Geometria espacial e analítica

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<p>WILLIAN GOULART GOMES VELASCO</p><p>MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA</p><p>GEOMETRIA</p><p>PLANA,</p><p>ESPACIAL E</p><p>ANALÍTICA</p><p>Coordenador(a) de Conteúdo</p><p>Grazielle Jenske</p><p>Projeto Gráfico e Capa</p><p>Arthur Cantareli Silva</p><p>Editoração</p><p>Juliana Oliveira Duenha</p><p>Lucas Pinna Silveira Lima</p><p>Matheus Silva de Souza</p><p>Design Educacional</p><p>Patricia Peteck</p><p>Revisão Textual</p><p>Bruna da Silva, Carla Cristina Farinha,</p><p>Carlos Augusto Brito Oliveira, Cristina</p><p>Maria Costa Wecker, Elaine Machado,</p><p>Érica Fernanda Ortega e Harry Wiese</p><p>Ilustração</p><p>Andre Luis Azevedo da Silva, Bruno</p><p>Cesar Pardinho Figueiredo, Eduardo</p><p>Aparecido Alves e Geison Ferreira da</p><p>Silva</p><p>Fotos</p><p>Freepik</p><p>Shutterstock</p><p>Impresso por:</p><p>Bibliotecária: Leila Regina do Nascimento - CRB- 9/1722.</p><p>Ficha catalográfica elaborada de acordo com os dados fornecidos pelo(a) autor(a).</p><p>Núcleo de Educação a Distância. VELASCO, Willian Goulart Gomes;</p><p>SILVA, Márcia Erondina Dias de Souza da.</p><p>Geometria Plana, Espacial e Analítica / Willian Goulart Gomes</p><p>Velasco (Org.); Márcia Erondina Dias de Souza da Silva (Org.). - Indaial,</p><p>SC: Arqué, 2023.</p><p>360 p.</p><p>ISBN papel 978-65-6137-392-0</p><p>ISBN digital 978-65-6137-393-7</p><p>“Graduação - EaD”.</p><p>1. Geometria Plana 2. Espacial 3. Analítica 4. EaD. I. Título.</p><p>CDD - 516.32</p><p>EXPEDIENTE</p><p>Centro Universitário Leonardo da Vinci.C397</p><p>FICHA CATALOGRÁFICA</p><p>RECURSOS DE IMERSÃO</p><p>Utilizado para temas, assuntos ou</p><p>conceitos avançados, levando ao</p><p>aprofundamento do que está sen-</p><p>do trabalhado naquele momento</p><p>do texto.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>Professores especialistas e</p><p>convidados, ampliando as</p><p>discussões sobre os temas</p><p>por meio de fantásticos</p><p>podcasts.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>Utilizado para agregar um</p><p>conteúdo externo. Utilizando</p><p>o QR-code você poderá</p><p>acessar links de vídeos,</p><p>artigos, sites, etc. Acres-</p><p>centando muito aprendizado</p><p>em toda a sua trajetória.</p><p>EU INDICO</p><p>Este item corresponde a uma</p><p>proposta de reflexão que pode</p><p>ser apresentada por meio de uma</p><p>frase, um trecho breve ou uma</p><p>pergunta.</p><p>PENSANDO JUNTOS</p><p>Utilizado para desmistificar pontos</p><p>que possam gerar confusão</p><p>sobre o tema. Após o texto trazer</p><p>a explicação, essa interlocução</p><p>pode trazer pontos adicionais que</p><p>contribuam para que o estudante</p><p>não fique com dúvidas sobre o</p><p>tema.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>Uma dose extra de conheci-</p><p>mento é sempre bem-vinda.</p><p>Aqui você terá indicações de</p><p>filmes que se conectam com</p><p>o tema do conteúdo.</p><p>INDICAÇÃO DE FILME</p><p>Uma dose extra de conheci-</p><p>mento é sempre bem-vinda.</p><p>Aqui você terá indicações de</p><p>livros que agregarão muito</p><p>na sua vida profissional.</p><p>INDICAÇÃO DE LIVRO</p><p>3</p><p>207U N I D A D E 3</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DO PONTO E RETA 208</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DA CIRCUNFERÊNCIA 256</p><p>A GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DAS CÔNICAS 306</p><p>5U N I D A D E 1</p><p>NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE GEOMETRIA 6</p><p>POLÍGONOS, TRIÂNGULOS, QUADRILÁTEROS E CÍRCULO 46</p><p>ESTUDO DAS RELAÇÕES E RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS 86</p><p>115U N I D A D E 2</p><p>ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS PLANAS 116</p><p>POLIEDROS E PIRÂMIDES 144</p><p>SÓLIDOS REDONDOS 180</p><p>4</p><p>SUMÁRIO</p><p>MINHAS METAS</p><p>NOÇÕES FUNDAMENTAIS DE</p><p>GEOMETRIA</p><p>DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO</p><p>Desenvolver o pensar geométrico e o raciocínio visual.</p><p>Compreender o modelo axiomático da geometria euclidiana.</p><p>Trabalhar as noções elementares: ponto, reta, plano e espaço.</p><p>Identificar ângulos e seus elementos.</p><p>Estudar proporcionalidade e o Teorema de Tales.</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 1</p><p>6</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>A palavra Geometria vem do grego: geo - terra, metria - medida e indica o</p><p>ramo da matemática destinado a resolver questões de forma, tamanho e po-</p><p>sição relativa de figuras e ainda questões com propriedades do espaço.</p><p>A geometria teve início de forma independente em culturas antigas, como</p><p>um conjunto de conhecimentos práticos sobre comprimento, área e volume.</p><p>Por volta do século III a.C., a geometria foi posta em uma forma axiomática</p><p>por Euclides, cujo tratamento, chamado de geometria euclidiana, estabeleceu</p><p>um padrão que perdurou por séculos.</p><p>A geometria é aplicada em diversas áreas da atividade humana. Uma evi-</p><p>dência muito forte desse uso é encontrada na arquitetura. A geometria de po-</p><p>sição é fundamental para viabilizar a elaboração de projetos estruturais</p><p>cujas formas arquitetônicas situam-se entre o limite da Matemática e da Física.</p><p>A natureza desperta a admiração do homem por sua beleza, harmonia de</p><p>cores e perfeição das formas, incentivando-o a estudar essas formas encon-</p><p>tradas e compreender suas relações perfeitas. O homem começou a imitar a</p><p>natureza em suas próprias construções, produzindo, assim, edificações cada</p><p>vez mais rígidas e perfeitas.</p><p>A geometria desenvolve o pensar geométrico ou o raciocínio visual. Se</p><p>essa matéria é deixada de lado, alguns transtornos podem ser causados no</p><p>dia a dia do aluno, pois em seu cotidiano ele deve ter noção de paralelis-</p><p>mo, perpendicularismo, medição (comprimento, perímetro, área, volume),</p><p>simetria, seja pelo visual (formas), seja pelo uso no lazer, na profissão ou na</p><p>comunicação oral.</p><p>Antes de nos envolvermos nos conceitos geométricos,</p><p>venha ouvir um resumo dessa área e alguns dos seus as-</p><p>pectos históricos mais marcantes.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>7</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19310</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>Vamos começar a fazer nossa caminhada por este mundo maravilhoso chamado</p><p>Geometria, que é considerada por muitos estudiosos uma das áreas clássicas da</p><p>matemática. Porém, para que possamos entender melhor o mundo da Geome-</p><p>tria é necessário que iniciemos nossos estudos pelo que há de mais elementar</p><p>nesta disciplina, ou seja, suas noções primitivas: ponto, reta e espaço. A partir</p><p>daí poderemos compreender as dimensões das formas geométricas. As noções</p><p>de dimensão e espaço são relativamente simples, e você não terá dificuldade de</p><p>compreendê-las. Na Geometria, essas noções são estabelecidas por meio de de-</p><p>finições que irão alicerçar os conceitos futuros trabalhados nesta disciplina.</p><p>Antes de apresentarmos as regras básicas (axiomas) que fazem com que</p><p>a geometria que estudamos seja similar ao que vemos ao nosso redor, vamos</p><p>explorar as noções de ponto, reta e plano. Após estudarmos esses conceitos,</p><p>vamos sedimentar o modelo geométrico com os axiomas que Euclides defi-</p><p>niu há centenas de anos.</p><p>No livro “A janela de Euclides” são apresentados aspectos</p><p>da história da geometria O autor apresenta, desde os</p><p>primórdios da geometria, com os axiomas de Euclides, até</p><p>algumas pesquisas atuais da área. A linguagem é clara e</p><p>voltada para divulgação.</p><p>INDICAÇÃO DE LIVRO</p><p>PONTO, RETA, PLANO E ESPAÇO</p><p>Partimos para nossa viagem de um ponto, passaremos por retas e planos. Estas</p><p>figuras, como em uma viagem, são notadas no espaço físico. Na matemática, elas</p><p>ganham um rigor conceitual específico sustentado às relações construídas no</p><p>espaço de abstração matemática. Existe, neste ponto, uma relação estrita entre</p><p>estas figuras no espaço físico e matemático. Deixando o rigor matemático para</p><p>depois, vamos imaginar objetos reais que nos dão ideia destas formas:</p><p>8</p><p>■ Um pequeno ponto em uma folha de papel nos dá a ideia de ponto</p><p>geométrico.</p><p>■ Um fio elétrico esticado de um poste a outro nos dá a ideia de uma</p><p>parte da reta.</p><p>■ A capa deste caderno de estudos nos dá a ideia de uma parte do plano.</p><p>■ O dado numerado que usamos para jogar nos dá a ideia de cubo.</p><p>É claro que podemos representar estas ideias, através de formas, numa folha de</p><p>papel, e cada uma delas possui regras</p><p>das medidas dos ângulos internos de qualquer triân-</p><p>gulo é igual a dois ângulos retos, ou seja, 180º.</p><p>Uma ideia para comprovação desta afirmação pode ser mostrada pela figura</p><p>a seguir:</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>6</p><p>4</p><p>Considere o ABC e a reta r que passa por A e é paralela a BC . Utilizan-</p><p>do propriedades de ângulos alternos internos, podemos perceber que y C�</p><p>^</p><p>e</p><p>x B� ^</p><p>. Como x y A o180^</p><p>, vemos que a soma dos ângulos internos de um</p><p>triângulo é 180º.</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>Figura 20 - Soma dos ângulos internos do triângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem:um triângulo de vértices A, B e C. Com os ângulos internos hachurados. Pelo vértice</p><p>A é traçada uma reta r paralela ao lado AB e os ângulos externos ao ângulo A são indicados por x e y.</p><p>VOCÊ SABE RESPONDER?</p><p>Observe que triângulos são polígonos convexos. Podemos demonstrar a soma</p><p>dos ângulos internos de um triângulo de outra maneira? Dica: pense nas fór-</p><p>mulas de soma dos ângulos internos que deduzimos.</p><p>2ª propriedade: A medida do ângulo externo de um triângulo é igual à soma</p><p>das medidas dos ângulos internos não adjacentes.</p><p>Considere a seguinte imagem, que servirá de inspiração para uma verificação</p><p>desta propriedade:</p><p>UNIASSELVI</p><p>6</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Note que B x o180</p><p>^</p><p>, pois são adjacentes suplementares. Como</p><p>A B C o180^^^</p><p>, pela Propriedade 1, temos que</p><p>B x A B C x A C^ ^^^^^ .</p><p>3ª propriedade: Todo ângulo externo de um triângulo é maior que qualquer um</p><p>dos ângulos internos não adjacentes.</p><p>Utilizando a imagem anterior para ilustrar nossas ideias, podemos perceber</p><p>que x A C^^</p><p>. Dessa forma, x A� ^</p><p>e x C�</p><p>^</p><p>.</p><p>Pontos notáveis do triângulo</p><p>Algumas retas traçadas a partir dos vértices e dos lados de um triângulo constituem</p><p>pontos especiais chamados de circuncentro, incentro, ortocentro e baricentro.</p><p>Vamos apresentar a característica e representação de cada um deles:</p><p>■ Circuncentro: Se traçarmos as mediatrizes dos três lados de um triângulo,</p><p>seu ponto de interseção é chamado circuncentro. Este ponto é chamado</p><p>circuncentro, porque está equidistante (à mesma distância) dos três vér-</p><p>tices do triângulo e é o centro de uma circunferência circunscrita a ele.</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 21 - Ângulo externo em um triângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C e com o lado AB prolongado pelo vértice B. O ângulo</p><p>externo ao ângulo B indicado por x.</p><p>6</p><p>6</p><p>■ Incentro: A bissetriz de um ângulo interno de um triângulo é a semirreta</p><p>interior do ângulo que o divide em dois ângulos geometricamente iguais.</p><p>O ponto onde as bissetrizes dos ângulos internos de um triângulo se in-</p><p>terceptam é chamado incentro, e é equidistante dos lados do triângulo.</p><p>Ao mesmo tempo, é centro de uma circunferência inscrita no triângulo.</p><p>�</p><p>� �</p><p>Figura 22 - Circuncentro / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem:um triângulo de vértices A, B e C com as mediatrizes de todos os lados traçadas. Esse</p><p>triângulo está inscrito em uma circunferência cujo centro é a interseção das retas mediatrizes</p><p>Figura 23 - Incentro / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as bissetrizes de todos os ângulos internos traçadas.</p><p>Esse triângulo tem uma circunferência em seu interior cujo centro é a interseção das retas bissetrizes.</p><p>�</p><p>� �</p><p>UNIASSELVI</p><p>6</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>■ Ortocentro: Um triângulo possui três alturas que se interceptam num</p><p>ponto chamado ortocentro. O ortocentro pode estar no interior ou no</p><p>exterior do triângulo, depende da forma deste.</p><p>�</p><p>� �</p><p>Figura 24 - Ortocentro / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as alturas dos três lados traçadas e cuja interseção</p><p>está indicada por O.</p><p>■ Baricentro: Um triângulo tem três medianas que se interceptam num</p><p>ponto chamado baricentro, que dista dois terços do vértice da mediana</p><p>correspondente. O baricentro é o centro de gravidade do triângulo.</p><p>Centro de gravidade é um conceito da física e trata-se do ponto onde as forças</p><p>(força peso) de aplicação se equilibram.</p><p>�</p><p>� �</p><p>�� ��</p><p>��</p><p>Figura 25 - Baricentro / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C com as medianas dos três lados traçadas e cuja interseção</p><p>está indicada por O. Os pontos médios são: do lado BC é M1, do lado AC é M2 e do lado BA é M3</p><p>6</p><p>8</p><p>SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS</p><p>Vamos aprofundar um pouco mais nosso estudo sobre os triângulos a partir das</p><p>relações de congruência. Neste tópico, nosso foco de análise será a formalização</p><p>matemática dos conceitos de congruência e de semelhança de triângulos.</p><p>Ao conhecermos as informações sobre os triângulos, que nos permitem afir-</p><p>mar se são congruentes e/ou semelhantes, dispomos de um rico recurso para de-</p><p>monstrações de outras relações válidas, pois várias propriedades são decorrentes</p><p>da congruência e semelhança de triângulos.</p><p>Noção de congruência e semelhança</p><p>Usualmente, utilizamos os termos congruente e semelhante para nos referirmos a</p><p>“coisas parecidas”. No contexto matemático, só podemos afirmar que duas figuras</p><p>são congruentes quando a sobrepomos e elas coincidem exatamente.</p><p>Em particular, o conceito de semelhança tem por base a proporcionalidade,</p><p>assim, duas figuras proporcionais ao serem sobrepostas podem coincidir exata-</p><p>mente, sendo, portanto, congruentes.</p><p>A notação que usamos para indicar que duas figuras são equivalentes é ≡ .</p><p>É importante notar que a utilização do novo termo semelhante é mais ade-</p><p>quada na teoria matemática, pois igualdade é uma relação (em particular) em</p><p>quantidades iguais. Aqui, estamos buscando comparar figuras e não valores.</p><p>A congruência ocorre entre duas figuras quando os lados e ângulos da</p><p>primeira estão em correspondência com os lados e ângulos da segunda, de</p><p>tal forma que os lados em correspondência têm a mesma medida, assim</p><p>como os ângulos.</p><p>A semelhança entre duas figuras ocorre quando os lados correspondentes têm</p><p>medidas proporcionais e os ângulos correspondentes são congruentes.</p><p>Figuras congruentes são semelhantes, mas nem todas as figuras semelhantes</p><p>são congruentes.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>6</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Congruência entre triângulos</p><p>Dois triângulos ABC e A B C′ ′ ′ são congruentes se seus lados e seus ângulos</p><p>são congruentes. Isto é: AB A B� � � , AC AC� � � , BC B C� � � , A A�</p><p>^</p><p>, B B�^</p><p>e C C�^</p><p>.</p><p>Por notação,  ABC A B C� � � �</p><p>Vejamos que, para concluir que dois triângulos são congruentes, podemos focar</p><p>em seis casos com três relações entre os lados e três relações entre os ângulos.</p><p>Assim, reduzimos os esforços para verificarmos congruência.</p><p>1º CASO - LADO-ÂNGULO-LADO (LAL):</p><p>Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes dois lados e o ângulo com-</p><p>preendido, então eles são congruentes.</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>Figura 26 - Caso LAL de congruência</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’,</p><p>BC congruente a B’C’ e os ângulos B e B’ congruentes</p><p>7</p><p>1</p><p>2º CASO - ÂNGULO-LADO-ÂNGULO (ALA):</p><p>Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a</p><p>ele adjacentes, então, esses triângulos são congruentes.</p><p>� �</p><p>�</p><p>�� ��</p><p>��</p><p>Figura 27 - Caso ALA de congruência</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’, e</p><p>os ângulos A e A’, B e B’ congruentes.</p><p>3º CASO - LADO-LADO-LADO (LLL):</p><p>Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes os três lados, então, esses</p><p>triângulos são congruentes.</p><p>Figura 28 - Caso LLL de congruência</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição: Dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com AB congruente a A’B’,</p><p>AC congruente a A’C’ e BC congruente a B’C’.</p><p>� �</p><p>�</p><p>�� ��</p><p>��</p><p>UNIASSELVI</p><p>7</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>4º CASO - LADO-ÂNGULO-ÂNGULO OPOSTO (LAAO):</p><p>Se dois triângulos têm ordenadamente congruentes um lado, um ângulo adja-</p><p>cente e o ângulo oposto a esse lado, então esses triângulos são congruentes.</p><p>� �</p><p>�</p><p>�� ��</p><p>��</p><p>Figura 29 - Caso LAAo de congruência</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição: dois triângulos com vértices ABC e A’B’C’ com</p><p>AB congruente a A’B’, os</p><p>ângulos A congruente a A’ e C congruente a C’</p><p>Utilizando os casos anteriores, podemos deduzir mais dois casos para triângulos</p><p>particulares.</p><p>■ 5º caso - Congruência de triângulos retângulos: se dois triângulos</p><p>retângulos têm ordenadamente congruentes um cateto e a hipotenusa,</p><p>então, esses triângulos são congruentes.</p><p>■ 6º caso: Congruência nos triângulos isósceles: se um triângulo é isós-</p><p>celes, os ângulos da base são congruentes.</p><p>Semelhança de triângulos</p><p>Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos orde-</p><p>nadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Isto é, existe uma</p><p>relação de proporcionalidade entre os triângulos.</p><p>Notação: O símbolo ~ significa “é semelhante a”.</p><p>Ou seja,  ABC A B C~ ′ ′ ′ se AB A B~ ′ ′ , AC AC~ ′ ′ , BC B C~ ′ ′ em que</p><p>vale a relação de congruência</p><p>AB</p><p>A B</p><p>AC</p><p>AC</p><p>BC</p><p>B C</p><p>k</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>� . O número real k é</p><p>chamado razão de semelhança.</p><p>7</p><p>1</p><p>Note que se k =1 , então, temos uma relação de congruência entre os triângulos.</p><p>Podemos ver que a semelhança torna rigorosa a noção de duas figuras pro-</p><p>porcionais em todas as suas medidas de lados e ângulos.</p><p>QUADRILÁTEROS E SEUS ELEMENTOS</p><p>Quadriláteros são polígonos simples de quatro lados.</p><p>Diretamente da definição, podemos perceber que:</p><p>■ um quadrilátero tem apenas duas diagonais.</p><p>■ a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º.</p><p>■ a soma dos ângulos externos também é 360º.</p><p>Dois lados não consecutivos de um quadrilátero denominam-se lados opostos</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 30 - Elementos de um polígono / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um polígono com vértices A, B, C e D com A e C opostos e B e D opostos. Entre A e C e</p><p>entre B e D são traçadas diagonais</p><p>Paralelogramos</p><p>Paralelogramos são quadriláteros planos convexos que têm os lados opostos paralelos.</p><p>A próxima imagem ilustra um paralelogramo de vértices A , B , C e D , com</p><p>altura DH relativa à base AB .</p><p>UNIASSELVI</p><p>7</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Entre os paralelogramos, destacam-se os seguintes casos particulares:</p><p>Retângulos são paralelogramos que têm os quatro ângulos congruentes</p><p>(retos).</p><p>Figura 32 - Retângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um retângulo de vértices A, B, C e D, com os quatro ângulos retos assina-</p><p>lados por um quadrado</p><p>Losangos são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes.</p><p>Figura 33 - Losango / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um losango de vértices A, B, C e D</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 31 - Paralelogramo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um paralelogramo de vértices A, B, C e D, com altura DH relativa à base AB.</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>7</p><p>4</p><p>Quadrados são paralelogramos que têm os quatro lados congruentes e os</p><p>quatro ângulos congruentes (retos).</p><p>Figura 34 - Quadrado / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um quadrado de vértices A, B, C e D com os quatro ângulos retos assina-</p><p>lados por um quadrado.</p><p>Propriedades dos paralelogramos</p><p>■ Todo quadrado é um retângulo.</p><p>■ Todo quadrado é um losango.</p><p>■ Em todo paralelogramo, cada diagonal o divide em dois triângulos con-</p><p>gruentes.</p><p>■ Em todo paralelogramo, dois lados opostos quaisquer são congruentes.</p><p>■ Em todo paralelogramo, dois ângulos opostos quaisquer são congruentes.</p><p>■ Em todo paralelogramo, as diagonais interceptam-se nos respectivos</p><p>pontos médios.</p><p>■ Todo paralelogramo que tem as diagonais congruentes é um retângulo.</p><p>■ Todo paralelogramo que tem as diagonais perpendiculares é um losango.</p><p>Em particular, o quadrado é ao mesmo tempo um retângulo e um losango; por-</p><p>tanto, possui as seguintes propriedades:</p><p>■ Suas diagonais são congruentes.</p><p>■ Suas diagonais são perpendiculares entre si.</p><p>■ Suas diagonais são bissetrizes dos ângulos internos.</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>UNIASSELVI</p><p>7</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Trapézios</p><p>Trapézios são quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos.</p><p>Os lados paralelos são chamados bases e a distância entre as duas bases cha-</p><p>ma-se altura.</p><p>A figura a seguir ilustra um trapézio.</p><p>� �</p><p>��</p><p>����������</p><p>����������</p><p>������</p><p>Figura 35 - Trapézio / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um trapézio de vértices A, B, C e D. Sua base maior é AB e a menor é DC. Sua altura é uma</p><p>perpendicular ao lado AB traçada a partir do vértice D.</p><p>No trapézio verifica-se que os ângulos</p><p>25 3</p><p>2</p><p>m</p><p>e</p><p>3</p><p>2</p><p>m, assim como os ângulos</p><p>3 3</p><p>2</p><p>2m</p><p>e C</p><p>^</p><p>, são</p><p>colaterais internos, formados por duas paralelas ( AB e CD ) com uma transversal.</p><p>Os lados paralelos são as bases do trapézio. Se os outros dois lados forem con-</p><p>gruentes, o trapézio será isósceles. Se não forem congruentes, o trapézio será escaleno.</p><p>CIRCUNFERÊNCIA E SUPERFÍCIES ESFÉRICAS</p><p>Neste tópico, vamos analisar as características de uma circunferência e seus ele-</p><p>mentos, mostrando como ela é formalizada dentro da geometria.</p><p>Definimos circunferência como um conjunto de pontos do plano equidis-</p><p>tantes de um ponto fixo desse plano.</p><p>Os elementos de uma circunferência são:</p><p>7</p><p>6</p><p>■ o ponto fixo é chamado centro da circunferência;</p><p>■ um segmento cujos extremos são o centro e um ponto qualquer da cir-</p><p>cunferência é chamado raio;</p><p>■ o conjunto dos pontos internos a uma circunferência é seu interior.</p><p>■ o conjunto dos pontos externos a uma circunferência é seu exterior.</p><p>■ uma corda de uma circunferência é um segmento que tem seus extremos</p><p>pertencentes à circunferência;</p><p>■ qualquer corda que passa pelo centro da circunferência é chamada diâmetro.</p><p>Notação C O r( , ) indica a circunferência de raio r e centro O .</p><p>��������</p><p>��������</p><p>�</p><p>Figura 36 - Circunferência / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: uma circunferência de raio r, centro O com seu interior e seu exterior discriminados.</p><p>ARCO DE CIRCUNFERÊNCIA E SEMICIRCUNFERÊNCIA</p><p>Vejamos o que é um arco de circunferência e uma semicircunferência.</p><p>Vamos considerar uma circunferência de centro O , com dois pontos A e B</p><p>desta circunferência, que não sejam extremidades do diâmetro. Nestas condições,</p><p>teremos dois arcos: um menor e um maior, como mostra a figura:</p><p>UNIASSELVI</p><p>7</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>�����</p><p>�����</p><p>�����</p><p>�����</p><p>�</p><p>Figura 37 - Arcos de circunferência / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: uma circunferência de centro O com pontos A e B destacados. Entre eles, está escrito</p><p>Arco maior e Arco menor.</p><p>O arco menor AB</p><p></p><p>é a reunião de todos os pontos da circunferência que estão</p><p>no interior do ângulo AOB</p><p>^</p><p>com extremidades nos pontos A e B .</p><p>O arco maior AB</p><p></p><p>é a reunião de todos os pontos de que estão no exterior do</p><p>ângulo AOB</p><p>^</p><p>com extremidades nos pontos A e B .</p><p>Os pontos A e B (extremidades do arco) são indicados como</p><p>AB</p><p></p><p>= arco menor e AxB</p><p></p><p>= arco maior .</p><p>Perceba que, se os pontos A e B são extremos de um diâmetro, então, a</p><p>circunferência foi dividida em duas partes iguais, chamadas semicircunferências.</p><p>Assim, qualquer diâmetro divide a circunferência em duas semicircunferências.</p><p>Círculo</p><p>Um círculo é um conjunto de pontos de um plano cuja distância de um ponto</p><p>dado desse plano é menor ou igual a uma distância, não nula, dada.</p><p>Podemos dizer, ainda, que círculo é a reunião de uma circunferência com a</p><p>sua região interior.</p><p>7</p><p>8</p><p>Observe que o centro, o raio, a corda, o diâmetro e o arco de um círculo são</p><p>os mesmos da circunferência. A diferença é a seguinte:</p><p>■ a circunferência é apenas o traçado.</p><p>■ o círculo é o traçado e todos os pontos dentro dele.</p><p>Setor circular, segmento circular e semicírculo</p><p>Vamos considerar um círculo de centro O com dois pontos A e B da circun-</p><p>ferência que não sejam extremidades de um diâmetro.</p><p>O setor circular menor AOB é a reunião dos pontos dos raios AO , OB e</p><p>de todos os pontos do círculo que estão no interior do ângulo AOB</p><p>^</p><p>.</p><p>Analogamente, o setor circular maior AOB é a reunião dos pontos dos raios</p><p>AO , OB e de todos os pontos do círculo que estão no exterior do ângulo AOB</p><p>^</p><p>.</p><p>Fazendo uma analogia com uma situação de nosso cotidiano, se o círculo</p><p>fosse uma pizza cortada em fatias (de maneira usual, por diâmetros), um setor</p><p>circular seria uma de suas fatias.</p><p>�����</p><p>�����</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 38 - Setores circulares / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: uma circunferência de centro O com pontos A e B destacados. Entre eles, está escrito setor.</p><p>O segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo.</p><p>UNIASSELVI</p><p>7</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>��������</p><p>��������</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 39 - Segmento circular / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: uma circunferência de centro O com pontos A e B destacados. Entre eles, é traçado um</p><p>segmento. A palavra segmento está presente em ambos os lados da reta.</p><p>O segmento circular AB é a intersecção do círculo com o semiplano de origem</p><p>na reta AB .</p><p>Note que, se A e B são extremidades de um diâmetro da circunferência,</p><p>ou do círculo, este círculo está dividido em dois semicírculos.</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>Uma vez que entendemos os polígonos e seus elementos, existem dois caminhos</p><p>naturais para nossos estudos: estabelecer as áreas dessas figuras e generalizar</p><p>nossas construções em duas dimensões para três dimensões. Em especial, essa</p><p>generalização permite que mais aplicações da geometria (agora espacial) possam</p><p>ser percebidas em nosso dia a dia.</p><p>8</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. Um grupo formado por quatro estudantes notou que a disposição de suas carteiras</p><p>formava a figura a seguir: (Cada um dos vértices representa a cadeira de um estudante)</p><p>Eles também notaram que valem as seguintes igualdades entre as medidas dos lados</p><p>das carteiras: DA BC= e AB CD= .</p><p>Qual relação podemos deduzir entre os triângulos ABC e CDA ? Apresente sua</p><p>resposta com justificativas e demonstrações.</p><p>2. Pode um setor circular coincidir com um segmento circular? Explique isso.</p><p>3. Para determinar o número de lados de um polígono, podemos utilizar a relação</p><p>d n� �3 , e a soma dos ângulos internos é S ni</p><p>o� � �( )2 180 .</p><p>I - Um polígono que possui 25 diagonais, partindo de cada vértice, tem 28 lados.</p><p>II - O número d = 17 é o número de diagonais que parte de cada vértice de um polígono</p><p>que possui 20 lados.</p><p>III - O dodecágono é o polígono cuja soma dos ângulos internos é 1800º.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) I, II e III.</p><p>b) III, apenas.</p><p>c) I e III.</p><p>d) II e III.</p><p>e) I apenas.</p><p>Fonte: Siqueira e Marcussi (2018).</p><p>Descrição da Imagem: um quadrilátero de vértices A, B, C e D e uma diagonal entre os vértices A e C.</p><p>8</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>4. Sobre as propriedades dos polígonos, analise as sentenças e classifique V para as</p><p>verdadeiras e F para as falsas:</p><p>I - Todos os lados de um polígono qualquer têm a mesma medida.</p><p>II - Um polígono côncavo é também não convexo.</p><p>III - Os ângulos de um polígono regular têm a mesma medida.</p><p>IV - A diagonal de um polígono é igual a razão do quadrado dos lados mais o triplo do</p><p>lado por dois.</p><p>Assinale a alternativa correta.</p><p>a) II e III estão corretas.</p><p>b) I, II e IV estão corretas.</p><p>c) II, III e IV estão corretas.</p><p>d) I e IV estão corretas.</p><p>e) Todas as afirmativas são corretas.</p><p>5. Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação</p><p>proposta entre elas:</p><p>I - Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um dos seus ângulos internos</p><p>medindo sempre 90°.</p><p>PORQUE</p><p>II - A hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo raso; e os catetos são os outros dois</p><p>lados.</p><p>A respeito destas asserções, assinale a opção correta.</p><p>a) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é justificativa correta da I.</p><p>b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é justificativa correta da I.</p><p>c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é proposição falsa.</p><p>d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é proposição verdadeira.</p><p>e) As asserções I e II são falsas.</p><p>8</p><p>1</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>Euclid. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commentary</p><p>by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.</p><p>8</p><p>3</p><p>1. Note que os triângulos CDA e ABC possuem os três lados congruentes (lado AC</p><p>é comum a ambos). Assim, pelo caso LLL (Lado, Lado e Lado) de congruência, podemos</p><p>concluir que ABC e CDA são congruentes.</p><p>2. Sim, é possível quando a corda que determina o segmento for um diâmetro do círculo. As-</p><p>sim, teremos um segmento que é um semicírculo e poderíamos ter um setor com essa área.</p><p>3. I - De acordo com os dados do enunciado, vemos que d n n n� � � � � � �3 25 2 28</p><p>II - Utilizando a relação fornecida, temos que d n d� � � � � �3 20 3 17 .</p><p>III - De acordo com a fórmula da soma dos ângulos internos,</p><p>S n n ni</p><p>o� � � � � � � � �( ) ( )2 180 1800 2 180 12 .</p><p>4. Analisando cada sentença, na ordem exibida no enunciado:</p><p>I - Falso: Um retângulo de lados 2cm e 3cm é um contraexemplo.</p><p>II - Verdadeiro: Um polígono pode ser côncavo ou convexo, e apenas uma dessas vale.</p><p>III - Verdadeiro: Por definição, os ângulos de um polígono regular têm a mesma medida.</p><p>IV - Falso: Um quadrado de lados 1cm tem como diagonal um segmento de medida 2</p><p>As únicas verdadeiras são II e III.</p><p>5. Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um dos seus ângulos internos medin-</p><p>do 90º. Os lados de um triângulo retângulo recebem o nome de hipotenusa e catetos. A</p><p>hipotenusa é o lado que fica oposto ao ângulo reto; e os catetos são os outros dois lados.</p><p>GABARITO</p><p>8</p><p>4</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>8</p><p>1</p><p>MINHAS METAS</p><p>ESTUDO DAS RELAÇÕES E RAZÕES</p><p>TRIGONOMÉTRICAS</p><p>DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO</p><p>Estudar as relações métricas no triângulo retângulo.</p><p>Compreender as razões trigonométricas de um triângulo qualquer.</p><p>Estabelecer as relações trigonométricas em triângulos retângulos.</p><p>Entender as principais propriedades das relações trigonométricas.</p><p>Estender as relações trigonométricas em triângulos quaisquer.</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 3</p><p>8</p><p>6</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>A trigonometria se originou antes da Era Cristã, quando os astrônomos que-</p><p>riam calcular distâncias que não se podiam medir, como, por exemplo, a medida</p><p>do raio da Terra, a distância da Terra à Lua e da Terra ao Sol. Inicialmente,</p><p>usou-se valer das propriedades de triângulos semelhantes para o cálculo dessas</p><p>distâncias. Por isso, a trigonometria foi considerada uma extensão natural da</p><p>geometria. Daí vem o seu significado: medida dos triângulos, sendo trigono-</p><p>metria uma palavra de origem grega formada por três radicais: tri três, gonos</p><p>= ângulos e metron = medir.</p><p>Apesar de os egípcios e de os babilônios já terem utilizado, de forma rudi-</p><p>mentar, as relações existentes entre lados e ângulos dos triângulos para resolver</p><p>problemas relacionados à agrimensura, navegação e astronomia, muitos historia-</p><p>dores presumem que o astrônomo grego Hiparco (190 a.C.–125 a.C.) tenha sido</p><p>o iniciador da trigonometria, por ter empregado pela primeira vez relações entre</p><p>os lados e os ângulos de um triângulo retângulo e por ter construído a primeira</p><p>Tabela Trigonométrica. Por seus feitos, ele é considerado o “Pai da Trigonometria”.</p><p>Durante muito tempo, Ptolomeu (125 a.C.) influenciou o desenvolvimento</p><p>da trigonometria. Sua mais importante contribuição foi o documento Alma-</p><p>gesto, baseado nos trabalhos de Hiparco e que contém uma tabela de cordas</p><p>correspondentes a diversos ângulos, por ordem crescente e em função da me-</p><p>tade do ângulo, que é equivalente a uma tabela de senos, bem como uma série</p><p>de proposições da atual disciplina.</p><p>Posteriormente, com o acesso ao manuscrito de Ptolomeu e aos trabalhos</p><p>dos hindus, que eram um povo bastante familiarizado com esse ramo da Mate-</p><p>mática, os árabes fizeram notáveis avanços e disseminaram os conhecimentos da</p><p>trigonometria pela Europa.</p><p>Atualmente, a Matemática Moderna ampliou o uso da trigonometria e a tor-</p><p>nou indispensável em outras áreas do conhecimento, como na eletricidade, me-</p><p>cânica, acústica, música, engenharia, arquitetura, medicina, eletrônica, navegação</p><p>marítima e aérea, cartografia, entre outros campos.</p><p>UNIASSELVI</p><p>8</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>Neste estudo, a abordagem da trigonometria está dividida em três tópicos, nos</p><p>quais se apresentam a trigonometria no triângulo retângulo. Discutiremos as</p><p>relações métricas em um triângulo retângulo, depois</p><p>vamos explorar as princi-</p><p>pais razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente), e, por fim, veremos como</p><p>estender para triângulos quaisquer (Leis dos Senos e Cossenos).</p><p>TRIÂNGULO RETÂNGULO E SEUS ELEMENTOS</p><p>A trigonometria, desde o início dos seus estudos, é embasada no triângulo re-</p><p>tângulo. Por isso, é importante estudar tanto as suas características, como os seus</p><p>elementos e as suas relações.</p><p>O triângulo retângulo é uma figura geométrica plana, composta por três lados</p><p>e três ângulos internos (é formado por dois lados do triângulo). É assim definido</p><p>por possuir um ângulo interno de 90° (ângulo reto).</p><p>Venham descobrir um pouco da história por trás dos triân-</p><p>gulos retângulos e das relações trigonométricas.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>Para que possamos estar bem preparados para nossa uni-</p><p>dade, é importante relembrarmos os principais aspectos e</p><p>propriedades dos triângulos. Recomendamos a vídeoaula,</p><p>a seguir, para relembrar tais fatos.</p><p>8</p><p>8</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19312</p><p>Os lados de um triângulo retângulo recebem nomes específicos: o lado</p><p>que for oposto ao ângulo reto é denominado hipotenusa, e os demais lados, que</p><p>formam o ângulo reto, serão chamados de catetos.</p><p>Cateto</p><p>Hipotenusa</p><p>Cateto</p><p>Figura 1 - Triângulo retângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com identificação dos catetos, hipotenusa e ângulo reto.</p><p>Hipotenusa é uma palavra de origem grega que significa “se estende de-</p><p>baixo” (dos ângulos agudos) e designa o lado mais longo de um triângulo</p><p>retângulo, oposto ao ângulo reto. A palavra cateto, também de origem grega,</p><p>indica perpendicularidade ou ângulo reto, ou seja, designa os dois lados</p><p>menores de um triângulo retângulo.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>Se analisarmos os catetos em relação ao ângulo, eles recebem um</p><p>complemento em sua denominação.</p><p>Por exemplo, na figura a seguir.</p><p>UNIASSELVI</p><p>8</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>30º</p><p>Cateto adjacente ao</p><p>ângulo de 30º</p><p>Cateto oposto ao</p><p>ângulo de 30º</p><p>Figura 2 - Catetos de um triângulo retângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com ângulo de 90º e 30º destacados. Os lados que formam o ângulo</p><p>de 90º estão indicados como Cateto Adjacente ao ângulo de 30º e Cateto Oposto ao ângulo de 30º.</p><p>O cateto que forma o ângulo de 30°, juntamente com a hipotenusa, é</p><p>denominado cateto adjacente, e o outro, que é o segmento oposto ao ângulo, é</p><p>chamado de cateto oposto.</p><p>No triângulo retângulo da imagem a seguir, destacamos:</p><p>■ BC é a hipotenusa e a , a sua medida.</p><p>■ AB e AC são catetos e c e b , respectivamente, suas medidas.</p><p>■ AH é a altura relativa à hipotenusa e h , a sua medida.</p><p>■ HB é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m , sua medida.</p><p>■ HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n , sua medida.</p><p>■ A</p><p>^</p><p>, B</p><p>^</p><p>e C</p><p>^</p><p>são os ângulos internos e med BAC( )^</p><p>, med ABC( )^</p><p>e</p><p>med ACB( )^</p><p>, respectivamente, suas medidas.</p><p>Figura3 - Elementos de um triângulo retângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo retângulo de vértices A, B e C com ângulo de 90º, altura relativa à hipote-</p><p>nusa indicada por h, catetos e hipotenusa indicados por b, c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura</p><p>em dois seguimentos m e n.</p><p>c</p><p>h b</p><p>n</p><p>a</p><p>m</p><p>B H</p><p>C</p><p>A</p><p>9</p><p>1</p><p>Relações métricas no triângulo retângulo</p><p>A partir dos elementos de um triângulo retângulo, podemos estabelecer</p><p>relações entre estas medidas e as demonstrar a partir da semelhança de triângulos.</p><p>Em qualquer triângulo retângulo, a altura relativa à hipotenusa divide o triângulo</p><p>em dois outros triângulos retângulos, semelhantes ao triângulo dado e semel-</p><p>hantes entre si.</p><p>Considerando o triângulo da imagem anterior e utilizando conceitos de seme-</p><p>lhança, temos as seguintes relações:</p><p>■  ABH ABC~</p><p>■  ACH ABC~</p><p>■  ABH ACH~</p><p>Exploraremos algumas relações juntos:</p><p>1ª Relação: considere os triângulos ABH e ABC</p><p>A</p><p>B H</p><p>c h</p><p>m</p><p>A</p><p>c b</p><p>aB C</p><p>Figura 4 - Triângulos ABH e ABC / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo ABC com ângulo de 90º no vértice A, hipotenusa a catetos b e c, ângulo B</p><p>hachurado. Triângulo ABH com ângulo de 90º no vértice H, hipotenusa c, catetos m e c, ângulo B hachurado.</p><p>Como H A� ^^</p><p>e B</p><p>^</p><p>aparece em ângulos os triângulos, temos que  ABH ABC~</p><p>Dessa proporção podemos escrever: 2c c a m c a m⋅ = ⋅ ⇒ = ⋅ .</p><p>O mesmo ocorre com os triângulos ACH e ABC , podemos escrever</p><p>b a n b a n� � � � � �2 .</p><p>UNIASSELVI</p><p>9</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida de um cateto é igual ao</p><p>produto da medida da hipotenusa pela medida da projeção do cateto considera-</p><p>do sobre a hipotenusa, ou seja b a n2 � � ou c a m2 � � .</p><p>Exemplo: neste triângulo retângulo, calcularemoss a medida da hipotenusa. As</p><p>medidas estão indicadas em centímetros.</p><p>c</p><p>a</p><p>9 B</p><p>A</p><p>15</p><p>Figura 5 - Triângulo ABC / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo ABC com hipotenusa a, um cateto 15 e altura destacada. Uma parcela do cateto</p><p>delimitada pela altura é indicada por 9.</p><p>Resolução: Sabemos que c a m2 � � e logo 15 92 � �a , desta forma a = =</p><p>225</p><p>9</p><p>25</p><p>Portanto, a hipotenusa desse triângulo mede 25 cm.</p><p>2ª Relação: considere os triângulos ABH e ACH .</p><p>Figura 6 - Triângulos ABH e AHC / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo AHC com ângulo de 90º no vértice H, hipotenusa b catetos h e n, ângulo C</p><p>hachurado e ângulo A indicado por Â2. Triângulo ABH com ângulo de 90º no vértice H, catetos m e h, ângulo B</p><p>hachurado e ângulo A indicado por Â1.</p><p>B H</p><p>A</p><p>h</p><p>m</p><p>A1</p><p>V</p><p>h</p><p>nH</p><p>b</p><p>c</p><p>A</p><p>A2</p><p>V</p><p>9</p><p>1</p><p>Note que H</p><p>^</p><p>aparece em ambos e A C1</p><p>� �</p><p>^</p><p>. Pela propriedade da semelhança</p><p>de triângulos, temos:  ABH ACH~ . Dessa proporção, podemos escrever:</p><p>h h m n h m n� � � � � �2 .</p><p>Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da altura relativa à</p><p>hipotenusa é igual ao produto das medidas dos segmentos que ela determina</p><p>sobre a hipotenusa, ou seja, h m n2 � � .</p><p>Exemplo: calcularemos o valor de x nesta figura a seguir:</p><p>x</p><p>a</p><p>12</p><p>Figura 7 - Triângulos retângulos com altura destacada / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com altura relativa à hipotenusa indicada por 12 e hipotenusa</p><p>segmentada em a e x.</p><p>Resolução: em qualquer triângulo retângulo, tem-se: h m n2 � � . Neste caso,</p><p>h =12 , n = 8 e m x= . Portanto: 12 8 144</p><p>8</p><p>182 � � � � �x x .</p><p>3ª Relação: considere os triângulos ABC e AHC , na seguinte figura, os</p><p>quais vamos realizar a comparação entre hipotenusa e cateto maior.</p><p>UNIASSELVI</p><p>9</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>c b</p><p>n</p><p>a</p><p>m</p><p>Figura 8 - Comparação entre triângulos ABC e AHC / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo retângulo de vértices A, B e C com ângulo de 90º altura relativa à hipotenusa</p><p>indicada por h, catetos e hipotenusa indicados por b,c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura em dois</p><p>seguimentos m e n.</p><p>Partindo das relações, onde b a n2 � � e c a m2 � � . Multiplicaremos membro a</p><p>membro as igualdades e obteremos: b c a n m2 2 2� � � � .</p><p>Como h m n2 � � , temos b c a h b c a h2 2 2 2� � � � � � � .</p><p>Em qualquer triângulo retângulo, o produto das medidas dos catetos é igual ao</p><p>produto da medida da hipotenusa pela medida da altura relativa à hipotenusa, ou</p><p>seja, b c a h� � � .</p><p>Exemplo: determinaremos a altura do triângulo com catetos 3, 4 e hipotenusa 5.</p><p>Resolução: utilizando a relação b c a h� � � , temos 4 3 5 12</p><p>5</p><p>� � � � �h h .</p><p>A quarta propriedade das relações métricas é um dos mais importantes</p><p>teoremas da matemática, conhecido como Teorema de Pitágoras, no qual dare-</p><p>mos maior enfoque a seguir.</p><p>O triângulo retângulo e o teorema de pitágoras</p><p>O Egito recebeu a dádiva de ter todo o seu território cortado pelo segundo</p><p>maior rio do mundo, em extensão, o rio Nilo (o primeiro é o rio Amazonas).</p><p>Aproveitando com sabedoria o rico húmus que as águas formavam ao longo das</p><p>margens, os egípcios desenvolveram toda a sua agricultura. Contudo, a dificul-</p><p>9</p><p>4</p><p>dade era que as cheias anuais destruíam toda a demarcação das propriedades</p><p>agrícolas. O apagamento das demarcações do Nilo tornou necessária a existência</p><p>dos mensuradores, conhecidos pelos egípcios por “esticadores de cordas”.</p><p>Para obter ângulos retos, os “esticadores de cordas” usavam uma corda</p><p>com 12 nós, com a mesma distância um do outro, e com ela construíam um triân-</p><p>gulo com vértices em três desses nós. O triângulo, assim obtido, possui lados que</p><p>medem três, quatro e cinco unidades de comprimento e é um triângulo retângulo.</p><p>Esse método é baseado na relação enunciada por:</p><p>O quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas</p><p>dos catetos.</p><p>c</p><p>B</p><p>A</p><p>C</p><p>b</p><p>a</p><p>a = b + c2 2 2</p><p>Figura 9 - Teorema de Pitágoras / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com vértices A, B e C, ângulo reto em A, catetos indicados por a</p><p>e b e hipotenusa por a. Abaixo da hipotenusa está escrito a² = b² + c².</p><p>Apesar de terem sido os egípcios os primeiros a utilizarem essa relação</p><p>para resolver problemas de medições de terras, foi Pitágoras de Samos (por volta</p><p>de 570 a.C.), filósofo e matemático grego, quem provou que ela é válida para todo</p><p>triângulo retângulo.</p><p>Demonstração do Teorema de Pitágoras</p><p>Na história da matemática, muitas foram as demonstrações do Teorema de</p><p>Pitágoras. Vejamos uma delas a partir de duas relações métricas do triângulo</p><p>retângulo, demonstradas anteriormente.</p><p>UNIASSELVI</p><p>9</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>c b</p><p>n</p><p>a</p><p>m</p><p>Figura 10 - Demonstração Teorema de Pitágoras / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo retângulo com altura relativa à hipotenusa indicada por catetos e hipotenusa</p><p>indicados por b, c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura em dois seguimentos m e n.</p><p>Utilizando as relações que já deduzimos, temos que b a n2 � � e c a m2 � � . So-</p><p>mando essas igualdades membro a membro e como m n a� � , obtemos:</p><p>b c a m n a a a2 2 2� � � � � � �( ) .</p><p>Existem diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras,</p><p>algumas utilizando outros elementos (mais visuais). Por ex-</p><p>emplo, podemos utilizar áreas. No link a seguir, podemos in-</p><p>teragir e explorar esta demonstração:</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>Exemplo: calcularemos a medida da hipotenusa do triângulo retângulo cujos</p><p>catetos medem 4 e 7.</p><p>Utilizando o Teorema de Pitágoras e identificando a hipotenusa por x , temos</p><p>x x2 2 24 7 65 65� � � � � .</p><p>RAZÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO</p><p>No estudo anterior, estabelecemos as bases necessárias para a compreensão</p><p>da Trigonometria, visto que esta é considerada uma extensão da Geometria.</p><p>9</p><p>6</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20483</p><p>Neste momento, daremos início ao estudo da Trigonometria. Focaremos as</p><p>relações trigonométricas no triângulo retângulo, que relaciona as medidas dos</p><p>lados de um triângulo com as medidas de seus ângulos e é de grande utilidade</p><p>na medição de distâncias inacessíveis ao ser humano, como, a altura de torres e</p><p>árvores, de montanhas ou a largura de rios e lagos.</p><p>Devido às propriedades de semelhanças entre triângulos, podemos construir</p><p>triângulos retângulos que possuem as mesmas medidas de ângulos, mas com me-</p><p>didas variadas de catetos e hipotenusas. Entretanto, devido às propriedades das</p><p>semelhanças, a razão entre cateto oposto e cateto adjacente, e a razão entre cateto</p><p>adjacente e hipotenusa também é a mesma para triângulos retângulos semelhantes.</p><p>Devido a estas propriedades, podemos estabelecer as relações trigonométri-</p><p>cas que apresentamos a seguir.</p><p>SENO</p><p>sen( )α α</p><p>�</p><p>cateto oposto ao ângulo</p><p>hipotenusa</p><p>COSSENO</p><p>cos( )a</p><p>a</p><p>=</p><p>medida do cateto adjacente a</p><p>medida da hipotenusa</p><p>TANGENTE</p><p>tg( )α α</p><p>�</p><p>medida do cateto oposto ao ângulo</p><p>medida do cateto aad ângulo α</p><p>SENO</p><p>Uma das constantes obtidas ao relacionar as medidas dos lados em</p><p>triângulos retângulos é conhecida por seno.</p><p>Em um triângulo retângulo qualquer, o seno de um ângulo agudo (menor</p><p>que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida da hipotenusa,</p><p>conforme observamos nos exemplos anteriores.</p><p>UNIASSELVI</p><p>9</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>Considerando, inicialmente, o ângulo de medida a1 da figura a seguir, de</p><p>vértice V e lados VA e VB .</p><p>B B B B1 2 3 4</p><p>B</p><p>A</p><p>A</p><p>1</p><p>2</p><p>3A</p><p>A4</p><p>A</p><p>V α1</p><p>Figura 11 - Ângulo alfa1 e várias perpendiculares / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um ângulo de vértice V e formado por segmentos VA e VB com perpendiculares A1B1,</p><p>A2B2, A3B3 e A4B4 com relação a VB.</p><p>No lado VB , consideremos pontos quaisquer B1 , B2 , B3 , B4 e os segmen-</p><p>tos A B1 1 , A B2 2 , A B3 3 , A B4 4 perpendiculares a VB . Os triângulos VA B1 1</p><p>, VA B2 2 , VA B3 3 , VA B4 4 , são todos semelhantes. Logo:</p><p>A B</p><p>VA</p><p>A B</p><p>VA</p><p>A B</p><p>VA</p><p>A B</p><p>VA</p><p>K1 1</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>3 3</p><p>3</p><p>4 4</p><p>4</p><p>1= = = =</p><p>.</p><p>Destas igualdades, podemos deduzir que o valor de K1 não depende do triângulo</p><p>retângulo escolhido. Ele é o mesmo para qualquer triângulo semelhante ao</p><p>AVB .</p><p>Se procedermos de forma similar, alterando o valor do ângulo a2 , diferente</p><p>de a1 , encontramos uma constante K2 que será diferente de K1 . Tal fato é de-</p><p>corrente da diferença dos valores dos ângulos.</p><p>Isto é, a razão K é uma característica de cada ângulo a, e seu valor é chamado</p><p>de seno do ângulo.</p><p>Assim, definimos sen( )a</p><p>a</p><p>=</p><p>medida do cateto oposto a</p><p>medida da hipotenusa</p><p>.</p><p>9</p><p>8</p><p>Exemplo: seja um triângulo retângulo com hipotenusa a , catetos 15 e 8 e ângulo</p><p>a oposto ao cateto de medida 8. Determine o valor de sen( )a .</p><p>Por Pitágoras, a a2 2 28 15 289 17� � � � � . Dessa forma sen( )a =</p><p>8</p><p>17</p><p>.</p><p>COSSENO</p><p>Com um procedimento semelhante ao apresentado anteriormente, podemos</p><p>definir outras razões entre as medidas de lados de um triângulo retângulo, cujos</p><p>valores dependam apenas da medida do ângulo considerado. Portanto, outra</p><p>constante obtida ao relacionar essas medidas é conhecida por cosseno.</p><p>Definimos o cosseno de um ângulo a como</p><p>cos( )a</p><p>a</p><p>=</p><p>medida do cateto adjacente a</p><p>medida da hipotenusa</p><p>.</p><p>Observe que A razão k é uma característica de cada ângulo, assim como discu-</p><p>timos no caso do seno.</p><p>Exemplo: seja um triângulo retângulo com hipotenusa a =10 , catetos b e</p><p>c = 5 , determine o valor de cos( )a .</p><p>O ângulo a oposto ao cateto b e a medida da hipotenusa é a =10 , logo,</p><p>cos( )a =</p><p>5</p><p>10</p><p>.</p><p>TANGENTE</p><p>Em um triângulo retângulo qualquer, a tangente de um ângulo agudo</p><p>(menor do que 90°) é a razão entre a medida do cateto oposto a ele e a medida</p><p>do cateto adjacente.</p><p>Assim como antes, essa razão é uma característica de cada ângulo a e seu valor</p><p>é chamado de tangente do ângulo a .</p><p>A palavra seno é derivada do latim sinus, que significa “baía” ou “dobra”. O</p><p>termo originalmente utilizado foi ardha-jiva (“meia-corda”), que foi abreviado</p><p>para jiva e, então, transliterada pelos árabes como jiba. Tradutores europeus</p><p>do século XII confundiram jiba com jaib, que significa “baía”, provavelmente</p><p>porque jiba e jaib são escritas da mesma forma na escrita arábica.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>9</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>Definimos tg( )α α</p><p>�</p><p>medida do cateto oposto ao ângulo</p><p>medida do cateto aad ângulo α</p><p>.</p><p>Exemplo: num triângulo retângulo, as medidas dos lados são expressas por</p><p>( )x −5 , x e ( )x + 5 . Determinaremos a tangente do ângulo agudo a , oposto</p><p>ao menor cateto do triângulo.</p><p>Utilizando o Teorema de Pitágoras,</p><p>( ) ( ) ( )x x x x x x x x x� � � � � � � � � � � � � � �5 5 20 0 20 0 0 202 2 2 2 ou</p><p>Substituindo o valor de x , temos que o cateto adjacente ao ângulo a é b = 20</p><p>e o cateto oposto ao ângulo é c � � �20 5 15 . Então, utilizando a razão da tan-</p><p>gente:</p><p>tg( )a = =</p><p>15</p><p>20</p><p>3</p><p>4</p><p>.</p><p>É comum confundirmos o nome de um ângulo com a sua medida. Quando</p><p>estamos falando num ângulo a , estamos nos referindo ao próprio ângulo, mas</p><p>usando sua medida em lugar de seu nome. É um “abuso” frequente e aceitável,</p><p>que busca simplificar a linguagem.</p><p>Existem outras relações trigonométricas que são derivadas do seno e</p><p>cosseno, chamadas: secante que vale 1</p><p>cosseno</p><p>, cossecante que vale 1</p><p>seno</p><p>e cotangente que é calculada por 1</p><p>tangente</p><p>.</p><p>Veja mais detalhes no vídeo a seguir:</p><p>https://youtu.be/gbuYwEvH87o. Aces-</p><p>so em: 25 maio 2023.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>https://youtu.be/gbuYwEvH87o</p><p>Ângulos notáveis</p><p>Os ângulos de 30°, 45° e 60° aparecem com frequência nos cálculos e, por</p><p>isso, são chamados notáveis. Veja como calcular o seno, o cosseno e a tangente</p><p>desses ângulos.</p><p>Para calcular as razões trigonométricas para o ângulo de 45°, consideraremos</p><p>o quadrado ABCD da figura seguinte.</p><p>Considere a seguinte imagem, que nos servirá de guia nos cálculos.