 
� 
 
I) = ⇔ 9x = 480 ⇔ x = 
 II) = ⇔ 9y = 360 ⇔ y = 40 
 III) = ⇔ 9z = 240 ⇔ z = 
 Resposta: m, 40 m e m
 
�
 
= ⇔ 3x = 15 . ⇔ x = 6 
 Resposta: E
� = ⇒ = ⇔ 4B’C’ = 16 ⇔ B’C’ = 4
 Resposta: 4 cm 
� 
 = ⇔ 2x = 180 – 3x ⇔
 ⇔ 2x + 3x = 180 ⇔ 5x = 180 ⇔ x = 36 
 Logo, os lados medem: AB = 24 m; AC = 36 m e 
BC = 40 m 
 Resposta: 24 m, 36 m e 40 m 
	 I) = ⇒ = ⇔
 ⇔ 5x + 45 = 8x ⇔ 45 = 3x ⇔ x = 15 
 II) AC = x + 9 = 15 + 9 = 24 
 Resposta: B 
 I) No triângulo ABC fazendo BQ = x, temos:
 
= ⇒ = ⇔
 ⇔ 4x = 42 – 3x ⇔ 4x + 3x = 42 ⇔
 ⇔ 7x = 42 ⇔ x = 6 ⇒ BQ = 6 cm 
 II) No triângulo ABQ, temos:
 
= ⇒ = ⇔
 ⇔ = ⇔ = = 0,4 
 Resposta: C
Módulo 13 – Semelhança de triângulos 
� Sendo x, em metros, a medida de —PO equi valente à
largura do rio, pela semelhança dos triângulos PAC e
POB, temos:
 
= ⇒ = ⇔
 
 ⇔ 40x = 24x + 480 ⇔ 40x – 24x = 480 ⇔
 ⇔ 16x = 480 ⇔ x = 30 
 Resposta: B 
� 
 Sendo x, em metros, o comprimento da sombra da moça
no chão, temos:
 
= ⇔ 4x = 1,5x + 3 ⇔
 ⇔ 4x – 1,5x = 3 ⇔ 2,5x = 3 ⇔ x = ⇔ x = 1,20 
 Resposta: B
� �ABD � �CBE ⇒ = ⇒ = ⇔
 
⇔ BE + (BE)2 = 30 ⇔ (BE)2 + BE – 30 = 0 ⇒ BE = 5
 Resposta: D 
8
–––
3
BC
–––––
2
4
–––
3
BC
–––––
BD
AC
–––––
AD
160
––––
3
90
––––
120
40
–––
x
90
––––
120
30
–––
y
80
––––
3
90
––––
120
20
–––
z
80
––––
3
160
––––
3
6
–––
5
6/5
––––
3
x
–––
15
8
–––––
B’C’
4
–––
2
A’B’
––––––
B’C’
AB
––––
BC
x
––––
24
60 – x
–––––––
16
2x
––––
15
x + 9
––––––
12
BC
––––
BD
AC
––––
AD
20
–––––––
14 – x
15
–––
x
AC
–––––
CQ
AB
–––––
BQ
6
–––
QR
15
–––
AR
BQ
–––––
QR
AB
–––––
AR
2
–––
5
QR
–––
AR
6
–––
15
QR
–––
AR
40
––––
24
x + 20––––––––
x
AC
––––
OB
PA
––––
PO
x + 2––––––
x
4
––––
1,5
3
–––
2,5
10
––––
BE
1 + BE
––––––––
3
BD
–––––
BE
AB
–––––
CB
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 170
171MATEMÁTICA
� 
 
 
 
 Os triângulos ACB e ECD são seme lhan tes, pelo critério
(AA~).
 = ⇔ = ⇔
 ⇔ 12 = 2x + 4 ⇔ x = 4
 Resposta: x = 4
� 
 I) �ABE ~ �CDE pelo critério (AA~)
 II) = ⇔ = ⇔ 3x = 50 – 5x ⇔
 ⇔ 8x = 50 ⇔ x = 6,25
 Resposta: A altura relativa ao vértice E do triângulo ECD
me de 6,25
� 
 
 De acordo com o enunciado, sendo x o nú mero de favelas
em 2016, temos:
 x – 750 = 2 . 218 ⇔ x = 1186
 Resposta: C
� 1) Se o comprimento real da caneta é 16,8 cm e o
comprimento c dela na fotografia é 1,4 cm, então a
razão de semelhança é = 12
 2) A largura da pegada é (2,2 cm) 12 = 26,4 cm
 3) O comprimento da pegada é (3,4 cm) 12 = 40,8 cm
 Resposta: D
	 
 Se h for a altura do tampo da mesa em relação ao plano
do chão então
 
= ⇔ h = 0,5 . ���3 = 0,5 . 1,7 = 0,85
 
 Resposta: B
 
 
 
