Cap7-Operadores em espaços normados

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<p>Capítulo 7</p><p>Operadores em espaços normados</p><p>Neste capítulo vamos introduzir uma série de operadores em espaços normados</p><p>os quais são muito úteis, nomeadamente, na resolução de equações envolvendo</p><p>operadores. Vamos dar especial atenção aos operadores (auto)-adjuntos definidos</p><p>num espaço de Hilbert.</p><p>7.1 Operadores adjuntos. Definição e propriedades</p><p>Nesta secção vamos considerar X, Y espaços normados quaisquer, T : X → Y um</p><p>operador linear limitado e g ∈ Y ′ um funcional. É claro que g está definido sobre</p><p>todo Y . Definimos a aplicação f em X por</p><p>f : X → R, x $→ f (x) := g(T x).</p><p>A aplicação f possui as seguintes propriedades:</p><p>X</p><p>T !!</p><p>f</p><p>""!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>!</p><p>! Y</p><p>g</p><p>##</p><p>R</p><p>1. f é linear, visto que, g e T o são.</p><p>2. f é limitada, pois</p><p>| f (x)| = |g(T x)| ≤ ‖g‖ |T x| ≤ ‖g‖ ‖T‖ |x|,</p><p>assim, tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos</p><p>‖ f ‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖ < ∞. (7.1)</p><p>155</p><p>Portanto, f ∈ X′, isto é, f é um funcional em X. Deste modo, a cada funcional</p><p>g ∈ Y ′ corresponde um funcional f ∈ X′ o qual é chamado operador adjunto de</p><p>T e denotado por T ∗.</p><p>Definição 7.1 (Operador adjunto) Sejam X, Y dois espaços normados e T : X →</p><p>Y um operador linear limitado dado. Então o operador adjunto T ∗ : Y ′ → X′ é</p><p>definido por</p><p>f (x) = (T ∗g)(x) := g(T x). (7.2)</p><p>O operador adjunto está bem definido, isto é, a correspondência</p><p>Y ′ ) g $→ T ∗g ∈ X′</p><p>é uma aplicação. De facto, já vimos que f = T ∗g ∈ X′. Assim, só falta verificar</p><p>que, para cada g ∈ Y ′ existe uma única imagem T ∗g. Suponhamos que g ∈ Y ′</p><p>está associado a dois funcionais distintos f1 e f2 em X′. Como f1 ! f2, então</p><p>existe x ∈ X tal que f1(x) ! f2(x). Mas, ao mesmo tempo, por (7.2) temos</p><p>f1(x) = f2(x) = g(T x), ∀x ∈ X. Assim, f1 = f2.</p><p>Proposição 7.2 (Norma do operador adjunto) O operador adjunto T ∗ do ope-</p><p>rador T definido em (7.2) é linear, limitado e</p><p>‖T ∗‖ = ‖T‖ . (7.3)</p><p>Prova. Vamos verificar a linearidade de T ∗. Para quaisquer g1, g2 ∈ Y ′, α, β ∈ K e</p><p>x ∈ X temos</p><p>(T ∗(αg1 + βg2))(x) := (αg1 + βg2)(T x)</p><p>= αg1(T x) + βg2(T x)</p><p>= α(T ∗g1)(x) + β(T</p><p>∗g2)(x).</p><p>Da arbitrariedade de x ∈ X resulta</p><p>T ∗(αg1 + βg2) = αT</p><p>∗g1 + βT</p><p>∗g2,</p><p>ou seja, T ∗ é linear. Para mostrar que T ∗ é limitado procedemos do seguinte modo.</p><p>De (7.2) e (7.1) resulta</p><p>‖T ∗g‖ = ‖ f ‖ ≤ ‖g‖ ‖T‖</p><p>e, tomando o supremo sobre todos g ∈ Y ′ com norma 1, obtemos a desigualdade</p><p>‖T ∗‖ ≤ ‖T‖ .</p><p>156</p><p>Para provar a desigualdade contrária consideramos x ∈ X\ {0} um elemento arbi-</p><p>trário dado e denotamos y = T x. Usamos o seguinte resultado: existe um elemento</p><p>g ∈ Y ′ tal que ‖g‖ = 1 e g(T x) = |T x|. Portanto, temos</p><p>|T x| = |g(T x)| = (T ∗g)(x)</p><p>≤ ‖T ∗g‖ |x|</p><p>≤ ‖T ∗‖ ‖g‖ |x|</p><p>= ‖T ∗‖ |x|,</p><p>pelo que |T x| ≤ ‖T ∗‖ |x|, para qualquer x ∈ X\ {0}. Como temos sempre |T x| ≤</p><p>‖T‖ |x|, sendo ‖T‖ a menor constante tal que |T x| ≤ ‖T‖ |x|, então terá de ser</p><p>‖T‖ ≤ ‖T ∗‖.</p><p>Em resumo</p><p>X</p><p>T !!</p><p>$$</p><p>Y</p><p>X′ Y ′,</p><p>T ∗</p><p>%% ‖T ∗‖ = ‖T‖</p><p>Exemplo 7.3 Sejam X = Y = Rn e T o operador associado à matriz</p><p>T : A =</p><p></p><p></p><p>a11 a12 . . . a1n</p><p>a21 a22 . . . a2n</p><p>...</p><p>...</p><p>. . .</p><p>...</p><p>an1 an2 . . . ann</p><p></p><p></p><p>relativamente à base canónica (ei)ni=1 em R</p><p>n. A forma geral de um funcional em</p><p>Rn é</p><p>f (x) =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>xi fi, fi := f (ei), f ∈ (Rn)′.</p><p>Para cada x ∈ Rn y = T x é dado por</p><p>y1 = a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn</p><p>y2 = a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>yn = an1x1 + an2x2 + . . . + annxn.</p><p>157</p><p>Seja (ei)n</p><p>i=1 a base dual de (ei)</p><p>n</p><p>i=1, assim, se g ∈ (R</p><p>n)′, então</p><p>g =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>gie</p><p>i.</p><p>Portanto, temos</p><p>f (x) = g(T x) = g(y)</p><p>=</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>giyi =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>gi</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>ai jx j</p><p>=</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p></p><p></p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>ai jgi</p><p></p><p></p><p>x j.