Notas de aulas de EDP-1

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<p>UNIVERSIDADE AGOSTINHO NETO</p><p>Faculdade de Ciências Naturais</p><p>Departamento de Matemática</p><p>Notas de Aulas de</p><p>Equações Diferenciais Parciais</p><p>Dionísio Miguel Adão</p><p>24 de julho de 2023</p><p>Conteúdo</p><p>1 Equações diferenciais parciais de 1a ordem 5</p><p>1.1 Conceitos gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5</p><p>1.2 EDPs que podem ser resolvidas semelhante a uma EDO . . . . . . . . . . . . . . . . 8</p><p>1.3 Equação diferencial parcial linear homogênea de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . . 9</p><p>1.4 Equação quase linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12</p><p>1.5 O problema de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14</p><p>1.6 Equações diferenciais parciais não lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.6.1 Sistema de duas equações não lineares de 1a ordem . . . . . . . . . . . . . . 17</p><p>1.6.2 Equação de Pfa� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18</p><p>1.7 Lista de exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19</p><p>1</p><p>2 CONTEÚDO</p><p>Introdução</p><p>Muitos problemas físicos, biológicos e de engenharia podem ser expressos matematicamente por</p><p>meio de equações diferenciais parciais (EDPs) em conjunto com condições iniciais e/ou condições</p><p>de contorno. As equações diferenciais parciais são usadas basicamente em todas as áreas: por</p><p>exemplo, a equação de Schrödinger na mecânica quântica, as equações de Maxwell em eletrodi-</p><p>nâmica, equações de reação-difusão em química e biologia matemática, modelos para distribuição</p><p>espacial de populações e problemas de condução de calor, e a fórmula de Black-Scholes para mer-</p><p>cados �nanceiros. De�nindo EDPs matematicamente é bastante simples, já que uma EDP é uma</p><p>equação que envolve derivadas parciais. O aspecto fascinante das EDPs é que a maioria delas</p><p>podem ser classi�cadas em três classes: elíptica, parabólica e hiperbólica.</p><p>As equações elípticas são representados pela equação de Laplace; as equações parabólicas são</p><p>representadas pela equação do calor; e as equações hiperbólicas são representadas pela equação</p><p>de onda. Essas classi�cações são de�nidas para equações lineares de segunda ordem no Capítulo</p><p>2. As propriedades desses tipos, no entanto, vão muito além, e algumas equações de ordem superior</p><p>exibem um comportamento "semelhante a onda"ou "semelhante a difusão".</p><p>Se você aprende os métodos para resolver a equação de onda, você será capaz de estudar</p><p>�uído que �uem em uma tubulação e, por meio da equação de Schrödinger, você obterá uma</p><p>compreensão da mecânica quântica. A equação de Laplace é um protótipo das equações de Maxwell</p><p>em eletrostática, �uxo de �uído incompressível bidimensional em estado estacionário e a estática de</p><p>edifícios e pontes. A teoria da equação do calor prepara você para o estudo de equações de difusão</p><p>de reação em biologia populacional e para problemas de �uxo de calor em materiais condutores.</p><p>3</p><p>4 CONTEÚDO</p><p>Capítulo 1</p><p>Equações diferenciais parciais de 1a ordem</p><p>1.1 Conceitos gerais</p><p>De�nição 1.1. A equação diferencial que consiste, além da variável dependente e variáveis in-</p><p>dependentes, uma ou mais derivadas parciais da variável dependente denomina-se equação dife-</p><p>rencial parcial (EDP).</p><p>Dada uma função u = u(x1, x2, . . . , xn), uma equação diferencial parcial (EDP), em geral,</p><p>pode ser escrita na forma</p><p>F</p><p>(</p><p>x1, x2, . . . , xn, u,</p><p>∂u</p><p>∂x1</p><p>,</p><p>∂u</p><p>∂x2</p><p>, . . . ,</p><p>∂2u</p><p>∂x21</p><p>,</p><p>∂2u</p><p>∂x1 ∂x2</p><p>. . .</p><p>)</p><p>= 0, (1.1)</p><p>em que x1, x2, . . . , xn são as variáveis independentes e u é a variável dependente (função</p><p>desconhecida ou incógnita).</p><p>Obs. 1.1. Considere a notação para as derivadas parciais. Escrevemos ux =</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>. Para as</p><p>derivadas de ordem superior, escrevemos</p><p>uxy = (ux)y =</p><p>∂</p><p>∂y</p><p>(</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>)</p><p>=</p><p>∂2u</p><p>∂y ∂x</p><p>.