1 ANO ABCD - APOSTILA DE RA-MATEMÁTICA

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APOSTILA DE -RA – MATEMÁTICA 
RELAÇÕES ENTRE OS ÂNGULOS FORMADOS POR RETAS PARALELAS INTERSECTADAS POR UMA TRANSVERSAL.
Habilidade: (MS.EF07MA23.s.23) Verificar relações entre os ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal, com e sem uso de softwares de geometria dinâmica.
RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
Quando existem duas retas paralelas cortadas por uma transversal, é possível encontrar oito ângulos. Quando isso ocorre, é possível calcular o valor de cada um dos ângulos.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
No estudo de retas, na geometria, é bastante recorrente que tenhamos retas paralelas cortadas por uma transversal, isto é, retas pertencentes a um mesmo plano e que possuem mesma inclinação e nenhum ponto em comum. Conhecendo duas retas paralelas, é possível traçar uma reta transversal às duas, ou seja, uma reta que corta as duas retas paralelas.
Quando traçamos essa reta transversal, é possível perceber que são formados oito ângulos, os quais possuem uma correspondência entre as suas medidas:
· os ângulos colaterais são sempre suplementares;
· os ângulos correspondentes de uma reta paralela com a outra são sempre congruentes; e
· os ângulos alternos, tanto internos quanto externos, também são sempre congruentes.
O que são retas paralelas?
Em um mesmo plano, conhecemos como retas paralelas duas retas que possuem a mesma inclinação, mas não possuem nenhum ponto em comum. As retas paralelas nunca se cruzam, ou seja, têm a intersecção vazia.
As retas r e s são paralelas. notação: r//s (lê-se: a reta r é paralela à reta s).
O que é reta transversal?
Tendo um feixe de retas paralelas, conhecemos como reta transversal a reta que corta as retas paralelas.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Na imagem, as retas r e s são paralelas. Note que elas estão sendo cortadas por uma reta t, então dizemos que a reta t é uma reta transversal às retas paralelas.
Propriedades de um feixe de retas paralelas cortado por uma transversal
Quando traçamos a transversal de retas paralelas, utilizamos conhecimento geométrico para criar uma relação entre os ângulos formados pelo encontro das retas paralelas e a reta transversal. Sabemos que retas paralelas possuem a mesma inclinação, o que nos permite criar essas relações importantes entre os ângulos.
Ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal
Veja a seguir uma imagem com os ângulos formados entre as retas r e s e a transversal t.
Quando temos retas paralelas cortadas por uma transversal, como na imagem acima, podemos relacionar os ângulos formados com a reta r e com a reta s.
Os ângulos correspondentes são sempre congruentes
Os ângulos alternos externos são congruentes
Conhecem os como ângulos externos os ângulos que estão acima da reta r e abaixo da reta s.
Ângulos externos
Ângulos alternos externos são ângulos que se encontram em lados opostos em relação à reta t e eles sempre são congruentes.
Ângulos alternos externos são congruentes.
Os ângulos alternos internos são congruentes
Conhecemos como ângulos internos os ângulos que estão acima da reta s e abaixo da reta r.
Ângulos internos
Assim como os alternos externos, os ângulos são alternos internos quando eles estão em lados opostos em relação à reta t.
Ângulos colaterais são suplementares
Conhecemos como ângulos colaterais os ângulos que possuem um lado em comum. Nesse caso, os ângulos colaterais são sempre formados por um ângulo agudo e um ângulo obtuso, e eles sempre são suplementares, ou seja, a soma é igual a 180º.
Para encontrar o valor do ângulo em situações envolvendo retas paralelas cortadas por uma transversal, como consequência das relações mostradas anteriormente, basta analisar quais são os ângulos que estamos comparando. Sabemos que são formados 4 ângulos agudos e 4 ângulos obtusos, então:
# Os ângulos agudos são congruentes.
# Os ângulos obtusos são congruentes.
# Um ângulo agudo com um ângulo obtuso é sempre suplementar.
EXERCÍCIOS SOBRE RETAS PARALELAS CORTADAS POR UMA TRANSVERSAL
1) (Itame) Na figura abaixo, as retas “r” e “s” são paralelas, cortadas por uma transversal “t”. Se a medida do ângulo alfa é o triplo da média do ângulo beta, então a diferença entre alfa e beta vale:
A) 90º
B) 85º
C) 80º
D) 75º
2) (IFG – 2011) Supondo que a’//a e b’//b:
Marque a alternativa correta.
A) x = 31º e y = 31º
B) x= 56º e y = 6º
C) x = 6º e y = 32º
D) x = 28º e y = 34º
E) x = 34º e y = 28º
3) Observando os ângulos entre as retas paralelas e a reta transversal, determine os ângulos indicados na figura:
4) Dada a figura abaixo, encontre o valor do ângulo assinalado, sabendo que as retas r e s são paralelas.
5) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam ângulos colaterais externos, cujas medidas, em graus, são dadas por 3x + 20° e 2x – 15°. Calcule a medida desses ângulos.
6) UFG) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas. A medida do ângulo b é:
Retas r e s paralelas e interceptadas por retas transversais
a) 100°
b) 120°
c) 110°
d) 140°
e) 130°
7) Na imagem a seguir, as retas u, r e s são paralelas e cortadas por uma reta t transversal. Determine o valor dos ângulos x e y.
Retas u, r e s paralelas e interceptadas por uma reta t transversal
8) Sabendo que as retas r e s são paralelas e interceptadas por uma reta transversal t, determine o valor de x:
Reta r e s paralelas e interceptadas por uma reta transversal
9) (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são transversais. O valor de x + y é:
Reta r e s paralelas e interceptadas por retas t e u transversais
a) 100°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
10) (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas formando ângulos alternos internos expressos em graus por 
(5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses ângulos é:
a) 40°
b) 58°
c) 80°
d) 116°
e) 150°
​11) Em um par de retas paralelas cortadas por uma transversal, um dos ângulos colaterais internos mede 80 graus. A medida do ângulo colateral interno correspondente a esse, mede
(A) 80 graus.
(B) 100 graus.
(C) 180 graus.
(D) 160 graus.
12) Considere duas retas paralelas cortadas por uma transversal. Se a medida de um ângulo colateral é 45°, qual é a medida do outro ângulo colateral?
13) Sendo as retas r e s paralelas e t uma reta transversal a estas, determine os valores de a e b.
14) Dadas r e s, duas retas paralelas e uma transversal, determine os valores de a e b.
15) Uma reta transversal t seciona duas retas paralelas determinando oito ângulos. Classifique os pares de ângulos:
a) Alternos internos.
b) Alternos externos.
c) Colaterais internos.
d) Colaterais externos
16) (CPCON 2015) Se a, b, c são retas paralelas e d uma reta transversal, então o valor de x, é:
a) 9°
b) 10°
c) 45º
d) 7°
e) 5°
17) (VUNESP 2019) Na figura, as retas paralelas r e s são intersectadas pelas transversais t e u nos pontos A, B e C, vértices do triângulo ABC.
A soma da medida do ângulo interno x e da medida do ângulo externo y é igual a
a) 230º
b) 225º
c) 215º
d) 205º
e) 195º
RETAS PARALELAS CORTADAS POR TRANSVERSAIS: TEOREMAS DE PROPORCIONALIDADE E VERIFICAÇÕES EXPERIMENTAIS.
Habilidade: (MS.EF09MA14.s.16) Resolver e elaborar problemas de aplicação do teorema de Pitágoras ou das relações de proporcionalidade envolvendo retas paralelas cortadas por secantes.
TEOREMA DE TALES 
Teorema de Tales afirma que um feixe de retas paralelas determina, em duas transversais quaisquer, segmentos proporcionais. Desse modo, se temos duas retas paralelas “cortadas” por duas transversais, os segmentos formados por essa intersecção são proporcionais.
Representação e fórmula
Para melhor entendermos o enunciado do teorema, representaremos graficamente o feixe de retas paralelas interceptadas por retas transversais.