</p><p>l l</p><p>l</p><p>l</p><p>A B</p><p>D C</p><p>d</p><p>45º</p><p>Figura 12 - Ângulo notável de 45º / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: quadrado de lados l com vértices A, B, C e D. Entre os vértices A e C é traçada uma diagonal</p><p>indicada por d e o ângulo de 45º está demarcado no vértice A.</p><p>Como o ABC é retângulo, com ângulo reto no vértice B , usando o Teorema</p><p>de Pitágoras temos que d l= 2 .</p><p>Utilizando as definições de seno, cosseno e tangente:</p><p>sen l</p><p>d</p><p>l</p><p>l</p><p>o( )45</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>= = = , cos l</p><p>d</p><p>l</p><p>l</p><p>o( )45</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>= = = ,</p><p>tg l</p><p>l</p><p>o( )45 1= = .</p><p>Para calcularmos as razões para os ângulos de 30º e 60º, usaremos um triângulo</p><p>equilátero de lado l . Tal estratégia é baseada no fato de os ângulos internos deste</p><p>triângulo medirem 60º.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>l</p><p>A</p><p>B</p><p>60º</p><p>CH</p><p>h</p><p>30º</p><p>l</p><p>2</p><p>l</p><p>2</p><p>l</p><p>Figura 13 - Ângulo notável de 30º e 60º / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo equilátero de lados l com vértices A, B e C. Do vértice A é traçada uma altura</p><p>indicada por h e demarca um ângulo de 30º no vértice A. Um ângulo de 60º, no vértice C é indicado.</p><p>Como, em um triângulo equilátero, a altura é também a mediatriz e mediana,</p><p>temos que o BH HC l</p><p>= =</p><p>2</p><p>. Utilizando o Teorema de Pitágoras, podemos con-</p><p>cluir que h</p><p>l</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>.</p><p>Usando as definições de seno, cosseno e tangente:</p><p>sen</p><p>l</p><p>l</p><p>o( )30 2 1</p><p>2</p><p>= = , cos</p><p>h</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>o( )30</p><p>3</p><p>2 3</p><p>2</p><p>= = = , tg</p><p>l</p><p>h</p><p>l</p><p>l</p><p>o( )30 2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>3</p><p>= = = .</p><p>Analogamente, para o ângulo de 60º</p><p>sen h</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>o( )60</p><p>3</p><p>2 3</p><p>2</p><p>= = = , cos</p><p>l</p><p>l</p><p>o( )60 2 1</p><p>2</p><p>= = , tg</p><p>h</p><p>l</p><p>l</p><p>l</p><p>o( )30</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3= = = .</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TRIGONOMETRIA EM UM TRIÂNGULO QUALQUER</p><p>Nos tópicos anteriores, vimos que os problemas envolvendo trigonometria</p><p>são resolvidos por meio da comparação com triângulos retângulos. Mas, no coti-</p><p>diano, nem sempre encontramos tamanha facilidade. Algumas situações podem</p><p>envolver outros tipos de triângulo, como o triângulo acutângulo ou o triângulo</p><p>obtusângulo. Para estes casos recorremos à lei dos senos e à lei dos cossenos, que</p><p>veremos a seguir.</p><p>Para lembrar:</p><p>• Em um triângulo acutângulo, os três ângulos são agudos, ou seja, menores do</p><p>que 90°.</p><p>• Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos, ou</p><p>seja, um ângulo maior do que 90° e dois ângulos menores do que 90°.</p><p>Lei dos senos</p><p>Consideraremos o triângulo acutângulo ABC, conforme figura a seguir onde:</p><p>■ a , b e c são as medidas dos lados.</p><p>■ h1 é a medida da altura AH1 .</p><p>■ h2 é a medida da altura AH2 .</p><p>Para cada ângulo agudo está associado um único valor para o</p><p>seno, para o cosseno e para a tangente, em situações que envolvem ângulos</p><p>não notáveis, não precisamos calculá-los sempre, para isso foi construída uma</p><p>tabela trigonométrica (no quadro 8), que nos fornece esses valores.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>B CH</p><p>b</p><p>A</p><p>H</p><p>c</p><p>a</p><p>1</p><p>h2</p><p>h1</p><p>Figura 14 - Lei dos senos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo com vértices A, B e C e alturas h1 relativa ao vértice A e h2 relativa ao vértice</p><p>C. Os pés das alturas são, respectivamente, H1 e H2. Os lados são indicados por c para AB, a para BC e b para AC.</p><p>Agora, consideremos os triângulos retângulos ABH1 e ACH1 .</p><p>No triângulo retângulo ABH1 , considere o ângulo B</p><p>^</p><p>, assim, temos:</p><p>sen B h</p><p>c</p><p>h c sen B( ) ( )1</p><p>1</p><p>^ ^</p><p>.</p><p>A mesma relação podemos estabelecer no triângulo retângulo ACH1 com re-</p><p>lação ao ângulo C</p><p>^</p><p>sen C h</p><p>b</p><p>h b sen C( ) ( )1</p><p>1</p><p>^ ^</p><p>.</p><p>Comparando, podemos escrever:</p><p>c sen B b sen C c</p><p>sen C</p><p>b</p><p>sen B</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>^^</p><p>^ ^ .</p><p>Utilizando a mesma estratégia para os triângulos retângulos BCH2 e ACH2 ,</p><p>podemos concluir que:</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>a sen B b sen A a</p><p>sen A</p><p>b</p><p>sen B</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>^ ^</p><p>^ ^ .</p><p>Combinando as equações, temos a Lei dos Senos.</p><p>Em um triângulo qualquer, as medidas dos lados são proporcionais aos senos</p><p>dos ângulos opostos. Isto é a</p><p>sen A</p><p>b</p><p>sen B</p><p>c</p><p>sen C( ) ( ) ( )</p><p>� � ^^^</p><p>.</p><p>Exemplo: em um triângulo isósceles, a base mede 9 cm e o ângulo oposto a base</p><p>mede 120°. Vamos determinar a medida dos lados congruentes do triângulo.</p><p>Note que, como o triângulo é isósceles e a soma dos ângulos internos de um</p><p>triângulo é 180º, os ângulos adjacentes à base medem 30º.</p><p>Usando a lei dos senos, temos:</p><p>9</p><p>120 30</p><p>9 30</p><p>120</p><p>9 3</p><p>3</p><p>3 3</p><p>sen</p><p>x x sen</p><p>seno o</p><p>o</p><p>o( )</p><p>( )</p><p>(</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � .</p><p>Portanto, cada um dos lados mede 3 3 cm.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>Lei dos cossenos</p><p>Consideremos o triângulo acutângulo ABC da imagem:</p><p>B C</p><p>b</p><p>A</p><p>c</p><p>a</p><p>m n</p><p>Figura 15 - Lei de Cossenos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo retângulo de vértices A, B e C com ângulo de 90º altura relativa à hipotenusa</p><p>indicada por h, catetos e hipotenusa indicados por b, c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura em</p><p>dois seguimentos m e n.</p><p>Temos:</p><p>■ a , b e c são as medidas dos lados do triângulo.</p><p>■ h é a medida da altura relativa ao lado BC do triângulo.</p><p>■ BH é a projeção do cateto AB sobre a hipotenusa e m , sua medida.</p><p>■ HC é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa e n , sua medida.</p><p>No triângulo retângulo ABH , aplicando o Teorema de Pitágoras, obtemos:</p><p>c h m h c m2 2 2 2 2 2� � � � � .</p><p>Aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retângulo ACH , obtemos:</p><p>b h n h b n2 2 2 2 2 2� � � � � .</p><p>Comparando as igualdades, temos:</p><p>b n c m b c m n2 2 2 2 2 2 2 2� � � � � � � .</p><p>Como a m n� � , podemos substituir n por a m− :</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>b c m a m b c m a am m b a c am2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2� � � � � � � � � � � � � �( )</p><p>No triângulo retângulo ABH , temos que:</p><p>cos B m</p><p>c</p><p>m c cos B( ) ( )^^</p><p>.</p><p>Então, b a c a c cos B2 2 2 2 ( ( ))^</p><p>.</p><p>Utilizando estratégias análogas para cos A( )^</p><p>e cos C( )^</p><p>, deduzimos o conjun-</p><p>to de equações que chamamos de Lei dos Cossenos.</p><p>Em todo triângulo, o quadrado da medida de um dos lados é igual à soma dos</p><p>quadrados das medidas dos outros dois lados menos duas vezes o produto das</p><p>medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao primeiro lado.</p><p>Isto é,</p><p>a b c b c cos A2 2 2 2 ( )^</p><p>.</p><p>b a c a c cos B2 2 2 2 ( )^</p><p>.</p><p>c a b a b cos C2 2 2 2 ( )^</p><p>.</p><p>Exemplo: calcule a medida y indicada no triângulo a seguir:</p><p>A</p><p>B</p><p>60º</p><p>C</p><p>y</p><p>12 cm</p><p>12 cm</p><p>8 cm</p><p>Figura 16 - Exemplo para Lei de Cossenos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo de vértices A, B e C. Com lado AB medindo 8, lado BC medindo 12 e lado AC</p><p>medindo y. O ângulo B é 60º.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 3</p><p>Resolução: aplicando a lei dos cossenos e usando a =12 , b y= , c = 8 e B o� 60</p><p>^</p><p>, temos:</p><p>y cos y yo2 2 2 212 8 2 12 8 60 208 96 112 4 7� � � � � � � � � � � �( )</p><p>Logo, a medida y encontrada é 4 7 cm.</p><p>A Lei dos Cossenos é um conjunto de equações que valem para quaisquer</p><p>triângulos, inclusive, os triângulos retângulos. Como o cosseno do ângulo de</p><p>90º é zero, então, teremos o Teorema de Pitágoras.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>Estudamos algumas razões trigonométricas definidas para ângulo agudo no</p><p>triângulo retângulo, tal qual ela surgiu há milhares de anos, com o objetivo de</p><p>resolver triângulos. Agora, faremos um estudo mais abrangente de seno, cosseno</p><p>e tangente, que é uma necessidade mais recente da matemática.</p><p>Neste novo contexto, o triângulo retângulo é insuficiente para as definições</p><p>Necessárias, e temos a necessidade de ampliar os conceitos da Trigonometria para</p><p>um novo “ambiente”, denominado circunferência trigonométrica ou ciclotrigonomé-</p><p>trico. Até agora, operamos com os valores de seno, cosseno e tangente no triângulo</p><p>retângulo, ângulo agudos. Mas o que acontece se o ângulo for superior a 90°?</p><p>Para responder</p><p>a esta questão, é preciso ampliar os conceitos estudados no-</p><p>triângulo retângulo, levando-os à circunferência trigonométrica.</p><p>1</p><p>1</p><p>8</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. Escreva o que representam as letras a, b, c, h, s e t no triângulo retângulo a seguir:</p><p>Figura – Elementos de um triângulo retângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo retângulo de vértices A, B e C com ângulo de 90o no vértice e altura relativa à</p><p>hipotenusa indicada por h, catetos e hipotenusa indicados por b, c e a. A hipotenusa a está dividida pelo pé da altura</p><p>em dois seguimentos s e f.</p><p>2. Quais são as três principais razões trigonométricas em um triângulo retângulo?</p><p>3. Um triângulo STU, com S o� 90^</p><p>, tem catetos com medidas iguais a 5 cm e 12 cm.</p><p>Analise as alternativas a seguir:</p><p>I - A hipotenusa mede 13 cm.</p><p>II - A medida da altura relativa à hipotenusa é h =</p><p>13</p><p>60</p><p>.</p><p>III - As medidas das projeções dos catetos sobre a hipotenusa são m =</p><p>25</p><p>13</p><p>e n =</p><p>144</p><p>13</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) I e III, apenas.</p><p>b) III, apenas.</p><p>c) I, apenas.</p><p>d) II e III, apenas.</p><p>e) I, II e III.</p><p>1</p><p>1</p><p>9</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>4. Assinale a alternativa que apresenta o valor correto de x em cada triângulo retângulo</p><p>a seguir, na ordem das imagens:</p><p>Figura – Três triângulos retângulos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são exibidos três triângulo retângulos com informações: a) hipotenusa medindo 10, cateto</p><p>medindo x e ângulo entre eles medindo 33º ; b) hipotenusa medindo x, cateto medindo 55 e ângulo oposto a ele</p><p>medindo 58º ; c) hipotenusa medindo 15, cateto medindo 12 e ângulo entre eles medindo x</p><p>a) 8,39 , 64,86 e 36º</p><p>b) 36º , 64,86 e 8,39</p><p>c) 64,86 , 36º e 8,39</p><p>d) 64,86 , 8,39 e 36º</p><p>e) 8,39 , 36º e 64,86</p><p>5. Numa fazenda, o galpão fica 50 m distante da casa. Considerando que x e y são, respec-</p><p>tivamente, as distâncias da casa e do galpão ao transformador de energia, conforme</p><p>mostra a figura a seguir, calcule as medidas x e y indicadas.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>Figura: Situação aplicada da Lei dos senos / Fonte: Castrucci e Giovanni Jr. (2009, p. 286).</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta uma desenho com as mesmas informações do enunciado, indicando um</p><p>triângulo com vértices no galpão, no transformador e na casa.</p><p>I - Podemos encontrar x m= 97 8, e y m= 95 1, .</p><p>PORQUE</p><p>II - Usamos o Teorema de Pitágoras e os valores das tangentes dos ângulos.</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>a) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.</p><p>b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>c) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>e) As asserções I e II são falsas.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BOYER, C. B. História da matemática. Trad. Elza F. Gomide. São Paulo:</p><p>Blücher, 1996.</p><p>BRASIL. Parâmetros curriculares nacionais: matemática. Secretaria de Educação Fun-</p><p>damental. Brasília - DF: MEC, 2000.</p><p>CARMO, M. P. do; MORGADO, A. C.; VAGNER, E. Trigonometria e números complexos. São</p><p>Paulo: SBM, 2001.</p><p>CASTRUCCI, B.; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. A conquista da matemática. São Paulo: FTD, 2009.</p><p>FACCHINI, W. Matemática: volume único. São Paulo: Saraiva, 1996.</p><p>GIOVANNI, J. R; BONJORNO, J. R; GIOVANNI JÚNIOR, J. R. Matemática fundamental: uma</p><p>nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.</p><p>GUELLI, O. Dando corda na trigonometria. São Paulo: Ática, 2000.</p><p>IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar: trigonometria. São Paulo: Atual, 2004.</p><p>v. 3.</p><p>IEZZI, G. Fundamentos da matemática elementar: complexos, polinômios e equações.</p><p>São Paulo: Atual, 1993. v. 6.</p><p>IMENES, L. M; LELLIS, M. Microdicionário de matemática. São Paulo: Scipione, 1998.</p><p>JODETTE, G. A.; SEIMETZ, R.; SCHIMITT, T. Trigonometria e números complexos. Brasília</p><p>- DF: UNB, 2006.</p><p>JENSKE, G. Trigonometria e números complexos. Centro Universitário Leonardo da Vinci.</p><p>Indaial: Uniasselvi, 2012.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1. a e b são medidas dos catetos;</p><p>- c é a medida da hipotenusa;</p><p>- h é a medida da altura relativa à hipotenusa;</p><p>- s é a medida da projeção ortogonal do cateto AB ;</p><p>- t é a medida da projeção ortogonal do cateto BC sobre a hipotenusa.</p><p>2. São elas, relativas a um ângulo a fixo:</p><p>sen( )a</p><p>a</p><p>=</p><p>medida do cateto oposto a</p><p>medida da hipotenusa</p><p>cos( )a</p><p>a</p><p>=</p><p>medida do cateto adjacente a</p><p>medida da hipotenusa</p><p>tg( )α α</p><p>�</p><p>medida do cateto oposto ao ângulo</p><p>medida do cateto aad ângulo α</p><p>.</p><p>3. I – Verdadeiro: Utilizando o Teorema de Pitágoras e identificando a hipotenusa por ${a}$,</p><p>temos que</p><p>a a2 2 25 12 169 169 13� � � � � � .</p><p>II – Falso: Utilizando as relações métricas em um triângulo retângulo e identificando a</p><p>altura por h , temos que</p><p>5 12 13 60 13 60</p><p>13</p><p>� � � � � �h h h</p><p>.</p><p>III – Verdadeiro: Utilizando as relações métricas em um triângulo retângulo, temos que</p><p>5 13 25</p><p>13</p><p>2 � � �m m</p><p>e</p><p>12 13 144</p><p>13</p><p>2 � � �n n</p><p>.</p><p>4. Utilizando os valores fornecidos e as definições de seno e cosseno:</p><p>a) cos</p><p>x x xo( ) , , ,33</p><p>10</p><p>0 839</p><p>10</p><p>0 839 10 8 39� � � � � � �</p><p>b)</p><p>sen</p><p>x x</p><p>xo( ) ,</p><p>,</p><p>,58 55 0 848 55 55</p><p>0 848</p><p>64 86� � � � � </p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>c) cos x x o( ) ,� � �</p><p>12</p><p>15</p><p>0 8 36</p><p>Use os seguintes dados cos o( ) ,33 0 839= , sen o( ) ,58 0 848= e cos o( ) ,36 0 8=</p><p>5. Utilizando a Lei dos Senos e utilizando os valores fornecidos, podemos garantir que I é</p><p>verdadeira</p><p>a</p><p>sen A</p><p>b</p><p>sen B( ) ( )</p><p>� ^^ ⇒</p><p>50</p><p>0 5 0 978, ,</p><p>=</p><p>x</p><p>⇒ 0 5 48 9, ,x = ⇒ x = 97 8,</p><p>a</p><p>sen A</p><p>c</p><p>sen C( ) ( )</p><p>�^ ^ ⇒</p><p>50</p><p>0 5 0 951, ,</p><p>=</p><p>y</p><p>⇒ 0 5 47 55, ,y = ⇒ y = 95 1,</p><p>Como o triângulo não é retângulo, no podemos usar o cálculo da tangente para deter-</p><p>minar a incógnita.</p><p>Use as seguintes relações: sen o( ) ,30 0 5= , sen o( ) ,78 0 978= , sen o( ) ,72 0 951=</p><p>.</p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>UNIDADE 2</p><p>MINHAS METAS</p><p>ÁREA E PERÍMETRO DE FIGURAS</p><p>PLANAS</p><p>DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO</p><p>Compreender o conceito de área.</p><p>Conhecer áreas de figuras planas.</p><p>Desenvolver fórmulas de áreas de para paralelogramos.</p><p>Entender as deduções de áreas de triângulos.</p><p>Calcular áreas de hexágonos e regiões delimitadas por polígonos regulares.</p><p>Estudar área de círculos e setores.</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 4</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>Olá, pessoal, preciso da ajuda de vocês para pensar em uma situação que ocor-</p><p>reu quando eu brincava com um tangram, aquele quebra-cabeças formado por</p><p>figuras geométricas.</p><p>Após algumas horas, eu consegui chegar nessa forma abaixo.</p><p>Figura 1 - Coração de tangram</p><p>Descrição da Imagem: foto de uma mão segurando entre os dedos polegar e indicador uma peça triangular de</p><p>madeira sobre um fungo de madeira cor cinza. Próximo à mão, temos figuras geométricas de madeira organizadas</p><p>e formando um coração. Neste coração falta uma peça, que estão na mão.</p><p>Eu gostaria de descobrir o espaço ocupado por essa figura; ou como costumamos</p><p>dizer em Geometria, sua área.</p><p>Como fazemos para encontrar áreas de figuras formadas pela combinação</p><p>de formas conhecidas?</p><p>PENSANDO JUNTOS</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>Observando com mais atenção, podemos perceber que nossa figura é forma-</p><p>da pela combinação de: quatro triângulos, um quadrado e um trapézio.</p><p>A alternativa mais simples é compreender a área de cada uma dessas figuras</p><p>e somar os valores. Ou seja, entender a área de toda a figura, se resume a saber a</p><p>área de cada pedacinho que a compõe.</p><p>Ainda podemos simplificar um pouco mais, o que vocês acham? Para</p><p>medirmos uma grandeza o ideal é utilizarmos uma superfície que será nossa</p><p>unidade básica. A partir daí comparamos quantas vezes essa superfície cabe</p><p>dentro das outras figuras.</p><p>No caso do nosso exemplo, a figura mais simples é o quadrado. Podemos</p><p>então, comparar todas as outras peças a este quadrado e então teremos a porção</p><p>do plano ocupada por este coração.</p><p>Por detrás desse exemplo simples, está toda uma dinâmica do estudo de áreas</p><p>de figuras poligonais: comparar o espaço ocupado por uma figura com a forma</p><p>mais simples que conhecemos, um quadrado.</p><p>VOCÊ SABE RESPONDER?</p><p>Caso nossa figura tenha</p><p>curvas, ou seja, um círculo, como calcular sua área?</p><p>Acredito que vocês ficaram intrigados com o tangram e</p><p>como eu demorei horas para fazer aquele coração. Neste</p><p>link a seguir, vocês poderão brincar com uma versão digital</p><p>desse jogo. Boa diversão!</p><p>EU INDICO</p><p>1</p><p>1</p><p>8</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20178</p><p>Antes de sabermos o que são áreas e aprendermos a calcular as áreas das prin-</p><p>cipais figuras planos, precisamos recordar os nomes e algumas propriedades</p><p>dessas figuras.</p><p>Neste podcast, vamos descobrir um pouco mais da história</p><p>das fórmulas que aparecerão em nossos estudos. Por exem-</p><p>plo, vocês sabiam que foi Euler quem utilizou o símbolo para</p><p>o valor de pi? Ou, vocês sabiam que a fórmula da área de</p><p>triângulos como conhecemos já era conhecida desde 499?</p><p>Venham comigo e play no conhecimento!</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>Quadriláteros são polígonos simples de quatro lados. Um quadrilátero tem</p><p>duas diagonais. A soma dos ângulos internos de um quadrilátero é 360º e a</p><p>soma dos ângulos externos também é 360º. Dois lados não consecutivos de</p><p>um quadrilátero denominam-se lados opostos.</p><p>Paralelogramos são quadriláteros planos convexos que têm os lados</p><p>opostos paralelos. Entre os paralelogramos, destacam-se os seguintes</p><p>casos particulares:</p><p>RETÂNGULOS</p><p>São paralelogramos que têm os quatro ângulos con-</p><p>gruentes (retos).</p><p>LOSANGOS</p><p>São paralelogramos que têm os quatro lados con-</p><p>gruentes.</p><p>QUADRADOS</p><p>São paralelogramos que têm os quatro lados con-</p><p>gruentes e os quatro ângulos congruentes (retos).</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>9</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19313</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>PROPRIEDADES DOS PARALELOGRAMOS</p><p>DIAGONAIS E</p><p>TRIÂNGULOS</p><p>INTERNOS</p><p>Em todo paralelogramo, cada diagonal o divide</p><p>em dois triângulos congruentes.</p><p>LADOS OPOSTOS</p><p>Em todo paralelogramo dois lados opostos</p><p>quaisquer são congruentes.</p><p>ÂNGULOS</p><p>OPOSTOS</p><p>Em todo paralelogramo dois ângulos opostos</p><p>quaisquer são congruentes.</p><p>INTERSEÇÃO DAS</p><p>DIAGONAIS</p><p>Em todo paralelogramo as diagonais</p><p>interceptam-se nos respectivos pontos médios.</p><p>QUANDO UM</p><p>PARALELOGRAMO</p><p>É UM RETÂNGULO</p><p>Todo paralelogramo que tem as diagonais</p><p>congruentes é um retângulo.</p><p>QUANDO UM</p><p>PARALELOGRAMO</p><p>É UM LOSANGO</p><p>Todo paralelogramo que tem as diagonais</p><p>perpendiculares é um losango.</p><p>Trapézios são quadriláteros que têm apenas dois de seus lados paralelos. Os</p><p>lados paralelos são chamados bases e a distância entre as duas bases cha-</p><p>ma-se altura. Os lados paralelos são as bases do trapézio. Se os outros dois</p><p>lados forem congruentes, o trapézio será isóscele. Se não forem congruentes,</p><p>o trapézio será escaleno.</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>Quando falamos em Áreas de Polígonos devemos entender que para determi-</p><p>nar a área de uma figura precisamos escolher uma unidade de medida e, então,</p><p>comparar a figura com essa unidade, isto é, saber “quantas” unidades precisamos</p><p>para “compor” a figura.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Observe a figura que está no quadriculado a seguir. Os quadradinhos que</p><p>estão no interior da figura representam sua superfície.</p><p>Figura 2 - Rede quadriculada / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: imagem de uma malha formada por aproximadamente 24 quadrados. Desses 24, 16 estão</p><p>delimitados por uma margem mais destacada.</p><p>Vamos calcular a área das principais figuras geométricas planas. Nas fórmulas a</p><p>seguir, usadas para os cálculos de área, usaremos a letra “ S ” de superfície.</p><p>De um ponto de vista mais rigoroso, é assim que entendemos o conceito de área.</p><p>Dada uma região plana, delimitada por uma curva sem autointerseção e que</p><p>começa e termina no mesmo ponto, a área S dessa região é um número real</p><p>positivo que satisfaz as seguintes condições:</p><p>1. duas figuras congruentes possuem a mesma área;</p><p>2. se duas figuras se intersectam no máximo pela sua fronteira, a área for-</p><p>mada pela união dessas figuras é a soma de cada área;</p><p>3. um quadrado de lado igual a 1 possui área igual a 1.</p><p>Em nossos estudos a unidade de área mais utilizada é o metro quadrado m2</p><p>e seus múltiplos; sempre vamos nos referir a “unidades de área”.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>Áreas e perímetro de figuras poligonais</p><p>Neste tópico, vamos estudar como calcular a área e o perímetro de vários polígo-</p><p>nos conhecidos. Apresentamos primeiro a noção de perímetro.</p><p>Um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos. A soma dos compri-</p><p>mentos dos lados é o perímetro do polígono.</p><p>É comum nos referirmos ao perímetro como a soma dos lados. Aqui, estamos</p><p>cometendo um abuso de linguagem e interpretando a palavra lado como com-</p><p>primento/ medida do lado.</p><p>Uma dica para lembrar o que significa perímetro é pensar em molduras de qua-</p><p>dros de arte. Como assim, vocês devem estar se perguntando.</p><p>Em geral, quadros artísticos são pintados em telas de formatos geométricos</p><p>como retângulos e quadrados. Outra característica, que sempre vemos nesses qua-</p><p>dros, são as molduras e elas devem cobrir todos os lados (sem sobrar e nem faltar).</p><p>Ou seja, para montarmos uma moldura precisamos saber o perímetro da tela.</p><p>Na sequência, analisamos as áreas dos quadriláteros mais usuais. Como cada</p><p>caso necessita de um raciocínio próprio, apresentaremos um estudo por figura.</p><p>A primeira área que veremos é a dos quadrados. Lembre que essa são as fi-</p><p>guras mais simples, pois todos os lados têm a mesma medida e todos os ângulos</p><p>são congruentes a noventa graus.</p><p>QUADRADO</p><p>A área de uma região quadrada, cujo</p><p>lado mede l unidades de comprimento, é</p><p>igual a l l l2 � � unidades de área, ou seja:</p><p>S l l l� � � 2 ℓ</p><p>ℓ</p><p>Figura 3 – Quadrado de lados l / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um quadrado cujos lados</p><p>estão indicados pela letra l.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Agora que já sabemos áreas de quadrados, podemos “complicar” um pouco mais</p><p>nossas figuras. Vamos calcular áreas de retângulos, estes são muito parecidos com</p><p>quadrados, mas agora não exigimos que os lados tenham mesma medida, apenas</p><p>os ângulos são congruentes a noventa graus.</p><p>RETÂNGULO</p><p>A área de uma região retangular cujo comprimento é a e cuja largura é b</p><p>é dada por a b⋅ unidades de área, ou seja: S a b� � .</p><p>A intuição que baseia este princípio é o fato de podermos subdividir qual-</p><p>quer retângulo em quadrados, mesmo quando as medidas de seus lados não</p><p>são números inteiros.</p><p>Considere o projeto de um local externo de uma casa apresentado na</p><p>imagem a seguir. Neste projeto, queremos construir um jardim quadrado em</p><p>um pátio retangular.</p><p>Observe que nossa medida básica é um quadrado de lados medindo 1 unidade</p><p>de área. Desta forma, para obter a relação l l⋅ para áreas de quadrados pre-</p><p>cisamos analisar casos particulares de medidas. Isto é:</p><p>a. l n= onde n é um número inteiro positivo: divida o quadrado em</p><p>n2 quadrados internos;</p><p>b. l m</p><p>n</p><p>= onde m e n são números inteiros positivos e primos</p><p>entre si: decompomos cada lado do quadrado em $m$ segmentos,</p><p>onde cada um tem comprimento</p><p>1</p><p>n</p><p>;</p><p>c. l a= onde a é um número irracional: de forma indireta, podemos</p><p>mostrar que se b e c são dois números tais que b a c< <2</p><p>, então</p><p>b S c< < . Isto nos mostra que S a= 2 .</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>Utilizando as fórmulas que apresentamos, podemos calcular as áreas ocupadas</p><p>pelo jardim e pela parte cimentada.</p><p>PARALELOGRAMO</p><p>A área da região limitada</p><p>por um paralelogramo é en-</p><p>contrada multiplicando-se</p><p>o seu comprimento (base)</p><p>pela sua largura (altura), ou</p><p>seja: S a b� �</p><p>Isto se deve ao fato de que</p><p>todo paralelogramo é equiva-</p><p>lente a um retângulo de base</p><p>e altura respectivamente con-</p><p>gruentes às do paralelogramo.</p><p>Figura 4 - Aplicação de área de quadrado e retângulo / Fonte: o autor.</p><p>Figura 5 - Paralelogramo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo de lados 7m e 6m e dentro desse temos um quadrado</p><p>de lados 3m. O retângulo é indicado como área cimentada e o quadrado como jardim.</p><p>Descrição da Imagem: Paralelogramo cuja altura mede h e</p><p>a base mede b . A figura está subdividida internamente em</p><p>quadrados</p><p>e são indicados alguns quadrados hachurados. Es-</p><p>tes quadrados hachurados estão replicados ao lado de fora da</p><p>figura, mostrando que ela pode ser equivalente a um quadrado.</p><p>Área ciementada</p><p>3 m 6 m</p><p>7 m</p><p>3 m</p><p>Jardim</p><p>b</p><p>h</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>De forma intuitiva, como os lados do paralelogramo são paralelos, se “forçarmos”</p><p>os lados a formarem ângulos de noventa graus com as bases, formaremos um re-</p><p>tângulo.</p><p>A próxima forma que analisamos é a dos losangos.</p><p>LOSANGO</p><p>Como um losango é um paralelogramo, se sabemos que seus lados medem a e</p><p>sua altura é b , então S a b� � .</p><p>A área da região limitada por um losango pode ser calculada usando suas</p><p>diagonais. Isto é, a área de um losango é igual à metade do produto das medidas</p><p>das diagonais:</p><p>S diagonal maior diagonal menor D d</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�( ) ( )</p><p>2 2</p><p>.</p><p>Onde D é a diagonal maior e d é a diagonal menor.</p><p>Uma justificativa</p><p>para a fórmula uti-</p><p>lizando as diago-</p><p>nais é a seguinte:</p><p>como em um lo-</p><p>sango as diagonais</p><p>se interceptam em</p><p>um ângulo de no-</p><p>venta graus e se</p><p>dividem nos seus</p><p>pontos médios,</p><p>podemos colocar o</p><p>losango dentro de</p><p>um retângulo cujos</p><p>lados têm medidas</p><p>iguais as diagonais. Desta forma, a área deste retângulo é o dobro da área</p><p>ocupada pelo losango.</p><p>Figura 6 - Losango / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um losango e suas duas diagonais estão com legendas</p><p>indicando a maior e a menor.</p><p>Diagonal maior</p><p>Diagonal menor</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>Observe que para desenvolvermos as fórmulas das áreas, nossa ideia é utilizar os</p><p>conhecimentos anteriores. Desta forma, buscamos formar e comparar as figuras</p><p>novas com as áreas que já sabemos calcular. Em particular, buscamos os casos</p><p>mais simples: formar quadrados e retângulos.</p><p>Antes de analisarmos figuras com três lados, apresentamos as áreas de trapézios.</p><p>TRAPÉZIO</p><p>A área da região limitada por um trapézio é igual à metade do produto da</p><p>altura pela soma das bases maior e menor:</p><p>S base maior base menor altura B b h</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �( ) ( ) ( )</p><p>2 2</p><p>.</p><p>Onde B é a base maior, b é a base menor e h a altura.</p><p>h</p><p>b</p><p>B</p><p>Figura 7 - Trapézio / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: temos um trapézio com base maior descrita por B , base menor por b e é demarcado</p><p>sua altura pela letra h .</p><p>Podemos deduzir está fórmula formando um paralelogramo formado pela combi-</p><p>nação do trapézio com uma cópia sua, porém, rotacionada em cento e oitenta graus.</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>O triângulo é um polígono especial. Se você o conhecer bem, saberá lidar com</p><p>os demais polígonos, pois todos podem ser triangularizados, ou seja, divididos</p><p>em triângulos internos.</p><p>TRIÂNGULO</p><p>A área da região triangular é igual à metade do produto da base pela altura,</p><p>ou seja: S</p><p>b h</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>.</p><p>Figura 8 - Paralelogramo formado a partir de dois trapézios iguais / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: Paralelogramo formado pela combinação do trapézio com uma cópia sua, porém, com</p><p>rotacionada de cento e oitenta graus.</p><p>O Teorema de Pitágoras é umas das grandes ferramentas</p><p>da Geometria. Este resultado nos permite calcular medidas</p><p>de lados de triângulos retângulos, quando sabemos apenas</p><p>duas (das três) medidas.</p><p>Utilizando as áreas que apresentamos, podemos verificar</p><p>este teorema. Vejam uma animação exibindo a relação entre</p><p>o Teorema de Pitágoras e áreas no link a seguir:</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>7</p><p>https://www.geogebra.org/m/xCYQdz5g</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>Para obtermos essa</p><p>fórmula geral, basta</p><p>notarmos que ao com-</p><p>binarmos um triângulo</p><p>de base b e altura h ,</p><p>formamos um parale-</p><p>logramo, cuja área é o</p><p>dobro da área do triân-</p><p>gulo original.</p><p>A área limitada por</p><p>um triângulo pode ser</p><p>calculada de diferentes</p><p>modos, dependendo</p><p>dos elementos conhe-</p><p>cidos. Vejamos alguns</p><p>exemplos.</p><p>Vamos ver agora</p><p>como podemos calcu-</p><p>lar a área de um triân-</p><p>gulo equilátero de lado</p><p>l . Iniciamos traçando</p><p>a altura do triângulo, e</p><p>com isso o dividimos</p><p>em dois triângulos re-</p><p>tângulos congruentes.</p><p>Com a ajuda do Teore-</p><p>ma de Pitágoras, encon-</p><p>traremos a medida do</p><p>cateto do triângulo em</p><p>destaque e, consequen-</p><p>temente, a altura do</p><p>triângulo equilátero. De</p><p>posse da altura do triân-</p><p>gulo, teremos condições</p><p>de encontrar sua área.</p><p>Figura 9 - Paralelogramo formado a partir de um triângulo</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Figura 10 - Triângulo equilátero / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo e a partir do prolongamento de seus</p><p>vértices é formado um paralelogramo, cuja área é o dobro da área do</p><p>triângulo original.</p><p>Descrição da Imagem: Triângulo equilátero com elementos destacados:</p><p>vértices A, B e C, e, lados l, altura h e o lado $BC$ está segmento em</p><p>seu ponto médio onde uma das metades tem tamanho l</p><p>2</p><p>.</p><p>D C</p><p>BA</p><p>A</p><p>CB</p><p>2</p><p>h</p><p>ℓ</p><p>ℓ</p><p>1</p><p>1</p><p>8</p><p>Pelo Teorema de Pitágoras:</p><p>l l h l l h l l h2 2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 2</p><p>2 4</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>� � � � � � �</p><p>�</p><p>( )</p><p>4 4 3 4 3</p><p>4</p><p>2 2 2 2 2 2</p><p>2</p><p>l l h l h h l</p><p>� � � � � �</p><p>h l h l</p><p>� � �</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>.</p><p>Se o lado do triângulo equilátero em estudo mede l , sua base também mede l ,</p><p>então, conhecida sua altura, a área será:</p><p>S b h l l l</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>.</p><p>Veremos agora como proceder para calcular a área de um triângulo qualquer</p><p>quando são conhecidos os três lados ( a , b e c ).</p><p>A área da região triangular pode ser calculada pela fórmula de Heron.</p><p>Heron de Alexandria foi um geômetra que viveu aproximad-</p><p>amente por volta de 10 d.C. e 75 d.C. Além de algumas in-</p><p>venções, foi responsável pela demonstração de várias fór-</p><p>mulas de áreas e volumes, presentes no seu livro A Métrica</p><p>(que foi encontrado em 1896).</p><p>Mais informações a respeito de Heron podem ser vistas no</p><p>texto da OBMEP, que pode ser acessado no link.</p><p>EU INDICO</p><p>Sabemos que em um triângulo S</p><p>b h</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>.</p><p>Porém, pelas relações métricas de triângulos, sua altura pode ser descrita</p><p>usando a medida de seus lados. Isto é, h</p><p>p p a p b p c</p><p>b</p><p>�</p><p>� � �2 ( )( )( )</p><p>, em que</p><p>a , b e c são os lados do triângulo, b é a base do triângulo e p</p><p>a b c</p><p>�</p><p>� �</p><p>2</p><p>é o</p><p>seu semiperímetro.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>9</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20184</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>Temos então:</p><p>S b h b p p a p b p c</p><p>p p a p b p c�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>( )( )( )</p><p>( )( )( ) .</p><p>Podemos ainda calcular a área do triângulo em função de dois lados e do seno</p><p>do ângulo compreendido entre eles. Vamos analisar a figura a seguir:</p><p>A</p><p>C</p><p>B</p><p>h</p><p>b</p><p>c</p><p>a</p><p>Figura 11 - Triângulo de lados a,b e c / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo com as seguintes informações destacadas: os lados medem a, b e c; os</p><p>vértices são A, B e C e altura h.</p><p>Neste caso S</p><p>b h</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>mas no triângulo ABC temos que h b C� � sen( ) , então,</p><p>podemos afirmar S</p><p>b h a b C�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>2</p><p>1</p><p>2</p><p>sen( ) .</p><p>Assim, podemos proceder com qualquer um dos três ângulos do triângulo.</p><p>A próxima figura que estudaremos será formada por triângulos equiláteros.</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>HEXÁGONO REGULAR</p><p>O hexágono regular é um polígono</p><p>especial, pois é formado por seis</p><p>triângulos equiláteros.</p><p>Sendo l o lado da região he-</p><p>xagonal, sua área será igual a</p><p>S l l</p><p>= =</p><p>6 3</p><p>4</p><p>3 3</p><p>2</p><p>2 2</p><p>.</p><p>Outros casos similares a este do</p><p>hexágona são os polígonos que</p><p>podem ser divididas em triângu-</p><p>los isósceles.</p><p>Figura 12 - Hexágono / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: hexágono dividido em seis</p><p>triângulo equiláteros. Um desses triângulos tem o</p><p>lado destacado pela letra l e altura h .</p><p>h</p><p>ℓ</p><p>ÁREA DA REGIÃO LIMITADA POR UM POLÍGONO REGULAR</p><p>Observe alguns exemplos de polígonos regulares:</p><p>■ Triângulo equilátero – polígono regular de três lados.</p><p>■ Quadrado – polígono regular de quatro lados.</p><p>■ Pentágono regular – polígono regular de cinco lados.</p><p>■ Octógono regular – polígono regular de oito lados.</p><p>Podemos perceber que se o polígono regular tem n lados, a região limitada por</p><p>ele pode ser decomposta em n regiões limitadas por triângulos isósceles. Em</p><p>cada um desses triângulos, a base é o lado ( l ) e a altura é o apótema ( a ) do</p><p>polígono regular.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>Um apótema de um polígono regular é o segmento perpendicular a um dos lados</p><p>do</p><p>polígono com uma extremidade no centro da circunferência inscrita (ou cir-</p><p>cunscrita) e a outra extremidade no lado do polígono.</p><p>A área da região limitada por um polígono regular de n lados pode então ser</p><p>escrita assim:</p><p>S n la nl a pa� � � �</p><p>2 2</p><p>( )</p><p>.</p><p>Em que: l é o lado lado, a é a apótema, p é o semiperímetro e logo nl p= 2</p><p>é o perímetro.</p><p>Nosso próximo estudo mudará a natureza das figura. Agora, vamos abor-</p><p>dar círculos.</p><p>Figura 13 - Apótemas de polígonos circunscritos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo, um quadrado e um hexágono com suas circunferências circuns-</p><p>critas. Em cada figura está indicada a apótema e sua medida. Respectivamente: , e .</p><p>Polígonos circunscritos e apótema</p><p>h</p><p>3</p><p>α=</p><p>L</p><p>2</p><p>α= L√3</p><p>2</p><p>α=</p><p>a=r a=r a=r</p><p>Um círculo é o conjunto de pontos de um plano cuja distância de um</p><p>ponto dado desse plano é menor ou igual a uma distância, não nula, dada.</p><p>Uma circunferência é o conjunto dos pontos equidistantes a um ponto</p><p>dado por uma medida fixada.</p><p>Os elementos dos círculos e circunferências são: centro, raio, diâmetro, corda</p><p>e arcos.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Áreas de figuras círculos e setores</p><p>Os antigos escribas, encarregados de fazer a</p><p>coleta de impostos, provavelmente come-</p><p>çaram a calcular a extensão dos campos</p><p>por meio de um simples golpe de vista.</p><p>Mas, certo dia, ao observar trabalha-</p><p>dores pavimentando com mosaicos</p><p>quadrados uma superfície retangular,</p><p>algum sacerdote deve ter notado que,</p><p>para conhecer o total de mosaicos, bas-</p><p>tava contar os de uma fileira e repetir</p><p>esse número tantas vezes quantas fileiras</p><p>houvesse. Assim nasceu a fórmula da área do</p><p>retângulo: multiplicar a base pela altura.</p><p>E a área do círculo? Conta-se que Ahmes (2000 a.</p><p>C.) encontrou a área de um círculo partindo da área de um quadrado cujo</p><p>lado tinha a mesma medida do raio. Desta forma, comprovou que o quadrado</p><p>estava contido no círculo mais de 3 vezes e um sétimo, que hoje conhecemos</p><p>como pi. Então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área</p><p>de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por</p><p>3,14. Interessante, não?</p><p>Claro que existem outras maneiras de chegarmos ao cálculo da superfície</p><p>do círculo, esta é apenas uma delas. Além disso, existem diferentes formas de</p><p>se analisar estes cálculos de área no campo prático. Sem mais delongas vamos</p><p>caminhar para mais uma etapa de nossa jornada pela geometria.</p><p>Neste vídeo aula do Instituto de Matemática Pura e Aplicada</p><p>(IMPA), somos apresentados a uma dedução do número p .</p><p>A descrição do vídeo é a seguinte: O número p é definido como</p><p>a razão entre o comprimento e o diâmetro de uma circunferên-</p><p>cia. Nesta aula discutimos como aproximações para o p po-</p><p>dem ser obtidas aproximando a circunferência por polígonos.</p><p>EU INDICO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20185</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>ÁREA DO CÍRCULO</p><p>Observe a sequência de regiões poligonais regulares inscritas na circunferência:</p><p>Figura 14 - Círculos e regiões poligonais / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: temos seis círculos em duas fileiras formados por três elementos. O primeiro círculo apre-</p><p>senta um triângulo inscrito, o segundo um quadrado inscrito, o terceiro um pentágono. O primeiro da segunda</p><p>linha apresenta um hexágono, o seguinte possui um octógono inscrito e o último é uma circunferência.</p><p>À medida que o número de lados ( n ) aumenta, o polígono regular tende a con-</p><p>fundir-se com a circunferência.</p><p>Assim, o perímetro tende a se aproximar cada vez mais do comprimento da</p><p>circunferência, que é 2pR , e o apótema tende a se aproximar cada vez mais do</p><p>raio R da circunferência.</p><p>Então, a região poligonal tende a se confundir com o círculo e sua área tende</p><p>a coincidir com a área do círculo.</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>ÁREA DO SETOR</p><p>CIRCULAR</p><p>A área de um setor cir-</p><p>cular é proporcional ao</p><p>comprimento do arco,</p><p>ou à medida do ângulo</p><p>central. Para calcular sua</p><p>área, basta fazermos uma</p><p>regra de três.</p><p>Assim, comparando</p><p>2prad com pR2 :</p><p>Figura 16 - Setor circular / Fonte: o autor.</p><p>Figura 15 - Área do círculo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: círculo com uma circunferência de raio R e em</p><p>destaque temos um setor circular de ângulo a .</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta uma circunferência de raio</p><p>r e com onze triângulos isósceles inscritos. Um desses triângulos tem</p><p>destacado seus lados de comprimento r e sua altura h relativa à</p><p>base de comprimento a .</p><p>r</p><p>h</p><p>r</p><p>a</p><p>R</p><p>α</p><p>Como a área da re-</p><p>gião limitada por um po-</p><p>lígono regular é dada pelo</p><p>produto do semiperíme-</p><p>tro pelo apótema, então a</p><p>área do círculo é:</p><p>S R R R� � � �</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2( )p p .</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>{α</p><p>π π α</p><p>rad</p><p>rad</p><p>�</p><p>� � �A</p><p>R</p><p>setorsetor</p><p>A R2</p><p>22</p><p>2</p><p>Se a estiver em graus:</p><p>{</p><p>α</p><p>π πα</p><p>o</p><p>setor</p><p>o</p><p>A</p><p>R</p><p>setor oA R</p><p>�</p><p>� � �360</p><p>22</p><p>360</p><p>E se tivermos o comprimento do arco</p><p>{l A</p><p>R</p><p>setor</p><p>R</p><p>setor</p><p>A lR</p><p>�</p><p>� � �2</p><p>22</p><p>2</p><p>p p</p><p>Claro que estas relações podem ser analisadas na prática. Exemplo na ima-</p><p>gem a seguir.</p><p>A área de um setor pode ser calculada dependendo das informações que o</p><p>problema traz. Vamos analisar dois exemplos:</p><p>1. Determine a área do setor usando que o raio é R cm= 8 e a = 30o . Use</p><p>p = 3 14, .</p><p>Solução: como conhecemos o raio e a medida do ângulo central, basta substituir</p><p>esses valores na fórmula da área do setor circular</p><p>A cmsetor</p><p>o</p><p>o�</p><p>� �</p><p>�</p><p>30 3 14 8</p><p>360</p><p>16 7</p><p>2</p><p>2, , .</p><p>2. Numa circunferência de área igual a 121 2pcm , calcule a área do setor</p><p>circular delimitado por um ângulo central de 120o .</p><p>Solução: para a solução desse problema devemos verificar que no numerador da</p><p>fórmula da área do setor circular, a medida do ângulo central a está multipli-</p><p>cando a área da circunferência, dessa forma, teremos:</p><p>A cmsetor</p><p>o</p><p>o�</p><p>� �</p><p>�</p><p>120 121</p><p>360</p><p>121</p><p>3</p><p>2p p</p><p>.</p><p>Para escrever este valor na forma decimal, basta dividir 121 por 3 e multiplicar</p><p>por 3,14.</p><p>1</p><p>3</p><p>6</p><p>ÁREA DO SEGMENTO CIRCULAR</p><p>Um segmento circular é uma região limitada por uma corda e um arco do círculo.</p><p>Para calcular a área do segmento circular, basta encontrar a área do setor e</p><p>subtrair a área do triângulo formado pela corda e o ângulo central a = AOB .</p><p>A</p><p>B</p><p>α</p><p>Neste caso, temos que A A Asegmento setorAOB AOB� �</p><p></p><p>.</p><p>ÁREA DA COROA CIRCULAR</p><p>Para o cálculo da coroa circular, basta</p><p>encontrar a área dos dois círculos e</p><p>fazer a diferença dos dois.</p><p>Ou seja</p><p>A R r R rcoroa � � � �p p p2 2 2 2( ) .</p><p>Onde R é o raio do círculo maior e r</p><p>o raio do círculo menor.</p><p>R</p><p>r</p><p>Figura 17 - Coroa circular / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: dois círculos concêntricos. O</p><p>maior tem raio R e o menor raio r . A coroa circular</p><p>formada pela diferença entre os raios está hachurada.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 4</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>Todo polígono, ou círculo, ocupa uma certa quantidade de superfície, uma certa</p><p>área. Na vida prática, conhecer essa área pode ajudar a calcular várias coisas.</p><p>Pode ser tamanho de um terreno, a quantidade de pisos necessários para cobrir</p><p>determinada superfície, quanto tecido é necessário para fazer um vestido, quanto</p><p>papel é necessário para imprimir um folder, e muitas outras coisas.</p><p>1</p><p>3</p><p>8</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. Sabe-se que a área do círculo é o conjunto de todos os pontos de um plano cuja</p><p>distância a um ponto fixo 0 é menor ou igual que uma distância r dada. Além disso, a</p><p>área do círculo é calculada pela fórmula , e a circunferência é calculada pela fórmula</p><p>, nas quais “pi” representa o valor constante de 3,1416 e r é o raio do círculo.</p><p>SIQUEIRA, R. A.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Calcule quantas pessoas cabem, aproximadamente, em uma praça circular de 20 m de</p><p>raio, considerando 5 pessoas por metro quadrado.</p><p>2. Na natureza, nos deparamos com diversas formas geométricas. Dentre elas, busca-</p><p>mos aquelas que possuem mais simetria, pois isso nos proporciona computar cálculos</p><p>mais simples. As formas mais simples, nesse sentido, são formadas por quatro lados</p><p>dispostos de tal forma que estes lados se conectam</p><p>matemáticas claras para sua representação.</p><p>Neste tópico, veremos como devem ser representadas.</p><p>Figura 1 – Ponto, reta, quadrado e cubo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são exibidos lado a lado a ilustração de um círculo, um segmento de reta, um quadrado</p><p>e um cubo.</p><p>Temos na figura acima um ponto, uma reta, um quadrado e um cubo, represen-</p><p>tando, respectivamente, os espaços de zero, de uma, de duas e de três dimensões.</p><p>Como vivemos num mundo de três dimensões, todas as formas com mais di-</p><p>mensões fogem a nossa percepção.</p><p>Um ponto não tem dimensão. Podemos imaginar que ao posicionar um objeto</p><p>sobre um ponto não teríamos como movimentá-lo sem que ele não saia dos limites</p><p>deste ponto. Ou seja, um local sem possibilidade de locomoção dimensional.</p><p>Uma reta tem apenas uma dimensão. Podemos dar o nome de compri-</p><p>mento à medida do segmento (parte, pedaço) de reta. Um segmento de reta é</p><p>parte de uma reta, e pode ser medido, pois é finito. Por exemplo, poderia ser</p><p>medido em centímetros.</p><p>Um plano tem duas dimensões. Podemos dar o nome de comprimento e</p><p>largura aos lados do quadrado que está representando o plano. Neste caso, o</p><p>quadrado é parte de um plano, e poderia ser medido, porque é finito e tem área.</p><p>Por exemplo, poderia ser medido em centímetros quadrados.</p><p>UNIASSELVI</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>Um espaço como este em que vivemos tem três dimensões. Podemos dar o</p><p>nome de comprimento, largura e altura às dimensões do cubo representado na</p><p>figura apresentada. Ele é parte de um espaço infinito, que pode ser medido. Por</p><p>exemplo, poderia ser medido em centímetros cúbicos. Ele se assemelha muito</p><p>aos objetos de nosso mundo físico.</p><p>• Um ponto pode ser colocado em uma reta, em um plano ou em um</p><p>espaço como o nosso.</p><p>• Uma reta pode ser colocada sobre outra, em um plano ou em nosso</p><p>espaço tridimensional.</p><p>• Um plano pode ser colocado sobre outro plano ou em um espaço</p><p>tridimensional.</p><p>• Mas não é possível encaixar um objeto em um espaço que tenha um</p><p>número menor de dimensões. Assim, uma reta não cabe em um pon-</p><p>to, um cubo não cabe em um plano nem em uma reta.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>A representação destas formas geométricas são:</p><p>a) O ponto é indicado por letras maiúsculas.</p><p>Exemplos:</p><p>Figura 2 – Pontos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentados dois pontos. Um indicado pela letra A e o outro pela letra B. Abaixo do</p><p>ponto A está escrito Ponto A e abaixo do ponto B está escrito Ponto B.</p><p>A</p><p>Ponto A</p><p>B</p><p>Ponto B</p><p>1</p><p>1</p><p>b) A reta é indicada por letras minúsculas.</p><p>Exemplos:</p><p>Figura 3 – Retas / Fonte: o autor.</p><p>Figura 4 – Planos alfa e beta / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentadas duas retas: uma indicada pela letra r e a outra pela letra s. Abaixo do</p><p>reta s está escrito Reta s e abaixo da reta s está escrito Reta s.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentados dois planos indicados pelas letras gregas alfa e beta. Abaixo do plano</p><p>alfa está escrito Plano alfa e abaixo do plano beta está escrito Plano beta.</p><p>r s</p><p>Reta r Reta s</p><p>c) O plano é indicado por letras gregas minúsculas: a (alfa), b (beta), g</p><p>(gama) etc.</p><p>Exemplos:</p><p>α β</p><p>Plano α Plano β</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>SEGMENTO DE RETA</p><p>Dados dois pontos distintos, a reunião do conjunto desses dois pontos com o</p><p>conjunto dos pontos que estão entre eles é um segmento de reta.</p><p>“Estar entre” é uma noção primitiva, que não definimos por ser muito básica.</p><p>Uma reta também pode ser indicada por dois de seus pontos, pois buscamos um</p><p>modelo de geometria em que sempre é possível conectar pontos.</p><p>Exemplo:</p><p>Figura 5 – Reta definida por dois pontos / Fonte: o autor.</p><p>Figura 6 – Reta r que passa pelo ponto A / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: é apresentada uma reta passando pelos pontos A e B e abaixo é apresentada uma notação</p><p>e sua pronúncia: AB com uma seta de duas pontas em cima, lê-se reta AB.</p><p>Descrição da Imagem: é apresentada uma reta, identificada por r, que passa pelo ponto A.</p><p>A B</p><p>Indicação: (lê-se: “reta AB”)AB</p><p>Perceba que os pontos A e B são as extremidades e os pontos que estão</p><p>entre A e B são pontos internos do segmento dado. Se os pontos A e B</p><p>coincidem ( A B= ), dizemos que o segmento é nulo.</p><p>SEMIRRETA</p><p>Observe a figura a seguir:</p><p>A r</p><p>Você pode verificar que em relação ao ponto A , a reta ficou dividida em duas partes:</p><p>1</p><p>1</p><p>Cada uma dessas partes é chamada semirreta, e o ponto A é chamado origem</p><p>das semirretas.</p><p>Dados dois pontos distintos A e B , em uma reta r , conforme representa-</p><p>mos na figura a seguir. A semirreta AC</p><p>� ���</p><p>de origem A é o conjunto dos pontos</p><p>compreendidos no segmento AB e BC , para os quais B está entre A e C .</p><p>Figura 7 – Semirretas que passam pelo ponto A / Fonte: o autor.</p><p>Figura 8 – Reta r que passa pelos pontos A, B e C / Fonte: o autor.</p><p>Figura 9 – Reta r divide o</p><p>plano alfa / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são exibidos dois segmentos distintos da reta da figura anterior. O primeiro segmento é</p><p>formado pelos pontos anteriores a A e o segundo, pelos pontos a partir de A</p><p>Descrição da Imagem: é exibida uma reta indicada por r e nela estão destacados os pontos A, B e C (nessa ordem).</p><p>Descrição da Imagem: é</p><p>exibida uma reta indica-</p><p>da por r e que divide um</p><p>plano alfa em dois semi-</p><p>planos, denotados por</p><p>alfa1 e alfa2. Abaixo da</p><p>figura está escrito alfa1</p><p>união alfa2 é igual a alfa.</p><p>A</p><p>AA</p><p>A</p><p>C rBA</p><p>O ponto A é a origem da semirreta AC</p><p>� ���</p><p>. Se A estiver entre B e C , a semirreta</p><p>AB</p><p>� ���</p><p>e a semirreta AC</p><p>� ���</p><p>são opostas.</p><p>SEMIPLANO</p><p>Se r ⊂ a (lê-se r está contido em alfa) e r divide o plano a em dois semiplanos.</p><p>A reta r é chamada reta origem.</p><p>Exemplo:</p><p>r1</p><p>2</p><p>21 =</p><p>α α</p><p>α</p><p>α α α</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>AXIOMAS</p><p>Euclides sistematizou a geometria através do método dedu-</p><p>tivo, que consiste em aceitar sem demonstração certas pro-</p><p>posições a respeito de um sistema, neste caso, os axiomas, e</p><p>demonstrar de maneira lógica, a partir dos axiomas, todas</p><p>as proposições válidas do sistema, os teoremas.</p><p>Isto provocou uma série de discussões entre os</p><p>matemáticos nos séculos seguintes. Atualmente ainda</p><p>há postulados de Euclides, que são objetos de estudos</p><p>e discussões. Este cenário é que originou o que chama-</p><p>mos hoje de Geometria Não Euclidiana.</p><p>Euclides foi o primeiro grande estudioso da Geometria e sua obra principal,</p><p>denominada “Os elementos”, alcançou mais de 1.500 edições. Apesar disso, ainda</p><p>hoje, mais de dois mil anos depois, os estudos de Euclides continuam válidos e</p><p>são a base da geometria estudada nas escolas. Além disso, podemos observar</p><p>aplicações dos teoremas e relações euclidianas em vários campos da ciência como</p><p>nas engenharias e áreas tecnológicas em geral.</p><p>Os escritos deste grande matemático grego compõem-se de treze livros ou capí-</p><p>tulos que contêm 465 proposições, 93 problemas e 372 teoremas. Toda esta obra foi</p><p>desenvolvida sobre um grupo de definições, quase todas resultantes de observações</p><p>experimentais, e em noções comuns (ou axiomas) e postulados.</p><p>Seguem alguns axiomas ou postulados relacionados aos elementos primitivos</p><p>da geometria:</p><p>■ Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.</p><p>■ Em um plano há infinitos pontos.</p><p>■ Por um ponto passam infinitas retas.</p><p>■ É possível traçar uma reta ligando dois pontos.