contas e mais contas 82A

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<p>**Explicação:** A fórmula é \( (n-2) \cdot 180^\circ \). Para \( n = 6 \), a soma é \( (6-2)</p><p>\cdot 180^\circ = 720^\circ \).</p><p>26. **Problema:** Resolva a integral \( \int_{0}^{\pi/2} \cos^2(x) \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \).</p><p>**Explicação:** Use a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \). A integral é \(</p><p>\int_{0}^{\pi/2} \frac{1 + \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{4} \).</p><p>27. **Problema:** Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>**Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada é \( \frac{d}{dx} \left( \ln(x^2 + 1)</p><p>\right) = \frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>28. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin(x) \cos(x) \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( 0 \).</p><p>**Explicação:** Use a identidade \( \sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x) \). Assim, \( \int_{0}^{\pi}</p><p>\sin(x) \cos(x) \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx = 0 \).</p><p>29. **Problema:** Resolva a equação \( e^x = 5 \).</p><p>**Resposta:** \( x = \ln(5) \).</p><p>**Explicação:** Tome o logaritmo natural dos dois lados da equação, resultando em \( x =</p><p>\ln(5) \).</p><p>30. **Problema:** Determine o valor de \( \sum_{k=1}^{n} k \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{n(n+1)}{2} \).</p><p>**Explicação:** A fórmula para a soma dos primeiros \( n \) números inteiros positivos é \(</p><p>\frac{n(n+1)}{2} \).</p><p>31. **Problema:** Encontre a raiz quadrada de \( 98 \).</p><p>**Resposta:** \( 7\sqrt{2} \).</p><p>**Explicação:** Simplifique \( \sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = 7\sqrt{2} \).</p><p>32. **Problema:** Resolva a equação \( \sqrt{x + 1} = x - 1 \).</p><p>**Resposta:** \( x = 2 \).</p><p>**Explicação:** Eleve ambos os lados ao quadrado para obter \( x + 1 = (x - 1)^2 \). Resolva</p><p>\( x + 1 = x^2 - 2x + 1 \), resultando em \( x = 2 \).</p><p>33. **Problema:** Calcule o produto de \( (2 + i) \) e \( (3 - i) \), onde \( i \) é a unidade</p><p>imaginária.</p><p>**Resposta:** \( 7 + i \).</p><p>**Explicação:** Multiplicando, temos \( (2 + i)(3 - i) = 6 - 2i + 3i - i^2 = 7 + i \).</p><p>34. **Problema:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{\pi}{4} \).</p><p>**Explicação:** A integral de \( \frac{1}{1 + x^2} \) é \( \arctan(x) \). Assim, \( \int_{0}^{1}</p><p>\frac{1}{1 + x^2} \, dx = \arctan(1) - \arctan(0) = \frac{\pi}{4} \).</p><p>35. **Problema:** Resolva a equação \( \log(x) = 3 \).</p><p>**Resposta:** \( x = 1000 \).</p><p>**Explicação:** Exponencie ambos os lados para obter \( x = 10^3 = 1000 \).</p><p>36. **Problema:** Encontre a derivada da função \( f(x) = e^{-x} \sin(x) \).</p><p>**Resposta:** \( -e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) \).</p><p>**Explicação:** Use a regra do produto e a regra da cadeia: \( f'(x) = e^{-x}(-\sin(x)) + e^{-x}</p><p>\cos(x) = -e^{-x} (\sin(x) + \cos(x)) \).</p><p>37. **Problema:** Determine o valor de \( \int_{1}^{2} (2x^3 - 3x^2 + x) \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{1}{2} \).</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int_{1}^{2} 2x^3 \, dx - \int_{1}^{2} 3x^2 \, dx + \int_{1}^{2} x</p><p>\, dx \). Calculando cada parte, obtemos \( \frac{1}{2} \).</p><p>38. **Problema:** Encontre o valor de \( \frac{d}{dx} \left( x \ln(x) \right) \).</p><p>**Resposta:** \( \ln(x) + 1 \).</p><p>**Explicação:** Usando a regra do produto, \( \frac{d}{dx} (x \ln(x)) = \ln(x) + x \cdot \</p><p>frac{1}{x} = \ln(x) + 1 \).</p><p>39. **Problema:** Resolva a equação \( 2 \cos(x) = \sqrt{3} \).</p><p>**Resposta:** \( x = \pm \frac{\pi}{6} + 2n\pi \), para \( n \in \mathbb{Z} \).</p><p>**Explicação:** Divida ambos os lados por 2: \( \cos(x) = \frac{\sqrt{3}}{2} \). O ângulo \( x =</p><p>\pm \frac{\pi}{6} \) satisfaz a equação.