calculo hard 2DYB

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<p>B) 0</p><p>C) \(\frac{1}{4}\)</p><p>D) \(\frac{1}{3}\)</p><p>**Resposta: B**</p><p>**Explicação**: Primeiro, integramos a função:</p><p>\(\int (4x^3 - 3x) \, dx = x^4 - \frac{3}{2}x^2 + C\).</p><p>Avaliamo de 0 a 1:</p><p>\[(1^4 - \frac{3}{2}(1^2)) - (0^4 - \frac{3}{2}(0^2)) = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2}\].</p><p>O valor total da integral é 0, o que confirma que a área sob a curva entre 0 e 1 cancela.</p><p>6. Qual é a equação da reta tangente à função \( h(x) = x^2 + 2x \) no ponto \( x = 1 \)?</p><p>A) \( y = 3x - 1 \)</p><p>B) \( y = 4x - 1 \)</p><p>C) \( y = 2x + 1 \)</p><p>D) \( y = x + 3 \)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação**: Para encontrar a reta tangente, precisamos da derivada \( h'(x) = 2x + 2 \).</p><p>Avaliando em \( x = 1 \): \( h'(1) = 2(1) + 2 = 4 \). Agora, encontramos \( h(1) = 1^2 + 2(1) = 3</p><p>\). Assim, a equação da reta tangente é \( y - 3 = 4(x - 1) \), que simplifica para \( y = 4x - 1 \).</p><p>7. Qual das opções se apresenta como um ponto de inflexão para \( f(x) = x^4 - 4x^2 \)?</p><p>A) \( x = 0 \)</p><p>B) \( x = 1 \)</p><p>C) \( x = -1 \)</p><p>D) Não há ponto de inflexão</p><p>**Resposta: D**</p><p>**Explicação**: O ponto de inflexão ocorre quando a segunda derivada muda de sinal.</p><p>Calculando \( f'(x) = 4x^3 - 8x \) e \( f''(x) = 12x^2 - 8 \). Para \( f''(x) = 0 \), temos \( 12x^2 - 8</p><p>= 0 \Rightarrow x^2 = \frac{2}{3} \). A função é sempre concava para cima ou para baixo em</p><p>torno desses pontos, portanto não há ponto de inflexão.</p><p>8. Qual é a função primitiva de \( f(x) = \sec^2(x) \)?</p><p>A) \( \tan(x) + C \)</p><p>B) \( -\cot(x) + C \)</p><p>C) \( \sin(x) + C \)</p><p>D) \( \cos(x) + C \)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação**: Uma das propriedades básicas do cálculo é que a derivada de \( \tan(x) \)</p><p>é \( \sec^2(x) \). Assim, a função primitiva, ou integral indefinida, de \( f(x) \) é \( \tan(x) + C</p><p>\).</p><p>9. Calcule o valor do limite: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 5</p><p>C) 1</p><p>D) 10</p><p>**Resposta: B**</p><p>**Explicação**: Usamos o fato que \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = k \) para \( k = 5 \).</p><p>Logo, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{5x} \cdot 5 = 1 \cdot 5 =</p><p>5 \).</p><p>10. Determine as raízes da equação \( x^2 - 5x + 6 = 0 \).</p><p>A) \( 2 \) e \( 3 \)</p><p>B) \( -2 \) e \( -3 \)</p><p>C) \( 0 \) e \( 6 \)</p><p>D) \( 1 \) e \( 5 \)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação**: Usamos a fórmula de Bhaskara:</p><p>\( x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \). Para \( a = 1, b = -5, c = 6 \):</p><p>\( x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} =</p><p>\frac{5 \pm 1}{2} \).</p><p>As raízes são \( 3 \) e \( 2 \).</p><p>11. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)?</p><p>A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \)</p><p>B) \( \frac{x}{x^2 + 1} \)</p><p>C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \)</p><p>D) \( \frac{2x}{\ln(x^2 + 1)} \)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação**: Usamos a regra da cadeia: \( f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot (2x) =</p><p>\frac{2x}{x^2 + 1} \).</p><p>12. O que representa a constante \( C \) na integral indefinida?</p><p>A) Uma constante qualquer</p><p>B) O valor da função em um ponto específico</p><p>C) O valor máximo da função</p><p>D) O limite da função</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação**: Na integral indefinida \( \int f(x) \, dx + C \), \( C \) representa qualquer</p><p>constante, pois a derivada de uma constante é zero.</p><p>13. Calcule \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \).</p><p>A) 0</p><p>B) 2</p><p>C) 4</p><p>D) 8</p><p>**Resposta: C**</p><p>**Explicação**: O limite resulta em uma forma indeterminada \( \frac{0}{0} \). Podemos</p><p>fatorar: \( \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)} = x + 2 \). Assim, \( \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \).</p><p>14. Qual é a integral de \( f(x) = \cos(2x) \)?</p><p>A) \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \)</p><p>B) \( 2 \sin(2x) + C \)</p><p>C) \( -2 \sin(2x) + C \)</p><p>D) \( \sin^2(x) + C \)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação**: A integral de \( \cos(kx) \) é \( \frac{1}{k} \sin(kx) + C \). Para \( \cos(2x) \),</p><p>temos \( \frac{1}{2} \sin(2x) + C \).</p><p>15. O que representa a derivada de uma função em um ponto?</p><p>A) O valor máximo da função</p><p>B) A inclinação da reta tangente ao gráfico</p><p>C) O valor da função</p><p>D) O valor integral da função</p><p>**Resposta: B**</p><p>**Explicação**: A derivada de uma função em um dado ponto representa a taxa de</p><p>variação naquele ponto, ou seja, a inclinação da reta tangente ao gráfico da função nesse</p><p>ponto.</p><p>16. Qual é o resultado da integral \( \int_0^{\pi/2} \sin(x) \, dx \)?</p><p>A) 1</p><p>B) 2</p><p>C) 0</p><p>D) \(\frac{1}{2}\)</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação**: A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) + C \). Avaliando de 0 a \(\frac{\pi}{2}\):</p><p>\[-\cos\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos(0) = -0 + 1 = 1\].</p><p>17. Para a função \( f(x) = x^3 - 3x \), encontre os pontos críticos.</p><p>A) \( x = 0 \) e \( x = \pm 1 \)</p><p>B) \( x = 1 \) e \( x = -1 \)</p><p>C) Não há pontos críticos</p><p>D) \( x = 0 \) somente</p><p>**Resposta: A**</p><p>**Explicação**: A derivada \( f'(x) = 3x^2 - 3 \) se anula quando \( x^2 - 1 = 0 \) resulta em \(</p><p>x = \pm 1 \) e \( x = 0 \).</p><p>18. Qual é a integral da função circular \( \int \tan(x) \, dx \)?</p><p>A) \( -\ln|\cos(x)| + C \)</p><p>B) \( \ln|\sin(x)| + C \)</p>