</p><p>■ Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente</p><p>contida no plano.</p><p>■ Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.</p><p>■ Por três pontos não situados na mesma reta (não colineares) passa um e</p><p>somente um plano.</p><p>■ Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos.</p><p>1</p><p>4</p><p>■ Um plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.</p><p>■ Dada uma reta r e um ponto exterior P , existe exatamente uma reta que</p><p>passa em P e é paralela a r .</p><p>Para utilizarmos os postulados de Euclides é importante definirmos os termos</p><p>que utilizaremos:</p><p>PONTOS COPLANARES:</p><p>são pontos que pertencem a um mesmo plano.</p><p>PONTOS COLINEARES:</p><p>são pontos que pertencem a uma mesma reta.</p><p>FIGURA:</p><p>e os ângulos internos são todos</p><p>menores do que 180º. Também podemos caracterizar essas figuras ao tomarmos dois</p><p>pontos distintos no seu interior, podendo traçar um segmento de reta totalmente no</p><p>interior do quadrilátero.</p><p>SIQUEIRA, R. A.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Sabendo que os ângulos de um quadrilátero convexo medem x, 2x, 3x e 4x, calcule o</p><p>valor de x.</p><p>1</p><p>3</p><p>9</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>3. São muitas as formas poligonais que nos circundam. Um breve momento de observa-</p><p>ção de alguns objetos certamente lhe permitirá identificar triângulos, quadriláteros,</p><p>pentágonos, circunferências, dentre outros. Essas formas são muito utilizadas em apli-</p><p>cações por serem as mais simples de deduzirmos relações; além do fato de podermos</p><p>utilizá-las para decompor outras formas mais complexas em pedaços mais simples.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>Analise as sentenças a seguir:</p><p>I - O único vértice de uma circunferência é o seu centro.</p><p>II - A soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360°.</p><p>III - Uma estrela de cinco pontas é um exemplo de polígono convexo.</p><p>IV - A soma dos ângulos externos de qualquer quadrilátero é igual a 360°.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) II e IV, apenas.</p><p>b) III e IV, apenas.</p><p>c) I e III, apenas.</p><p>d) I, apenas.</p><p>e) I, II, III e IV.</p><p>4. A definição de círculo é o conjunto de pontos resultantes da união entre uma circun-</p><p>ferência e seus pontos internos. Em outras palavras, o círculo é a área cuja fronteira é</p><p>uma circunferência. Dessa maneira, a diferença fundamental entre círculo e circun-</p><p>ferência é que o círculo é toda a área interna de uma circunferência.</p><p>SIQUEIRA, R. A.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Existem muitos objetos e construções que lembram a forma de uma circunferência.</p><p>Assinale a alternativa correta que apresenta um deles:</p><p>a) Anel, bambolê e contorno de uma praça circular.</p><p>b) Bola de futebol, anel e contorno de praças circular.</p><p>c) Pizza, bola de basquete e anel.</p><p>d) Bola de futebol, bola de basquete e roda de bicicleta.</p><p>e) Anel, bambolê e pizza.</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>5. Em nosso cotidiano, constantemente nos deparemos com polígonos regulares e, tal-</p><p>vez, não percebemos. Um exemplo são os tradicionais balõezinhos de festas juninas.</p><p>Os modelos mais simples são formados por quatro losangos unidos dois a dois por suas</p><p>laterais e vértices, formando uma figura tridimensional.</p><p>Sabe-se que o losango possui quatro lados iguais, ângulos opostos iguais, diagonais</p><p>perpendiculares e dois eixos de simetria.</p><p>SIQUEIRA, R. A.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-</p><p>posta entre elas:</p><p>I - Um losango é também um paralelogramo. Todo losango é um paralelogramo</p><p>PORQUE</p><p>II - Um losango com ângulos retos é um quadrado</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>a) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>b) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.</p><p>d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>e) As asserções I e II são falsas.</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial,</p><p>posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004. v. 10.</p><p>EUCLID. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commen-</p><p>tary by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.</p><p>HILBERT, D. Fundamentos de Geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.</p><p>HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual,</p><p>2004. v. 9.</p><p>LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: SBM, 1991. (Coleção do Professor</p><p>de Matemática).</p><p>LIMA, E. L. Matemática e Ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção do Professor de Ma-</p><p>temática).</p><p>WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM,</p><p>2000.</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>1. Como o problema nos deu o diâmetro, para encontrarmos a área da circunferência, temos:</p><p>Como a cada metro quadrado podemos alocar 5 pessoas, o valor que procuramos é</p><p>FÓRMULA:</p><p>Utilize</p><p>2. Sabe-se que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é igual a 360°. Então:</p><p>3. I - Falso. Por definição, um círculo não tem vértices.</p><p>II - Verdadeiro – a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é igual a 360°.</p><p>III – Falso. Um segmento traçado entre dois vértices consecutivos da estrela não pertence</p><p>a seu interior. Logo, essa figura não é convexa.</p><p>IV - Verdadeiro - A soma dos ângulos externos de qualquer quadrilátero é igual a 360º.</p><p>4. Existem muitos objetos e construções que lembram a forma de uma circunferência ou</p><p>que possuem contorno na forma de uma circunferência, como as rodas de uma bicicleta</p><p>ou de um automóvel, anéis, placas de trânsito, tampas de panelas, contornos de praças</p><p>circulares, volante de um automóvel, dentre outros.</p><p>5. Losango ou rombo é um quadrilátero equilátero, ou seja, é um polígono formado por quatro</p><p>lados de igual comprimento. Um losango é também um paralelogramo. Todo losango é</p><p>um paralelogramo, e um losango com ângulos retos é um quadrado.</p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>MINHAS METAS</p><p>POLIEDROS E PIRÂMIDES</p><p>DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO</p><p>Reconhecer poliedros.</p><p>Aprender a utilizar e o significado da relação de Euler.</p><p>Identificar os poliedros de Platão.</p><p>Estudar prismas, suas áreas e seus volumes.</p><p>Definir pirâmides e calcular seus volumes e áreas.</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 5</p><p>1</p><p>4</p><p>4</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>Você sabe qual a conexão que existe entre o lápis, uma área da matemática e joias</p><p>de alto luxo? Se você pensou em “pressão”, não está errado, mas nosso foco é outro.</p><p>Agora se você não compreendeu, vejamos o que está acontecendo.</p><p>Tanto o grafite que nós usamos para riscar e criar marcas no papel quanto</p><p>os diamantes são feitos de carbono. Por um lado, temos um dos materiais mais</p><p>resistentes (os diamantes) e do outro, um dos mais suaves (o grafite). Dentre</p><p>diversos fatores, o mais importante na diferenciação da origem desses materiais</p><p>é a pressão e temperatura sob as quais foram expostos.</p><p>Agora que sabemos da parte, digamos, química e geológica, focaremos nas</p><p>características matemáticas e geométricas.</p><p>Um diamante, quando encontrado na natureza, é uma pedra sem apelo visual</p><p>e estético. Cabe aos designers de joias o trabalho de lapidar essas pedras e desven-</p><p>darem a beleza por trás da pedra bruta. Nessa etapa do processo, a matemática</p><p>permite que os diamantes brilhem mais.</p><p>A geometria (plana e espacial) é</p><p>o ramo da matemática responsável</p><p>por identificar formas, áreas e volu-</p><p>mes. Em especial, uma pedra bruta de</p><p>diamante pode ser trabalhada de ma-</p><p>neira a se assemelhar uma forma geo-</p><p>métrica em três dimensões. Não só a</p><p>pedra como um todo, mas suas faces</p><p>também são lapidadas para apresen-</p><p>tar formas e desenhos com simetria.</p><p>O profissional que lida com</p><p>diamantes precisa ter em mente os</p><p>seguintes aspectos: como otimizar</p><p>a forma natural da pedra bruta. Isto</p><p>pode ser desmembrado em outras</p><p>perguntas: qual a melhor forma</p><p>para essa pedra bruta, o que ficaria</p><p>mais proporcional? Quantas faces posso formar? Em cada face, quantas formas</p><p>simétricas podem ser lapidadas?</p><p>Figura 1 - Diamantes / Fonte: Freepik (2023, on-line).</p><p>Descrição da Imagem: 16 diamantes dispostos em</p><p>4 linhas com 4 colunas. Cada diamante apresenta um</p><p>formato geométrico distinto.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Ou seja, o designer está colocando em prática diversas ferramentas da geo-</p><p>metria matemática.</p><p>Neste tema, abordaremos aspectos matemáticas relacionados a formas e vo-</p><p>lumes de figuras no mundo tridimensional.</p><p>Além de presente em pedras preciosas, muitas formas da</p><p>natureza apresentam simetrias. O artista venezuelano Rafael</p><p>Araújo utiliza construções matemáticas</p><p>em três dimensões</p><p>para recriar figuras que vemos na natureza, ou construções</p><p>arquitetônicas.</p><p>Vejam seu processo criativo nesta reportagem.</p><p>EU INDICO</p><p>Neste Podcast, abordaremos a relação entre os objetos</p><p>matemáticos chamados poliedros e suas representações reais.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>Ao longo das próximas seções, utilizaremos diversos</p><p>resultados a respeito de polígonos.</p><p>Clique aqui para conferir um resumo com as principais</p><p>fórmulas.</p><p>1</p><p>4</p><p>6</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19314</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20187</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>O mundo que nos rodeia é repleto de objetos que têm três dimensões, ou seja,</p><p>podemos identificar os elementos altura, largura e profundidade. O ramo da</p><p>matemática que estuda essas três dimensões é a Geometria Espacial, com os</p><p>poliedros e corpos redondos.</p><p>Quando estudamos a Geometria Plana, estamos preocupados com apenas</p><p>duas dimensões: altura e largura. Apesar de não representar a realidade que ve-</p><p>mos, essa abordagem nos permite desenvolver diversas aplicações. Por exemplo,</p><p>dizer que “uma folha de papel é uma região retangular” é didaticamente adequado,</p><p>mas é necessário desconsiderar a espessura do papel que, por mínima que seja,</p><p>existe. A verdadeira representação geométrica de uma folha de papel seria um</p><p>tipo de poliedro chamado prisma, com suas três dimensões, e não uma região</p><p>retangular, com duas. Mas quando consideramos todas as características reais, os</p><p>problemas podem se tornar muito difíceis de serem estudados.</p><p>Por estes motivos, nós estudamos primeiro as propriedades das figuras</p><p>planas e, depois, passamos a estudar os sólidos geométricos. Nesse momento,</p><p>ganhamos diversas novas figuras para analisarmos, como os poliedros, os</p><p>prismas e as pirâmides.</p><p>Também é importante perceber que a noção de área ganha uma nova di-</p><p>mensão, e passamos a estudar os volumes, que, intuitivamente, representam a</p><p>quantidade que “cabe dentro” de uma figura em três dimensões.</p><p>Ao observarmos nosso entorno, encontraremos objetos que são limitados</p><p>apenas por superfícies planas, outros limitados apenas por superfícies curvas e,</p><p>ainda, outros limitados por superfícies planas e curvas.</p><p>Dessa forma, podemos definir um sólido geométrico como uma figura que</p><p>possui as dimensões de latitude, longitude e altitude e se classificam em poliedros</p><p>e não poliedros:</p><p>■ Os poliedros são sólidos geométricos limitados somente por super-</p><p>fícies planas.</p><p>■ Os não poliedros têm alguma superfície curvas.</p><p>A seguir, exploraremos estes sólidos com mais detalhes.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>4</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Poliedros</p><p>Já sabemos que poliedros são sólidos geométricos limitados por faces planas e</p><p>poligonais como apresentado nas imagens:</p><p>Figura 2 - Poliedros / Fonte: o autor.</p><p>Figura 3 - Elementos do poliedro / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: quatro figuras com três dimensões, dispostas em uma linha. A primeira figura do lado</p><p>esquerdo é um cubo, ao lado uma pirâmide com base retangular, ao seu lado um paralelepípedo e ao final, uma</p><p>pirâmide com base triangular.</p><p>Descrição da Imagem: um paralelepípedo com os elementos vértice, aresta e face indicados.</p><p>Os minerais de cristais é um exemplo de poliedro. Os profissionais de Cristalogra-</p><p>fia utilizam os conceitos de geometria plana e espacial.</p><p>Um poliedro é formado por faces, arestas e vértices. Cada face está contida em um</p><p>plano diferente. O encontro dos planos define um segmento de reta chamado de</p><p>aresta e o encontro das destas arestas determinam os vértices da figura espacial.</p><p>1</p><p>4</p><p>8</p><p>Note que cada aresta do poliedro pertence a duas faces e a dois vértices.</p><p>Como veremos nos próximos tópicos, podemos classificar poliedros com</p><p>relação às disposições de suas faces e a sua quantidade.</p><p>CONVEXIDADE DE UM POLIEDRO</p><p>Para caracterizar um poliedro convexo é necessário satisfazer às três condições</p><p>de existência:</p><p>1. Não há dois polígonos-face em um mesmo plano.</p><p>2. Cada lado de um dos polígonos-face é comum a dois e apenas dois dos</p><p>polígonos-face.</p><p>3. O plano de cada polígono deixa todos os outros polígonos em um mesmo</p><p>semiespaço determinado por esta face.</p><p>Visualmente, podemos interpretar essa definição pela seguinte noção: qualquer</p><p>reta que traçamos entre dois pontos de faces não coplanares sempre passa por</p><p>“dentro” do poliedro.</p><p>Veja como esta definição se configura nas representações:</p><p>Figura 4 - Poliedros convexo e não convexo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentados dois poliedros. No lado esquerdo, temos um poliedro com a descrição</p><p>Convexo e no direito um poliedro com a descrição Não convexo.</p><p>Um poliedro não convexo é também chamado de côncavo.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>4</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Conforme o número de faces um poliedro convexo recebe nomes especiais:</p><p>VOCÊ SABE RESPONDER?</p><p>Os poliedros ocorrem, naturalmente, na natureza, em formações minerais. Entre</p><p>os convexos e os não convexos, quais vocês acham que são mais encontrados?</p><p>Nº FACES NOME</p><p>4 Tetraedro</p><p>5 Pentaedro</p><p>6 Hexaedro</p><p>7 Heptaedro</p><p>8 Octaedro</p><p>9 Eneaedro</p><p>10 Decaedro</p><p>11 Undecaedro</p><p>12 Dodecaedro</p><p>13 Tridecaedro</p><p>14 Tetradecaedro</p><p>15 Pentadecaedro</p><p>20 Icosaedro</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Até este momento, nós apresentamos classificações gerais de poliedros. Pode parecer</p><p>que cada um deles é muito distinto dos demais, mas, como veremos a seguir, todo po-</p><p>liedro convexo satisfaz uma relação numérica envolvendo suas faces, arestas e vértices.</p><p>RELAÇÃO DE EULER</p><p>A relação numérica a seguir é um resultado matemático muito profundo sobre</p><p>poliedros (e formas geométricas), conhecido como Relação, ou Fórmula, de Euler.</p><p>Esta fórmula evidencia uma propriedade que estabelece uma relação entre o nú-</p><p>mero de vértices, o número de arestas e o número de faces de um poliedro convexo.</p><p>O nome desse resultado é em homenagem a seu idealizador, o matemático suíço</p><p>Leonhard Euler (1707-1783). Segundo correspondências da época, trocadas entre</p><p>eles e colegas matemáticos, a descoberta deste fato ocorreu em novembro de 1750.</p><p>Para todo poliedro convexo, vale a fórmula: F V A� � � 2 , onde V é o núme-</p><p>ro de vértices, A é o número de arestas e F é o número de faces.</p><p>Os poliedros para os quais esta relação é válida são chamados poliedros eulerianos.</p><p>Exemplo:</p><p>a) Em um poliedro convexo, o número de arestas é 30 e o de vértice é 12.</p><p>Qual é o número de faces?</p><p>V A F F F F� � � � � � � � � � � � �2 12 30 2 2 12 30 20</p><p>Logo, o poliedro convexo tem 20 faces.</p><p>b) Vamos calcular o número de arestas e o número de vértices de um polie-</p><p>dro com seis faces quadrangulares e quatro faces triangulares.</p><p>Primeiro, determinaremos o número de arestas:</p><p>■ para cada face quadrangular temos 4 arestas, logo 6 4 24� �</p><p>■ para cada face triangular temos 3 arestas, logo 4 3 12� �</p><p>Como contamos cada aresta duas vezes sem considerar o “encontro”, temos</p><p>que dividir por dois: 24 12</p><p>2</p><p>18�</p><p>� .</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>É importante percebermos que todo poliedro convexo é euleriano, mas nem</p><p>todo poliedro euleriano é convexo.</p><p>Veja o os exemplos:</p><p>Figura 5 - Poliedros eulerianos e não eulerianos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentados dois poliedros, lado a lado. O do lado direito tem como descrição Poliedro</p><p>convexo euleriano e uma expressão matemática verifica a Relação de Euler. Ao seu lado é apresentado outro</p><p>poliedro, mas este é euleriano e não convexo.</p><p>Na prática matemática, a Relação de Euler pode ser utilizada para saber caracte-</p><p>rísticas imediatas dos sólidos sem precisar desenhar a figura.</p><p>A Relação de Euler possui diversas aplicações dentro da</p><p>Ciência matemática, com resultados muito profundos a</p><p>respeito de figuras que possuem formas diferentes, mas</p><p>descrevem a mesma figura. Tais estudos e reflexões levar-</p><p>am o matemático Henri Poincaré a conjecturar (um palpite</p><p>matemático que não foi comprovado), aproximadamente, em</p><p>1904, que sob certas hipóteses, qualquer objeto matemático</p><p>com mais de duas dimensões e sem buracos pode ser mod-</p><p>elado em uma esfera.</p><p>A complexidade por trás desta</p><p>ideia fez com que este re-</p><p>sultado se tornasse um dos problemas mais difíceis de se</p><p>resolver. Apenas mais um século depois que Grigory Perel-</p><p>man, um matemático russo, conseguiu responder este prob-</p><p>lema e confirmou a intuição de Poincaré.</p><p>Para saber mais a respeito do matemático russo que desven-</p><p>dou a solução deste problema, confira a matéria.</p><p>EU INDICO</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20469</p><p>Poliedros de Platão</p><p>Para tratarmos dos poliedros de Platão, inicialmente, apresentaremos as</p><p>condições para definir poliedros convexos regulares. São elas:</p><p>1. As suas faces são polígonos regulares (com o mesmo nº de lados).</p><p>2. Os seus ângulos poliédricos possuem a mesma medida.</p><p>Figura 6 - Ângulo poliédrico / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: é apresentado o “bico” de um poliedro, com a legenda Ângulo poliédrico.</p><p>Ângulo Poliédrico é constituído por todas as faces que convergem em um vértice.</p><p>São os ‘bicos’ do poliedro</p><p>Assim, podemos definir um poliedro convexo de Platão:</p><p>1. Todas as faces tiverem o mesmo número de arestas;</p><p>2. De todos os vértices partirem o mesmo de arestas;</p><p>3. Satisfazem a relação de Euler.</p><p>Pela definição de poliedro regular e de Platão, podemos concluir que todo</p><p>Poliedro de Platão é regular.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Só existem cinco poliedros regulares, que são os de Platão e recebem nomes</p><p>especiais. Vamos nomeá-los a partir da relação de Euler.</p><p>Um poliedro de Platão é poliedro euleriano, portanto, satisfaz à relação de</p><p>Euler: V A F� � � 2 .</p><p>Os poliedros de Platão recebem nomes especiais:</p><p>QUATRO FACES TRIANGULARES - TETRAEDRO</p><p>4 – 6 + 4 = 2</p><p>SEIS FACES QUADRANGULARES - HEXAEDRO</p><p>8 – 12 + 6 = 2</p><p>Figura 7 - Poliedros de Platão / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: quatro poliedros em duas filas e duas colunas. Na fila da esquerda, a legenda Exemplo</p><p>de poliedro de Platão. No lado direito, temos a legenda Não exemplo de Poliedro de Platão e são exibidos dois</p><p>poliedros. Nesses poliedros, são identificados os elementos que não os caracterizam como poliedros de Platão.</p><p>São apresentadas as legendas: Não convexo e não parte o mesmo número de arestas de cada vértice.</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>OITO FACES TRIANGULARES - OCTAEDRO</p><p>6 – 12 + 8 = 2</p><p>DOZES FACES PENTAGONAIS - DODECAEDRO</p><p>20 – 30 + 12 = 2</p><p>VINTE FACES TRIANGULARES - ICOSAEDRO</p><p>12 – 30 + 20 = 2</p><p>Como poliedro é um sólido geométrico, os poliedros de Platão também são</p><p>chamados de Sólidos de Platão.</p><p>Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico, mas nem todos os sólidos</p><p>geométricos são de Platão.</p><p>Podemos construir os poliedros de Platão em diversos materiais a partir</p><p>da planificação, que são uma forma de representear em duas dimensões uma</p><p>figura de três dimensões, como uma caixa de papelão aberta.</p><p>Uma planificação de um poliedro é o resultado do processo de se cortar o</p><p>poliedro ao longo de curvas e, então, abri-lo de forma que ele possa ser disposto</p><p>sobre uma superfície plana, sem sobreposições e sem deformações das faces.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>TETRAEDRO</p><p>4 faces triangulares, 4 vértices,</p><p>6 arestas</p><p>HEXAEDRO</p><p>4 faces quadrangulares, 8</p><p>vértices, 12 arestas</p><p>OCTAEDRO</p><p>4 faces triangulares, 6 vértices,</p><p>12 arestas</p><p>DODECAEDRO</p><p>4 faces pentagonais, 20</p><p>vértices, 30 arestas</p><p>ICOSAEDRO</p><p>20 faces triangulares, 12</p><p>vértices, 30 arestas</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>Para responder a esta pergunta, observaremos como ocorre a construção</p><p>de um poliedro a partir dos ângulos poliédricos (‘bicos’). Para construir um</p><p>ângulo poliédrico são necessários pelo menos três polígonos e a soma dos ângu-</p><p>los poliédricos será sempre menor que 360o independentemente do número de</p><p>faces. Assim, as faces só podem ser triângulos (ângulo interno 60º), quadrados</p><p>(ângulos internos 90º) e por pentágonos (108º). Vamos analisar:</p><p>POLÍGONO</p><p>ÂNGULO</p><p>INTERNO</p><p>Nº POSSÍVEL EM</p><p>CADA VÉRTICE</p><p>POLIEDRO</p><p>Triângulos equiláteros 60º</p><p>3 triângulos Tetraedro</p><p>4 triângulos Octaedro</p><p>5 triângulos Icosaedro</p><p>Quadrado 90º 3 quadrados Hexaedro</p><p>Pentágonos 108º 3 pentágonos Dodecaedro</p><p>Tabela 1 - Ângulo poliédricos / Fonte: o autor.</p><p>Agora, mostraremos que não é possível formar um ângulo poliédrico</p><p>com mais de três quadrados, hexágonos, heptágonos, octógonos, pois a soma dos</p><p>ângulos é igual ou maior a , 360o o que não forma um ‘bico’.</p><p>VOCÊ SABE RESPONDER?</p><p>Por que só existem cinco poliedros de Platão?</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Conclui-se que só existem cinco poliedros de Platão nos quais a soma dos</p><p>ângulos poliédricos é sempre menor que 360o .</p><p>Primas</p><p>Estudaremos alguns poliedros convexos em relação ao cálculo de sua área e seu</p><p>volume. Iniciaremos a partir da forma de uma geladeira. Você já observou que</p><p>ela tem a forma de um poliedro? Trata-se de um prisma também chamado de</p><p>paralelepípedo retângulo ou bloco retangular.</p><p>Quando você vai adquirir uma geladeira, além do seu custo e consumo de</p><p>energia, certamente, você procurará comprar uma que se adapte ao espaço dis-</p><p>ponível em sua cozinha e a capacidade de armazenar a quantidade de alimentos</p><p>que você e sua família necessitam. Se fizermos um cálculo de volume da geladeira,</p><p>calcularemos o espaço que ela ocupará na cozinha.</p><p>A maioria das geladeiras que estão no mercado hoje tem sua capacidade re-</p><p>gistrada em litros. Este cálculo nos informa a quantidade de alimentos que ela é</p><p>capaz de conter. Deste modo, estudar esta parte da geometria não é apenas fazer</p><p>cálculos e relações, mas sim entender um pouco mais da realidade que nos cerca.</p><p>PRISMAS</p><p>Um prisma é um poliedro convexo satisfazendo as seguintes condições:</p><p>a) Dois polígonos não estão no mesmo plano.</p><p>Figura 8 - Soma de ângulos internos de vértices / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: quatro planificações geométricas. Em cada uma estamos analisando a possibilidade de</p><p>um vértice ter soma dos ângulos internos maior ou igual a 360º.</p><p>1</p><p>1</p><p>8</p><p>b) Cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos.</p><p>A seguir, formalizaremos mais algumas características dos prismas.</p><p>CLASSIFICAÇÃO</p><p>De acordo com a inclinação das arestas laterais, um prisma pode ser reto ou oblíquo:</p><p>■ É reto quando as arestas laterais são perpendiculares às bases, e</p><p>■ Oblíquo quando não o são.</p><p>Com relação às bases, os prismas classificam-se em:</p><p>■ Prisma triangular: as bases são regiões triangulares.</p><p>■ Prisma quadrangular: as bases são regiões quadriláteras.</p><p>■ Prisma pentagonal: as bases são regiões pentagonais.</p><p>E assim por diante.</p><p>Ainda com relação às bases, um prisma é regular se, em cada base, o contorno</p><p>da região poligonal é um polígono regular.</p><p>Um prisma possui os seguintes elementos:</p><p>• A distância entre os planos a e b , que contêm as bases, é a altura ( h</p><p>) do prisma;</p><p>• Os polígonos A B C D E F′ ′ ′ ′ ′ ′ e ABCDEF , chamados bases do</p><p>prisma, são congruentes e estão situados em planos paralelos entre si,</p><p>denominados de planos da base a e b ;</p><p>• Os lados dos polígonos, A B′ ′ , B C′ ′ , C D′ ′ , D E′ ′ , E F′ ′ , F A′ ′ e</p><p>AB , BC , CD , DE , EF , FA são as arestas da base;</p><p>• Os segmentos AA′ , BB′ , CC′ , DD′ , EE′ , FF ′ são as arestas</p><p>laterais;</p><p>• os paralelogramos AA BB′ ′ , BB CC′ ′ , CC DD′ ′ , DD EE′ ′ ,</p><p>EE FF′ ′ , FF AA′ ′ são as faces laterais.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>PARALELEPÍPEDO</p><p>Um prisma cujas bases têm forma de paralelo-</p><p>gramos é um paralelepípedo.</p><p>Em um paralelepípedo, todas as faces são pa-</p><p>ralelogramos e, em particular, podem ser retân-</p><p>gulos. A superfície total de um paralelepípedo é</p><p>a reunião de seis paralelogramos.</p><p>Um prisma reto de bases retangulares é cha-</p><p>mado de paralelepípedo retângulo, paralelepípe-</p><p>do reto retângulo, bloco retangular ou ortoedro.</p><p>Observe que esta forma geométrica é delimitada</p><p>por seis retângulos cujas faces opostas são retân-</p><p>gulos idênticos.</p><p>Observe, também, que em cada vértice as</p><p>arestas são perpendiculares duas a duas.</p><p>■ Paralelepípedo reto retangular ou para-</p><p>lelepípedo retângulo:</p><p>Figura 9 - Paralelepípedo retângulo</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Figura 10 - Paralelepípedo planificado / Fonte:</p><p>o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um paralelepí-</p><p>pedo sobre fundo branco.</p><p>Descrição da Imagem: um paralelepípedo planificado sobre um fundo branco.</p><p>■ Paralelepípedo retângulo planificado:</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>Cubo</p><p>O cubo, ou hexaedro, é um paralelepípedo retângulo ou prisma especial cujas</p><p>seis faces são congruentes.</p><p>Figura 11 - Cubo e cubo planificado / Fonte: o autor.</p><p>Figura 12 - Diagonais de</p><p>um cubo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um cubo e um cubo planificado lado a lado sobre um fundo branco.</p><p>Descrição da Ima-</p><p>gem: um cubo e</p><p>em destaque temos</p><p>uma diagonal inter-</p><p>na e outra diagonal</p><p>na face. Também</p><p>é apresentado o</p><p>triângulo retângulo</p><p>formado por essas</p><p>diagonais e uma</p><p>aresta do cubo.</p><p>Assim, como podemos estudar as diagonais de um polígono, existem diago-</p><p>nais de primas.</p><p>A diagonal de um prisma é um segmento que tem extremidades em dois</p><p>vértices que não pertencem a uma mesma face do prisma.</p><p>Observe o desenho a seguir para distinguir diagonal da face e a diagonal do cubo:</p><p>C’</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Temos um cubo de lado a , diagonal da face f e diagonal do cubo d . Ob-</p><p>serve que estas três medidas formam um triângulo retângulo. Então, com o</p><p>Teorema de Pitágoras, conhecidas duas delas, é possível encontrar a terceira.</p><p>Iniciaremos calculando a diagonal da face do cubo:</p><p>f a a a f a2 2 2 22 2� � � � � .</p><p>Agora, calcularemos a diagonal do cubo:</p><p>d a f a a a a a d a2 2 2 2 2 2 2 22 2 3 3� � � � � � � � �( ) .</p><p>Este exemplo nos mostra que ao decompormos os elementos de um pris-</p><p>ma, nesse caso, um cubo; podemos encontrar relações entre suas medidas.</p><p>ÁREA E VOLUME DO CUBO</p><p>Como já sabemos, o cubo é um prisma com todas as faces congruentes. As-</p><p>sim, todas as suas faces são quadradas. Podemos, então, chamá-lo de prisma</p><p>quadrangular regular, em que sua altura é igual a medida da aresta da base.</p><p>Sabemos, também, que para calcular a área de um quadrado de lados l</p><p>fazemos S l= 2 .</p><p>Como o cubo é formado por 6 quadrados de mesma medida, conhecendo</p><p>a área de um e multiplicando por 6 teremos a área total do cubo:</p><p>A l A llateral total= =2 26 e .</p><p>Neste momento, veremos apenas o volume do cubo. O cálculo do volume dos</p><p>demais prismas será visto ainda neste tópico, um pouco mais adiante.</p><p>Para calcular o volume de um cubo, basta multiplicar as medidas das três</p><p>dimensões: comprimento, largura e altura. Como as três têm a mesma medi-</p><p>da, temos: V l= 3 .</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>Observe, agora, a figura a seguir. Ela não é um cubo, pois suas arestas têm</p><p>medidas diferentes. Chamamos esta forma de prisma retangular, porém a</p><p>base de cálculo continua sendo o cubo.</p><p>As dimensões do prisma são: 5 cm de comprimento, 3 cm de largura e 4</p><p>cm de altura. A unidade de medida é o centímetro.</p><p>Calcular o volume e dizer quantas vezes um cubo de 1 cm3 cabe dentro</p><p>deste prisma.</p><p>A definição formal de áreas utiliza como unidade padrão um quadrado de</p><p>lados medindo l =1 . Como um cubo é a “versão” em três dimensões do</p><p>quadrado, é natural generalizar essa ideia de medida unitária.</p><p>Imagine um cubo com aresta medindo 1 m. Esse cubo tem volume igual a</p><p>1 metro cúbico (1 m3</p><p>), que é a unidade de medida de volume no sistema</p><p>métrico decimal.</p><p>Ou, um cubo de aresta medindo 1 cm. Seu volume seria de 1 centímetro</p><p>cúbico (1 cm3</p><p>). Ou ainda um cubo de aresta 1 dm, seu volume seria:</p><p>3 31 1 1 1V dm dm= ⋅ ⋅ =</p><p>PENSANDO JUNTOS</p><p>Figura 13 - Prisma dividido em cubos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um prisma com as faces subdividas em cubos com arestas de 1 cm e volume 1 cm3. As</p><p>dimensões do cubo estão indicadas por 5 cm, 3 cm e 4 cm.</p><p>V cm cmprimsa � � � � � � �comprimento largura altura 5 3 4 603 3</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Outra novidade que mais uma dimensão nos fornece, em comparação com os</p><p>polígonos, é que podemos calcular o espaço ocupado por cada face de um prisma.</p><p>ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA</p><p>Em todo prisma, consideramos:</p><p>■ Superfície lateral: formada pelas faces laterais.</p><p>■ Área lateral ( Al ): a área da superfície lateral.</p><p>■ Superfície total: formada pelas faces laterais e pelas bases.</p><p>■ Área total ( At ): a área da superfície total.</p><p>Vamos resolver um problema para entendermos melhor tudo isso.</p><p>Ao analisarmos volumes, que é a generalização da noção de área, por</p><p>termos mais uma dimensão algumas novas situações precisam ser levadas</p><p>em consideração. Por exemplo, é de se esperar que se empilharmos caixas</p><p>de papelão, não importa como essa disposição seja feita, pois o volume de</p><p>todas as possíveis pilhas de caixa deve ser o mesmo.</p><p>Esta ideia intuitiva foi transformada em uma importante proposição pelo</p><p>matemático, professor da Universidade de Bolonha (Itália), Bonaventura</p><p>Cavalieri. O italiano Bonaventura Francesco Cavalieri (1598-1647), que foi</p><p>discípulo de Galileu, publicou em 1635 sua teoria do indivisível, contendo o</p><p>que hoje é conhecido como “princípio de Cavalieri”.</p><p>Em 1647, Cavalieri publicou a obra “Exercitationes geometricae sex”, na qual</p><p>apresentou de maneira mais clara sua teoria.</p><p>A obra mais importante de Cavalieri, “Geometria indivisibilibus continuorum”</p><p>(Geometria dos indivisíveis contínuos), publicada em 1635, apresenta o</p><p>princípio, enunciado a seguir, para comparação dos volumes de dois sólidos</p><p>geométricos.</p><p>Sejam dois sólidos geométricos P1 e P2 e um plano α. Se qualquer plano β,</p><p>paralelo a α, que intercepta um dos sólidos também intercepta o outro e</p><p>determina nesses sólidos secções de mesma área, então os sólidos P1 e P2</p><p>têm volumes iguais.</p><p>Assim, o volume de um prisma qualquer é igual ao produto da área de sua</p><p>base por sua altura.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>1</p><p>6</p><p>4</p><p>Exemplo: Calcularemos a área total de um prisma hexagonal regular cuja</p><p>aresta da base mede 3 cm e a aresta da face lateral mede 6 cm.</p><p>Figura 14 - Prisma de aresta da base 3 cm e altura 6 cm / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um prisma hexagonal regular cuja aresta da base mede 3 cm e a aresta da face lateral</p><p>mede 6 cm e ao lado sua planificação.</p><p>De acordo com o enunciado, temos:</p><p>■ A medida da aresta lateral = 6 cm</p><p>■ A medida da aresta da base = 3 cm</p><p>Note que as faces laterais do prisma em questão são 6 retângulos medindo 3 cm</p><p>de base e 6 cm de altura. Encontrando a área de um deles e multiplicando por 6</p><p>teremos a área lateral:</p><p>Area lateral base altura� � � � � �A cml 6 6 6 3 108 2( ) ( ) .</p><p>Agora, calcularemos a área da base, que é a área da região limitada pelo he-</p><p>xágono regular.</p><p>A região hexagonal é formada por 6 regiões triangulares equiláteras cuja ares-</p><p>ta chamaremos de s.</p><p>Já vimos que a área de uma região triangular equilátera de lado a é dada</p><p>por:</p><p>a2 3</p><p>4</p><p>. Desta forma, temos que:</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>A a cmb �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>6 3</p><p>4</p><p>6 3 3</p><p>4</p><p>27 3</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 .</p><p>Como são duas bases, temos: Area base � � �2 27 3</p><p>2</p><p>27 3 2cm .</p><p>No nosso caso, a área total é dada por:</p><p>Area total area lateral area das bases� � � � � �A A cml b 108 27 3 2 .</p><p>Nosso próximo tópico, são os volumes de prisma, e não somente os cubos, como</p><p>já tratamos.</p><p>Volume do Prisma</p><p>Já falamos, anteriormente, sobre o volume de um cubo. Estudaremos, agora, o cálcu-</p><p>lo de volume dos demais prismas. Inicialmente, definiremos volume de um sólido.</p><p>Volume de um sólido é um número real positivo associado ao sólido, de</p><p>forma que:</p><p>■ Sólidos congruentes têm volumes iguais.</p><p>■ Se um sólido S é a reunião de dois sólidos que não têm pontos interiores</p><p>comuns, então o volume de S é a soma dos volumes dos dois sólidos.</p><p>A ferramenta teórica que nos permite deduzir a fórmula geral do volume de um</p><p>prisma é o Princípio de Cavalieri.</p><p>Princípio de Cavalieri: Sejam A e B dois sólidos. Se qualquer plano horizontal</p><p>secciona A e B formando figuras planas com áreas iguais, então, os volumes</p><p>de A e B são iguais.</p><p>Os sólidos são medidos por uma unidade que, normalmente, é um cubo. O vo-</p><p>lume de um prisma é igual ao produto da área da base pela medida da altura:</p><p>V A hprisma base� � .</p><p>1</p><p>6</p><p>6</p><p>Exemplos:</p><p>1. Calcularemos o volume de concreto necessário para fazer uma</p><p>laje de</p><p>20 cm de espessura em uma sala de 3 m por 4 m. Primeiro a área da base</p><p>Area da base � � � �A cmb 3 4 12 2 .</p><p>Agora, o volume:</p><p>V A h mbArea da base altura 12 0 20 2 40 3, , .</p><p>São necessários 2,40 m3 de concreto.</p><p>2. Sabendo que foram gastos 0,96 m2 de material para se montar uma caixa</p><p>cúbica, calcularemos o volume dessa caixa.</p><p>Neste caso, temos que a área total do cubo é 0,96 m2 .</p><p>Sabendo que A at � �6 2 , temos que</p><p>0 96 6 0 16 0 42 2, , ,� � � � � �a a a cm .</p><p>Como V a= 3 , temos que</p><p>V cm m= =( , ) ,0 4 0 0643 3 .</p><p>Continuaremos com nossa caminhada pela geometria, estudando um sólido</p><p>clássico dentro da Geometria.</p><p>Figura 15 - Volume de prismas / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: três prisma com bases distintas: retangular, quadrada e triangular. Em cada prima, sua</p><p>base está hachurada e indicada com Área da base e ao lado temos sua altura indicada por h.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Pirâmides</p><p>Neste tópico, estudaremos algumas relações que envolvem as pirâmides, como:</p><p>cálculo de volume e de área da superfície lateral. Porém, antes estudaremos um</p><p>pouco de história. Talvez, seja a pirâmide um dos mais antigos sólidos geomé-</p><p>tricos construídos pelo homem. Uma das mais famosas é a Pirâmide de Quéops,</p><p>construída em 2.500 a.C., com, aproximadamente, 150 m de altura.</p><p>Figura 16 - Pirâmide</p><p>Descrição da Imagem: a imagem exibe três grandes pirâmides, uma em frente da outra, com o céu estrelado no</p><p>fundo. Em frente as pirâmides estão duas pirâmides menores</p><p>Quando pensamos numa pirâmide, vem à nossa cabeça a imagem da pirâmide</p><p>egípcia cuja base é um quadrado. Contudo o conceito geométrico de pirâmide</p><p>um pouco mais amplo: sua base pode ser formada por qualquer polígono.</p><p>Denominamos pirâmide a todo poliedro convexo com uma face chamada</p><p>base num plano e apenas um vértice fora desse plano. As demais faces da pirâmide</p><p>são triângulos determinados por um lado da base e o vértice da pirâmide. Estas</p><p>faces são chamadas faces laterais.</p><p>Feita esta primeira abordagem, começaremos a analisar algumas relações</p><p>ligadas à linguagem definidas, matematicamente.</p><p>1</p><p>6</p><p>8</p><p>PIRÂMIDE</p><p>Consideremos um plano a , uma região poligonal B contida em a e um ponto</p><p>P não pertencente a a . O conjunto de todos os segmentos que ligam o ponto</p><p>P a um ponto de B forma uma pirâmide</p><p>Figura 16 - Elementos da pirâmide / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentadas duas figuras. Na figura da esquerda, temos um plano com uma região</p><p>B delimitada em um plano um ponto P acima do plano. Na figura da direita, temos a pirâmide formada pela união</p><p>dos segmentos que partem da região B para o ponto P. Nessa imagem, são destacados os elementos: aresta</p><p>lateral, altura, apótema da pirâmide, apótema da base</p><p>Uma pirâmide é um poliedro cuja base é uma região poligonal e as faces são</p><p>regiões triangulares:</p><p>■ O ponto P é chamado vértice da pirâmide.</p><p>■ A região poligonal B é chamada base da pirâmide.</p><p>■ A distância do vértice ao plano da base é chamada altura da pirâmide.</p><p>■ A altura de uma face lateral relativa ao lado da base é chamada apótema</p><p>da pirâmide.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>Numa pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles congru-</p><p>entes. A altura de qualquer um desses triângulos, relativa ao lado da base, é</p><p>denominada apótema da pirâmide. O apótema liga o vértice da pirâmide ao</p><p>ponto médio de uma das arestas da base.</p><p>Já no polígono da base, o segmento que liga o centro ao ponto médio de um</p><p>lado é chamado apótema da base. Observe:</p><p>Observe que a altura da pirâmide, o apótema da base e o apótema da pirâmide</p><p>formam juntos um triângulo retângulo. Portanto, conhecidas duas de suas me-</p><p>didas, é possível encontrar a terceira fazendo uso do Teorema de Pitágoras.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>Figura 17 - Apótemas da pirâmide / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: uma pirâmide onde são destacados os seguintes elementos: aresta lateral</p><p>a, aresta da base b, altura h, apótema da base m e apótema da pirâmide n.</p><p>CLASSIFICAÇÃO DE PIRÂMIDES</p><p>Com relação à base, as pirâmides classificam-se em:</p><p>■ Pirâmide triangular: a base é uma região triangular.</p><p>■ Pirâmide quadrangular: a base é uma região quadrilátera.</p><p>■ Pirâmide pentagonal: a base é uma região pentagonal.</p><p>E assim por diante.</p><p>Com relação às arestas laterais:</p><p>■ Se todas elas forem congruentes, a pirâmide é reta;</p><p>■ Caso contrário é oblíqua.</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>Ainda com relação à base, uma pirâmide é regular quando sua base é uma região</p><p>poligonal limitada por um polígono regular e a projeção ortogonal do vértice no</p><p>plano da base coincide com o centro desse polígono.</p><p>Um caso particular de pirâmide regular é aquela formada por quatro regiões</p><p>triangulares congruentes e equiláteras: o tetraedro. Nele, qualquer das faces pode</p><p>ser considerada base.</p><p>Observe algumas pirâmides com seus nomes:</p><p>Figura 18 - Nomenclatura de pirâmides / Fonte: o autor.</p><p>Figura 19 - Decomposição de prisma em pirâmides / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: quatro pirâmides com bases distintas. Temos as identificações: pirâmide triangular (te-</p><p>traedro), pirâmide quadrangular, pirâmide pentagonal, pirâmide hexagonal.</p><p>Descrição da Imagem: um prisma triangular e uma pirâmide. Ambos os sólidos estão situados em um mesmo</p><p>plano e entre eles são traçadas duas linhas paralelas, uma partindo de um vértice no topo e outra de vértice na</p><p>base. Na pirâmide, a linha superior encontra um vértice a inferior termina no centro da figura. Entre essas duas</p><p>linhas, na pirâmide, é indicado um segmento formando um ângulo reto com a linha inferior e ao lado o comprimento</p><p>desse segmento é indicado como h.</p><p>VOLUME DE UMA PIRÂMIDE</p><p>Se fizermos a decomposição de um prisma triangular em três pirâmides, pode-</p><p>mos concluir que as três pirâmides juntas têm o mesmo volume que o prisma.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 5</p><p>As três pirâmides são congruentes, pois têm a mesma base e a mesma altura. Logo</p><p>V V V</p><p>V</p><p>I II III</p><p>prisma= = =</p><p>3</p><p>.</p><p>Como Vprisma Area da base altura, temos</p><p>V A h</p><p>pirâmide</p><p>baseárea da base altura</p><p>3 3 .</p><p>Agora, para determinarmos o volume de uma pirâmide qualquer, usamos a con-</p><p>clusão anterior. Assim, dada uma pirâmide qualquer, consideramos uma pirâmide</p><p>triangular que tenha a mesma área da base e a mesma altura que a pirâmide qualquer.</p><p>Decorre do Princípio de Cavalieri que duas pirâmides com áreas das bases</p><p>iguais e com a mesma altura têm volumes iguais. Então:</p><p>V = area da base altura</p><p>3</p><p>= A h</p><p>3piramide</p><p>b⋅ ⋅</p><p>.</p><p>ÁREA LATERAL E ÁREA TOTAL DA PIRÂMIDE</p><p>A área lateral de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais. Como as faces</p><p>laterais são triangulares, basta encontrar a área de um triângulo e multiplicar pelo</p><p>número de faces laterais.</p><p>A área total de uma pirâmide é a soma das áreas das faces laterais com a área</p><p>da base: A A Atotal lateral base� � .</p><p>Exemplo: Calcularemos o volume de uma pirâmide quadrada cuja aresta da</p><p>base mede 4 cm e a altura 7 cm. Logo, temos que:</p><p>V A h cmb�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>3</p><p>4 4 7</p><p>3</p><p>112</p><p>3</p><p>3 .</p><p>O volume da pirâmide é de, aproximadamente, 37,3 cm3 .</p><p>Agora, calcularemos a área total desta pirâmide. Se a aresta da base é de 4</p><p>cm, sua área é: A cmb � � �4 4 16 2 .</p><p>Nas faces laterais, temos 4 triângulos isósceles de base 4 cm, porém, desconhe-</p><p>cemos sua altura. Para chegarmos à altura do triângulo, ou apótema da pirâmide,</p><p>antes, calcularemos a medida do lado do triângulo, iniciando pelo apótema da base.</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>Se a aresta do quadrado da base</p><p>mede 4 cm, o apótema da base mede</p><p>2 cm. Já tivemos oportunidade de</p><p>falar sobre isso anteriormente.</p><p>Veja que a altura da pirâmide,</p><p>o apótema da pirâmide e o apóte-</p><p>ma de base formam, entre si, um</p><p>triângulo retângulo. Então, é pos-</p><p>sível calcular a aresta lateral, pois</p><p>é a única medida desconhecida:</p><p>a a2 2 27 2 54� � �� � .</p><p>Veja, agora, na figura uma face</p><p>lateral da pirâmide, temos um triân-</p><p>gulo isósceles com base medindo 4</p><p>cm e altura medindo 54 cm. En-</p><p>tão, sua área é:</p><p>S cmtriangulo �</p><p>�</p><p>�</p><p>54 4</p><p>2</p><p>14 56 2, .</p><p>Assim, a área lateral</p><p>será: 4 14 56 58 24 2� �, , cm .</p><p>Portanto, a área total da superfície da pirâmide em estudo é:</p><p>A A A cmtotal lateral base� � � � �58 24 16 74 24 2, , .</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>Além de exemplos numéricos, não podemos deixar de observar que as pirâmides</p><p>estão presentes na história da construção civil. Diversas civilizações deixaram</p><p>construções que permanecem erguidas até os dias atuais. Tal longevidade se dá</p><p>pela utilização de figuras geométricas nessas construções. Por exemplo, as pirâ-</p><p>mides, como relatamos.</p><p>Certamente, não vemos muitas pirâmides novas em construção, mas a geo-</p><p>metria espacial continua guiando os engenheiros em seus projetos.</p><p>Figura 20 - Pirâmide com triângulo retângulo dentro</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: uma pirâmide de base qua-</p><p>drada com aresta da base medindo 4 cm. A altura da</p><p>pirâmide mede 7 cm e é formada pela altura e apótema</p><p>da base, temos um triângulo retângulo.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>3</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. O estudo de sólidos tridimensionais é vasto e com muitos desdobramentos. Uma</p><p>maneira de podermos estabelecer fórmulas e relações entre faces, arestas e vértices</p><p>é por meio de uma subdivisão. Dessa forma, agrupamos aqueles sólidos nos quais</p><p>podemos deduzir as propriedades que nos permitam, sem a visualização da figura,</p><p>estabelecermos a quantidade de faces, arestas e vértices.</p><p>Destacam-se os poliedros que são chamados de poliedros eulerianos, pois uma das</p><p>características de tais sólidos é que podemos utilizar a Relação de Euler para obter</p><p>informações a respeito de suas faces, arestas e vértices.</p><p>SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Ma-</p><p>ringá: Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Um poliedro convexo é constituído por 25 arestas e 15 faces. Quantos vértices possui</p><p>esse poliedro?</p><p>2. Poliedros e prismas são objetos geométricos que nos rodeiam em nosso dia a dia.</p><p>Por exemplo, paralelepípedos são as formas que usamos para as caixas de papelão,</p><p>as mais utilizadas por empresas.</p><p>Além das características específicas das figuras em três dimensões, podemos utilizar</p><p>conhecimentos de polígonos, via planificações. Novamente, no caso dos paralelepípe-</p><p>dos, sua planificação nos exibe quadrados e retângulo.</p><p>SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Ma-</p><p>ringá: Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Uma indústria precisa fabricar 10000 caixas de papelão com as medidas de 14 cm, 20</p><p>cm e 40 cm. Desprezando as abas, calcule, aproximadamente, quantos metros qua-</p><p>drados de papelão serão necessários.</p><p>3. Uma das maneiras de classificarmos poliedros é com relação a sua convexidade.</p><p>De forma sucinta, a convexidade caracteriza aqueles poliedros nos quais todos os</p><p>segmentos entre pontos de faces distintas permanecem no interior do poliedro.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>1</p><p>7</p><p>4</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>Assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>a) C, NC, C, C, NC.</p><p>b) NC, NC, C, C, NC.</p><p>c) C, NC, NC, C, C.</p><p>d) C, NC, C, NC, NC.</p><p>e) NC, NC, C, C, NC.</p><p>4. Em matemática, precisamos ser cuidadosos com o inverso das afirmações (chamadas</p><p>recíprocas). Do ponto de vista da lógica, a recíproca de um resultado matemático é</p><p>um outro teorema e independe da afirmação direta. Por esse motivo, uma implicação</p><p>ser verdadeira não garante que sua recíproca também seja verdadeira. Por exemplo:</p><p>todo poliedro é um sólido geométrico, mas nem todo sólido geométrico é um poliedro.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>Nesse sentido, classifique as afirmações a seguir em V para as verdadeiras ou F para as</p><p>falsas:</p><p>( ) Todo poliedro convexo é um sólido geométrico.</p><p>( ) Todo sólido geométrico é de Platão.</p><p>( ) Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico.</p><p>( ) Todo poliedro convexo é euleriano.</p><p>( ) Todo poliedro euleriano é de Platão.</p><p>( ) Todo poliedro de Platão é euleriano.</p><p>Figura – Poliedros convexos e não convexos / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 187).</p><p>Descrição da Imagem: são apresentados cinco poliedros, alguns convexos e outros não convexos.</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta:</p><p>a) V – F – V – V – F – V.</p><p>b) V – V – V – F – V – V.</p><p>c) F – F – V – V – V – F.</p><p>d) F – V – V – F – V – F.</p><p>e) F – V – V – F – F – V.</p><p>5. Uma figura em três dimensões que é muito utilizada por diferentes civilizações, em</p><p>períodos históricos distintos, é a pirâmide. Esses objetos geométricos apresentam</p><p>bases formadas por um polígono regular e um ponto no qual as arestas da base estão</p><p>conectadas.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>Um grupo de casais foi acampar e levou uma barraca de lona que, depois de montada,</p><p>tinha a forma de uma pirâmide regular hexagonal, cuja aresta da base media 1 m. Depois</p><p>de montada, o ar em seu interior ocupava um volume de 25 3</p><p>2</p><p>m .</p><p>Considere as seguintes afirmativas:</p><p>I -</p><p>3</p><p>2</p><p>m é o apótema da base da barraca.</p><p>II - 5 m é a altura.</p><p>III - 3 3</p><p>2</p><p>2m é a área da base da barraca.</p><p>IV - 5 m é o apótema da base.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) I, II e III, apenas.</p><p>b) II e III, apenas.</p><p>c) III e IV, apenas.</p><p>d) I e IV, apenas.</p><p>e) II, III e IV, apenas.</p><p>1</p><p>7</p><p>6</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de</p><p>Matemática, 1985.</p><p>BOYER, C. B. História da Matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blu-</p><p>cher, 1974.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial,</p><p>posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004. v. 10.</p><p>EUCLID. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commen-</p><p>tary by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.</p><p>FREEPIK. 2023. 1 figura. Disponível em: https://br.freepik.com/vetores-gratis/icones-de-dia-</p><p>mante_1528616.htm#query=diamante&position=1&from_view=search&track=sph. Acesso</p><p>em: 30 maio 2023.</p><p>HILBERT, D. Fundamentos de geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.</p><p>HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual,</p><p>2004. v. 9.</p><p>LIMA, E. L. Matemática e Ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção do Professor de Ma-</p><p>temática).</p><p>LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: SBM, 1991. (Coleção do Professor</p><p>de Matemática).</p><p>SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018.</p><p>WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM,</p><p>2000.</p><p>1</p><p>7</p><p>7</p><p>1. A F eV= = =25 15, ?</p><p>V A F� � � 2</p><p>V F A� � �2</p><p>V � � �15 2 25</p><p>V � �15 27</p><p>V � �27 15</p><p>V =12</p><p>FÓRMULA:</p><p>Utilize a Relação de Euler: F V A� � � 2</p><p>2. Iniciamos convertendo as medidas em metros: 0,14 m, 0,2 m e 0,4 m.</p><p>A área total da caixa é dada por:</p><p>AT � � � � � � � � �2 0 14 0 2 2 0 14 0 4 2 0 2 0 4, , , , , ,</p><p>AT � � �0 056 0 112 0 16, , ,</p><p>AT = 0 328,</p><p>Multiplicando pela quantidade de caixas obtemos: 10000 0 328 3280 2� �, m .</p><p>3. De acordo com a definição de convexidade, podemos observar que os poliedros B e E são</p><p>não convexos e os demais (A, C e D) são convexos.</p><p>4. Vamos analisar cada frase:</p><p>• Todo poliedro convexo é um sólido geométrico: é verdadeira, pois poliedros são sólidos</p><p>geométricos com três dimensões, independentemente de ser convexo ou não.</p><p>• Todo sólido geométrico é de Platão: falso, pois vimos que são apenas cinco.</p><p>• Todo poliedro de Platão é um sólido geométrico: é verdadeira, pois poliedros são sólidos</p><p>geométricos com três dimensões.</p><p>• Todo poliedro convexo é euleriano: verdadeiro, assim como vimos no texto.</p><p>• Todo poliedro euleriano é de Platão: falso, pois existem poliedros eulerianos não con-</p><p>vexos.</p><p>• Todo poliedro de Platão é euleriano: verdadeiro, pois existem apenas cinco sólidos de</p><p>Platão, e podemos calcular a Relação de Euler para todos.</p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>7</p><p>8</p><p>5. Vamos utilizar as fórmulas indicadas, com l =1 :</p><p>• a � �</p><p>�</p><p>1 3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>• Ab �</p><p>�</p><p>� �</p><p>6 1 3</p><p>4</p><p>6 3</p><p>4</p><p>3 3</p><p>2</p><p>2</p><p>•</p><p>5 3</p><p>2 3</p><p>3 3</p><p>2</p><p>3</p><p>30 3</p><p>6 3</p><p>5� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �V A h h</p><p>hb</p><p>Dessa</p><p>forma, podemos verificar que apenas I, II e III estão corretas.</p><p>FÓRMULA:</p><p>Lembre-se de que:</p><p>• O apótema da base de um hexágono é a</p><p>l</p><p>=</p><p>3</p><p>2</p><p>;</p><p>• a área da base de um hexágono pode ser calculada por A</p><p>l</p><p>b =</p><p>6 3</p><p>4</p><p>2</p><p>;</p><p>• o volume de uma pirâmide é V</p><p>A hb�</p><p>�</p><p>3</p><p>.</p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>7</p><p>9</p><p>MINHAS METAS</p><p>SÓLIDOS REDONDOS</p><p>DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO</p><p>Definir cilindro e elementos dele.</p><p>Estudar cones.</p><p>Compreender os elementos de esferas.</p><p>Calcular áreas em sólidos redondos.</p><p>Desenvolver a noção de volume.