Vamos analisar as afirmativas uma a uma para determinar quais estão corretas: I. A derivada em relação a Z da função \( F(x,y,z) = \ln(xyz) \) é \( F_z(x,y,z) = \frac{1}{xyz} \cdot xy \). Isso é verdadeiro, pois ao derivar em relação a \( z \), consideramos \( x \) e \( y \) como constantes. II. A derivada em relação a X da função \( F(x,y,z) = \frac{2}{x^2 + y^2 + z^2} \) é \( F_x(x,y,z) = -\frac{4x}{(x^2 + y^2 + z^2)^2} \). Isso é verdadeiro, pois ao derivar em relação a \( x \), aplicamos a regra da cadeia. III. A derivada em relação a y da função \( F(x,y,z) = e^{x+y+z} \) é \( F_y(x,y,z) = e^{x+y+z} \). Isso é verdadeiro, pois a derivada de \( e^{u} \) em relação a \( y \) é \( e^{u} \) multiplicado pela derivada de \( u \) em relação a \( y \), que é 1. IV. As primeiras derivadas de \( F \) são iguais. Isso é falso, pois as derivadas parciais em relação a \( x \), \( y \) e \( z \) não são necessariamente iguais. Agora, vamos verificar as alternativas: A) I, III e IV. (FALSO, IV é falsa) B) II e IV. (FALSO, IV é falsa) C) I, II e IV. (FALSO, IV é falsa) D) I, II e III. (VERDADEIRO, todas são verdadeiras) Portanto, a alternativa correta é: D) I, II e III.