Equações do 2º Grau e suas Raízes

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 Colocamos o coeficiente a em evidência.
 
a ( x 2 + b __ a x + c __ a ) = 0 
1º.
 Se x 1 + x 2 = − b __ a e x 1 ⋅ x 2 = c __ a , escre-
vemos:
 a [ x 2 − ( x 1 + x 2 ) ⋅ x + ( x 1 ⋅ x 2 ) ] = 0 
 a [ x 2 − x 1 ⋅ x − x 2 ⋅ x + x 1 ⋅ x 2 ] = 0 
2º.
Com as relações de soma e produto das raízes, podemos escrever uma equação do 
2º grau do tipo a x 2 + bx + c = 0 , com a ≠ 0 , de outra maneira.
Inicialmente, vamos dividir todos os termos da equação por a .
 a x 2 ___ a + bx ___ a + c __ a = 0 
 x 2 + bx ___ a + c __ a = 0 
Substituindo as relações S = − b __ a e P = c __ a na equação, obtemos:
 
 x 2 − (− b __ a ) x + c __ a = 0 
 
 x 2 − Sx + P = 0 
Note que b __ a x = − (− b __ a ) x .
Atenção!
Essa forma é útil para escrever uma equação do 2º grau, conhecendo suas raízes. Por 
exemplo, para escrever uma equação do 2º grau cujas raízes são 1 e − 7 , procedemos da 
seguinte maneira:
 S = x 1 + x 2 = 1 + (− 7) = 1 − 7 = − 6 
 P = x 1 ⋅ x 2 = 1 ⋅ (− 7) = − 7 
 x 2 − Sx + P = 0 
 x 2 − (− 6) x + (− 7) = 0 
 x 2 + 6x − 7 = 0 
Equação do 2º grau e sua forma fatorada
Vamos escrever a equação do 2º grau a x 2 + bx + c = 0 , com a ≠ 0 , cujas raízes reais são 
x 1 e x 2 , em sua forma fatorada. Para isso, executamos as seguintes etapas.
 Colocando os fatores comuns em 
evidência, obtemos a forma fatorada 
da equação do 2º grau.
 a [x ⋅ (x − x 1 ) − x 2 ⋅ (x − x 1 ) ] = 0 
 a ⋅ (x − x 1 ) ⋅ (x − x 2 ) = 0 
3º.
Agora, escreveremos uma equação do 2º grau cujas raízes são 2 e − 7 usando a forma 
fatorada.
 a ⋅ (x − 2) ⋅ [x − (− 7) ] = 0 
 a ⋅ ( x 2 + 7x − 2x − 14) = 0 
 
 a ⋅ ( x 2 + 5x − 14) 
 _______________ a = 0 __ a 
 x 2 + 5x − 14 = 0 
Portanto, a equação cujas raízes são 2 e − 7 é x 2 + 5x − 14 = 0 .
113
• Escreva na lousa a equação 
 2 x 2 + 2x − 4 = 0 . Com a ajuda dos 
estudantes, calcule as raízes des-
sa equação e a escreva na forma 
fatorada. Sabendo que suas raízes 
são 1 e − 2 , sua forma fatorada 
será 2 (x − 1) (x + 2) = 0 . Se achar 
necessário, faça outros exemplos 
na lousa.
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 72. Calcule no caderno o discriminante ( Δ ) 
e descubra quantas raízes cada equa-
ção tem. Depois, obtenha, se existirem, 
as raízes de cada uma delas.
a ) − 4 x 2 + 8x + 32 = 0 
b ) 3 x 2 − 5x = − 3 
c ) 1 __ 
2
 x 2 − 8 = − 3x 
d ) x 
2 __ 
8
 − x + 2 = 0 
 73. Utilizando as relações, determine a so-
ma S e o produto P das raízes de cada 
equação.
a ) x 2 + 2x − 8 = 0 
b ) 5 x 2 + 25x − 3 = 0 
c ) 2 x 2 + 16 = 0 
d ) x 2 − √ 
_
 7 = 0 
 74. Considere a equação literal 
 2n x 2 − 2x + 5 = 0 , de incógnita x . Nes-
sa equação, temos a = 2n, b = − 2 e 
c = 5 . A fim de determinar valores de n , 
com n ≠ 0 , para os quais a equação 
tem duas raízes reais diferentes, proce-
demos da seguinte maneira.
Agora, determine para quais valores de 
n essa equação:
a ) tem duas raízes reais iguais;
b ) não tem raízes reais.
 75. Determine as raízes de cada equação 
efetuando mentalmente os cálculos da 
soma e do produto das raízes.
a ) x 2 − 8x + 15 = 0 
b ) x 2 − 3x + 2 = 0 
c ) x 2 − 11x + 28 = 0 
 76. De acordo com as raízes em cada item, 
escreva uma equação do 2º grau, na 
forma reduzida, com incógnita x e coe-
ficiente de x 2 igual a 1.
a ) x 1 = 4 e x 2 = 5 
b ) x 1 = − 1 e x 2 = 2 
c ) x 1 = √ 
_
 3 e x 2 = − √ 
_
 3 
d ) x 1 = 0 e x 2 = 15 
 77. Uma das raízes da equação 
x 2 − 3x − 10 = 0 é − 2 . Utilizando a for-
ma fatorada, determine a outra raiz.