 
 Sendo x o valor, em reais, que será acres cido ao imposto
devido, da semelhança dos triângulos PQR e CSD, temos:
 
= ⇔ x = 225,00
 Resposta: C
x + 2
–––––
3
4
–––
2
BC
–––––
DC
AC
–––––
EC
5
––
3
x
––––––
10 – x
25
–––
15
x
––––––
10 – x
16,8
––––––
1,4
0,5 . ���3
––––––––––
2
h
–––
2
2137,50
––––––––––
9500,00
x
–––––––––
1000,00
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 171
172 MATEMÁTICA
Módulo 14 – Semelhança de triângulos
� Sendo x a medida do lado do quadrado, temos:
 
�BDE � �BAC ⇒ = ⇒
 ⇒ = ⇔ x = 3 – 3x ⇔ x + 3x = 3 ⇔
 ⇔ 4x = 3 ⇔ x = = 0,75
 Resposta: B 
� 
 I) No �APQ a altura relativa ao vértice A mede h – 7,2.
 II) �APQ ~ �ABC pelo critério (AA~) pois
 
 
III) Assim: = ⇔ 18h – 18 . 7,2 = 7,2h ⇔
 ⇔ 10,8h = 129,6 ⇔ h = 12 cm
 Resposta: B
� I) Pelo enunciado, d = d’ 
 II) Pela semelhança dos triângulos, temos:
 
 = ⇔ = ⇔ =
 Resposta: D
� 
 
 Independente da posição do ponto E sobre a reta que
passa por D e é paralela à 
↔
AC, a altura h do triângulo EDB,
relativa ao lado ED, sempre será a medida do segmento
BG.
 a) Pela semelhança dos triângulos BCF e BDG, tem-se:
 
= = = = 5
 b) Sendo CF = x, nos triângulos retângulos BFA e BFC,
tem-se:
 
⇒ ⇔
 
⇔ ⇔
 Respostas:a) = 5 b) H = 
� 
 
 
 
 Sendo EC = b e DB = h, da semelhança entre os triân -
gulos retângulos BED e BCA, tem-se:
 
= =
 Logo:
 
 
= = ⇒
 Assim, sendo S a área do paralelogramo DECF, tem-se:
 S = b . h ⇔ S = . ⇔ S =
 Resposta: A
x
–––
3
1 – x
––––––
1
3–––
4
B
^
AC é ângulo comum
A 
^
QP � A 
^
CB (correspondentes)�
7,2
–––
18
h – 7,2
––––––
h
2
–––
3
2d’
––––
3c
b
–––
a
2
––d’
3
––––––
c
b
–––
a
d
–––
c
b
–––
a
15–––
3
BC––––
BG
BF ––––
BG 
H––––
h
H2 + (10 + x)2 = 202
H2 + x2 = 152�
BF2 + AF2 = AB2
BF2 + CF2 = BC2�
15
x = –––
4
15 �����15
H = –––––––
4
�H2 + x2 + 20x = 300H2 + x2 = 225�
15 �����15
–––––––
4
H–––
h
DE
––––
AC
BD
––––
BA
BD
–––
BA
DE
–––
AC
BE
–––
BC
 21
b = –––
10
 6
h = –––
5
�h–––4
3
––
2
––––
5
3 – b
––––––
3
63
–––
25
6
–––
5
21
–––
10
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 172
173MATEMÁTICA
� a) Seja x a medida, em centímetros, da altura do retângulo
com 10 cm de base, inscrito no retalho semicircular da
figura.
 
 De acordo com o Teorema de Pitágoras, tem-se:
 x2 + 52 = 62 ⇔ x = ����11 ⇒ x > 2,5
 Conclui-se assim que o retalho semicircular pode ser
usado para a obtenção da tira retangular.
 b) Seja y a medida, em centímetros, da altura do retângulo
com 10 cm de base, inscrito no retalho triangular da
figura.Da semelhança entre triângulos retân gulos dessa figura,
tem-se:
 
= ⇒ y = ⇔ y = 2,25 ⇒ y < 2,5
 
 Conclui-se assim que o retalho trian gular não pode ser
usado para a obten ção da tira retangular.
 Respostas: a) sim b) não
� Na figura fora de escala abaixo, os triân gulos des tacados
são semelhantes.
 