</p><p>Para as derivadas parciais mistas, será independente a ordem da derivação. Por exemplo</p><p>uxyz = uyxz = uzxy, etc.</p><p>Exemplo 1.1. Considere os seguintes exemplos:</p><p>5</p><p>6 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>(i)</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>− 5</p><p>∂2u</p><p>∂y2</p><p>+ u = 0 é uma EDP em u(x, y).</p><p>(ii) u4xxz + xuxxyz = uzzz é uma EDP em u(x, y, z).</p><p>De�nição 1.2. Chama-se ordem de uma EDP a ordem da derivada parcial mais elevada que</p><p>aparece na equação.</p><p>Exemplo 1.2. (i) 3</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>− ∂u</p><p>∂y</p><p>= ey é uma EDP de 1a ordem.</p><p>(ii) uxx + 4xuxy − 2ux = senx é uma EDP de 2a ordem ou de ordem 2.</p><p>De�nição 1.3. O grau de uma equação diferencial parcial que pode exprimir-se como um polinô-</p><p>mio na função incógnita e suas derivadas parciais, é o maior expoente da derivada parcial de mais</p><p>alta ordem que aparece na equação.</p><p>Exemplo 1.3.</p><p>(</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>)2</p><p>+ 3</p><p>(</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>)3</p><p>= xy é uma EDP do 2o grau ou de grau 2.</p><p>De�nição 1.4. Chama-se solução de uma equação diferencial parcial (1.1) a toda função</p><p>u = u(x1, x2, . . . , xn) que veri�ca identicamente essa equação, ou seja, para todos os valores</p><p>possíveis das variáveis independentes.</p><p>Exemplo 1.4. A função u(x, y) = sen (x− y) é uma solução da EDP</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>− ∂2u</p><p>∂y2</p><p>= 0,</p><p>visto que satisfaz identicamente a igualdade.</p><p>De�nição 1.5. Uma equação diferencial parcial que pode ser escrita na forma</p><p>F</p><p>(</p><p>x1, x2, . . . , xn, u,</p><p>∂u</p><p>∂x1</p><p>,</p><p>∂u</p><p>∂x2</p><p>, . . . ,</p><p>∂u</p><p>∂xn</p><p>)</p><p>= 0 (1.2)</p><p>é denominada equação diferencial parcial de 1a ordem.</p><p>Exemplo 1.5. 3</p><p>(</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>)2</p><p>+ 5</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>+ 6u = 4xy3.</p><p>De�nição 1.6. Uma EDP chama-se quase linear se ela é linear com respeito as derivadas de</p><p>ordem superior da função desconhecida.</p><p>1.1. CONCEITOS GERAIS 7</p><p>Exemplo 1.6. A equação diferencial</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>+ u2 + 3xy = 0</p><p>é quase linear, visto que é linear somente a derivada de ordem superior.</p><p>De�nição 1.7. Uma equação diferencial de ordem n é dita linear se ela é linear com respeito a</p><p>função incógnita e suas derivadas e os coe�cientes dependem somente das variáveis independentes.</p><p>Caso contrário dizemos que é não linear.</p><p>Exemplo 1.7. uxx + α(x, y)uyy = 2u.</p><p>As seguintes equações são não lineares:</p><p>1. uxy − u2x − xy = 0 (uma das derivadas parciais tem grau maior que 1);</p><p>2. uux − uyy = 0 (um dos coe�cientes depende da função desconhecida).</p><p>De�nição 1.8. A equação da forma</p><p>α1(x1, x2, . . . , xn, u)</p><p>∂u</p><p>∂x1</p><p>+α2(x1, x2, . . . , xn, u)</p><p>∂u</p><p>∂x2</p><p>+· · ·+αn(x1, x2, . . . , xn, u)</p><p>∂u</p><p>∂xn</p><p>= f(x1, x2, . . . , xn, u)</p><p>(1.3)</p><p>é chamada equação diferencial quase linear de 1a ordem.</p><p>Se o segundo membro de (1.3) é identicamente nulo, isto é, f ≡ 0 e as funções αi, 1 ≤ i ≤ n, não</p><p>dependem da função incógnita, ou seja</p><p>α1(x1, x2, . . . , xn)</p><p>∂u</p><p>∂x1</p><p>+ α2(x1, x2, . . . , xn)</p><p>∂u</p><p>∂x2</p><p>+ · · ·+ αn(x1, x2, . . . , xn)</p><p>∂u</p><p>∂xn</p><p>= 0</p><p>é chamada equação diferencial linear homogênea de 1a ordem. Neste caso cada um de seus</p><p>termos contém u ou uma de suas derivadas parciais. De outro modo dizemos que a equação é</p><p>não-homogênea.</p><p>Exemplo 1.8. (i) x</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+ y</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= 0 é uma EDP linear homogênea de 1a ordem.