 78. No caderno, elabore dois problemas 
semelhantes ao apresentado na ativida-
de anterior e peça a um colega que os 
resolva. Depois, verifique se as respos-
tas dele estão corretas.
 79. Utilizando as relações de soma e pro-
duto das raízes, determine a outra raiz 
de cada equação.
a ) x 2 − 3x − 10 = 0 ; x 1 = 5 
b ) 3 x 2 − 7x + 2 = 0 ; x 1 = 2 
c ) 2 x 2 − 3x − 5 = 0 ; x 1 = 5 __ 
2
 
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 Δ > 0 
 b 2 − 4ac > 0 
 (− 2) 2 − 4 ⋅ 2n ⋅ 5 > 0 
 4 − 40n > 0 
 − 40n > − 4 
 40n < 4 
 n < 4 ___ 
40
 
 n < 1 __ 
10
 
Para que a equação 
tenha duas raízes reais 
diferentes, devemos ter 
Δ > 0 . Então, escrevemos 
a inequação b 2 − 4ac > 0 
e substituímos os valores 
dos coeficientes.
Multiplicamos os 
dois membros da 
inequação por − 1 . 
Com isso, invertemos 
a desigualdade.
Portanto, quando n < 1 __ 
10
 , com n ≠ 0 , a 
equação tem duas raízes reais diferentes.
Em cada item é dada uma equação 
e uma de suas raízes.
Atenção!
72. a) Resposta: Δ > 0 . 
Duas raízes reais 
diferentes. − 2 e 4.
72. b) Resposta: Δ < 0 . Não tem raízes reais.
72. c) Resposta: Δ > 0 . Duas raízes reais diferentes. 
− 8 e 2.
72. d) Resposta: Δ = 0 . 
Duas raízes reais iguais 
a 4.
73. Respostas: 
a) S = − 2 ; P = − 8 ; 
b) S = − 5 ; P = − 3 __ 
5
 ; 
c) S = 0 ; P = 8 ; 
d) S = 0 ; P = − √ 
_
 7 .
74. Respostas: a) n = 1 __ 
10
 ; b) n > 1 __ 
10
 .
75. Respostas: 
a) 3 e 5; b) 1 e 
2; c) 4 e 7.
76. Respostas:
a) x 2 − 9x + 20 = 0 ;
b) x 2 − x − 2 = 0 ;
c) x 2 − 3 = 0 ;
d) x 2 − 15x = 0 .
77. Respostas: 5.
78. Resposta pessoal.
79. Respostas: 
a) x 2 = − 2 ; 
b) x 2 = 1 __ 
3
 ; 
c) x 2 = − 1 .
114
• Ao envolver coeficientes fracioná-
rios, verifique se os estudantes apre-
sentam dificuldades nos itens c e d 
da atividade 72. Se considerar ne-
cessário, dê as devidas explicações.
• Durante o desenvolvimento da 
atividade 73, se julgar necessário, 
enfatize o fato de que, quando 
a = 1 , a soma das raízes é igual a − b 
e o produto é igual a c .
• Na atividade 74, caso os estudan-
tes tenham dificuldade ao trabalhar 
com as desigualdades, desenvol-
va-as com eles na lousa, dando as 
devidas explicações.
• Ao trabalhar com a atividade 75, 
chame a atenção dos estudantes 
para o fato de que as raízes das 
equações são números naturais, 
facilitando, assim, o cálculo mental.
• O objetivo das atividades 76 e 77 
é utilizar a forma fatorada para ob-
ter a equação do 2o grau na forma 
reduzida. Verifique se os estudan-
tes percebem que a forma fatorada 
da equação será (x − x 1 ) (x − x 2 ) = 0, 
em que x 1 e x 2 são as raízes da 
equação. Após escreverem a forma 
fatorada, oriente-os a aplicar a pro-
priedade distributiva da multiplica-
ção e reduzir os termos semelhan-
tes. Na atividade 77, peça a eles 
que comparem os termos seme-
lhantes da equação dada com o da 
equação obtida na forma fatorada.
• Ao propor a elaboração e a reso-
lução de problemas, a atividade 78 
exercita a curiosidade intelectual por 
meio da reflexão, da imaginação, da 
criatividade e da análise crítica, bem 
como o enfretamento de situações-
-problema imaginadas. Com isso, 
contribui para o desenvolvimento 
da Competência geral 2 e da Com-
petência específica de Matemáti- 
ca 6. Aproveite o fato de esta ativida-
de envolver o trabalho colaborativo 
entre os pares e oriente os estudan-
tes sobre a importância da empatia, 
do respeito e da boa convivência 
social, bem como da necessidade 
de não ter preconceitos e de com-
preender e aceitar as demandas e 
limitações dos outros, de modo a 
promover a saúde mental e a cultura 
de paz. Dessa maneira, abordam-se 
a Competência geral 9 e a Compe-
tência específica de Matemática 8.