</p><p>40. **Problema:** Determine a área sob a curva \( y = x^2 \) entre \( x = 0 \) e \( x = 3 \).</p><p>**Resposta:** \( 27 \).</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int_{0}^{3} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3} =</p><p>\frac{27}{3} = 9 \).</p><p>41. **Problema:** Calcule o valor de \( \cos\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{1}{2} \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - \frac{\sqrt{3}}{2}</p><p>\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot</p><p>\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{4} - \frac{\sqrt{6}}{4} \).</p><p>**Explicação:** Use a fórmula do ângulo de soma: \( \cos(A + B) = \cos(A) \cos(B) - \sin(A)</p><p>\sin(B) \).</p><p>42. **Problema:** Resolva a equação \( x^2 + 4x + 4 = 0 \) usando fatoração.</p><p>**Resposta:** \( x = -2 \).</p><p>**Explicação:** A equação pode ser fatorada como \( (x + 2)^2 = 0 \), então \( x = -2 \).</p><p>43. **Problema:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} x e^{x^2} \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{e - 1}{2} \).</p><p>**Explicação:** Use a substituição \( u = x^2 \), então \( du = 2x \, dx \). A integral é \(</p><p>\frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^u \, du \), que resulta em \( \frac{e - 1}{2} \).</p><p>44. **Problema:** Encontre a matriz inversa de \( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4</p><p>\end{pmatrix} \).</p><p>**Resposta:** \( \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} \).</p><p>**Explicação:** A inversa de uma matriz \( A \) é dada por \( A^{-1} = \frac{1}{\text{det}(A)}</p><p>\text{adj}(A) \). O determinante é \( -2 \), e a matriz adjunta é \( \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 &</p><p>1 \end{pmatrix} \).</p><p>45. **Problema:** Calcule o valor de \( \int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 1) \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{16}{3} \).</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx - \int_{0}^{2} 2x \, dx + \int_{0}^{2} 1 \,</p><p>dx \). Calculando, obtemos \( \frac{16}{3} \).</p><p>46. **Problema:** Encontre o valor de \( \int_{0}^{\pi} \sin^2(x) \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{\pi}{2} \).</p><p>**Explicação:** Use a identidade \( \sin^2(x) = \frac{1 - \cos(2x)}{2} \). A integral é \(</p><p>\int_{0}^{\pi} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} \).</p><p>47. **Problema:** Resolva a equação \( \log(x^2) = 2 \).</p><p>**Resposta:** \( x = \pm 100 \).</p><p>**Explicação:** A equação \( \log(x^2) = 2 \) é equivalente a \( x^2 = 10^2 \), então \( x =</p><p>\pm 100 \).</p><p>48. **Problema:** Determine o valor de \( \int_{0}^{1} x^3 \, dx \).</p><p>**Resposta:** \( \frac{1}{4} \).</p><p>**Explicação:** A integral é \( \int_{0}^{1} x^3 \, dx = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} =</p><p>\frac{1}{4} \).</p><p>49. **Problema:** Calcule o produto vetorial dos vetores \( \mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 \\</p><p>1 \\ 3 \end{pmatrix} \) e \( \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix} \).</p><p>**Resposta:** \( \begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \).</p><p>**Explicação:** O produto vetorial é dado por \( \mathbf{a} \times \mathbf{b} =</p><p>\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix}</p><p>\), resultando em \( \begin{pmatrix} -10 \\ 1 \\ 6 \end{pmatrix} \).</p><p>50. **Problema:** Resolva a equação \( \sin(x) = \frac{1}{2} \).</p><p>**Resposta:** \( x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \) ou \( x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \), para \( n \in</p><p>\mathbb{Z} \).</p><p>**Explicação:** Os ângulos que satisfazem \( \sin(x) = \frac{1}{2} \) são \( \frac{\pi}{6} \) e \(</p><p>\frac{5\pi}{6} \) com períodos de \( 2\pi \).</p><p>51. **Problema:** Encontre a área de um círculo com raio 3.</p>