Observe que as retas r, s e t são paralelos e denotadas por r//s//t, as retas p e q são as transversais, os segmentos AB, BC, DE e EF foram determinados pelas intersecções das retas, e que, pelo teorema de Tales, esses segmentos são proporcionais, ou seja, as razõesentre eles são iguais.
Em consequência das propriedades das proporções, podemos escrever o resultado do teorema de Tales destas maneiras:
Exemplos:
Na figura a seguir, r//s//t, determine as medidas dos segmentos.
Aplicando o teorema de Tales, temos:
Para determinar a medida dos segmentos, devemos substituir os valores de x.
TEOREMA DE TALES NOS TRIÂNGULOS
O teorema de Tales aplicado nos triângulos é mais conhecido por teorema da bissetriz interna. Esse afirma que:
Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais, em relação a seus lados adjacentes.”
Observe que o segmento AD é a bissetriz do triângulo ABC, visto que ele divide o ângulo BÂC em duas partes iguais. De acordo com o teorema, o segmento de reta AD divide o lado oposto, ou seja, o lado BC, em dois segmentos proporcionais aos lados adjacentes, isto é, os lados AB e AC são proporcionais aos lados BD e DC nessa ordem, e, portanto, podemos escrever:
Exemplo:
Considere o triângulo seguinte e determine o valor de x, sabendo que o segmento AD é a bissetriz relativa ao lado BC.
EXERCÍCIOS:
1) Em um triângulo ABC, o perímetro é 54 cm, BS é a bissetriz, AS = 8 cm, e SC = 10 cm. Determine a medida do lado AB.
2) Na ilustração a seguir as retas r, s e t paralelas são intersectadas pelas retas transversais a e b, formando segmentos proporcionais. Aplique o Teorema de Tales e determine o valor do segmento representado por x.
2) determine a medida de x indicada na imagem.
3) determine a medida x indicada na imagem.
4) Determine o valor de x nas figuras abaixo:
a) 
b) 
c) 
5) Sobre o teorema de Tales, marque a alternativa que o define corretamente.
A) Dado um triângulo retângulo, a soma do quadrado dos catetos é sempre igual ao quadrado da hipotenusa.
B) Se um polinômio p(x) possui grau n, então o número de raízes complexas que esse polinômio pode admitir é igual a n.
C) Um feixe de retas paralelas determina sobre duas retas transversais segmentos proporcionais.
D) Dado um triângulo qualquer, a soma dos seus ângulos internos é sempre igual a 180º e a dos externos é igual a 360º.
6) Analise a imagem a seguir:
Sabendo que a + b = 21, então o valor de a é respectivamente igual a:
A) 9
B) 10
C) 11
D) 12
E) 14
7) Sabendo que as retas r, s e t são paralelas e analisando a imagem, podemos afirmar que x é igual a aproximadamente:
A) 1,10
B) 1,18
C) 1,20
D) 1,25
E) 1,29
8) (Sociesc) Um pinheiro de 7,2 m projeta uma sombra de 11,2 m. Dois passarinhos pousam nessa árvore, um bem no topo e outro um pouco mais abaixo. Se a distância entre as sombras que esses passarinhos projetam no chão é de 4,2 m, qual é a distância entre os dois passarinhos?
A) 3,2 m
B) 2,2 m
C) 2,5 m
D) 2,7 m
E) 3,7 m
9) (Fuvest–SP) Três terrenos têm frente para a rua A e para a rua B, como na figura. As divisas laterais são perpendiculares à rua A. Qual a medida de x, y e z em metros sabendo que a frente total para essa rua tem 180 m?
A) 90, 60 e 30
B) 40, 60 e 90
C) 80, 60 e 40
D) 20 30 e 40
10) (IFG) Seja o triângulo ABC da figura a seguir com as seguintes medidas: AC = 50 cm, AE = 20 cm, e AD= 10 cm.
Sabendo que DE é paralelo à BC, a medida do lado AB é de?
A) 15 cm
B) 20 cm
C) 25 cm
D) 30 cm
E) 35 cm"
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO; RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS; LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS; CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS (POR TRANSFORMAÇÕES GEOMÉTRICAS ISOMÉTRICAS);
Habilidades: (MS.EF09MA13.s.15) Demonstrar relações métricas do triângulo retângulo, entre elas o teorema de Pitágoras, utilizando, inclusive, a semelhança de triângulos.
RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.
As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).
Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:
Sendo:
a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa
SEMELHANÇA E RELAÇÕES MÉTRICAS
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:
Usando que  encontramos a proporção:
Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:
TEOREMA DE PITÁGORAS
A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.
Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:
Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:
A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.
EXEMPLOS
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:
Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 = a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36
2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e c2 = a . m
EXERCÍCIOS:
1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, determine:
a) a medida da altura relativa à hipotenusa
b) a área do triângulo
2) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5
3) Um triângulo cujas projeções dos catetos sobre a hipotenusa medem 10 e 40 centímetros tem que altura?
4) Analisando o triângulo retângulo a seguir, qual deve ser o valor de x para que o seu perímetro seja igual a 40?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
5) Analise o triângulo a seguir:
Sabendo que a sua área é igual a 30 metros, então, o valor de x é igual a:
A) 4,0 m B) 5,5 m C) 6,0 m D) 6,5 m E) 7,0 m
6) Uma fazenda possui formato retangular. Durante a compra, um agricultor viu que, pela legislação vigente, ele não poderá desmatar metade desse terreno, sendo assim, ele o dividiu diagonalmente conforme a imagem a seguir:
A área que deve ser mantida preservada é de:
A) 100 m²
B) 350 m²
C) 200 m²
D) 900 m²
E) 450 m²
7) (Instituto Excelência) De acordo com a definição básica do teorema de Pitágoras, assinale a alternativa CORRETA:
A) O teorema de Pitágoras relaciona as medidas dos catetos de um triângulo retângulo à medida de sua hipotenusa. O teorema de Pitágoras diz que: “a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.
B) O teorema de Pitágoras pode ser determinado pela seguinte lei de correspondência: “Feixes de retas paralelas cortadas ou intersectadas por segmentos transversais formam segmentos de retas proporcionalmente correspondentes”.
C) O teorema de Pitágoras pode ser utilizado para fazer a divisão de polinômios. Para fazer a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio Q(x), é fundamental que o polinômio Q(x) seja da forma x + u ou x – u, isto é, deve ser um binômio de 1° grau.
D) Nenhuma das alternativas.
8) Um parque possui o formato de um triângulo retângulo conforme a imagem a seguir:
Se uma pessoa completar 250 voltas em torno desse parque, ela andou um total de:
A) 5000 metros
B) 10.000 metros
C) 12.500 metros
D) 15.000 metros
E) 17.500 metros
9) A área do triângulo retângulo a seguir é de 60 cm². Sabendo disso, podemos afirmar que a soma dos seus catetos é igual a:
A) 22 cm
B) 23 cm
C) 25 cm
D) 26 cm
E) 28 cm
10) (IFG 2020) O desmatamento tem sido umaproblemática crescente no Brasil. Supondo que, ao efetuar o desmatamento de uma determinada área, um madeireiro se depara com uma árvore que já se encontra quebrada; parte do tronco da árvore que se manteve fixa ao solo mede 3 m e forma com este um ângulo de 90⁰; a ponta da parte quebrada que toca o solo encontra-se a 4 m de distância da base da árvore. Qual era a altura da árvore antes de se quebrar:
A) 5 m
B) 7 m
C) 8 m
D) 9 m
11) Para alcançar o ponto B, localizado em uma parede, a 12 metros do solo, uma escada com 15 metros de comprimento foi apoiada no ponto A e no ponto B, conforme a figura a seguir.
Com base nessas informações, para se alcançar o ponto C, localizado na parede 28 metros acima do ponto B, o tamanho da escada, que deve ser apoiada no ponto A e no ponto C, em metros, deverá ser igual a
12) Encontre o valor de y em cada relação:
13) A soma dos números correspondentes às medidas a, b, c e h no triângulo da figura abaixo formam uma senha que abre o cofre do senhor Adamastor.
Qual a senha que abre o cofre do Adamastor?
a) 124 	 b) 134		 c) 174	 	d) 144
 