• Na atividade 79, senecessário, 
escreva na lousa a relação entre os 
coeficientes da equação com a so-
ma e com o produto das raízes.
Ao final do trabalho com as atividades desta 
unidade, avalie a possibilidade de utilizar a me-
todologia ativa Escrita rápida. Obtenha informa-
ções sobre essa metodologia no tópico Meto- 
dologias e estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual.
Metodologias ativas
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y
2x
2x
x + 1 x + 2
5x − 4
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 1. Escreva, em uma folha de papel avul-
sa, um trinômio quadrado perfeito 
para representar a medida da área 
do quadrado roxo.
 2. Em uma folha de papel avulsa, asso-
cie a diferença de quadrados à sua 
forma fatorada. Para isso, escreva a 
letra e o número correspondentes.
 3. Copie os itens em uma folha de pa-
pel avulsa e substitua cada ■ por um 
dos polinômios a seguir, de modo 
que a igualdade permaneça.
a ) ■ ⋅ (x − 7) = x 2 − 49 
b ) ■ ⋅ ■ = 4 y 2 − 9 
c ) 9x + ■ ⋅ ■ = − 4 x 2 + 4 y 2 + 9x 
 4. O produto da idade de João pelo do-
bro da idade de José é igual a 280. 
José tem 4 anos a menos do que João. 
Chamando a idade de João de x , es-
creva, em uma folha de papel avulsa, 
uma equação do 2º grau, na forma re-
duzida, que represente essa situação.
 5. A medida da área do paralelogramo 
a seguir é igual à medida de seu pe-
rímetro.
Quantos reais Guilherme tinha na 
carteira?
 8. (OBM-2006) A soma de 3 números 
naturais consecutivos é igual ao pro-
duto desses 3 números. A soma dos 
quadrados desses números é:
a ) 14
b ) 15
c ) 18
d ) 24
e ) 36
a ) Escreva, em uma folha de papel 
avulsa, uma equação do 2º grau, 
na forma reduzida, que represen-
te essa igualdade.
b ) A equação do 2º grau que você es-
creveu é completa ou incompleta? 
Quais são seus coeficientes?
 6. A soma das medidas das áreas de to-
das as faces de um cubo, de aresta 
com comprimento medindo x , é igual 
a 1176 c m 2 . Escreva, em uma folha de 
papel avulsa, uma equação que re-
presente essa situação. Depois, de-
termine a medida do comprimento 
de cada aresta do cubo.
 7. Guilherme pediu a um amigo que 
descobrisse a quantia em reais que 
ele tinha na carteira. Para isso, deu a 
seguinte dica:
O que eu estudei?
Faça as atividades em uma 
folha de papel avulsa.
 x 2 − 9 A.
 x 2 − 25 C.
 (x + 5) (x − 5) 1.
 x 2 − 16 B. (x + 4) (x − 4) 2.
 (x + 3) (x − 3) 3.
 (x + 7) (2y + 3) 
 (2x + 2y) (2y − 3) 
 (− 2x + 2y) 
O dobro do quadrado da quan-
tia que tenho mais o quádruplo da 
quantia que tenho é igual ao triplo 
do quadrado dessa quantia menos 
dez vezes a quantia que tenho.
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1. Resposta: 4 x 2 − 4xy + y 2 .
2. Resposta: A-3; B-2; C-1.
3. Respostas: a) (x + 7) ⋅ (x − 7) = x 2 − 49 ; b) (2y + 3) ⋅ (2y − 3) = 4 y 2 − 9 ou (2y − 3) ⋅ (2y + 3) = 4 y 2 − 9 ; 
c) 9x + (2x + 2y) ⋅ (− 2x + 2y) = − 4 x 2 + 4 y 2 + 9x ou 9x + (− 2x + 2y) ⋅ (2x + 2y) = − 4 x 2 + 4 y 2 + 9x .
4. Resposta: 2 x 2 − 8x − 280 = 0 .
5. Respostas: a) 5 x 2 − 11x = 0 ; b) Incompleta; 
a = 5 ; b = − 11 ; c = 0 .
6. Resposta: 6 x 2 = 1 176 ; x = 14 cm .
7. Resposta: R$ 14,00.
8. Resposta: Alternativa a.
115
1. Objetivo
• Avaliar se os estudantes repre-
sentam a medida da área de um 
quadrado utilizando um trinômio.
Como proceder
• Confira se os estudantes perce-
bem que a medida da área do qua-
drado roxo corresponde à medida 
da área do quadrado de compri-
mento de lado medindo 2x , retiran-
do dela a medida da área da região 
amarela.
2 e 3. Objetivo
• Constatar se os estudantes rela-
cionam a diferença de quadrados à 
forma fatorada.