</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 6</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>Observadas as propriedades físicas e geométricas dos objetos da natureza, o</p><p>homem teve inspiração para grandes descobertas e invenções. Por exemplo, a</p><p>invenção da roda, uma das mais importantes criações humanas, provavelmente,</p><p>teve origem na constatação de que objetos pesados podem ser deslocados, e com</p><p>facilidade, sobre troncos de árvores.</p><p>Ao estudar a forma aerodinâmica das asas dos pássaros, o homem conseguiu</p><p>criar várias formas eficientes de asas de avião. Muitos tipos de asas têm a face su-</p><p>perior arredondada e a inferior quase plana. Assim, quando o avião avança, a parte</p><p>dianteira da asa divide o ar, de modo que o ar que passa sobre a superfície superior</p><p>se expande (se rarefaz), a fim de reduzir a pressão. Em consequência, a pressão</p><p>exercida no lado de baixo da asa produz a força que empurra o avião para cima.</p><p>De forma simplificada, podemos identificar algumas partes de um avião</p><p>com sólidos mais fáceis de estudo, como o cilindro, o cone e a esfera. Por serem</p><p>menos complexos, podemos, facilmente, deduzir fórmulas que envolvem as</p><p>medidas desses sólidos e, com isso, contribuir para a criação de máquinas tão</p><p>incríveis, como os aviões.</p><p>Nesta unidade, serão estudadas algumas formas arredondadas, também, de-</p><p>nominadas de corpos redondos: cilindro, cone e esfera.</p><p>Neste Podcast, você aprenderá mais a respeito da história</p><p>dos sólidos redondos, tão comuns no nosso cotidiano.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>O estudo que desenvolveremos envolve figuras que podemos obter através da</p><p>rotação de superfícies planas ao redor de um eixo. Focaremos naquelas chamadas</p><p>de regulares: cilindro, cone e esfera.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19315</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>CILINDRO</p><p>Neste tópico, estudaremos o volume de um sóli-</p><p>do clássico estudado na geometria: cilindro. Po-</p><p>deremos perceber, e muito, a presença dele em</p><p>vários locais nos quais circulamos todos os dias.</p><p>O cilindro circular reto é, também, chamado</p><p>de sólido de revolução, por ser gerado pela rota-</p><p>ção completa de um retângulo por um dos lados.</p><p>Assim, a rotação do retângulo ABCD , pelo</p><p>lado AB , gera o cilindro da imagem.</p><p>De uma forma menos rigorosa, podemos dizer</p><p>que o cilindro é um sólido que possui formas arre-</p><p>dondadas e alongado, cujo diâmetro tem a mesma</p><p>medida em qualquer parte do comprimento.</p><p>Em nosso cotidiano, é comum encontrarmos</p><p>objetos com forma cilíndrica, como um lápis sem</p><p>ponta, uma lâmpada fluorescente, uma lata de</p><p>óleo, um cano etc.</p><p>Agora, voltemos ao nosso retângulo. Observe</p><p>a figura anterior novamente. Quando giramos o</p><p>retângulo em torno da reta, com uma rotação</p><p>completa (360º), o retângulo descreve um sólido</p><p>de revolução que chamamos de cilindro.</p><p>A reta forma o eixo do cilindro e os círculos</p><p>gerados pela rotação dos lados AC e BD são as</p><p>bases do cilindro.</p><p>Figura 1- Revolução do retângulo</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a imagem</p><p>exibe um retângulo de vértices A,</p><p>B, C e D. No lado dos vértices A e B,</p><p>é exibida uma linha com uma seta</p><p>que aponta para baixo. No lado dos</p><p>vértices A e C, é exibida uma flexa</p><p>curvada.</p><p>A superfície gerada pelo lado CD é chamada de superfície lateral do cilindro.</p><p>A medida do segmento AC BD r= = é o raio do círculo das bases, e a me-</p><p>dida do segmento AB CD h= = é a altura do cilindro.</p><p>O segmento CD , ou qualquer outro paralelo ao eixo, com uma extremidade</p><p>em cada circunferência das bases, é denominado de geratriz.</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>A seguir, listaremos alguns dos ele-</p><p>mentos dos cilindros:</p><p>■ No cilindro circular reto, a me-</p><p>dida da geratriz é igual à medi-</p><p>da da altura.</p><p>■ A superfície lateral é a reunião</p><p>das geratrizes. A área dessa</p><p>superfície é chamada de área</p><p>lateral.</p><p>■ A superfície total é a reunião</p><p>da superfície lateral com os</p><p>círculos das bases. A área dessa</p><p>superfície é a área total.</p><p>■ A secção meridiana é a inter-</p><p>seção do cilindro com o plano</p><p>que contém a reta determina-</p><p>da pelos centros das bases.</p><p>Note que a secção meridiana de um ci-</p><p>lindro circular reto é um retângulo de</p><p>dimensões 2R (diâmetro da base) e h</p><p>(altura). Quando 2R h= , essa secção</p><p>forma um quadrado e o cilindro, en-</p><p>tão, é chamado de cilindro equilátero.</p><p>Na parte colorida do cilindro, a</p><p>seguir, será representada a secção me-</p><p>ridiana de um cilindro equilátero.</p><p>Além destas características que já</p><p>listamos aqui na introdução, ao longo</p><p>deste tópico, estudaremos de que for-</p><p>ma podemos calcular o volume de um</p><p>cilindro e as áreas lateral e total.</p><p>Figura 2 - Geratriz do cilindro / Fonte: o autor.</p><p>Figura 3 - Secção meridiana / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um cilindro circular reto com</p><p>a medida da geratriz, que é igual à medida da altura.</p><p>Descrição da Imagem: um cilindro de altura indicada</p><p>por h=2R e um retângulo hachurado inscrito no cilin-</p><p>dro, cujas medidas são 2R de base e h=2R de altura.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>ÁREA DA SUPERFÍCIE DE UM CILINDRO RETO</p><p>Observe a figura a seguir.</p><p>Um exemplo de utilização de cilindros é em peças mecâni-</p><p>cas em automóveis.</p><p>Você pode descobrir mais a respeito da utilização de cilin-</p><p>dros no link.</p><p>EU INDICO</p><p>Figura 4 - Cilindro planificado / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentadas duas figuras. À direita, há um cilindro reto com as bases hachuradas e</p><p>altura identificada por h. Ao lado, na esquerda, é exibido o cilindro planificado com altura h e base 2πr.</p><p>1</p><p>8</p><p>4</p><p>https://www.mecanicaindustrial.com.br/47-como-funciona-um-cilindro/</p><p>A superfície total do cilindro é formada pela superfície lateral mais as superfícies</p><p>das duas bases. Assim:</p><p>■ Área lateral: A r hl � � �( )2p</p><p>■ Área das bases: A rb � �2 2p</p><p>■ Área total: A A A r h rt l b� � � � � � �2 2 2p p</p><p>Exemplo: Calcularemos a altura de um tubo de forma cilíndrica, com as bases</p><p>fechadas. Sabemos que a superfície total pode ser coberta com 43,7088 cm2 de</p><p>plástico e o diâmetro de cada base tem 8 mm (Usaremos p = 3 14, ).</p><p>Desconhecemos a altura, portanto, devemos chamá-la de x . O diâmetro da</p><p>base é 8 0 8mm cm= , . Logo, r cm= 0 4, . Dessa forma, temos que:</p><p>■ Ab � � � �2 3 14 0 4 1 00482, , ,</p><p>■ A r h x xl � � � � � � � �( ) , , ,2 2 3 14 0 4 2 512p</p><p>■ A A A x xt b l� � � � � � � �43 7088 1 0048 2 512 43 7088 17, , , ,</p><p>Portanto, a altura do tubo deve ser de 17 cm.</p><p>Temos um cilindro fechado e o mesmo cilindro planificado. Na planificação,</p><p>podemos ver os dois círculos das bases e o retângulo formado pelo comprimento</p><p>da circunferência e altura do cilindro.</p><p>O origami, de origem desconhecida, tem etimologia japonesa e significa dobrar</p><p>(ori) papel (kami). No Brasil, utiliza-se, também, a palavra dobradura, mas o</p><p>termo origami é, mundialmente, conhecido e utilizado. O origami é uma arte</p><p>tradicional de origem japonesa que consiste na criação de figuras geométricas</p><p>representativas de objetos, seres humanos, animais etc., sem o uso de com-</p><p>passo, tesoura ou cola, apenas, com dobraduras de um papel. Esse tipo de</p><p>artesanato é muito comum no Japão, porém, espalhou-se pelo mundo todo.</p><p>Por meio da técnica do origami modular, que se baseia na confecção de várias</p><p>partes iguais, ou módulos, que são encaixadas para formar cada peça, é pos-</p><p>sível construir os cinco poliedros de Platão e muitos outros.</p><p>Você consegue elencar que conceitos geométricos estão presentes na arte da</p><p>dobradura? Dica: tente fazer um cubo de dobradura e busque, em cada etapa,</p><p>observar um conhecimento de geometria.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>VOLUME DO CILINDRO</p><p>O volume de um cilindro é obtido da mesma maneira em comparação ao do</p><p>prisma:</p><p>Volume do cilindro = área da base altura � .</p><p>Como a base do cilindro é um círculo de raio r e área igual a pr2 , temos:</p><p>V A h r hcilindro base� � � � �p 2</p><p>Figura 5 - Volume cilindro / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um cilindro circular</p><p>reto com altura destacada por h e área da</p><p>base pr2 . Abaixo da figura, está indicada</p><p>a fórmula de volume do cilindro.</p><p>Explore a relação entre os elementos de um cilindro e o vol-</p><p>ume no aplicativo interativo, baseado em Geogebra.</p><p>EU INDICO</p><p>1</p><p>8</p><p>6</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20546</p><p>Exemplo: um cilindro circular reto tem 10 cm de altura e a base tem 12 cm de</p><p>diâmetro. Calcularemos a área lateral, a área total e o volume do cilindro.</p><p>Se o diâmetro é igual a 12 cm, então, r = 6 cm.</p><p>■ Área da base: A r cmb � � � �p p p2 2 26 36</p><p>■ Área lateral: A r h cml � � � � � � �2 2 6 10 1202 2p p</p><p>■ Área total: A A A cmt l b� � � � �2 120 2 36 192 2p p p( )</p><p>■ Volume: V A h r h cmb� � � � � � � � �p p p2 2 36 10 360</p><p>Portanto, a área lateral é 120 2p cm , a área total é 192 2p cm e o volume é 360 3p cm .</p><p>Cuidado com a diferença entre volume e capacidade em problemas práticos.</p><p>Os valores são muito próximos, pois, do ponto de vista matemático, estamos</p><p>desconsiderando a espessura das faces laterais.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>CONE</p><p>Quando olhamos para uma montanha, muitas vezes, podemos encontrar o for-</p><p>mato de um cone, ou, para um vulcão, temos a ideia de uma forma que se as-</p><p>semelha a um cone. Ainda, no nosso cotidiano, um funil, ou uma casquinha de</p><p>sorvete, dá-nos a ideia desse sólido geométrico, chamado de cone. Assim como</p><p>o cilindro, o cone, também, é um sólido de revolução.</p><p>Se fazemos um corte no cone circular reto, a depender do ângulo do corte,</p><p>a secção formada revela formas matemáticas muito importantes, chamadas de</p><p>cônicas que já começaram a ser estudadas pelos antigos matemáticos, como Eu-</p><p>clides e Arquimedes. São elas: a elipse, a parábola, a hipérbole e a circunferência.</p><p>Se imaginamos um plano que secciona o cone, conforme a variação do ân-</p><p>gulo, obtemos uma das cônicas citadas. Por exemplo, se o plano é paralelo à base</p><p>do cone, há uma circunferência. Apenas, para você ter uma ideia da importância</p><p>desses estudos, a trajetória descrita pela Terra, em torno do Sol, tem o formato</p><p>de elipse. Os espelhos dos refletores dos telescópios têm formatos parabólicos.</p><p>Ainda, alguns cometas têm trajetórias parabólicas ao redor do Sol.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>Para entendermos tudo isso melhor, precisamos, inicialmente, conhecer o cone.</p><p>Um cone de revolução (mais precisamente, um cone circular reto) é o sólido</p><p>obtido pela rotação completa de um triângulo retângulo em torno de um eixo</p><p>que contém um dos catetos.</p><p>O eixo de rotação do sólido de revolução é o eixo do cone. O círculo gerado</p><p>pela rotação do cateto AB do triângulo é a base do cone e a superfície gerada</p><p>pela hipotenusa BC é a superfície lateral do cone.</p><p>A distância AB r= é o raio da base do cone, a distância AC h= é a altura do</p><p>cone, o ponto C é o vértice do cone e a distância BC g= é a geratriz do cone.</p><p>Para visualizar as seções em um cone, você pode explorar</p><p>elementos das cônicas no Geogebra.</p><p>EU INDICO</p><p>Figura 6 - Cone de revolução / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: No lado esquerdo, um triângulo retângulo com uma flecha que indica que o triângulo é</p><p>rotacionado pela altura dele. No lado direito, é apresentado um cone de rotação.</p><p>1</p><p>8</p><p>8</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20547</p><p>Além do segmento BC , qualquer outro com uma extremidade no vértice A e</p><p>outra na circunferência da base é, também, denominado de geratriz. Em um cone</p><p>circular reto, todas as geratrizes têm a mesma medida.</p><p>Figura 7 - Cone com secção meridiana / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: é apresentado um cone com a secção meridiana destacada. Ainda, apenas, a secção</p><p>meridiana, que é um triângulo isósceles com lados que medem g e a base 2r.</p><p>Existem, também, cones circulares não retos, que não são cones</p><p>de revolução. São chamados de cones circulares oblíquos.</p><p>Explore, interativamente, um cone oblíquo no seguinte link.</p><p>EU INDICO</p><p>Além destes elementos, neste tópico, analisaremos, com mais profundidade, al-</p><p>gumas relações geométricas que envolvem o cone. Entre elas, podemos destacar:</p><p>cálculo da superfície lateral e cálculo de volume.</p><p>Começaremos definindo alguns aspectos ligados a algumas definições e</p><p>termos comuns.</p><p>A seção meridiana de um cone é uma região triangular obtida pela interseção</p><p>do cone com um plano que contém o eixo dele. Um cone circular reto é um cone</p><p>equilátero se a seção meridiana é uma região triangular equilátera. Nesse caso, a</p><p>medida da geratriz é igual à medida do diâmetro da base.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>9</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20548</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>Área Total da Superfície de um Cone Reto</p><p>A superfície total do cone reto é formada pela superfície lateral (um setor circu-</p><p>lar) mais a superfície da base (um círculo), isto é A A At l b� � .</p><p>A superfície lateral de um cone de revolução, desenvolvida em um plano,</p><p>é equivalente a um setor circular de raio igual à medida g da geratriz e arco de</p><p>comprimento igual ao perímetro da base do cone ( 2p ⋅ r) .</p><p>Considere a figura a seguir, na qual veremos um cone de raio da base r , altura</p><p>h e geratriz g .</p><p>Figura 8 - Cone planificado / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: há duas figuras que representam um cone. Na figura da esquerda, é apresentada a pla-</p><p>nificação; e, no lado direito, segue um cone.</p><p>Inicialmente, calculamos a área do setor ( Al ) cujo arco correspondente é</p><p>2p ⋅ r , lembrando que o raio da circunferência maior é a geratriz ( r g= ):</p><p>Arco Area</p><p>Circulo todo</p><p>Se</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>p p</p><p>p p</p><p>p</p><p>p� � � � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>� � �g g A r g</p><p>g</p><p>r gl</p><p>( ) ( )</p><p>ttor 2p � �r Al</p><p>.</p><p>Logo, a área total do cone reto é A r g rt � � � � �p p 2 .</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>Observação: O ângulo a do setor circular contempla a relação:</p><p>360 2</p><p>2</p><p>360o</p><p>o</p><p>g l</p><p>g</p><p>l</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>π α</p><p>π</p><p>α</p><p>Sendo l r� �2p .</p><p>Exemplo: temos um cone com 10 cm de altura e raio da base igual a 4 cm.</p><p>Calcularemos os elementos, com valores decimais aproximados.</p><p>■ Medida da geratriz: g g cm2 2 210 4 116 10 7� � � �  ,</p><p>■ Área lateral: A r g cml � � � � � � �p 3 14 4 10 7 134 4, , ,</p><p>■ Área da base: A r cmb � � � � �p 2 2 23 14 4 50 24, ,</p><p>■ Área total: A A A cmt l t� � � � �134 4 50 24 184 64 2, , ,</p><p>■ Ângulo do setor circular: α</p><p>π</p><p>π</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>8 360</p><p>2 10 7</p><p>134 5 134 03</p><p>o</p><p>o o</p><p>,</p><p>,</p><p>Na descrição do ângulo do setor circular, empregamos a conversão de graus em</p><p>minutos. Como 1º corresponde a 60’ (minutos), temos que 0,5º corresponde a 30’.</p><p>Figura 9 - Volume do cone</p><p>Descrição da Imagem: um cone com</p><p>elementos destacados: altura (h),</p><p>raio da base (r) e geratriz (s). No topo</p><p>da imagem, está indicada a fórmula</p><p>do volume do cone.</p><p>VOLUME DO CONE</p><p>O volume de um cone é obtido da mesma maneira</p><p>em comparação ao de uma pirâmide:</p><p>V A h r h</p><p>cone</p><p>base�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>3 3</p><p>2p</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>Exemplos:</p><p>1. Calcularemos o volume de um cone de raio 7 cm e altura 12 cm.</p><p>Temos todas as medidas que precisamos, basta utilizarmos a relação estabelecida</p><p>anteriormente:</p><p>V r h cm�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>p p</p><p>p</p><p>2 2</p><p>3</p><p>3</p><p>7 12</p><p>3</p><p>196 .</p><p>2. Calcularemos a área lateral, a área total e o volume de um cone equilátero</p><p>com 30 mm de altura.</p><p>Acabamos de ver que, em um cone equilátero, a secção meridiana é um triângulo</p><p>equilátero. Portanto, esse será o nosso ponto de partida. Na figura ao lado, temos</p><p>a secção meridiana do cone em questão.</p><p>Iniciamos calculando as medidas r e g , com o auxílio do Teorema de Pitágoras:</p><p>( )2 30 4 90 900</p><p>3</p><p>300 10 32 2 2 2 2� � � � � � � � � �r r r r r .</p><p>Se g r= 2 , então, g = 20 3 .</p><p>■ Agora, já podemos calcular o que o problema pede, com p = 3 14, :</p><p>■ Área lateral: A r g mml � � � � � �p 3 14 10 3 20 3 1879 54 2, ,</p><p>■ Área</p><p>da base: A r mmb � � � �p 2 2 23 14 10 3 942, ( ) </p><p>■ Área total: A A A mmt l t� � � � �1879 54 942 2821 54 2, ,</p><p>■ Volume: V</p><p>A h mmb�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>3</p><p>942 30</p><p>3</p><p>9420 3.</p><p>Uma possível demonstração desta fórmula se baseia na</p><p>verificação de que o volume de um cone é um terço do</p><p>volume de um cilindro de mesmas dimensões de raio da</p><p>base e altura. Visualmente, podemos motivar esta prova</p><p>com a seguinte animação.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20549</p><p>Esfera</p><p>Agora, para terminar, falta-nos, ainda, estudar mais um sólido muito importante</p><p>no estudo de geometria: a esfera.</p><p>A esfera é o sólido obtido ao se fazer a rotação completa de um semicírculo em</p><p>torno de um eixo que con-</p><p>tém o diâmetro. Com este</p><p>movimento, cada ponto</p><p>do semicírculo descreve</p><p>uma circunferência que</p><p>tem, como centro, um</p><p>ponto qualquer do diâ-</p><p>metro e cujo raio se torna</p><p>maior à medida que au-</p><p>menta a distância ao eixo.</p><p>Todos os pontos da</p><p>superfície esférica estão</p><p>com a mesma distância</p><p>de um ponto O , chama-</p><p>do de centro.</p><p>O maior círculo for-</p><p>mado pelo corte da esfera,</p><p>no centro, é chamado de</p><p>círculo máximo.</p><p>Se um plano e uma esfera se intersectam, temos as seguintes situações:</p><p>■ A interseção de um plano com uma esfera que se corta é, sempre, um</p><p>círculo.</p><p>■ Quando o plano passa pelo centro da esfera, a secção é um círculo</p><p>máximo. Quando o plano passa fora do centro, determina uma secção</p><p>de raio s .</p><p>■ A relação entre a distância do centro, o raio da secção e o raio da esfera é</p><p>dada pelo Teorema de Pitágoras: r d s2 2 2� � .</p><p>Figura 10 - Rotação de meio círculo e esfera / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a imagem apresenta um meio círculo, com uma</p><p>seta que indica o sentindo de rotação. Ao lado, há a esfera gerada por</p><p>essa rotação. Em ambos, o raio é denotado por R e os centros são O.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>Para fins de cálculo, consideraremos a Terra como uma esfera perfeita. Se cor-</p><p>tássemos a Terra ao meio, pela linha do Equador, conseguiríamos dividi-la em</p><p>dois hemisférios (Norte e Sul). Na região do corte, teríamos o círculo máximo.</p><p>Imaginaremos o eixo imaginário da Terra passando pelo centro da esfera. Os</p><p>pontos, por meio dos quais o eixo sai da esfera, são chamados de polos. A secção</p><p>determinada por um plano que contém o eixo é uma circunferência máxima,</p><p>intitulada de meridiano. Já a secção estabelecida por um plano perpendicular</p><p>ao eixo, que passa pelo centro, uma circunferência máxima, é conhecida como</p><p>Equador. Outros planos perpendiculares ao eixo determinam secções, as quais</p><p>são chamadas de paralelos.</p><p>Figura 11 - Interseção de um plano com uma esfera / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: é apresentada uma esfera de raio r e um plano corta a esfera fora do centro. É destacado</p><p>o círculo de raio s, formado pela interseção.</p><p>1</p><p>9</p><p>4</p><p>VOLUME DA ESFERA</p><p>Para o cálculo do volume da esfera, devemos nos apoiar no princípio de Cavalieri:</p><p>Sejam A e B dois sólidos cujas bases se apoiam em um mesmo plano a . Se</p><p>todo plano b intersecciona esses sólidos em secções paralelas ao plano da</p><p>base, de mesma área, então, os volumes serão iguais.</p><p>Figura 12 - Planeta Terra em duas metades</p><p>Descrição da Imagem: uma representação do planeta Terra cortado ao meio pela linha do Equador.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>Consideremos uma esfera de raio R apoiada sobre um plano a . Ainda, sobre</p><p>o mesmo plano, tomemos um cilindro circular reto equilátero cujo raio da</p><p>base, também, meça R e com altura 2R .</p><p>Do cilindro trazido, precisamos retirar dois cones retos cujas bases são</p><p>as do cilindro e vértice comum no ponto A . Ao sólido obtido, chamamos S</p><p>. O vértice A é o ponto médio do segmento, com extremidades nos centros</p><p>O1 e O2 das bases do cilindro.</p><p>O duplo cone retirado é chamado de clepsidra, parecido com uma am-</p><p>pulheta. O restante do cilindro fica conhecido como anticlepsidra. Assim,</p><p>provemos que o volume da esfera é igual ao volume do sólido S .</p><p>Seccionados a esfera e o sólido S por um plano a paralelo ao plano a , com</p><p>uma distância d do centro O da esfera, obtemos, respectivamente, como secções,</p><p>um círculo de raio r e uma coroa circular de raio interno d e externo R .</p><p>Ao analisarmos volumes, o que é a generalização da noção de área, por</p><p>termos mais uma dimensão, algumas novas situações precisam ser</p><p>levadas em consideração. É de se esperar que, se empilhamos caixas de</p><p>papelão, não importa como essa disposição seja feita, pois o volume de</p><p>todas as possíveis pilhas de caixa deve ser o mesmo.</p><p>A ideia intuitiva foi transformada em uma importante proposição pelo</p><p>matemático, e professor da Universidade de Bolonha (Itália), Bonaventura</p><p>Cavalieri (1598-1647), que foi discípulo de Galileu, publicou, em 1635, a</p><p>teoria do indivisível, contendo o que, hoje, é conhecido como “princípio de</p><p>Cavalieri”.</p><p>Em 1647, Cavalieri publicou a obra Exercitationes Geometricae Sex, na</p><p>qual apresentou, de maneira mais clara, a própria teoria.</p><p>A obra mais importante de Cavalieri, Geometria Indivisibilibus Continuo-</p><p>rum (Geometria dos Indivisíveis Contínuos), publicada em 1635, apre-</p><p>senta o princípio, enunciado a seguir, para a comparação dos volumes de</p><p>dois sólidos geométricos.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>1</p><p>9</p><p>6</p><p>Vamos, então, calcular.</p><p>Iniciamos pela área do círculo: A rcirculo � �p 2 , mas como r R d2 2 2� � ,</p><p>temos que A R dcirculo � � �p ( )2 2 .</p><p>Necessitamos calcular, agora, a área da coroa circular:</p><p>A R d R dcoroa � � � � � � �p p p2 2 2 2( ) .</p><p>Como as duas áreas são iguais, pelo princípio de Cavalieri, afirma-se que a esfera</p><p>e o sólido S têm o mesmo volume.</p><p>O cilindro original tem um volume dado por V R R R� � � � �p p2 32 2 .</p><p>Sabemos, também, o seguinte: um cone com base e altura iguais às de um cilindro</p><p>em 1/3 do volume deste; então, cada cone tem um volume V</p><p>R R R</p><p>� � � � �p p</p><p>2 3</p><p>3 3</p><p>.</p><p>Como eliminamos dois cones do cilindro, frente ao volume do sólido S (an-</p><p>ticlepsidra), ficamos com V R R R� � � �</p><p>�</p><p>� �2 2</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>3p</p><p>p</p><p>p .</p><p>Figura 13 - Dedução do volume da esfera / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a imagem apresenta a construção descrita no parágrafo anterior.</p><p>Visualmente, podemos interpretar os passos desta demon-</p><p>stração com a animação a seguir:</p><p>EU INDICO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>7</p><p>https://www.geogebra.org/m/B3Hygpmb.</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 6</p><p>Na sequência, veremos como se calcula a</p><p>área da superfície de uma esfera.</p><p>ÁREA DA SUPERFÍCIE DA ESFERA</p><p>Uma esfera é gerada pela rotação de um se-</p><p>micírculo em torno do diâmetro, então, a</p><p>superfície esférica é obtida pela rotação de</p><p>uma semicircunferência em torno do diâ-</p><p>metro. Considera-se que a esfera é dividida</p><p>em muitas pirâmides finíssimas, cada uma delas com o vértice no centro da</p><p>esfera e as bases dispostas de maneira a formarem um poliedro inscrito na</p><p>esfera com um número muito elevado de faces.</p><p>A área da superfície esférica é obtida ao se multiplicar,</p><p>por 4, a área de um círculo máximo: A R= 4p .</p><p>Duas demonstrações para o fato exposto, com justifi-</p><p>cativas e animações, podem ser encontradas no seguinte</p><p>link: https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8.</p><p>Exemplo:</p><p>1. Qual é o seu volume e qual é a área da superfície do</p><p>globo terrestre se o consideramos uma esfera? Utilize a linha do Equador</p><p>com 40.000 km, aproximadamente.</p><p>Considerando C = 40000 km e C R� �2p , devemos determinar R , com</p><p>p = 3 14, : 40000 2 3 14 40000</p><p>6 28</p><p>6369� � � � �,</p><p>,</p><p>R R km .</p><p>Já descobrimos o valor de $R$, agora, utilizamos a fórmula do formule do</p><p>volume: V R km�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>4</p><p>3</p><p>4 2 14 6369</p><p>3</p><p>1 08 10</p><p>3 3</p><p>12 3p ,</p><p>, : .</p><p>A área da superfície da esfera é dada por A R� �4 2p . No caso do planeta</p><p>Terra, como R km6369 , temos:</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>https://www.youtube.com/watch?v=GNcFjFmqEc8</p><p>A km� � � � �4 3 14 6369 509485862 16 5 09 102 8 2, , , .</p><p>2. Qual é a área coberta de água (em quilômetros quadrados) na superfície</p><p>do globo terrestre? Utilize o seguinte: 2 3/ da superfície do globo são</p><p>cobertos por água, incluindo as informações do exemplo anterior.</p><p>Como A =</p><p>509485862 16, , temos que a área ocupada por água é</p><p>2</p><p>3</p><p>339657241 4 2A km= . .</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>Desenvolvemos os resultados básicos dos corpos redondos mais usados: es-</p><p>fera, cilindro e cone. Abordamos os cilindros e os cones, tão frequentes na</p><p>natureza. Também, estão presente nas construções feitas pelo homem. Ainda,</p><p>desde uma simples casquinha de sorvete até grandes estruturas, por exemplo,</p><p>em partes de silos de armazenamento de grãos. Ainda, no estudo do cone,</p><p>destacamos as relações dele com o estudo das cônicas. Por fim, estudamos</p><p>as esferas. Em particular, vimos como estratégias simples puderam levar o</p><p>homem a calcular o raio da terra.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. De todos os ramos da Matemática, a geometria é uma das mais vistas em aplicação</p><p>no universo, no cotidiano e na natureza. Em especial, temos os sólidos (figuras de três</p><p>dimensões) que apresentam curvas. São eles: cilindro, cone e esfera.</p><p>SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Identifique quais das figuras abaixo nunca poderão ser a sombra de um cilindro:</p><p>Figura – Figuras e sombras de cilindro /</p><p>Fonte: Siqueira e Marcussi (2018, p. 143).</p><p>Descrição da Imagem: são exibidas</p><p>cinco figuras planas: a) retângulo, b) um</p><p>círculo, c) um triângulo, d) um cilindro, e)</p><p>a lateral de um cilindro.</p><p>2. Em um primeiro momento, o estudo que realizamos em geometria se preocupa em</p><p>fundamentar o modelo geométrico (axiomático) de Euclides. Após compreendermos as</p><p>possibilidades dessa geometria, começamos a nos especializar em identificar figuras</p><p>planas e suas propriedades. Naturalmente, generalizamos alguns dos conceitos da</p><p>geometria plana e podemos estudar objetos com três dimensões. Grande parte das</p><p>novas propriedades a respeito destes sólidos é possível devido aos estudos das figuras</p><p>planas que compões esses novos sólidos.</p><p>SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>A base de um cilindro reto tem 4 cm de diâmetro. A altura do cilindro mede também 4</p><p>cm. Determine:</p><p>a) A área da base;</p><p>b) A área lateral;</p><p>c) A área total.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>3. Em algumas teorias matemáticas, buscamos simplificar problemas complexos por meio</p><p>de outros mais simples. No estudo da geometria espacial, também podemos realizar</p><p>essa abordagem. Mas precisamos adaptar para a natureza dos problemas que são de</p><p>interesse, neste caso os, sólidos.</p><p>Uma maneira de apresentar algumas figuras tridimensionais é por meio de rotações de</p><p>figuras com duas dimensões.</p><p>SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Marin-</p><p>gá. Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Considere as seguintes figuras planas :</p><p>Figura – Cones e planificações / Fonte: Siqueira e Marcussi (2018, p. 145).</p><p>Descrição da Imagem: são exibidas cinco figuras planas: a) um quarto de círculo, b) um triângulo, d) a lateral de</p><p>um cilindro, d) um formato de cunha, e) um quadrilátero formado por três segmentos retos e um segmento convexo</p><p>I - A partir de uma rotação da figura b) por uma reta que passa por um de seus vértices,</p><p>podemos obter um cone.</p><p>II - As rotações das figuras b) e d) originam sólidos de mesma forma.</p><p>III - A partir de uma rotação da figura a) podemos obter a metade de uma esfera.</p><p>IV - As rotações das figuras a) e e) originam o mesmo sólido.</p><p>V - A partir de uma rotação da figura e), podemos obter um cilindro reto.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) I e III apenas.</p><p>b) I, apenas.</p><p>c) II e III, apenas.</p><p>d) I e IV, apenas.</p><p>e) I, II e V.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>4. Quando definimos figura planas como os quadriláteros, estudamos a porção do plano</p><p>delimitada por eles. Tal noção é chamada de área e se baseia na decomposição em</p><p>unidades básicas, que escolhemos como quadrados de lados medindo 1 unidade. Um</p><p>estudo análogo pode ser empregado para sólidos, porém precisamos adaptar as áreas</p><p>para suas versões tridimensionais. Isso é o que chamamos de volumes e, assim como</p><p>no caso plano, nos baseamos em volumes básicos que são determinados por cubos</p><p>cujas arestas medem 1 unidade. Assim, a geometria espacial nos fornece relações e</p><p>fórmulas que calculam volumes e áreas totais. Em especial, sabemos calcular volumes</p><p>de cones, cilindros e esferas.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>Dois reservatórios, um cilíndrico e outro cônico, de mesma altura e mesmo raio, estão</p><p>totalmente vazios, e cada um será alimentado por uma torneira, ambas com mesma va-</p><p>zão. O reservatório cilíndrico levou 5 horas e meia para ficar completamente cheio. Qual</p><p>é o tempo necessário para que isso ocorra com o reservatório cônico?</p><p>a) 1 hora e 50 minutos.</p><p>b) 2 horas.</p><p>c) 1 hora.</p><p>d) 2 horas e 15 minutos.</p><p>e) 30 minutos</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>5. Podemos pensar em vários objetos comuns no espaço escolar e que podem servir de</p><p>modelo para sólidos de revolução. Exemplos de objetos que costumam ter o formato</p><p>de um cilindro e que podem ser encontrados facilmente: lápis, cabo da vassoura,</p><p>panelas, giz, lata de lixo, vigas do prédio da escola, dentre outros.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial : Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-</p><p>posta entre elas:</p><p>I - No cilindro circular reto, a medida da geratriz não é igual à medida da altura.</p><p>PORQUE</p><p>II - O cilindro circular reto é um sólido de revolução, gerado pela rotação completa de</p><p>um trapézio por um de seus lados.</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>a) As asserções I e II são falsas.</p><p>b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.</p><p>d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>e) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de</p><p>Matemática, 1985.</p><p>BOYER, C. B. História da matemática. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blucher,</p><p>1974.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014.</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial,</p><p>posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004.</p><p>HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual,</p><p>2004.</p><p>HILBERT, D. Fundamentos de geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.</p><p>LIMA, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001.</p><p>LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: SBM, 1991.</p><p>SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá -PR:</p><p>UniCesumar, 2018.</p><p>WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM,</p><p>2000.</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>1. Temos que a sombra da lateral de um cilindro possui a forma de uma região retangular</p><p>(a), a sombra projetada pelo cilindro visto pelo topo possui a forma de um círculo (b) e a</p><p>sombra projetada pelo cilindro quando ele está inclinado tem a forma composta por duas</p><p>regiões elípticas e uma região retangular sobrepostas (d).</p><p>Assim, c) e e) não podem ser a sombra de um cilindro.</p><p>2. De acordo com os dados do exercício, sabemos que o diâmetro mede 4 cm, logo</p><p>cm. Também, nos é informado que a altura é cm. Vamos calcular o que é pedido</p><p>em cada item:</p><p>a. Como A rb � �p 2</p><p>, temos que A cmb � � �p p2 42 2</p><p>.</p><p>b, Sabemos que A r hl � � � �2 p , logo A cml � � � � �2 2 4 16 2p p .</p><p>c. Utilizando a área da base e a área lateral, temos que A A At l b� � �2 . Dessa forma,</p><p>A cmt � � � �16 2 4 24 2p p p .</p><p>3. I – Verdadeiro: note que se o eixo de rotação é a altura do vértice A, então uma rotação</p><p>em torno desta altura originará um cone.</p><p>II – Falso: a figura d) possui formas arredondadas, já a figura b) é formada por segmentos</p><p>de reta. Assim, as rotações formarão figuras distintas.</p><p>III – Verdadeiro: se realizarmos uma rotação pelo segmento de reta que passa pelos vér-</p><p>tices A e B, teremos</p><p>é qualquer conjunto de pontos.</p><p>FIGURA PLANA:</p><p>é a figura que possui todos os seus pontos no mesmo plano.</p><p>FIGURA ESPACIAL:</p><p>é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.</p><p>GEOMETRIA PLANA:</p><p>é parte da geometria que estuda as formas ou figuras planas.</p><p>GEOMETRIA ESPACIAL:</p><p>é parte da geometria que estuda as formas ou figuras espaciais.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>ÂNGULOS</p><p>Há inúmeras aplicações dos estudos sobre ângulos em várias áreas científicas.</p><p>Na área tecnológica, na construção civil, e muitos outros campos de pesquisa, é</p><p>possível observar sua aplicabilidade principalmente para fazer medidas de arco.</p><p>Estas e outras análises serão feitas ao longo desse tópico.</p><p>Ao observar um canto qualquer da parede da sala onde você está, acompanhe a</p><p>linha do rodapé até o canto de observação, você pode considerar a linha do rodapé</p><p>como um segmento de reta. Este segmento se encontra no canto, com outro seg-</p><p>mento de reta que desce pela parede lateral. Os dois segmentos de reta, ou as duas</p><p>retas-suporte concorrem neste ponto, formando um ângulo de 90º. O canto da pa-</p><p>rede onde as duas retas se encontraram, formando o ângulo, chamaremos de vértice.</p><p>Vamos continuar nossa viagem por mais um ponto muito importante da</p><p>geometria.</p><p>ÂNGULO</p><p>A figura formada por duas semirretas de mesma origem chama-se ângulo.</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>Figura 10 – Ângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: duas semirretas se originam de um mesmo ponto O. Em cada semirreta é destacado um</p><p>ponto, chamados de A e B. Entre as semirretas existe uma região hachurada.</p><p>Na figura acima, o ponto O é denominado vértice do ângulo, e as semirretas OA</p><p>� ���</p><p>e OB</p><p>� ���</p><p>são chamadas de lados do ângulo.</p><p>Indicamos o ângulo AOB escrevendo: ˆAOB (lê-se “ângulo AOB”).</p><p>Observem que o símbolo ^ deve sinalizar o ângulo, por este motivo se en-</p><p>contrará sempre no centro da representação do ângulo.</p><p>1</p><p>6</p><p>UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS</p><p>A medida de ângulo é adotada internacionalmente por graus ( o ) e radianos</p><p>(rad). O grau é representado por um número real positivo e tem por subdivi-</p><p>sões minutos e segundos. Um minuto se representa por 1’ e um segundo por</p><p>1’’. Assim, um grau tem sessenta minutos (60’) e cada minuto se divide em</p><p>sessenta segundos (60’’).</p><p>Exemplo: Se um ângulo mede 25º, 15 minutos e 6 segundos, escrevemos 25º15’6’’.</p><p>Por meio da medida do comprimento da circunferência determina-se a medida</p><p>de um radiano que é a medida unitária considerada como o arco de circun-</p><p>ferência com mesmo comprimento do raio da circunferência.</p><p>Utilizando uma regra de três entre o comprimento de uma circunferência e seu</p><p>raio, podemos perceber que p radianos =180o .</p><p>Para conversão de radianos para graus ou de graus para radianos basta montar</p><p>uma regra de três utilizando uma das relações de equivalência.</p><p>Exemplo: Converter 20 graus em radianos utilizando a relação usual.</p><p>20</p><p>180</p><p>o</p><p>o</p><p>x−</p><p>−p rad</p><p>Logo 180 20</p><p>9</p><p>o x x� � �p</p><p>prad rad .</p><p>Assim como os postulados de Euclides garantem a existência de um modelo</p><p>de geometria, existem axiomas para garantir a medição de ângulos. São eles</p><p>• A todo ângulo corresponde um único número real maior ou igual a zero.</p><p>Este número é zero se e somente se os lados do ângulo coincidem.</p><p>• Existe uma bijeção entre as semirretas de mesma origem que dividem</p><p>um dado semiplano e os números entre zero e 180, de modo que a</p><p>diferença entre os números é a medida do ângulo formado pelas sem-</p><p>irretas correspondentes.</p><p>• Se uma semirreta divide um ângulo, então esse ângulo pode ser escrito</p><p>como a soma de outros dois.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>■ ângulo raso ou de meia volta</p><p>A figura formada por duas semirretas opostas chama-se ângulo raso ou de</p><p>meia volta. Indicamos por ˆ( ) 180� om AOB</p><p>A</p><p>O</p><p>B</p><p>Figura 11 – Ângulo raso / Fonte: o autor.</p><p>Figura 12 – Ângulo nulo / Fonte: o autor.</p><p>Figura 13 – Ângulo de uma volta / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: duas semirretas opostas com pontos A, O e B indicados nessa ordem. Ao redor do ponto</p><p>O, existe um meio círculo.</p><p>Descrição da Imagem: uma semirreta com dois pontos. Um desses pontos é chamada de A e B e o outro O.</p><p>Descrição da Imagem: uma semirreta com dois pontos. Um desses pontos é chamada de A e B e o outro O. Ao</p><p>redor do ponto O existe um círculo, indicando que foi feita uma volta completa.</p><p>Na figura apresentada, OA</p><p>� ���</p><p>e OB</p><p>� ���</p><p>são semirretas opostas. Então ˆAOB é um ân-</p><p>gulo raso.</p><p>A figura formada por duas semirretas coincidentes pode ser:</p><p>■ Ângulo nulo: ˆ( ) 0� om AOB</p><p>A</p><p>OB</p><p>■ Ângulo de uma volta: ˆ( ) 360� om AOB</p><p>A</p><p>OB</p><p>1</p><p>8</p><p>ÂNGULOS CONSECUTIVOS</p><p>Dois ângulos são consecutivos</p><p>quando possuem um vértice e um</p><p>lado comuns.</p><p>Na figura a seguir</p><p>■ ˆAOB e ˆAOC são consecutivos</p><p>porque o vértice O e o lado</p><p>OA são comuns.</p><p>■ ˆBOC e ˆAOC são consecutivos</p><p>porque o vértice O e o lado</p><p>OC são comuns.</p><p>Na figura apresentada, os ângulos</p><p>ˆAOB e ˆAOC são consecutivos, sendo</p><p>a semirreta OA o lado comum. Mas,</p><p>poderíamos dizer também que ˆAOB</p><p>e ˆBOC são consecutivos, tendo a semirreta OB como lado comum. Ou ainda,</p><p>ˆAOC e ˆBOC consecutivos, tendo a semirreta OC como lado comum.</p><p>ÂNGULOS CONGRUENTES</p><p>Dois ângulos são congruentes quando</p><p>têm a mesma medida.</p><p>Figura 14 – Ângulos consecutivos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O</p><p>são traçadas três semirretas, onde uma está entre</p><p>as outras duas. Em cada uma, um ponto é destacado</p><p>nessa ordem e de baixo para cima: A, B e C.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>O</p><p>A</p><p>B</p><p>O</p><p>50º</p><p>A</p><p>C</p><p>O</p><p>50º</p><p>Figura 15 – Ângulo congruentes</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são exibidos dois</p><p>ângulos de medida igual a cinquenta graus,</p><p>entre segmentos de retas diferentes.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>Os ângulos ˆAOB e ˆAOC têm a mesma medida (50º).</p><p>Dizemos então que ˆAOB e ˆAOC são ângulos congruentes e escrevemos:</p><p>ˆ ˆ�AOB AOC (lê-se: “ângulo AOB é congruente ao ângulo AOC”)</p><p>ÂNGULOS ADJACENTES</p><p>Dois ângulos são adjacentes quando possuem um vértice e um lado comum e</p><p>não possuem ponto interno comum.</p><p>Observe na figura: ˆAOB e ˆBOC são consecutivos porque o vértice O e o lado</p><p>OB são comuns. E são adjacentes porque não possuem ponto interno comum.</p><p>A</p><p>B</p><p>O</p><p>C</p><p>Figura 16 – Ângulos adjacentes / Fonte: o autor.</p><p>Figura 17 – Bissetriz de um ângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O</p><p>são traçadas três semirretas, onde uma está entre</p><p>as outras duas. Em cada uma, um ponto é destacado</p><p>nessa ordem e de baixo para cima: A, B e C.</p><p>Descrição da Imagem: a partir do mesmo vértice O</p><p>são traçadas três semirretas, onde uma está entre</p><p>as outras duas e tracejada. Em cada uma, um ponto</p><p>é destacado nessa ordem e de baixo para cima: b, c</p><p>e a. Os ângulos formados entre as três semirretas</p><p>são indicados como iguais.</p><p>BISSETRIZ DE UM ÂNGULO</p><p>A bissetriz é um dos tipos de relações geométricas muito utilizada na geometria.</p><p>Vamos ao conceito: bissetriz de um ângulo é uma semirreta interna ao ângulo,</p><p>com origem no vértice do ângulo e que o divide em dois ângulos congruentes.</p><p>bo</p><p>c</p><p>a</p><p>1</p><p>1</p><p>CLASSIFICAÇÃO DOS ÂNGULOS</p><p>De acordo com suas medidas, os ângulos recebem nomes especiais. Vamos</p><p>estudá-los.</p><p>■ ÂNGULO RETO: é aquele que tem por medida 90º. Notação é um qua-</p><p>drado com um ponto no meio.</p><p>Figura 18 – Ângulo reto</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Figura 19 – Ângulos agudos</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são indi-</p><p>cados dois segmentos formando</p><p>um ângulo reto.</p><p>Descrição da Imagem: são indi-</p><p>cados dois segmentos formando</p><p>um ângulo de 30º.</p><p>A</p><p>O</p><p>B</p><p>90º</p><p>A</p><p>B</p><p>O</p><p>30º</p><p>D</p><p>CO</p><p>120º</p><p>A</p><p>O</p><p>B</p><p>90º</p><p>A</p><p>B</p><p>O</p><p>30º</p><p>D</p><p>CO</p><p>120º</p><p>■ ÂNGULO AGUDO: é aquele cuja medida é menor que 90º, ou menor</p><p>que um ângulo reto.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>■ ÂNGULO OBTUSO: é aquele cuja medida é maior que 90º (ângulo</p><p>reto) e menor que 180º.</p><p>A</p><p>O</p><p>B</p><p>90º</p><p>A</p><p>B</p><p>O</p><p>30º</p><p>D</p><p>CO</p><p>120º</p><p>Figura 20 – Ângulo obtuso / Fonte: o autor.</p><p>Figura 21 – Ângulos complementares com vértices distintos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são indicados</p><p>a metade de uma esfera.</p><p>IV – Falso: na figura a), tanto uma rotação pela reta que passa por A e B, quanto uma</p><p>rotação que passa pelos vértices B e C, dará origem a metade de uma esfera. Por outro</p><p>lado, nenhuma rotação da figura poderá formar metade de uma esfera.</p><p>V – Falso: para um cilindro reto, é necessária a rotação de um retângulo, mas a figura e)</p><p>não é um retângulo.</p><p>4. De acordo com as fórmulas de cada volume, o volume do cilindro é 3 vezes o volume do</p><p>cone. Dessa forma, dentro do cilindro cabem 3 cones. Para encher o cilindro, leva-se 5</p><p>horas e meia, 5h30min, ou ainda, 330 minutos.</p><p>Para encher o cone, temos: T</p><p>tempodocilindro</p><p>cone = = =</p><p>3</p><p>330</p><p>3</p><p>110 minutos.</p><p>Portanto, 110 minutos é igual a 1 hora e 50 minutos. Letra “a”.</p><p>FÓRMULA:</p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Volume do cilindro: V r h� � �p 2</p><p>Volume do cone: V</p><p>r h</p><p>�</p><p>� �p 2</p><p>3</p><p>5. I – FALSO: Por definição, qualquer segmento paralelo ao eixo e com uma extremidade</p><p>em cada circunferência das bases é denominado geratriz. Logo, a geratriz tem medida</p><p>igual a altura.</p><p>II – FALSO: Por definição, o cilindro circular reto é um sólido de revolução, gerado pela</p><p>rotação completa de um retângulo por um de seus lados.</p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>UNIDADE 3</p><p>MINHAS METAS</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO</p><p>DO PONTO E RETA</p><p>ME. MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA</p><p>Compreender os conceitos iniciais da Geometria Analítica e os relacionar</p><p>com a sua utilidade prática.</p><p>Calcular a distância entre dois pontos e identificar o ponto médio entre eles.</p><p>Analisar a condição de alinhamento de três pontos.</p><p>Examinar as diferentes apresentações da equação da reta.</p><p>Diferenciar as condições para posição entre duas retas (concorrentes, per-</p><p>pendiculares e interseção).</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 7</p><p>1</p><p>1</p><p>8</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, você estudará os principais elementos da</p><p>Geometria Analítica no plano.  Por isso, neste momento, nós nos dedicaremos a</p><p>estudar os conceitos: Ponto e Reta.</p><p>Vamos ouvir um resumo do que estudaremos nesta unidade.</p><p>Volte sempre a ouvir este Podcast para retomar os conteú-</p><p>dos estudados.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>De um ponto de vista histórico, pode-se dizer que a Geometria Analítica teve</p><p>início com a obra La geométrie, escrita por René Descartes. Descartes (1596-</p><p>1650), embora fosse licenciado em Direito, realizou brilhantes contribuições às</p><p>áreas de Física e Matemática. Ele introduziu as bases da Geometria Analítica, ao</p><p>introduzir as ideias de eixos e de coordenadas (o conhecido plano cartesiano),</p><p>que permitiram traduzir um problema geométrico para a linguagem algébrica</p><p>e, reciprocamente, dar uma interpretação geométrica a determinadas equações.</p><p>Desde então, a Geometria Analítica tem evoluído e se tornado um item de</p><p>fundamental importância em áreas como engenharia e computação.</p><p>Apresentamos, aqui, um pequeno exemplo ilustrativo que ressalta a impor-</p><p>tância da Geometria Analítica. Imagine a seguinte situação intrigante: você des-</p><p>cobre um antigo mapa deixado pelo seu falecido bisavô, que revela a localização</p><p>precisa de um tesouro enterrado na propriedade da família. No entanto decifrar</p><p>o mapa não é uma tarefa simples e, para preservar as características originais do</p><p>local, seu bisavô estipulou que apenas uma única escavação seria permitida para</p><p>desenterrar o tesouro.</p><p>O mapa era baseado em um pé de goiaba e dois pés de manga, localizados</p><p>próximos à casa do sítio. As instruções do seu bisavô eram as seguintes:</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>9</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19313</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>1. Partindo do pé de goiaba, caminhe até o pé de manga a sua esquerda,</p><p>contando os passos. Chegando lá, gire à direita 90 graus e caminhe o</p><p>mesmo número de passos. Onde chegar, faça uma marca.</p><p>2. Voltando novamente ao pé de goiaba, ande até chegar ao pé de manga à</p><p>sua direita, contando os passos. Chegando lá, gire à esquerda 90 graus,</p><p>caminhe o mesmo número de passos e faça uma marca nesta posição.</p><p>3. O tesouro está enterrado exatamente na reta que liga estas duas marcas e</p><p>a mesma distância das duas marcas.</p><p>A Figura 1 traz um esboço do problema proposto, incluindo as goiabeiras e a</p><p>mangueira.</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>Figura 1 - Mapa do tesouro / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: esboço do mapa do quintal. O ponto G representa a goiabeira. O ponto M1 representa a</p><p>mangueira à esquerda da goiabeira. O ponto M2 representa a mangueira à direita da goiabeira.</p><p>Como você resolverá o problema do tesouro?</p><p>PENSANDO JUNTOS</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Antes de solucionar este problema, você deve estudar os conteúdos de Geometria</p><p>Analítica, os quais serão de grande valia na solução desta tarefa. Nesta unidade,</p><p>iniciaremos o estudo sobre Ponto e Plano Cartesiano.</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>Nesta unidade, precisaremos calcular determinantes de</p><p>ordem três, então, vamos relembrar?</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>PONTO E PLANO CARTESIANO</p><p>A representação gráfica de pontos no plano é feita por meio do plano cartesia-</p><p>no. Este nome é homenagem a Renê Descartes, que foi um dos precursores da</p><p>Geometria Analítica. Utilizando o plano cartesiano, torna-se possível realizar</p><p>a representação da posição de qualquer objeto no plano. Diversas atividades o</p><p>utilizam, como a cartografia.</p><p>Nesse sentido, a localização de um ponto no plano cartesiano é feita pelas</p><p>coordenadas do plano P (abscissa, ordenada)=P(x,y). A localização do ponto</p><p>no eixo x é denominada abscissa, enquanto no eixo y é denominada ordenada,</p><p>as quais são denominadas coordenadas do ponto. Tais valores correspondem a</p><p>uma espécie de endereço do ponto. É importante que você saiba que a ordem</p><p>das coordenadas é fundamental; caso você troque a ordem da abscissa com a</p><p>ordenada, o ponto representado se modifica.</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>■ O ponto A (5,-3) possui as coordenadas 5 e -3, sendo 5 sua abscissa e -3</p><p>sua ordenada.</p><p>■ O ponto B (6,5) possui as coordenadas 6 e 5, sendo 6 sua abscissa e 5 sua</p><p>ordenada.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>■ O ponto C (4,5, -3,5) possui as coordenadas 4,5 e -3,5, sendo 4,5 sua</p><p>abscissa e -3,5 sua ordenada.</p><p>■ O ponto D (0,0) possui coordenadas 0 e 0, sendo 0 sua abscissa e 0 sua</p><p>ordenada. O ponto D é denominado origem.</p><p>Os pontos exemplificados estão esboçados na Figura 2.</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�������</p><p>�������</p><p>������</p><p>�����</p><p>������</p><p>Figura 2 - Representação gráfica de pontos / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: representação do plano cartesiano, o ponto A tem abscissa -5 e ordenada 3, está localizado</p><p>no segundo quadrante. O ponto B tem abscissa 6 e ordenada 5, está localizado no primeiro quadrante. O ponto</p><p>C tem abscissa 4,5 e ordenada 3.5 negativo, está localizado no quarto quadrante. O ponto D tem abscissa 0 e</p><p>ordenada 0, está localizado na origem do plano cartesiano.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Uma consideração importante sobre o plano cartesiano é a seguinte: os eixos</p><p>x e y dividem o plano em quatro regiões denominadas quadrantes (BOULOS;</p><p>CAMARGO, 2004).</p><p>■ Os pontos pertencentes ao primeiro quadrante possuem abscissas e or-</p><p>denadas positivas.</p><p>■ Os pontos pertencentes ao segundo quadrante possuem abscissas nega-</p><p>tivas e ordenadas positivas.</p><p>■ Os pontos pertencentes ao terceiro quadrante possuem abscissas e orde-</p><p>nadas negativas.</p><p>■ Os pontos pertencentes ao quarto quadrante possuem abcissas positivas</p><p>e ordenadas negativas.</p><p>Exemplo 1: o triângulo a seguir foi construído no plano cartesiano, indique em</p><p>qual quadrante cada um dos vértices se encontra:</p><p>�������</p><p>������</p><p>�������</p><p>Figura 3 - Triângulo construído no plano cartesiano / Fonte: a autora.</p><p>Solução: o ponto (3,1) tem abscissas e ordenadas positivas, por isso está locali-</p><p>zado no primeiro quadrante. O ponto (-2,3) está no segundo quadrante porque</p><p>possui abscissa negativa e ordenada positiva. O ponto (-4,-2) está no terceiro</p><p>quadrante possui abscissa e ordenada negativa.</p><p>Descrição da Imagem: triângulo lilás com os vértices (-2,3), (3,1) e (-4,-2).</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM</p><p>7</p><p>DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS</p><p>Agora que você já sabe representar um ponto no plano cartesiano, poderá ima-</p><p>ginar como determinar a distância entre dois pontos.</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>Dados dois pontos, como você pode calcular a distância entre eles?</p><p>O nosso objetivo é descobrir a distância entre os pontos A e B. Para isso, utiliza-</p><p>remos o conhecido Teorema de Pitágoras.</p><p>B</p><p>AC</p><p>2y</p><p>1y</p><p>1x2x</p><p>Figura 4 - Distância entre dois pontos / Fonte: a autora.</p><p>Observe que as coordenadas dos pontos são coordenadas dos pontos A x yA A( , )</p><p>e B x yB B( , ). Note também que os pontos A, B e C formam um triângulo retân-</p><p>gulo, com o lado AB representando sua hipotenusa. Os catetos AC e BC medem</p><p>respectivamente x xA B− e y yA B− . Denominada a medida do lado AB por d,</p><p>temos que a distância entre os pontos A e B é dada por:</p><p>Descrição da Imagem: representação geométrica no plano cartesiano do Teorema de Pitágoras.</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>d x x y yA B A B� � � �( ) ( )2 2 (1)</p><p>Para que você compreenda melhor, façamos dois exemplos.</p><p>Exemplo 2: calcule a distância entre os pontos A( , )1 1− e B( , )3 1 .</p><p>Portanto, temos que:</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>.</p><p>Você pode calcular a distância entre os pontos A e B utilizando a Equação (1).</p><p>Fazendo isso, obtemos:</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>� � � � �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>1 3 1 1</p><p>2 2</p><p>4 4</p><p>8</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>Exemplo 3: ache o comprimento do segmento cujos extremos são dados pelos</p><p>pontos (2,-1) e (-1,3).