14) Uma ponte deve ser construída, como mostra o desenho a seguir. Considerando as medidas assinaladas na figura, determine a largura do rio, sabendo que 
	
15) Uma praça tem a forma de um triângulo retângulo, com uma via de passagem pelo gramado, que vai de um vértice do ângulo reto até a calçada maior, como ilustrado pela figura abaixo. Sabendo que esta via divide o contorno maior do gramado em dois pedaços, um de 32 m e outro de 18 m, quanto mede, em metros, o contorno b?
16) Na figura abaixo, a distância da casa à estrada é 1,2 km.
a) Qual é a menor distância da árvore à caixa d’água?
b) Qual é a menor distância da casa à árvore?
c) Qual é a menor distância da casa à caixa d’água?
17) Calcule x nos triângulos abaixo:
18) Calcule o valor de x nos triângulos retângulos.
19) Aplicando as relações métricas nos triângulos retângulos abaixo, determine o valor da incógnita:
20) Qual valor de x no triângulo retângulo abaixo:
TEOREMA DE PITÁGORAS: VERIFICAÇÕES EXPERIMENTAIS E DEMONSTRAÇÃO.
1) (UERJ) Millôr Fernandes, em uma bela homenagem à Matemática, escreveu um poema do qual extraímos o fragmento abaixo:
Às folhas tantas de um livro de Matemática,
um Quociente apaixonou-se um dia doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base: uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez da sua uma vida paralela à dela,
até que se encontraram no Infinito.
“Quem és tu?” – indagou ele em ânsia radical.
“Sou a soma dos quadrados dos catetos.
Mas pode me chamar de hipotenusa.”
(Millôr Fernandes. Trinta Anos de Mim Mesmo.)
A Incógnita se enganou ao dizer quem era. Para atender ao Teorema de Pitágoras, deveria dar a seguinte
a) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
b) “Sou a soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
c) “Sou o quadrado da soma dos catetos. Mas pode me chamar de hipotenusa.”
d) “Sou a soma dos quadrados dos catetos. Mas pode me chamar de quadrado da hipotenusa.”
2) Um terreno retangular será dividido ao meio, pela sua diagonal, formando dois triângulos retângulos. A metade desse terreno será cercada com 4 fios de arame farpado. Sabendo que as dimensões desse terreno são de 20 metros de largura e 21 metros de comprimento, qual será a metragem mínima gasta de arame?
A) 300 metros
B) 280 metros
C) 140 metros
D) 70 metros
E) 29 metros
3) A área do triângulo retângulo que possui base medindo 5 cm e hipotenusa medindo 13 cm é igual a:
A) 30 cm²
B) 60 cm²
C) 24 cm²
D) 16 cm²
E) 12 cm²
4) (IBEG) Um empresário adquiriu um terreno comercial em formato triangular. As medidas perpendiculares são de 120 metros e 160 metros. Após a limpeza do terreno, o proprietário decidiu construir uma cerca de arame liso com 8 fios em volta de todo o perímetro do terreno. Cada metro do fio de arame custa R$ 1,50. Diante das informações apresentadas, calcule o perímetro total do terreno utilizando o teorema de Pitágoras, a quantidade de metros de arames a ser utilizado e o valor do custo com a aquisição dos fios de arame.
A) Perímetro total de 280 metros; 2.240 metros de fios; custo de R$ 3.360.
B) Perímetro total de 300 metros; 2.400 metros de fios; custo de R$ 3.600.
C) Perímetro total de 350 metros; 2.800 metros de fios; custo de R$ 4.200.
D) Perímetro total de 480 metros; 3.840 metros de fios; custo de R$ 5.760.
E) Perímetro total de 400 metros; 3.200 metros de fios; custo de R$ 4.800.
5) Durante um incêncio num edifício de apartamentos, os bombeiros utilizaram uma escada Magirus de 10 m para atingir a janela do apartamento sinistrado. A escada estava colocada a 1m do chão, sobre um caminhão que se encontrava afastado 6m do edifício. Qual é a altura do apartamento sinistrado em relação ao chão?
6) Um triângulo retângulo possui os lados perpendiculares medindo 7 cm e 24 cm, então a sua hipotenusa mede:
A) 20 cm
B) 25 cm
C) 32 cm
D) 34 cm
E) 35 cm
7) A área de serviço de um clube possui formato de retângulo. Nessa área, será colocado um cano para a passagem de esgoto, passando pela diagonal do terreno.
O cano passará pela região que está pontilhada, portanto o comprimento mínimo desse cano, em metros, deve ser de:
A) 16
B) 17
C) 18
D) 19
E) 20
8) Para realizar a construção de uma praça, a prefeitura traçou as medidas de dois lados da região, que possui formato de triângulo retângulo:
A medida do lado FG, indicada por x, é igual a:
A) 15 m
B) 18 m
C) 20 m
D) 24 m
E) 25 m
9) Um terreno possui formato de triângulo retângulo com lados perpendiculares medindo 8 e 15 metros. Deseja-se cercar esse terreno com arame. Para cada metro de cerca serão gastos R$ 12,00. Assim, o valor gasto para cercar o terreno todo será de:
A) R$ 204,00
B) R$ 276,00
C) R$ 400,00
D) R$ 480,00
E) R$ 520,00
10) (Instituto Avança São Paulo) Deseja-se subir em um muro com 32 metros de altura. Para isso, apoia-se uma escada a 24 metros de distância desse muro, como pode ser observado na figura abaixo.
Desse modo, a altura dessa escada, em metros, é de:
A) 28 m.
B) 30 m.
C) 40 m.
D) 45 m.
E) 56 m.
SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS.