</p><p>(ii) x</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+ y</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= 2xy é uma EDP linear não homogênea de 1a ordem.</p><p>Concluímos essa secção, listando algumas EDPs importantes presentes em muitos problemas:</p><p>8 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>(1) Equação do calor: ut = c2 uxx (unidimensional).</p><p>(2) Equação do calor: ut = c2(uxx + uyy) (bidimensional).</p><p>(3) Equação da onda: utt = c2 uxx (unidimensional).</p><p>(4) Equação da onda: utt = c2(uxx + uyy) (bidimensional).</p><p>(5) Equação do transporte: ut + c ux = 0.</p><p>(6) Equação de Laplace: uxx + uyy = 0 e uxx + uyy + uzz = 0.</p><p>(7) Equação de Schrödinger: uxx + uyy + uzz + [E − V (x, y, z)]u = 0.</p><p>1.2 EDPs que podem ser resolvidas semelhante a uma EDO</p><p>Para certas EDPs, se podem aplicar os métodos de resolução estudadas em EDOs, levando em</p><p>conta apenas que as derivadas são parciais, então quaisquer antiderivadas que tomarmos serão,</p><p>em certo sentido, "antiderivadas parciais" ou "integrais parciais". Ou seja, calculamos a primitiva</p><p>em relação a uma variável enquanto �xamos as outras variáveis como constantes. Seguindo esse</p><p>raciocínio, obtemos a solução geral da EDP. Então, onde a solução geral de uma EDO envolve</p><p>constantes arbitrárias, a solução</p><p>geral de uma EDP envolve funções arbitrárias.</p><p>Exemplo 1.9. Encontre a solução geral de uxy = 6x2y.</p><p>Solução: Temos:</p><p>ux =</p><p>∫</p><p>6x2y dy = 3x2y2 + f(x),</p><p>onde f é uma função arbitrária de y, então</p><p>u =</p><p>∫</p><p>(3x2y2 + f(x)) dx = x3y2 + f1(x) + g(y),</p><p>onde g é uma função arbitrária de y.</p><p>Aqui, consideramos que ∫</p><p>f(x) dx = f1(x) + g(y),</p><p>uma vez que calculando a integral de f(x) em relação a x, nós apenas obtemos outra função de x.</p><p>No entanto, também obtemos uma �constante arbitrária�, que é, neste caso, uma função arbitrária</p><p>1.3. EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL LINEAR HOMOGÊNEA DE 1a ORDEM 9</p><p>de y.</p><p>Finalmente, como f, f1 e g são arbitrários, descartamos o índice. Portanto, a solução geral será</p><p>u(x, y) = x3y2 + f(x) + g(y).</p><p>1.3 Equação diferencial parcial linear homogênea de 1a or-</p><p>dem</p><p>Consideremos a equação homogênea</p><p>α1(x1, x2, . . . , xn)</p><p>∂u</p><p>∂x1</p><p>+ α2(x1, x2, . . . , xn)</p><p>∂u</p><p>∂x2</p><p>+ · · ·+ αn(x1, x2, . . . , xn)</p><p>∂u</p><p>∂xn</p><p>= 0. (1.4)</p><p>Suponhamos que α1, α2, . . . , αn sejam determinadas e contínuas e todas as derivadas parciais</p><p>de 1a ordem contínuas em relação a todas as variáveis em certa vizinhança do ponto P (x01, x</p><p>0</p><p>2, . . . , x</p><p>0</p><p>n)</p><p>e não sejam simultaneamente nulos nesse ponto, por exemplo, αn(P ) 6= 0.</p><p>Achamos uma função u = u(x1, x2, . . . , xn) determinada e continuamente diferenciável na vizi-</p><p>nhança do ponto P , de tal forma que ao substituirmos essa função na equação (1.4) obtemos uma</p><p>identidade. É evidente que a função u = C (constante) sempre é uma solução da equação (1.4), a</p><p>qual denomiaremos solução trivial.</p><p>Consideremos um sistema de equação diferencial ordinária auxiliar na forma simétrica, deno-</p><p>minado sistema auxiliar de Lagrange dado por</p><p>dx1</p><p>α1</p><p>=</p><p>dx2</p><p>α2</p><p>= · · · = dxn</p><p>αn</p><p>. (1.5)</p><p>Achamos (n− 1) primeiras integrais independentes do sistema (1.5) dadas por</p><p>ϕ1(x1, x2, . . . , xn) = c1,</p><p>ϕ2(x1, x2, . . . , xn) = c2,</p><p>· · ·</p><p>10 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>ϕn−1(x1, x2, . . . , xn) = cn−1,</p><p>no espaço com coordenadas x1, x2, . . . , xn. Esse sistema de integrais determina uma família de</p><p>linhas, dependente de (n− 1) parámetros, chamadas características da equação (1.4).</p><p>Existe uma importante relação entre a equação (1.4) e o sistema (1.5). Essa relação se basea</p><p>no seguinte teorema:</p><p>Teorema 1.1. i) Se a função ϕ(x1, x2, . . . , xn) é integral (solução), continuamente diferenciá-</p><p>vel do sistema (1.5), então a função u = ϕ(x1, x2, . . . , xn) é solução da equação (1.4).