</p><p>Deste modo, f é um funcional em X dado em termos de g. Tendo em conta que</p><p>f = T ∗g, então</p><p>(T ∗g)(x) =</p><p>n∑</p><p>j=1</p><p>bjx j, bj =</p><p>n∑</p><p>i=1</p><p>ai jgi,</p><p>ou seja</p><p>b1 = a11g1 + a21g2 + . . . + an1gn</p><p>b2 = a12g1 + a22g2 + . . . + an2gn</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>bn = a1ng1 + a2ng2 + . . . + anngn.</p><p>Assim, a matriz associada a T ∗ é da forma</p><p>T ∗ :</p><p></p><p></p><p>a11 a21 . . . an1</p><p>a12 a22 . . . an2</p><p>...</p><p>...</p><p>. . .</p><p>...</p><p>a1n a2n . . . ann</p><p></p><p></p><p>= Aᵀ.</p><p>Vemos, pois, que a matriz associada a T ∗ não é mais do que a matriz transposta</p><p>Aᵀ da matriz A associada a T .</p><p>Exemplo 7.4 Seja K : [0, 1] × [0, 1] → R uma aplicação contínua dada e con-</p><p>sideremos o espaço de Hilbert real X = Y = L2([0, 1], ds) =: L2(ds). Seja T o</p><p>operador integral, com núcleo K, definido em L2(ds) por</p><p>T : L2(ds)→ L2(ds), x $→ (T x)(t) :=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>K(t, s)x(s)ds. (7.4)</p><p>158</p><p>A forma geral de um funcional linear contínuo f em L2(ds) é dada em termos do</p><p>produto interno em L2(ds), isto é,</p><p>(x, h) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>x(s)h(s)ds, x, h ∈ L2(ds).</p><p>Assim, se x ∈ L2(ds) é tal que y = T x, então para todo g ∈ L2(ds), temos</p><p>f (x) = g(T x) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(T x)(s)g(s)ds</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>K(s, t)x(t)dtg(s)ds</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(∫ 1</p><p>0</p><p>K(s, t)g(s)ds</p><p>)</p><p>x(t)dt</p><p>= (x, T ∗g),</p><p>onde</p><p>(T ∗g)(t) :=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>K(s, t)g(s)ds.</p><p>Assim, vemos que T ∗ é um operador integral definido em L2(ds) com núcleo</p><p>K∗(t, s) = K(s, t). Note a troca das variáveis s e t.</p><p>Observação 7.5 No exemplo anterior, se o espaço de Hilbert considerado L2(ds)</p><p>for sobre o corpo dos complexos C, então todo o funcional linear contínuo em</p><p>L2(ds) é da forma</p><p>h(x) = (x, h) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>x(s)h(s)ds, x, h ∈ L2(ds).</p><p>Neste caso o adjunto do operador T definido em (7.4) é dado por</p><p>(T ∗g)(t) :=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>K(s, t)g(s)ds,</p><p>ou seja, T ∗ é um operador integral, com núcleo K∗, onde K∗(t, s) = K(s, t).</p><p>Vamos de seguida apresentar algumas propriedades dos operadores adjuntos</p><p>sobre espaços normados.</p><p>Proposição 7.6 Sejam X, Y espaços normados e S , T ∈ B(X, Y) dados. Então</p><p>159</p><p>1. (S + T )∗ = S ∗ + T ∗.</p><p>2. (αT )∗ = αT ∗.</p><p>Prova. 1. Seja g ∈ Y ′ um funcional arbitrário com vista a mostrar que (S +T )∗g =</p><p>(S ∗ + T ∗)g. De acordo com a definição, para todo x ∈ X, usando a linearidade de</p><p>g, obtemos</p><p>((S + T )∗g)(x) := g((S + T )x) = g(S x) + g(T x) = (S ∗g)(x) + (T ∗g)(x).</p><p>Isto implica que (S + T )∗g = S ∗g + T ∗g, ∀g ∈ Y ′, pelo que (S + T )∗ = S ∗ + T ∗.</p><p>2. Do mesmo modo, se g ∈ Y ′, então</p><p>((αT )∗g)(x) := g((αT )x) = g(αT x) = αg(T x) = α(T ∗g)(x), ∀x ∈ X.</p><p>De onde resulta que (αT )∗g = αT ∗g, para todo g ∈ Y ′, assim temos (αT )∗ = αT ∗.</p><p>Proposição 7.7 Sejam X, Y, Z espaços normados, T ∈ B(X, Y) e S ∈ B(Y, Z) da-</p><p>dos. Então</p><p>1. o adjunto do produto S T é dado por</p><p>(S T )∗ = T ∗S ∗. (7.5)</p><p>2. Se T−1 existe e T−1 ∈ B(Y, X), então (T ∗)−1 também existe, (T ∗)−1 ∈ B(X′, Y ′)</p><p>e</p><p>(T ∗)−1 = (T−1)∗.</p><p>Prova. 1. Seja g ∈ Z′ um elemento dado com vista a mostrar que (S T )∗g =</p><p>(T ∗S ∗)g. Então para todo x ∈ X, temos</p><p>((S T )∗g)(x) = g((S T )x) = g(S (T x)) = (S ∗g)(T x),</p><p>como S ∗g ∈ X′, então o último termo é igual a</p><p>T ∗(S ∗g)(x).</p><p>Assim, mostramos que (S T )∗g = T ∗(S ∗g), ∀g ∈ Z′. Da arbitrariedade de g resulta</p><p>a igualdade (7.5).</p><p>2. Queremos mostrar que (T ∗)−1 = (T−1)∗, ou seja que</p><p>T ∗(T−1)∗ = (T−1)∗T ∗ = I,</p><p>pois temos a seguinte composição de aplicações:</p><p>160</p><p>X′</p><p>(T−1)∗ !! Y ′</p><p>T ∗ !! X′</p><p>Assim, sejam h ∈ X′ e x ∈ X dados. Então temos</p><p>(T ∗(T−1)∗h)(x) := ((T−1)∗h)(T x) := h(T−1T x) = h(x) = (Ih)(x).</p><p>Inversamente</p><p>((T−1)∗T ∗h)(x) := (T ∗h)(T−1x) := h(TT−1x) = h(x) = (Ih)(x).</p><p>Proposição 7.8 Sejam X, Y espaços normados reflexivos e T ∈ B(X, Y) dados.</p><p>Então (T ∗)∗ = T.</p><p>Prova. Sendo T : X → Y , então o seu adjunto T ∗ é um operador de Y ′ em X′,</p><p>isto é, T ∗ : Y ′ → X′. Deste modo, concluímos que (T ∗)∗ será um operador linear</p><p>limitado de X′′ em Y ′′: T ∗∗ : X′′ → Y ′′. Pela reflexividade dos espaços X e Y ,</p><p>temos T ∗∗ ∈ B(X, Y). Assim, resta mostrar que os operadores T ∗∗ e T coincidem.