31. **Problema 31**: Qual é o resultado da integral \( \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx \)? a) 1 b) 2 c) 3 d) 4

Para resolver a integral \( \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx \), vamos calcular passo a passo. 1. Encontrar a antiderivada: - A antiderivada de \( 2x^2 \) é \( \frac{2}{3}x^3 \). - A antiderivada de \( 3x \) é \( \frac{3}{2}x^2 \). - A antiderivada de \( 1 \) é \( x \). Portanto, a antiderivada de \( 2x^2 + 3x + 1 \) é: \[ \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + x \] 2. Avaliar a integral de 0 a 1: \[ \int_0^1 (2x^2 + 3x + 1) \, dx = \left[ \frac{2}{3}(1)^3 + \frac{3}{2}(1)^2 + (1) \right] - \left[ \frac{2}{3}(0)^3 + \frac{3}{2}(0)^2 + (0) \right] \] \[ = \frac{2}{3} + \frac{3}{2} + 1 \] 3. Calcular o resultado: - Para somar, vamos encontrar um denominador comum. O mínimo múltiplo entre 3 e 2 é 6. - Convertendo as frações: - \( \frac{2}{3} = \frac{4}{6} \) - \( \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \) - \( 1 = \frac{6}{6} \) Agora somando: \[ \frac{4}{6} + \frac{9}{6} + \frac{6}{6} = \frac{19}{6} \] 4. Verificando as alternativas: Nenhuma das alternativas (1, 2, 3, 4) corresponde a \( \frac{19}{6} \), que é aproximadamente 3,17. Portanto, a resposta correta não está entre as opções fornecidas. Você pode querer verificar se as alternativas estão corretas ou se a integral foi formulada corretamente.