</p><p>O comprimento do segmento que possui os pontos dados como extremos</p><p>nada mais é que a distância entre tais pontos. Portanto, temos que:</p><p>x</p><p>x</p><p>y</p><p>y</p><p>A</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>.</p><p>Sendo assim, você pode calcular da mesma forma que no exemplo anterior:</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>� � � � � �</p><p>� � � � �</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( ( )) (( ) )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>2 1 1 3</p><p>2 1 1 3</p><p>3 4</p><p>9 16</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>55</p><p>5d �</p><p>PONTO MÉDIO</p><p>A pergunta que você deve responder agora é outra: dados dois pontos no plano</p><p>cartesiano, como você faria para determinar as coordenadas do ponto médio do</p><p>segmento que liga esses dois pontos? Este é um problema muito importante da</p><p>Geometria Analítica plana, e você o utilizará para resolver o problema motivador</p><p>do início da unidade. Para isso, considere a figura a seguir.</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>��</p><p>Figura 5 - Ponto médio / Fonte: a autora.</p><p>Para determinar as coordenadas do ponto médio do segmento que une os pon-</p><p>tos A e B , você deve considerar que a distância entre A e M é a mesma</p><p>entre B e M . Assim, denominando dAM como a distância entre A e M ; dBM</p><p>Descrição da Imagem: representação do ponto médio M do segmento AB, no plano cartesiano.</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>como a distância entre B e M ; e ( , )x yM M como as como as coordenadas do</p><p>ponto M , temos:</p><p>d dAM BM=</p><p>( ) ( ) ( ) ( )x x y y x x y yM A M A B M B M� � � � � � �2 2 2 2</p><p>Elevando ambos os membros ao quadrado e desenvolvendo os produtos notáveis,</p><p>obtemos:</p><p>x x x x y y y y x x x x y y y yM M A A M M A A B B M M B B M M</p><p>2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2� � � � � � � � � � �</p><p>Simplificando a última equação, podemos escrever:</p><p>2 2 2 2 2 2x x x y y y x x y yM A M A B B A B AB( ) ( )� � � � � � �</p><p>Reconhecemos do membro direito da equação o produto da soma pela diferença.</p><p>Assim, temos:</p><p>2 2x x x y y y x x x x y y y yM A M A B A A B A B A BB B( ) ( ) ( )( ) ( )( )� � � � � � � � �</p><p>Comparando os dois membros da equação anterior, percebemos que, para a</p><p>igualdade ser mantida, devemos ter:</p><p>2</p><p>2</p><p>x x x</p><p>y y y</p><p>M A</p><p>M A B</p><p>B� �</p><p>� �</p><p>( )</p><p>( )</p><p>O que nos leva às coordenadas do ponto médio de um segmento:</p><p>x x x</p><p>y y y</p><p>M</p><p>A</p><p>M</p><p>A B</p><p>B�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>2</p><p>2</p><p>Para que você fixe esta ideia, façamos um exemplo.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Exemplo 4: determine as coordenadas do ponto médio do segmento cujos ex-</p><p>tremos são os pontos (2,-1) e (-1,3).</p><p>Para resolver este exemplo, você deve utilizar as equações deduzidas ante-</p><p>riormente.</p><p>Dessa forma,</p><p>x</p><p>y</p><p>M</p><p>M</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>( ( ))</p><p>(( ) )</p><p>2 1</p><p>2</p><p>1 3</p><p>2</p><p>Com isso, as coordenadas do ponto médio do segmento dado são:</p><p>x</p><p>y</p><p>M</p><p>M</p><p>=</p><p>=</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>Ou seja,</p><p>1</p><p>2</p><p>1,</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� .</p><p>1</p><p>1</p><p>8</p><p>ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS</p><p>Quando três pontos estão em linha reta, dizemos que eles são colineares, con-</p><p>forme podemos observar na Figura 6.</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 6 - Os pontos A, B e C são colineares / Fonte: a autora.</p><p>Na Figura 7, temos um exemplo dos pontos D, E e F são não colineares, pois o</p><p>ponto F está fora da reta.</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 7 - Os pontos D, E e F são não colineares / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: representação de uma reta, com os pontos A, B e C estão nesta reta e, por isso, são colineares.</p><p>Descrição da Imagem: representação de uma reta, os pontos E e D pertencem a reta e o ponto F está fora da</p><p>reta, ou seja, ou pontos são não colineares.</p><p>Para compreender a demonstração da condição de alinhamen-</p><p>to de três pontos, relembraremos Semelhança de triângulos.</p><p>EU INDICO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>9</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20554</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Observe a Figura 8, nela, temos os pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) ,</p><p>três pontos distintos em linha reta, ou seja, colineares (alinhados). Temos que</p><p>os triângulos ABC e BCE são retângulos em D e E, respectivamente, bem como</p><p>apresentam lados proporcionais, logo são semelhantes.</p><p>��</p><p>��</p><p>��</p><p>�� �� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 8 - Alinhamento de três pontos / Fonte: a autora.</p><p>Como o triângulo ABD é semelhante ao triângulo BCE, podemos escrever a relação:</p><p>x x</p><p>x x</p><p>y y</p><p>y y</p><p>b a</p><p>c b</p><p>b a</p><p>c b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Multiplicando meios e extremos, temos:</p><p>( ).( ) ( ).( )x x y y x x y yb a c b c b b a� � � � �</p><p>Equação esta que podemos expressar na forma:</p><p>( ).( ) ( ).( ) 0b a c b c b b ax x y y x x y y− − − − − =</p><p>Resolvendo os produtos, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação,</p><p>temos:</p><p>x y x y x y x y x y x y x y x yb c b b a c a b c b c a b b b a� � � � � � � �( ) 0</p><p>Descrição da Imagem: representação do Triângulo ADB retângulo em D, e do triângulo retângulo BEC em E.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Fazendo a regra de sinais:</p><p>x y x y x y x y x y x y x y x yb c b b a c a b c b c a b b b a� � � � � � � � 0</p><p>Juntando os termos semelhantes:</p><p>x y x y x y x y x y x yb c a c a b c b c a b a� � � � � � 0</p><p>Agrupando xa e ya , temos:</p><p>( ) ( ) ( )x y x y x y x y x y x ya b a c c a b a b c c b� � � � � � 0</p><p>Colocando os termos comuns em evidência:</p><p>x y y y x x x y x ya b c a c b b c c b( ) ( ) ( )� � � � � � 0</p><p>Que podemos escrever em forma de determinante:</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>a a</p><p>b b</p><p>c c</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0=</p><p>Dessa forma, concluímos que:</p><p>Três pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) estão alinhados ou colineares,</p><p>se, e somente se, o determinante</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>a a</p><p>b b</p><p>c c</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0= . Quando o determinante não</p><p>for igual a zero, é porque os pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) são vérti-</p><p>ces de um triângulo.</p><p>Substituindo as coordenadas dos pontos na matriz</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>a a</p><p>b b</p><p>c c</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0= e apli-</p><p>cando a Regra de Sarrus, podemos verificar se o determinante desta matriz é igual</p><p>a zero, se for, os pontos são colineares, se não for igual a zero, é porque os pontos</p><p>não são colineares (formam um triângulo).</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Solução geométrica: por meio da localização dos pontos no plano cartesiano.</p><p>Solução algebricamente: por meio do cálculo.</p><p>Exemplo 5: verificaremos, geométrica e algebricamente, se os pontos A(2,5),</p><p>B(3,7), e C(5,11) estão alinhados (são colineares):</p><p>Solução geométrica: observaremos a localização dos pontos no plano car-</p><p>tesiano na Figura 9.</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>11</p><p>-12-11-10 -9 -8</p><p>-8</p><p>-7</p><p>-7</p><p>-6</p><p>-6</p><p>-5</p><p>-5</p><p>-4</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-2</p><p>-1-</p><p>A</p><p>B</p><p>Cy</p><p>x</p><p>Figura 9 - Solução geométrica do Exercício 5 / Fonte: a autora.</p><p>Observamos, no plano cartesiano (Figura 9), que os pontos A, B e C estão ali-</p><p>nhados e são colineares.</p><p>Solução algébrica: temos xa = 2 e ya = 5 , xb = 3 e yb = 7 , e xc = 5 e</p><p>yc =11.</p><p>Descrição da Imagem: representação geométrica dos pontos A, B, C, e são colineares.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>Substituindo na condição de alinhamento de três pontos</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>a a</p><p>b b</p><p>c c</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0= , temos:</p><p>2 5 1</p><p>3 7 1</p><p>5 11 1</p><p>0= calculando o determinante da matriz pela Regra de Sarrus, teremos:</p><p>1º Passo: repetimos as duas primeiras colunas matriz original.</p><p>2 5 1</p><p>3 7 1</p><p>5 11 1</p><p>2 5</p><p>3 7</p><p>5 11</p><p>2º Passo: calculamos o valor na direção da diagonal principal da matriz, multi-</p><p>plicando os elementos:</p><p>2 5 1</p><p>3 7 1</p><p>5 11 1</p><p>2 5</p><p>3 7</p><p>5 11</p><p>0�</p><p>Teremos:</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>( . . ) ( . . ) ( . . )2 7 1 5 1 5 1 3 11</p><p>14 25 33</p><p>72</p><p>3º Passo: calculamos o valor na direção da diagonal secundária da matriz, mul-</p><p>tiplicando os elementos:</p><p>2 5 1</p><p>3 7 1</p><p>5 11 1</p><p>2 5</p><p>3 7</p><p>5 11</p><p>0�</p><p>t</p><p>l</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Teremos:</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>( . . ) ( . . ) ( . . )5 3 1 2 1 11 1 7 5</p><p>15 22 35</p><p>72</p><p>4º Passo: subtraímos o valor da diagonal secundária do valor</p><p>diagonal principal, para encontrar o valor do determinante</p><p>da matriz, se ele for igual a zero, os pontos estão alinhados:</p><p>D D DP S� � � � �72 72 0</p><p>Portanto, os pontos A, B e C estão alinhados, ou seja, são co-</p><p>lineares.</p><p>Exemplo 6: considerando os pontos A(2,2), B(-2,-1) e</p><p>C(-3,1), verifique se eles estão alinhados e represente, geo-</p><p>metricamente.</p><p>2 2 1</p><p>2 1 1</p><p>3 1 1</p><p>2 2</p><p>2 1</p><p>3 1</p><p>0� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>P</p><p>P</p><p>P</p><p>� � � � � �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>( .( ). ) ( . .( )) ( .( ). )2 1 1 2 1 3 1 2 1</p><p>2 6 2</p><p>10</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>S</p><p>S</p><p>S</p><p>� � � � � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>( .( ). ) ( . . ) ( .( ).( ))2 2 1 2 1 1 1 1 3</p><p>4 2 3</p><p>1</p><p>D D DP S� � � � � � �10 1 11</p><p>Portanto, os pontos A, B e C não estão alinhados, ou seja, não</p><p>colineares.</p><p>Quando o determinante é diferente zero, os pontos NÃO</p><p>estão alinhados.</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>Representação geométrica:</p><p>1 2 3 4 5 6 7</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>-7 -6 -5 -4 -3 -2</p><p>-2</p><p>-1</p><p>-1</p><p>y</p><p>x</p><p>C</p><p>(-3,1)</p><p>(-2,-1)</p><p>(2,2)</p><p>A</p><p>B</p><p>Figura 10 - Representação geométrica do Exemplo 6 / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: representação geométrica dos pontos A, B, C, e não são colineares.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>EQUAÇÃO DA RETA</p><p>É possível determinar a equação da reta no plano cartesiano quando são conhe-</p><p>cidos: um ponto e o coeficiente angular da reta ou dois pontos da reta.</p><p>Coeficiente angular é o número que mede a inclinação (ou declividade) de</p><p>uma reta em relação ao eixo das abscissas. Logo, na equação reduzida da</p><p>reta, segundo a lei de formação y mx n� � , dizemos que m é o</p><p>coeficiente angular dessa reta, ou, então, dada a equação geral de uma reta:</p><p>ax by c� � � 0 , dizemos que −</p><p>a</p><p>b</p><p>é o coeficiente angular dessa reta.</p><p>Esta equação pode receber as seguintes denotações: equação geral da</p><p>reta, equação reduzida da reta e equação segmentária da reta. Agora vamos</p><p>estudar as regularidades de cada uma delas.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>Equação Geral da Reta</p><p>a) Equação geral da reta quando é conhecido um ponto e o seu coefi-</p><p>ciente angular.</p><p>Uma das formas de representar uma reta r, no plano cartesiano, por meio de uma</p><p>equação, é conhecendo um ponto dessa reta e a sua inclinação (coeficiente angular).</p><p>Temos a reta r (não vertical) que passa pelo ponto A x yA A( , ) e tem coeficiente</p><p>angular (m). Para obter a equação dessa reta, é preciso o ponto P(x,y) tal que o</p><p>ponto P seja diferente do ponto A ( )P A≠ .</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>x - xA</p><p>y - yA</p><p>P(x,y)</p><p>A(xA,yA)</p><p>y</p><p>x</p><p>� m tga�</p><p>Ax</p><p>Ay</p><p>y</p><p>x</p><p>Figura 11 - Equação geral da reta / Fonte: a autora.</p><p>Como podemos observar na Figura 11, o coeficiente angular (m) é obtido por</p><p>meio das propriedades trigonométricas do triângulo retângulo, dado pela fór-</p><p>mula: m tg� � .</p><p>Sendo que tg</p><p>catop</p><p>catad</p><p>� � , em que cat op é cateto oposto e cat ad é cateto adja-</p><p>cente, logo, podemos escrever: m</p><p>y y</p><p>x x</p><p>A</p><p>A</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>multiplicando meios e extremos, temos:</p><p>y y m x xA A� � �( )</p><p>Assim, obtemos uma equação da reta.</p><p>Exemplo 7: determine a equação da reta r que passa pelo ponto A (2,1) e tem</p><p>coeficiente angular igual a 2 (m=2).</p><p>Temos xA = 2 , yA = 2 e m = 2 .</p><p>Substituindo em y y m x xA A� � �( ) teremos:</p><p>y x� � �1 2 2( ) , aplicando a propriedade distributiva temos:</p><p>y x� � �1 2 4 , igualando a zero, teremos:</p><p>y x� � � �1 2 4 0 , resolvendo os termos semelhantes:</p><p>y x� � �2 3 0 esta é a equação da reta que passa pelo ponto A, com o coe-</p><p>ficiente angular igual a 2.</p><p>Descrição da Imagem: representação da reta r com coeficiente angular (m), passa pelo ponto P(x,y).</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>b) Equação geral da reta quando são conhecidos dois de seus pontos.</p><p>Por dois pontos distintos passa uma única reta. Assim, também podemos deter-</p><p>minar a equação da reta quando são conhecidos dois de seus pontos.</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>a a</p><p>b b</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0=</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>a a</p><p>b b</p><p>a a</p><p>b b</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>xy x y x y x y xy x y</p><p>x y y y x x x y x y</p><p>A B A B B A B A</p><p>A B B A A B B A</p><p>� � � � � �</p><p>� � � � � �</p><p>0</p><p>0( ) ( ) ( )</p><p>Como xA , xB , yA e yB são valores reais, podemos fazer:</p><p>y y a</p><p>x x b</p><p>x y x y c</p><p>A B</p><p>B A</p><p>A B B A</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>Exemplo 8: determine a equação da reta que passa pelos pontos A(2,5) e B(3,7),</p><p>e represente geometricamente:</p><p>Solução: temos xA = 2 , yA = 5 e xB = 3 , yB = 7 .</p><p>1º Passo: substituir as coordenadas dos pontos na fórmula e resolver:</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>a a</p><p>b b</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0=</p><p>Assim, teremos a</p><p>fórmula da equação</p><p>geral da reta</p><p>ax by c� � � 0 .</p><p>1</p><p>1</p><p>8</p><p>x y x y1</p><p>2 5 1</p><p>3 7 1</p><p>2 5</p><p>3 7</p><p>0=</p><p>Temos na diagonal principal:</p><p>D x y</p><p>D x y</p><p>P</p><p>P</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>( . . ) ( . . ) ( . . )5 1 1 3 1 2 7</p><p>5 3 14</p><p>E, na diagonal secundária:</p><p>D y x</p><p>D y x</p><p>S</p><p>S</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>( . . ) ( . . ) ( . . )2 1 1 7 1 5 3</p><p>2 7 15</p><p>Como temos D DP S� � 0 :</p><p>5 3 14 7 2 15 0x y x y� � � � � �( )</p><p>Resolvendo: � � � �2 1 0x y , essa é a equação geral da reta que passa pelos pontos</p><p>A(2,5) e B(3,7).</p><p>Todas as retas no plano cartesiano apresentam uma equação na forma</p><p>ax by c� � � 0 , em que a, b e c são constantes e a e b não são, simultane-</p><p>amente, nulos. E quando a é nulo, a reta é paralela ao eixo x e, consequente-</p><p>mente, quando b é nulo, a reta é paralela ao eixo y.</p><p>PENSANDO JUNTOS</p><p>Equação reduzida da reta</p><p>Para determinarmos a equação reduzida da reta, isolamos y, na equação geral da</p><p>reta ( )ax by c� � � 0 .</p><p>Na equação ax by c� � � 0 , em que a, b e c são números reais, ao isolarmos</p><p>y temos:</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>by ax c� � � y</p><p>a</p><p>b</p><p>x c</p><p>b</p><p>� � �</p><p>Em que −</p><p>a</p><p>b</p><p>é o coeficiente angular (m) da reta e −</p><p>c</p><p>b</p><p>é o coeficiente linear (n)</p><p>da reta.</p><p>Sendo assim, y mx n� � é a forma reduzida da equação da reta.</p><p>Quando temos a equação geral da reta, basta isolarmos y para termos a equa-</p><p>ção reduzida da reta.</p><p>Exemplo 9: determinaremos a equação reduzida da reta, que passa pelos pontos</p><p>A(2,5) e B(3,7):</p><p>Solução: temos xA = 2 , yA = 5 e xB = 3 , yB = 7 .</p><p>Já resolvemos este exemplo anteriormente, encontrando a equação geral des-</p><p>sa reta pela condição de alinhamento dos pontos. Agora, primeiro, determina-</p><p>remos o coeficiente angular, usando a fórmula: m y y</p><p>x x</p><p>A</p><p>A</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>em x e y, neste caso,</p><p>são xB e yB , logo:</p><p>m �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>7 5</p><p>3 2</p><p>2</p><p>1</p><p>2 considerando o ponto A(2,5) e substituindo na fórmula</p><p>y y m x xA A� � �( ) , temos:</p><p>y x</p><p>y x</p><p>y x</p><p>y x</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>5 2 2</p><p>5 2 4</p><p>2 4 5</p><p>2 1</p><p>( )</p><p>Esta é a equação reduzida da reta que passa pelos pontos A(2,5) e B(3,7) e tem</p><p>coeficiente angular 2 e coeficiente linear 1.</p><p>O coeficiente linear é a ordenada do ponto em que a reta intercepta (corta) o eixo</p><p>das ordenadas (eixo y).</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>ÂNGULOS ENTRE DUAS RETAS</p><p>Consideraremos duas retas distintas (r e s) e concorrentes do plano, não perpen-</p><p>diculares entre si e oblíquas aos eixos coordenados. Como podemos observar</p><p>na Figura 12, temos um ângulo formado entre essas retas, denominado por α .</p><p>r</p><p>y</p><p>s</p><p>0</p><p>x�</p><p>�</p><p>�</p><p>Figura 12 - Ângulo entre duas retas / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: representação do plano cartesiano, com as retas r, em azul e reta s, em vermelho, formando</p><p>o ângulo a entre elas.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>TEMA</p><p>DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Para determinar o ângulo α formado entre as retas, utilizaremos a fórmula da</p><p>tangente e o coeficiente angular das retas, no triângulo ABC, podemos observar</p><p>na Figura 13:</p><p>ry</p><p>s</p><p>0 x</p><p>�</p><p>�</p><p>A C</p><p>B</p><p>180º -</p><p>r�s�</p><p>Figura 13 - Representação das retas r e s / Fonte: a autora.</p><p>Temos � � �r s� � � � �� �r s tg tg r s� � �� �( ) utilizando a</p><p>igualdade trigonométrica, temos: tg</p><p>tg tg</p><p>tg tg</p><p>r s</p><p>r s</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�1 .</p><p>tg</p><p>m m</p><p>m m</p><p>r s</p><p>r s</p><p>� �</p><p>�</p><p>�1 .</p><p>.</p><p>Como β é um ângulo agudo, tgβ >0 e β pode ser calculado pela expressão:</p><p>tg m m</p><p>m m</p><p>r s</p><p>r s</p><p>� �</p><p>�</p><p>�1 .</p><p>Exemplo 10: determine o ângulo formado entre as retas r x y: � � 0 e</p><p>s x y: 2 4 0� � .</p><p>Solução: para determinar o ângulo formado entre estas retas, precisamos do</p><p>coeficiente angular, então, passaremos as equações da forma geral para forma</p><p>reduzida e verificaremos o valor de m (coeficiente angular).</p><p>Descrição da Imagem: representação das retas r e s no plano cartesiano e os ângulos formados entre as retas</p><p>e o eixo x.</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>Temos a equação da geral da reta r x y: � � 0 , logo a equação reduzida é</p><p>y x� � , e o coeficiente angular dessa reta é -1 ( )mr � �1 .</p><p>A equação geral da reta s x y: 2 4 0� � , logo, a equação reduzida será:</p><p>4 12 2y x� � y</p><p>x</p><p>� �</p><p>12</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>y x</p><p>� �3</p><p>2</p><p>, portanto, o coeficiente angu-</p><p>lar da reta s é −</p><p>1</p><p>2</p><p>, ms � �( )</p><p>1</p><p>2</p><p>.</p><p>Agora que já conhecemos os valores dos coeficientes angulares, substituire-</p><p>mos na fórmula do ângulo entre duas retas:</p><p>tg m m</p><p>m m</p><p>r s</p><p>r s</p><p>� �</p><p>�</p><p>�1 .</p><p>tg� �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>( ) ( )</p><p>( ).( )</p><p>1</p><p>2</p><p>1</p><p>1 1</p><p>2</p><p>1</p><p>tg� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>( )1</p><p>2</p><p>1</p><p>1 1</p><p>2</p><p>tg� �</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>tg� �</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>3</p><p>. tg� �</p><p>1</p><p>3</p><p>Para determinarmos o ângulo β , fazemos arctg</p><p>1</p><p>3</p><p>, ou seja, aproximadamente, 18º.</p><p>DISTÂNCIA ENTRE O PONTO E RETA</p><p>Para calcularmos a distância entre um ponto P x yP P( , ) e uma reta</p><p>r ax by c: � � � 0 , precisamos da equação da reta e das coordenadas do ponto,</p><p>pois unindo o ponto à reta, por meio de um segmento que forma com a reta um</p><p>ângulo reto (90º), é possível determinar a distância entre eles, como podemos</p><p>visualizar na Figura 14, pois a distância é definida traçando um segmento entre</p><p>o ponto e a reta, formando com esta, um ângulo reto.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Y</p><p>0 XXA XB</p><p>YB</p><p>YA</p><p>A AA(x ;y )</p><p>AB</p><p>B(x ;y )B B</p><p>ax+by+c=0</p><p>P(x ;y )P P</p><p>d</p><p>d</p><p>Figura 14 - Distância entre ponto e reta / Fonte: a autora.</p><p>No triângulo PAB, temos sua área determinada por base x altura, divididos por 2.</p><p>A b h</p><p>=</p><p>.</p><p>2</p><p>, substituindo pelas coordenadas da Figura 14, temos: A</p><p>d dAB</p><p>=</p><p>.</p><p>2</p><p>.</p><p>Definindo d d DAB. = e isolando d, obtemos:</p><p>d</p><p>D</p><p>dAB</p><p>= (1)</p><p>■ Cálculo da distância dAB :</p><p>A distância dAB , obtemos aplicando o Teorema de Pitágoras no triângulo retân-</p><p>gulo formado.</p><p>a b c</p><p>d x x y y</p><p>d x x y y</p><p>AB A B A B</p><p>AB A B A B</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>� �</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>Definindo x x aA B� � e y y bA B� � , substituindo:</p><p>d a bAB � �2 2 (2)</p><p>Descrição da Imagem: representação dos pontos A e B, que pertencem à reta r e o ponto P fora da reta.</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>■ Cálculo de D</p><p>As coordenadas dos vértices do triângulo PAB são: ( , )x yP P , ( , )x yA A e ( , )x yB B</p><p>respectivamente.</p><p>Calculando o determinante, temos:</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>P P</p><p>A A</p><p>B B</p><p>P P</p><p>A B</p><p>B B</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>D x y y x x y x y y x x yP A P B A B B A B P A P� � � � � �( . . . . . . ) ( . . . . . . )1 1 1 1 1 1</p><p>Efetuando as multiplicações e aplicando a aplicando a propriedade distributiva:</p><p>D x y y x x y x y y x x yP A P B A B B A B P A P� � � � � �.</p><p>Colocando xP e yP em evidência:</p><p>D x y y y x x x y x yP A B P B A A B B A� � � � � �( ) ( ) ( )</p><p>Definindo ( )y y aA B� � , x x bB A� � e x y x y cA B B A� � substituindo:</p><p>P PD ax by c= + + (3)</p><p>Substituindo as equações 2 e 3 na primeira equação, temos:</p><p>d</p><p>D</p><p>dAB</p><p>= d</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>P P�</p><p>� �</p><p>�2 2</p><p>A área de um triângulo é obtida multiplicando 1</p><p>2</p><p>pelo módulo do determi-</p><p>nante das coordenadas dos vértices.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Substituindo os valores da equação e das coordenadas do ponto na fórmula</p><p>d</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>P P</p><p>Pr �</p><p>� �</p><p>�2 2</p><p>, determinamos a distância entre o ponto e a reta.</p><p>Exemplo 11: calcularemos a distância do ponto P(1,2) à reta r x y: � � �2 1 0</p><p>Solução: temos as coordenadas do ponto P, x1 1= e y1 2= e coeficientes da</p><p>reta r a=1, b=2 e c=1. Substituindo na fórmula da distância entre o ponto e a reta</p><p>d</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>Pr �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>, teremos:</p><p>d</p><p>d</p><p>d</p><p>Pr</p><p>Pr</p><p>Pr</p><p>. .</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>1 1 2 1 1</p><p>1 2</p><p>1 2 1</p><p>1 4</p><p>4</p><p>5</p><p>2 2</p><p>Prd = distância</p><p>entre o ponto P e a</p><p>reta r.</p><p>1</p><p>3</p><p>6</p><p>Racionalizando (multiplicando o numerador e o denominador pela raiz quadrada):</p><p>d Pr .= =</p><p>4</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>4 5</p><p>5</p><p>Representação geométrica:</p><p>1 2 3 4 5 6 7</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>-7 -6 -5</p><p>-5</p><p>-4</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-3</p><p>-2 -1</p><p>-2</p><p>-1</p><p>y</p><p>x</p><p>(1,2)</p><p>(1)x=(2)y=-1</p><p>Figura 15 - Representação geométrica do Exemplo 10 / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: representação no plano cartesiano da reta r e do ponto P.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>RETAS CONCORRENTES</p><p>Duas retas são concorrentes no plano cartesiano quando possuem um ponto</p><p>P x y( , )0 0 em comum e coeficientes angulares diferentes, ou seja, se duas retas</p><p>distintas e coplanares tiverem um único ponto em comum são denominadas</p><p>concorrentes, e seus gráficos concorrem neste ponto.</p><p>y</p><p>y</p><p>xx</p><p>r</p><p>t</p><p>A</p><p>0</p><p>0 0</p><p>Figura 16 - Retas concorrentes / Fonte: a autora.</p><p>Como representado na Figura 16, a reta t é con-</p><p>corrente à reta r, se, e somente se, o coeficiente</p><p>angular da reta t for diferente do coeficiente angu-</p><p>lar da reta r ( )m mt r≠ .</p><p>Exemplo 12: verifique se as retas r x y: 2 6 0� � � e</p><p>s x: 2 3 6 0� � � são concorrentes e represente geo-</p><p>metricamente.</p><p>Solução: basta encontrar o coeficiente angular da reta r e da reta s.</p><p>■ Coeficiente angular da reta r ( )mr :</p><p>2 3 6 0x t� � � , isolando y na equação da reta:</p><p>� � � �y x2 6 , multiplicando ambos os lados da igualdade por -1.</p><p>Descrição da Imagem: representação da reta r concorrente com a reta t em ponto A.</p><p>Duas retas são</p><p>concorrentes</p><p>quando seus</p><p>coeficientes</p><p>angulares são</p><p>diferentes.</p><p>1</p><p>3</p><p>8</p><p>y x� �2 6 , logo mr = 2</p><p>■ Coeficiente angular da reta s ( )ms :</p><p>2 3 6 0</p><p>3 2 6</p><p>2</p><p>3</p><p>6</p><p>3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>x y</p><p>y x</p><p>y x</p><p>y x</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>Logo ms � �</p><p>2</p><p>3</p><p>.</p><p>Concluímos que os coeficientes angulares são diferentes ( )m mr s≠ , portanto, as</p><p>retas r x y: 2 6 0� � � e s x: 2 3 6 0� � � são concorrentes.</p><p>Representação geométrica:</p><p>2x-y+6=0</p><p>2x+3y-6=0</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12</p><p>1</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>10</p><p>11</p><p>-12-11-10 -9 -8</p><p>-8</p><p>-7</p><p>-7</p><p>-6</p><p>-6</p><p>-5</p><p>-5</p><p>-4</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-2</p><p>-1-</p><p>y</p><p>x</p><p>Figura 17 - Representação geométrica do Exemplo 12. / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: representação geométrica das retas r e s no plano cartesiano.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>PERPENDICULARIDADE DE DUAS RETAS</p><p>Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam ângulo reto (90º),</p><p>vamos considerar duas retas perpendiculares r e s, conforme a figura a seguir.</p><p>y</p><p>x</p><p>r s</p><p>C</p><p>0 A B</p><p>Figura 18 - Perpendicularidade de duas retas / Fonte: a autora.</p><p>Considerando as retas r e s, perpendiculares no ponto C, representadas em um pla-</p><p>no cartesiano. O ângulo de inclinação da reta s como sendo β , pois é o ângulo ex-</p><p>terno ao triângulo formado pelo ponto de interseção das duas retas com o eixo Ox.</p><p>Descrição da Imagem: representação das retas r e s com intersecção no ponto C e o ângulo formado entre elas</p><p>é de 90º.</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>y</p><p>r s</p><p>0</p><p>x</p><p>90°+β</p><p>β</p><p>Figura 19 – Retas perpendiculares / Fonte: a autora.</p><p>Coeficiente angular da reta s m tgs: � �</p><p>Coeficiente angular da reta r m tgr: ( º )� �90 �</p><p>Usando as fórmulas de adição de arcos, é possível comparar o coeficiente</p><p>angular das duas retas:</p><p>tg sen</p><p>tg sen sen</p><p>( º )</p><p>( º )</p><p>cos( º )</p><p>( º )</p><p>º .cos .c</p><p>90</p><p>90</p><p>90</p><p>90</p><p>90</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � oos º</p><p>cos º .cos º .</p><p>( º )</p><p>.cos .</p><p>.cos</p><p>90</p><p>90 90</p><p>90</p><p>1 0</p><p>0</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>sen sen</p><p>tg sen</p><p>��</p><p>� �</p><p>�</p><p>� � �</p><p>1</p><p>90</p><p>90</p><p>1</p><p>.</p><p>( º )</p><p>cos</p><p>( º )</p><p>sen</p><p>tg</p><p>sen</p><p>tg</p><p>tg</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>Como m tgs � � e m</p><p>tg</p><p>r � �</p><p>1</p><p>�</p><p>, então m</p><p>m</p><p>s</p><p>r</p><p>� �</p><p>1</p><p>, portanto:</p><p>m m</p><p>tg</p><p>tg</p><p>m m</p><p>s r</p><p>s r</p><p>. .</p><p>.</p><p>� �</p><p>� �</p><p>1</p><p>1</p><p>�</p><p>�</p><p>Descrição da Imagem: representação das retas r e s no plano cartesiano e os ângulos formados entre as retas</p><p>é de 90º e o ângulo entre a reta s e o eixo x é b.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Duas retas são perpendiculares quando o ângulo formado entre elas é de 90º,</p><p>representamos que a reta r é perpendicular à reta s pela simbologia: r s⊥ , e o</p><p>produto dos seus coeficientes angulares for igual a um negativo (m ms r. � �1).</p><p>Exemplo 13: determine se as r x y: � � �2 3 0 e s x y:� � � �16 8 10 0 são per-</p><p>pendiculares e confirme com a representação geométrica.</p><p>Solução 1: vamos determinar o coeficiente angular da r e da reta s.</p><p>■ Coeficiente angular da reta r (mr ):</p><p>x y</p><p>y x</p><p>y x</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>2 3 0</p><p>2 3</p><p>2</p><p>3</p><p>2</p><p>Logo mr � �</p><p>1</p><p>2</p><p>■ Coeficiente angular da reta s (ms ):</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>16 8 10 0</p><p>8 16 10</p><p>16</p><p>8</p><p>10</p><p>8</p><p>2</p><p>5</p><p>2</p><p>x y</p><p>y x</p><p>y x</p><p>y x</p><p>Logo ms = 2</p><p>Portanto, verificaremos se m ms r. � �1 :</p><p>� � � � �</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1.</p><p>Logo, as retas r x y: � � �2 3 0 e s x y:� � � �16 8 10 0 são perpendiculares.</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>Representação geométrica:</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>-9 -8</p><p>-8</p><p>-9</p><p>-7</p><p>-7</p><p>-6</p><p>-6</p><p>-5</p><p>-5</p><p>-4</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-2</p><p>-1-</p><p>y</p><p>x</p><p>x+2y+3=0</p><p>-16x+8y+10=0</p><p>Figura 20 - Representação geométrica do Exemplo 13 / Fonte: a autora.</p><p>INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS</p><p>Encontramos o ponto de interseção, ou seja, o ponto em comum entre duas retas,</p><p>resolvendo o sistema linear formado pelas equações das retas.</p><p>Exemplo 14: encontre o ponto de interseção entre as retas r x y: � � �1 0 e</p><p>s x y:� � � �2 2 0 e confirme o resultado com a representação geométrica:</p><p>Descrição da Imagem: representação das retas r e s no plano cartesiano.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>Solução: estabeleceremos o sistema de equações:</p><p>x y</p><p>x y</p><p>� � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1 0</p><p>2 2 0</p><p>Utilizaremos o método da substituição para resolver o sistema linear, você</p><p>pode utilizar outro método que preferir para resolução de sistemas lineares.</p><p>1º Passo: isolar y em uma das equações, de preferência na equação mais sim-</p><p>plificada:</p><p>x y</p><p>y x</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>1 0</p><p>1</p><p>2º Passo: substituir o valor isolado na outra equação:</p><p>� � � �</p><p>� � � � �</p><p>� � � � �</p><p>� � � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>2 2 0</p><p>2 1 2 0</p><p>2 1 2 0</p><p>2 1 2</p><p>1</p><p>1</p><p>x y</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>( )</p><p>3º Passo: substituir o valor de x na equação isolada que é o resultado do 1º passo.</p><p>y x</p><p>y</p><p>y</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1</p><p>1 1</p><p>0</p><p>Portanto, o ponto de interseção da reta r x y: � � �1 0 e s x y:� � � �2 2 0 é</p><p>P( , )1 0</p><p>1</p><p>4</p><p>4</p><p>Representação geométrica:</p><p>1 2 3 4 5 6 7 8 9</p><p>1</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>5</p><p>6</p><p>7</p><p>8</p><p>9</p><p>-8</p><p>-9</p><p>-7</p><p>-6</p><p>-5</p><p>-5</p><p>-4</p><p>-4</p><p>-3</p><p>-3</p><p>-2</p><p>-2</p><p>-1-</p><p>y</p><p>x</p><p>-2x-y+2=0</p><p>(1,0)</p><p>y=1-x</p><p>Figura 21 - Representação geométrica do Exemplo 14 / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: representação das retas r e s no plano cartesiano.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>4</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 7</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>Nesta unidade, estudamos os conceitos iniciais da Geometria Analítica, compreen-</p><p>demos o que é um plano cartesiano, calculamos a distância entre dois pontos, como</p><p>encontrar o ponto médio e a condição de alinhamento de três pontos. Com estes</p><p>conhecimentos iniciais é que se baseiam alguns estudos de segurança no trânsito.</p><p>VOCÊ SABE RESPONDER?</p><p>Por que as faixas de segurança são perpendiculares às calçadas?</p><p>Pelo que estudamos em distância entre dois pontos, esta será a menor distância</p><p>percorrida pelo pedestre, ou seja, diminuindo o tempo exposto ao perigo.</p><p>Na continuação da nossa unidade, avançamos os estudos sobre a reta e nos</p><p>dedicamos a compreender a sua equação e diferentes posições entre duas retas.</p><p>Aqui, apresentaremos os conceitos que você precisará para seguir os seus estudos.</p><p>A Geometria Analítica contribuiu para a criação do Global Positioning System</p><p>(GPS), esta tecnologia que está disponível para nós e auxilia o deslocamento rapida-</p><p>mente, apresentando diferentes alternativas de rotas, o conceito-base de funciona-</p><p>mento é escolhermos o local que desejamos ir, ou seja, o GPS associa este local ao um</p><p>ponto, local de partida é outro ponto, e ele traça a distância entre esses dois pontos.</p><p>Na computação gráfica, a Geometria Analítica também é um dos princípios</p><p>básicos, com esses conhecimentos é possível criar imagens, desenvolver objetos</p><p>tridimensionais</p><p>Nos estudos mais avançados da Geometria Analítica, ela é muito útil na cons-</p><p>trução civil, pois é possível calcular altura, largura, peso das estruturas e planejar</p><p>onde é o melhor local para uma viga de sustentação.</p><p>Para a sua atuação profissional, é importante que você compreenda os conceitos</p><p>estudados nesta unidade, desafie-se a compreender cada umas das deduções mate-</p><p>máticas aqui apresentadas, isso servirá de aporte teórico para as disciplinas futuras.</p><p>1</p><p>4</p><p>6</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>4</p><p>7</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. A Geometria Analítica é essencial em sistemas de posicionamento global, como o Sis-</p><p>tema de Posicionamento Global (GPS). Ela permite determinar a posição de um objeto</p><p>ou pessoa por meio de coordenadas e cálculos trigonométricos. O funcionamento de</p><p>um aparelho de GPS é interessante de ser estudado, embora complexo.</p><p>Utilizando o sistema de coordenadas cartesianas, consideraremos como origem o cor-</p><p>respondente ao centro da Terra.</p><p>É comum cada vez mais utilizarmos de serviços de delivery, como para compra de</p><p>alimentação, remédios, recebimentos de documentos, enfim, agiliza o nosso cotidiano.</p><p>Para realizarem as entregas o mais rápido possível, é comum a utilização do GPS para</p><p>traçarem as rotas.</p><p>AMORIM, R. G. G. de; FRAGELLI, R. R.; RISPOLI, V. de C. Geometria analítica e álgebra linear.</p><p>Maringá-PR: UniCesumar, 2018.</p><p>4</p><p>4 6</p><p>2</p><p>2</p><p>-2</p><p>-2 0</p><p>Farmácia = (1,2)</p><p>Casa = (5, -2)</p><p>Figura 1 - Posicionamento global / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a imagem apresenta um mapa com duas retas traçadas, a primeira está na horizontal,</p><p>um pouco abaixo do meio, com as seguintes marcações, da esquerda para a direita: -2, 0, 2, 4, 6. A segunda</p><p>está na vertical, mais à esquerda do meio, com as seguintes marcações, de baixo para cima: -2, 0, 2, 4. Duas</p><p>localizações estão sinalizadas no mapa: Farmácia = (1,2) na parte de cima e Casa = (5, -2) na parte de baixo.</p><p>1</p><p>4</p><p>8</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>O Motoboy sairá da farmácia, precisa realizar uma entrega na metade do caminho e a</p><p>segunda entrega é na casa. Calcule a localização da primeira entrega e a distância da</p><p>farmácia até a casa.</p><p>2. As posições relativas correspondem a posições entre duas ou mais retas do plano.</p><p>Duas retas podem ser paralelas, concorrentes ou perpendiculares. Em algumas dessas</p><p>situações, as retas possuem um ponto em comum, ou seja, um ponto de intersecção.</p><p>NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.</p><p>Determine se a reta r x y: 3 2 3 0� � � e a reta s x y:� � � �1 0 são concorrentes</p><p>ou perpendiculares entre si. Apresente o ponto de interseção entre as retas r e s.</p><p>3. As calçadas do bairro de Vila Isabel na cidade do Rio de Janeiro – as famosas “Calça-</p><p>das Musicais” – tombadas pelo Instituto do Patrimônio Histórico e Artístico Nacional</p><p>(IPHAN), cuja decoração em pedras portuguesas reproduzem trechos de canções do</p><p>músico Noel Rosa, figura ilustre do bairro e da cultura brasileira. Tanto as linhas das</p><p>partituras quanto os meios-fios do Boulevard (avenida) 28 de setembro, trata-se de</p><p>representações de retas coplanares e paralelas.</p><p>Duas retas distintas e coplanares que possuem um único ponto em comum são deno-</p><p>minadas concorrentes e seus gráficos concorrem neste ponto.</p><p>NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.</p><p>Classifique as afirmativas a seguir em verdadeira (V) ou falsa (F):</p><p>I - Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são iguais.</p><p>II - Duas retas são concorrentes se elas têm um ponto em comum.</p><p>III - A equação geral da reta é ax by c� � � 0 .</p><p>É correto o que se afirma</p><p>em:</p><p>a) I, apenas.</p><p>b) III, apenas.</p><p>c) I e III.</p><p>d) II e III.</p><p>e) I, II e III.</p><p>1</p><p>4</p><p>9</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>4. Duas retas concorrentes são perpendiculares quando formam ângulo reto (90º).</p><p>NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.</p><p>Qual a equação geral da reta que passa pelo ponto P (1, 5) e é perpendicular à reta de</p><p>equação</p><p>x y � � �3 12 0 ?</p><p>a) y</p><p>x</p><p>� �</p><p>3</p><p>4 - .</p><p>b) x y � �5 0 .</p><p>c) � � � �3 2 0x y .</p><p>d) x � �2 0 .</p><p>e) Não, é possível encontrar a reta perpendicular à reta x y � � �3 12 0que passa</p><p>pelo ponto P(1,5).</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>5. Analisar condições de alinhamentos de pontos em Geometria Analítica vai muito além</p><p>de só analisar se os três pontos estão na mesma reta, pois, na prática, podemos inves-</p><p>tigar se três locais estão na mesma caminho.</p><p>Pontos colineares estão alinhados quando existe uma reta que passa por esses três</p><p>pontos.</p><p>NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.</p><p>Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-</p><p>posta entre elas:</p><p>I - Três pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , ) e C x yC C( , ) estão alinhados ou colineares, se,</p><p>e somente se, o determinante x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>a a</p><p>b b</p><p>c c</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>0=</p><p>.</p><p>PORQUE</p><p>II - Quando o determinante não for igual a zero, é porque os pontos A x yA A( , ) , B x yB B( , )</p><p>e C x yC C( , ) são vértices de um triângulo.</p><p>A respeito destas asserções, assinale a opção correta.</p><p>a) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é justificativa correta da I.</p><p>b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é justificativa correta da I.</p><p>c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é proposição falsa.</p><p>d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é proposição verdadeira.</p><p>e) As asserções I e II são falsas.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BOULOS, P.; CAMARGO, I. de. Geometria analítica: um tratamento vetorial. 3. ed. São Paulo:</p><p>Pearson Universidades, 2004.</p><p>GEOGEBRA: aplicativos matemáticos. GeoGebra, [s. l.], c2023. Disponível em: https://www.</p><p>geogebra.org/m/geh2mukk. Acesso em: 31 maio 2023.</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>1. Fórmula</p><p>Distância entre dois pontos:</p><p>d x x y yA B A B� � � �( ) ( )2 2</p><p>Ponto Médio:</p><p>x x x</p><p>y y y</p><p>M</p><p>M</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>( )</p><p>( )</p><p>1 2</p><p>1 2</p><p>2</p><p>2</p><p>Resposta:</p><p>d A B,� � � 4 2</p><p>PM (A, B) = ( , )2 0</p><p>2. A reta r e reta s são concorrentes e o ponto de interseção entre as duas retas é (-1,-2).</p><p>3 2 3 0</p><p>1 0</p><p>3 2 3 0</p><p>1</p><p>3 2 2 3 0</p><p>1 0</p><p>1</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x x</p><p>x</p><p>x</p><p>� � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>y x</p><p>y</p><p>y</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>1</p><p>1 1</p><p>2</p><p>3. D.</p><p>I. Falso. Duas retas são concorrentes quando seus coeficientes angulares são diferentes.</p><p>II. Verdadeiro. As retas concorrentes possuem um único ponto em comum, o ponto de</p><p>interseção.</p><p>III. Verdadeiro. ax by c� � � 0 é a equação geral da reta.</p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>4. C.</p><p>Para encontrar a reta perpendicular, precisamos encontrar o coeficiente angular da reta</p><p>x y � � �3 12 0 , mr � �</p><p>1</p><p>3</p><p>. Pela propriedade estudada, o coeficiente angular</p><p>da reta perpendicular será mp = 3 .</p><p>Como temos o coeficiente angular e o ponto, é possível determinar a reta perpendicular:</p><p>� � � �3 2 0x y</p><p>5. A</p><p>GABARITO</p><p>1</p><p>1</p><p>4</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>MINHAS METAS</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO</p><p>DA CIRCUNFERÊNCIA</p><p>ME. MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA</p><p>Adquirir noções sobre as circunferências.</p><p>Reconhecer as equações das circunferências.</p><p>Identificar a posição relativa entre ponto e circunferência.</p><p>Discutir a posição relativa entre reta e circunferência.</p><p>Analisar a posição relativa entre duas circunferências.</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 8</p><p>1</p><p>1</p><p>6</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>A Geometria Analítica é a união da Álgebra com a geometria, ou seja, estuda</p><p>a geometria algebricamente. No plano cartesiano, podemos realizar o trabalho</p><p>algébrico com a representação geométrica.</p><p>Neste estudo, você aprofundará seus conhecimentos sobre a circunferência,</p><p>sua definição, suas propriedades, bem como as posições relativas ao ponto, à reta</p><p>e a outra circunferência.</p><p>Toda a circunferência tem uma equação que a representa. Conheceremos os</p><p>elementos da circunferência, sua posição no plano cartesiano e a equação geral.</p><p>Também estudaremos as posições relativas ao sistema cartesiano entre circunfe-</p><p>rências e pontos, entre duas circunferências e circunferências e retas.</p><p>Para compreendermos as posições relativas de um ponto, uma reta ou uma cir-</p><p>cunferência em relação a uma circunferência, utilizaremos os cálculos de distância</p><p>entre o ponto e o centro da circunferência e entre o centro da circunferência e a reta.</p><p>Um ponto pode assumir três posições diferentes em relação a uma circunfe-</p><p>rência: interno, pertencente à circunferência e externo. Para verificar a posição</p><p>de um ponto no plano cartesiano em relação a uma circunferência, calcularemos</p><p>a distância do ponto até o centro da circunferência, ou então substituir as coor-</p><p>denadas do ponto na equação da circunferência e analisar o resultado obtido.</p><p>Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no sis-</p><p>tema cartesiano ortogonal: a reta pode ser secante à circunferência, tangente à</p><p>circunferência, ou externa à circunferência. No cotidiano, este conhecimento</p><p>é aplicado em muitas áreas do conhecimento, uma das tecnologias que está na</p><p>palma da nossa mão nos Smartphones, é o GPS. Para desenvolver o GPS, foram</p><p>necessários conhecimentos estudados nesta aula.</p><p>Neste Podcast, apresentamos algumas curiosidades rela-</p><p>cionadas às aplicações práticas da geometria analítica no</p><p>cotidiano. Você sabe onde usamos? Para que serve a ge-</p><p>ometria analítica? Vamos ouvir juntos esse Podcast.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>7</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19317</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA</p><p>A circunferência é o conjunto de todos os pontos de um plano equidistantes (a mes-</p><p>ma distância) de um ponto fixo, desse mesmo plano, denominado centro da circun-</p><p>ferência (C). Sendo que se denomina raio (R) a medida da distância de qualquer</p><p>ponto da circunferência ao centro (C), e essa distância (raio) é sempre constante.</p><p>A circunferência pode ser considerada uma linha curva fechada, onde a distância</p><p>entre a extremidade e qualquer ponto possui medida igual, denominada diâmet-</p><p>ro, enquanto o círculo é a figura plana delimitada pela circunferência, conforme</p><p>podemos verificar na Figura 1.</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>Para o estudo desta unidade, recordaremos como cal-</p><p>culamos a distância de um ponto a uma reta. Assista ao</p><p>vídeo e anote as informações importantes, pois utilizare-</p><p>mos ao longo da nossa unidade.</p><p>1</p><p>1</p><p>8</p><p>Figura 1 - Círculo e Circunferência / Fonte: o autor.</p><p>Para estabelecer a fórmula da equação da circunferência, tomemos uma circunfe-</p><p>rência de centro com coordenadas C(a, b) e um ponto qualquer com coordenadas</p><p>P(x, y) pertencente à circunferência, conforme a Figura 2.</p><p>Figura 2 - Circunferência no plano cartesiano / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: circunferência em linha vermelha, o segmento CA representa o diâmetro, o segmento</p><p>OB é o raio da circunferência, e o segmento DE é corda, a região interna a linha vermelha chamamos de círculo.</p><p>Descrição da Imagem: plano cartesiano com a circunferência com centro em C localizada no primeiro quadrante.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>Utilizando a fórmula da distância de dois pontos, o centro (C) da circunferência</p><p>e o ponto P, ou seja, o raio da circunferência, podemos escrever:</p><p>D x a y bC P, ( ) ( )� � � �2 2 ; (elevando ambos os lados da equação ao quadrado);</p><p>( ) ( ( ) ( ) ),D x a y bC P</p><p>2 2 2 2� � � � (Resolvendo a raiz elevada ao quadrado).</p><p>D x a y bC P</p><p>2 2 2</p><p>, ( ) ( )� � � �</p><p>Como a distância entre o centro (C) e o ponto P é a medida do raio da circunfe-</p><p>rência, substituiremos D C P</p><p>2</p><p>, por R2 , logo teremos R x a y b2 2 2� � � �( ) ( ) .</p><p>Esta é a fórmula para equação reduzida da circunferência, ou seja, a ex-</p><p>pressão ( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 . Para determinar a equação</p><p>de uma circun-</p><p>ferência, precisamos saber o seu centro C (a,b) e o seu raio (R).</p><p>APROFUNDANDO</p><p>EXEMPLO 1: Determine a equação reduzida da circunferência com centro</p><p>C(1,2) e raio 2.</p><p>SOLUÇÃO: temos o centro da circunferência com as coordenadas, a=1 e</p><p>b=2 e a medida do raio da circunferência, R=2, logo:</p><p>( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 (fórmula da equação da circunferência).</p><p>( ) ( )x y� � � �1 2 22 2 2 (substituindo os valores das coordenadas e do raio).</p><p>( ) ( )x y� � � �1 2 42 2 (Resolvendo a potência, 22 ).</p><p>A equação da circunferência com centro C(1,2) e raio 2, é: ( ) ( )x y� � � �1 2 42 2 .</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>EXEMPLO 2: Determine a equação da circunferência com centro no ponto</p><p>C(2,3) e que passa pelo A(1,1).</p><p>SOLUÇÃO: temos as coordenadas do centro da circunferência C(2,3), a=2</p><p>e b=3, e as coordenadas do ponto A(1,1), x=1 e y=1, primeiramente, determi-</p><p>naremos a medida do raio da circunferência.</p><p>D x a y bC P, ( ) ( )� � � �2 2 ; (Fórmula da distância entre dois pontos).</p><p>DC P, ( ) ( )� � � �1 2 1 32 2 (substituindo os valores das coordenadas do cen-</p><p>tro e do ponto).</p><p>DC P, ( ) ( )� � � �1 22 2 (resolvendo as subtrações).</p><p>DC P, � � �1 4 5 (resolvendo as potências e a raiz).</p><p>A distância entre o centro C e o ponto A é a medida do raio da circunferên-</p><p>cia, logo R = 5 . Determinaremos a equação reduzida dessa circunferência.</p><p>( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 (fórmula da equação da circunferência).</p><p>( ) ( ) ( )x y� � � �2 3 52 2 2 (substituindo os valores das coordenadas e do raio).</p><p>( ) ( )x y� � � �2 3 52 2 (Resolvendo a potência, ( )5 52 = ).</p><p>Portanto, a equação da circunferência com centro no ponto C(2,3), que pas-</p><p>sa pelo ponto A(1,1), e tem raio igual a 5 é: ( ) ( )x y� � � �2 3 52 2 .</p><p>EXEMPLO 3: Determine o centro e o raio da circunferência da equação</p><p>( ) ( )x y� � � �4 5 92 2 .</p><p>SOLUÇÃO: comparando a fórmula da equação da circunferência,</p><p>( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 , temos que as coordenadas do centro da circunferência</p><p>são a e b, portanto, a=4 e b=5, logo C(4,5) e a medida do raio da circunferência</p><p>será: R2 9= , R = 9 , R = 3 .</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>EXEMPLO 4: Qual é a equação da circunferência de centro C(-2,3) que é tan-</p><p>gente ao eixo dos y?</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Figura 3 - Centro da Circunferência / Fonte: os autores.</p><p>O ponto C está no terceiro quadrante conforme a Figura 3. A circunferência está</p><p>afastada do eixo y duas unidades, O raio, portanto vale 2.</p><p>Equação reduzida é [ ( )] ( )x y� � � � �2 3 22 2 2 , temos ( ) ( )x y� � � �2 3 42 2 .</p><p>EXEMPLO 5: Qual é a equação da circunferência de centro C(-3,4) e que passa</p><p>pela origem do plano cartesiano?</p><p>SOLUÇÃO: se a circunferência passa pela origem do sistema cartesiano, logo,</p><p>o ponto P(0,0) pertence à circunferência, desta forma, podemos determinar o raio.</p><p>Descrição da Imagem: plano cartesiano com o ponto C (-2,3) marcado no segundo quadrante.</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>Figura 4 - Exemplo 5 / Fonte: os autores.</p><p>( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 (fórmula da equação da circunferência).</p><p>[ ( )] ( )0 3 0 42 2 2� � � � � R (substituindo os valores das coordenadas do ponto</p><p>e do centro).</p><p>( ) ( )3 42 2 2� � � R (Resolvendo os sinais e a potência).</p><p>9 16</p><p>25</p><p>25</p><p>5</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>A equação da circunferência com centro C(-3,4) e raio 5, é:</p><p>[ ( )] ( )</p><p>( ) ( )</p><p>x y</p><p>x y</p><p>� � � � �</p><p>� � � �</p><p>3 4 5</p><p>3 4 25</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>.</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro em (-3,4) passando pela origem do sistema</p><p>cartesiano.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>POSIÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA NO PLANO CARTESIANO</p><p>No plano cartesiano, a circunferência pode assumir posições diferentes, deter-</p><p>minando, assim, equações particulares.</p><p>■ O centro da circunferência na origem: neste caso, a = b = 0, a equação da</p><p>circunferência será x y R2 2 2� � e C(0,0).</p><p>Figura 5 - Circunferência com centro na Origem / Fonte: os autores.</p><p>■ O centro da circunferência no eixo Ox: neste caso, y=0, então, não tere-</p><p>mos o valor de b e a equação da circunferência será ( )x a y R� � �2 2 2</p><p>e centro C(a,0).</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência de raio R centrada na origem do Plano cartesiano.</p><p>1</p><p>6</p><p>4</p><p>Figura 6 - Circunferência com centro no Eixo OX / Fonte: os autores.</p><p>■ O centro da circunferência no eixo Oy: neste caso, x=0, então não tere-</p><p>mos o valor de a e a equação da circunferência será x y b R2 2 2� � �( )</p><p>e centro C(0,b).</p><p>Figura 7 - Circunferência com centro no eixo OY / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência de raio R com centro C, no eixo x, do Plano Cartesiano.</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência de raio R com centro C, no eixo y, do Plano Cartesiano.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>A seguir, apresentamos um esquema que irá facilitar para você identificar a po-</p><p>sição relativa da circunferência no plano cartesiano</p><p>Centro na Origem</p><p>O centro da circunferência na origem:</p><p>neste caso, a = b = 0, a equação da</p><p>circunferência será x y R2 2 2� � e</p><p>C(0,0).</p><p>Centro no Eixo OX</p><p>O centro da circunferência no</p><p>eixo Ox: neste caso, y=0, então,</p><p>não teremos o valor de b, e a</p><p>equação da circunferência será</p><p>( )x a y R� � �2 2 2</p><p>e centro C(a,0).</p><p>Nem solorem quiatur? Bit volor sen-</p><p>diant repudam illes</p><p>Centro no Eixo OY</p><p>O centro da circunferência no</p><p>eixo Oy: neste caso, x=0, então,</p><p>não teremos o valor de a e a</p><p>equação da circunferência será</p><p>x y b R2 2 2� � �( ) , e centro</p><p>C(0,b).