 = ⇒ x = 3 000 mm ⇒
 Resposta: C
Módulo 15 – Semelhança de triângulos 
� 
 Os triângulos ABC e QBR são semelhan tes, com razão de
semelhança igual a 2, pois Q é ponto médio de AB e R é
ponto médio de BC.
 Logo: 
 
= = = 
 Como QR = 4 ⇒ AC = 8
 Analogamente: �ADB ~ �APQ
 Logo:
 
= = =
 Como PQ = 5 ⇒ BD = 10
 Portanto: AC + BD = 8 + 10 = 18
� 
 Os triângulos ABD e APS são semelhantes, com razão de
semelhança igual a 2, pois P é ponto médio de AB e S é
ponto médio de AD.
 Logo:
 
= = = 
 Como BD = 10 ⇒ PS = 5
 Analogamente: 
 
�ABC ~ �PBQ ⇒
 
�BCD ~ �QCR ⇒
9
–––
4
8
–––
3
6
–––
y
x = 3m
15mm
––––––––
0,005mm
x
––––––
1mm
1
––
2
AC
–––
QR
BC
––––
BR
AB
–––
QB
2
–––
1 
BD
––––
PQ
AB
––––
AQ
AD
–––
AP
2
–––
1
BD
–––
PS
AD
––––
AS
AB
–––
AP
AC
–––– = 2
PQ ⇒ PQ= 6
AC = 12
�
BD
–––– = 2
QR ⇒ QR = 5
BD = 10
�
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 173
174 MATEMÁTICA
 ACD ~ �SRD ⇒ 
 Portanto, o perímetro do quadrilátero PQRS é 
 PS + PQ + QR + SR = 5 + 6 + 5 + 6 = 22.
� 
 
 
I) = ⇔ 10x = 2y ⇔ y = 5x 
 II) = ⇔ = ⇔ 10x = 80 – 40x ⇔
 ⇔ 10x + 40x = 80 ⇔ 50x = 80 ⇔ x = = 1,6
 Resposta: E 
� 
 
 Da semelhança dos triângulos V”MT e BNT, temos
 
= ⇔ x =
 Outra 
 Da semelhança dos triângulo BNT, UQT e UHV ou da
tangente dos ângulos α assina lados na figura, temos:
 tg α = = = ⇒ x= 
� Fazendo PC = x e PA = y, pela semelhança dos triângulos
PCA e PAB, temos:
 
I) = ⇒ = ⇔ 6y = 8x ⇔ y = 
 II) = ⇒ = ⇒ = ⇔
 ⇔ 3x + 21 = ⇔ 9x + 63 = 16x ⇔
 ⇔ 63 = 16x – 9x ⇔ 63 = 7x ⇔ x = = 9
 Portanto, PC = x = 9
 Resposta: C 
� 
 
 
 Considerando C
^
EA = D
^
EB = α e CE = x, pela semelhança
dos triângulos ACE e BDE, temos: 
 
= ⇒ = ⇔
 ⇔ 4x = 18 – 2x ⇔ 4x + 2x = 18 ⇔ 6x = 18 ⇔ x = 3
 Resposta: A 
� Sendo x, em metros, a medida de —ED, pela semelhança
dos triângulos AED e ABC, temos:
 
= ⇒ = ⇔
 ⇔ 5x = 30 + 3x ⇔ 5x – 3x = 30 ⇔
 ⇔ 2x = 30 ⇔ x = 15 
 Resposta: A 
	 
 
 
I) ΔABF � ΔCEF ⇒ = ⇔
 ⇔ x = 15 – 5x ⇔ x + 5x = 15 ⇔ 6x = 15 ⇔ x =
 II) AΔBCF = AΔABC – AΔABF =
AC
–––– = 2
SR ⇒ SR = 6
AC = 12
�
x
–––
y
2
–––
10
x
–––––––
10 – 5x
8
–––
10
x
––––––
10 – y
8
–––
10
8
–––
5
6
–––
17
1,2 – x
––––––––
0,9
x + 0,4
––––––––
0,8
6
–––
17
0,8 – y
––––––
0,4
y
––
x
0,9
––––––
1,2 – x
4x
–––
3
x–––
y
6–––
8
PC
––––
PA
CA
––––
AB
4x
–––
3–––––––
x + 7
3
––
4
y
–––––
x + 7
6––
8
PA
––––
PB
CA
––––
AB
16x
––––
3
63
––––
7
x
–––––
9 – x
2
–––
4
CE
––––
DE
AC
––––
BD
x
––––––
10 + x
12
––––
20
ED
––––
BC
AE
––––
AB
x––––––
3 – x
5–––
1
5–––
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 174
175MATEMÁTICA
 
