aulas da faculdade com explicaçaoi 1B7TU

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Questão: Seja \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \) uma função polinomial. Qual é a derivada de 
segunda ordem dessa função? 
 
Alternativas: 
a) \( f''(x) = 3x - 6 \) 
b) \( f''(x) = 3x^2 - 6x + 2 \) 
c) \( f''(x) = 6x - 6 \) 
d) \( f''(x) = 6x^2 - 6x + 2 \) 
 
Resposta: b) \( f''(x) = 3x^2 - 6x + 2 \) 
 
Explicação: Para encontrar a derivada de segunda ordem de uma função, primeiro 
encontramos a derivada primeira e depois derivamos essa derivada. Então, vamos 
encontrar a derivada primeira de \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x \): 
\( f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 \) 
 
Agora, derivamos essa derivada novamente para encontrar a derivada de segunda ordem: 
\( f''(x) = 6x - 6 \) 
 
Portanto, a resposta correta é a alternativa b) \( f''(x) = 3x^2 - 6x + 2 \). 
 
Questão: Qual é a integral definida da função \(f(x) = 4x^3\) no intervalo de \(0\) a \(2\)? 
 
Alternativas: 
a) 10 
b) 16 
c) 32 
d) 64 
 
Resposta: c) 32 
 
Explicação: Para encontrar a integral definida da função, primeiro precisamos calcular a 
integral indefinida da função \(f(x) = 4x^3\). Temos que a integral de \(4x^3\) em relação a 
\(x\) é \(x^4\). Para encontrar a integral definida no intervalo de \(0\) a \(2\), 
substituímos os limites de integração na integral indefinida e realizamos a subtração: 
 
\(\int_{0}^{2} 4x^3 dx = [x^4]_{0}^{2} = 2^4 - 0^4 = 16 - 0 = 16\). 
 
Portanto, a resposta correta é \(c)32\). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = 3x^2 + 4x - 5? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 6x + 4 
b) f'(x) = 3x^2 
c) f'(x) = 6x + 1 
d) f'(x) - 3x + 4 
 
Resposta: a) f'(x) = 6x + 4 
 
Explicação: Para encontrar a derivada da função f(x), utilizamos a regra da potência: Para 
encontrar a derivada da função f(x) = ax^n, derivamos cada termo individualmente. 
Portanto, derivando a função f(x) = 3x^2 + 4x - 5, teremos f'(x) = d/dx (3x^2) + d/dx (4x) - 
d/dx (5). Aplicando a regra da potência, obtemos f'(x) = 2*3x^(2-1) + 1*4x^(1-1) - 0 = 6x + 
4. Logo, a alternativa correta é a). 
 
Questão: Qual é a derivada de \( f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2x + 1 \)? 
 
Alternativas: 
a) \( f'(x) = 20x^3 - 6x + 2 \) 
b) \( f'(x) = 20x^3 - 6x - 2 \) 
c) \( f'(x) = 20x^3 - 6x \) 
d) \( f'(x) = 20x^3 - 2 \) 
 
Resposta: a) \( f'(x) = 20x^3 - 6x + 2 \) 
 
Explicação: Para derivar a função \( f(x) = 5x^4 - 3x^2 + 2x + 1 \), utilizamos a regra da 
potência, onde para derivar \( x^n \), multiplicamos o coeficiente \( n \) pelo expoente \( n 
\) e subtraímos 1 do expoente. Portanto, a derivada de \( 5x^4 \) será \( 4 \times 5x^{4-1} 
= 20x^3 \). Seguindo o mesmo raciocínio, a derivada de \( -3x^2 \) será \( 2 \times -3x^{2-
1} = -6x \) e a derivada de \( 2x \) será \( 1 \times 2x^{1-1} = 2 \). Como a derivada de uma 
constante é zero, a derivada de 1 será 0. Portanto, a derivada da função \( f(x) = 5x^4 - 3x^2 
+ 2x + 1 \) será \( f'(x) = 20x^3 - 6x + 2 \). 
 
Questão: Qual é a derivada da função f(x) = x^3 + 2x^2 - 4x + 5? 
 
Alternativas: 
a) f'(x) = 3x^2 + 4x - 4 
b) f'(x) = 3x + 4 
c) f'(x) = 3x^2 + 4x + 4 
d) f'(x) = 4x^2 + 4x - 4