</p><p>Recordemos o operador canónico de X em X′′:</p><p>C : X → X′′, x $→ C(x) = Fx,</p><p>onde Fx é definido por Fx(l) := l(x), para qualquer l ∈ X′. Assim, para qualquer</p><p>g ∈ Y ′ e x ∈ X, temos</p><p>((T ∗)∗Fx)(g) = Fx(T</p><p>∗g) = (T ∗g)(x) = g(T x),</p><p>e, por outro lado</p><p>C◦T◦C−1(Fx)(g) = (C(T x))(g) = FTx(g) = g(T x).</p><p>X′′</p><p>T ∗∗ !! Y ′′</p><p>X</p><p>C</p><p>&&</p><p>T !! Y</p><p>C</p><p>&&</p><p>Exemplo 7.9 Consideremos o espaço de Hilbert complexo X = Y = L2([0, 1]) e</p><p>α : [0, 1]→ C uma função mensurável limitada. Definimos T ∈ B(X, Y) por</p><p>(T x)(t)</p><p>:= α(t)x(t).</p><p>Mostre que o operador adjunto T ∗ de T é definido por</p><p>(T ∗g)(t) = α(t)g(t).</p><p>161</p><p>Prova. Sabemos, pelo teorema de Riesz, que o dual de qualquer espaço de Hilbert</p><p>é isomorfo a si próprio, assim T ∗ ∈ B(X, Y). Temos ainda que, qualquer funcional</p><p>linear limitado é representável pelo produto interno, isto é,</p><p>(x, h) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>x(t)h(t)dt, h, x ∈ L2([0, 1]).</p><p>Assim, para quaisquer g, x ∈ L2([0, 1]) obtemos</p><p>f (x) = (T x, g) =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>(T x)(t)g(t)dt =</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>α(t)x(t)g(t)dt</p><p>=</p><p>∫ 1</p><p>0</p><p>x(t)α(t)g(t)dt = (x, ᾱg)</p><p>= (x, T ∗g).</p><p>Portanto, o operador adjunto é dado por (T ∗g)(t) = α(t)g(t). No caso de α ser real,</p><p>isto é α(t) = α(t), então teríamos (T ∗g)(t) = α(t)g(t) = (Tg)(t), ou seja, T ∗ = T .</p><p>Na próxima secção vamos estudar este tipo particular de operadores, chamados</p><p>auto-adjuntos.</p><p>Exemplo 7.10 Seja X = Y = #2(R) o espaço de Hilbert real das sucessões cujo</p><p>quadrado do módulo é somável. Em #2(R) definimos o operador de deslocamento</p><p>direito U da forma usual, isto é, para cada x = (x1, x2, . . .) ∈ #2(R)</p><p>Ux = (0, x1, x2, . . .).</p><p>Prove que o operador adjunto U∗ de U é o operador de deslocamento esquerdo V .</p><p>Qual será o adjunto do operador V?</p><p>Prova. Os funcionais lineares limitados em #2(R) são da forma</p><p>(x, y) =</p><p>∞∑</p><p>i=1</p><p>xiyi, x, y ∈ #2(R).</p><p>Portanto, se g ∈ #2(R), então para qualquer x ∈ #2(R) temos</p><p>f (x) = (Ux, g) =</p><p>∞∑</p><p>i=1</p><p>(Ux)igi =</p><p>∞∑</p><p>i=1</p><p>gi+1xi = (x,U</p><p>∗g),</p><p>onde U∗g = (g2, g3, · · · ), ou seja, o adjunto do operador de deslocamento direito</p><p>é o operador de deslocamento esquerdo V . Usando o Proposição 7.8 temos U∗∗ =</p><p>V∗ = U, ou seja, o operador dual de V é U.</p><p>162</p><p>Exercícios</p><p>Exercício 7.1 Calcule o adjunto de cada um dos seguintes operadores definidos</p><p>sobre #p(R), p ≥ 1:</p><p>1. T x := (x1, x2, . . . , x j, 0, . . .), j ≥ 1.</p><p>2. T x := (0, . . . , 0, x1, 0 . . .), onde x1 está na posição j.</p><p>3. T x := (α1x1,α2x2, . . .), onde (αi)∞i=1 ∈ #</p><p>∞(R) é uma sucessão fixa.</p><p>4. T x := (0, 0,α1x1,α2x2, . . .).</p><p>5. T x := (α j x j,α j+1x j+1, . . .), j ≥ 1.</p><p>Exercício 7.2 Seja T ∈ B(X), onde X é um espaço normado. Mostre que para</p><p>qualquer n ∈ N temos</p><p>(T ∗)n = (Tn)∗.</p><p>7.2 Operador adjunto num espaço de Hilbert</p><p>Nesta secção vamos analisar o caso particular em que os espaços normados X e Y</p><p>são espaços de Hilbert. Assim, sejam H1,H2 espaços de Hilbert e T : H1 → H2</p><p>um operador linear limitado. O operador adjunto T ∗ de T é, depois dos resultados</p><p>da secção anterior, tal que</p><p>T ∗ : H ′2 → H</p><p>′</p><p>1, g $→ (T ∗g)(x) := g(T x) = f (x). (7.6)</p><p>Mas como sabemos, pelo teorema de Riesz, os funcionais g ∈ H ′2, f ∈ H</p><p>′</p><p>2 admi-</p><p>tem representantes, digamos x0, y0, isto é,</p><p>f (x) = (x, x0)1, (7.7)</p><p>g(y) = (y, y0)2. (7.8)</p><p>Vamos denotar por R1,R2 os operadores que realizam estes operadores</p><p>R1 : H ′1 → H1, f $→ R1( f ) = x0,</p><p>R2 : H ′2 → H2, g $→ R2(g) = y0.</p><p>Os operadores R1,R2 possuem as seguintes propriedades:</p><p>163</p><p>1. bijectivos,</p><p>2. preservam a norma, isto é, |R1( f )|1 = |x0|1 = ‖ f ‖,</p><p>3. são lineares conjugados, isto é, se f (x) = (x, x0)1 e h(x) = (x, x̂0)1, então</p><p>para qualquer x ∈ H1, α, β ∈ K temos</p><p>(α f + βg)(x) = α f (x) + βg(x)</p><p>= α(x, x0)1 + β(x, x̂0)1</p><p>= (x, ᾱh0 + β̄x̂0)1,</p><p>pelo que ᾱx0 + β̄x̂0 é o representante de α f + βg, de onde resulta que</p><p>R1(α f + βg) = ᾱx0 + β̄x̂0.</p><p>O mesmo raciocínio para R2.</p><p>Consideremos o operador T ′ definido por</p><p>T ′ : H2 → H1, T</p><p>′ := R1 ◦ T ∗ ◦ R−12 .</p><p>Temos</p><p>T ′y0 = R1(T</p><p>∗g) = R1( f ) = x0.</p><p>T ′ é linear, pois envolve dois operadores lineares conjugados e o</p><p>operador linear T ∗.</p><p>H1</p><p>T !!</p><p>T ′</p><p>%% H2</p><p>H ′1</p><p>R1</p><p>&&</p><p>H ′2</p><p>R2</p><p>&&</p><p>T ∗</p><p>%%</p><p>Por outro lado, de (7.6)-(7.8) resulta</p><p>(T x, y0)2 = g(T x) = f (x) = (x, x0)1 = (x, T</p><p>′y0)1,</p><p>ou seja</p><p>(T x, y)2 = (x, T</p><p>′y)1.