</p><p>ii) Se a função u = φ(x1, x2, . . . , xn) 6= C é solução da equação (1.4), então a função φ(x1, x2, . . . , xn)</p><p>é integral do sistema (1.5).</p><p>Suponhamos que o sistema (1.5) tem (n− 1) integrais independentes ϕ1 = c1, ϕ2 = c2, . . . ,</p><p>ϕn−1 = cn−1 de�nidas e continuamente diferenciáveis. Então a função de�nida por u = Φ(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn),</p><p>onde Φ é uma função diferenciável arbitrária, também é integral (solução) da equação (1.4). Cha-</p><p>maremos essa solução de solução geral desta mesma equação diferencial parcial.</p><p>Exemplo 1.10. Achar a solução geral das seguintes equações diferenciais parciais:</p><p>(i) x</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+ y</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>Solução: O sistema auxiliar de Lagrange correspondente é</p><p>dx</p><p>x</p><p>=</p><p>dy</p><p>y</p><p>.</p><p>Intengrando ambos os membros obtemos</p><p>ln y = lnx+ lnC,</p><p>ou seja,</p><p>y</p><p>x</p><p>= C.</p><p>Logo a solução geral da equação é dada por</p><p>u = Φ</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>,</p><p>onde Φ é uma função qualquer da sua variável.</p><p>1.3. EQUAÇÃO DIFERENCIAL PARCIAL LINEAR HOMOGÊNEA DE 1a ORDEM 11</p><p>(ii) x</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>+ y</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>+ z</p><p>∂u</p><p>∂z</p><p>= 0.</p><p>Solução: O sistema auxiliar de Lagrange correspondente é</p><p>dx</p><p>x</p><p>=</p><p>dy</p><p>y</p><p>=</p><p>dz</p><p>z</p><p>.</p><p>De</p><p>dx</p><p>x</p><p>=</p><p>dy</p><p>y</p><p>, obtemos ln y = lnx+ ln c1, i.e.,</p><p>y</p><p>x</p><p>= c1.</p><p>De</p><p>dx</p><p>x</p><p>=</p><p>dz</p><p>z</p><p>, obtemos ln z = lnx+ ln c2, i.e.,</p><p>z</p><p>x</p><p>= c2.</p><p>Logo a solução geral da equação é dada por</p><p>u = Φ</p><p>(y</p><p>x</p><p>,</p><p>z</p><p>x</p><p>)</p><p>,</p><p>onde Φ é uma função qualquer das suas variáveis.</p><p>(iii) (x2 + y2) · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ 2xy · ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>Solução: O sistema auxiliar de Lagrange correspondente é</p><p>dx</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>dy</p><p>2xy</p><p>.</p><p>Essa última igualdade nos dá</p><p>dy</p><p>dx</p><p>=</p><p>2xy</p><p>x2 + y2</p><p>,</p><p>que é uma EDO homogênea do 2o grau, cuja solução é dada por</p><p>y</p><p>y2 − x2</p><p>= c.</p><p>Logo a solução geral da equação é dada por</p><p>u = Φ</p><p>(</p><p>y</p><p>y2 − x2</p><p>)</p><p>,</p><p>onde Φ é uma função arbitrária.</p><p>Nota 1.1. Algumas EDPs podem ser resolvidas recorrendo-se a fórmula de proporcionalidade</p><p>e as propriedades de diferenciais.</p><p>(1) Fórmula de proporcionalidade:</p><p>a</p><p>b</p><p>=</p><p>c</p><p>d</p><p>=⇒ a</p><p>b</p><p>=</p><p>c</p><p>d</p><p>=</p><p>a+ c</p><p>b+ d</p><p>=</p><p>a− c</p><p>b− d</p><p>.</p><p>(2) Propriedades fundamentais de diferenciais:</p><p>12 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>(a) dC = 0 C-cte.</p><p>(b) d(Cu) = C du.</p><p>(c) d(u± v) = du± dv.</p><p>(d) d(uv) = udv + vdu.</p><p>(e) d</p><p>(u</p><p>v</p><p>)</p><p>=</p><p>v du− u dv</p><p>v2</p><p>, v 6= 0.</p><p>(f) df(u) = f ′(u) du.</p><p>(g) d(lnu) =</p><p>du</p><p>u</p><p>.</p><p>Recorde ainda que ∫</p><p>dF (x) = F (x) + C.</p><p>Exemplo 1.11. Resolver: (x2 + y2) · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ 2xy · ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>Solução: O sistema auxiliar de Lagrange correspondente é</p><p>dx</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>dy</p><p>2xy</p><p>.</p><p>Por conseguinte temos:</p><p>dx</p><p>x2 + y2</p><p>=</p><p>dy</p><p>2xy</p><p>=</p><p>d(x+ y)</p><p>x2 + y2 + 2xy</p><p>=</p><p>d(x− y)</p><p>x2 + y2 − 2xy</p><p>,</p><p>ou seja,</p><p>d(x+ y)</p><p>(x+ y)2</p><p>=</p><p>d(x− y)</p><p>(x− y)2</p><p>.</p><p>Intengrando esta última igualdade obtemos</p><p>− 1</p><p>x+ y</p><p>= − 1</p><p>x− y</p><p>+ c =⇒ 2y</p><p>y2 − x2</p><p>= c =⇒ y</p><p>y2 − x2</p><p>= c.