micn Prova

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d) 3 
 **Resposta**: a) 0 
 **Explicação**: A integral se resolve como \( \int_0^1 (3x^2 - 2) \, dx = \left[ x^3 - 2x 
\right]_0^1 = (1 - 2) - 0 = -1 \). 
 
29. **Problema 29**: Determine a integral \( \int (4x^3 - 2x^2 + 5) \, dx \). 
 a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \) 
 b) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + C \) 
 c) \( 4x^4 - 2x^3 + 5x + C \) 
 d) \( x^4 - 2x^2 + 5 + C \) 
 **Resposta**: a) \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \) 
 **Explicação**: A integral de cada termo é \( \int 4x^3 \, dx = x^4 \), \( \int -2x^2 \, dx = -
\frac{2}{3}x^3 \), e \( \int 5 \, dx = 5x \). Somando, obtemos \( x^4 - \frac{2}{3}x^3 + 5x + C \). 
 
30. **Problema 30**: Quais são as raízes da equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)? 
 a) 2 e 3 
 b) 1 e 6 
 c) 3 e 4 
 d) 2 e 4 
 **Resposta**: a) 2 e 3 
 **Explicação**: Usando a fórmula quadrática \( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \), 
obtemos \( x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2} = 2 \) e \( 3 \). 
 
31. **Problema 31**: Qual é o resultado da integral \( \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx \)? 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: b) 2 
 **Explicação**: A integral se resolve como \( \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \left[ 
\frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \right]_0^1 = \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 \right) = 
\frac{2}{3} + \frac{9}{6} = \frac{15}{6} = 2 \). 
 
32. **Problema 32**: Determine a integral \( \int e^{2x} \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 b) \( e^{2x} + C \) 
 c) \( 2e^{2x} + C \) 
 d) \( \frac{1}{2} e^{x} + C \) 
 **Resposta**: a) \( \frac{1}{2} e^{2x} + C \) 
 **Explicação**: A integral de \( e^{kx} \) é \( \frac{1}{k} e^{kx} + C \). Portanto, a integral é 
\( \frac{1}{2} e^{2x} + C \). 
 
33. **Problema 33**: Qual é o valor da integral \( \int_0^1 (4x^2 - 2) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta**: a) 0 
 **Explicação**: A integral se resolve como \( \int_0^1 (4x^2 - 2) \, dx = \left[ 
\frac{4}{3}x^3 - 2x \right]_0^1 = \left( \frac{4}{3} - 2 \right) = -\frac{2}{3} \). 
 
34. **Problema 34**: Determine a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \). 
 a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 b) \( -\sin(x^2) \) 
 c) \( 2x \cos(x^2) \) 
 d) \( -2x \cos(x^2) \) 
 **Resposta**: a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 **Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x 
\sin(x^2) \). 
 
35. **Problema 35**: Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 5 
 d) Infinito 
 **Resposta**: c) 5 
 **Explicação**: Usando a regra de L'Hôpital, derivamos o numerador e o denominador. 
A derivada de \( \tan(5x) \) é \( 5\sec^2(5x) \) e a derivada de \( x \) é 1. Assim, o limite se 
torna \( 5\sec^2(0) = 5 \). 
 
36. **Problema 36**: Determine a integral \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx \). 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: d) 4 
 **Explicação**: A integral se resolve como \( \int_0^1 (x^3 + 2x^2 + 3) \, dx = \left[ 
\frac{1}{4}x^4 + \frac{2}{3}x^3 + 3x \right]_0^1 = \left( \frac{1}{4} + \frac{2}{3} + 3 \right) = 
\frac{1}{4} + \frac{8}{12} + \frac{36}{12} = 4 \). 
 
37. **Problema 37**: Qual é o resultado da integral \( \int_0^1 (5x^4 - 4x^3 + 2) \, dx \)? 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta**: c) 2 
 **Explicação**: A integral se resolve como \( \int_0^1 (5x^4 - 4x^3 + 2) \, dx = \left[ x^5 - 
x^4 + 2x \right]_0^1 = (1 - 1 + 2) - 0 = 2 \). 
 
38. **Problema 38**: Determine a derivada de \( f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x \). 
 a) \( 5x^4 - 9x^2 + 2 \) 
 b) \( 5x^4 - 6x^2 + 2 \) 
 c) \( 5x^4 - 3x^2 + 2 \) 
 d) \( 5x^4 - 6x + 2 \) 
 **Resposta**: a) \( 5x^4 - 9x^2 + 2 \) 
 **Explicação**: A derivada de \( x^5 \) é \( 5x^4 \), a de \( -3x^3 \) é \( -9x^2 \), e a de \( 2x 
\) é \( 2 \). Portanto, \( f'(x) = 5x^4 - 9x^2 + 2 \).