Habilidade: (MS.EF09MA12.s.14) Reconhecer as condições necessárias e suficientes para que dois triângulos sejam semelhantes.
Definição: A semelhança de triângulos, enquanto conceito geométrico, ocorre quando duas figuras apresentam ângulos congruentes e lados proporcionais. A semelhança de triângulos nasce de transformações chamadas homotetias. Reduções e ampliações podem ser aplicadas a figuras, gerando casos de semelhança.
CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULO
O que são triângulos congruentes? Definimos dois triângulos como congruentes quando é possível perceber uma correspondência de igualdade entre as medidas dos lados e dos ângulos desses triângulos, ou seja, dois triângulos são congruentes quando os lados e ângulos correspondentes possuem as mesmas medidas.
CASOS DE CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS
Para identificar se os triângulos são congruentes, não precisamos comparar todos os seus ângulos e lados, pois existem o que conhecemos como casos de congruência, em que três elementos são o suficiente para dizermos se os triângulos são congruentes. Existem quatro casos de congruência, são eles:
1º caso de congruência: Lado, Lado, Lado (LLL)
2ºcaso de congruência: Lado, Ângulo, Lado (LAL)
3º caso de congruência: Ângulo, Lado, Ângulo (ALA)
4º caso de congruência: Lado, Ângulo, Ângulo oposto (LAAo)
→ 1º caso de congruência
Ao comparar dois triângulos, se as medidas dos três lados de um deles forem congruentes às medida dos três lados do outro triângulo, então, essa condição é o suficiente para afirmarmos que esses triângulos são congruentes.
Os triângulos são congruentes pelo caso (LLL).
Ao analisar os lados, temos que:
AB = DE
AC = DF
BC = EF
Como os três lados são congruentes, então, esses triângulos são congruentespelo caso (LLL).
ΔABC ≡ ΔDEF
→ 2º caso de congruência
Dados dois triângulos, se, ao comparar a medida dos lados e dos ângulos, caso haja um lado, um ângulo e um lado congruentes, então, podemos afirmar que esses dois triângulos são congruentes. É importante que a ordem seja respeitada, então, nesse caso, o ângulo precisa estar necessariamente entre os dois lados.
Os triângulos são congruentes pelo caso (LAL).
Analisando os dois triângulos, temos que:
AB = A1B1
 = Â1
AC = A1C1
Então, esses triângulos são congruentes pelo caso (LAL).
ΔABC ≡ ΔA1B1C1
→ 3º caso de congruência
Comparando dois triângulos, se dois ângulos são congruentes e o lado que está entre esses ângulos também é congruente, então, esses triângulos são congruentes. Assim como no caso anterior, a ordem é importante, ou seja, o lado congruente tem que estar entre os dois ângulos.
Os triângulos são congruentes pelo caso (ALA).
Quando comparamos esses triângulos, temos que:
AB = DE
Eles estão entre os ângulos de 45º e 90º nos dois triângulos, logo, eles são congruentes pelo caso ALA. Assim:
ΔABC ≡ ΔDEF
→ 4º caso de congruência
Ao compararmos dois triângulos quando eles possuem um lado, um ângulo adjacente a esse lado e um ângulo oposto a esse lado congruentes, sabemos, desse modo, que os triângulos são congruentes.
Os triângulos são congruentes pelo caso (LAAo).
Comparando os triângulos, temos que:
AC = FD
Em ambos, conhecemos um ângulo adjacente e um ângulo oposto a ele, logo, esses triângulos são congruentes pelo caso (LAAo).
ΔABC ≡ ΔDEF
EXERCÍCIOS COMPLEMENTAR 
1) Dados os triângulos abaixo, responda:
a) Eles são semelhantes? Justifique a resposta.
b) Qual é o ângulo que não aparece nas figuras?
2) (Enem-2013) O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
a) 1 m
b) 2 m
c) 2,4 m
d) 3 m
e) 2 √6 m
3) Na imagem a seguir, sabemos que AB = 15, DC = 10, AC = 3x – 2 e DE = 4y + 3, então, o valor de x + y é igual a:
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
4) Em cada grupo de triângulos, verificar os congruentes e indicar o caso de congruência
5) Na congruência de triângulos, estudamos quatro casos, são eles: L.L.L., L.A.L., A.L.A. e L.A.AO. Indique o caso de congruência nos pares de triângulos abaixo:
6) As figuras abaixo nos mostram pares de triângulos semelhantes, dessa forma calcule os valores de x e y:
RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS
Definição: Define-se como triângulo retângulo a qualquer triângulo que possua um de seus ângulos internos reto (medida de 90º).
 
 
Ângulos Notáveis
Exemplo:
Encontre o valor de x no triângulo a seguir.
Resolução:
Primeiro vamos identificar quais foram os lados fornecidos em relação ao ângulo de 30º. Queremos descobrir o valor do cateto adjacente ao ângulo, e foi dada a hipotenusa do triângulo retângulo. A razão que relaciona hipotenusa e cateto adjacente é o cosseno.
Agora aplicaremos o cosseno:
Consultando na tabela trigonométrica, vamos substituir o valor de cosseno de 30º.
Exercícios Complementares:
1) No triângulo retângulo determine as medidas x e y indicadas.
(Use: sen65º = 0,91; cos65º = 0,42 e tg65º = 2,14)
2) Para determinar a altura de um edifício, um observador coloca-se a 30m de distância e assim o observa segundo um ângulo de 30º, conforme mostra a figura. Calcule a altura do edifício medida a partir do solo horizontal. Dado = 1,73
 