Como proceder
• Em caso de dificuldade na ativi-
dade 2, peça aos estudantes que 
realizem a multiplicação indicada 
nos itens de 1 a 3. Outra possibi-
lidade é escrever os termos dos 
itens de A a C como a diferença de 
dois quadrados. Oriente-os a utili-
zar esta estratégia na atividade 3, 
reescrevendo os termos do lado 
direito da igualdade. No item c, ve-
rifique se eles percebem que o ter-
mo 9x pode ser eliminado.
4, 6, 7 e 8. Objetivo
• Constatar se os estudantes repre-
sentam uma situação-problema apre-
sentada em linguagem materna por 
meio de uma equação do 2o grau.
• Avaliar se os estudantes calcu-
lam as raízes de uma equação do 
2o grau.
Como proceder
• Acompanhe a estratégia dos es-
tudantes. Se necessário, na ativi-
dade 4, sugira que escrevam uma 
equação para representar o produ-
to das idades de João e de José. De-
pois, oriente-os a escrever a idade 
de José em função da idade de João 
e substituir esse valor na equação 
anterior. Na atividade 6, lembre-os 
de que um cubo tem 6 faces qua-
dradas. Na atividade 7, após es-
crever a equação correspondente, 
sugira que coloquem o fator x em 
evidência, considerando o produto 
entre dois números cujo resultado 
é nulo. Na atividade 8, sugira que 
representem os três números por 
x − 1 , x e x + 1 .
5. Objetivos
• Avaliar se os estudantes escrevem a equação do 
2o grau que representa a medida da área de um 
paralelogramo.
• Constatar se os estudantes reconhecem uma 
equação do 2o grau completa.
Como proceder
• Confira se os estudantes lembram como calcular 
a medida da área de um paralelogramo.
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1 m
x
x
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 9. A medida do comprimento de um 
terreno retangular cuja área mede 
240 m 2 é 8 m maior do que a medida 
de sua largura.
a ) Em uma folha de papel avulsa, es-
creva uma equação de incógnita x 
que relacione as medidas dos 
comprimentos dos lados desse 
terreno com a sua medida de área.
b ) Resolva, em uma folha de papel 
avulsa, essa equação utilizando o 
método de completar quadrados 
e determine as medidas das di-
mensões desse terreno.
 10. Paulo vai cercar o jardim que há no 
ter reno de sua casa, representado na 
figura a seguir. Na imagem, o fio em 
vermelho representa a cerca que será 
construída.
Sabendo que a área do jardim mede 
15 m 2 , calcule, em uma folha de pa-
pel avulsa o valor de x que aparece 
na figura e a medida do comprimen-
to dessa cerca.
 11. Um triângulo com o comprimento da 
base e da altura medindo, respectiva-
mente, 8 cm e 6 cm teve um aumen-
to de 2x cm na medida do compri-
mento da base e de x cm na medida 
do comprimento da altura. Qual deve 
ser o valor de x para que a medida da 
área do triângulo seja aumentada em 
39 cm 2 ?
 12. (Obmep-2006) No dia de seu aniver-
sário, em 2006, o avô de Júlia disse a 
ela: “Eu nasci no ano x 2 e completei x 
anos em 1980. Quantos anos eu com-
pleto hoje?”.
a ) 61
b ) 64
c ) 67
d ) 70
e ) 72
 13. (IFSP-2011) Considere a equação do 
2º grau, em x , dada por 
 2 x 2 + bx + c = 0 . Se as raízes dessa 
equação são r 1 = 2 e r 2 = − 3 , então 
a diferença b − c é igual a:
a ) 8
b ) 14
c ) 19
d ) 23
e ) 27
 14. Eduardo pensou em um número x 
que, dividido por 2, é igual a − 32 di-
vidido por (x − 16) .
a ) Represente essa situação em uma 
folha de papel avulsa.
b ) Em que número Eduardo pensou?
 15. Uma empresa de táxi compra diaria-
mente 560 L de combustível para 
abastecer sua frota. Essa quantidade 
de combustível é dividida igualmente 
entre os táxis da frota. Em certo dia, 
2 táxis estavam quebrados e o com-
bustível destinado a eles foi dividido 
igualmente entre os demais. Sabendo 
que nesse dia cada táxi recebeu 5 L a 
mais do que recebe diariamente, qual 
é a quantidade de táxis da frota?
 16. Se multiplicarmos as raízes reais da 
equação 6 x 2 − 26x + 24 = 0 , obtere-
mos um número:
a ) primo.
b ) ímpar.
c ) par.
d ) menor do que 2.
e ) maior do que 6.
H
EL
O
ÍSA 
PI
N
TA
RE
LL
I/A
RQ
U
IV
O
 D
A 
ED
IT
O
RA
9. Respostas: a) x 2 + 8x − 240 = 0 ; b) Medida do 
comprimento: 20 m ; medida da largura: 12 m .
10. Resposta: x = 3 m ; 8 m .
11. Resposta: 3 cm .
12. Resposta: Alternativa d.
13. Resposta: Alternativa b.
14. Respostas: a) x __ 
2
 = − 32 ______ 
x − 16
 , com x ≠ 16 ; b) 8.
