03_SEDO_Sries_de_Potncias

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<p>3. Séries de Potências 3.1 Introdução - + C3 + (x - , (3.1) - (3.2) = 1. quando = a. n=0 a. centro da serie coeficientes sao x variavel</p><p>1 Para que de x a (3.1) convergente? Note que a serie sempre converge Seja = definida too D={ / n converge 2 Qual i a entre cientes e 3 b continua ! ? ?</p><p>Exemplo 3.1.1 Para qualquer valor que se atribua a a série de potências converge n=0 absolutamente. De fato, O termo geral da série é an de modo que 1 an n! = e sendo L < 1 independentemente do valor real x, Critério da Razão assegura a convergência absoluta da série. Assim, podemos definir uma função real f : R R por: (3.6) n! termo a termo, too n! = N = ex</p><p>=D = = constante y y S4 S3 x Fig. 3.1(a) Fig. 3.1(b)</p><p>Exemplo 3.1.2 Se na série de a variável x for substituída por , obteremos: n=0 para qualquer valor de t, e integrando (3.9) de 0 até 1, termo a termo, resultará: 0</p><p>Exemplo 3.1.4 Serie geometrica 8 g(x) n=0 para |x| <1. (-1,1) Dan = x -x, n = para Trocando x per = para</p><p>termo a para t dx = 2 x dt 2n S 1 1 + " (- 2n+1 arctgt 2n+1 t 2n+1 n=0 para</p><p>t , too = = (1)" 2n+1 4 = 1 - 3 1 5 - +</p><p>Exemplo 3.1.5 = para - n=0 3n+1 1 1 . 1+x 3+(x-2) 3 1 + ( 3 to = 3 3 to 1 = 1 x x</p><p>Assim t S 1 dx = 2 n=o 3n+1 2 too 2 3n+1 =D ln3+ too W 5-11" n=</p><p>Exemplo 3.1.6 para n=0 n+1 1 = 2 t n=0 Integrando de 1 ati o<t<2 = too n=0 1 lnx = 2 n=0 n+1</p><p>3.2 Intervalo de Convergência (a - - ou - n=0 x-a > R x-a<R x-a > R divergência convergência absoluta divergência a-R a+ R a Fig. 3.2</p><p>série raio de convergência intervalo de convergência = R = 8 (-00,00) n=0 n! R= 0 {0} n=0 1 = xn R= 1 (- 1,1) n=0 1 00 = 1 (-1,1) n=0 arctg R= 1 [-1, 1] n=0 2n + 1</p><p>Teorema 3.2.1 Se uma série de potências E convergir em algum valor # a, então n=0 ela convergirá absolutamente em qualquer ponto do intervalo Se ela divergir em = então ela será divergente quando R x a x x Prova: Suponha que seja particular E, existe tal para todo</p><p>Seja x que <1 < too Como i geometrica n= de logo convergente. que e</p><p>se a e 1x - a serie pode pelo caso a serie devenia converger X1</p><p>Teorema 3.2.3 Com relação à série de potências E , apenas uma das situações n=0 abaixo ocorre: (a) ou a série converge apenas quando = a; (b) ou a série converge absolutamente para qualquer valor que se atribua a x; (c) ou existe um número real R>0, denominado raio de convergência, tal que a série converge absolutamente quando x - <R e diverge quando - A= now new que acontace caso, to tal que pelo Teo anterior</p><p>A e limitado superiorment 1x1-al. Seja se existe to tal que e convergente Teo anterior, absolutamente convergente n=0 Isso</p><p>n=0 R- de convergencia R pode ser diverge converge diverge a-R a a+R de convergencia i um for intervalor [a-R, a (a-R, at RJ,</p><p>lim Cn+1 Teorema 3.2.4 Se l = e raio de convergência da série - Cn n=0 então: (a) 0 R=00 R= 0 e Aplicando too teste da para a serie an n=0 = him an = 1x-alk = l Cn</p><p>Se a too 2 converge E, se > I 1 a diverge converge diverge a- a at Logo (caso</p><p>n!