3) (PUCCAMP) Uma pessoa encontra-se num ponto A, localizado na base de um prédio, conforme mostra a figura adiante. Se ela caminhar 90 metros em linha reta, chegará a um ponto B, de onde poderá ver o topo C do prédio, sob um ângulo de 60°. Quantos metros ela deverá se afastar do ponto A, andando em linha reta no sentido de A para B, para que possa enxergar o topo do prédio sob um ângulo de 30°?
a) 150 
b) 180 
c) 270 
d) 300 
e) 310
4) (PUCCAMP) A figura a seguir é um corte vertical de uma peça usada em certo tipo de máquina. No corte aparecem dois círculos, com raios de 3cm e 4cm, um suporte vertical e um apoio horizontal. A partir das medidas indicadas na figura, conclui-se que a altura do suporte é:
a) 7cm
b) 11cm
c) 12cm 
d) 14cm 
e)16 cm
5) (UFRS) Um barco parte de A para atravessar o rio. A direção de seu deslocamento forma um ângulo de 120° com a margem do rio. Sendo a largura do rio 60m, a distância, em metros, percorrida pelo barco foi de:
a) 40 
b) 40 
c) 45 
d) 50 
e) 60
6) Qual o comprimento da sombra de uma árvore de 5m de altura quando o sol está a 30° acima do horizonte?
7) (Cesgranrio) Uma rampa plana, de 36 m de comprimento, faz ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que sobe a rampa inteira eleva-se verticalmente de:
a) 6√3 m.
b) 12 m.
c) 13,6 m.
d) 9√3 m.
e) 18 m.
 8) (UEPB) Duas ferrovias se cruzam segundo um ângulo de 30°. Em km, a distância entre um terminal de cargas que se encontra numa das ferrovias, a 4 km do cruzamento, e a outra ferrovia, é igual a:
a) 2√3
b) 2
c) 8
d) 4√3
e) √3
9) Para uma feira de ciências um grupo de estudantes resolveu construir uma maquete de uma casa, conforme esquema abaixo. O telhado será feito com uma placa de isopor de 1m de comprimento, que será dividida ao meio para fazer as duas partes do telhado. Sabendo que o telhado será feito segundo um ângulo de 55º, calcule a medida x da largura casa.
10) Pedro, localizado a 8 metros do chão, está observando o prédio vizinho. Sabendo que a sua distância para o prédio vizinho é de 8 m e entre as duas estruturas forma-se um triângulo, cujo ângulo  é de 105º, determine a altura do prédio que Pedro está observando.
LEI DOS SENOS E LEI DOS COSSENOS.
Lei dos senos: A lei dos senos é uma relação entre os lados e os ângulos de um triângulo qualquer.
A lei dos senos é uma expressão matemática que relaciona os lados de um triângulo qualquer com seus ângulos. De acordo com esta lei, para um triângulo qualquer, a razão entre cada lado e o seno do ângulo oposto é constante.
Exemplo: (Mackenzie – SP) Três ilhas A, B e C aparecem num mapa em escala 1:10000, como na figura. Das alternativas, a que melhor aproxima a distância entre as ilhas A e B é:
a) 2,3 km
b) 2,1 km
c) 1,9 km
d) 1,4 km
e) 1,7 km
Objetivo: determinar a medida do segmento AB.
Ideia 1: Usar a lei senos para descobrir a medida de AB
Lei dos senos: As medidas dos lados de um triângulo são proporcionais aos senos de seus ângulos opostos.
Ideia 2: determinar o ângulo 
A soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º.
30 + 105 + C = 180
135 + C = 180
C = 180 - 135
C = 45
Ideia 3: Aplicar o valor de C na lei dos senos
Ideia 4: aproximar o valor da raiz quadrada e usar a escala
Fazendo 
12 . 1,4 = 16,8
A escala diz 1:10000, multiplicando:
16,8 . 10000 = 168 000 cm
Ideia 5: passando de cm para km
168 000 cm / 100 000 = 1,68 km
EXERCÍCIOS 
1) (Unifor-CE) Sabe-se que em todo triângulo a medida de cada lado é diretamente proporcional ao seno do ângulo oposto ao lado. Usando essa informação, conclui-se que a medida do lado AB do triângulo representado abaixo é:
2) Determine x na figura abaixo:
3) (UFU-MG) Considere o triângulo retângulo a seguir.
Sabendo-se que α = 120°, AB = AC = 1 cm, então AD é igual a:
4) No triângulo a seguir, determine a medida do lado AC, tendo em vista as medidas presentes nele. (Use √2 = 1,4 e √3 = 1,7).
a) 8,2 cm b) 12,2 cm c) 14 cm d) 17 cm e) 17,2 cm
5) No triângulo a seguir, qual é a medida do segmento AC, destacada pela letra x, dado que essas medidas estão em centímetros?
a) 2 cm b) 2√3 cm c) 3√2 cm d) 3√3 cm e) 4√2 cm
6) (UFSM) Na instalação das lâmpadasda praça de alimentação, a equipe necessitou calcular corretamente a distância entre duas delas, colocadas nos vértices B e C do triângulo, segundo a figura. Assim, a distância “d” é?
LEI DOS COSSENOS
Exemplo:
01. Determine o valor do cos α de acordo com a seguinte figura:
Resolução:
Aplicando a Lei dos cossenos, temos:
8²= 10²+ 12²– 2 · 10 · 12 · cosα
64 = 100 + 144 – 240 cosα
64 = 244 – 240 cosα
240cosα = 244 – 64
240cosα = 180
cos α = 180/240
cos a = 3/4 
02. Duas formigas partem de um mesmo ponto em linhas retas formando um ângulo de 120° como na figura. Enquanto uma delas percorre 3 metros parando em um ponto A, a outra percorre 4 metros parando em um ponto B, no mesmo intervalo de tempo.
Determine nesse a distância x entre elas.
Resolução:
Aplicando a Lei dos Cossenos, teremos:
x² = 3² + 4² – 2 . 3 . 4 . cos120° 
x² = 25 – 24 (-0,5) ⇒ x² = 25 + 12
x² = 37 ⇒ x = √37m
EXERCÍCIOS:
1) A perímetro do triângulo a seguir é:
	
 
a)20 b)30 c) 40 d)36 e)18
2) (UF- Viçosa) Dois lados de um terreno de forma triangular medem 15 m e 10 m, formando um ângulo de 60°, conforme a figura abaixo: utilize √7=2,6
O comprimento do muro necessário para cercar o terreno, em metros, é:
3) (UF- Juiz de Fora) Dois lados de um triângulo medem 8 m e 10 m e formam um ângulo de 60°. O terceiro lado desse triângulo mede: utilize √21=4,5
4) Calcule a medida do lado x do triângulo abaixo sabendo que o ângulo oposto a ele mede 60°.
a) 9 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13
5) Qual é a medida do lado oposto ao ângulo de 30°, em um triângulo, sabendo que os outros dois lados medem 2 e √3?
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 2,5 e) 3
6) Dado o triângulo ABC e sabendo que o lado a mede 16, o lado b mede 10 e o ângulo formado por estes lados é 60º, qual é o valor do lado c do triângulo?
Aprofundando:
LISTA DE LEI DOS SENOS E COSSENOS- COMPLEMENTAR 
1) Algebrópolis, Geometrópolis e Aritmetrópolis são cidades do país Matematiquistão, localizadas conforme a figura. A partir dos dados fornecidos, determine a distância aproximada de Geometrópolis a Algebrópolis. Considere . 
 