15. Resposta: 16 táxis.
16. Resposta: 
Alternativa c.
116
9 e 10. Objetivos
• Constatar se os estudantes repre-
sentam uma situação-problema por 
meio de uma equação do 2o grau.
• Avaliar se os estudantes utilizam 
corretamente o método de com-
pletar quadrados.
Como proceder
• Em caso de dificuldade na ativi-
dade 9, escreva na lousa a equação 
x 2 + 8x − 240 = 0 , destacando que 
8x = 2 ⋅ 4x . Em seguida, mostre a 
representação geométrica dessa 
equação e peça aos estudantes 
que calculem as raízes comple-
tando quadrados. Na atividade 10, 
oriente-os a calcular a medida da 
área do jardim completando o qua-
drado de lado com comprimento 
medindo x + 1 . Analise se eles per-
cebem que o comprimento do la-
do dessa figura mede 4 m , pois sua 
área mede 16 m 2 . 
13. Objetivo
• Avaliar se os estudantes utilizam corretamente a 
forma fatorada da equação do 2o grau.
Como proceder
• Se julgar necessário, oriente os estudantes a 
utilizar a forma fatorada para determinar os coefi-
cientes desconhecidos da equação. Caso apresen-
tem dificuldades, retome o trabalho com o tópico 
Equação do 2o grau e sua forma fatorada.
11, 12, 14 e 15. Objetivo
• Acompanhar o desempenho dos 
estudantes diante de situações-
-problema envolvendo equações 
do 2o grau.
Como proceder
• Na atividade 11, oriente-os a cal-
cular a medida da área do triângulo 
antes e depois dos aumentos. Após 
montarem a equação, deixe-os li-
vres para resolver da maneira que 
preferirem. Na atividade 12, sugira 
que escrevam uma equação que 
determine a idade do avô de Júlia 
no ano de 1980 em função de x. 
Na atividade 14, analise se eles 
montam a equação corretamen-
te. Em caso de dúvidas, retome 
o trabalho com as equações fra-
cionárias. Por fim, na atividade 15, 
oriente-os a atribuir uma incógnita 
para a quantidade de táxis da frota 
e, em seguida, calcular a quantida-
de diária de combustível para cada 
táxi. Depois calcular a quantidade 
abastecida em cada táxi após a 
quebra de dois deles. 
16. Objetivo
• Avaliar se os estudantes calculam as raízes de 
uma equação do 2o grau.
Como proceder
• Deixe os estudantes livres para calcular as raízes 
da equação da maneira que preferirem. Em ca-
so de dificuldade, escreva a fórmula resolutiva na 
lousa.
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98
.
117
Triângulo 
retângulo6
 • triângulo retângulo e seus elementos;
 • relações métricas no triângulo retângulo;
 • teorema de Pitágoras.
Agora vamos estudar...
UNIDADE
Vista de parte da estrutura de sustentação da Ponte 25 de Abril, em Lisboa, 
Portugal, em 2019, composta por treliças de formatos triangulares.
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• A abertura da unidade apresenta 
a imagem de uma ponte, cuja es-
trutura é composta de treliças, que 
tem formato triangular. Esse recur-
so auxilia na sustentação da ponte.
A imagem apresentada tem por 
objetivo levar os estudantes a per-
ceber o uso do conhecimento ge-
ométrico, particularmente do tri-
ângulo retângulo, em uma situação 
cotidiana, tornando o estudo desse 
assunto mais significativo. Explique-
-lhes que estruturas com triângulos 
retângulos são muito utilizadas na 
construção civil, em razão de algu-
mas características dessa figura, as 
quais serão trabalhadas no decor-
rer da unidade.
• Se achar necessário, para com-
plementar o trabalho com esta 
página de abertura, faça questiona-
mentos aos estudantes, como:
a ) Há outro detalhe dessa constru-
ção que você achou interessante?
b ) Você conhece outras constru-
ções que utilizam treliças em sua 
estrutura?
c ) Em sua opinião, por que estru-
turas com formato triangular costu-
mam ser utilizadas em construções?
Metodologias ativas
Para desenvolver o trabalho com 
a página de abertura, avalie a pos-
sibilidade de utilizar a metodologia 
ativa Abordagem por pares. Obte-
nha informações sobre essa meto-
dologia no tópico Metodologias e 
estratégias ativas, nas orientações 
gerais deste manual. 
A fim de avaliar o conhecimento prévio 
dos estudantes sobre os conteúdos que se-
rão trabalhados na unidade, desenhe na lousa 
um triângulo, cujo comprimento de cada lado 
meça 3 cm ; um triângulo cujo comprimento 
da base meça 5 cm e dos demais lados me-
çam, cada um, 7 cm ; e um triângulo que tenha 
um ângulo interno de medida 90° . Peça aos 
estudantes que classifiquem esses triângulos 
e aproveite para verificar se eles reconhecem 
o triângulo retângulo. Depois, eles devem 
nomear esses triângulos de acordo com suas 
características.