</p><p>1</p><p>6</p><p>6</p><p>EXEMPLO 6: Encontre o centro e o raio da circunferência de equação</p><p>x y2 2 2� �</p><p>SOLUÇÃO: pela equação, percebemos que é uma circunferência com C em</p><p>(0,0). Temos: x y R2 2 2� � , comparando as equações, temos R2 2= . Logo, a</p><p>medida do raio é R2 2= , assim, R = 2 .</p><p>EQUAÇÃO GERAL DA CIRCUNFERÊNCIA</p><p>Para encontrarmos a equação geral da circunferên-</p><p>cia, é preciso resolver os produtos notáveis (quadra-</p><p>dos) da equação da circunferência.</p><p>Então, a equação ( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2 é co-</p><p>nhecida como equação reduzida da circunferência,</p><p>desenvolvendo os quadrados, teremos:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>x a y b R</p><p>x ax a y by b R</p><p>x ax a y by</p><p>� � � �</p><p>� � � � � �</p><p>� � � �</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>2 2</p><p>2 2 �� �</p><p>� � � � � � �</p><p>b R</p><p>x y ax by a b R</p><p>2 2</p><p>2 2 2 2 22 2 0</p><p>Com o objetivo de simplificar a equação, consideramos: � � �2a , � � �2b e</p><p>� � � �a b R2 2 2 , teremos a equação geral da circunferência:</p><p>x y x y2 2 0� � � � �� � �</p><p>EXEMPLO 7: Determine a equação geral da circunferência de centro C(3,2) e</p><p>raio R=6.</p><p>SOLUÇÃO: temos o centro da circunferência com as coordenadas, a=3 e b=2</p><p>e a medida do raio da circunferência, R=6, substituindo na equação reduzida da</p><p>circunferência teremos:</p><p>( ) ( )x y� � � �3 2 62 2 2 (Resolvendo as potências);</p><p>Lembrete para</p><p>resolver os produtos</p><p>notáveis:</p><p>( )a b a ab b� � � �2 2 22</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>x2- 6x + 9 + y2-4y + 4 - 36 = 0 (Reduzindo os termos semelhantes);</p><p>x y x y2 2 6 4 23 0� � � � � , essa é a equação geral da circunferência de centro</p><p>C(3,2) e raio R=6.</p><p>EXEMPLO 8: Determine o centro e o raio da circunferência de equação</p><p>x y x y2 2 6 4 36 0� � � � � .</p><p>SOLUÇÃO: temos a fórmula x y ax by a b R2 2 2 2 22 2 0� � � � � � � , ain-</p><p>da definimos que: � � �2a , � � �2b e � � � �a b R2 2 2 e comparando com a</p><p>equação do Exemplo 8, temos:</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>6 2</p><p>6</p><p>2</p><p>3</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>4 2</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>a b R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>36 3 2</p><p>36 9 4</p><p>36 13</p><p>49</p><p>49</p><p>7</p><p>Logo, o Centro é C(3,2) e o Raio é 7.</p><p>1</p><p>6</p><p>8</p><p>POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA</p><p>Um ponto pode assumir três posições diferentes em relação a uma circunferên-</p><p>cia: interna, pertencente à circunferência e externo. Para verificar a posição de</p><p>um ponto no plano cartesiano em relação e uma circunferência calcularemos a</p><p>distância do ponto até o centro da circunferência e analisar o resultado obtido.</p><p>O ponto é interno à circunferência</p><p>Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for menor</p><p>que a me-</p><p>dida do raio da circunferência ( )D RPC < , dizemos que o ponto é interno à</p><p>circunferência.</p><p>Figura 8 - Ponto é interno à circunferência / Fonte: os autores.</p><p>O ponto pertence à circunferência</p><p>Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for igual à medida do raio</p><p>da circunferência ( )D RPC = , dizemos que o ponto pertence à circunferência.</p><p>Descrição da Imagem: circunferência de raio R e ponto A interno à circunferência.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>6</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>Figura 9 - Ponto pertencente à circunferência / Fonte: os autores.</p><p>O ponto é externo à circunferência</p><p>Quando a distância do ponto ao centro da circunferência for maior que a medida do</p><p>raio da circunferência ( )D RPC > , dizemos que o ponto é externo à circunferência.</p><p>Figura 10 - Ponto é Externo à circunferência / Fonte: os autores.</p><p>Para verificar a posição relativa de um ponto em relação a uma circunferência,</p><p>podemos calcular a distância entre o centro da circunferência e o ponto, ou então</p><p>substituir as coordenadas do ponto na equação da circunferência e verificar a</p><p>condição de igualdade da equação.</p><p>Descrição da Imagem: circunferência de raio R e ponto A externo a circunferência.</p><p>Descrição da Imagem: circunferência de raio R e ponto A pertencente à circunferência.</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>EXEMPLO 9: Verifique as posições relativas dos pontos A(2,3), B(2,1) e C(-1,-</p><p>1) em relação a circunferência de equação ( ) ( )x y� � � �2 1 162 2 e comprove</p><p>a representação geométrica.</p><p>SOLUÇÃO: substituiremos as coordenadas dos pontos na equação da cir-</p><p>cunferência para verificar a posição do ponto.</p><p>■ Ponto A(2,3)</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>x y� � � �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>2 1 16</p><p>2 2 3 1 16</p><p>4 2 16</p><p>16 4 16</p><p>20 16</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>20 é maior que 16, logo, o ponto A é externo à circunferência.</p><p>■ Ponto B(2,1)</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>x y� � � �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>2 1 16</p><p>2 2 1 1 16</p><p>4 0 16</p><p>16 0 16</p><p>16 16</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>Logo, o ponto C pertence à circunferência.</p><p>■ Ponto C(-1,-1)</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>x y� � � �</p><p>� � � � � �</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>2 1 16</p><p>1 2 1 1 16</p><p>1 2 16</p><p>1 4 16</p><p>5 16</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>5 é menor que 16, logo, o ponto D é interno à circunferência.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>Figura 11 - Posição dos pontos à circunferência do Exemplo 9 /Fonte: os autores.</p><p>EXEMPLO 10: verifique as posições relativas dos pontos A(2,1), B(0,0) e C(-3,1)</p><p>em relação à circunferência de equação x y x y2 2 4 8 0� � � � .</p><p>SOLUÇÃO: substituiremos as coordenadas dos pontos na equação da cir-</p><p>cunferência para verificar a posição do ponto.</p><p>■ Ponto A(2,1)</p><p>x y x y2 2</p><p>2 2</p><p>4 8 0</p><p>2 1 4 2 8 1 0</p><p>4 1 8 8 0</p><p>5 0</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>. . .</p><p>5 é maior que 0, logo, o ponto A é externo à circunferência.</p><p>■ Ponto B(0,0)</p><p>x y x y2 2</p><p>2 2</p><p>4 8 0</p><p>0 0 4 0 8 0 0</p><p>0 0 0 0 0</p><p>0 0</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>. .</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência do Exemplo 9 e dos pontos A, B e C.</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>Logo, o ponto B pertence à circunferência.</p><p>■ Ponto C(-3,1)</p><p>x y x y2 2</p><p>2 2</p><p>4 8 0</p><p>3 1 4 3 8 1 0</p><p>9 1 12 8 0</p><p>10 20 0</p><p>10 0</p><p>� � � �</p><p>� � � � � �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>( ) .( ) .</p><p>-10 é menor que 0, logo, o ponto C é interno à circunferência.</p><p>Representação geométrica:</p><p>Figura 12 - Posição dos pontos à circunferência do Exemplo 10 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência do Exemplo 10 e dos pontos A, B e C.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE RETA E CIRCUNFERÊNCIA</p><p>Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta no sistema</p><p>cartesiano ortogonal: a reta pode ser secante à circunferência, tangente à circun-</p><p>ferência, ou externa à circunferência.</p><p>Para determinar a posição da reta em relação à circunferência, calculare-</p><p>mos a distância entre a reta e o centro da circunferência utilizando a fórmula da</p><p>distância da reta a um ponto. Quando a distância da reta ao centro for inferior</p><p>à medida do raio da circunferência a reta é secante, quando a medida for igual</p><p>à reta é tangente, e quando a distância for maior que a medida do raio, a reta é</p><p>externa à circunferência.</p><p>Reta Secante à Circunferência</p><p>Conforme podemos observar na Figura 13, a reta será secante à circunferência</p><p>quando possuir dois pontos em comum. Para verificar se a reta r é secante a cir-</p><p>cunferência, é preciso calcular a distância entre o centro da circunferência e a reta.</p><p>Se a distância for menor que a medida do raio da circunferência a reta será secante.</p><p>Figura 13 - Reta é secante à circunferência / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C e a reta r secante à circunferência.</p><p>1</p><p>7</p><p>4</p><p>Reta Tangente à Circunferência</p><p>A reta é dita tangente à circunferência quando possui um ponto em comum. Para</p><p>verificar se a reta r é tangente à circunferência, é preciso calcular a distância entre</p><p>o centro da circunferência e a reta, se a distância for igual à medida do raio da</p><p>circunferência, a reta será tangente.</p><p>Figura 15 - Reta é tangente à circunferência / Fonte: os autores.</p><p>Reta Externa à Circunferência</p><p>A reta é dita externa à circunferência quando não possuir pontos em comum.</p><p>Para verificar se a reta r é externa à circunferência, é preciso calcular a distância</p><p>entre o centro da circunferência e a reta, se a distância for maior do que a medida</p><p>do raio da circunferência a reta será externa.</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C e a reta r tangente à circunferência.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>Figura 16 - Reta é externa à circunferência / Fonte: os autores.</p><p>EXEMPLO 12: Verifique qual a posição relativa da reta de equação</p><p>3 4 22 0x y� � � e a circunferência ( )x y� � �1 252 2 e confirme com a repre-</p><p>sentação geométrica.</p><p>SOLUÇÃO: verificaremos a posição da reta à circunferência, calculando a</p><p>distância entre o centro (-1,0) da circunferência e a reta por meio da fórmula da</p><p>distância entre um ponto e um reta.</p><p>Temos o C(-1,0), com coordenadas x1 1� � e y1 0= e os coeficientes da</p><p>equação da reta, a=3, b=4 e c=-22, substituiremos na fórmula da distância já</p><p>estudada na unidade anterior:</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C e a reta r secante à circunferência.</p><p>1</p><p>7</p><p>6</p><p>D</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>pr �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>p</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>3 1 4 0 22</p><p>3 4</p><p>3 0 22</p><p>9 16</p><p>25</p><p>25</p><p>25</p><p>5</p><p>2 2</p><p>.( ) . ( )</p><p>rr � 5</p><p>Na equação da circunferência, temos a medida do raio, R2 25= , R2 25= ,</p><p>R = 5 , logo, como a distância entre o centro da circunferência é igual à medida</p><p>do raio, temos que a nossa reta é tangente à circunferência.</p><p>Representação geométrica:</p><p>Figura 17 - Representação geométrica do Exemplo 12 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C, no eixo x e a reta r tangente à circunferência.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>EXEMPLO 13: Determine a posição relativa da reta de equação 2 1 0x y� � �</p><p>e a circunferência x y x2 2 2 0� � � , e confirme com a representação geométrica.</p><p>SOLUÇÃO: verificaremos o centro da circunferência x y x2 2 2 0� � � e o raio.</p><p>Temos:</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>ax x</p><p>a x</p><p>x</p><p>a</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 0</p><p>0</p><p>2</p><p>0</p><p>by</p><p>b</p><p>y</p><p>b</p><p>R a b</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>2 2 2</p><p>2 2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 0 0</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>C(1,0)</p><p>Agora, calcularemos a distância do centro da circunferência a reta: 2 1 0x y� � �</p><p>, a=2, b=-1 e c=1.</p><p>D</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>pr �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 1 1 0 1</p><p>2 1</p><p>2 0 1</p><p>4 1</p><p>3</p><p>5</p><p>3</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>2 2</p><p>.( ) ( ).</p><p>( )</p><p>.</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>3 5</p><p>25</p><p>3 5</p><p>5</p><p>6 708</p><p>5</p><p>1 34</p><p>.</p><p>.</p><p>,</p><p>,</p><p>1</p><p>7</p><p>8</p><p>Como a distância (d=1,34) entre o centro da circunferência e a reta é maior que a</p><p>medida do raio da circunferência (R=1), a reta é externa à circunferência (d<R).</p><p>Representação geométrica:</p><p>Figura 18 - Representação Geométrica do exemplo 13 / Fonte: os autores.</p><p>EXEMPLO 14: Qual é a posição da reta 2 1 0x y� � � em relação</p><p>à circunfe-</p><p>rência de equação x y2 2 9� � .</p><p>SOLUÇÃO: temos o centro da circunferência C(0,0) e o raio, R2 9= ,</p><p>R2 9= R = 3 .</p><p>Agora, calcularemos a distância do centro à circunferência à reta:</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C, no eixo x, e a reta r externa à circunferência.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>D</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>pr �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2 0 1 0 1</p><p>2 1</p><p>0 0 1</p><p>4 1</p><p>1</p><p>5</p><p>1</p><p>5</p><p>5</p><p>5</p><p>2 2</p><p>.( ) ( ). ( )</p><p>( )</p><p>.</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1 5</p><p>25</p><p>5</p><p>5</p><p>2 236</p><p>5</p><p>0 45</p><p>.</p><p>,</p><p>,</p><p>Como a distância (D=0,45) entre o centro da circunferência e a reta é menor que</p><p>a medida do raio da circunferência 9R=3), a reta é secante à circunferência (d>R)</p><p>Figura 19 - Representação geométrica do exemplo 14 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: representação da circunferência com centro C, na origem, e a reta r secante à circunferência.</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS</p><p>Veremos que duas circunferências podem ser tangentes, secantes, interna, exter-</p><p>na ou concêntricas, para isso, precisaremos calcular a distância entre os centros</p><p>das circunferências, ou seja, a distância entre os dois pontos e os elementos raio,</p><p>diâmetro e centro serão fundamentais para o nosso estudo.</p><p>Circunferências tangentes externas</p><p>Duas circunferências são ditas tangentes externas quando possuem somente um</p><p>ponto em comum e uma é exterior à outra. Para isso acontecer a distância entre os</p><p>centros das duas circunferências deve ser equivalente (igual) à soma das medidas</p><p>de seus raios: (D R ROC � �1 2 ).</p><p>Figura 20 - Circunferência tangentes externas / Fonte: os autores.</p><p>EXEMPLO 15: Verifique se a posição relativa das circunferências de equações:</p><p>( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 e ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2</p><p>No plano cartesiano é considerada como tangentes externas.</p><p>Descrição da Imagem: circunferência de raio 1 e centro O é tangente a circunferência de raio 2 e centro C.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>SOLUÇÃO: primeiramente, determinaremos o centro e o raio de cada cir-</p><p>cunferência; depois, calcularemos a distância entre os centros e verificar a posição</p><p>das circunferências</p><p>( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2</p><p>Co( , )2 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Cc( , )−2 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>4</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:</p><p>D x x y y</p><p>D</p><p>D</p><p>o c c o c o</p><p>o c</p><p>o c</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>( ) ( )</p><p>[( ) ] ( )</p><p>( ) ( )</p><p>� � � �</p><p>� � � � �</p><p>� � �</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2 1 1</p><p>4 0</p><p>DD</p><p>D</p><p>o c</p><p>o c</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>16</p><p>4</p><p>Agora, verificaremos se as circunferências são tangentes externas:</p><p>D R R</p><p>D</p><p>D</p><p>oc</p><p>oc</p><p>oc</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 2</p><p>2 2</p><p>4</p><p>Como a distância entre os centros das circunferências, é igual à soma da medida</p><p>dos raios das circunferências, elas são tangentes externas.</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>Representação geométrica:</p><p>Figura 21- Representação geométrica no plano cartesiano do Exemplo 15 / Fonte: os autores.</p><p>Circunferências tangentes internas</p><p>Isso ocorre quando duas circunferências possuem apenas um ponto comum e</p><p>uma está no interior da outra. Para que isso ocorra, a distância entre os centros das</p><p>circunferências é igual à diferença (subtração) dos dois raios: D R ROC � �1 2</p><p>Descrição da Imagem: circunferência de raio 1 e centro O é tangente a circunferência com raio 2 e centro C.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>Figura 22 - Circunferências tangentes internas / Fonte: os autores.</p><p>EXEMPLO 17: Determine a posição relativa das circunferências de equações</p><p>no plano cartesiano e comprove com a representação geométrica:</p><p>( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 e ( ) ( )x y� � � �2 2 12 2</p><p>SOLUÇÃO: primeiramente, determinaremos o centro e o raio de cada circun-</p><p>ferência; depois, calcularemos a distância entre os centros e verificar a posição</p><p>das circunferências</p><p>( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 ( ) ( )x y� � � �2 2 12 2</p><p>Co( , )2 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Cc( , )2 2</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:</p><p>D x x y y</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>o c c o c o</p><p>o c</p><p>o c</p><p>o c</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>( ) ( )</p><p>[ ] ( )</p><p>( ) ( )</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>� �</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2 2 1</p><p>0 1</p><p>��</p><p>�</p><p>1</p><p>1Do c,</p><p>Descrição da Imagem: circunferência com centro C é tangente e interna à circunferência com centro O.</p><p>1</p><p>8</p><p>4</p><p>Agora, verificaremos a posição relativa das circunferências:</p><p>D R R</p><p>D</p><p>D</p><p>oc o c</p><p>oc</p><p>oc</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>2 1</p><p>3</p><p>A medida da distância entre os centros das circunferências é diferente da soma</p><p>da medida dos raios das circunferências, então, elas não são tangentes externas.</p><p>D R R</p><p>D</p><p>D</p><p>oc o c</p><p>oc</p><p>oc</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>2 1</p><p>1</p><p>A medida da distância entre os centros das circunferências é igual à diferença da</p><p>medida dos raios das circunferências, então, elas são tangentes internas.</p><p>Representação geométrica</p><p>Figura 23 - Representação geométrica do Exemplo 17 / Fonte: a autora.</p><p>Descrição da Imagem: circunferência com centro O é tangente e interna a circunferência com centro C.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>É possível notar que as circunferências possuem apenas um ponto em comum e</p><p>uma está no interior da outra, por isso, são tangentes internas.</p><p>Circunferências externas</p><p>Quando duas circunferências não possuem pontos em comum são consideradas</p><p>externas; para isso acontecer a distância entre os centros das circunferências deve</p><p>ser maior que soma das medidas de seus raios: D R ROC � �1 2</p><p>Figura 24 - Circunferências externas / Fonte: os autores.</p><p>EXEMPLO 18: Determine a posição relativa das circunferências de equações:</p><p>( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 e ( ) ( )x y� � � �2 1 22 2</p><p>Sabendo que a distância entre os centros das circunferências é igual a 4, comprove</p><p>com a representação geométrica.</p><p>SOLUÇÃO: determinaremos o raio de cada circunferência, para verificar a</p><p>posição das circunferências</p><p>( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 ( ) ( )x y� � � �2 1 22 2</p><p>Co( , )2 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Cc( , )−2 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 43</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ,</p><p>Descrição da Imagem: circunferência com centro O é externa a circunferência com centro C.</p><p>1</p><p>8</p><p>6</p><p>Como a distância entre os centros das circunferências é igual a 4, temos:</p><p>Do c, = 4</p><p>Agora, verificaremos a posição relativa das circunferências:</p><p>D R R</p><p>D</p><p>D</p><p>oc</p><p>oc</p><p>oc</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 2</p><p>2 1 43</p><p>3 43</p><p>,</p><p>,</p><p>A medida da distância entre os centros das circunferências é diferente da soma</p><p>da medida dos raios das circunferências, a medida da distância é maior que a</p><p>soma da medida dos raios, logo as circunferências são externas: D R ROC � �1 2</p><p>Representação geométrica:</p><p>Figura 25 - Representação geométrica do exemplo 18 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: circunferência com centro O é externa a circunferência com centro C.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>Circunferências Secantes</p><p>Duas circunferências são secantes quando possuem dois pontos em comum. Para</p><p>isso, a distância entre os centros das circunferências deve ser menor que soma</p><p>das medidas de seus raios: D R ROC � �1 2</p><p>Figura 26 - Circunferências Secantes / Fonte: os autores.</p><p>Exemplo 19: A circunferência ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 é secante à circunferência</p><p>x y2 21 2� � �( )</p><p>SOLUÇÃO: determinaremos o centro e o raio de cada circunferência:</p><p>( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 x y2 21 2� � �( )</p><p>Co( , )2 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Cc( , )0 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>1 43</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ,</p><p>Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:</p><p>D x x y y</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>o c c o c o</p><p>o c</p><p>o c</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>( ) ( )</p><p>[( ) ] ( )</p><p>( ) ( )</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>� � �</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>0 2 1 1</p><p>2 0</p><p>oo c</p><p>o cD</p><p>,</p><p>,</p><p>�</p><p>�</p><p>4</p><p>2</p><p>Descrição da Imagem: circunferência com centro C é secante a circunferência com centro O.</p><p>1</p><p>8</p><p>8</p><p>Agora, verificaremos se as circunferências são secantes:</p><p>D R Roc � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 2</p><p>2 2 1 43</p><p>2 3 43</p><p>,</p><p>,</p><p>Logo as circunferências são secantes.</p><p>Representação geométrica:</p><p>Figura 27 - Representação geométrica do Exemplo 19 / Fonte: os autores.</p><p>Circunferências Internas</p><p>Quando duas circunferências não possuem pontos em comum e uma está lo-</p><p>calizada no interior da outra são consideradas internas. Para que isso ocorra, a</p><p>distância entre os centros das circunferências deve ser menor à diferença entre</p><p>as medidas de seus raios: D R ROC � �1 2</p><p>Descrição da Imagem: circunferência com centro C é secante a circunferência com centro O.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>8</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>Figura 28 - Circunferência internas / Fonte: os autores.</p><p>Exemplo 20: Verifique a posição das circunferências ( ) ( )x y� � � �2 1 92 2 e</p><p>( ) ( )x y� � � �1 1 12 2 e faça representação geométrica.</p><p>SOLUÇÃO: determinaremos o centro e o raio de cada circunferência para</p><p>verificar a posição das circunferências.</p><p>( ) ( )x y� � � �2 1 92 2 ( ) ( )x y� � � �1 1 12 2</p><p>Co( , )2 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>9</p><p>9</p><p>3</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Cc( , )1 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>1</p><p>1</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Calculando a distância entre os centros das circunferências, temos:</p><p>D x x y y</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>o c c o c o</p><p>o c</p><p>o c</p><p>o</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>,</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>� � �</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1 2 1 1</p><p>1 0</p><p>cc</p><p>o cD</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>1,</p><p>Descrição da Imagem: circunferência de centro C é interna a circunferência de centro O.</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>A posição relativa das circunferências será:</p><p>D R Roc � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 2</p><p>1 3 1</p><p>1 4</p><p>Portanto, as circunferências são internas.</p><p>Representação geométrica:</p><p>Figura 29 - Representação geométrica do Exemplo 20 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: circunferência de centro C é interna a circunferência de centro O.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>Circunferências Concêntricas</p><p>Duas circunferências são consideras concêntricas quando possuem o centro em</p><p>comum. Nesse caso, a distância entre os centros é igual a zero DOC = 0</p><p>Figura 30 - Circunferência concêntricas / Fonte: os autores.</p><p>Exemplo 21: Qual deve ser o centro da circunferência concêntrica a circunfe-</p><p>rência de equação ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2 e faça representação geométrica.</p><p>SOLUÇÃO: para as circunferências serem concêntricas a distância entre</p><p>os centros tem que ser nula, ou seja, as circunferências precisam ter as mesmas</p><p>coordenadas para o centro.</p><p>Verificaremos o centro da circunferência ( ) ( )x y� � � �2 1 42 2</p><p>Co( , )2 1</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>o</p><p>o</p><p>o</p><p>2</p><p>2</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>Portanto, para circunferência ser concêntrica, essa tem que ter o centro em C(2,1)</p><p>Descrição da Imagem: duas circunferências com o mesmo centro, ou seja, concêntricas, com raios de tamanhos</p><p>diferentes.</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>Representação geométrica:</p><p>Figura 31- Representação geométrica do Exemplo 21 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: as circunferências com o mesmo centro, ou seja, concêntricas, com raios de tamanhos diferentes.</p><p>Neste vídeo, temos um breve resumo da posição relativa en-</p><p>tre duas circunferências.</p><p>EU INDICO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>3</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20566</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 8</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>Agora, já estudamos:</p><p>■ A equação geral da circunferência.</p><p>■ A posição relativa entre ponto e circunferência, entre a reta e a circunfe-</p><p>rência e entre duas circunferências.</p><p>Alguns anos atrás, foi construído, na cidade de Campinas, em São Paulo, um</p><p>acelerador de partículas nucleares, o Sírius. Para a sua construção, foi necessário</p><p>o conhecimento destes conceitos estudados nesta unidade. O funcionamento</p><p>consiste em: os aceleradores de elétrons mantêm essas partículas circulando em</p><p>órbitas estáveis por várias horas, em ultra-alto vácuo.</p><p>Para a sua atuação profissional, é importante que você compreenda os concei-</p><p>tos estudados nesta unidade, desafie-se a compreender cada umas das deduções</p><p>matemáticas aqui apresentadas.</p><p>1</p><p>9</p><p>4</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. Wassily Kandinsky (1866-1944) foi um pintor russo apontado como um dos grandes</p><p>artistas do século XX. Precursor no campo da arte abstrata, foi também teórico e pro-</p><p>fessor da Bauhaus, a célebre escola alemã.</p><p>Apesar da sua participação na vida política russa, as concepções e os preceitos artísticos</p><p>de Kandinsky não se enquadravam na cultura soviética, que se tornava cada vez mais</p><p>engajada. Assim, em 1921, o pintor decidiu voltar para a Alemanha.</p><p>No ano seguinte, começou a dar aulas de diversas matérias na escola de arte vanguar-</p><p>dista Bauhaus. Nessa época, influenciada pela arte avant-garde, a sua produção foi</p><p>extremamente rica e o seu trabalho se tornou cada vez mais célebre.</p><p>Composição VIII é uma obra constituída por formas geométricas entre as quais se destaca</p><p>o círculo, símbolo da perfeição que viria a se tornar fundamental na pintura do artista.</p><p>Por meio de um jogo de contrastes, a composição dos elementos também pode sugerir</p><p>uma paisagem, na qual os triângulos seriam montanhas e, no canto superior esquerdo,</p><p>os círculos representariam o sol.</p><p>Figura 1 - Composição VIII de Wassily Kandinsky / Fonte: Marcello (2023, on-line).</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta uma pintura abstrata colorida, com círculos, quadrados, triângulos,</p><p>retas e linhas sinuosas.</p><p>1</p><p>9</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>MARCELLO, C. 10 principais obras de Wassily Kandinsky para conhecer a vida do pintor. Cultura</p><p>Genial, 2023. Disponível em: https://www.culturagenial.com/obras-wassily-kandinsky-conhecer-</p><p>-vida-do-pintor/. Acesso em: 31 maio 2023.</p><p>No estudo da circunferência e da posição relativa a retas, existem três posições possíveis</p><p>entre uma circunferência e uma reta, no sistema cartesiano ortogonal: a reta pode ser</p><p>secante à circunferência, tangente à circunferência, ou externa à circunferência.</p><p>E, no estudo da posição relativa de duas circunferências, podem ser tangentes, secantes,</p><p>interna, externa ou concêntricas.</p><p>Na obra Composição VIII, de Wassily Kandinsky, encontramos muitos elementos geomé-</p><p>tricos.</p><p>1 - Analise a posição relativa entre as circunferências da parte da obra destacada abaixo:</p><p>Sabendo que o raio da circunferência vermelha maior mede 5, que o raio da circunferência</p><p>preta mede 4, o raio da circunferência roxa mede 3, e o raio da circunferência vermelha</p><p>pequena mede 2, o ponto A(-10, 6) e E(-6,3):</p><p>a) Descreva a posição relativa da circunferência roxa em relação à circunferência preta.</p><p>Justifique.</p><p>b) Descreva a posição relativa da circunferência preta em relação à circunferência ver-</p><p>melha pequena. Justifique.</p><p>c) Descreva a posição relativa da circunferência roxa em relação à circunferência ver-</p><p>melha pequena. Justifique.</p><p>1</p><p>9</p><p>6</p><p>https://www.culturagenial.com/obras-wassily-kandinsky-conhecer-vida-do-pintor/</p><p>https://www.culturagenial.com/obras-wassily-kandinsky-conhecer-vida-do-pintor/</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>2. Existem três posições possíveis entre uma circunferência e uma reta, no sistema car-</p><p>tesiano ortogonal: a reta pode ser secante à circunferência, tangente à circunferência,</p><p>ou externa à circunferência.</p><p>NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria Analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.</p><p>Figura 2 - Equação ( ) ( )x y� � � �2 2 82 2 / Fonte: o autor.</p><p>Na figura, temos representada a circunferência de equação ( ) ( )x y� � � �2 2 82 2</p><p>, e</p><p>os seguintes pontos: A (0,4), B(2,6), D(10,-1), E(2,-1), F(0,0) e G(-2,3).</p><p>Qual será a posição relativa da reta que passa por: AB, BD e EG? Justifique com argu-</p><p>mentos matemáticos a sua resposta.</p><p>1</p><p>9</p><p>7</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>3. Duas circunferências podem ser tangentes, secantes, interna, externa ou concêntricas,</p><p>para isso, precisaremos calcular a distância entre os centros das circunferências, ou</p><p>seja, a distância entre os dois pontos.</p><p>NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria Analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.</p><p>Classifique as afirmativas em verdadeira (V) ou falsa (F):</p><p>I - As circunferências são tangentes externas quando as duas circunferências possuem</p><p>somente um ponto em comum, e uma é exterior à outra (D R ROC � �1 2 ).</p><p>II - As circunferências são externas, quando duas circunferências possuem todos os</p><p>pontos em comum</p><p>dois segmentos formando um ângulo de 120º.</p><p>Descrição da Imagem: em dois ângulos com vértices distintos, O e P são indicadas as seguintes medidas: ângu-</p><p>lo ˆCOD com quarenta graus e ˆFPE com cinquenta graus.</p><p>Destacamos que ainda podemos identificar mais uma situação de ângulo:</p><p>Ângulo côncavo é a abertura maior que 180° e menor que 360°.</p><p>SOMA DE ÂNGULOS</p><p>Ângulos Complementares</p><p>Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 90º são chamados ângulos</p><p>complementares.</p><p>F</p><p>O</p><p>C</p><p>50º</p><p>P E</p><p>40º</p><p>D</p><p>F</p><p>O</p><p>C</p><p>50º</p><p>P E</p><p>40º</p><p>D</p><p>1</p><p>1</p><p>Veja que os ângulos ˆCOD e ˆFPE são complementares, pois 50 50 90o o o� � .</p><p>Se dois ângulos, além de complementares, são também adjacentes, serão cha-</p><p>mados ângulos adjacentes complementares.</p><p>Os ângulos ˆAOB e ˆBOC são adjacentes complementares.</p><p>Figura 22 – Ângulos adjacentes complementares / Fonte: o autor.</p><p>Figura 23 – Ângulos suplementares / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: em dois ângulos com mesmo vértice O. Os ângulos ˆCOB e ˆBOA são interiores ao ângulo</p><p>reto ˆCOA.</p><p>Descrição da Imagem: dois ângulos com vértices distintos, O e P são indicadas as seguintes medidas: ângulo</p><p>ˆAOB com trinta graus e ˆMPQ com cento e cinquenta graus.</p><p>AO</p><p>C</p><p>B</p><p>Ângulos Suplementares</p><p>Dois ângulos que têm a soma de suas medidas igual a 180º são chamados ângulos</p><p>suplementares.</p><p>A</p><p>O</p><p>B</p><p>30º</p><p>M</p><p>P Q</p><p>150º</p><p>A</p><p>O</p><p>B</p><p>30º</p><p>M</p><p>P Q</p><p>150º</p><p>Os ângulos ˆAOB e ˆMPQ são suplementares, pois a soma de suas medidas</p><p>é 180º.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>Se dois ângulos, além de suplementares, são também adjacentes, eles se de-</p><p>nominam ângulos adjacentes suplementares.</p><p>B</p><p>AC O</p><p>Figura 24 – Ângulos suplementares / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: dois ângulos com mesmo vértice O. Os ângulos ˆCOB e ˆBOA são interiores ao ângulo raso.</p><p>Exemplos:</p><p>■ A medida do complemento de um ângulo de 35º é 55º pois, 90º – 35º = 55º.</p><p>■ A medida do suplemento de um ângulo de 35º é 145º pois, 180 – 35º = 145º.</p><p>• A medida do complemento de um ângulo que mede x é 90º – x.</p><p>• A medida do suplemento de um ângulo que mede y é 180º – y.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>ÂNGULOS OPOSTOS PELO VÉRTICE</p><p>Dois ângulos são opostos pelo vértice se, e somente se, os lados de um deles são</p><p>as respectivas semirretas opostas aos lados do outro.</p><p>Utilizando o programa Geogebra, podemos interagir e identi-</p><p>ficar visualmente ângulos opostos pelo vértice.</p><p>EU INDICO</p><p>1</p><p>4</p><p>https://www.geogebra.org/m/z29v6hcr</p><p>ÂNGULOS FORMADOS</p><p>POR DUAS RETAS PARALE-</p><p>LAS E UMA TRANSVERSAL</p><p>Duas retas paralelas, r e s, corta-</p><p>das por uma transversal t, formam</p><p>oito ângulos que, dois a dois, rece-</p><p>bem nomes especiais, como vere-</p><p>mos a seguir.</p><p>■ Ângulos correspondentes</p><p>Na figura são correspondentes: 1̂</p><p>e 5̂ , 4̂ e 8̂ , 2̂ e 6̂ , 3̂ e 7̂</p><p>Observe, também, que os</p><p>ângulos correspondentes são</p><p>congruentes.</p><p>Figura 25 – Ângulos correspondentes / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: duas retas paralelas, r e s, cor-</p><p>tadas por uma transversal t. São destacados os ângulos</p><p>correspondentes 1̂ e 5̂ , 4̂ e 8̂ , 2̂ e 6̂ , 3̂ e 7̂</p><p>t</p><p>r</p><p>s</p><p>2</p><p>1</p><p>3 4</p><p>6 5</p><p>7 8</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>V</p><p>Vamos agora estudar detalhadamente cada par de ângulos:</p><p>■ Ângulos alternos internos</p><p>• Na figura, são alternos internos: 4̂ e 6̂ , 3 e 5̂ .</p><p>• Lembre-se de que 4̂ é congruente a 6̂ e 3̂ é congruente a 5̂ .</p><p>■ Ângulos colaterais internos</p><p>• Na figura são colaterais internos: 4̂ e 5̂ , 3̂ e 6̂ .</p><p>• Lembre-se de que: ˆ ˆ(3) (6) 180� � om m e ˆ ˆ(4) (5) 180� � om m .</p><p>■ Ângulos alternos externos</p><p>• Na figura são alternos externos: 1̂ e 7̂ , 8̂ e 8̂ .</p><p>• Lembre-se de que 1̂ é congruente a 2̂ e 2̂ é congruente a 8̂ .</p><p>■ Ângulos colaterais externos</p><p>• Na figura, são colaterais externos 1̂ e 8̂ , 2̂ e 7̂ .</p><p>• Lembre-se de que: ˆ ˆ(2) (7) 180� � om m e ˆ ˆ(1) (8) 180� � om m .</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>POSIÇÕES DE RETAS</p><p>Chegamos a mais um estágio de nossa viagem pela geometria. Neste momento</p><p>iremos analisar a posição relativa de retas no plano.</p><p>Ao escutar a palavra reta pode tentar visualizá-la em vários objetos que estão</p><p>ao seu redor. Por exemplo: na fuga que divide dois pisos, na aresta de uma mesa,</p><p>ou na superfície lateral de uma folha de caderno. Você pode também pensar em</p><p>qualquer reta suporte de uma forma geométrica.</p><p>Por isso, sugerimos que você tenha por perto um prisma qualquer (pode ser</p><p>um cubo de qualquer material), que manter usado para analisar as diferentes</p><p>posições de retas que estudaremos a partir de agora.</p><p>POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS</p><p>Retas coplanares</p><p>Duas ou mais retas são coplanares quando estão contidas no mesmo plano. Neste</p><p>caso, algumas possibilidades podem ocorrer: paralelismo, concorrência ou per-</p><p>pendicularidade.</p><p>Na figura a seguir, vemos r s t r s t� � � �a a a, , , , , , coplanares .</p><p>Figura 26 – Retas coplanares / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, contendendo três retas chamadas s, r e t.</p><p>r</p><p>t</p><p>s</p><p>α</p><p>1</p><p>6</p><p>■ Concorrentes,</p><p>quando têm</p><p>apenas um pon-</p><p>to comum, isto é</p><p>r s P∩ = .</p><p>Notação: r s× .</p><p>Figura 27 – Retas paralelas / Fonte: o autor.</p><p>Figura 28 – Retas concorrentes / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas pa-</p><p>ralelas chamadas r e s</p><p>Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas con-</p><p>correntes no ponto P e chamadas r e s.</p><p>r</p><p>s</p><p>αDuas retas coplanares</p><p>podem ser:</p><p>■ Paralelas, quan-</p><p>do não têm pon-</p><p>to comum, ou</p><p>seja r s� �� .</p><p>Notação: r s/ / .</p><p>r</p><p>s</p><p>α</p><p>P</p><p>■ Perpendiculares, quando duas retas concorrentes formam entre si ângu-</p><p>los retos, dizemos que formam um tipo especial de concorrência e por</p><p>isso são chamadas de retas perpendiculares.</p><p>Notação: r s⊥ .</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>Deste modo, duas</p><p>retas são perpendicula-</p><p>res se, e somente se, são</p><p>concorrentes (têm ponto</p><p>comum) e formam ân-</p><p>gulos adjacentes suple-</p><p>mentares congruentes.</p><p>No plano cartesiano,</p><p>a base de referência são</p><p>duas retas concorrentes</p><p>ortogonais. Você estu-</p><p>dará a representação</p><p>cartesiana na disciplina</p><p>de Geometria Analítica.</p><p>Figura 29 – Retas perpendiculares / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um plano, identificado por alfa, duas retas per-</p><p>pendiculares com o ângulo de noventa graus.</p><p>α</p><p>Critério de paralelismo entre reta e plano</p><p>■ Critério1: se uma reta é paralela a uma reta de um plano, é paralela ao plano.</p><p>■ Critério 2: se um plano contém duas retas concorrentes paralelas a outro</p><p>plano, os planos são paralelos.</p><p>Critério de perpendicularidade entre reta e plano</p><p>Se uma reta é perpendicular a duas retas concorrentes de um plano, é perpen-</p><p>dicular ao plano.</p><p>Critério de perpendicularidade entre dois planos</p><p>Se um plano contém uma reta perpendicular a outro plano, os dois planos são</p><p>perpendiculares.</p><p>Uma reta e um plano são perpendiculares, se e somente se, eles têm um ponto</p><p>comum e a reta é perpendicular a todas as retas que passam por este ponto comum.</p><p>Indicação: r ⊥ a .</p><p>1</p><p>8</p><p>Retas reversas</p><p>Duas retas são reversas quando não são paralelas nem possuem ponto comum.</p><p>Isto significa que não existe um plano que as contenha. Podemos imaginar uma</p><p>reta r desenhada no chão de uma sala e uma reta t, não paralela a r, desenhada</p><p>no teto da mesma sala.</p><p>Figura 31 – Segmento de reta / Fonte: o autor.</p><p>Figura 30 – Retas reversas</p><p>Fonte: Dalpiaz e Bona (2014,</p><p>p. 169).</p><p>Descrição da Imagem: uma reta r pontilhada com um segmento destacado entre os pontos A e B.</p><p>Descrição da Imagem:</p><p>temos 8 segmentos de</p><p>restas dispostas como</p><p>arestas de um paralelepí-</p><p>pedo. Dois segmentos</p><p>estão destacados indica-</p><p>dos a situação de retas</p><p>reversas.</p><p>A D</p><p>E H</p><p>CB</p><p>E G</p><p>SEGMENTOS DE RETA</p><p>Vamos estudar agora como podem ser dois ou mais segmentos de reta. Iniciamos</p><p>observando a figura a seguir:</p><p>A B r</p><p>Como já vimos, o conjunto formado pelos pontos A , B e por todos os pontos</p><p>da reta entre A e B é chamado segmento de reta.</p><p>Os pontos A e B são chamados extremos do segmento AB . Os pontos</p><p>internos do segmento AB são os pontos que estão entre A e B .</p><p>Assim como os ângulos,</p><p>(D R ROC � �1 2 ).</p><p>III - As circunferências são secantes quando possuem um ponto em comum</p><p>(D R ROC � �1 2 ).</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) I, apenas.</p><p>b) III, apenas.</p><p>c) I e III.</p><p>d) II e III.</p><p>e) I, II e III.</p><p>4. A fórmula para equação reduzida da circunferência é a expressão ( ) ( )x a y b R� � � �2 2 2</p><p>.</p><p>Para determinar a equação de uma circunferência, precisamos saber o seu centro C(a,b) e</p><p>o seu raio (R).</p><p>NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria Analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.</p><p>Qual a equação reduzida das circunferências que tem: C(-2,5) e r=3 e C(1,2) e R=4, res-</p><p>pectivamente.</p><p>1</p><p>9</p><p>8</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>a) ( ) ( )x y� � � �2 5 32 2</p><p>e ( ) ( )x y� � � �1 2 42 2</p><p>b) ( ) ( )x y� � � �2 5 92 2</p><p>e ( ) ( )x y� � � �1 2 162 2</p><p>c) ( ) ( )x y� � � �2 5 92 2</p><p>e ( ) ( )x y� � � �1 2 42 2</p><p>d) ( ) ( )x y� � �2 32 2</p><p>e ( ) ( )x y� � � �1 2 162 2</p><p>e) x y2 25 9� � �( ) e ( ) ( )x y� � � �1 2 42 2</p><p>5. Um ponto pode assumir três posições diferentes em relação a uma circunferência:</p><p>interna, pertencente à circunferência e externo. Para verificar a posição de um ponto</p><p>no plano cartesiano em relação e uma circunferência vamos calcular a distância do</p><p>ponto até o centro da circunferência e analisar o resultado obtido.</p><p>NICOLODI, J. E.; NICOLODI, R. Geometria Analítica. Indaial: Uniasselvi, 2013.</p><p>Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-</p><p>posta entre elas:</p><p>I - O ponto é interno à circunferência.</p><p>PORQUE</p><p>II - A distância do ponto ao centro da circunferência é igual à medida do raio da circun-</p><p>ferência.</p><p>A respeito destas asserções, assinale a opção correta.</p><p>a) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é justificativa correta da I.</p><p>b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é justificativa correta da I.</p><p>c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é proposição verdadeira.</p><p>e) As asserções I e II são falsas.</p><p>1</p><p>9</p><p>9</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>CONDE, A. Geometria analítica. São Paulo: Atlas, 2004.</p><p>CORRÊA, P. S. Q. Álgebra linear e geometria analítica. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.</p><p>IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar: geometria analítica. 5. ed. São Paulo:</p><p>Atual, 2005.</p><p>JULIANELLI, J. R. Cálculo vetorial e geometria analítica. Rio de Janeiro: Ciência Moderna,</p><p>2008.</p><p>MELLO, D. A. de; WATANEBE, R. G. Vetores e uma iniciação a geometria analítica. São</p><p>Paulo: [s. n.], 2009.</p><p>PROBLEMAS. 2023. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2000/icm27/proble-</p><p>mas.htm. Acesso em: 30 ago. 2013.</p><p>REIS, G. L. dos. Geometria analítica. 2. ed. Rio de Janeiro: [s. n.], 2008.</p><p>SANTOS, F. J. dos; FERREIRA, S. F. Geometria analítica. Porto Alegre: Bookman, 2009.</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>1.</p><p>Fórmula</p><p>D x x y yA B B A B A, ( ) ( )� � � �2 2</p><p>a. São concêntricas e internas. Porque o ponto A é o centro das duas circunferências,</p><p>e uma está dentro da outra.</p><p>b. São secantes, pois a soma dos raios é menor que a distância entre os centros das</p><p>duas circunferências.</p><p>c. São externas, pois a soma dos raios é maior que a distância entre os centros das</p><p>duas circunferências.</p><p>2.</p><p>Fórmula</p><p>ax c by� �</p><p>D</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>pr �</p><p>� �</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>A medida do raio da circunferência é:</p><p>R</p><p>R</p><p>R</p><p>2 8</p><p>8</p><p>2 2 2 83</p><p>�</p><p>�</p><p>� � ,</p><p>1. Vamos encontrar a equação da reta AB:</p><p>ax c y� �</p><p>Substituindo os valores do ponto A: Substituindo os valores do ponto B:</p><p>a c</p><p>c</p><p>0 4</p><p>4</p><p>� �</p><p>�</p><p>2 4 6</p><p>6 4</p><p>2</p><p>1</p><p>a</p><p>a</p><p>a</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>GABARITO</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>x y� � �4 0</p><p>D</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1 2 1 2 4</p><p>1 1</p><p>4</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>4 2</p><p>2</p><p>* *</p><p>*</p><p>�� 2 2</p><p>Como a distância da reta AB ao centro da circunferência é exatamente o tamanho do raio,</p><p>a reta é tangente à circunferência.</p><p>2. Vamos encontrar a equação da reta BD:</p><p>ax c y� �</p><p>Substituindo os valores do ponto B: Substituindo os valores do ponto D:</p><p>2 6a c� � 10 1a c� � �</p><p>Realizando as contas, a equação da reta é � � � �</p><p>7</p><p>8</p><p>31</p><p>4</p><p>0x y ou 7 8 62 0x y� � �</p><p>GABARITO</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>D</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>7 2 8 2 62</p><p>7 8</p><p>32</p><p>113</p><p>32</p><p>113</p><p>1</p><p>* *</p><p>*</p><p>113</p><p>113</p><p>32 113</p><p>113</p><p>3 01Dpr � � ,</p><p>Como a distância da reta BD ao centro da circunferência é maior que a medida do raio, a</p><p>reta é externa a circunferência.</p><p>3. Vamos encontrar a equação da reta EG:</p><p>ax c y� �</p><p>Substituindo os valores do ponto E: Substituindo os valores do ponto G:</p><p>2 1a c� � � � � �2 3a c</p><p>Realizando as contas a equação da reta é x y� � �1 0 .</p><p>GABARITO</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>D</p><p>ax by c</p><p>a b</p><p>D</p><p>D</p><p>D</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>pr</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>1 1</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>1 2 1 2 1</p><p>1 1</p><p>3</p><p>2</p><p>( )* ( )*</p><p>( ) ( )</p><p>��</p><p>� �</p><p>3</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>3 2</p><p>2</p><p>2 12</p><p>*</p><p>,Dpr</p><p>Como a distância da reta EG ao centro da circunferência é menor que a medida do raio,</p><p>a reta é secante à circunferência.</p><p>3. A.</p><p>I. Correta</p><p>II. Falsa: a afirmação verdadeira seria: as circunferências são externas quando duas</p><p>circunferências NÃO possuem pontos em comum (D R ROC � �1 2 ).</p><p>III. Falsa: a afirmação verdadeira seria: As circunferências são secantes quando possuem</p><p>DOIS pontos em comum (D R ROC � �1 2 ).</p><p>4. B.</p><p>Sabendo o centro e o raio, é possível escrever a equação da circunferência:</p><p>C(a, b) é: x a y b R � �� � � �� �2 2 2</p><p>.</p><p>5. C.</p><p>A segunda asserção está errada:</p><p>I. A distância do ponto ao centro da circunferência é igual à medida do raio da circun-</p><p>ferência.</p><p>GABARITO</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>MINHAS METAS</p><p>A GEOMETRIA ANALÍTICA E O</p><p>ESTUDO DAS CÔNICAS</p><p>ME. MÁRCIA ERONDINA DIAS DE SOUZA DA SILVA</p><p>Identificar uma secção cônica por meio dos seus elementos.</p><p>Classificar a cônica descrita pela equação geral.</p><p>Representar, geometricamente, as cônicas estudadas nesta unidade.</p><p>Diferenciar os elementos geométricos da elipse, da parábola e da hipérbole.</p><p>Relacionar o estudo das cônicas com o nosso cotidiano profissional.</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 9</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>Prezado(a) aluno(a), proporemos um pequeno desafio. O dono de um pes-</p><p>queiro tem dois tanques. Neles, é criada uma variedade de espécies de peixes,</p><p>para que os clientes realizem a pescaria e, depois, paguem. O primeiro tanque</p><p>tem formato circular, enquanto o segundo tem formato quadrado. Com o</p><p>objetivo de ampliar a renda e estilizar o estabelecimento, o dono do pesquei-</p><p>ro decidiu destinar outra área do terreno para a construção de um terceiro</p><p>tanque. Essa área tem forma retangular, mas, dentro dela, o tanque deverá ter</p><p>a forma de uma elipse. O que você faria para ajudá-lo? De quais informações</p><p>e dados você precisa dispor para resolver esse problema?</p><p>As cônicas ou secções cônicas são curvas que podem ser obtidas a partir</p><p>da intersecção entre um plano e um cone duplo. De acordo com a inclinação</p><p>desse plano, a curva será chamada de elipse, hipérbole ou parábola. Essas</p><p>curvas já eram conhecidas, admiradas e estudadas desde a Antiguidade. Por</p><p>exemplo, o filósofo e astrônomo Johannes Kepler (1571–1630) foi quem de-</p><p>duziu que as órbitas planetárias eram elípticas, e não circulares, assim como</p><p>se pensava na época. Já Apolônio de Perga (262 a.C.–194 a.C.), matemático</p><p>e astrônomo grego, dedicou parte da vida ao estudo das cônicas, dando uma</p><p>contribuição ímpar para a matemática com a obra As Cônicas.</p><p>É interessante ressaltar que as curvas estudadas nesta unidade podem</p><p>simplesmente ser obtidas por meio de uma interseção entre um plano e um</p><p>cone, mas a representação matemática delas se dá justamente pelas equações</p><p>de grau dois. Assim, conhecer e identificar uma secção cônica, a equação e</p><p>a curva dela com os demais elementos é o principal objetivo desta unidade.</p><p>Neste podcast, resolveremos o problema do pesqueiro,</p><p>como construir o tanque elíptico e quais as medidas utiliza-</p><p>das. Ouça atentamente.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>7</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/19318</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>CURVAS CÔNICAS</p><p>As curvas elíticas são objetos de estudos desde a Antiguidade. Apolônio de Perga,</p><p>matemático e astrônomo grego, é considerado um dos pioneiros no estudo das</p><p>cônicas. Outro ilustre estudioso que se dedicou aos estudos dessas curvas foi</p><p>Johannes Kleper (1571–1630), filósofo e astrônomo que deduziu que as órbitas</p><p>planetárias eram elípticas, e não circulares. Devido às propriedades físicas, es-</p><p>sas curvas têm inúmeras aplicações, como na acústica, na natureza, na arte e na</p><p>arquitetura. Enfim, são inúmeras as aplicações das curvas elípticas e conhecer a</p><p>teoria que as embasa é de extrema importância para a ciência.</p><p>Primeiramente, para que possamos dar sequência ao desafio, é necessário</p><p>saber o que é uma elipse. Afinal, o que caracteriza essa curva? Para efeitos ilustrati-</p><p>vos, faremos uma experiência e precisamos de alguns objetos: uma madeira plana</p><p>no formato retangular, dois pregos, um barbante e um lápis. Na madeira, com o</p><p>maior lado na horizontal, na “posição paisagem”, marque, aproximadamente, o</p><p>centro da madeira com um lápis. Depois, desenhe duas retas passando pelo centro</p><p>da madeira, sendo uma reta horizontal e a outra reta vertical (perpendiculares).</p><p>Ainda, na reta horizontal, marque dois pontos simétricos em relação ao cen-</p><p>tro, ou seja, um ponto à esquerda e outro ponto à direita. Agora, sobre cada um</p><p>desses novos pontos, pregue um prego e, em cada prego, amarre o barbante com</p><p>certa folga, mas de tal maneira que, ao esticá-lo para qualquer lado, o barbante</p><p>não saia da madeira. Para finalizar, use o lápis apoiado no barbante esticado e</p><p>faça um contorno ao redor dos pregos até completar uma volta completa. Esse</p><p>é o desenho de uma elipse. Acabamos de desenhar uma elipse, mas nada foi for-</p><p>malmente definido. Desse modo, precisamos analisar algumas questões:</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>Nesta unidade de estudo, teremos algumas deduções</p><p>matemáticas e utilizaremos muitas propriedades algébri-</p><p>cas. Vamos recordar a conhecida como completar quad-</p><p>rados? Assista ao vídeo a seguir.</p><p>3</p><p>1</p><p>8</p><p>Elipse</p><p>Agora nos dedicaremos a estudar</p><p>os elementos do objeto que dese-</p><p>nhamos, a ELIPSE. Nomearemos</p><p>os pregos, como os focos F1 e F 2 .</p><p>Geometricamente, é possível</p><p>obter uma elipse por meio da in-</p><p>tersecção do cone com um plano.</p><p>Sejam F1 e F 2 dois pontos do</p><p>plano xy , cuja distância entre eles</p><p>é igual a 2c ao conjunto de pontos</p><p>P (x,y) do plano xy , tais que:</p><p>d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� �</p><p>Em que a c> damos o nome de</p><p>elipse. Assim, a elipse é o lugar</p><p>geométrico dos pontos P (x,y),</p><p>cuja soma das distâncias de dois</p><p>pontos fixos é uma constante. Essa</p><p>curva pode ser obtida por meio da</p><p>interseção entre o plano e o cone.</p><p>O plano deve ser inclinado em re-</p><p>lação ao eixo do cone, e não para-</p><p>lelo à geratriz.</p><p>Os pontos F1 e F 2 são focos</p><p>da elipse e o ponto médio do seg-</p><p>mento F F1 2 é o centro C da elip-</p><p>se. O segmento A A1 2 é chamado</p><p>de eixo maior (contém os focos)</p><p>e a distância 2c entre F1 e F 2 é</p><p>chamada de distância focal.</p><p>Figura 1 - Interseção entre um cone e um plano</p><p>Fonte: os autores.</p><p>Figura 2 - Elipse com o auxílio de dois pregos, um bar-</p><p>bante e uma caneta / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um cone cortado por</p><p>um plano inclinado em relação ao eixo dele. Isso resulta</p><p>em uma curva chamada elipse.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há o desenho de uma</p><p>elipse, o qual foi obtido a partir de dois pregos represen-</p><p>tados pelos pontos F1 e F2, conhecidos como focos. Há</p><p>um barbante esticado e preso aos pregos e um lápis foi</p><p>utilizado para obter o traçado da curva.