 
2) (UEPA) A figura abaixo mostra o corte lateral de um terreno onde será construída uma rampa reta, , que servirá para o acesso de veículos à casa, que se encontra na parte mais alta do terreno. A distância de A a B é de 6 m, de B a C é de 10 m e o ângulo ABC mede 120º.
Qual deve ser o valor do comprimento da rampa em metros? 
 
3) Dado o triângulo ABC e sabendo que o lado a mede 16, o lado b mede 10 e o ângulo formado por estes lados é 60º, qual é o valor do lado c do triângulo? 
 
4) Dado o triângulo abaixo, e sabendo que dois de seus ângulos são de 15o e 45o respectivamente e que o lado em comum mede 18, quais são os valores dos lados b e c? 
Dados: sen15º = 0,26; sen120º = 0,86 e sen45º = 0,70
 
 
5) No paralelogramo desenhado abaixo, obtenha a medida da diagonal maior. 
 
6) Sabendo que em um triângulo qualquer seus lados medem respectivamente 3, 5 e 7 , qual o valor do cosseno do ângulo C deste triângulo? 
 
7) Um triângulo é tal que AB = cm e AC = 6cm. Calcule a medida do lado BC sabendo que os ângulos internos dos vértices B e C são tais que B = 2C.(Dica: Sen2C = 2senCcosC)
8) No triângulo da figura, x = 30º, y = 15º e AC mede . Calcule o lado BC.
9) Calcule a soma dos lados AC e BC do triângulo.
10) Calcule o valor de cos x no triângulo da figura.
11) Uma certa propriedade rural tem o formato de um trapézio como na figura. As bases WZ e XY do trapézio medem 9,4 km e 5,7 km, respectivamente, e o lado YZ margeia um rio. Se o ângulo XYZ é o dobro do ângulo XWZ, a medida, em km, do lado YZ que fica à margem do rio é:
(A) 7,5.
(B) 5,7.
(C) 4,7.
(D) 4,3.
(E) 3,7.
12) Um topógrafo pretende medir a distância entre dois pontos (A e B) situados em margens opostas de um rio. Para isso, ele escolheu um ponto C na margem em que está, e mediu os ângulos e , encontrando, respectivamente, 45° e 75º. Determine , sabendo que mede 16 m. (Utilize). 
 
13) Calcule a distância dos pontos A e B, entre os quais há uma montanha, sabendo que suas distâncias a um ponto fixo M são de 2km e 3km, respectivamente. A medida do ânguloé igual a 60º. 
 
AMOSTRAGEM.
Habilidades: (MS.EF08MA23.s.27) Avaliar a adequação de diferentes tipos de gráficos para representar um conjunto de dados de uma pesquisa.
ESTATÍSTICA
A estatística é o campo da matemática que relaciona fatos e números em que há um conjunto de métodos que nos possibilita coletar dados e analisá-los, assim sendo possível realizar alguma interpretação deles. A estatística é dividida em duas partes: descritiva e inferencial. A estatística descritiva é caracterizada pela organização, análise e apresentação dos dados, enquanto a estatística inferencial tem como característica o estudo de uma amostra de determinada população e, com base nela, a realização de análises e a apresentação de dados.
AMOSTRA
Chamamos de amostra o subconjunto formado com base no universo estatístico. Uma amostra é utilizada quando a população é muito grande ou infinita. Em casos em que coletar todas as informações do universo estatístico é inviável por motivos financeiros ou logísticos, também se faz necessário a utilização de amostras.
A escolha de uma amostra é de extrema importância para uma pesquisa, e ela deve representar de maneira fidedigna a população. Um exemplo clássico da utilização das amostras em uma pesquisa é na realização do censo demográfico do nosso país.
VARIÁVEL   
Em estatística, a variável é o objeto de estudo, isto é, o tema que a pesquisa pretende estudar. Por exemplo, ao estudar-se as características de uma cidade, o número de habitantes pode ser uma variável, assim como o volume de chuva em determinado período ou até mesmo a quantidade de ônibus para o transporte público. Note que o conceito de variável em estatística é dependente do contexto da pesquisa.
A organização dos dados em estatística dá-se em etapas, como em todo processo de organização. Inicialmente é escolhido o tema a ser pesquisado, em seguida, é pensado o método para a coleta dos dados da pesquisa, e o terceiro passo é a execução da coleta. Após o fim dessa última etapa, faz-se a análise do que foi coletado, e assim, com base na interpretação, busca-se resultados. Veremos, agora, alguns conceitos importantes e necessários para a organização dos dados."
ROL
Em casos em que os dados podem ser representados por números, ou seja, quando a variável é quantitativa, utiliza-se o rol para organização desses dados. Um rol pode ser crescente ou decrescente. Caso uma variável não seja quantitativa, ou seja, caso seja qualitativa, não é possível utilizar-se o rol, por exemplo, se os dados são sentimentos sobre determinado produto.
Exemplo
Em uma sala de aula, foram coletadas as alturas dos alunos em metros. São elas: 1,70; 1,60; 1,65; 1,78; 1,71; 1,73; 1,72; 1,64.
Como o rol pode ser organizado de maneira crescente ou decrescente, segue que:
rol: {1,60; 1,64; 1,65; 1,70; 1,71; 1,72; 1,73;1,78}
Observe que, com o rol já montado, é possível encontrar um dado com mais facilidade."
Tabela de distribuição de frequência
Em casos nos quais há muitos elementos no rol e muitas repetições de dados, o rol torna-se obsoleto, pois a organização desses dados é inviável. Nesses casos, as tabelas e a distribuição de frequências servem como uma excelente ferramenta de organização.
Na tabela de distribuição de frequência absoluta, devemos colocar a frequência em que cada dado aparece, ou seja, a quantidade de vezes que ele aparece.
Vamos construir a tabela de distribuição de frequência absoluta das idades, em anos, dos alunos de uma determinada classe.
Distribuição de frequências absolutas
 
