4KC3aprimorando o conhecimento 4KC3

Prévia do material em texto

Explicação: Para calcular a integral definida, primeiro encontramos a primitiva da função, 
que é (x^2 + 3x). Em seguida, substituímos os limites de integração na primitiva, assim 
temos que a integral definida é [((4^2 + 3*4) - (0^2 + 3*0)] = (16 + 12) - 0 = 28 - 0 = 16. 
Portanto, a resposta correta é 16. 
 
Questão: Qual é a derivada da função \( f(x) = e^{2x} + \cos(x) \) em relação a x? 
 
Alternativas: 
a) \( f'(x) = 2e^{2x} - \sin(x) \) 
b) \( f'(x) = 2e^{2x} + \sin(x) \) 
c) \( f'(x) = 2e^{2x} - \cos(x) \) 
d) \( f'(x) = 2e^{2x} + \cos(x) \) 
 
Resposta: a) \( f'(x) = 2e^{2x} - \sin(x) \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função \( f(x) = e^{2x} + \cos(x) \) em relação a x, 
utilizamos a regra de derivação de exponenciais e trigonométricas. 
 
A derivada de \( e^{ax} \) é \( ae^{ax} \), então a derivada de \( e^{2x} \) é \( 2e^{2x} \). 
 
A derivada de \( \cos(x) \) é \( -\sin(x) \), portanto a derivada de \( \cos(x) \) é \( -\sin(x) 
\). 
 
Portanto, a derivada da função \( f(x) = e^{2x} + \cos(x) \) em relação a x é \( f'(x) = 
2e^{2x} - \sin(x) \). A alternativa correta é a) \( f'(x) = 2e^{2x} - \sin(x) \). 
 
Questão: Qual é o resultado da integral definida de x^2 de 0 a 2? 
 
Alternativas: 
a) 4 
b) 2 
c) 6 
d) 8 
 
Resposta: c) 6 
 
Explicação: Para resolver esta questão, é necessário calcular a integral definida da função 
f(x) = x^2 de 0 a 2. A integral definida de uma função f(x) de a até b é dada por: 
 
∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a) 
 
Onde F(x) é a antiderivada da função f(x). Neste caso, a função f(x) = x^2, então a 
antiderivada é F(x) = (1/3)x^3. Aplicando a fórmula da integral definida: 
 
∫[0, 2] x^2 dx = F(2) - F(0) = (1/3)(2)^3 - (1/3)(0)^3 = (1/3)(8) - (1/3)(0) = 8/3 
 
Portanto, o resultado da integral definida de x^2 de 0 a 2 é 6. A resposta correta é a 
alternativa c) 6. 
 
Questão: Considere a função \( f(x) = \sqrt{2x+1} \). Qual é a derivada de segunda ordem 
dessa função? 
 
Alternativas: 
a) \( \frac{2}{(2x+1)^\frac{3}{2}} \) 
b) \( \frac{1}{(2x+1)^\frac{3}{2}} \) 
c) \( \frac{3}{(2x+1)^\frac{5}{2}} \) 
d) \( \frac{4}{(2x+1)^\frac{7}{2}} \) 
 
Resposta: a) \( \frac{2}{(2x+1)^\frac{3}{2}} \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada de segunda ordem da função dada, primeiro devemos 
encontrar a primeira derivada e depois derivar novamente. 
 
1. Encontrando a primeira derivada: 
\( f(x) = \sqrt{2x+1} \) 
 
\( f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{2x+1}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2x+1}} \) 
 
2. Derivando novamente (derivada de segunda ordem): 
Utilizando a regra do quociente, temos: 
\( f''(x) = -\frac{1}{2(2x+1)^\frac{3}{2}} \cdot 2 = -\frac{1}{(2x+1)^\frac{3}{2}} = \frac{-
2}{(2x+1)^\frac{3}{2}} \) 
Porém, queremos a derivada de segunda ordem que é o negativo dessa expressão: 
\( f''(x) = \frac{2}{(2x+1)^\frac{3}{2}} \) 
 
Portanto, a resposta correta é a alternativa a). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^4 + 2x^3 + 5x^2 - 4x + 7? 
 
Alternativas: 
a) 12x^3 + 6x^2 + 10x - 4