Resolução e comentários
O triângulo em que o comprimento de cada 
lado mede 3 cm é o triângulo equilátero; o tri-
ângulo cujo comprimento da base mede 5 cm 
e dos demais lados medem, cada um, 7 cm é o 
triângulo isósceles; e o triângulo que tem um 
ângulo interno de medida 90° é o triângulo 
retângulo.
Informações sobre avaliações diagnósticas 
podem ser encontradas no tópico Avaliação, 
nas orientações gerais deste manual.
Sugestão de avaliação
G
F
hipotenusa
cateto
cateto
E
A
B CD
A
B C
A
B D
A
CD
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Relações métricas no triângulo retângulo
Você sabe o que é um triângulo retângulo? Um triângulo é assim chamado quando um 
de seus ângulos internos mede 90° . Neles, podemos destacar a hipotenusa e os catetos. A 
hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto. Os outros dois lados do triângulo retângulo, que 
formam o ângulo reto, são os catetos.
A hipotenusa é o lado de maior medida de comprimento.
Atenção!
No triângulo retângulo EFG , ‾ FG é a hipotenusa, e ‾ EF e ‾ EG são os catetos.
O símbolo indica 
o ângulo reto.
Atenção!
Agora, considere o triângulo retângulo ABC . Nele, ao traçarmos a altura ‾ AD relativa à 
hipotenusa, determinamos outros dois triângulos retângulos, os quais são semelhantes entre 
si e semelhantes ao triângulo ABC .
Vamos conferir a semelhança entre esses triângulos retângulos.
Inicialmente, imaginamos os triângulos ABC , DBA e DAC separadamente.
Triângulo ABC . Triângulo DBA . Triângulo DAC .
118
• Reconhecer e compreender os ele-
mentos de um triângulo retângulo.
• Calcular medidas de comprimen-
tos dos lados de um triângulo re-
tângulo, utilizando as relações mé-
tricas do triângulo retângulo.
• Calcular a medida do perímetro, a 
medida da área e a medida do com-
primento da altura de um triângulo 
retângulo, utilizando as relações mé-
tricas do triângulo retângulo.
• Utilizar as relações métricas do 
triângulo retângulo para demons-
trar o teorema de Pitágoras.
• Utilizar o teorema de Pitágoras 
para determinar as medidas dos 
comprimentos dos lados de um tri-
ângulo retângulo.
• Resolver e elaborar situações-
-problema envolvendo o teorema 
de Pitágoras.
• Antes de apresentar o conteúdo 
desta página, verifique o conheci-
mento dos estudantes relacionado 
ao triângulo retângulo. Permita que 
compartilhem as próprias explica-
ções e conversem entre si, tendo a 
oportunidade de resgatar o conhe-
cimento prévio sobre o assunto e 
tornar o estudo mais significativo.
• Se achar necessário, relembre 
os estudantes de que um triângu-
lo retângulo é aquele que tem um 
ângulo interno reto, ou seja, cuja 
medida é 90° .
Os conteúdos abordados nesta 
unidade são relevantes para am-
pliar o conhecimento dos estudan-
tes quanto a conteúdos relaciona-
dos a triângulo retângulo e seuselementos, além de explorar as re-
lações métricas no triângulo retân-
gulo e o teorema de Pitágoras. Por 
meio das atividades propostas, eles 
são levados a exercitar o raciocínio 
lógico dedutivo e a compreender o 
conceito de semelhança associado 
às relações métricas. Além disso, o 
teorema de Pitágoras é abordado 
como consequência da semelhança 
de triângulos e sua demonstração 
leva em consideração o conhe- 
cimento do estudante sobre as 
relações métricas estudadas ante-
riormente.
Objetivos da unidade
Justificativas
A
B C
A
CD
c b
a
A
B CD
mn
h
A
B C
A
B D
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 • Considere os triângulos ABC e DBA . Note que os ângulos B ̂ A C e B ̂ D A são congruentes 
por serem retos, e que os ângulos A ̂ B C e D ̂ B A são congruentes por serem comuns aos 
dois triângulos.
 • Considere os triângulos ABC e DAC . Note que os ângulos B ̂ A C e A ̂ D C são congruentes 
por serem retos, e que os ângulos A ̂ C B e D ̂ C A são congruentes por serem comuns aos 
dois triângulos.
 B ̂ A C ≅ A ̂ D C 
 A ̂ C B ≅ D ̂ C A 
 △ABC ∼ △DAC 
Como os triângulos DBA e DAC são semelhantes ao triângulo ABC , segue que eles são 
semelhantes entre si, dois a dois.
A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo divide-o em outros dois 
triângulos retângulos, que são semelhantes a ele e entre si.
Considerando que, em triângulos semelhantes, as medidas do comprimento são propor-
cionais nos respectivos lados, podemos estabelecer algumas relações entre elas.
 a = m + n 
a: medida do comprimento da hipotenusa.
b e c: medidas dos comprimentos dos 
catetos.
h: medida do comprimento da altura 
relativa à hipotenusa.
m e n: medidas dos comprimentos das 
projeções dos catetos sobre a hipotenusa.