</p><p>1F 2F</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>O segmento B B1 2 é o eixo menor e é perpendicular ao segmento A A1 2 . Os</p><p>pontos A1 , A2 , B1 e B2 são os vértices e o número e</p><p>c</p><p>a</p><p>= é chamado de excen-</p><p>tricidade da elipse. Note que, a partir do Teorema de Pitágoras, temos:</p><p>C 2b</p><p>2c</p><p>2a</p><p>2F1F</p><p>1A 2A</p><p>2B</p><p>1B</p><p>Figura 3 - Elementos e eixos / Fonte: os autores.</p><p>Figura 4 - Elipse e relação de Pitágoras / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse com o eixo maior na horizontal e o eixo menor na vertical. Também</p><p>há o centro C, os vértices A1, A2, B1, B2 e os focos F1 e F2. Além disso, estão representadas as medidas do eixo</p><p>maior 2a, do eixo menor 2b e da distância focal 2c.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse com os pontos focais F1 e F2, um triângulo retângulo com catetos</p><p>b, c e hipotenusa a.</p><p>1F 2F</p><p>a</p><p>b</p><p>c</p><p>2 2 2a b c� �</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>Em que 0 1< <e , pois c a< .</p><p>1º Caso: eixo maior está sobre o eixo x com centro na origem O.</p><p>Considere a elipse com foco F c1 0( , )− , F c2 0( , ) e a b> . Se P x y( , ) é um</p><p>ponto da elipse, temos:</p><p>Figura 5 - Elipse como lugar geométrico / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse desenhada em um plano cartesiano com eixos x e y. No eixo</p><p>horizontal, encontram-se, à esquerda da origem, os pontos -a, F1(-c,0). Por outro lado, à direita, estão os pontos</p><p>F2(c,0) e +a. No eixo vertical y, abaixo da origem, encontram-se o ponto -b e, acima da origem, o ponto b.</p><p>-a a</p><p>x</p><p>y</p><p>b P</p><p>-b</p><p>1F (-c,0) 2F (c,0)</p><p>d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� �</p><p>( ) ( ) ( ) ( )x c y x c y a� � � � � � � �2 2 2 20 0 2 (utilizando a fórmula da</p><p>distância entre dois pontos)</p><p>� ( ) ( )x c y x c y a� � � � � �2 2 2 2 2 (resolvendo ( )y −0 2 )</p><p>( ) ( )x c y a x c y� � � � � �2 2 2 22 (subtraindo em ambos os lados da</p><p>igualdade o termo: ( )x c y� �2 2 )</p><p>( ( ) ) ( ( ) )x c y a x c y� � � � � �2 2 2 2 2 22 (elevando ambos os lados da</p><p>igualdade ao quadrado)</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>( ) ( ) ( )x c y a a x c y x c y� � � � � � � � �2 2 2 2 2 2 24 4</p><p>x xc c a a x c y x xc c2 2 2 2 2 2 22 4 4 2� � � � � � � � �( ) (subtraindo y2 em</p><p>ambos os lados da igualdade e desenvolvendo os termos ( )x c− 2 e ( )x c+ 2 )</p><p>4 4 42 2 2a x c y a xc( )� � � � (reduzindo os termos semelhantes)</p><p>a x c y a xc( )� � � �2 2 2 (dividindo ambos os lados da igualdade por 4)</p><p>( ( ) ) ( )a x c y a xc� � � �2 2 2 2 2 (elevando ambos os lados da igualdade</p><p>ao quadrado)</p><p>a x c y a a xc x c2 2 2 4 2 2 22[( ) ]� � � � �</p><p>a x xc c y a a xc x c2 2 2 2 4 2 2 22 2( )� � � � � � (resolvendo o termo ( )x c− 2 )</p><p>a x a xc a c a y a a xc x c2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 22 2� � � � � �</p><p>a x a c a y a x c2 2 2 2 2 2 4 2 2� � � � (reduzindo os temos semelhantes)</p><p>a x x c a y a a c2 2 2 2 2 2 4 2 2� � � �</p><p>x a c a y a a c2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( )� � � � (colocando em evidência x² e a²)</p><p>Na elipse, temos: a b c2 2 2� � , logo a c b2 2 2� � . Substituindo na equação</p><p>anterior, há o seguinte resultado:</p><p>x b a y a b2 2 2 2 2 2� �</p><p>Dividindo ambos os lados da igualdade por a b2 2 , obtemos:</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� �</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>A última equação é chamada equação reduzida da elipse.</p><p>2º Caso: eixo maior está sobre o eixo y com centro na origem O.</p><p>Sejam F c1 0( , )− , F c2 0( , ) os focos da elipse, utilizando o raciocínio do caso</p><p>anterior, podemos deduzir a equação:</p><p>x</p><p>b</p><p>y</p><p>a</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� �</p><p>Note que a , b e c são constantes reais positivas. Além disso, a b c2 2 2� � , logo,</p><p>a b2 2> . Portanto, a b> . Isso significa que o eixo maior será aquele cujo deno-</p><p>minador é maior.</p><p>y</p><p>x</p><p>y</p><p>x</p><p>2F (c,0)</p><p>1F (c,0)</p><p>aa</p><p>a</p><p>b</p><p>b</p><p>c</p><p>1A</p><p>2A</p><p>2B</p><p>1B</p><p>a) Elementos, vértices e focos b) Teorema de Pitágoras</p><p>Figura 6 (a) - Elementos, vértices e focos; (b) Teorema de Pitágoras / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na Figura 6(a), há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, encontra-se o desenho de</p><p>uma elipse. A curva tem eixo maior vertical, com focos F1(0,-c) e F2(0,c). Ainda na vertical, estão os vértices A1 e</p><p>A2. No eixo horizontal x, encontram-se os vértices do eixo menor B1, à esquerda da origem do plano cartesiano,</p><p>e, à direita, o vértice B2. Já na Figura 6 (b), encontra-se outro plano cartesiano. Nele, há uma elipse com eixo</p><p>maior vertical e, dentro dessa curva, um triângulo retângulo com catetos medindo b e c e hipotenusa</p><p>medindo a.</p><p>EXEMPLO 1: esboce o gráfico da elipse cuja equação é 9 16 1442 2x y� � . De-</p><p>pois, obtenha os elementos, isto é, os focos, os vértices, os eixos, a distância focal,</p><p>o centro e a excentricidade.</p><p>SOLUÇÃO: temos:</p><p>9 16 1442 2x y� �</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Dividindo ambos os lados da igualdade por 144, obtemos:</p><p>9</p><p>144</p><p>16</p><p>144</p><p>144</p><p>144</p><p>2 2x y</p><p>� �</p><p>Simplificando:</p><p>x y</p><p>x y</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>16 9</p><p>1</p><p>4 3</p><p>1</p><p>� �</p><p>� �</p><p>Para x = 0 , temos y � �3 , ou seja, os pontos (0, -3) e (0,3) são pontos da elipse.</p><p>Para y = 0 , temos x � �4 , isto é, (-4,0) e (4,0), também, são pontos da elipse. Além</p><p>disso, como 16 > 9, o eixo maior está sobre o eixo x , em que a = 4 e b = 3 . Agora,</p><p>obteremos os focos dessa elipse, cujo centro está na origem C(0,0). Assim, temos:</p><p>a b c</p><p>c</p><p>c</p><p>2 2 2</p><p>2 2 24 3</p><p>7</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>Portanto, os focos são F1 7 0( , )− , F 2 7 0( , ) , com distância focal</p><p>d F F( , )1 2 2 7= , eixo maior com extremidades nos pontos A1 4 0( , )− e A2 4 0( , )</p><p>e tamanho d A A(� , )1 2 8= . O eixo menor tem vértices nos pontos B1 0 3( , )− e</p><p>B2 0 3( , ) e tamanho d B B(� , )1 2 6= . Segue que e</p><p>c</p><p>a</p><p>= , logo, e = 7</p><p>4</p><p>, ou seja,</p><p>e ≅ 0 66, . Graficamente, temos:</p><p>y</p><p>x</p><p>-3</p><p>4-4</p><p>3</p><p>1B</p><p>2B</p><p>2A1A 1F 2F</p><p>7� 7</p><p>Figura 7 - Representação geométrica do</p><p>Exemplo 1 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse</p><p>com centro na origem, eixo maior na horizontal</p><p>(x) e vértices A1, A2, cujas abscissas são -4 e 4,</p><p>respectivamente. Os focos estão na horizontal,</p><p>F1 e F2, com coordenadas e . No eixo vertical</p><p>(y), estão os vértices do eixo menor, B1 e B2, com</p><p>coordenadas -3 e 3, respectivamente.</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>Perceba que, dada equação reduzida</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� � , em que a > b, o valor de a nos</p><p>fornece as coordenadas dos vértices do eixo maior, A1 e A2 , enquanto o valor b nos</p><p>fornece as coordenadas dos vértices do eixo menor B1 e B2 . Por fim, o valor de c,</p><p>obtido pela relação de Pitágoras, fornece-nos as coordenadas dos focos F1 e F 2 .</p><p>Figura 8 - Equação elementos e gráfico / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um esquema para a construção da elipse. Caso a > b, primeiro, encontra-se</p><p>a equação reduzida. A partir dos valores de a e b, calcula-se o valor de c (Teorema de Pitágoras). De posse dos</p><p>valores de a, b e c, podem ser obtidas as coordenadas de A1 e A2 a partir de a, depois, B1 e B2 a partir de b e,</p><p>por último, as coordenadas de F1 e F2 partindo do valor de c. Para finalizar, no plano cartesiano, são marcados</p><p>os seis pontos obtidos e é traçado o gráfico da elipse.</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>y</p><p>x</p><p>1A 2A</p><p>2B</p><p>1B</p><p>1F 2F</p><p>Elipse com eixo</p><p>maior horizontal</p><p>Para o caso; a>b</p><p>2 2</p><p>2 2 1x y</p><p>a b</p><p>� �</p><p>2 2c= a -b</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>1 2b - B (0,-b) e B (0,b)</p><p>1 2c - F (-c,0) e F (c,0)</p><p>EXEMPLO 2: esboce o gráfico da elipse cuja equação é 49 4 196 02 2x y� � � .</p><p>Obtenha os elementos e construa o gráfico dela.</p><p>SOLUÇÃO: temos:</p><p>49 4 196 0</p><p>49 4 196</p><p>49</p><p>196</p><p>4</p><p>196</p><p>196</p><p>196</p><p>4 49</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>22</p><p>2</p><p>2</p><p>22 7</p><p>1� �</p><p>y</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Como 49 > 4, logo, o eixo maior está sobre o eixo y, em que a = 7 e b = 2. A</p><p>partir de Pitágoras, temos:</p><p>a b c</p><p>c</p><p>c</p><p>2 2 2</p><p>2 2 27 2</p><p>3 5</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>Para x = 0 , temos y � �7 . Logo os vértices do eixo maior são A1 0 7,�� � e</p><p>A2 0 7,� � . Para y = 0 , temos x � �2 . Assim, os vértices do eixo menor são</p><p>B1 2 0�� �, e B2 2 0,� � . Os focos dessa elipse, cujo centro está na origem C(0,0),</p><p>são F1 0 3 5( , )− , F 2 0 3 5( , ) , cuja distância focal d F F( , )1 2 6 5= e a excen-</p><p>tricidade é e =</p><p>3 5</p><p>7</p><p>, ou seja, e ≅ 0 96, .</p><p>Figura 9 - Representação geométrica do exemplo 2 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma elipse com eixo maior</p><p>vertical e vértices A1 e A2, com ordenadas -7 e 7. Também, há o eixo menor horizontal com vértices B1 e B2 e</p><p>abscissas -2 e 2, respectivamente.</p><p>y</p><p>x</p><p>-2 2</p><p>7</p><p>-7</p><p>1A</p><p>2A</p><p>2B1B</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>EXEMPLO 3: um caso particular</p><p>x y2 2</p><p>25 25</p><p>1� �</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>SOLUÇÃO: no exemplo, temos 25 = 25. Logo, a = b = 5 e, sendo a b c2 2 2� �</p><p>segue que c = 0. Assim, F F C1 20 0 0 0 0 0( , ) ( , ) ( , )= = , ou seja, a elipse se reduz a</p><p>uma circunferência de raio igual a 5.</p><p>Figura 10 (a) - Circunferência; (b) - Intersecção entre o cone e o plano / Fonte: os autores.</p><p>Figura 11 - Elipse conhecendo o centro, o foco e a medida do eixo maior / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na Figura 10 (a), há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, observa-se o desenho de</p><p>uma circunferência de raio 5. Na Figura 10 (b), há um cone e um plano perpendicular ao eixo desse cone, cuja</p><p>interseção resulta em um caso particular da elipse, conhecido como “circunferência”.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Também, há centro C na origem, foco</p><p>F sobre o eixo x distante três unidades à direita do centro.</p><p>y</p><p>x</p><p>5</p><p>5</p><p>-5</p><p>-5</p><p>a) circunferência b) Intersecção entre o cone e o plano</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>Note a excentricidade e</p><p>c</p><p>a</p><p>= = =</p><p>0</p><p>5</p><p>0 , ou seja, a circunferência é um caso particu-</p><p>lar da elipse, cuja excentricidade é nula. Assim, quanto menor for a excentricidade,</p><p>menor será a distância focal e mais “semelhante” a uma circunferência se torna a</p><p>elipse. Por outro lado, quanto maior for a excentricidade, isto é, mais próxima de</p><p>valor 1, mais “achatada” fica elipse, ou seja, ela se aproxima do eixo maior.</p><p>EXEMPLO 4: obtenha o gráfico e a equação da elipse com centro na origem</p><p>C( , )0 0 , sabendo que um dos focos é F ( , )3 0 e a medida do eixo maior é igual a 8.</p><p>SOLUÇÃO: geometricamente, temos a seguinte informação:</p><p>C F</p><p>x</p><p>y</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Como um dos focos tem coordenadas (3,0) e o centro é C(0,0), logo, pela simetria,</p><p>o outro foco é (-3,0) e o eixo maior está sobre o eixo x, em que c = 3. Além disso,</p><p>a elipse tem equação do tipo:</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� �</p><p>Por hipótese, o eixo maior igual mede oito unidades, ou seja, 2 8a = , logo, a = 4</p><p>. Pelo Teorema de Pitágoras, temos:</p><p>a b c</p><p>b</p><p>b</p><p>2 2 2</p><p>2 2 24 3</p><p>7</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>Portanto, a equação reduzida é:</p><p>x y2</p><p>2</p><p>2</p><p>24 7</p><p>1� �</p><p>( )</p><p>ou</p><p>x y2 2</p><p>16 7</p><p>1� �</p><p>Os elementos dessa curva cônica são A1 4 0�� �, , A2 4 0,� � , B1 0 7,�� � ,</p><p>B2 0 7,� � , F1 3 0( , )− e F 2 3 0( , ) e a excentricidade é e = =</p><p>3</p><p>4</p><p>0 75, .</p><p>y</p><p>x</p><p>-4 4</p><p>1F 2F</p><p>7�</p><p>7</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>Figura 12 - Elipse com eixo maior horizontal / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há o gráfico de uma elipse com</p><p>eixo maior horizontal (x) com abscissas -4 e 4. Também, há o eixo menor (y) com ordenadas - e . Além disso, sobre</p><p>o eixo x, estão localizados os focos F1 e F2, cujas abscissas são -3 e 3, respectivamente.</p><p>3</p><p>1</p><p>8</p><p>Elipse com centro fora da origem do sistema cartesiano</p><p>1º Caso: eixo maior paralelo ao eixo x.</p><p>Partindo da definição de lugar geométrico, é possível deduzir a equação da</p><p>elipse com centro fora da origem do sistema cartesiano de maneira análoga à</p><p>equação geral da elipse com centro na origem.</p><p>Sejam a o centro e P x y( , ) um ponto genérico dessa elipse com focos</p><p>F h c k1( , )− e F h c k2( , )+ . Assim, temos:</p><p>Figura 13 - Elipse com eixo maior horizontal e centro C h k( , ) / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há uma elipse com centro no ponto C(h,k), eixo maior horizontal e vértices</p><p>A1(h-a,k) e A2(h+a,k). Também, há o eixo menor com vértices B1(h,k-b) e B2(h,k+b) bem como focos F1 e F2</p><p>sobre o eixo maior.</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>k-b</p><p>k</p><p>k+b</p><p>y</p><p>h-a h+ah</p><p>2B</p><p>1B</p><p>1F 2F</p><p>2A1A C</p><p>P</p><p>d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� �</p><p>[ ( )] ( ) [ ( )] ( )x h c y k x h c y k a� � � � � � � � � �2 2 2 2 2</p><p>Calculando algebricamente, concluímos que:</p><p>( ) ( )x h</p><p>a</p><p>y k</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Ela representa a equação reduzida</p><p>da elipse com centro em C h k,� � e</p><p>eixo maior paralelo ao eixo x . Observe que os vértices têm coordena-</p><p>das A h a k1( , )− , A h a k2( , )+ , B h k b1( , )− e B h k b2( , )+ e os focos são</p><p>F h c k1( , )− e F h c k2( , )+ . Note ainda, que, para h k= = 0 , o centro tem</p><p>coordenadas C( , )0 0 , o que corresponde ao caso da elipse com centro na</p><p>origem do plano cartesiano.</p><p>EXEMPLO 5: esboce o gráfico da elipse cuja equação é dada por</p><p>( ) ( )x y�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>4</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>2 2</p><p>SOLUÇÃO: como 4 > 1, então, o eixo maior é paralelo ao eixo x e o centro</p><p>tem coordenadas C( , )−1 3 . Para obteremos as coordenadas dos vértices, po-</p><p>demos substituir por y = 3 e obtemos x � �3 ou x =1 . Analogamente, para</p><p>x � �1 , temos y = 2 ou y = 4 . Logo, os vértices têm coordenadas A1 3 3( , )− ,</p><p>A2 1 3( , ) , B1 1 2( , )− e B2 1 4( , )− .</p><p>Além disso, temos 2 12 2 2� � c , ou seja, c = 3 . Portanto, a excentricidade</p><p>é e =</p><p>3</p><p>2</p><p>e os focos são F1 1 3 3( , )− − e F 2 1 3 3( , )� � .</p><p>Figura 14 - Elipse com eixo maior horizontal e centro C(-1,3) / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma elipse com eixo maior</p><p>paralelo ao eixo x e vértices A1(-3,3) e A2(1,3). O centro é C(-1,3) e o eixo menor é vertical, com coordenadas</p><p>B1(-1,2) e B2(-1,4).</p><p>y</p><p>4</p><p>-3 -1 1</p><p>2</p><p>1A 2A</p><p>2B</p><p>1B</p><p>1F 2F</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>EXEMPLO 6: dada a equação 4 9 8 36 4 02 2x y x y� � � � � , obtenha a equação</p><p>reduzida, o centro, os vértices e os focos.</p><p>Figura 15 - Equação, elementos e gráfico / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um esquema para a construção da elipse com eixo maior horizontal e centro</p><p>C(h,k). Quando a>b, primeiro, encontra-se a equação reduzida. A partir dos valores de a e b, calcula-se o valor de</p><p>c (Teorema de Pitágoras). De posse dos valores de a, b e c, partindo das coordenadas h e k, podem ser obtidas</p><p>as coordenadas de A1 e A2 utilizando o valor de a, depois, de B1 e B2 utilizando o valor de b e, por último, as</p><p>coordenadas de F1 e F2 utilizando o valor de c. Para finalizar, no plano cartesiano, marcam-se os sete pontos</p><p>obtidos e é traçado o gráfico da elipse.</p><p>Para obtermos as coordenadas dos elementos de uma elipse, primeiro,</p><p>escrevemos a equação de forma reduzida e retiramos os valores de a e b .</p><p>( ) ( )x h</p><p>a</p><p>y k</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>Para encontrar o c, utilizamos o Teorema de Pitágoras: a b c2 2 2� � .</p><p>a nos fornece as coordenadas de A h a k1( , )− e A h a k2( , )+</p><p>b nos fornece as coordenadas de B h k b1( , )− e B h k b2( , )+</p><p>c nos fornece as coordenadas de F h c k1( , )− e F h c k2( , )+</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>y</p><p>x1A 2A</p><p>2B</p><p>1B</p><p>1F 2F</p><p>Elipse com eixo</p><p>maior na horizontal</p><p>Para o caso: C9h,k) e a>b</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>(x-h) (y-k)+ =1</p><p>a b</p><p>2 2c= a -b</p><p>c</p><p>1 2b - B (h,k - b) e B (h,k + b)</p><p>1 2a - A (h - a,k) e B (h + a,k)</p><p>1 2c - F (h - c,k) e F (h + c,k)</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>k</p><p>h</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>SOLUÇÃO: temos:</p><p>4 9 8 36 4 0</p><p>4 8 9 36 4 0</p><p>4 2 9 4 4 0</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>x y x y</p><p>x x y y</p><p>x x y y</p><p>� � � � �</p><p>� � � � �</p><p>� � � � �( ) ( )</p><p>Completando o quadrado:</p><p>4 2 1 1 9 4 4 4 4 02 2( ) ( )x x y y� � � � � � � � �</p><p>4 1 1 9 2 4 4 0</p><p>4 1 4 9 2 36 4 0</p><p>4</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>[( ) ] [( ) ]</p><p>( ) ( )</p><p>(</p><p>x y</p><p>x y</p><p>x</p><p>� � � � � � �</p><p>� � � � � � �</p><p>22 2 2 2</p><p>2 2 2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>1</p><p>36</p><p>9 2</p><p>36</p><p>36</p><p>36</p><p>1</p><p>9</p><p>2</p><p>4</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) (</p><p>y</p><p>x y</p><p>x y ))2</p><p>22</p><p>1�</p><p>Como 9 > 4, então, o eixo maior é paralelo ao eixo x , cujo centro é C( , )1 2</p><p>. Além disso, temos a = 3 e b = 2 , logo, c = 5 . Os vértices têm coordena-</p><p>das A A1 11 3 2 2 2( , ) ( , )� � � e A A2 21 3 2 4 2( , ) ( , )� � , B B1 11 2 2 1 0( , ) ( , )� � e</p><p>B B2 21 2 2 1 4( , ) ( , )� � , F1 1 5 2( , )− e F 2 1 5 2( , )+ .</p><p>Figura 16 - Elipse com eixo maior</p><p>horizontal e centro C(1,2)</p><p>Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na fi-</p><p>gura, há um plano cartesiano</p><p>com eixos x e y. Nele, obser-</p><p>va-se o desenho de uma elip-</p><p>se com eixo maior horizontal</p><p>paralelo ao eixo x. Também,</p><p>são expostos os vértices A1(-</p><p>2,2) e A2(4,2) e o eixo menor</p><p>vertical paralelo ao eixo y, com</p><p>vértices B1(1,0) e B2(1,4).</p><p>y</p><p>2</p><p>-2 1 4</p><p>1A 2A</p><p>2B</p><p>1B</p><p>1F 2F</p><p>4</p><p>1 2a - A (-a,0) e A (a,0)</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>2º Caso: eixo maior paralelo ao eixo y.</p><p>A equação da elipse com centro em C h k( , ) é dada por:</p><p>( ) ( )x h</p><p>b</p><p>y k</p><p>a</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>E pode ser deduzida de forma análoga à anterior:</p><p>Figura 17 - Elipse com eixo maior vertical</p><p>e centro C(h,k) / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há</p><p>um plano cartesiano com eixos x e y.</p><p>Nele, há uma elipse com centro C(h,k),</p><p>eixo maior vertical e vértices A1(h,k-a)</p><p>e A2(h,k+a). Também, são expressos</p><p>o eixo menor horizontal com vértices</p><p>B1(h-b,k) e B2(h+b,k) e os focos F1 e</p><p>F2 sobre o eixo vertical.</p><p>y A2</p><p>A1</p><p>B2</p><p>x</p><p>B1</p><p>k</p><p>k + a</p><p>k - a</p><p>F2</p><p>C</p><p>F1</p><p>h - b h h + b</p><p>Em que os vértices são A h k a1( , )− e A h k a2( , )+ , B h b k1( , )− e B h b k2( , )+</p><p>EXEMPLO 7: construa uma elipse com centro C( , )2 3 , eixo maior medin-</p><p>do dez unidades e paralelo ao eixo y , eixo menor medindo oito unidades e a</p><p>equação reduzida.</p><p>SOLUÇÃO: o eixo maior dessa elipse tem medida igual a 10, logo, 2 10a =</p><p>, a = 5 , e 2 8b = , b = 4 , ou seja, a = 5 , b = 4 , e, consequentemente, c = 3 . A</p><p>equação é reduzida é:</p><p>( ) ( )x y�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>4</p><p>3</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>Como o centro é C( , )2 3 e o eixo maior é paralelo ao eixo y , então, os vértices</p><p>são A A1 12 3 5 2 2( , ) ( , )� � � , A A2 22 3 5 2 8( , ) ( , )� � , B B1 12 4 3 2 3( , ) ( , )� � �</p><p>, B B2 22 4 3 6 3( , ) ( , )� � e os focos são F F1 12 3 3 2 0( , ) ( , )� � e</p><p>F F2 22 3 3 2 6( , ) ( , )� � .</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>EXEMPLO 8: determine o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da</p><p>elipse de equação 25 9 50 36 164 02 2x y x y� � � � �</p><p>SOLUÇÃO: a equação pode ser reescrita por:</p><p>25 9 50 36 164 0</p><p>25 2 9 4 164 0</p><p>25 2 1 1</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>x y x y</p><p>x x y y</p><p>x x</p><p>� � � � �</p><p>� � � � �</p><p>� � �</p><p>( ) ( )</p><p>( )) ( )</p><p>[( ) ] [( ) ]</p><p>( )</p><p>� � � � � �</p><p>� � � � � � �</p><p>�</p><p>9 4 4 4 164 0</p><p>25 1 1 9 2 4 164 0</p><p>25 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>y y</p><p>x y</p><p>x 22 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>25 9 2 36 164 0</p><p>25 1 9 2 225</p><p>25 1</p><p>225</p><p>9</p><p>� � � � � �</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>( ) (</p><p>y</p><p>x y</p><p>x y 22</p><p>225</p><p>225</p><p>225</p><p>1</p><p>9</p><p>2</p><p>25</p><p>1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>)</p><p>( ) ( )</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>x y</p><p>Figura 18 - Elipse com eixo maior verti-</p><p>cal e centro C(2,3) / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figu-</p><p>ra, há um plano cartesiano com</p><p>eixos x e y. Nele, há uma elipse</p><p>com eixo maior vertical e vérti-</p><p>ces A1(2,-2) e A2(2,8). Também,</p><p>há focos F1(2,0) e F2(2,6) e eixo</p><p>menor com vértices B1(-2,3) e</p><p>B2(6,3).</p><p>y</p><p>8</p><p>A2</p><p>F2</p><p>B1</p><p>6</p><p>-2</p><p>-2</p><p>A1</p><p>F1</p><p>B2</p><p>6</p><p>x</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>Portanto,</p><p>( ( )) ( )x y� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>3</p><p>2</p><p>5</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>Assim, temos a = 5 , e b = 3 , logo, c = 4 . Além disso, o centro é C( , )−1 2 . Os</p><p>vértices são A1 1 3( , )− − , A2 1 7( , )− , B1 4 2( , )− e B2 2 2( , ) , os focos são F1 1 6( , )−</p><p>e F 2 1 6( , )− e a excentricidade é e = =</p><p>4</p><p>5</p><p>0 8, .</p><p>Figura 19 - Elipse com eixo maior vertical e</p><p>centro C(-1,2) / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um</p><p>plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há</p><p>uma elipse com eixo maior vertical e vér-</p><p>tices A1(-1,-3) e A2(-1,7). Também, há os</p><p>focos F1(-1-2) e F2(-1,6) e o eixo menor</p><p>com vértices B1(-4,2) e B2(2,2).</p><p>y</p><p>7</p><p>A2</p><p>F2</p><p>B1</p><p>6</p><p>-4</p><p>-3</p><p>A1</p><p>F1</p><p>B2</p><p>x</p><p>2</p><p>C</p><p>EXEMPLO 9: contextualizando o assunto que estudamos até agora, imaginemos</p><p>que, na sua cidade, há disponível um terreno retangular com medidas 68 m x 100</p><p>m, e o prefeito idealizou uma praça com pista de caminhada/corrida, de forma</p><p>elíptica. Conforme a figura a seguir, nos focos da elipse maior, ou seja, os pontos</p><p>F1 e F2, serão instalados postes de iluminação. Indique a distância entre os postes,</p><p>sabendo que a distância mínima do muro do terreno é de 2 m em cada dos lados.</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>O lado maior do terreno mede 100 m e, como a pista está distante a 2 m de cada</p><p>um dos lados do terreno, o eixo maior da elipse medirá 96 m. O lado menor de</p><p>terreno mede 68 m, portanto, o eixo menor medirá 64 m. Temos os seguintes</p><p>elementos da elipse:</p><p>■ Centro (0,0) - A1 48 0( , ) e A2 48 0( , )− - B1 0 32( , ) e B2 0 32( , )−</p><p>Com essas informações, é possível encontrar os pontos F1 e F2 e, assim, calcular</p><p>a distância entre os postes.</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>c</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>48 32</p><p>2304 1024</p><p>1280</p><p>35 8</p><p>2 2</p><p>,</p><p>Logo F1 35 8 0( , ; ) e F2 35 8 0( , ; )− , assim, para calcular as distâncias entre os pos-</p><p>tes, basta calcular 2 35 8 71 6* , ,= .</p><p>Podemos afirmar que a distância entre os postes será de 71,6 m.</p><p>A1A1A2A2</p><p>B1B1</p><p>B2B2</p><p>-20</p><p>-40 -20 0 20 40</p><p>4U</p><p>20</p><p>Figura 20 * Esboço do terreno e da pista de caminhada / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo, em verde, medindo 68 m x 100 m. Uma elipse, em</p><p>cinza claro, com equação: x y2</p><p>2</p><p>2</p><p>248 32</p><p>1� �</p><p>e a segunda elipse, em cinza escuro, com a equação x y2</p><p>2</p><p>2</p><p>250 34</p><p>1� �</p><p>, represen-</p><p>tando os limites da pista de caminhada a ser construída.</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>Parábola</p><p>Estudaremos a Parábola, que, geometricamente, é uma seção cônica obtida pela</p><p>intersecção da superfície de um cone reto com um plano, conforme podemos</p><p>observar na Figura 21.</p><p>Figura 21 - Interseção entre o cone e o plano / Fonte: os autores.</p><p>Figura 22 - O lugar geométrico da</p><p>parábola / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um cone cortado por um plano paralelo à reta geratriz do cone, resultando</p><p>em uma curva chamada parábola.</p><p>Descrição da Imagem: na</p><p>figura, há o desenho de uma</p><p>parábola definida a partir da</p><p>reta diretriz d e o foco F. Ain-</p><p>da, há o ponto A, no qual pas-</p><p>sa a reta diretriz d, o ponto V,</p><p>chamado vértice da parábola,</p><p>e um ponto P, que é genérico</p><p>e representa o lugar geomé-</p><p>trico dos pontos que equidis-</p><p>tam do ponto F e da reta d.</p><p>geratriz</p><p>Sejam d uma reta e F um ponto não pertencente a d , ambos no plano xy . Uma</p><p>parábola é o conjunto dos pontos xy, P x y,� � no plano que são equidistantes do</p><p>ponto F e da reta. O ponto F é chamado de foco e d é a diretriz da parábola.</p><p>P</p><p>F</p><p>eixo</p><p>V</p><p>Ad</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Assim, se P x y,� � é um ponto da parábola, então, d P F d P d( , ) ( , )= .</p><p>O eixo da parábola é uma reta que passa pelo foco e é perpendicular à diretriz.</p><p>A interseção entre seu eixo e a parábola é o ponto chamado vértice e denotado</p><p>por V . Geometricamente, a parábola é obtida a partir da interseção entre um</p><p>plano e um cone, em que o plano é paralelo à geratriz desse cone.</p><p>Parábola com vértice na origem do sistema cartesiano</p><p>1º Caso: eixo da parábola é o próprio eixo y . Seja P x y,� � um ponto da pará-</p><p>bola com foco F</p><p>p0</p><p>2</p><p>,�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� , diretriz d e D um ponto da reta d :</p><p>Figura 23 - Parábola com a concavidade voltada para cima / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, observa-se uma parábola com a</p><p>concavidade voltada para cima, foco , vértice V(0,0) e um ponto com coordenadas , no qual passa a reta diretriz</p><p>d. Observa-se, também, um ponto P(x,y) que equidista do ponto F e do ponto D sobre a diretriz.</p><p>x</p><p>y</p><p>d</p><p>D(x, - p)</p><p>2</p><p>(0, - p)</p><p>2</p><p>V(0,0)</p><p>F(0,p)</p><p>2</p><p>P(x,y)</p><p>Assim, temos:</p><p>3</p><p>1</p><p>8</p><p>d F P d D P</p><p>x y p x x y p</p><p>x y p</p><p>( , ) ( , )</p><p>( ) ( )</p><p>�</p><p>� � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>0</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � ��</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>y p</p><p>x y p y p</p><p>��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � � � �</p><p>�</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>4 4</p><p>2</p><p>x y yp p y yp p</p><p>x py</p><p>Essa é a equação reduzida da pará-</p><p>bola com vértice na origem do plano</p><p>cartesiano e eixo da parábola coinci-</p><p>dindo com o eixo y . Note que, como</p><p>x2 0≥ , logo, 2yp deve ser positivo, o</p><p>que significa que y e p devem ter o</p><p>mesmo sinal. Em particular, se p > 0</p><p>, a concavidade é voltada para cima.</p><p>Por outro lado, se p < 0 , a parábola</p><p>tem concavidade voltada para baixo.</p><p>Figura 24 (a) - Parábola com concavidade voltada</p><p>cima; (b) - Parábola com concavidade voltada para</p><p>baixo / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na Figura 24 (a), há um</p><p>plano com eixos x e y. Nele, temos uma parábola</p><p>côncava para cima, pois p é positivo, com vértice</p><p>V na origem do plano cartesiano. Também, há uma</p><p>reta d, logo abaixo do ponto V e paralela ao eixo x,</p><p>enquanto o foco F é interior à parábola. Na Figu-</p><p>ra 23 (b), há outra parábola no plano cartesiano,</p><p>com vértice V sobre a origem. A concavidade está</p><p>voltada para baixo, uma vez que p é negativo, há</p><p>um ponto F interior à parábola e, acima do vértice,</p><p>encontra-se a diretriz d paralela ao eixo x.</p><p>a) Concavidade coltada para cima</p><p>d</p><p>y</p><p>F</p><p>V</p><p>x</p><p>p>0</p><p>a) Concavidade coltada para baixo</p><p>d</p><p>y</p><p>V</p><p>F</p><p>x</p><p>p>0</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>2º Caso: eixo da parábola é o próprio eixo x . Seja P x y,� � um ponto da pará-</p><p>bola com foco F</p><p>p</p><p>2</p><p>0,�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� , diretriz d , usando o raciocínio anterior, deduzimos</p><p>a equação y px2 2= .</p><p>a) Concavidade voltada para direita</p><p>d</p><p>y</p><p>V F</p><p>x</p><p>p>0</p><p>b) Concavidade voltada para esquerda</p><p>y</p><p>d</p><p>F V</p><p>x</p><p>p>0</p><p>a) Concavidade voltada para direita</p><p>d</p><p>y</p><p>V F</p><p>x</p><p>p>0</p><p>b) Concavidade voltada para esquerda</p><p>y</p><p>d</p><p>F V</p><p>x</p><p>p>0</p><p>Figura 25 (a) - Parábola com a concavidade voltada para a direita; (b) Parábola com a concavidade voltada para</p><p>a esquerda / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na Figura 25(a), há uma parábola com a concavidade voltada para a direita, pois p é positivo.</p><p>O foco F é interior à curva e um ponto V coincide com a origem do plano cartesiano. Há uma reta d paralela e à</p><p>esquerda do eixo y, chamada diretriz. Na figura 25 (b), há outra parábola, mas com a concavidade voltada para</p><p>a esquerda, pois p é negativo. O foco F é interior à parábola, o vértice V está na origem do plano cartesiano, e a</p><p>reta diretriz d está localizada à direita e é paralela ao eixo y.</p><p>Quando p > 0 , a concavidade é voltada para a direita e, se p < 0 , a concavidade</p><p>é voltada para a esquerda.</p><p>EXEMPLO 10: dada a equação y x2 20� � , obtenha o gráfico, o foco e a</p><p>diretriz da parábola.</p><p>SOLUÇÃO: a equação é do tipo y px2 2= , logo, 2 20p � � , ou seja, p � �10</p><p>. Portanto, a concavidade é voltada para a esquerda. Como o vértice é V 0 0, �� � ,</p><p>logo, o foco é F F0 10</p><p>2</p><p>0 5 0��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �� �, , e a diretriz é x � � �0 10</p><p>2</p><p>5 .</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>Parábola com vértice fora da origem do sistema cartesiano</p><p>1º Caso: parábola com eixo paralelo ao eixo y .</p><p>Seja V h k( , ) o vértice da parábola, partindo da definição d P F d P d( , ) ( , )= ,</p><p>é fácil deduzir a equação, que é dada por ( ) ( )x h p y k� � �2 2</p><p>Figura 26 - Parábola com vértice na origem e</p><p>côncava para cima / Fonte: os autores.</p><p>Figura 27 - Parábola com eixo vertical e vértice V(h,k) / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um</p><p>plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há</p><p>uma parábola com vértice V na origem. O</p><p>foco dela está acima do vértice e tem coor-</p><p>denadas F(0,). Logo abaixo do vértice, ob-</p><p>serva-se a reta diretriz, com equação y=-,</p><p>paralela ao eixo x.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma parábola com vértice no</p><p>ponto V(h,k), cuja concavidade é voltada para cima, pois p é positivo. Além disso, há o foco, com coordenadas , e</p><p>a diretriz, uma reta paralela ao eixo x definida pela equação .</p><p>y</p><p>d</p><p>F(-5,0)</p><p>x</p><p>X=5</p><p>V(0,0)</p><p>F</p><p>x</p><p>h</p><p>V</p><p>d</p><p>p</p><p>y</p><p>P</p><p>p>0</p><p>y=k - p</p><p>2</p><p>k + p</p><p>2</p><p>k</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>2º Caso: Parábola com eixo paralelo ao eixo x .</p><p>Seja V h k( , ) o vértice da parábola, a equação é dada por ( ) ( )y k p x h� � �2 2 .</p><p>Figura 28 - Parábola com eixo horizontal e vértice V(h,k)</p><p>Fonte: os autores.</p><p>Figura 29 - Elementos de uma diretriz, foco F(5,2) e diretriz x=1 / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesia-</p><p>no com eixos x e y. Nele, há uma parábola com vértice</p><p>no ponto V(h,k), cuja concavidade está voltada para a</p><p>direita, pois p é positivo. Ainda,</p><p>é demonstrado o foco,</p><p>com coordenadas , e expressa a diretriz, uma reta pa-</p><p>ralela ao eixo y, definida pela equação .</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, estão marcados os elementos,</p><p>incluindo o foco F(5,2) e a reta diretriz d vertical e paralela ao eixo y, com equação x=1.</p><p>x</p><p>y</p><p>k V F</p><p>d</p><p>0 h</p><p>p>0</p><p>eixo</p><p>h + p</p><p>2</p><p>x = h - p</p><p>2</p><p>EXEMPLO 11: determine a equação da parábola cuja diretriz é x =1 e tem foco</p><p>no ponto F ( , )5 2 .</p><p>5</p><p>x</p><p>0 1</p><p>d</p><p>y</p><p>2</p><p>A F</p><p>SOLUÇÃO: sabemos que a diretriz é x =1 , logo, o eixo da parábola é paralelo ao</p><p>eixo x e passa pelos pontos F 5 2,� � e A 1 2,� � . Como o vértice é o ponto médio</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>do segmento AF , logo, V V5 1</p><p>2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>3 2� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �, , , ou seja, h = 3 e k = 2 . Note</p><p>que, como o foco está à direita do vértice, então, a concavidade é voltada para a</p><p>direita, o que significa que p é positivo. Além disso, temos:</p><p>p d A F</p><p>p</p><p>p</p><p>�</p><p>� � � �</p><p>�</p><p>( , )</p><p>( ) ( )5 1 2 2</p><p>4</p><p>2 2</p><p>Substituindo na equação a seguir:</p><p>( ) ( )</p><p>( ) .( )( )</p><p>y k p x h</p><p>y x</p><p>y y x</p><p>y y x</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>� � � �</p><p>� � � �</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 2 4 3</p><p>4 4 8 24</p><p>4 8 28 0</p><p>Que é a equação da parábola.</p><p>Figura 30 - Parábola com a concavidade voltada para a direita e vértice V(3,2) / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma parábola com a concavi-</p><p>dade voltada para a direita, vértice V(3,2) e foco F(5,2). A diretriz d é uma reta paralela ao eixo y, definida pela</p><p>equação x=1 e que passa pelo ponto A(1,2).</p><p>3 5</p><p>V F</p><p>x</p><p>0 1</p><p>2</p><p>A</p><p>y</p><p>d</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>3</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Exemplo 12: contextualizando o que estudamos. Voltando ao Exemplo 9, no</p><p>terreno, a prefeitura, também, decidiu incluir uma pista de skate. Ela ocupará o</p><p>espaço interno à pista de caminhada, a 5,8 m de distância de cada poste de luz.</p><p>Encontre a equação da parábola que será a base da pista de skate, sabendo que a</p><p>altura máxima a ser atingida pela pista é de 3 m.</p><p>Figura 31 - Esboço da pista de skate / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: a figura mostra os eixos do plano cartesiano com o esboço da pista de skate em rosa, e</p><p>os pontos A e B marcados na parábola.</p><p>-30 -20 -10 0 10 20 30</p><p>4</p><p>2</p><p>V</p><p>B A</p><p>SOLUÇÃO: se a altura máxima a ser atingida pela pista é de 3 m e a pista estará</p><p>distante a 5,8 m do poste de luz, então, estará 30 m de distância do eixo y. Temos</p><p>que o ponto A(30,3) e B(-30,3). Como vimos, a equação de uma parábola com o</p><p>vértice na origem é: x yp2 2= .</p><p>30 2 3</p><p>900 6</p><p>900</p><p>6</p><p>150</p><p>2 =</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>* p</p><p>p</p><p>p</p><p>p</p><p>Então, a equação geral da parábola que será a base da pista de skate é:</p><p>y x</p><p>p</p><p>y x</p><p>=</p><p>=</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>300</p><p>3</p><p>3</p><p>4</p><p>A hipérbole</p><p>A seção cônica, obtida pela intersec-</p><p>ção das duas folhas de um cone du-</p><p>plo reto com um plano que não passa</p><p>pelo vértice, é chamada HIPÉRBO-</p><p>LE, que nos dedicaremos a estudar</p><p>daqui para frente.</p><p>Sejam F1 e F 2 dois pontos do</p><p>plano com d F F c( , )1 2 2= ao conjun-</p><p>to dos pontos P x y ,� � , tais que o</p><p>módulo da diferença entre d P F( , )1</p><p>e d P F( , )2 é uma constante, damos o</p><p>nome de hipérbole. Em outras pala-</p><p>vras, se a é um número real positivo</p><p>tal que 2 2a c< , a hipérbole será o</p><p>conjunto dos pontos que satisfaz</p><p>d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� � .</p><p>Figura 33 - Hipérbole / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há duas curvas chamadas hipérbole. Também, há dois pontos, F1 e F2, chamados</p><p>focos, e um ponto P genérico sobre a curva, que representa o lugar geométrico resultante da diferença entre as</p><p>distâncias de P e F1 com P e F2.</p><p>Figura 32 - Interseção entre o cone duplo e o plano</p><p>Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um cone</p><p>duplo cortado por um plano paralelo ao eixo,</p><p>resultando em uma curva chamada hipérbole.</p><p>F1 F2</p><p>P</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Os pontos F1 e F 2 são os focos, e d F F c( , )1 2 2= é a distância focal. O centro</p><p>C da hipérbole é o ponto médio do segmento F1 F 2 e os pontos A1 e A2 são</p><p>os vértices, em que d A A a( , )1 2 2= . O eixo real é o segmento A1 A2 . O eixo</p><p>imaginário é o segmento B B1 2 , com d B B b( , )1 2 2= . Além disso, o segmento</p><p>B B1 2 é perpendicular ao segmento A A1 2 no ponto C.</p><p>Figura 34 - Elementos da hipérbole / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há uma hipérbole com eixo real horizontal, focos F1 e F2 e distância focal 2c.</p><p>Há, ainda, dois pontos, A1 e A2, com distância 2a. Na vertical, estão os vértices do eixo imaginário, B1 e B2, e</p><p>um triângulo retângulo com catetos a e b e hipotenusa c.</p><p>a</p><p>c</p><p>b</p><p>C</p><p>A1</p><p>B1</p><p>B2</p><p>A2</p><p>F2F1</p><p>2</p><p>a</p><p>2</p><p>c</p><p>Temos a seguinte relação c a b2 2 2� � e chamamos de excentricidade a razão</p><p>e c</p><p>a</p><p>= . Além disso, como c a> , logo, e >1 .</p><p>Considere o retângulo MNOP , cujos pontos A1 , A2 , B1 e B2 são pontos</p><p>médios dos segmentos MN, OP , NO e MP , respectivamente. As retas r e s, que</p><p>passam pelos segmentos MO e NP são chamadas assíntotas da hipérbole. Essas</p><p>retas têm a seguinte propriedade: à medida que os pontos da hipérbole se afastam</p><p>do foco, esses pontos se aproximam cada vez mais de uma dessas retas, porém</p><p>nunca tocam nela. Além disso, as razões</p><p>b</p><p>a</p><p>e −</p><p>b</p><p>a</p><p>correspondem às inclinações</p><p>das retas s e r, respectivamente.</p><p>3</p><p>3</p><p>6</p><p>Hipérbole com centro na origem do plano cartesiano</p><p>1º caso: eixo real sobre o eixo x .</p><p>Seja P x y( , ) um ponto da hipérbole com centro C( , )0 0 e focos F c1 0( , )−</p><p>e F c2 0( , ) :</p><p>Figura 35 - Hipérbole e elementos com eixo</p><p>real horizontal / Fonte: os autores.</p><p>Figura 36 - Hipérbole com eixo real hori-</p><p>zontal e elementos vértices e focos</p><p>Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há</p><p>duas curvas que representam uma hi-</p><p>pérbole com focos F1 e F2 e vértices</p><p>do eixo real A1 e A2. Também, há os</p><p>pontos B1 e B2 do eixo imaginário, com</p><p>assíntotas r e s. Além disso, há um re-</p><p>tângulo auxiliar formado pelos pontos</p><p>M, N, O e P e, finalmente, temos um</p><p>triângulo retângulo com catetos a e b</p><p>e hipotenusa c.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há</p><p>um plano cartesiano com eixos x e y.</p><p>Também, há duas curvas da hipérbole</p><p>com focos F1 e F2, que distam c uni-</p><p>dades da origem. Há, ainda, os vérti-</p><p>ces A1 e A2, que distam a unidades</p><p>do centro dessa curva. Por fim, há um</p><p>ponto P genérico da hipérbole.</p><p>a</p><p>c</p><p>b</p><p>r</p><p>M PB2</p><p>F2</p><p>A2</p><p>B1 ON</p><p>A1</p><p>F1</p><p>s</p><p>a</p><p>P</p><p>F2</p><p>A2</p><p>c</p><p>A1</p><p>F1</p><p>s</p><p>y</p><p>x</p><p>Temos: d F P d F P a( , ) ( , )1 2 2� � , utilizando o mesmo processo da elipse, ob-</p><p>temos:</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� �</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>3</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Que é a equação reduzida da hipérbole com vértices A a1 0( , )− e A a2 0( , ) e</p><p>assíntotas y</p><p>b</p><p>a</p><p>x� � (equação da reta passando pela origem).</p><p>2º caso: eixo real sobre o eixo y .</p><p>Partindo da definição da hipérbole d F P d F P a( , ) ( , )1 2 2� � , podemos</p><p>deduzir de maneira análoga a equação:</p><p>y</p><p>a</p><p>x</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� �</p><p>Que é a equação da hipérbole com focos F c1 0( , )− e F c2 0( , ) , vértices A a1 0( , )−</p><p>e A a2 0( , ) e assíntotas y</p><p>a</p><p>b</p><p>x� � , em que c a b2 2 2� � .</p><p>Figura 37 - Hipérbole com eixo real vertical / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma hipérbole com eixo real</p><p>vertical, vértices A1 e A2, que distam a unidades da origem, e focos F1 e F2, os quais distam c unidades da origem.</p><p>A1</p><p>C</p><p>F2</p><p>a</p><p>A2</p><p>y</p><p>x</p><p>F1</p><p>3</p><p>3</p><p>8</p><p>EXEMPLO 13: obtenha o gráfico da hipérbole cuja equação reduzida é</p><p>x y2 2</p><p>25 16</p><p>1� � . Também, demonstre os elementos dela, incluindo centro, focos,</p><p>vértices, excentricidade e assíntotas.</p><p>SOLUÇÃO: a equação é do tipo</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� � , logo, a = 5 e b = 4 . O eixo</p><p>real está sobre o eixo x , como c a b2 2 2� � , c = 41 . Para y=0, temos x � �5 ,</p><p>logo, A1 5 0( , )− e A2 5 0( , ) são os vértices da hipérbole. Note que, para x = 0 , a</p><p>equação y2 16� � não admite solução no conjunto dos números reais, ou seja,</p><p>a hipérbole não intercepta o eixo y . Assim, o centro da hipérbole é C( , )0 0 , os</p><p>focos são F1 41 0( , )− e F 2 41 0( , ) e</p><p>a excentricidade é e = =</p><p>41</p><p>5</p><p>1 28, .</p><p>Agora, as assíntotas são retas que passam pela origem, cujas equações são</p><p>y x=</p><p>4</p><p>5</p><p>e y x� �</p><p>4</p><p>5</p><p>Figura 38 - Hipérbole com eixo real horizontal / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, encontram-se as duas curvas de</p><p>uma hipérbole com eixo real horizontal, vértices A1(-5,0) e A2(5,0), focos F1 e F2 sobre o eixo x e assíntotas e .</p><p>y</p><p>xF1 F2</p><p>-5 5</p><p>A1 A2</p><p>y = 4 x</p><p>5</p><p>y = -4 x</p><p>5</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>3</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>EXEMPLO 14: dada a equação 4 9 362 2y x� � , obtenha os elementos e o</p><p>gráfico da hipérbole.</p><p>SOLUÇÃO: temos:</p><p>4 9 36</p><p>4</p><p>36</p><p>9</p><p>36</p><p>36</p><p>36</p><p>9 4</p><p>1</p><p>3 2</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>y x</p><p>y x</p><p>y x</p><p>y x</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>A última equação nos indica que o eixo real está sobre o eixo y. Assim, a = 3 e</p><p>b = 2 . Lembre-se de que c a b2 2 2� � , logo, c = 13 . Os focos são F1 0 13( , )−</p><p>e F1 0 13( , ) . Inserindo x = 0 , obtemos y � �3 , ou seja, os vértices são A1 0 3( , )−</p><p>e A1 0 3( , ) . Já as assíntotas são y x� �</p><p>3</p><p>2</p><p>e a excentricidade é e � �</p><p>13</p><p>3</p><p>1 20,</p><p>Figura 39 - Hipérbole com eixo real</p><p>vertical / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura,</p><p>há um plano cartesiano com eixos</p><p>x e y. Também, é desenhada uma</p><p>hipérbole com eixo real vertical,</p><p>vértices A1(0,-3) e A2(0,3), focos</p><p>F1(0, ) e F2(0, ) e assíntotas e .</p><p>y</p><p>x</p><p>A2</p><p>F2</p><p>y = -3x</p><p>2</p><p>13</p><p>A1</p><p>F1</p><p>-3</p><p>y = 3x</p><p>2</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>Equação da hipérbole com centro fora da origem do plano cartesiano</p><p>1º caso: eixo real paralelo ao eixo x</p><p>De maneira análoga ao caso da elipse, podemos deduzir a equação da hipér-</p><p>bole com centro C h k( , ) , focos F h c k1( , )− e F h c k2( , )+ e vértices A h a k1( , )−</p><p>e A h a k2( , )+ .</p><p>( ) ( )x h</p><p>a</p><p>y k</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>Figura 40 - Hipérbole com centro transladado C(h,k) e eixo real horizontal / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Também, é desenhada uma hipérbole</p><p>no centro C(h,k), eixo real paralelo ao eixo x, com vértices A1(h-a,k) e A2(h+a,k) e focos F1(h-c,k) e F2(h+c,k).</p><p>x</p><p>k</p><p>y</p><p>F1 A1 C A2</p><p>F2</p><p>h - c h h + a</p><p>2º caso: eixo real paralelo ao eixo y</p><p>Nesse caso, temos C h k( , ) , F h k c1( , )− e F h k c2( , )+ bem como</p><p>A h k a1( , )− e A h k a2( , )+ , e a equação é dada por:</p><p>( ) ( )y k</p><p>a</p><p>x h</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1 ,</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>EXEMPLO 15: obtenha a equação da hipérbole, sabendo que os vértices são</p><p>A1 0 3( , ) e A2 2 3( , ) , e um dos focos é F ( , )3 3 .</p><p>SOLUÇÃO: o eixo real é o segmento A A1 2 e paralelo ao eixo x . O centro C</p><p>é o ponto médio do segmento A A1 2 , ou seja, C C0 2</p><p>2</p><p>3 3</p><p>2</p><p>1 3� ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � � �, , . Assim,</p><p>c d C F� � � � � �( , ) ( ) ( )3 1 3 3 22 2</p><p>Figura 41 - Hipérbole com centro transladado</p><p>C(h,k) e eixo real vertical / Fonte: os autores.</p><p>Figura 42 - Centro, vértices e um dos focos</p><p>de uma hipérbole / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um</p><p>plano cartesiano com eixos x e y. Tam-</p><p>bém, é desenhada uma hipérbole no centro</p><p>C(h,k), há um eixo real paralelo ao eixo y,</p><p>com vértices A1(h,k-a) e A2(h,k+a) e focos</p><p>F1(h,k-c) e F2(h,k+c).</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um</p><p>plano cartesiano com eixos x e y. Nele,</p><p>estão marcados os vértices A1(0,3) e</p><p>A2(2,3), o centro C(1,3) e um dos focos,</p><p>com coordenadas F(3,3).</p><p>h</p><p>x</p><p>k - a</p><p>k</p><p>k + c</p><p>y</p><p>F2</p><p>A2</p><p>C</p><p>A1</p><p>F1</p><p>2 3</p><p>x</p><p>y</p><p>A1</p><p>A2</p><p>F(3,3)</p><p>C(1,3)</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>Além disso, a d C A� � � � � �( , ) ( ) ( )1 2 20 1 3 3 1 , como c a b2 2 2� � . Logo,</p><p>b = 3 . Portanto:</p><p>( ) ( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>( )</p><p>x y</p><p>x y</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>1</p><p>1</p><p>3</p><p>3</p><p>1</p><p>1 3</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>Desenvolvendo, obtemos: 3 6 6 9 02 2x y x y� � � � �</p><p>Figura 43 - Hipérbole com eixo real horizontal paralelo ao eixo x / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano cartesiano com eixos x e y. Nele, há uma hipérbole cujo eixo real</p><p>é paralelo à abcissa x. Os focos têm coordenadas F1(-1,3) e F2(3,3), e vértices A1(0,3) e A2(2,3).</p><p>x</p><p>y</p><p>F1 F2</p><p>-1 1 3</p><p>x</p><p>A1 A2</p><p>EXEMPLO 16: dada a equação da hipérbole 16 9 64 54 127 02 2x y x y� � � � � ,</p><p>obtenha o centro, os vértices, os focos, o gráfico, a excentricidade e as assíntotas.</p><p>SOLUÇÃO: temos:</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>4</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>16 9 64 54 127 0</p><p>16 4 9 6 127 0</p><p>16 4 4 4</p><p>2 2</p><p>2 2</p><p>2</p><p>x y x y</p><p>x x y y</p><p>x x</p><p>� � � � �</p><p>� � � � �</p><p>� � �</p><p>( ) ( )</p><p>( )) ( )</p><p>[( ) ] [( ) ]</p><p>( )</p><p>� � � � � �</p><p>� � � � � � �</p><p>�</p><p>9 6 9 9 127 0</p><p>16 2 4 9 3 9 127 0</p><p>16 2</p><p>2</p><p>2 2</p><p>y y</p><p>x y</p><p>x 22 2</p><p>2 2</p><p>64 9 3 81 127 0</p><p>16 2</p><p>144</p><p>9 3</p><p>144</p><p>144</p><p>144</p><p>� � � � � �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>( )</p><p>( ) ( )</p><p>(</p><p>y</p><p>x y</p><p>x ��</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>9</p><p>3</p><p>16</p><p>1</p><p>3</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2 2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>) ( )</p><p>( ) ( )</p><p>y</p><p>y x</p><p>Assim, o centro é C(-2,-3),e o eixo real é paralelo ao eixo y , a = 4 e b = 3 , sen-</p><p>do c a b2 2 2� � , logo, c = 5 . Os focos são F F1 12 3 5 2 8( , ) ( , )� � � � � � e</p><p>F F2 22 3 5 2 2( , ) ( , )� � � � � , e os vértices são A A1 12 3 4 2 7( , ) ( , )� � � � � � e</p><p>A A2 22 3 4 2 1( , ) ( , )� � � � �</p><p>x</p><p>y</p><p>2F2</p><p>-2</p><p>A2</p><p>A1</p><p>F1</p><p>-8</p><p>Figura 44 - Hipérbole com eixo real vertical paralelo ao</p><p>eixo / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há um plano car-</p><p>tesiano com eixos x e y. Nele, uma hipérbole cujo</p><p>eixo real é paralelo ao eixo da ordenada y. Os focos</p><p>têm coordenadas F1(-2,-8) e F2(-2,2), e os vértices</p><p>são A1(-2,-7) e A2(-2,1).</p><p>3</p><p>4</p><p>4</p><p>A excentricidade dessa curva é e</p><p>c</p><p>a</p><p>= = =</p><p>5</p><p>4</p><p>1 25, , e as assíntotas são retas do tipo</p><p>y mx k� � , ou seja:</p><p>y mx k</p><p>y a</p><p>b</p><p>x k</p><p>y x k</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>4</p><p>3</p><p>,</p><p>O ponto C(-2,-3) pertence às assíntotas, logo, para y x k1 1</p><p>4</p><p>3</p><p>� � , temos:</p><p>� � � �3 4</p><p>3</p><p>2 1( ) k � � �3 8</p><p>3</p><p>1k k1</p><p>1</p><p>3</p><p>� � y x1</p><p>4</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>� � .</p><p>Analogamente, para y x k2 2</p><p>4</p><p>3</p><p>� � � , temos:</p><p>� � � � �3 4</p><p>3</p><p>2 2( ) k � � �3 8</p><p>3</p><p>2k k2</p><p>17</p><p>3</p><p>� � y x2</p><p>4</p><p>3</p><p>17</p><p>3</p><p>� � � .</p><p>Figura 45 - Hipérbole e assíntotas</p><p>Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: na figura, há</p><p>as curvas da hipérbole e as assíntotas</p><p>e</p><p>y</p><p>x</p><p>y2= -4x - 17</p><p>3 3</p><p>y1= -4x - 1</p><p>3 3</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>4</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 9</p><p>Exemplo 17: contextualizando o que estudamos. Uma quadra de futsal tem</p><p>medidas 42 m x 24 m, e a área de cada goleiro é delimitada por uma hipérbole,</p><p>como mostra a Figura 46. Encontre a equação que descreve a hipérbole que</p><p>delimita a área dos goleiros. Sabendo que F1 18 0( , )− , F 2 18 0( , ) , A1 15 0( , )− e</p><p>A2 15 0( , ) .</p><p>Figura 46 - Esboço do campo de futsal / Fonte: os autores.</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo verde com lados medindo 42 x 24 com as retas que</p><p>representam as assíntotas da hipérbole tracejadas, e as curvas da hipérbole que têm foco F1 e F2.</p><p>SOLUÇÃO: precisamos encontrar o valor de b, para isso, analisaremos a reta</p><p>assíntota que passa pelo ponto C (21,12).</p><p>y b</p><p>a</p><p>x</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>=</p><p>12</p><p>15</p><p>21</p><p>12</p><p>5</p><p>7</p><p>12 5</p><p>7</p><p>8 5</p><p>*</p><p>,</p><p>x y2</p><p>2</p><p>2</p><p>215 8 5</p><p>1� �</p><p>( , )</p><p>3</p><p>4</p><p>6</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>Prezado(a) aluno(a), nesta unidade, visitamos os principais conceitos das</p><p>cônicas: a elipse, a parábola e a hipérbole. É possível concluir que a elipse é o</p><p>conjunto dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos é</p><p>igual a uma constante. A partir dessa definição, foi possível deduzir a equação</p><p>que representa essa curva e conhecer os elementos dela, isto é, os focos, os</p><p>vértices, o centro e a excentricidade.</p><p>Também, conhecemos um caso particular da elipse, que é a circunferência,</p><p>cujos focos coincidem com o centro, e concluímos o estudo com casos em que</p><p>a cônica tinha centro fora da origem do plano cartesiano, porém com eixo</p><p>maior e paralelo a um dos eixos coordenados. A elipse tem inúmeras aplica-</p><p>ções: aparece nas curvas que descrevem as órbitas dos planetas, em estruturas</p><p>de engenharia para aumentar a rigidez e nas mais belas arquiteturas.</p><p>Na segunda parte desta unidade, realizamos o estudo da parábola, que</p><p>consiste no conjunto de pontos no plano cuja distância a um ponto fixo e a</p><p>uma reta dada é uma constante. Partindo dessa definição, foi</p><p>possível obter a</p><p>equação da parábola e definir os elementos dela, a saber: foco, diretriz, vértice</p><p>e eixo. A aplicação da parábola está presente nos faróis dos carros, nos fornos</p><p>solares, nas antenas parabólicas e nas construções de pontes, proporcionando</p><p>estabilidade e economia.</p><p>Para finalizar esta unidade, estudamos hipérbole, que corresponde ao con-</p><p>junto de pontos do plano cujo módulo da diferença das distâncias entre dois</p><p>pontos fixos é igual a uma constante. A partir dessa definição, foi possível</p><p>deduzir a equação da hipérbole e apresentar os elementos dela, incluindo</p><p>focos, vértices, centro, eixos real e imaginário, excentricidade e assíntotas.</p><p>Assim como na elipse, verificamos os casos em que o centro não era a origem</p><p>do sistema de coordenadas. A aplicação da hipérbole aparece na construção</p><p>de telescópios refletores, nas órbitas dos cometas e nas engenharias, devido</p><p>às propriedades físicas e estéticas dela. Além disso, aparece nos gráficos de</p><p>funções de vários ramos das ciências exatas.