</p><p>Logo, a solução geral da equação é dada por</p><p>u = Φ</p><p>(</p><p>y</p><p>y2 − x2</p><p>)</p><p>,</p><p>onde Φ é uma função arbitrária.</p><p>1.4 Equação quase linear</p><p>Consideremos a equação quase linear da forma</p><p>α1(x1, x2, . . . , xn, u)</p><p>∂u</p><p>∂x1</p><p>+α2(x1, x2, . . . , xn, u)</p><p>∂u</p><p>∂x2</p><p>+· · ·+αn(x1, x2, . . . , xn, u)</p><p>∂u</p><p>∂xn</p><p>= f(x1, x2, . . . , xn, u).</p><p>(1.6)</p><p>1.4. EQUAÇÃO QUASE LINEAR 13</p><p>em que α1, α2, . . . , αn e f são determinadas e contínuas, também com as derivadas parciais de</p><p>1a ordem em certa vizinhança do ponto P (x01, x</p><p>0</p><p>2, . . . , x</p><p>0</p><p>n, u</p><p>0) e suponhamos que αn(P ) 6= 0.</p><p>Vamos mostrar que a solução da equação (1.6) tem a forma implícita</p><p>V (x1, x2, . . . , xn, u) = 0 (1.7)</p><p>em que V é uma certa função continuamente diferenciável e satisfaz a condição</p><p>∂V</p><p>∂u</p><p>6= 0.</p><p>Com efeito, derivando a expressão (1.7) em relação a xk, 1 ≤ k ≤ n, em que u é uma função</p><p>de x1, x2, . . . , xn, obtemos</p><p>∂V</p><p>∂xk</p><p>+</p><p>∂V</p><p>∂u</p><p>· ∂u</p><p>∂xk</p><p>= 0,</p><p>ou seja</p><p>∂u</p><p>∂xk</p><p>= −Vxk</p><p>Vu</p><p>, 1 ≤ k ≤ n. (1.8)</p><p>Substituindo a igualdade (1.7) na equação (1.5) obtemos:</p><p>α1</p><p>∂V</p><p>∂x1</p><p>+ α2</p><p>∂V</p><p>∂x2</p><p>+ · · ·+ αn</p><p>∂V</p><p>∂xn</p><p>+ f</p><p>∂V</p><p>∂u</p><p>= 0. (1.9)</p><p>A equação (1.9) é uma equação linear homogênea com respeito a função desconhecida V .</p><p>O sistema auxiliar de Lagrange correspondente da equação (1.9) é dado por</p><p>dx1</p><p>α1</p><p>=</p><p>dx2</p><p>α2</p><p>= · · · = dxn</p><p>αn</p><p>=</p><p>du</p><p>f</p><p>. (1.10)</p><p>Esse sistema tem n integrais (soluções) independentes ϕ1(x1, x2, . . . , xn, u) = c1,</p><p>ϕ2(x1, x2, . . . , xn, u) = c2, . . . , ϕn(x1, x2, . . . , xn, u) = cn. Então a função</p><p>V = Φ(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn) (1.11)</p><p>é a solução geral da equação (1.9).</p><p>Substituindo (1.11) em (1.7) obtemos a solução geral da equação (1.6) na forma</p><p>V = Φ(ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn) = 0. (1.12)</p><p>14 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>Exemplo 1.12. Achar a solução geral da seguinte equação diferencial parcial:</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 1.</p><p>Solução: O sistema auxiliar de Lagrange correspondente é</p><p>dx</p><p>1</p><p>=</p><p>dy</p><p>1</p><p>=</p><p>dz</p><p>1</p><p>.</p><p>De dx = dy, obtemos x− y = c1.</p><p>De dx = dz, obtemos x− z = c2.</p><p>Logo, a solução geral da equação na forma implícita é dada por</p><p>Φ (x− y, x− z) = 0,</p><p>onde Φ é uma função arbitrária diferenciável.</p><p>Essa solução pode ser escrita na forma explícita por</p><p>z − x = F (x− y) =⇒ z = x+ F (x− y),</p><p>onde F é uma funçao arbitrária de suas variáveis.</p><p>1.5 O problema de Cauchy</p><p>Considere a equação</p><p>α1(x, y, z)</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ α2(x, y, z)</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= f(x, y, z). (1.13)</p><p>O problema de Cauchy consiste em achar uma solução da equação (1.13) que passa pela linha f1(x, y, z) = 0,</p><p>f2(x, y, z) = 0.</p><p>(1.14)</p><p>Pelo método anterior podemos obter a integral geral da forma Φ(ϕ1, ϕ2) = 0,</p><p>onde  ϕ1(x, y, z) = c1,</p><p>ϕ2(x, y, z) = c2,</p><p>(1.15)</p><p>1.5. O PROBLEMA DE CAUCHY 15</p><p>são integrais independentes do sistema de Lagrange correspondente e Φ a função arbitrária nas</p><p>suas variáveis.</p><p>A partir do sistema </p><p>ϕ1(x, y, z) = c1,</p><p>ϕ2(x, y, z) = c2,</p><p>f1(x, y, z) = 0,</p><p>f2(x, y, z) = 0,</p><p>obtemos uma relação entre c1 e c2, ou seja, Φ(c1,</p><p>c2) = 0. Substituindo c1, c2 por ϕ1, ϕ2 obtemos</p><p>a solução da equação que passa pela linha (1.14).</p><p>Exemplo 1.13. Achar a solução geral da seguinte equação diferencial parcial:</p><p>y</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>− x ∂z</p><p>∂y</p><p>= 0,</p><p>que satisfaz a condição z = y2, x = 0.