Indicaremos o triângulo ABC 
por △ABC .
Atenção!
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 B ̂ A C ≅ B ̂ D A 
 A ̂ B C ≅ D ̂ B A 
 △ABC ∼ △DBA 
119
• Ao trabalhar com os conteúdos 
desta página, se necessário, co- 
mente com os estudantes que, 
conhecendo as medidas de dois 
dos ângulos internos de um triân-
gulo, podemos determinar a medi-
da do terceiro ângulo interno, ou 
seja, basta que dois pares de ângu-
los internos dos triângulos sejam 
congruentes para que os triângulos 
sejam semelhantes.
c b
a
A
B C
c b
a
A
B C
c
A
B Dn
h
b
A
CD m
h
A
c
h
b
a
mn
B CD
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Em seu caderno, mostre que a relação h 2 = m ⋅ n é verdadeira. Para isso, considere 
os triângulos DBA e DAC .
Questão 1.
 • Considerando os triângulos ABC e DBA , temos:
 a __ c = c __ n ⇒ c 2 = a ⋅ n a __ c = b __ 
h
 ⇒ b ⋅ c = a ⋅ h b __ 
h
 = c __ n ⇒ c ⋅ h = b ⋅ n 
 • Considerando os triângulos ABC e DAC , temos:
 a __ 
b
 = c __ 
h
 ⇒ b ⋅ c = a ⋅ h a __ 
b
 = b __ m ⇒ b 2 = a ⋅ m b __ m = c __ 
h
 ⇒ c ⋅ m = b ⋅ h 
 h 2 = m ⋅ n 
 a = m + n c 2 = a ⋅ n 
 b ⋅ c = a ⋅ h c ⋅ h = b ⋅ n 
 b 2 = a ⋅ m c ⋅ m = b ⋅ h 
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Questão 1. Resposta: Ao considerarmos os triângulos ABD e ADC , obtemos, 
entre outras igualdades, n _ h = h _ m . Consequentemente, h 2 = m ⋅ n . 
120
• A questão 1 aborda a habilidade 
EF09MA13 ao levar os estudantes a 
mostrar que a relação h 2 = m ⋅ n é 
verdadeira, considerando os triân-
gulos DBA e DAC , ou seja, por meio 
das igualdades das relações métri-
cas do triângulo retângulo. Avalie a 
necessidade de resolver esta ques-
tão na lousa com os estudantes, a 
fim de sanar possíveis dúvidas que 
eles possam ter.
A
CEB
D
25°
A
c
22 cm 38 cm
b
a
B C
9 cm 16 cm
h
f g
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Acompanhe alguns exemplos em que as relações métricas são utilizadas para determinar 
medidas de comprimentos desconhecidos em um triângulo retângulo.
 • Vamos determinar as medidas a, b e c no triângulo ABC .
 a = m + n ⇒ a = 38 + 22 ⇒ a = 60 
 c 
2 = a ⋅ n ⇒ c 2 = 60 ⋅ 22 ⇒ c 2 = 1 320 ⇒ c ≃ 36,33 
 b 2 = a ⋅ m ⇒ b 2 = 60 ⋅ 38 ⇒ b 2 = 2280 ⇒ b ≃ 47,75 
Nesse triângulo, temos a = 60 cm , b ≃ 47,75 cm e c ≃ 36,33 cm . 
 • Vamos determinar as medidas e, f e h no triângulo EFG , sabendo que g = 20 cm.
 e = m + n ⇒ e = 16 + 9 ⇒ e = 25 
 h 2 = m ⋅ n ⇒ h 2 = 16 ⋅ 9 ⇒ h 2 = 144 ⇒ h = 12 
 f ⋅ h = g ⋅ n ⇒ f ⋅ 12 = 20 ⋅ 9 ⇒ 12f = 180 ⇒ f = 15 
Nesse triângulo, temos e = 25 cm , h = 12 cm e f = 15 cm .
Atividades Faça as atividades 
no caderno.
 1. O triângulo ABC é isósceles com base ‾ BC . Sabendo que ‾ AE é a 
altura relativa à base, responda às questões.
a ) Quais dos triângulos indicados são triângulos retângulos?
b ) Quais são as medidas dos ângulos internos do triângulo EDB ? 
E do triângulo ADE ?
c ) Quais dos triângulos indicados são semelhantes?
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Nos exemplos, ao obtermos as medidas c, b e h, resolvemos uma 
equação que tem uma raiz positiva e outra negativa. Como são 
medidas de comprimentos, consideramos apenas os valores positivos.
Atenção!
1. Respostas: a) △AEC , △AEB ; △ADE , △EDB ; b) △EDB : ̂ B = 65° ; ̂ E = 25° ; ̂ D = 90° ; 
△ADE ̂ A = 15° ̂ D = 90° e ̂ E = 75° c) △AEC ∼ △AEB ∼ △ADE ∼ △EDB .