Da tabela podemos obter as seguintes informações: na classe temos 2 alunos com a idade de 8 anos, 12 alunos com 9 anos, e mais 12 alunos com 10 anos, e assim sucessivamente, alcançando o total de 41 alunos. Na tabela de distribuição de frequências acumuladas, devemos somar a frequência da linha anterior (na tabela de distribuição de frequência absoluta).
Vamos construir a tabela de distribuição de frequência acumulada das idades da mesma classe do exemplo anterior, veja:
Na tabela de distribuição de frequências relativas, utiliza-se a porcentagem em que cada dado aparece. Novamente faremos os cálculos baseados na tabela de distribuição de frequência absoluta. Sabemos que 41 corresponde a 100% dos alunos da classe, logo, para determinar a porcentagem de cada idade, basta dividirmos a frequência da idade por 41 e multiplicarmos o resultado por 100, para, assim, escrevermos na forma de porcentagem. 
CLASSES
Em casos em que a variável é contínua, isto é, quando ela possui diversos valores, é necessário agrupá-los em intervalos reais. Na estatística esses intervalos são chamados de classes.
Para construir a tabela de distribuição de frequências em classes, devemos colocar os intervalos na coluna da esquerda, com seu devido título, e na coluna da direita, devemos colocar a frequência absoluta de cada um dos intervalos, ou seja, quantos elementos pertencem a cada um deles.
Exemplo
Altura dos alunos da classe do 3º ano do Ensino Médio de uma escola.
Analisando a tabela de distribuição de frequência em classes, podemos ver que, na turma do terceiro ano, temos 1 estudante que possui altura entre 1,40 m e 1,50 m, assim como temos 4 estudantes com altura entre 1,50 e 1,60 m, e assim sucessivamente. Podemos observar também que os estudantes possuem altura entre 1,40 m e 1,90 m, a diferença entre essas medidas, ou seja, entre a maior altura e a menor altura da amostra, é chamada de amplitude.
A diferença entre o limite superior e o limite inferior de uma classe é chamada de amplitude da classe, assim, a segunda, que possui 4 alunos com alturas entre 1,50 metro (inclusos) e 1,60 metro (não inclusos), possui amplitude de:
1,60 – 1,50
0,10 metro
MEDIDAS DE POSIÇÃO
As medidas de posição são utilizadas em casos em que é possível construir-se um rol numérico com os dados ou uma tabela de frequência. Essas medidas indicam a posição dos elementos em relação ao rol. As três principais medidas de posição são:
MÉDIA
Considere o rol com os elementos (a1, a2, a3, a4, …, an), a média aritmética desses n elementos é dada por:
Exemplo:
Em um grupo de dança, as idades dos integrantes foram coletadas e representadas no rol a seguir:
(18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
Vamos determinar a idade média dos integrantes desse grupo de dança.
De acordo com a fórmula, devemos somar todos os elementos e dividir esse resultado pela quantidade de elementos do rol, assim:
Portanto, a idade média dos integrantes é de 22 anos.
MEDIANA
A mediana é dada pelo elemento central de um rol que possui uma quantidade ímpar de elementos. Caso o rol possua uma quantidade par de elementos, devemos considerar os dois elementos centrais e calcular a média aritmética entre eles.
Exemplo
Considere o rol a seguir.
(2, 2, 3, 3, 4, 5, 6, 7, 9)
Veja que o elemento 4 divide o rol em duas partes iguais, logo, ele é o elemento central.
Exemplo:
Calcule a mediana das idades do grupo de dança.
Lembre-se de que o rol das idades desse grupo de dança é dado por:
(18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
Veja que o número de elementos desse rol é igual a 10, logo, não é possível dividir o rol em duas partes iguais. Assim devemos tomar dois elementos centrais e realizar a média aritmética desses valores.
MODA
Chamaremos de moda o elemento do rol que possui maior frequência, ou seja, o elemento que mais aparece nele.
Exemplo
Vamos determinar a moda do rol das idades do grupo de dança.
(18, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 25, 30)
O elemento que mais aparece é o 21, portanto, a moda é igual a 21.
MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de dispersão são utilizadas nos casos em que a média já não é suficiente. Por exemplo, imagine que dois carros tenham percorrido uma média de 40.000 quilômetros. Somente com conhecimento sobre média podemos afirmar que os dois carros andaram determináveis quilômetros cada um, certo?
No entanto, imagine que um dos carros tenha percorrido 79.000 quilômetros, e o outro, 1.000 quilômetros, veja que somente com as informações sobre média não é possível realizar afirmações com precisão.
As medidas de dispersão nos indicarão o quanto os elementos de um rol numérico estão afastados da média aritmética. Temos duas importantes medidas de dispersão:
Variância (σ2)
Vamos chamar de variância a média aritmética dos quadrados da diferença entre cada elemento do rol e a média aritmética desse rol. A variância é representada por: σ2.
Considere o rol (x1, x2, x3, …, xn) e que ele possua média aritmética x. A variância é dada por:
DESVIO-PADRÃO (Σ)
O desvio-padrão é dado pela raiz da variância, ele nos indica o quanto um elemento está disperso em relação à média. O desvio padrão é denotado por σ.
Exemplo
Determine o desvio-padrão do conjunto de dados (4, 7, 10). Veja que, para isso, é necessário determinar-se primeiro a variância, e que, para tanto, é necessário antes o cálculo da média desses dados.
Substituindo esses dados na fórmula da variância, temos:
Para determinar o desvio-padrão, devemos extrair a raiz da variância.
Exercícios:
1) Em uma escola, o professor de educação física anotou a altura de um grupo de alunos. Considerando que os valores medidos foram: 1,54 m; 1,67 m, 1,50 m; 1,65 m; 1,75 m; 1,69 m; 1,60 m; 1,55 m e 1,78 m, qual o valor da mediana das alturas dos alunos?
2) Calcule o valor da mediana da seguinte amostra de dados: (32, 27, 15, 44, 15, 32).
3) Os jogadores de uma equipe de basquete apresentam as seguintes idades: 28, 27, 19, 23 e 21 anos. Qual a média de idade desta equipe?
4) Em uma sapataria durante um dia foram vendidos os seguintes números de sapato: 34, 39, 36, 35, 37, 40, 36, 38, 36, 38 e 41. Qual o valor da moda desta amostra?
5) (BB 2013 – Fundação Carlos Chagas). Nos quatro primeiros dias úteis de uma semana o gerente de uma agência bancária atendeu 19, 15, 17 e 21 clientes. No quinto dia útil dessa semana esse gerente atendeu n clientes.
Se a média do número diário de clientes atendidos por esse gerente nos cinco dias úteis dessa semana foi 19, a mediana foi
