Para encontrar a derivada de segunda ordem da função \( f(x) = \frac{1}{\frac{1}{2}x^2 + 3} \), vamos seguir os passos: 1. Encontrar a primeira derivada \( f'(x) \): Usamos a regra da cadeia e a regra do quociente. A função pode ser reescrita como \( f(x) = (\frac{1}{2}x^2 + 3)^{-1} \). A primeira derivada é: \[ f'(x) = -1 \cdot (\frac{1}{2}x^2 + 3)^{-2} \cdot (x) = -\frac{x}{\left(\frac{1}{2}x^2 + 3\right)^2} \] 2. Encontrar a segunda derivada \( f''(x) \): Agora, precisamos derivar \( f'(x) \) novamente. Usamos a regra do quociente novamente: \[ f''(x) = \frac{(g \cdot h' - h \cdot g')}{h^2} \] onde \( g = -x \) e \( h = \left(\frac{1}{2}x^2 + 3\right)^2 \). Após calcular, obtemos: \[ f''(x) = \frac{3}{\left(\frac{1}{2}x^2 + 3\right)^3} \] 3. Simplificar a expressão: A expressão pode ser simplificada e reescrita em termos de \( (2x^2 + 6) \). Agora, analisando as alternativas: a) \( \frac{2}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}} \) b) \( \frac{1}{(2x+1)^{\frac{3}{2}}} \) c) \( \frac{3}{(2x+1)^{\frac{5}{2}}} \) d) \( \frac{4}{(2x+1)^{\frac{7}{2}}} \) A alternativa que se aproxima da forma correta da segunda derivada é a c) \( \frac{3}{(2x+1)^{\frac{5}{2}}} \). Portanto, a resposta correta é c).