Revisão de Integrais - Integração por Substituição e Partes

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Lucélia Aparecida Radin
Integral por Substituição
02 de37
Técnicas de Integração (Primitivação)
OBJETIVO: Apresentar técnicas para determinar a função F(x) conhecida
como primitiva (ou antiderivada) tal que F’(x) = f(x) ou:
  F(x)dx f(x)
Integração: BASES PARA ESTUDOS DE EQUAÇÕES 
DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 
EXERCÍCIO 01
Calcular   dx2x1)(x 502
Solução
Seja u = x2 + 1
Logo: 2xdx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 du(u)50
C
51
1)(x
C
51
u
du(u)
51251
50 


03 de37
INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
2x
dx
du

EXERCÍCIO 02
Calcular   dx9)sen(x
Solução
Seja u = x + 9
Logo: dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 dusen(u)
C9)cos(xCcos(u)dusen(u) 
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INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
1
dx
du

EXERCÍCIO 03
Calcular  dxcos(x)(x)sen2
Solução
Seja u = sen(x)
Logo: cos(x)dx = du
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
 duu2
C
3
(x)sen
C
3
u
duu
33
2 
05 de37
cos(x)
dx
du

INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
EXERCÍCIO 04
Calcular  dx
x
e x
Solução
Então
x2
1
x
1
2
1
x
2
1
x
dx
d
dx
du
2
1
2
1
2
1











Seja u = x
Logo: = du dx
x2
1
Antes da substituição, a função dada será escrita de outra forma.
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INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
Ce2Ce2due2du2e xuuu  
  dx
x2
1
2edx
x2
2
1
e
dx
x
e x
xx
  du2edx
x2
1
2e ux
Ou seja: Ce2dx
x
e x
x

du2dx
x
1
dudx
x2
1

outra maneira de chegar aqui 
sem manipular a função 
dada é fazendo:
07 de37
EXERCÍCIO 05
Calcular   dx1xx2
Solução
Seja u = x – 1 
Logo: dx = du 
Se u = x – 1 
Então x = u + 1
x2 = (u+1)2
x2 = u2 + 2u + 1 
Assim, a integral dada pode ser escrita como:
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INTEGRAÇÃO POR SUBSTITUIÇÃO
  duu1)2u(u2
ou:




















duu2uu
du1uu2uuuduu1)2u(u
2
1
2
3
2
5
2
1
2
1
2
1
22
1
2
Portanto:
C
1
2
1
u
1
2
3
u
2
1
2
5
u
duu2uu
1
2
1
1
2
3
1
2
5
2
1
2
3
2
5


















09 de37
Cu
3
2
u
5
4
u
7
2
duu2uu 2
3
2
5
2
7
2
1
2
3
2
5










Finalmente:
Escrevendo em termos de x:
C)1(x
3
2
)1(x
5
4
)1(x
7
2
dx1xx 2
3
2
5
2
7
2 
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EXERCÍCIO 06
Calcular  dxex x
Solução
A integral dada deve ser escrita na forma . dvu
Seja, portanto:
dxex x

xu  dxedv x
Deste modo:
Cexedxexeduvuvdvudxxe xxxxx  
a constante C pode ser 
incluída apenas no final.
INTEGRAÇÃO POR PARTES
dxdu 
xxx edxevdxedv  
Então:
EXERCÍCIO 07
Calcular 
 dxex x2
Solução
Seja:
2xu  dxedv x
Assim:
dx2xdu 
xxx edxevdxedv   
Portanto:
2xdx)e(exduvuvdvudxex xx2x2

 
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INTEGRAÇÃO POR PARTES
A última integral é semelhante à original, com a exceção de 
que x2 foi substituído por x. 
ou:
dxex2exdxex xx2x2

  (1)
Outra integração por partes aplicada a
completará o problema.
dxex x


Seja:
xu  dxedv x
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Assim:
dxdu 
xxx edxevdxedv   
Portanto:
dx)e(exduvuvdvudxex xxx

 
ou:
1
xxxxx Ceexdxeexdxex  
 (2)
Substituindo (2) em (1) resulta:
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 
1
xxx2
1
xxx2
xx2x2
C2e2ex2ex
Ceex2ex
dxex2exdxex







Portanto:
Ce)2x2x(dxex x2x2  

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