</p><p>Solução: O sistema auxiliar de Lagrange correspondente é</p><p>dx</p><p>y</p><p>=</p><p>dy</p><p>−x</p><p>=</p><p>dz</p><p>0</p><p>.</p><p>Primeiramente temos</p><p>dx</p><p>y</p><p>=</p><p>dy</p><p>−x</p><p>=⇒ xdx+ ydy = 0 =⇒ x2 + y2 = c1.</p><p>A seguir temos</p><p>dz = 0 =⇒ z = c2.</p><p>Logo, a solução geral da equação na forma implícita é dada por</p><p>Φ</p><p>(</p><p>x2 + y2, z</p><p>)</p><p>= 0,</p><p>onde Φ é uma função arbitrária diferenciável, ou explicitamente na forma</p><p>z = f(x2 + y2),</p><p>16 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>onde f é uma funçao arbitrária da sua variável.</p><p>Para procurar a integral da superfície passando pela linha dada, consideremos o sistema</p><p></p><p>x2 + y2 = c1,</p><p>z = c2,</p><p>z = y2,</p><p>x = 0.</p><p>De</p><p>x = 0 =⇒ y2 = c1.</p><p>De</p><p>z = y2 =⇒ c1 = c2.</p><p>Logo, a solução do problema é</p><p>z = x2 + y2.</p><p>Nota 1.2. Em muitos casos podemos escrever a linha (1.14) na sua forma paramétrica dadas pelas</p><p>equações</p><p>x = x(t), y = y(t), z = z(t).</p><p>Substituindo os valores de x, y e z nas integrais independentes, ou seja, em (1.15), obtemos duas</p><p>equações  ϕ1(t) = c1,</p><p>ϕ2(t) = c2.</p><p>(1.16)</p><p>Eliminando o parámetro t, obtemos uma relação F (c1, c2) = 0. A seguir, substituímos as compo-</p><p>nentes c1, c2 pela parte esquerda de (1.15) nesta última igualdade e obtemos a solução desejada.</p><p>1.6. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS NÃO LINEARES 17</p><p>1.6 Equações diferenciais parciais não lineares</p><p>1.6.1 Sistema de duas equações não lineares de 1a ordem</p><p>Consideremos o sistema </p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= f(x, y, z),</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= g(x, y, z).</p><p>(1.17)</p><p>Suponhamos que f e g sejam continuamente diferenciáveis numa certa vizinhança do ponto (x0, y0, z0).</p><p>O sistema (1.17) é chamado compatível se existir uma função z = z(x, y) que satifaz ambas as</p><p>equações do sistema.</p><p>Teorema 1.2. Para que o sistema seja compatível e exista uma família de soluções dependentes</p><p>de uma constante arbitrária z = z(x, y, c), a condição necessária e su�ciente é dada pela seguinte</p><p>igualdade</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>+ g</p><p>∂f</p><p>∂z</p><p>=</p><p>∂g</p><p>∂x</p><p>+ f</p><p>∂g</p><p>∂z</p><p>. (1.18)</p><p>que é satisfeita para (x, y, z) na vizinhança do ponto (x0, y0, z0).</p><p>A condição (1.18) é chamada condição compatível do sistema (1.17).</p><p>Exemplo 1.14. Mostre que o seguinte sistema</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= z2,</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 2yz2,</p><p>é compatível e encontre a sua solução.</p><p>Solução: Aqui f = z2 e g = 2yz2. Temos</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>=</p><p>∂g</p><p>∂x</p><p>= 0,</p><p>∂f</p><p>∂z</p><p>= 2z,</p><p>∂g</p><p>∂z</p><p>= 4yz.</p><p>Por conseguinte temos</p><p>∂f</p><p>∂y</p><p>+ g</p><p>∂f</p><p>∂z</p><p>=</p><p>∂g</p><p>∂x</p><p>+ f</p><p>∂g</p><p>∂z</p><p>= 4yz3.</p><p>18 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>Daí, o sistema é compatível.</p><p>De</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= z2 =⇒ dz</p><p>z2</p><p>= dx =⇒ z = − 1</p><p>x+ c(y)</p><p>.</p><p>Derivando essa última igualdade em relação a y e substituindo na segunda equação do sistema</p><p>obtemos</p><p>c′(y) = 2y =⇒ c(y) = y2 + c.</p><p>Então a solução do sistema é</p><p>z = − 1</p><p>x+ y2 + c</p><p>.</p><p>1.6.2 Equação de Pfa�</p><p>De�nição 1.9. Chama-se equação de Pfa� à toda equação escrita na forma</p><p>P (x, y, z) dx+Q(x, y, z) dy +R(x, y, z) dz = 0. (1.19)</p><p>Sejam P, Q eR funções continuamente diferenciáveis numa certa vizinhança do ponto (x0, y0, z0)</p><p>e não nulas simultaneamente, por exemplo R 6= 0. Tem-se</p><p>dz = −P</p><p>R</p><p>dx− Q</p><p>R</p><p>dz.</p><p>Usando a de�nição de diferencial tem-se</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>dx+</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>dy = −P</p><p>R</p><p>dx− Q</p><p>R</p><p>dy.