= – = – = 
 Resposta: B 
Módulo 16 – Relações métricas nos triângulos
(pitágoras)
� I. Aplicando Pitágoras no ΔABC, temos: 
 a2 = 32 + 42 ⇔ a = 5
 II. 42 = 5 . n ⇔ n = 3,2
 III. 32 = 5 . m ⇔ m = 1,8
 IV. h2 = 3,2 . 1,8 ⇔ h = 2,4
 Resposta: a = 5; m = 1,8; n = 3,2; h = 2,4.
� 
 I) Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retân -
gulo HBA, tem-se:
 m2 + ( 2���5 )2 = 52 ⇔ m2 = 25 – 20 ⇔ m = ���5
 II) 52 = a . m ⇔ 52 = a . ���5 ⇔ a = 5���5
 III) a . h = b . 5 ⇔ 5���5 . 2���5 = 5 . b ⇔
 ⇔ b = ⇔ b = 10
 Resposta: AC = 10
� 
 Utilizando a relação 
 (HIP) . (ALT) = (CAT) . (CAT), temos:
 
15 . h = 9 . 12 ⇔ h = = 7,2 
 
 Resposta: B
� 
 Como BI
—
é a menor das dis tâncias do navio à ilha, pode -
mos concluir que BI
—
é perpendicular a AC
—
, e, portanto, BI
—
é altura relativa à hipotenusa do triângulo retân gulo IAC
 I) No �ABI, temos: 
 (AI)2 = (AB)2 + (BI)2 ⇔ 602 = (AB)2 + 482 ⇒ AB = 36 km
 II) No �AIC, temos:
 (AI)2 = (AC) . (AB) ⇔ 602 = (AC) . 36 ⇒ AC = 100 km
 III) No �AIC, temos:
 (AC)2 = (AI)2 + (CI)2 ⇔ 1002 = 602 + (CI)2 ⇒ CI = 80 km
 Assim, quando o navio estiver em C, a dis tância dele à ilha
será 80 km.
 Resposta: C
� 
 x2 + 42 = 122 ⇔ x2 = 144 – 16 ⇔
 ⇔ x2 = 128 ⇒ x = ������128 ⇔ x = 8���2
 Resposta: C
� 
 
 Seja x a altura, em metros, relativa ao lado 
—
BC do triân gu -
lo isósceles ABC, no qual AB = AC = 1,0 m e BC = 1,5 m
 De acordo com o teorema de Pitágoras, tem-se:
 x2 + (0,75)2 = 12 ⇔ x2 + 
2
= 12 ⇔
 ⇔ x2 = 1 – ⇔ x2 = ⇒ x = 
 Como h = 0,5 + 0,5 + x, tem-se: 
 h = 1 + x = 1 +
 Resposta: E
5–––
4
25––––
4
15––––
2
5
5 . ––
2
––––––––
2
5 . 3–––––
2
5���5 . 2���5 ––––––––––
5
36
–––
5
�3––4�
���7–––
4
7–––
16
9–––
16
���7–––
4
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 175
176 MATEMÁTICA
� 
 I. O ΔABC é equilátero de lado 2R. Sua altura é dada por:
 h = ⇔ h = ⇔ h = R���3
 II. d = h + 2R ⇔ d = R���3 + 2R ⇔ d = R(2 + ���3)
 Resposta: R(2 + ���3 )
	 I) A distância d, em quilômetros, do ponto da explosão
até o poço é tal que
 
d2 = 12 + 
2
= ⇔ d = = 1,12
 
 II) A distância do personagem até o poço é 
 50 m = 0,05 km
 III) Se t for o tempo gasto pela nuvem de poeira, e pelo
personagem, e v, em quilô metros por hora, for a
velocidade do personagem então
 
t = = ⇔ 1,12V = 40 ⇔
 ⇔ v = 35,71 ⇔ v 	 36
 Resposta: D
 
 No triângulo retângulo OHE, temos, em metros:
 OH = R – h = R – 1
 HE = = = 20
 OH2 + HE2 = OE2 ⇒ (R – 1)2 + 202 = R2 ⇔
 
⇔ R2 – 2R + 1 + 400 = R2 ⇔ R = = 200,5
 Resposta: 200,5 m
� 
 
 Considere sobre os lados do quadrado dado os pontos M,
N, P e Q, como na figura. Os triângulos r etângulos CMQ,
C1NM, C2PN e C3QP são congruentes e, em con sequên -
cia, o quadrilátero MNPQ é um quadrado e seu lado 
mede c.
 Dessa forma, a área do quadrado CC1C2C3 é igual à soma
das áreas do quadrado MNPQ e dos quatro triângulos
retângulos e congruentes CMQ, C1NM, C2PN e C3QP.
 Logo, (a + b)2 = c2 + 4 . ⇔
 ⇔ a2 + 2ab + b2 = c2 + 2ab ⇔ c2 = a2 + b2
 Resposta: demonstração
����3
–––––
2
2R���3
–––––––
2
���5
–––––
2
5
–––
4�
1
–––
2�
0,05
–––––
v
1,12
–––––
800
40
–––
2
d
–––
2
401
––––
2
ab
–––
2
C1_2ASERIE_VERMELHO_MAT_ROSE_2021 29/10/2020 08:29 Página 176