121
Ao trabalhar com as atividades 
desta unidade, avalie a possibilidade 
de utilizar a metodologia ativa Pen-
sar-conversar-compartilhar. Ob-
tenha informações sobre essa me-
todologia no tópico Metodologias 
e estratégias ativas, nas orienta-
ções gerais deste manual. 
Metodologias ativas
• Espera-se que as atividades pro-
postas nesta unidade levem os es-
tudantes a compreender o triângu-
lo retângulo e seus elementos, as 
relações métricas no triângulo re-
tângulo e o teorema de Pitágoras. 
Espera-se com isso também favore-
cer o desenvolvimento do raciocí-
nio lógico-matemático. A fim de 
auxiliar os estudantes a obter esse 
tipo de raciocínio (indução, dedu-
ção, abdução ou raciocínio por 
analogia), faça questionamentos 
com o objetivo de aguçar a capaci-
dade de abstração e de argumen-
tação deles.
• Com isso, o desenvolvimento 
do espírito de investigação e da 
capacidade de produzir argumen-
tos convincentes é favorecido, 
recorrendo aos conhecimentos 
matemáticos para compreender e 
atuar no mundo, proporcionando 
o desenvolvimento da Competên-
cia específica de Matemática 2. 
A compreensão das relações entre 
conceitos e procedimentos dos di-
ferentes campos da Matemática, 
como Álgebra e Geometria, tam-
bém estará envolvida nas propos-
tas desta unidade com o fim de tra-
balhar aspectos da Competência 
específica de Matemática 3.
• Na atividade 1, se necessário, 
relembre os estudantes de que 
um triângulo é isósceles quando 
apresenta pelo menos dois de 
seus lados com mesma medida de 
comprimento. Para melhor apro-
veitamento da atividade, solicite a 
eles que se organizem em duplas 
para responder ao item c, em que 
devem identificar se os triângulos 
são semelhantes. Nesse momento, 
se achar conveniente, retome os 
casos de semelhança de triângulos 
estudados na unidade anterior.
2,5 m
1,6 m
A
B C
2,25 m
3,75 m
A
B C
2,51 m4,49 m
A
B C
3,6 m
4,8 m
A
BC
6,2 m
3,72 m4,96 m
A
BC
h
8 cm
18 cm
b
h
9 cm 25 cm
a
h
6 cm
3,6 cm
h
1,98 cm
3,3 cm 4,4 cm
m
4 cm
4 cm
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122
B.
B.
E.
A.
A.
C.
C.
D.
D.
 2. Nos triângulos a seguir, as letras repre-
sentam medidas em centímetros. Com 
o auxílio de uma calculadora, faça os 
cálculos necessários para determinar o 
valor de cada uma delas.
 3. Qual é o valor de x no triângulo?
 4. Usando uma calculadora, determine a 
medida da área de cada triângulo.
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2. Respostas: 
A. b = 12 cm e 
h ≃ 8,94 cm ; 
B. a = 34 cm e 
h = 15 cm ; 
C. h = 2,88 cm ; 
D. m = 3,52 cm e 
h = 2,64 cm .
4. Respostas: 
A. 1,5 m 2 ; B. 9,375 m 2 ; 
C. Aproximadamente 11,76 m 2 ; 
D. Aproximadamente 10,14 m 2 ; 
E. Aproximadamente 9,23 m 2 .
3. Resposta: x = 4 √ 
_
 2 cm.
122
• Sugerimos o uso da calculadora 
em diversas atividades desta uni-
dade. Ela é um instrumento que 
auxiliará os estudantes nos cálcu-
los, por exemplo, com números 
decimais e de raízes quadradas 
não exatas, que não são o foco de 
estudo da unidade.
• Nas atividades 2, 3 e 4, apre-
sentadas nesta página, para ob-
ter a resposta, é necessário usar 
mais de uma relação métrica. Para 
melhor aproveitamento das ativi-
dades, organize os estudantes em 
duplas, a fim de que possam con-
versar e compartilhar as estratégias 
utilizadas.
• Utilizando as relações métricas 
no triângulo retângulo, determine 
as medidas indicadas na imagem. 
Para isso, reproduza na lousa o tri-
ângulo retângulo a seguir.
10 cm
8 cm6 cm
A
B
n m
C
Resolução e comentários
 Para responder a esta questão, pre-
cisamos calcular as medidas de n e 
m . Para isso, utilizamos as relações 
métricas: b 2 = a ⋅ m e c 2 = a ⋅ n . Sa-
bemos que b = 8 m e a = 6 m , logo, 
substituindo na fórmula, temos:
 b 2 = a ⋅ m
 8 2 = 10 ⋅ m
64 = 10m
 64 _ 10 = 10m _ 10 
6,4 = m
m = 6,4 cm 
 c 2 = a ⋅ n
 6 2 = 10 ⋅ n
36 = 10n
 36 _ 10 = 10n _ 10 
3,6 = n
n = 3,6 cm 
Portanto, m = 6,4 cm e n = 3,6 cm .
Atividade a mais
SE
RG
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