</p><p>Desta última igualdade obtemos </p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= −P</p><p>R</p><p>,</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= −Q</p><p>R</p><p>,</p><p>que é um sistema de duas equações não lineares.</p><p>Exemplo 1.15. Ache a solução da seguinte equação de Pfa�</p><p>3yz dx+ 2xz dy + xy dz = 0.</p><p>1.7. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19</p><p>1.7 Lista de exercícios propostos</p><p>1 Classi�que cada uma das equações diferenciais parciais quanto a ordem, grau (caso exista),</p><p>linearidade (linear e não linear) e homogeneidade:</p><p>(a) uxx + uyy = 0.</p><p>(b) 3</p><p>(</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>)2</p><p>+ 5</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>+ 6u = 4xy3.</p><p>(c)</p><p>(</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>)3</p><p>+ xy</p><p>∂2u</p><p>∂y2</p><p>= 0.</p><p>(d)</p><p>∂2u</p><p>∂x ∂y</p><p>= senu.</p><p>(e)</p><p>∂2u</p><p>∂x2</p><p>+ ey sen z</p><p>∂2u</p><p>∂x ∂y</p><p>= u.</p><p>(f) ut + uuxx + uxxx = 1.</p><p>(g) auxx + 2buxy + cuyy + dux + euy + fu = 0.</p><p>(h) uxx + uyy = 0.</p><p>(i) utt + α4 uxxxx = 0.</p><p>(j) uxxyyz − u8 + u6xx = 0.</p><p>2 Mostre que cada função dada é uma solução da EDP correspondente:</p><p>(a) u = x sen y, uxx − uyy = u.</p><p>(b) u = ex cos y + ax+ by, uxx + uyy = 0, a, b const.</p><p>(c) u = x2y3z2 − xz3, 3x2uxx + 2yuy + 2xy3z2uzzz = 0.</p><p>(d) u = cos y + (y − x) sen y, (x− y) · ∂</p><p>2u</p><p>∂x ∂y</p><p>− ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>(e) u = ln(x+ e−y),</p><p>∂u</p><p>∂x</p><p>· ∂</p><p>2u</p><p>∂x ∂y</p><p>− ∂u</p><p>∂y</p><p>· ∂</p><p>2u</p><p>∂x2</p><p>= 0.</p><p>(f) u = y</p><p>√</p><p>y</p><p>x</p><p>, x2 · ∂</p><p>2u</p><p>∂x2</p><p>− y2 · ∂</p><p>2u</p><p>∂y2</p><p>= 0.</p><p>(g) u = x ln</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>, x · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ y2 · ∂</p><p>2u</p><p>∂y2</p><p>+ 2x− u = 0.</p><p>20 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>(h) u = xϕ</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>+ φ</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>, x2 · ∂</p><p>2u</p><p>∂x2</p><p>+ 2xy</p><p>∂2u</p><p>∂x ∂y</p><p>+ y2 · ∂</p><p>2u</p><p>∂y2</p><p>= 0.</p><p>(i) u = ϕ(x, y) +</p><p>√</p><p>xy φ</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>, x2 · ∂</p><p>2u</p><p>∂x2</p><p>− y2 · ∂</p><p>2u</p><p>∂y2</p><p>= 0.</p><p>(j) u = ϕ</p><p>(y</p><p>x</p><p>)</p><p>, x · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ y · ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>(k) u = ϕ</p><p>(y</p><p>x</p><p>,</p><p>z</p><p>x</p><p>)</p><p>, x · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ y · ∂u</p><p>∂y</p><p>+ z · ∂u</p><p>∂z</p><p>= 0.</p><p>(l) u = ϕ (x2 + y2, zx) , xy · ∂u</p><p>∂x</p><p>− x2 · ∂u</p><p>∂y</p><p>− yz · ∂u</p><p>∂z</p><p>= 0.</p><p>3 Ache a solução geral das seguintes equações diferenciais parciais (EDPs solucionáveis como</p><p>a EDOs).</p><p>(a) uxx = x3 + y3.</p><p>(b) uxxz = x2 + y3 − 2z.</p><p>(c) uzzxy = xyz.</p><p>(d) uxxyy = cos 4x.</p><p>(e) uyy + 4u = 0.</p><p>(f) u2ux = x.</p><p>(g) uxy = senx+ cos y, u = u(x, y, z).</p><p>(h) ux − y2u = 0, u = u(x, y).</p><p>(i) ux + 4u = xy2 + y.</p><p>(j) ux − zu = y − z.</p><p>(k) uxx + ux − 2u = 0, u = u(x, y).</p><p>(l) uxy + ux = 0, u = u(x, y, z).</p><p>(m) uxyy − uxy = 0.</p><p>(n)</p><p>∂3u</p><p>∂x ∂x ∂y</p><p>− ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>(o)</p><p>∂3u</p><p>∂x ∂x ∂y</p><p>− 4</p><p>∂2u</p><p>∂x ∂y</p><p>+ 3</p><p>∂u</p><p>∂y</p><p>= e2x.</p><p>4 Encontre todas as soluções das seguintes EDPs que satisfaçam os requisitos adicionais:</p><p>(a) uy = 4x.</p><p>i. u(x, 0) = sen x. ii. u(x, 2) = sen x. iii. u(0, y) = 5y.</p><p>(b) ux − 3u = 0.</p><p>i. u(0, y) = y2. ii. u(1, y) = y2. iii. u(x, 1) = x2.</p><p>5 Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais parciais lineares de 1a ordem</p><p>homogênea:</p><p>1.7. LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS 21</p><p>(a) 2x · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ yx3 · ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>(b) zy · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ zx · ∂u</p><p>∂y</p><p>+ xy · ∂u</p><p>∂z</p><p>= 0.