a) 21.
b) 19.
c) 18.
d) 20.
e) 23.
6) Em duas turmas do 7.º ano do Ensino Fundamental, a média da turma A, que possui 23 alunos, foi 7,3. Ao total, a escola possui 52 alunos matriculados nos 7.ºˢ anos. A média geral dos alunos destas turmas foi de 7,5. Qual das duas turmas teve a maior média?
7) (IF SUL — MG 2018) Celinho é o técnico do time de basquete de sua cidade. No seu time, os cinco titulares possuem altura média de 1,88 m. No campeonato que o time de Celinho vai disputar, os jogadores dos outros times têm, em média, 1,91 m. Para aumentar a altura média do seu time, Celinho tirou o jogador mais baixo do time, de altura de 1,79 m. Se quiser igualar à média de altura dos outros times, o jogador que entrará no time deverá ter altura igual a:
a) 1,88 m
b) 1,91 m
c) 1,94 m
d) 2,03 m8) (UFRGS — 2019) A média aritmética das idades de um grupo de 10 amigos é 22 anos. Ao ingressar mais um amigo nesse grupo, a média aritmética passa a ser de 23 anos. A idade do amigo ingressante no grupo, em anos, é
a) 29.
b) 30.
c) 31.
d) 32.
e) 33.
9) (CESGRANRIO — 2012) O valor da conta de telefone de Sebastião variou muito nos três primeiros meses de 2012. Em janeiro, Sebastião pagou R$ 48,50; em fevereiro, R$ 78,00 e em março, R$ 65,20. Qual foi, em reais, o valor mensal médio da conta telefônica de Sebastião no primeiro trimestre de 2012?
a) 60,60
b) 61,90
c) 62,20
d) 63,90
e) 64,20
10) Uma escola está organizando uma olimpíada onde uma das provas é uma corrida. Os tempos que cinco alunos levaram para completar a prova, em segundos, foram:
23, 25, 28, 31, 32, 35
O desvio padrão dos tempos de prova dos alunos foi:
11) Uma mesma avaliação foi aplicada à quatro grupos com quantidades diferentes de pessoas. As notas mínima e máxima de cada grupo estão dispostas na tabela.
Considerando a média de cada grupo como a média aritmética entre a nota mínima e a máxima, determine o desvio padrão das notas em relação aos grupos.
Considerar até a segunda casa decimal, para simplificação dos cálculos.
MÉDIA ARITMÉTICA PONDERADA
A média aritmética ponderada é calculada multiplicando cada valor do conjunto de dados pelo seu peso. Depois, encontra-se a soma desses valores que será dividida pela soma dos pesos.
Fórmula:
Exemplo:
Considerando as notas e os respectivos pesos de cada uma delas, indique qual a média que o aluno obteve no curso.
APC 01 – ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR
DATA: ____/______/2024
Questão 1: Considere os seguintes conjuntos numéricos:
Conjunto dos números naturais N
Conjunto dos números inteiros Z
Conjunto dos números racionais Q
Conjunto dos números irracionais I
Conjunto dos números reais R
a) Defina cada um desses conjuntos.
b) Dê um exemplo de um número que pertença a cada um desses conjuntos.
Questão 2: Determine a verdade ou falsidade das seguintes afirmações:
a) Todo número natural é um número inteiro.
b) Todo número inteiro é um número racional.
c) Todo número racional é um número real.
d) Todo número real é um número racional.
e) Todo número irracional é um número real.
Explique suas respostas.
Questão 3: Seja A = { x ∈ R ∣ x2 – 4 = 0}
a) Encontre os elementos do conjunto A.
APC 02 – ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR
DATA: ____/______/2024
Questão 1: Simplifique as seguintes expressões algébricas:
a) (3x2 + 5x - 2x2 + 7x
b) (4(a + 2) - 3(2a - 1)
Questão 2: Expanda as expressões seguintes utilizando a propriedade distributiva:
a) 2(x + 3)(x - 1)
b) (a + b)(a - b)
c) (2x - 5)2
Questão 3: Resolva a equação para x:
a) 2(x + 3) = 5x - 1
b) (3x - 2 = 2(x + 1)
c) (x - 1)(x + 2) = 0
Questão 4: Simplifique as seguintes expressões algébricas:
a) 2x2 - 8x + 4x - 16
b) x2 - 4x + 4 - (x2 - x - 6)
c) x2 + 3x + 2 - (x2 + x - 6)
APC 03 – ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR
DATA: ____/______/2024
Questão 1: Calcule o valor da expressão: 5 + 3 x 2 – 8
Questão 2: Encontre o resultado da expressão: [(4 + 6) ÷ 2 + 7]
Questão 3: Resolva a expressão abaixo: [12 - 4 × (3 + 1)]
Questão 4: Determine o valor de: [ 72 - 33 + 10]
Questão 5: Encontre o resultado de: [8 + 2 × 3 - 6 ÷ 2]
APC 04 – ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR
DATA: ____/______/2024
Questão 1: João comprou 3 cadernos por R$ 5,00 cada um e 2 canetas por R$ 2,50 cada uma. Quanto ele gastou no total?
Questão 2: Maria tinha R$ 50,00. Ela gastou R$ 18,75 em um livro e R$ 7,30 em um lanche. Quanto dinheiro sobrou para Maria?
Questão 3: Uma fábrica produziu 250 brinquedos em um dia. Se cada brinquedo custa R$ 8,00, qual foi o valor total de produção dos brinquedos nesse dia?
Questão 4: Carlos tem 48 balas e quer dividir igualmente entre seus 6 amigos. Quantas balas cada amigo receberá?
Questão 5: Ana correu 3 km por dia durante uma semana. Quantos quilômetros Ana correu ao todo nessa semana?
APC 05 – ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR
DATA: ____/______/2024
Questão 1: Maria recebeu um aumento salarial de 15%. Se o salário anterior de Maria era de R$ 2.000,00, qual é o novo salário dela?
Questão 2: Uma loja está oferecendo um desconto de 20% em todos os produtos. Se um produto custa originalmente R$ 150,00, qual é o preço do produto após o desconto?
Questão 3: Em uma pesquisa, 35% dos entrevistados afirmaram preferir o produto A. Se 700 pessoas foram entrevistadas, quantas pessoas preferem o produto A?
Questão 4: Um carro desvaloriza 12% ao ano. Se o valor atual do carro é de R$ 50.000,00, qual será o valor do carro após um ano?
Questão 5: Uma empresa aumentou sua produção em 25%. Se a produção anterior era de 800 unidades por mês, quantas unidades a empresa produz agora?
APC 06 – ATIVIDADE PEDAGÓGICA COMPLEMENTAR
DATA: ____/______/2024
Claro! Aqui estão cinco questões sobre acréscimo e decréscimo:
Questão 1: O preço de um celular era de R$ 1.200,00 e foi aumentado em 10%. Qual é o novo preço do celular?
Questão 2: Uma bicicleta que custava R$ 500,00 foi vendida com um desconto de 15%. Qual foi o valor pago pela bicicleta?
Questão 3: O aluguel de um apartamento foi reajustado em 8% e passou a custar R$ 1.620,00. Qual era o valor do aluguel antes do reajuste?
Questão 4: Um comerciante comprou um produto por R$ 80,00 e o vendeu com um acréscimo de 25% sobre o preço de compra. Por quanto ele vendeu o produto?
Questão 5: Um carro que valia R$ 45.000,00 desvalorizou 18% em um ano. Qual é o valor atual do carro após essa desvalorização?
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