</p><p>Definição 7.11 Seja T : H1 → H2 um operador linear limitado. Então o adjunto</p><p>T ∗ de T é um operador T ∗ : H2 → H1 definido por</p><p>(T x, y)2 = (x, T</p><p>∗y)1, ∀x ∈ H1, y ∈ H2.</p><p>Os exemplos apresentados até agora, foram todos sobre espaços de Hilbert.</p><p>Vamos em seguida coleccionar algumas das propriedades e relações típicas do</p><p>operador adjunto de um operador linear limitado definido num espaço de Hilbert.</p><p>164</p><p>Proposição 7.12 Sejam T,U ∈ B(H1,H2) operadores lineares limitados. Mostre</p><p>que</p><p>1. (T + U)∗ = T ∗ + U∗.</p><p>2. T ∗∗ = T,</p><p>3. (αT )∗ = ᾱT ∗, α ∈ K.</p><p>4. N(T ) = R(T ∗)⊥.</p><p>5. N(T ∗) = R(T )⊥.</p><p>6. R(T ) = N(T ∗)⊥.</p><p>7. R(T ∗) = N(T )⊥.</p><p>TH1 H2</p><p>H2H1</p><p>N(T∗)</p><p>R(T )⊥R(T )</p><p>T ∗</p><p>N(T )⊥</p><p>R(T∗) R(T∗)⊥ N(T∗)⊥</p><p>N(T )</p><p>Prova. Ver Exercício 7.7.</p><p>Exercícios</p><p>Exercício 7.3 Seja X = Y = L2(R, dt) o espaço de Hilbert das funções comple-</p><p>xas mensuráveis de quadrado integrável. Para cada constante k ∈ R definimos o</p><p>operador T ∈ B(X, Y) por</p><p>(T x)(t) := x(t − k)</p><p>o qual é chamado operador de deslocamento ou operador de translação. Calcule</p><p>o operador adjunto T ∗ do operador T .</p><p>Exercício 7.4 Calcule o adjunto de cada um dos seguintes operadores definidos</p><p>sobre L2(R):</p><p>1. (T x)(t) := α(t)x(t + k), onde α é uma função limitada e k ∈ R está fixo.</p><p>2. (T x)(t) := 1</p><p>2(x(t) + x(−t)).</p><p>Exercício 7.5 Seja H um espaço de Hilbert e y, z ∈ H fixos. Definimos T ∈</p><p>B(H) por</p><p>T x := (x, y)z.</p><p>Calcule o adjunto de T .</p><p>165</p><p>Exercício 7.6 Seja H um espaço de Hilbert e (en)∞n=1 uma base ortonormada em</p><p>H . Definimos o operador T por</p><p>T : H → H , en $→ Ten := en+1.</p><p>1. Calcule o núcleo, a imagem e a norma de T .</p><p>2. Encontre o operador adjunto T ∗ de T .</p><p>Exercício 7.7 Prove a Proposição 7.12.</p><p>Exercício 7.8 Prove que se (Tn)∞n=1 é uma sucessão de operadores lineares limita-</p><p>dos num espaço de Hilbert tais que Tn → T , então T ∗n → T ∗.</p><p>7.3 Operadores auto-adjuntos</p><p>De entre os operadores definidos num espaço de HilbertH existem algumas clas-</p><p>ses de especial interesse, uma delas vamos estudar nesta secção. Assim, nesta</p><p>secção vamos supor queH1 = H2 = H e o espaço linear dos operadores lineares</p><p>limitados sobreH B(H).</p><p>Definição 7.13 Seja operador T ∈ B(H) um operador dado. Então T chama-se</p><p>1. auto-adjunto se e só se T ∗ = T, isto é,</p><p>(T x, y) = (x, Ty), ∀x, y ∈ H ,</p><p>2. unitário se e só se T é bijectivo e T ∗ = T−1, isto é,</p><p>(T x, y) = (x, T−1y), ∀x, y ∈ H ,</p><p>3. normal se e só se TT ∗ = T ∗T.</p><p>Observação 7.14 1. Se T ∈ B(H) é um operador unitário, então T preserva o</p><p>produto interno, pois</p><p>(T x, Ty) = (x, T ∗Ty) = (x, T−1Ty) = (x, y), ∀x, y ∈ H .</p><p>166</p><p>2. Por seu lado, se T é auto-adjunto ou unitário, então T é normal. De facto,</p><p>suponhamos que T é auto-adjunto, então temos T ∗ = T e evidentemente</p><p>que TT ∗ = T ∗T = T 2. Se T é unitário, então T ∗ = T−1, pelo que TT ∗ =</p><p>T ∗T = I.</p><p>3. Do Exemplo 7.3 resulta que T é auto-adjunto se e só se ai j = aji, ∀i, j =</p><p>1, . . . , n, ou seja a matriz é simétrica. Se a matriz (ai j)ni, j=1 for complexa,</p><p>então o operador é auto-adjunto se e só se a matriz for Hermiteana, isto</p><p>é, ai, j = ā j,i, ∀i, j = 1, . . . , n. Já no Exemplo 7.4 o operador T será auto-</p><p>adjunto se e só se a função K for simétrica, isto é, K(s, t) = K(t, s), ∀s, t ∈</p><p>[0, 1]. No caso complexo teríamos K(s, t) = K(t, s).</p><p>4. Se T ∈ B(H) é um operador auto-adjunto, então H = N(T ) ⊕ R(T ∗). De</p><p>facto, como N(T ) é fechado, então pelo teorema sobre a decomposição de</p><p>um espaço de Hilbert na soma directa de espaços mutuamente ortogonais,</p><p>temos</p><p>H = N(T ) ⊕ (N(T ))⊥.</p><p>Mas pela Proposição 7.12-7, temos (N(T ))⊥ = R(T ∗), de onde o resultado.</p><p>Teorema 7.15 (critério T ∗ = T ) Seja T : H → H um operador linear limitado</p><p>no espaço de HilbertH . Então</p><p>1. se T é auto-adjunto, (T x, x) é real para todos x ∈ H ,</p><p>2. se H é complexo e (T x, x) é real para todos x ∈ H , o operador T é auto-</p><p>adjunto.</p><p>Prova. 1. Por hipótese T ∗ = T e</p><p>(T x, x) = (x, T x) = (T x, x),</p><p>ou seja, (T x, x) é igual ao seu conjugado, pelo que (T x, x) ∈ R, ∀x ∈ H .</p><p>2. Como (T x, x) ∈ R ∀x ∈ H , então</p><p>(T x, x) = (T x, x) = (x, T ∗x) = (T ∗x, x).</p><p>Deste modo temos ((T − T ∗)x, x) = 0, ∀x ∈ H . Em particular para x = αy + z,</p><p>obtemos</p><p>((T − T ∗)(αy + z),αy + z) = |α|2((T − T ∗)y, y) + α((T − T ∗)y, z)</p><p>+ᾱ((T − T ∗)z, y) + ((T − T ∗)z, z),</p><p>167</p><p>tendo em atenção que ((T − T ∗)y, y) = ((T − T ∗)z, z) = 0, obtemos</p><p>((T − T ∗)(αy + z),αy + z) = α((T − T ∗)y, z) + ᾱ((T − T ∗)z, y) =</p><p>0.