</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>4</p><p>7</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. Temos um terreno medindo 30 m de comprimento e 20 m de largura. Será dividido ao</p><p>meio, em que, em uma metade, será planejada a construção de uma casa e, na outra</p><p>metade do terreno, foi planejado construir uma piscina de forma elíptica, conforme</p><p>mostra a figura a seguir:</p><p>Figura - Terreno / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo verde com as medidas 20 m x 30 m. À esquerda, temos</p><p>uma forma elíptica azul.</p><p>O comprimento da piscina é de 10 m e a largura é de 8 m, o centro da piscina está indi-</p><p>cado como o ponto C.</p><p>A equação da elipse com centro em C h k( , ) e eixo maior paralelo ao eixo y é dada por:</p><p>( ) ( )x h</p><p>b</p><p>y k</p><p>a</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.</p><p>Foi decidido que o motor será instalado equidistante da beirada da piscina (no ponto E)</p><p>em relação ao ponto F2 . Determine qual será a distância da piscina em que o motor será</p><p>instalado.</p><p>3</p><p>4</p><p>8</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>2. Sejam d uma reta e F um ponto não pertencente a d , ambos no plano xy , uma pa-</p><p>rábola é o conjunto dos pontos xy, P x y,� � no plano que são equidistantes do ponto</p><p>F e da reta. O ponto F é chamado de foco e d é a diretriz da parábola. A trajetória</p><p>do movimento uniformemente variado é descrito por uma parábola.</p><p>SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.</p><p>A curva, em verde, descreve o percurso realizado por uma partícula, desde o lançamento</p><p>no ponto x=0, atinge o máximo no ponto (2,1). Encontre a equação da parábola.</p><p>3. A hipérbole aparece na construção de telescópios refletores, nas órbitas dos cometas</p><p>e nas engenharias, devido às propriedades físicas e estéticas dela. Além disso, aparece</p><p>nos gráficos de funções de vários ramos das ciências exatas.</p><p>Sejam F1 e F 2 dois pontos do plano com d F F c( , )1 2 2= ao conjunto dos pontos</p><p>P x y ,� � , tais que o módulo da diferença entre d P F( , )1 e d P F( , )2 é uma cons-</p><p>tante, damos o nome de hipérbole.</p><p>SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.</p><p>Sobre as propriedades e aplicações da hipérbole, analise as afirmativas a seguir:</p><p>I - A hipérbole é definida como um conjunto de pontos em um plano, que tem uma di-</p><p>ferença constante das distâncias dos dois focos.</p><p>II - A excentricidade da hipérbole é sempre menor que 1.</p><p>III - A hipérbole é descrita pela equação ( ) ( )y x�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>4</p><p>4</p><p>2</p><p>3</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>e o eixo real é vertical, ou seja, é</p><p>paralelo ao eixo y, com Centro em C(-2,-4).</p><p>3</p><p>4</p><p>9</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) I, apenas.</p><p>b) III, apenas.</p><p>c) I e III, apenas.</p><p>d) II e III, apenas.</p><p>e) I, II e III.</p><p>4. Sejam F1 e F 2 dois pontos do plano xy , cuja distância entre eles é igual a 2c ao</p><p>conjunto de pontos P (x,y) do plano xy , tais que:</p><p>d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� � , em que a c> damos o nome de elipse.</p><p>SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.</p><p>Analise o esboço da elipse:</p><p>Figura - Esboço elipse / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta uma forma elíptica com uma reta na horizontal, na parte de cima, e</p><p>uma reta na vertical, do lado esquerdo.</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>a) A abscissa dos focos é 9.</p><p>b) O maior eixo é horizontal e mede 20.</p><p>c) O centro está na origem do sistema cartesiano.</p><p>d) Os pontos B e C e D e E são os vértices horizontal e vertical, respectivamente, da elipse.</p><p>e) A equação geral da elipse é x y�� �</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>9</p><p>8</p><p>8</p><p>10</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>5. A hipérbole aparece na construção de telescópios refletores, nas órbitas dos cometas</p><p>e nas engenharias, devido às propriedades físicas e estéticas dela. Além disso, aparece</p><p>nos gráficos de funções de vários ramos das ciências exatas. Então, podemos dizer</p><p>que, se a é um número real positivo tal que 2 2a c< , a hipérbole será o conjunto dos</p><p>pontos que satisfaz d P F d P F a( , ) ( , )1 2 2� �</p><p>SUGUIMOTO, A. S. Geometria Analítica. Maringá: Unicesumar, 2021.</p><p>Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-</p><p>posta entre elas:</p><p>I - O eixo real é paralelo ao eixo x, com centro C h k( , ) , focos F h c k1( , )− e</p><p>F h c k2( , )+ e vértices A h a k1( , )− e A h a k2( , )+</p><p>PORQUE</p><p>II - A Equação geral é</p><p>( ) ( )x h</p><p>a</p><p>y k</p><p>b</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>a) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>b) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>c) A asserção I é uma proposição verdadeira, e a II é uma proposição falsa.</p><p>d) A asserção I é uma proposição falsa, e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>e) As asserções I e II são falsas.</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BOLDRINI, J. M. et al. Álgebra linear. 3. ed. São Paulo: Harper & Row do Brasil, 1980.</p><p>BOULOS, P.; CAMARGO, I. de.; Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Ma-</p><p>kron Books do Brasil, 1987.</p><p>CALLIOLI, C. A. et al. Álgebra linear e aplicações. 6. ed. São Paulo: Atual, 1990.</p><p>SANTOS, N. M. dos. Vetores e matrizes. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1985.</p><p>STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. 2. ed. São Paulo: McGraw-Hill, 1987.</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>1. Note que o eixo maior é paralelo ao eixo y , logo, 2 10a = , ou seja, a = 5 . Além disso,</p><p>como o eixo menor mede oito unidades, temos 2 6b = , isto é, b = 4 . Pelo Teorema</p><p>de Pitágoras, obtemos c � � � �25 16 9 3 . Como C( , )−8 2 , F h k c1( , )− e</p><p>F h k c2 ( , )+</p><p>F h k c2 8 2 3 8 5( , ) ( , ) ( , )� � � � � �</p><p>Como o ponto E é (h,k+a), temos E(-8,2+5)=(-8,7), ou seja, a distância entre o foco e o</p><p>ponto E, que é a beirada da piscina, e o foco é de 2 m, pois 7 – 5 = 2, logo o motor será</p><p>instalado a 2 m de distância da piscina, ou seja, nas coordenadas cartesianas (-8, 9)</p><p>a b c2 2 2� �</p><p>F h k c1( , )− e F h k c2 ( , )+</p><p>( ) ( )x h</p><p>b</p><p>y k</p><p>a</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1</p><p>2. ax bx c y2 � � �</p><p>(0,0) (4,0) (2,1)</p><p>a b c</p><p>c</p><p>0 0 0</p><p>0</p><p>2 � � �</p><p>�</p><p>a b</p><p>a b</p><p>4 4 0 0</p><p>16 4 0</p><p>2 � � �</p><p>� �</p><p>a b</p><p>a b</p><p>2 2 0 1</p><p>4 2 1</p><p>2 � � �</p><p>� �</p><p>16 4 0</p><p>4 2 1</p><p>8 2 0</p><p>4 2 1</p><p>4 1</p><p>1</p><p>4</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a b</p><p>a</p><p>a</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� � �</p><p>� �</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>4 2 1</p><p>4 1</p><p>4</p><p>2 1</p><p>1 2 1</p><p>2 2</p><p>1</p><p>a b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>b</p><p>� �</p><p>� � �</p><p>� � �</p><p>�</p><p>�</p><p>( )</p><p>Sendo assim, a equação da trajetória da partícula é y</p><p>x x� � �</p><p>4</p><p>ax bx c y2 � � �</p><p>GABARITO</p><p>3</p><p>1</p><p>3</p><p>3. A afirmativa I está correta, pois apresenta a definição da hipérbole, inclusive, está no</p><p>enunciado da questão. A afirmativa II está incorreta, pois a excentricidade da hipérbole é</p><p>sempre maior que 1. A afirmativa III está correta, pois o termo positivo na equação é com y,</p><p>ou seja, o eixo real é paralelo ao eixo y, portanto, vertical.</p><p>y b</p><p>a</p><p>x� �</p><p>c a b2 2 2� �</p><p>x</p><p>a</p><p>y</p><p>b</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2 1� �</p><p>4. A primeira alternativa está correta, pois o foco estará no eixo maior da elipse, ou seja, na</p><p>reta x=9. A segunda alternativa</p><p>está incorreta, pois o eixo maior é vertical e mede 20. A</p><p>terceira alternativa está incorreta, pois o centro é (9,-8). A quarta alternativa está incor-</p><p>reta, pois o vértice horizontal é D e E e vertical é B e C. A quinta alternativa está incorre-</p><p>ta, pois a equação geral é x y�� �</p><p>�</p><p>�� �</p><p>�</p><p>9</p><p>8</p><p>8</p><p>10</p><p>1</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>2</p><p>5. A alternativa "A" é a correta.</p><p>GABARITO</p><p>3</p><p>1</p><p>4</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>3</p><p>1</p><p>1</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>3</p><p>1</p><p>6</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>3</p><p>1</p><p>7</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>3</p><p>1</p><p>8</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>3</p><p>1</p><p>9</p><p>MINHAS ANOTAÇÕES</p><p>3</p><p>6</p><p>1</p><p>unidade 1</p><p>Noções Fundamentais de Geometria</p><p>Polígonos, Triângulos,</p><p>Quadriláteros e Círculo</p><p>Estudo das Relações e Razões</p><p>Trigonométricas</p><p>unidade 2</p><p>Área e Perímetro de figuras planas</p><p>Poliedros e Pirâmides</p><p>Sólidos Redondos</p><p>unidade 3</p><p>GEOMETRIA ANALÍTICA E O ESTUDO DO PONTO E RETA</p><p>Geometria Analítica e o Estudo da Circunferência</p><p>A Geometria Analítica e o estudo das Cônicas</p><p>_Hlk136442875</p><p>Botão 40:</p><p>Botão 41:</p><p>Botão 42:</p><p>Botão 43:</p><p>Button 37:</p><p>Botão 44:</p><p>Botão 45:</p><p>Botão 46:</p><p>Button 30:</p><p>podemos garantir a medição de segmentos de retas</p><p>utilizando axiomas.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>Segmentos consecutivos</p><p>Dois segmentos de reta são consecutivos se uma extremidade de um deles é</p><p>também extremidade do outro. Ou seja, a extremidade de um coincide com a</p><p>extremidade do outro.</p><p>Os segmentos AB e C das duas figuras acima possuem um extremo comum,</p><p>B . Logo, AB e BC são segmentos consecutivos.</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>A C</p><p>B</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>A C</p><p>B</p><p>Figura 32 – Segmentos consecutivos de reta / Fonte: o autor.</p><p>Figura 33 – Segmentos colineares / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentadas duas imagens com segmentos consecutivos. A primeira imagem exibe</p><p>os pontos A, B e C colineares. A segunda imagem exibe os segmentos como os lados de um triângulo, sem um</p><p>dos lados.</p><p>Descrição da Imagem: sobre uma reta r são destacados os pontos A, B, C e D (nesta ordem). Entre A e B está</p><p>destacado um segmento e entre C e D está destacado outro segmento.</p><p>Segmentos colineares</p><p>Dois segmentos são colineares se estão numa mesma reta.</p><p>Exemplos:</p><p>Na figura a seguir, AB r⊂ e CD r⊂ . Logo AB e CD são segmentos</p><p>colineares.</p><p>A D rCB</p><p>Dizemos que AB e BC são segmentos colineares e adjacentes se são colineares</p><p>e consecutivos.</p><p>3</p><p>1</p><p>Observe que nem todo segmento colinear é adjacente. E que nem todo seg-</p><p>mento adjacente é colinear.</p><p>Segmentos congruentes</p><p>A congruência de segmentos é uma noção primitiva aceita pelos postulados de</p><p>Euclides. A congruência é a forma como dizemos que dois segmentos são “iguais”,</p><p>mas são originados por pontos distintos.</p><p>A noção de congruência satisfaz as seguintes propriedades:</p><p>■ Todo segmento é congruente a si mesmo: AB AB≅ .</p><p>■ Se AB CD≅ , então CD AB≅ .</p><p>■ Se AB CD≅ e CD EF≅ , então AB EF≅ . Pela propriedade transitiva.</p><p>Ponto médio de um segmento</p><p>Um ponto M é ponto médio de um segmento AB se, e somente se, M está</p><p>entre A e B de tal forma que AB MB≅ .</p><p>Figura 34 – Segmentos colineares e consecutivos / Fonte: o autor.</p><p>Figura 35 – Ponto médio / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: sobre uma reta r são destacados os pontos A, B e C (nesta ordem). Entre A e B está des-</p><p>tacado um segmento e entre B e C está destacado outro segmento adjacente ao segmento de extremos A e B.</p><p>Descrição da Imagem: sobre uma reta são destacados os pontos A, M e B (nessa ordem) com indicações de que</p><p>M divide o segmento de extremos A e B ao meio.</p><p>A rCB</p><p>A</p><p>r</p><p>M B</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>Proporcionalidade</p><p>Vamos continuar nossa viagem pela geometria. Supondo que você queira</p><p>calcular a altura de um determinado prédio ou igreja, ou que você trabalhe</p><p>em uma profissão em que as unidades de medida de altura são importantes:</p><p>como encontrar a medida de altura de qualquer objeto sem precisar subir</p><p>nele? Será que é possível fazer isso?</p><p>Veremos que com alguns conceitos de proporcionalidade poderemos fazer</p><p>este tipo de cálculo. Estes conceitos são importantes para vários ramos da ciência</p><p>como, por exemplo, na construção civil.</p><p>TEOREMA DE TALES</p><p>Observe na figura a seguir: as retas r , s e t , que juntas formam um feixe (um</p><p>conjunto) de retas paralelas. Todas estão cortadas pelas retas transversais u e m .</p><p>r</p><p>s</p><p>t</p><p>m u</p><p>P A</p><p>R B</p><p>Q C</p><p>Figura 36 – Feixe de retas paralelas / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são exibidas as retas r, s e t que juntas formam um feixe de retas paralelas. Todas estão</p><p>cortadas pelas retas transversais u e m.</p><p>A reta u determina com as retas paralelas os segmentos AB e BC e a reta m</p><p>determina os segmentos PR e RQ . A relação existente entre esses segmentos é</p><p>assegurada pelo Teorema de Tales.</p><p>3</p><p>1</p><p>Teorema de Tales: se duas retas são transversais de um feixe de paralelas,</p><p>então, a razão entre dois segmentos quaisquer de uma delas é igual à razão</p><p>entre os respectivos segmentos correspondentes da outra.</p><p>Vejamos como podemos aplicar o teorema de Tales.</p><p>Vamos iniciar com a ideia do mapa de um bairro de uma cidade qualquer:</p><p>Figura 37 – Feixe de retas paralelas – exemplos ruas / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são exibidas as retas Rua A, Rua B e Rua C que juntas formam um feixe de retas paralelas.</p><p>Todas estão cortadas pelas retas transversais Av 1 e Av 2. A Av 1 é cortada em dois segmentos de comprimento</p><p>40m e 25m. A Av 2 é cortada em dois segmentos de comprimento x e 30m.</p><p>Av. 1</p><p>Av. 2</p><p>25m 30m</p><p>40m X</p><p>Rua A</p><p>Rua B</p><p>Rua C</p><p>Observe que na Avenida 2, entre a Rua B e a Rua C, não conhecemos a distância</p><p>em metros. Como se trata de um número desconhecido, a princípio chamaremos</p><p>esta distância de x .</p><p>Como as Ruas A, B e C são paralelas, podemos aplicar o teorema de Tales,</p><p>considerando a proporcionalidade dos segmentos determinados pelas paralelas</p><p>e pelas transversais avenidas 1 e 2.</p><p>Assim</p><p>25</p><p>40</p><p>30</p><p>=</p><p>x</p><p>. Fazendo o produto dos meios e dos extremos, posterior-</p><p>mente, isolando a incógnita teremos: x m= 48 .</p><p>Então, a distância desconhecida no mapa é de 48 m.</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>Relações no espaço</p><p>Vamos aprofundar nossos conhecimentos analisando objetos no espaço a partir</p><p>das relações entre pontos, retas e planos.</p><p>É de fundamental importância que você desenvolva suas habilidades de ana-</p><p>lisar figuras no plano. Assim importa ter em mente os conhecimentos estudados</p><p>seções anteriores, pois as mesmas relações para o plano são válidas no espaço.</p><p>RELAÇÕES ENTRE DUAS RETAS NO ESPAÇO</p><p>Para melhor compreensão das relações entre retas no espaço vamos observar a</p><p>representação geométrica de uma ‘caixa’ em formato retangular:</p><p>Tales era um próspero negociante, engenheiro e astrônomo da antiga</p><p>Grécia. Viveu numa época em que os estudiosos se dedicavam a todas as</p><p>disciplinas, e ele era um deles. Certa ocasião, quando viajou para o Egito, o</p><p>Faraó o convidou para determinar a altura da grande pirâmide.</p><p>Utilizando, o que hoje chamamos de semelhança de triângulo, Tales con-</p><p>seguiu medir a altura da pirâmide. Para realizar essa tarefa, Tales utilizou a</p><p>comparação entre as sombras de seu cajado e da pirâmide.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>A</p><p>B</p><p>F</p><p>E</p><p>C</p><p>G</p><p>D</p><p>H Figura 38 – Caixa em formato retangular</p><p>Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentadas</p><p>doze retas formando uma caixa. Seus vérti-</p><p>ces identificados pelas letras A até H.</p><p>As retas AB , BC , CD e DA são coplanares porque o plano ( ABCD ) as contém.</p><p>Também são retas coplanares as retas AE , EH , DH e DA porque o plano (</p><p>AEHD ) contém essas três retas.</p><p>3</p><p>4</p><p>Se duas retas distintas formam um plano, então, duas ou mais retas são retas</p><p>coplanares quando existe um plano que as contém.</p><p>A relação também ocorre para os planos: BFGC , CGDH , BFEA e EFGH .</p><p>As retas coplanares AB e CD não têm ponto em comum. O mesmo ocorre</p><p>com as retas coplanares BC e DA .</p><p>Retas coplanares distintas que não têm ponto em comum são chamadas de</p><p>retas paralelas.</p><p>Outros pares de retas paralelas distintas são: GH , EF , CG e DH</p><p>O par de retas AB e DA tem um único ponto comum, isto é, as retas intercep-</p><p>tam-se num ponto. O mesmo acontece em BC e CD .</p><p>Retas que têm um único ponto em comum são chamadas de retas concor-</p><p>rentes.</p><p>Outros pares de retas paralelas distintas são: FG e GH , CG e FG .</p><p>Para as retas AB e FG não existe um plano que contenha as duas.</p><p>Dadas duas retas, quando não existe um plano que as contenha, são chama-</p><p>das de retas reversas ou não coplanares.</p><p>Outros pares de retas reversas ou não coplanares são: GH e AD , BC e EF .</p><p>• Duas retas paralelas são sempre coplanares.</p><p>• Duas retas concorrentes são sempre coplanares.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE DOIS PLANOS DISTINTOS</p><p>As principais posições relativas entre dois planos distintos são:</p><p>■ Paralelos</p><p>• caso especial: paralelos coincidentes.</p><p>■ Secantes</p><p>• caso especial: secantes perpendiculares</p><p>Se dois planos secantes não forem perpendiculares, são chamados de oblíquos.</p><p>Vamos às representações:</p><p>■ Planos paralelos: quando não houver ponto em comum aos dois planos.</p><p>Figura 39 – Planos paralelos / Fonte: Dalpiaz</p><p>e Bona (2014, p. 170).</p><p>Figura 40 – Planos paralelos coincidentes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).</p><p>Descrição da Imagem: dois planos paralelos, denominados por alfa e beta.</p><p>Descrição da Imagem: um plano denominado por alfa e beta.</p><p>α</p><p>β</p><p>Planos paralelos coincidentes: quando possuem todos os pontos em comum.</p><p>α</p><p>β</p><p>β=α</p><p>r</p><p>β</p><p>α</p><p>3</p><p>6</p><p>Planos secantes: quando possuem uma reta comum</p><p>Figura 41 – Planos secantes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).</p><p>Figura 42 – Planos secantes perpendiculares / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 170).</p><p>Descrição da Imagem: dois planos, chamados alfa e beta, se intersectando em uma reta.</p><p>Descrição da Imagem: dois planos, chamados alfa e beta, se intersectando em um ângulo de 90º.</p><p>α</p><p>β</p><p>β=α</p><p>r</p><p>β</p><p>α</p><p>α</p><p>β</p><p>β=α</p><p>r</p><p>β</p><p>α</p><p>Planos secantes perpendiculares: quando a reta de um plano é perpendicular</p><p>ao outro.</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 1</p><p>DETERMINAÇÃO DE UM PLANO</p><p>Quando temos três pontos não colineares, existe um único plano que passa pelos</p><p>três. Esta afirmação consiste em um importante postulado da Geometria: Três</p><p>pontos não colineares determinam um único plano.</p><p>A partir deste postulado, inferimos as possíveis formas de determinar um plano:</p><p>POR TRÊS PONTOS NÃO COLINEARES</p><p>POR UMA RETA E UM PONTO FORA DELA</p><p>α</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p>α</p><p>A</p><p>r</p><p>αr s</p><p>α</p><p>r</p><p>s</p><p>Figura 43 – Plano determinado por três pontos / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).</p><p>Figura 44 – Plano determinado por uma reta e um ponto fora dela / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).</p><p>Descrição da Imagem: em um plano alfa temos três pontos A, B e C não colineares.</p><p>Descrição da Imagem: em um plano alfa temos uma reta r e um ponto A fora dela.</p><p>3</p><p>8</p><p>POR DUAS RETAS PARALELAS DISTINTAS</p><p>POR DUAS RETAS CONCORRENTES</p><p>NOVOS DESAFIOS</p><p>A geometria é o ramo da Matemática que trata do estudo da medida, forma,</p><p>tamanho e posição relativa de figuras e ainda questões com propriedades do</p><p>espaço. Aqui foi possível conhecer alguns conceitos fundamentais da geometria</p><p>para dar início ao seu estudo.</p><p>As construções geométricas apareceram na antiguidade e tiveram grande</p><p>importância no desenvolvimento da Matemática. Mesmo que todo o modelo</p><p>desenvolvido seja baseado em pouco axiomas, o poder da geometria é vivenciado</p><p>por nós a todo momento.</p><p>α</p><p>A</p><p>r</p><p>αr s</p><p>α</p><p>r</p><p>s</p><p>α</p><p>A</p><p>r</p><p>αr s</p><p>α</p><p>r</p><p>s</p><p>Figura 45 – Plano determinado por duas relatas paralelas / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).</p><p>Figura 46 – Plano determinado por duas retas concorrentes / Fonte: Dalpiaz e Bona (2014, p. 174).</p><p>Descrição da Imagem: 3m um plano alfa temos duas retas r e s paralelas e distintas.</p><p>Descrição da Imagem: em um plano alfa temos duas retas r e s concorrentes.</p><p>UNIASSELVI</p><p>3</p><p>9</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>1. Apresentamos neste primeiro tema de aprendizagem o conceito de ângulos comple-</p><p>mentares e suplementares. Esses conceitos são importantes em muitos problemas</p><p>matemáticos e da vida cotidiana. Existem muitas situações nas quais podemos nos</p><p>deparar com medidas de ângulos, como, por exemplo, entre os ponteiros de um relógio,</p><p>em caixas de produtos, em cruzamento de ruas ou placas de trânsito. Em algumas</p><p>dessas situações, tão importante quando o valor do ângulo é o valor de seu comple-</p><p>mento ou suplemento.</p><p>SIQUEIRA, R. A. ; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018. 152 p.</p><p>Em uma sala de aula, há dois alunos, Ana e Carlos, que estão sentados em carteiras ad-</p><p>jacentes. Ao olhar para suas mesas, eles percebem que suas mesas formam um ângulo.</p><p>Ana mede o ângulo formado e encontra um valor de 120°. Carlos, curioso, decide medir o</p><p>ângulo formado pela mesa dele com a mesa de Ana e encontra um valor de 60°.</p><p>Com base nessas informações, responda às seguintes perguntas:</p><p>a) Qual é o tipo de ângulo formado pelas mesas de Ana e Carlos? Explique.</p><p>b) Se Ana e Carlos deslizarem suas mesas para uma nova posição em que as mesas</p><p>fiquem paralelas (uma ao lado da outra), que medida de ângulo será formada entre as</p><p>mesas nessa nova configuração?</p><p>2. O modelo de geometria que mais utilizamos em nossas tarefas diárias é devido aos</p><p>escritos do matemático Euclides. Seus vários livros, chamados Elementos, são a base</p><p>da geometria axiomática e também do estilo de matemática que desenvolvemos até</p><p>os dias de hoje.</p><p>Em sua obra, Euclides elencou diversos axiomas que servem de base teórica para resul-</p><p>tados mais elaborados. Por exemplo, quando temos três pontos não colineares, existe um</p><p>único plano que passa pelos três. Esta afirmação consiste em um importante postulado</p><p>da Geometria, que nos diz que “três pontos não colineares determinam um único plano”.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>A partir desse postulado, inferimos quatro possíveis formas de determinar um plano.</p><p>Quais são elas?</p><p>4</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>3. A Geometria Espacial é a área da Matemática que estuda os objetos geométricos em</p><p>três dimensões, o que chamamos de figuras tridimensionais. Nela, aprendemos sobre</p><p>os sólidos geométricos e suas diversas propriedades.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>Analise as sentenças a seguir e assinale a alternativa correta:</p><p>I - Retas paralelas: são retas que possuem interseção e estão em um mesmo plano.</p><p>II - Pontos coplanares: são pontos que não pertencem a um mesmo plano.</p><p>III - Figura espacial: é a figura que possui seus pontos em mais de um plano.</p><p>É correto o que se afirma em:</p><p>a) I, apenas.</p><p>b) III, apenas.</p><p>c) I e III, apenas.</p><p>d) II e III, apenas.</p><p>e) I, II e III.</p><p>4</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>4. Os estudos matemáticos, além de lidarem com conceitos abstratos, se dedicam a es-</p><p>tudar e compreender objetos que podemos encontrar em nosso cotidiano. As formas</p><p>mais simples que conhecemos são aquelas planas, cuja descrição pode ser feita com</p><p>apenas duas dimensões. Por outro lado, o mundo que nos rodeia é repleto de objetos</p><p>tridimensionais (que por sua vez podem ser decompostos em outros bidimensionais).</p><p>Como são existem muito objetos tridimensionais, nos especializamos em estudar al-</p><p>gumas formas mais simples e que permitem a compreensão de outras mais elabora-</p><p>das (formadas por combinações). O ramo da matemática que estuda essas figuras de</p><p>três dimensões é a Geometria Espacial, e exemplos desses objetos são os poliedros e</p><p>corpos redondos.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>Com relação aos elementos primitivos da geometria espacial, assinale a alternativa cor-</p><p>reta:</p><p>a) Os conceitos iniciais da geometria espacial são: o ponto, a reta e o plano. O ponto</p><p>é adimensional (não possui dimensão), a reta é unidimensional (possui uma única</p><p>dimensão: o comprimento) e o plano é bidimensional (possui duas dimensões: com-</p><p>primento e largura).</p><p>b) As retas são elementos primitivos da geometria espacial, são representadas por le-</p><p>tras maiúsculas e podem ser classificadas de acordo com sua posição num plano</p><p>(horizontal, vertical e diagonal) ou de acordo com outra reta próxima a ela (paralela</p><p>ou concorrente).</p><p>c) Os planos são elementos primitivos da geometria espacial, são representados por</p><p>letras do alfabeto egípcio.</p><p>d) O ponto é um dos elementos primitivos da geometria espacial e é representado por</p><p>letras minúsculas do alfabeto brasileiro.</p><p>e) Não existe elementos primitivos na geometria espacial, somente na geometria plana.</p><p>4</p><p>1</p><p>VAMOS PRATICAR</p><p>5. O estudo de geometria, segundo Euclides, se baseia em alguns termos primitivos e</p><p>diversos axiomas. Graças a essa metodologia, entendemos que existem pontos, e que</p><p>por dois pontos podemos traçar uma reta. Apesar de ser uma noção empiricamente</p><p>verificável, para conceber essas ideias de um ponto de vista puramente racional, filó-</p><p>sofos e outros cientistas dedicaram anos de estudos.</p><p>Um avanço dessas noções é compreender o que acontece com três dimensões. Isto</p><p>é, gostaríamos de poder generalizar as ideias da Geometria plana para uma teoria que</p><p>englobe mais objetos. Na Geometria Espacial, podemos fazer diversas relações entre os</p><p>pontos, as retas e os planos.</p><p>Em particular, dentre essas relações, estão as entre duas</p><p>retas no espaço.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014. 249 p.</p><p>Com base nas informações apresentadas, avalie as asserções a seguir e a relação pro-</p><p>posta entre elas:</p><p>I - Duas retas paralelas são sempre coplanares</p><p>PORQUE</p><p>II - Duas retas concorrentes também são sempre coplanares.</p><p>A respeito dessas asserções, assinale a opção correta:</p><p>a) As asserções I e II são verdadeiras, mas a II não é uma justificativa correta da I.</p><p>b) As asserções I e II são verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.</p><p>c) A asserção I é uma proposição verdadeira e a II é uma proposição falsa.</p><p>d) A asserção I é uma proposição falsa e a II é uma proposição verdadeira.</p><p>e) As asserções I e II são falsas.</p><p>4</p><p>3</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BARBOSA, J. L. M. Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de</p><p>Matemática, 1985.</p><p>BOYER, C. B. História da matemática. Tradução de Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blu-</p><p>cher, 1974.</p><p>DALPIAZ, M. V. A. D.; BONA, J. Geometria. Indaial: Uniasselvi, 2014.</p><p>DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Fundamentos de matemática elementar: geometria espacial,</p><p>posição e métrica. São Paulo: Atual, 2004. v. 10.</p><p>EUCLID. The thirteen books of the elements: translated with introduction and commen-</p><p>tary by Sir Thomas Heath. New York: Dover, 1956.</p><p>HILBERT, D. Fundamentos de geometria. Lisboa: Gradiva, 2003.</p><p>HILBERT, D. Fundamentos de matemática elementar: geometria plana. São Paulo: Atual,</p><p>2004. v. 9.</p><p>LIMA, E. L. Medida e forma em geometria. Rio de Janeiro: BM, 1991. (Coleção do Professor</p><p>de Matemática).</p><p>LIMA, E. L. Matemática e ensino. Rio de Janeiro: SBM, 2001. (Coleção do Professor de Ma-</p><p>temática).</p><p>SIQUEIRA, R. A. N.; MARCUSSI, F. Geometria com construções geométricas. Maringá:</p><p>Unicesumar, 2018.</p><p>WAGNER, E.; CARNEIRO, J. P. Q. Construções geométricas. 4. ed. Rio de Janeiro: SBM,</p><p>2000.</p><p>4</p><p>4</p><p>1. a). Observe que a soma dos ângulos encontrados é 120o + 60o = 180o. Logo, esses ân-</p><p>gulos são suplementares.</p><p>b). Como as duas mesas devem ficar paralelas e lado a lado, o ângulo formado entre elas</p><p>deve ser 180o.</p><p>2. Um plano pode ser determinado por: três pontos não colineares; por uma reta e um ponto</p><p>fora dela; por duas retas paralelas distintas; e por duas retas concorrentes.</p><p>3. I – Falso – Por definição, retas paralelas são retas que não possuem interseção e estão</p><p>em um mesmo plano.</p><p>II - Falso – Por definição, pontos coplanares são pontos que pertencem a um mesmo plano.</p><p>III - Verdadeiro – Por definição, as figuras espaciais são figuras que possui seus pontos</p><p>em mais de um plano.</p><p>4. Por definição de elementos primitivos, temos que os conceitos iniciais da geometria es-</p><p>pacial são: o ponto, a reta e o plano. O ponto é adimensional (não possui dimensão), a reta</p><p>é unidimensional (possui uma única dimensão: o comprimento) e o plano é bidimensional</p><p>(possui duas dimensões: comprimento e largura) .</p><p>5. Por definição, duas retas são sempre coplanares e duas retas concorrentes também são</p><p>sempre coplanares, entretanto as duas não possuem relações diretas, isto é, uma não é</p><p>justificativa da outra.</p><p>GABARITO</p><p>4</p><p>1</p><p>MINHAS METAS</p><p>POLÍGONOS, TRIÂNGULOS,</p><p>QUADRILÁTEROS E CÍRCULO</p><p>DR. WILLIAN GOULART GOMES VELASCO</p><p>Apresentar polígonos, seus elementos e principais tipos.</p><p>Estudar as relações de ângulos em polígonos.</p><p>Classificar triângulos e compreender suas principais propriedades.</p><p>Definir quadriláteros e reconhecer os principais exemplos.</p><p>Identificar os principais elementos de uma circunferência.</p><p>T E M A D E A P R E N D I Z A G E M 2</p><p>4</p><p>6</p><p>INICIE SUA JORNADA</p><p>Nosso foco ao longo desta unidade de estudo são os polígonos, triângulos, qua-</p><p>driláteros e as circunferências.</p><p>O estudo de circunferências é feito desde a antiguidade e pode ser aplicado</p><p>a diversas áreas. Por exemplo, o cálculo do comprimento da circunferência</p><p>da Terra feito pelo matemático grego e diretor da biblioteca de Alexandria,</p><p>Eratóstenes (276–195 a.C.).</p><p>Em seus estudos, Eratóstenes percebeu que diferentes localidades produziam</p><p>sombras com diferentes inclinações em um mesmo horário. Então, ele conjec-</p><p>turou que a determinação do ângulo entre essas medições indicaria um ângulo,</p><p>e com esse ângulo, seria possível determinar o tamanho (aproximado) da terra.</p><p>O valor encontrado por ele foi apenas 15% maior do que o real, o que é bem</p><p>razoável pelo método disponível na época. O erro ocorreu por duas razões: a</p><p>distância entre as duas cidades não era sabida com exatidão, nem as duas cidades</p><p>se localizam no mesmo meridiano. Se esses dois fatos fossem verdadeiros, o erro</p><p>seria de aproximadamente 2%.</p><p>Com esse exemplo, é possível verificar que o estudo da Geometria teve início</p><p>há muito tempo e, desde então, se mostra muito assertivo.</p><p>Vamos conhecer os polígonos e circunferências e seus principais exemplos,</p><p>bem como identificar a semelhança de triângulos.</p><p>Começamos nossos estudos apresentando algumas históri-</p><p>as relacionadas aos tópicos que abordaremos. Ouçam o pod-</p><p>cast a seguir e se preparem para nossa unidade de estudo.</p><p>PLAY NO CONHECIMENTO</p><p>UNIASSELVI</p><p>4</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>DESENVOLVA SEU POTENCIAL</p><p>A partir deste tópico, vamos ampliar nossa capacidade de abstração analisando</p><p>algumas figuras específicas chamadas polígonos. Em alguns momentos, vamos</p><p>fazer demonstrações matemáticas utilizando a linguagem matemática e argu-</p><p>mentos encadeados em uma sequência lógica.</p><p>A palavra polígono é proveniente do grego, que quer dizer: poli (muitos) + go-</p><p>nos (ângulos). A grosso modo, podemos definir um polígono matematicamente</p><p>como uma figura geométrica plana e fechada por segmentos de reta.</p><p>Sempre que tratarmos de polígonos, estaremos nos referindo a uma forma</p><p>plana. Qualquer polígono é uma figura poligonal.</p><p>VAMOS RECORDAR?</p><p>A origem da Geometria é imprecisa, contudo, há uma certeza: um marco</p><p>histórico na construção da Geometria ocorreu no século III a.C., quando o</p><p>matemático grego Euclides de Alexandria organizou todo o conhecimento</p><p>geométrico então disponível, grande parte de sua própria criação, em uma obra</p><p>de treze volumes, denominada Os elementos (EUCLID, 1956).</p><p>Seguem alguns axiomas (também chamados de postulados) relacionados aos</p><p>elementos primitivos da geometria (ponto, reta, plano, estar entre):</p><p>• Dois pontos distintos determinam uma única reta que os contém.</p><p>• Em uma reta, bem como fora dela, há infinitos pontos.</p><p>• Em um plano, há infinitos pontos.</p><p>• Por um ponto, passam infinitas retas.</p><p>• É possível traçar uma reta ligando dois pontos.</p><p>• Toda reta que tem dois pontos distintos num plano fica inteiramente contida</p><p>no plano.</p><p>• Por três pontos não situados na mesma reta (não colineares), passa um e</p><p>somente um plano.</p><p>• Uma reta de um plano divide-o em dois semiplanos.</p><p>• Um plano divide o espaço em duas regiões chamadas semiespaços.</p><p>• Dada uma reta r e um ponto exterior P , existe exatamente uma reta que</p><p>passa em P e é paralela a r .</p><p>4</p><p>8</p><p>São muitas as formas poligonais que nos circundam, um breve momento de</p><p>observação de alguns objetos certamente lhe permitirá identificar triângulos,</p><p>quadriláteros, pentágonos, entre outros.</p><p>Neste tópico, nosso objeto de estudo são os tipos de polígonos. Na sequência, de-</p><p>dicamos um tópico especialmente para o triângulo e outro para a circunferência por</p><p>serem estas duas figuras primitivas de outras construções geométricas mais complexas.</p><p>Para o estudo das próximas páginas, vamos necessitar dos conceitos já apren-</p><p>didos sobre pontos, retas e planos. Preparado(a)? Então, vamos lá!</p><p>Bons estudos!</p><p>POLÍGONO</p><p>Uma linha poligonal fechada simples (isto é, a reta termina no ponto onde se</p><p>inicia e não apresenta autointerseções) é chamada polígono.</p><p>Podemos, também, definir polígono como uma figura plana formada por três ou</p><p>mais segmentos chamados lados, de modo que cada lado tem interseção com somente</p><p>outros dois lados adjacentes. Aqui, estamos pensando na linha que delimita essa figura.</p><p>Frequentemente a palavra polígono refere-se apenas ao contorno da figura.</p><p>Contudo,</p><p>outras vezes, refere-se ao contorno e à região plana que é seu interior.</p><p>Por isso podemos dizer que um polígono divide o plano em duas regiões, sem</p><p>pontos comuns: a região interior e a região exterior.</p><p>Observe na figura a seguir o pentágono contido no plano a .</p><p>Exterior</p><p>Interior</p><p>α</p><p>Figura 1 - Pentágono no plano / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um retângulo é identificado com um plano alfa. Em seu interior, temos um pentágono</p><p>hachurado. Dentro do pentágono está escrito Interior, e fora, ainda dentro do plano, está escrito Exterior</p><p>UNIASSELVI</p><p>4</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Se o segmento que une dois pontos quaisquer da região interior de um polígono</p><p>estiver contido nessa região, dizemos que o polígono é convexo.</p><p>Podemos dizer, ainda, que um polígono convexo é um polígono construído de</p><p>modo que os prolongamentos dos lados nunca ficarão no interior da figura original.</p><p>Se dois pontos pertencem a um polígono convexo, então, todo o segmento ten-</p><p>do estes dois pontos como extremidades estará inteiramente contido no polígono.</p><p>Se existirem dois pontos no interior de um polígono tal que o segmento</p><p>determinado por eles não esteja contido na região, dizemos que o polígono é</p><p>côncavo ou não convexo.</p><p>Podemos dizer, ainda, que um polígono é côncavo se, dados dois pontos do</p><p>polígono, o segmento que tem estes pontos como extremidades contiver pontos</p><p>que estão fora do polígono.</p><p>As figuras a seguir são exemplos de polígonos convexos e não convexos:</p><p>A B A</p><p>A</p><p>A</p><p>B</p><p>B</p><p>BA B</p><p>Figura 2 - Polígonos convexos e não convexos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentados cinco polígonos, em cada um, são identificados pontos A e B e um</p><p>segmento entre eles. Os três primeiros são convexos e são: losango, triângulo e paralelogramo. Os dois últimos</p><p>não são convexos e são: uma cruz e uma estrela de quatro pontas.</p><p>No dia a dia, podemos observar</p><p>os polígonos nas construções</p><p>das cidades, nas embalagens</p><p>que nos cercam e na natureza.</p><p>Vejamos alguns exemplos:</p><p>1. No formato das col-</p><p>meias das abelhas que</p><p>mais parece uma re-</p><p>gião revestida por um</p><p>mosaico de polígonos.</p><p>Figura 3 - Colmeia de abelha</p><p>Descrição da Imagem: uma colmeia de abelhas exibindo for-</p><p>mas poligonais</p><p>1</p><p>1</p><p>2. Em obras de arte. Destacamos os artistas Piet Mondrian e Hélio Oiticica</p><p>que se inspiraram em formas poligonais.</p><p>Figura 4 - Obras de arte</p><p>Descrição da Imagem: a figura exibe duas obras de artes. Uma pintura formada por quadrilateros nas cores</p><p>branca, azul, amarelo e vermelho. A outra obra é uma escultura formada por paredes quadradas de cores rosa,</p><p>laranja e azul.</p><p>3. Em diferentes construções, como prédios, antenas, abobadas de tetos de</p><p>igrejas e estruturas externas de estádios esportivos.</p><p>Figura 5 - Prédios e estádio</p><p>Descrição da Imagem: duas imagens, uma exibindo prédios com formas geométricas distintas. A seu lado, a outra</p><p>imagem exibe o exterior de um estádio esportivo.</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>4. Em grandes monumentos da humanidade, como a Calçada dos Gigantes</p><p>(erupção vulcânica ocorrida há cerca de 60 milhões de anos localizada na</p><p>Irlanda do Norte) e as construções incas.</p><p>Figura 6 - Calçada dos Gigantes</p><p>Descrição da Imagem: uma formação de rochas em formatos de polígonos.</p><p>Elementos de um polígono</p><p>Vamos conhecer elementos do polígono. De acordo com a imagem a seguir:</p><p>Figura 7 - Elementos do polígono / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: a figura apresenta um retângulo com vértices A, B, C e D. Os ângulos internos estão</p><p>hachurados e possuem o mesmo nome do vértice. Os ângulos externos estão identificados e são nomeados por</p><p>e1 (do vértice A), e2 (do vértice B), e3 (do vértice C) e e4 (do vértice D).</p><p>D</p><p>A</p><p>B</p><p>C</p><p> B̂</p><p>D̂ Ĉ</p><p>1ê</p><p>2ê</p><p>3ê</p><p>4ê</p><p>1</p><p>1</p><p>■ Vértices: são os pontos extremos dos segmentos da linha poligonal (pon-</p><p>tos A , B , C e D ).</p><p>■ Lados: são os segmentos da linha poligonal ( ,AB BC , CD, DA) .</p><p>■ Ângulos internos: são os ângulos formados por dois lados consecutivos</p><p>do polígono (A^</p><p>, B</p><p>^</p><p>, C</p><p>^</p><p>, )D^ .</p><p>■ Ângulos externos: são os ângulos formados por um lado do polígono</p><p>e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo. Na figura, os ângulos</p><p>externos são: e1</p><p> , e2</p><p> , e3</p><p> , e4</p><p> .</p><p>Um polígono de n vértices possui n lados e n ângulos. A soma das medi-</p><p>das dos lados é o perímetro do polígono.</p><p>ZOOM NO CONHECIMENTO</p><p>Polígonos regulares e classificação</p><p>Um polígono é regular quando todos os seus lados e todos os seus ângulos são con-</p><p>gruentes. Um polígono que possui apenas os lados congruentes é chamado de equi-</p><p>látero. Quando somente os ângulos são congruentes, dizemos que é equiângulo.</p><p>As figuras a seguir são polígonos regulares. Observe que os lados e os ângulos</p><p>de cada figura possuem a mesma medida.</p><p>NÚMERO</p><p>DE LADOS</p><p>NOME</p><p>NÚMERO DE ÂN-</p><p>GULOS</p><p>IMAGEM DO POLÍGONO</p><p>REGULAR</p><p>3 Triângulo 3</p><p>4 Quadrilátero 4</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>NÚMERO</p><p>DE LADOS</p><p>NOME</p><p>NÚMERO DE ÂN-</p><p>GULOS</p><p>IMAGEM DO POLÍGONO</p><p>REGULAR</p><p>5 Pentágono 5</p><p>6 Hexágono 6</p><p>7 Heptágono 7</p><p>8 Octógono 8</p><p>9 Eneágono 9</p><p>10 Decágono 10</p><p>11 Undecágono 11</p><p>1</p><p>4</p><p>NÚMERO</p><p>DE LADOS</p><p>NOME</p><p>NÚMERO DE ÂN-</p><p>GULOS</p><p>IMAGEM DO POLÍGONO</p><p>REGULAR</p><p>12 Dodecágono 12</p><p>15 Pentadecágono 15</p><p>20 Icoságono 20</p><p>Tabela 1 - Polígonos regulares / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: cada linha exibe uma imagem com um polígono com o número de lados indicados. Observe</p><p>que, quanto mais lados um polígono regular possui, mas próximo de uma circunferência ele fica.</p><p>Os gregos, mesmo sem ferramentas de alta precisão, desen-</p><p>volveram métodos para construir figuras planas utilizando</p><p>apenas régua e compasso.</p><p>Estas construções geométricas devem seguir algumas re-</p><p>gras básicas:</p><p>• Conhecendo-se dois pontos distintos, é possível</p><p>traçar uma reta utilizando a régua.</p><p>• Com o compasso, é possível traçar uma circun-</p><p>ferência com centro em um ponto conhecido e que</p><p>passa por um segundo ponto determinado.</p><p>O jogo Euclidea (disponível para celulares e, também, em</p><p>versão on-line) nos apresenta quebra-cabeças geométricos</p><p>que devemos resolver por meio de construções com régua</p><p>e compasso. Assim como os gregos, porém de forma digital!</p><p>Acesse o jogo a seguir.</p><p>EU INDICO</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>1</p><p>https://apigame.unicesumar.edu.br/qrcode/20558</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Diagonal de um polígono</p><p>Diagonal de um polígono é o segmento de reta cujos extremos são dois vértices</p><p>não consecutivos do polígono.</p><p>Figura 8 - Diagonais do polígono / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: são apresentados três polígonos e algumas diagonais: um com quatro lados e uma dia-</p><p>gonal; um com seis lados e duas diagonais de vértices distintos; o último com cinco lados e duas diagonais do</p><p>mesmo vértice</p><p>Uma pergunta natural que surge é a seguinte: quantas diagonais são possíveis de</p><p>se traçar em um polígono de n lados?</p><p>Para resolvermos esse problema, devemos perceber que, para cada vértice do</p><p>polígono, formamos outros polígonos. No entanto, é importante notar que os la-</p><p>dos que formam esse vértice não podem ser computados. Dessa forma, utilizando</p><p>argumentos de contagem, temos que o número d de diagonais será</p><p>d C n n</p><p>n</p><p>n n n</p><p>n� � �</p><p>�</p><p>� �</p><p>� �</p><p>�,</p><p>!</p><p>( )! !</p><p>( )</p><p>2 2 2</p><p>3</p><p>2</p><p>Esta expressão matemática quer dizer: uma combinação de n pontos tomados</p><p>dois a dois, subtraindo-se os lados que não formam diagonais.</p><p>Exemplo: Quantas diagonais podem ser construídas em um quadrilátero?</p><p>Substituindo n = 4 , que é o número de lados de um quadrilátero, teremos:</p><p>d �</p><p>� �</p><p>� �</p><p>4 4 3</p><p>2</p><p>4</p><p>2</p><p>2( )</p><p>Apesar de ser um exemplo simples, podemos apreciar o poder de nossa fórmula.</p><p>1</p><p>6</p><p>Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo</p><p>Já vimos que a soma das medidas de dois ângulos adjacentes suplementares é</p><p>180º. Esse fato será importante para determinarmos a soma das medidas dos</p><p>ângulos de um polígono convexo.</p><p>Consideremos o polígono ABCDE na figura a seguir, em que i i i i i1 2 3 4 5</p><p>� � � � �, , , , . são as</p><p>medidas dos ângulos internos e e e e e e1 2 3 4 5</p><p>    , , , , são as medidas dos ângulos externos.</p><p>D</p><p>C</p><p>BA</p><p>E</p><p>1i 2i</p><p>3i</p><p>4i</p><p>5i</p><p>1ê</p><p>2ê</p><p>3ê</p><p>4ê</p><p>5ê</p><p>Figura 9 - Diagonais do polígono / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um pentágono com vértices A, B, C, D e E e em cada um são indicados os ângulos internos</p><p>e externos.</p><p>Pela figura, podemos observar que a soma de um ângulo interno com seu res-</p><p>pectivo ângulo externo é igual a dois ângulos retos ou 180º. Também podemos</p><p>perceber que, no pentágono, aparecem 5 somas desse tipo.</p><p>Então, somando todos os ângulos internos e externos em separado, temos</p><p>( ) ( )i i i i i e e e e e o</p><p>1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 5 180� � � � � � � � � � � .</p><p>Indicando S i i i i ii � � � � �1 2 3 4 5 e S e e e e ee � � � � �1 2 3 4 5 teremos</p><p>S Si e</p><p>o� � �5 180 .</p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>7</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Ampliando nosso raciocínio para um polígono com n lados, teremos:</p><p>( ) ( )i i i i e e e e n S S nn n</p><p>o</p><p>i e</p><p>o</p><p>1 2 3 1 2 3 180 180� � ��� � � � ��� � � � � � � .</p><p>Antes de apresentarmos a regra geral, observamos um fato relacionado à soma</p><p>dos ângulos internos. Por indução matemática, podemos demonstrar que</p><p>S ni</p><p>o� � �( )2 180 , para n > 2 . Assim, realizando esta alteração na fórmula an-</p><p>terior, encontrarmos</p><p>S n n Se</p><p>o o</p><p>e</p><p>o� � � � � � �( )2 180 180 360</p><p>Ou seja, a soma dos ângulos externos de um polígono regular de n lados é 360º.</p><p>Como Se</p><p>o o� � �360 2 180 , continuando a dedução da fórmula geral, vemos que</p><p>S S n S n S ni e</p><p>o</p><p>i</p><p>o o</p><p>i</p><p>o� � � � � � � � � � � �180 2 180 180 2 180( ) .</p><p>Medida do ângulo interno e externo</p><p>Para calcular a medida do ângulo interno e externo de um polígono regular de</p><p>n lados, utilizamos a premissa que seus ângulos internos são congruentes. Logo,</p><p>indicando cada ângulo interno por ai e cada ângulo externo por ae , utilizando</p><p>as relações anteriores, podemos deduzir</p><p>n a S n a n</p><p>ni i</p><p>o</p><p>i</p><p>o</p><p>� � � � � � �</p><p>� �</p><p>( )</p><p>( )2 180 2 180 .</p><p>Analogamente, como os ângulos externos são congruentes e sua soma é 360º,</p><p>vemos que</p><p>n a S a</p><p>ne e</p><p>o</p><p>e</p><p>o</p><p>� � � � �360 360 .</p><p>Como a soma de um ângulo interno e seu ângulo externo correspondente é</p><p>sempre 180º, para calcular a medida do ângulo interno de um polígono regular é</p><p>mais simples encontrar primeiro a medida do ângulo externo. Depois, pelo suple-</p><p>mento encontrar a medida do ângulo interno.</p><p>1</p><p>8</p><p>TRIÂNGULOS</p><p>Como vimos no tópico anterior, o triângulo é uma das figuras geométricas mais</p><p>básicas e por esta razão dedicamos o tópico para o estudo desta figura poligonal.</p><p>A principal característica do triângulo é o fato dele ser uma figura rígida. Este</p><p>termo quer dizer que os triângulos podem ser rotacionais, ou espelhados e não</p><p>ocorrem alterações nas medidas de seus lados, ou ângulos.</p><p>Nas construções, é fácil notar a presença de triângulos. Este fato não está</p><p>ligado apenas à sua estética, mas sim à rigidez.</p><p>Quando desejamos calcular a área de uma superfície irregular, é indicado di-</p><p>vidir a figura em vários triângulos capazes de cobrir toda a superfície e a partir</p><p>deles fazemos o cálculo de área. Este processo é chamado de triangulação.</p><p>A triangulação é o mais antigo processo de levantamento de medidas</p><p>topográficas, sendo, ainda hoje, o mais recomendado diante do baixo inves-</p><p>timento em instrumental e equipamentos auxiliares.</p><p>APROFUNDANDO</p><p>Assim como já vimos, o triângulo é o polígono que possui o menor número de</p><p>lados de maneira a produzir uma figura fechada.</p><p>Indica-se um triângulo ABC como o da figura a seguir por ABC (dize-</p><p>mos: “triângulo ABC”).</p><p>Observe na imagem a seguir os elementos de um triângulo:</p><p>ÂA</p><p>C</p><p>B</p><p>1ê</p><p>2ê</p><p>3ê</p><p>Figura 10 - Triângulo e seus elementos / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo de vértices A, B e C. Com o ângulo interno do vértice A indicado por A</p><p>^</p><p>e</p><p>os externos por e1</p><p></p><p>, e2</p><p></p><p>e e3</p><p></p><p>UNIASSELVI</p><p>1</p><p>9</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Os elementos de um triângulo são:</p><p>■ Os vértices: A , B e C .</p><p>■ Os lados: AB , AC e BC .</p><p>■ Os ângulos internos: BAC</p><p>^</p><p>ou A</p><p>^</p><p>, ABC</p><p>^</p><p>ou B</p><p>^</p><p>, ACB</p><p>^</p><p>ou C</p><p>^</p><p>■ Os ângulos externos: e1</p><p> , e2</p><p> e e3</p><p></p><p>Observe que:</p><p>■ Cada ângulo interno é oposto ao lado determinado pelos outros dois</p><p>ângulos.</p><p>■ Cada ângulo externo é suplementar do ângulo interno adjacente.</p><p>■ Em qualquer triângulo, a medida de cada lado é menor que a soma das</p><p>medidas dos outros dois lados (condição de existência).</p><p>■ O interior de um triângulo é uma região convexa.</p><p>■ O exterior de um triângulo é uma região côncava.</p><p>Associados aos triângulos, destacamos alguns termos:</p><p>■ A mediatriz do lado de um triângulo é uma reta perpendicular ao lado</p><p>passando por seu ponto Médio.</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�����������������������������</p><p>��������</p><p>����</p><p>Figura 11 - Mediatriz / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A mediatriz relativa ao ponto médio M do lado que</p><p>passa por C e B.</p><p>6</p><p>1</p><p>■ A altura de um triângulo é o segmento perpendicular compreendido en-</p><p>tre o vértice e o lado oposto.</p><p>�</p><p>� � �</p><p>������������������</p><p>��������������������</p><p>�������������</p><p>Figura 12 - Altura / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A altura relativa ao vértice A oposto ao lado que</p><p>passa por C e B.</p><p>■ A mediana de um triângulo é o segmento de reta que une um vértice e o</p><p>ponto médio do lado oposto.</p><p>�</p><p>� � �</p><p>�����������������������������</p><p>������������������������</p><p>�</p><p>�����������</p><p>Figura 13 - Mediana / Fonte: o autor.</p><p>Descrição da Imagem: um triângulo com vértices A, B e C. A mediana relativa ao ponto médio M do lado que</p><p>passa por C e B e partindo do vértice A.</p><p>Classificação dos triângulos</p><p>Os triângulos podem ser classificados quanto aos lados ou quanto aos ângulos.</p><p>Quanto aos lados, os triângulos se classificam em isósceles, equilátero ou</p><p>escaleno.</p><p>UNIASSELVI</p><p>6</p><p>1</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Triângulos isósceles são triângulos que possuem dois lados congruentes.</p><p>Figura 14 - Triângulo isósceles / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com dois lados indicados como con-</p><p>gruentes.</p><p>Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chama-</p><p>do ângulo do vértice, o lado oposto a esse ângulo é chamado base e os ângulos</p><p>adjacentes à base são chamados ângulos da base.</p><p>Triângulos equiláteros são triângulos que possuem os três lados congruentes.</p><p>Figura 15 - Triângulo equilátero / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com três lados indicados como con-</p><p>gruentes.</p><p>Todo triângulo equilátero é também triângulo isósceles.</p><p>�</p><p>� �</p><p>�</p><p>� �</p><p>6</p><p>1</p><p>Triângulos escalenos são triângulos que não possuem lados congruentes.</p><p>Figura 16 - Triângulo escaleno / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com os três lados indicados como não</p><p>congruentes.</p><p>Quanto aos ângulos</p><p>Os triângulos se classificam em acutângulo, obtusângulo ou retângulo.</p><p>Esses termos são emprestados do significado dos ângulos envolvidos, pois</p><p>lembre-se que:</p><p>■ Ângulo agudos são aqueles com medida entre 0o e 90º;</p><p>■ Um ângulo reto tem exatamente 90º; e</p><p>■ Os ângulos obtusos estão entre as medidas de 90º e 180º.</p><p>Triângulos acutângulos são triângulos que possuem os três ângulos internos</p><p>agudos, ou seja, menores 90º.</p><p>Figura 17 - Triângulo acutângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com dois ângulos indicados como</p><p>congruentes.</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>�</p><p>UNIASSELVI</p><p>6</p><p>3</p><p>TEMA DE APRENDIZAGEM 2</p><p>Triângulos obtusângulos são triângulos que possuem um ângulo interno</p><p>obtuso, ou seja, maior que 90º.</p><p>Figura 18 - Triângulo obtusângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com um ângulo indicado como maior</p><p>que noventa graus.</p><p>Triângulos retângulos são triângulos que possuem um ângulo interno reto, ou</p><p>seja, igual a 90º.</p><p>Figura 19 - Triângulo retângulo / Fonte: o autor.</p><p>Descrição: um triângulo de vértices A, B e C. Com um ângulo com medida igual a</p><p>noventa graus.</p><p>Num triângulo retângulo, o lado oposto ao ângulo reto chama-se hipotenusa e os</p><p>outros dois lados chamam-se catetos.</p><p>Propriedades dos triângulos</p><p>Vamos formalizar alguns conceitos por meio de algumas pequenas demonstra-</p><p>ções matemáticas.</p><p>1ª propriedade: A soma</p>