</p><p>(c) y2 · ∂u</p><p>∂x</p><p>− x2 · ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>(d) (x2 + y2) · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ 2xy · ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>(e) xy · ∂u</p><p>∂x</p><p>− x2 · ∂u</p><p>∂y</p><p>− yz · ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>6 Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais parciais (quase linear):</p><p>(a)</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 1.</p><p>(b) x · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ y · ∂u</p><p>∂y</p><p>+ z · ∂u</p><p>∂y</p><p>= 0.</p><p>(c)</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 2z.</p><p>(d) x2 · ∂u</p><p>∂x</p><p>+ y2 · ∂u</p><p>∂y</p><p>= xz.</p><p>(e) y</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ x</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= x− y.</p><p>(f) 2x</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ (y − x)</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= x2.</p><p>(g) sen 2x</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ tg z</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= cos2 z.</p><p>(h) (xz + y)</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ (x+ yz)</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 1 + z2.</p><p>(i) 2y4</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>− 2x2y</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= x2</p><p>√</p><p>1 + z2.</p><p>(j) yz</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>− xz ∂z</p><p>∂y</p><p>= ez.</p><p>(k) tg x</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ y</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= z.</p><p>7 Achar a solução das EDPs que satisfazem as condições dadas (problema de Cauchy):</p><p>(a) y</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>− x ∂z</p><p>∂y</p><p>= 0, z = y2, x = 0.</p><p>(b) yz</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ xz</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= −2xy, z = 3, x2 + y2 = 4.</p><p>22 CAPÍTULO 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS DE 1a ORDEM</p><p>(c) tg x</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ y</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= z, z = x3, x = y.</p><p>(d) xz</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ yz</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= −xy, y = x2, z = x3.</p><p>(e) x2</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ y2</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= −z3, z = 1,</p><p>1</p><p>x</p><p>+</p><p>1</p><p>y</p><p>= 1.</p><p>(f) (x− z)</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ (y − z)</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= 2z, x = y, z = x3. e x− y = 2, z + 2x = 1.</p><p>(g) z</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>− xy ∂z</p><p>∂y</p><p>= 2xz, x+ y = 2, yz = 1.</p><p>(h) x</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>− y ∂z</p><p>∂y</p><p>= z2(x− 3y), x = 1, yz + 1 = 0.</p><p>(i) 2x</p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>+ y</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= x2 + y2, x = 1, z = y2.</p><p>8 Mostre que os seguintes sistemas satisfazem as condições integráveis. Achar uma família de</p><p>solução dependente de uma constante.</p><p>(a)</p><p></p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= 2x2 + 2xz + 2xy2 − 1,</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= −2y.</p><p>(b)</p><p></p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= z2 cosx,</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= z2.</p><p>(c)</p><p></p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= z,</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= ex+y + z.</p><p>(d)</p><p></p><p>∂z</p><p>∂x</p><p>= yz cos(xy),</p><p>∂z</p><p>∂y</p><p>= xz cos(xy).</p><p>8 Resolver as equações de Pfa�:</p><p>(a) 3yz dx+ 2xz dy + xy dz = 0.</p><p>(b) (y + 3z2) dx+ (x+ y) dy + 6xz dz = 0.</p><p>(c) y2 dx− z dy + y dz = 0.</p>