</p><p>Escolhendo α = 1 e α = i obtemos</p><p>{</p><p>((T − T ∗)y, z) + ((T − T ∗)z, y) = 0</p><p>((T − T ∗)y, z) − ((T − T ∗)z, y) = 0 ⇔ ((T − T ∗)y, z) = 0, ∀y, z ∈ H ,</p><p>fazendo z = (T − T ∗)y resulta (T − T ∗)y = 0, ∀y ∈ H , ou seja T − T ∗ = 0. Isto</p><p>prova que T é auto-adjunto.</p><p>Exemplo 7.16 Sejam (αn)∞n=1, (βn)</p><p>∞</p><p>n=1, (δn)</p><p>∞</p><p>n=1 ∈ #</p><p>∞(R) sucessões fixas e T ∈ B(#2(R))</p><p>um operador definido de seguintemodo: para cada x ∈ #2(R) T x = ((T x)1, (T x)2, . . .),</p><p>onde</p><p>(T x)1 = α1x1 + β1x2,</p><p>(T x)n = δn−1xn−1 + αnxn + βnxn+1, n ≥ 2.</p><p>Que condições devem verificar os números αn, βn e δn, n ≥ 1 para que T ∗ = T .</p><p>Prova. Temos de ver em que condições sobre os coeficientes das sucessões dadas</p><p>temos</p><p>(T x, y)#2(R) = (x, Ty)#2(R).</p><p>Assim, temos</p><p>(T x, y)#2(R) =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>(T x)nyn = (α1x1 + β1x2)y1 +</p><p>∞∑</p><p>n=2</p><p>(δn−1xn−1 + αnxn + βnxn+1)yn</p><p>= (α1y1 + δ1y2)x1 +</p><p>∞∑</p><p>n=n</p><p>(δnyn+1 + αnyn + βn−1yn−1)xn</p><p>= (x, T ∗y)#2(R).</p><p>Assim, T ∗y é dado por</p><p>(T ∗y)1 = α1y1 + δ1y2,</p><p>(T ∗y)n = δnyn+1 + αnyn + βn−1yn−1, n ≥ 2.</p><p>Portanto, para que T ∗ = T , isto é T ∗x = T x, ∀x ∈ H terá de ser</p><p>α1x1 + δ1x2 = α1x1 + β1x2 ⇒ δ1 = β1,</p><p>δnxn+1 + αnxn + βn−1xn−1 = δn−1xn−1 + αnxn + βnxn+1, ⇒ δn = βn, n ≥ 2.</p><p>Assim, concluímos que a sucessão (αn)∞n=1 ∈ #</p><p>∞(R) é qualquer e (βn)∞n=1 = (δn)</p><p>∞</p><p>n=1.</p><p>168</p><p>Exercícios</p><p>Exercício 7.9 Sejam T,U ∈ B(H) dois operadores dados. Mostre que</p><p>1. se T,U são auto-adjuntos e α, β ∈ K, então αT + βU é auto-adjunto,</p><p>2. se T,U são auto-adjuntos, então o operador TU é auto-adjunto se e só se T</p><p>e U comutam, isto é, [T, S ] = TU − UT = 0,</p><p>3. os operadores R = 1</p><p>2(T +T</p><p>∗) eC = 1</p><p>2i(T −T</p><p>∗) são auto-adjuntos. T = R+ iC</p><p>e T ∗ = R− iC, o operador R chama-se a parte real do operador T e C a parte</p><p>imaginária de T ,</p><p>4. se T é um operador normal, então RC = CR, onde R,C são os operadores</p><p>definidos em 3.</p><p>Exercício 7.10 Seja (Tn)∞n=1 uma sucessão de operadores lineares limitados auto-</p><p>adjuntos definidos Tn : H → H sobre um espaço de HilbertH . Suponhamos que</p><p>(Tn)∞n=1 converge uniformemente para o operador T , isto é,</p><p>‖Tn − T‖ → 0, n→∞.</p><p>Prove que o operador limite T é linear limitado e auto-adjunto.</p><p>Exercício 7.11 Seja Tn : H → H , n ∈ N uma sucessão de operadores normais</p><p>(TnT ∗n = T</p><p>∗</p><p>nTn) tais que Tn → T . Mostre que T é um operador linear normal.</p><p>Exercício 7.12 Mostre que se T : H → H é um operador isométrico, isto é,</p><p>|T x| = |x|, ∀x ∈ H , então T ∗T = I.</p><p>7.4 Operadores de projecção</p><p>Recordemos que, dado um espaço de HilbertH e um subespaço L deH , entãoH</p><p>pode representar-se como soma directa de L e o seu ortogonal L⊥, isto é,</p><p>H = L ⊕ L⊥.</p><p>Assim, dado x ∈ H existem y ∈ L e z ∈ L⊥ tais que</p><p>x = y + z.</p><p>169</p><p>Dado que a soma é directa, y é único para qualquer x ∈ H . Portanto, a cada x ∈ H</p><p>associamos um único elemento y ∈ L, isto é, definimos um operador linear</p><p>P : H → H , x $→ Px = y,</p><p>o qual é chamado projecção ortogonal ou projecção em H . Mais precisamente,</p><p>P é chamado projecção de H sobre L. É claro que P está definido sobre todoH e</p><p>a sua imagem é exactamente o subespaço L. Por outro lado, se x ∈ H é da forma</p><p>x = y + z, com y ∈ L e z ∈ L⊥, então</p><p>Px = P(y + z) = Py + Pz = y,</p><p>isto é, Py = y, ∀y ∈ L e Pz = 0, ∀z ∈ L⊥. Concluímos, pois, que N(P) = L⊥.</p><p>Temos a seguinte definição.</p><p>Definição 7.17 Um operador linear P : H → H é uma projecção emH se existe</p><p>um subespaço L deH tal que R(P) = L, N(P) = L⊥ e P|L é o operador identidade</p><p>em L.</p><p>O próximo teorema dá um critério para caracterizar os operadores de projecção</p><p>emH o qual pode ser usado como definição.</p><p>Teorema 7.18 Um operador linear limitado P : H → H num espaço de Hilbert</p><p>H ! {0} é uma projecção se e só se P é auto-adjunto e idempotente, isto é, P2 = P.</p><p>Temos ainda que ‖P‖ = 1.</p><p>Prova. Suponhamos que P é uma projecção em H e denotemos P(H) = L com</p><p>vista a mostrar que P é auto-adjunto, idempotente com norma 1. Para qualquer</p><p>x ∈ H com Px = y ∈ L temos</p><p>P2x = P(Px) = Py = y = Px,</p><p>logo P é idempotente. Sejam x1, x2 ∈ H tais que</p><p>x1 = y1 + z1, y1 ∈ L, z1 ∈ L⊥,</p><p>x2 = y2 + z2, y2 ∈ L, z2 ∈ L⊥.</p><p>É claro que (y1, z2) = (y2, z1) = 0. Por outro lado</p><p>(Px1, x2) = (y1, y2 + z2) = (y1, y2) + (y1, z2) = (y1 + z1, y2) = (x1, Px2),</p><p>e, portanto, P é auto-adjunto.</p><p>170</p><p>A norma de P pode calcular-se do seguinte modo: para todo x ∈ H com x = y+ z,</p><p>Px = y e de acordo com o teorema de Pitágoras, temos</p><p>|x|2 = |y|2 + |z|2 ⇒ |y| ≤ |x|⇔ |Px| ≤ |x|.</p><p>Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos</p><p>‖P‖ ≤ 1.</p><p>Para mostrar a desigualdade contrária notemos que se x ∈ L e x ! 0, então Px = x,</p><p>pelo que</p><p>|x| = |Px| ≤ ‖P‖ |x|</p><p>de onde resulta que ‖P‖ ≥ 1. Das duas desigualdades obtemos ‖P‖ = 1.</p><p>Inversamente, suponhamos que P2 = P = P∗ e denotamos P(H) = L com vista a</p><p>mostrar que P é uma projecção. Cada x ∈ H pode escrever-se como</p><p>x = Px + (I − P)x.</p><p>Vamos mostrar que L = P(H) ⊥ (I − P)(H). De facto, temos</p><p>(Px, (I − P)y) = (x, P(I − P)y) = (x, Py − P2y) = (x, Py − Py) = (x, 0) = 0.</p><p>Com vista a mostrar que L = P(H) é um subespaço de H vamos provar que</p><p>L = N(I − P) e usar o resultado que diz: o núcleo de um operador linear limitado</p><p>é fechado. Assim, seja x ∈ L, então</p><p>(I − P)x = x − Px = x − x = 0,</p><p>logo x ∈ N(I − P), logo L ⊂ N(I − P). Por outro lado, se y ∈ N(I − P), então</p><p>Py = y,</p><p>pelo que y ∈ P(H) = L. Deste modo obtemos L = N(I − P). Portanto, L é um</p><p>subespaço de H . Notemos que L⊥ = N(P), pois, se z ∈ L⊥, então para qualquer</p><p>y ∈ L temos (z, y) = 0, mas como L = P(H), então y = Px, x ∈ H . Assim,</p><p>(z, y) = (z, Px) = (Pz, x) = 0⇒ Pz = 0⇒ z ∈ N(P).</p><p>Finalmente P|L é o operador identidade em L, pois se x ∈ L = P(H), então x = Py,</p><p>y ∈ H . Pelo que</p><p>Px = P2y = Py = x,</p><p>ou seja P|L = I.</p><p>171</p><p>Exemplo 7.19 Sejam P1 e P2 projecções em H sobre L1 e L2, respectivamente,</p><p>tais que P1P2 = P2P1. Mostre que P = P1 + P2 − P1P2 é uma projecção de H</p><p>sobre L1 + L2.</p><p>Prova. Temos de mostrar que P é auto-adjunto e idempotente. De facto, aten-</p><p>dendo a que P1 e P2 são projecções e P1P2 = P2P1, então</p><p>P∗ = P∗1 + P</p><p>∗</p><p>2 − P</p><p>∗</p><p>2P</p><p>∗</p><p>1 = P1 + P2 − P2P1 = P1 + P2 − P1P2 = P.</p><p>logo P é auto-adjunto. Falta mostrar que P2 = P. Mas, para qualquer x ∈ H ,</p><p>temos</p><p>P2x = (P1 + P2 − P1P2)2x</p><p>= (P21 + P1P2 − P</p><p>2</p><p>1P2 + P2P1 + P</p><p>2</p><p>2 − P2P1P2 − P1P2P1 − P1P</p><p>2</p><p>2</p><p>+P1P2P1P2)x.</p><p>Usando o facto de P21 = P1, P</p><p>2</p><p>2 = P2 e P1P2 = P2P1 a última igualdade dá lugar a</p><p>(P1 + P</p><p>2</p><p>2 − P1P2)x = Px,</p><p>logo P é idempotente. É fácil ver que P é uma projecção deH sobre L1+L2, pois,</p><p>se x ∈ H , então</p><p>Px = (P1 + P2 − P1P2)x = P1(x − P2x) + P2x ∈ L1 + L2.</p><p>Exercícos</p><p>Exercício 7.13 Seja T = S −1PS : H → H , onde S , T ∈ B(H) tais que P é uma</p><p>projecção e S unitário. Prove que T é uma projecção.</p><p>Exercício 7.14 Sejam P1, P2 ∈ B(H) projecções emH . Mostre que P = P1 + P2</p><p>é uma projecção se e só se P2P1 = 0.</p><p>172</p><p>7.5 Operadores compactos</p><p>O estudo dos operadores compactos foi motivado pelo uso das equações inte-</p><p>grais como tentativa para resolver os problema com valores de fronteira da Física-</p><p>Matemática, também chamado problema de Dirichlet. Este problema consiste no</p><p>seguinte. Consideremos uma região D aberta de R3 com uma fronteira ∂D dife-</p><p>renciável. O problema de Dirichlet para a equação de Laplace é: dada uma função</p><p>contínua f sobre ∂D, encontrar uma função u ∈ C2(D) e contínua em D̄ tal que</p><p>∆u(x) = 0, x ∈ D,</p><p>u(x) = f (x), x ∈ ∂D.</p><p>Recordemos que um conjuntoM diz-se compacto se qualquer sucessão (xn)∞n=1 ⊂</p><p>M tem uma subsucessão (xnk)</p><p>∞</p><p>k=1 convergente em M, isto é, xnk → x ∈ M, k → ∞.</p><p>Definição 7.20 (Operador compacto) Sejam X, Y espaços normados e T : X →</p><p>Y um operador linear. Então T chama-se compacto (ou completamente contínuo)</p><p>se e só se para qualquer sucessão limitada (xn)∞n=1 ⊂ X a sucessão (T xn)∞n=1 ⊂ Y</p><p>possui uma subsucessão convergente em Y.</p><p>Proposição 7.21 Sejam X, Y espaços normados. Então</p><p>1. todo o operador linear compacto T : X → Y é limitado, logo contínuo.</p><p>2. Se dimX = ∞, então nem todo o operador limitado é compacto.</p><p>Prova. 1. Seja (xn)∞n=1 ⊂ X uma sucessão limitada tal que |xn| = 1 e (xnk)</p><p>∞</p><p>k=1 uma</p><p>subsucessão qualquer da sucessão (xn)∞n=1. Suponhamos por absurdo que T não</p><p>é limitado, isto é, |T xnk | → ∞, k</p><p>→ ∞. Mas isto implica que (T xnk)∞k=1 não é</p><p>convergente em Y , pelo que T não é compacto, absurdo. Assim, T é limitado.</p><p>Como T é linear limitado T é contínuo.</p><p>2. Consideremos X = Y = #2(R), (en)∞n=1 a base canónica em #</p><p>2(R) e o operador</p><p>identidade I. É claro que a sucessão (en)∞n=1 é limitado, pois, |en| = 1, ∀n ∈ N e</p><p>‖I‖ = 1. Temos</p><p>|Ien − Iem| =</p><p>√</p><p>2,</p><p>pelo que (Ien)∞n=1 não é uma sucessão de Cauchy, logo (Ien)</p><p>∞</p><p>n=1 não possui uma</p><p>subsucessão convergente.</p><p>173</p><p>Observação 7.22 A última proposição diz que a compactidade (continuidade com-</p><p>pleta) de um operador é uma propriedade mais forte do que a continuidade habi-</p><p>tual, a limitação.</p><p>A próxima proposição dá a relação entre operadores compactos e a dimensão</p><p>do domínio e imagem.</p><p>Proposição 7.23 Sejam X, Y espaços normados e T : X → Y um operador linear</p><p>dado. Então</p><p>1. se T é limitado e dimT (X) < ∞, o operador T é compacto,</p><p>2. Se dimX < ∞, o operador é compacto.</p><p>Prova. 1. Seja (xn)∞n=1 uma sucessão limitada qualquer em X com vista a mostrar</p><p>que (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Como T é limitado assim</p><p>como (xn)∞n=1, então a desigualdade</p><p>|T xn| ≤ ‖T‖ |xn|</p><p>mostra que a sucessão (T xn)∞n=1 é limitada. Atendendo a que dimT (X) < ∞,</p><p>então, digamos T (X) é isomorfo a Ck, k ∈ N. Assim, de acordo com o teorema</p><p>de Bolzano a sucessão limitada (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente.</p><p>Portanto T é compacto por definição.</p><p>2. Como dim X < ∞, então todo o operador linear é limitado e temos sempre</p><p>dimT (X) < dim X < ∞, pelo Teorema 4.3-3. O resultado é uma consequência de</p><p>1.</p><p>Teorema 7.24 (Sucessão de operadores compactos) Seja X um espaço normado,</p><p>Y um espaço de Banach e (Tn)∞n=1 ∈ B(X, Y) uma sucessão de operadores li-</p><p>neares compactos. Se Tn converge uniformemente para o operador T (isto é,</p><p>‖Tn − T‖ → 0, n→∞), então o operador T é compacto.</p><p>Prova. Seja (xn)∞n=1 uma sucessão qualquer limitada em X com vista a mostrar</p><p>que (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Como T1 é compacto, existe</p><p>uma subsucessão (x1</p><p>k</p><p>)∞</p><p>k=1 de (xn)</p><p>∞</p><p>n=1 tal que (T1x</p><p>1</p><p>k</p><p>)∞</p><p>k=1 é convergente, em particular</p><p>de Cauchy. Do mesmo modo, existe uma subsucessão (x2j)</p><p>∞</p><p>j=1 de (x</p><p>1</p><p>k</p><p>)∞</p><p>k=1 tal que</p><p>174</p><p>(T2x2j)</p><p>∞</p><p>j=1 é convergente, logo de Cauchy. Continuando este processo obtemos o</p><p>seguinte diagrama</p><p>T1x1 T1x2, . . . , T1xn, . . .</p><p>T1x</p><p>1</p><p>1 T1x</p><p>1</p><p>2, . . . , T1x</p><p>1</p><p>n, . . . −→ x1</p><p>T2x</p><p>2</p><p>1 T2x</p><p>2</p><p>2, . . . , T2x</p><p>2</p><p>n, . . . −→ x2</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>Tmx</p><p>m</p><p>1 Tmx</p><p>m</p><p>2 , . . . , Tmx</p><p>m</p><p>m, . . . −→ xm</p><p>...</p><p>...</p><p>...</p><p>Consideremos a sucessão “diagonal” (ym)∞m=1, ym = xmm, m ∈ N e vamos mostrar</p><p>que a sucessão (Tym)∞m=1 é de Cauchy e, portanto, convergente, pois Y é completo.</p><p>Notemos que a sucessão (ym)∞m=k é uma subsucessão da sucessão (x</p><p>k</p><p>m)</p><p>∞</p><p>m=1 e que</p><p>(Tkxkn)</p><p>∞</p><p>n=1 é convergente, pelo que (Tkym)</p><p>∞</p><p>m=1 é convergente para qualquer k ∈ N.</p><p>Por outro lado, como a sucessão inicial (xn)n∈N é limitado, digamos |xn| ≤ C para</p><p>todos n ∈ N, então também |ym| ≤ C, para todos m ∈ N. Seja ε > 0 dado. Então</p><p>como Tn → T existe uma ordem n = p tal que</p><p>∥</p><p>∥</p><p>∥Tp − T</p><p>∥</p><p>∥</p><p>∥ <</p><p>ε</p><p>3C</p><p>.</p><p>Por outro lado, como (Tpym)m∈N é de Cauchy, logo existe N tal que</p><p>|Tpym − Tpym′ | <</p><p>ε</p><p>3</p><p>, m,m′ > N.</p><p>Assim, para m,m′ > N obtemos</p><p>|Tym − Tym′ | ≤ |Tpym − Tym| + |Tpym − Tpym′ | + |Tpym′ − Tym′ |</p><p>≤</p><p>∥</p><p>∥</p><p>∥Tp − T</p><p>∥</p><p>∥</p><p>∥ |ym| +</p><p>ε</p><p>3</p><p>+</p><p>∥</p><p>∥</p><p>∥Tp − T</p><p>∥</p><p>∥</p><p>∥ |ym′ |</p><p><</p><p>ε</p><p>3C</p><p>C +</p><p>ε</p><p>3</p><p>+</p><p>ε</p><p>3C</p><p>C = ε.</p><p>Isto mostra que (Tym)m∈N é uma sucessão de Cauchy a qual é convergente, pois Y é</p><p>um espaço de Banach. Da arbitrariedade da sucessão (xn)n∈N e visto que (Tym)m∈N</p><p>é uma subsucessão de (T xn)n∈N, resulta a compactidade de T .</p><p>175</p><p>Exemplo 7.25 Seja X = Y = #2(R) e T ∈ B(#2(R)) definido por</p><p>T x =</p><p>(</p><p>x1</p><p>1</p><p>,</p><p>x2</p><p>2</p><p>,</p><p>x3</p><p>3</p><p>, . . . ,</p><p>xn</p><p>n</p><p>, . . .</p><p>)</p><p>.</p><p>Então T é compacto.</p><p>Prova. É fácil verificar que T está bem definido, pois</p><p>|T x|2 =</p><p>∞∑</p><p>i=1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>xi</p><p>i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>2</p><p>≤</p><p>∞∑</p><p>i=1</p><p>|xi|2 = |x|2 < ∞.</p><p>Para cada n ∈ N definimos a sucessão (Tn)n∈N por</p><p>Tn : #</p><p>2(R) → #2(R), x $→ Tnx :=</p><p>(</p><p>x1</p><p>x2</p><p>2</p><p>,</p><p>x3</p><p>3</p><p>, . . . ,</p><p>xn</p><p>n</p><p>, 0, . . .</p><p>)</p><p>.</p><p>É claro que os operadores Tn são lineares e limitados. Como dimTn(#2(R)) < ∞,</p><p>então pelo Proposição 7.23-1, Tn é compacto. Temos ainda que</p><p>|(Tn − T )x|2 =</p><p>∞∑</p><p>i=n+1</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>xi</p><p>i</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>∣</p><p>2</p><p>≤</p><p>1</p><p>n + 1</p><p>∞∑</p><p>i=n+1</p><p>|xi|2 ≤</p><p>1</p><p>n + 1</p><p>|x|2.</p><p>Tomando o supremo sobre todos os x com norma 1, obtemos</p><p>‖Tn − T‖ ≤</p><p>1</p><p>n + 1</p><p>,</p><p>portanto Tn → T e T é compacto pelo Teorema 7.24 dado que #2(R) é um espaço</p><p>de Hilbert, logo de Banach.</p><p>O próximo teorema é muito importante em aplicações da análise funcional.</p><p>Teorema 7.26 Seja X um espaço normado e T, S : X → X dois operadores</p><p>lineares tais que T é compacto e S é limitado. Então TS e S T são compactos.</p><p>Prova. Seja (xn)∞n=1 ⊂ X uma sucessão limitada qualquer com vista a mostrar que</p><p>a sucessão (TS xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. De facto, como S é</p><p>limitado, então a sucessão (S xn)∞n=1 é limitada. Assim, dado que T é compacto, a</p><p>sucessão (TS xn)∞n=1 possui uma subsucessão convergente. Isto mostra que TS é</p><p>compacto.</p><p>176</p><p>Inversamente, a sucessão (T xn)∞n=1 possui uma subsucessão (T xnk)</p><p>∞</p><p>k=1 convergente,</p><p>digamos</p><p>lim</p><p>n→∞</p><p>T xn = y ∈ X</p><p>por T ser compacto. Da continuidade de S vem que a sucessão (S T xnk)</p><p>∞</p><p>k=1 é</p><p>convergente</p><p>lim</p><p>k→∞</p><p>S T xnk = S lim</p><p>k→∞</p><p>T xnk = S y ∈ X.</p><p>Portanto, o operador S T é compacto.</p><p>Na Proposição 7.21-2. vimos que o operador identidade num espaço de dimen-</p><p>são infinita não é compacto. Usando este resultado e o teorema anterior obtemos</p><p>o seguinte corolário.</p><p>Corolário 7.27 Seja X um espaço normado com dimensão infinita. Então se T ∈</p><p>B(X) é um operador compacto o seu inverso T−1 não pode ser limitado.</p><p>Teorema 7.28 SejaH um espaço de Hilbert e A ∈ B(H). Então A é compacto se</p><p>e só se o seu adjunto A∗ é compacto.</p><p>Prova. Seja A um operador compacto com vista a mostrar que A∗ é compacto.</p><p>Pelo Teorema 7.26 o operador AA∗ é compacto. Então se (xn)∞n=1 ⊂ H é uma su-</p><p>cessão limitada qualquer, a sucessão (AA∗xn)∞n=1 possui uma subsucessão (AA</p><p>∗xnk)</p><p>∞</p><p>k=1</p><p>convergente. Vamos mostrar que a sucessão (A∗xnk)</p><p>∞</p><p>k=1 é de Cauchy e, portanto,</p><p>converge emH . De facto, temos</p><p>|A∗xnk − A</p><p>∗xnl |</p><p>2 = (AA∗(xnk − xnl), xnk − xnl)</p><p>≤ |AA∗(xnk − xnl)||xnk − xnl |</p><p>≤ 2C|AA∗(xnk − xnl)|,</p><p>pois |xnk − xnl | ≤ |xnk | + |xnl | ≤ 2C, por (xn)∞n=1 ser limitada. Como a sucessão</p><p>(AA∗xnk)</p><p>∞</p><p>k=1 é convergente ela é de Cauchy emH , portanto, (A</p><p>∗xnk)</p><p>∞</p><p>k=1 é de Cauchy.</p><p>Como H é completo (A∗xnk)</p><p>∞</p><p>k=1 converge em H . De acordo com a definição de</p><p>operador compacto (ver Definição 7.20) A∗ é compacto.</p><p>Inversamente, suponhamos que A∗ é compacto com vista a mostrar que A é com-</p><p>pacto. De acordo com a prova anterior (A∗)∗ = A∗∗ é compacto. Mas pela Propo-</p><p>sição 7.12-2 temos A∗∗ = A, logo A é compacto.</p><p>177</p><p>Exercícios</p><p>Exercício 7.15 Seja H um espaço de Hilbert separável e (en)∞n=1 uma base orto-</p><p>normada de H . Um operador T : H → H diz-se de Hilbert-Schmidt se e só se</p><p>|T |HS < ∞, onde</p><p>|T |2HS :=</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>|Ten|2 =</p><p>∞∑</p><p>n=1</p><p>∞∑</p><p>k=1</p><p>|(Ten, ek)|2.</p><p>Prove que se T ∈ B(H) é de Hilbert-Schmidt, então T é compacto.</p><p>Sugestão: prove que T é o limite de uma sucessão (Tn)∞n=1 de operadores compac-</p><p>tos e use o facto de ‖Tn − T‖ ≤ |Tn − T |HS .</p><p>Exercício 7.16 Mostre que o operador T : #2(R)→ #2(R) definido por</p><p>T x :=</p><p>(</p><p>x1</p><p>2</p><p>,</p><p>x2</p><p>22</p><p>, . . . ,</p><p>xn</p><p>2n</p><p>, . . .</p><p>)</p><p>é compacto. Sugestão: use um processo análogo ao Exemplo 7.25.</p><p>Exercício 7.17 Mostre que o operador T : #p(R) → #p(R), 1 ≤ p ≤ ∞ definido</p><p>por</p><p>T x :=</p><p>(</p><p>x1</p><p>1</p><p>,</p><p>x2</p><p>2</p><p>, . . . ,</p><p>xn</p><p>n</p><p>, . . .</p><p>)</p><p>é compacto.</p><p>Exercício 7.18 Sejam X, Y espaços de Banach e (B(X, Y), ‖·‖) o espaço de Banach</p><p>dos operadores lineares limitados de X em Y . Denotamos por C(X, Y) o conjunto</p><p>dos operadores compactos de X em Y . Mostre que C(X, Y) é um subespaço fe-</p><p>chado de B(X, Y).</p><p>Exercício 7.19 Seja H um espaço de Hilbert e y, z ∈ H fixos. Mostre que o</p><p>operador</p><p>T : H → H , x $→ T x := (x, y)z</p><p>é compacto.</p><p>178</p>