(x - A n=0 10n n=0 (2n - 1) 32n-1 converge Cn= n! (-1)" (-9,9) a=5 K=1 pl x=+9. R= 10" = 2n-1 = (2n+1) 32n+1 him = too = 10 =D =</p><p>2 (-1)" n=0 9. too 2 =3.2 diverge 2n-2 2 =3.2 too converge n=0 Ic: n=0 2n-1</p><p>4nx2n n=1 l= = lim =4.1 cn (n+1)2 4" 1 2 diverge converge diverge -1/2 . = n=1 n2 Ic = 2</p><p>3.3 Derivação e Integração Teorema 3.3.1 (Derivação Termo a Termo) Se a série Cn tem raio de convergên- cia então a série obtida por derivação termo a termo, tem raio de convergência R, a função f (x) = Cn é derivável no intervalo (a - R, a + R) e neste intervalo = nen & = existe him = duas series raw</p><p>Teorema 3.3.2 (Integração Termo a Termo) Se uma série de potências = tem raio de convergência R>0, então para a - R, a série f n=0 dx, obtida por integração termo a termo, também tem raio de convergência R. Em particular, , (3.28)</p><p>de seno e senx x x7 3! 5! todo 2 + 2n x = 1 2! 4! Para todo 2 sen x = 2 2</p><p>?? Trocando serie de Cos2x = an (2n)! + - 26x6 2! 6! sen2x 11 2 2 ( 21 - t 4! 6! = 2.x2 4 + 2.1 4! 6.1 D</p><p>= 2 / n=1 (2n)! Como 2 = - 1 + 2 2 too x2n N=1 (2n)! tgx = seux tgx=</p><p>sen Exemplo 3.3.5 Estimando x # 0. senx = = 1 - Pelo Criterio de para - 1 2 31 < senx 31 lim (Limite</p><p>: Identifican a pela sine de (a) 2 n+1 para too (b) pana n=0 (a) 1 = = 1 = 1 = It 1-t</p><p>Como 1-t = - too 1 + ln(1-0)] n= n+1 ln(1-x) = - flx) (b) 2 too = n=0 n=0</p><p>Mas = e n=0 = (x 1 " = (1+x) = g(x) (1+x) g(x) = 1</p><p>3.4A Falso ou Verdadeiro? Justifique. (a) se é convergente, então é absolutamente convergente no intervalo [-1,1]; n=0 n=0 (b) se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo; (c) se uma série de potências converge em um extremo de seu intervalo de convergência e diverge no outro, então a convergência naquele extremo é condicional; (d) se R é raio de convergência de então VR é raio de convergência de n=0 n=0 (e) se lim n = 0, então a série tem raio de convergência 1/L; n=0 (f) se tem raio de convergência R > então R também é O raio de convergência n=0 8 das séries nen e n=1</p><p>to (a) convergente i conver. gente todo 1 [-1, 1]. =P 1 1n = 1 1 =D n=0 too too e convergente n=0 n=0 convergente</p><p>(b) se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente outro extremo; no a-R a a+R ACO Pl a-R, E, = = n=0</p><p>3.4B Em cada caso determine intervalo de convergência da série de potências: x2n+1 (a) (b) (2n (c) 2.4.6 (2n) (d) (e) 32n-1 (f) n=1 (g) (h) (i) n=1 2nx2n (j) (k) (2n)! (m) (n) (o) 3n-2 (p) arctgn (q) (r) n=1 n=1 n=1 n2 (e) cn n k = 2 32n l= him 32n+1 n 32</p><p>a serie converge para todo (a-R, at - / a too 32n = n=1 32n-1 n=1 a serie 2 too 2n = 23n n=1 Cogo intervalo de (-2,4)</p><p>3.4C Começando com a fórmula 1 válida para < 1, represente cada função por uma série de potências de Em cada caso determine O raio e O intervalo de convergência. (h) x2</p><p>3.4E Use a série de dada em (3.8) e calcule O valor da soma n=0 n!2n 1 n 3.4F Use uma expansão em série de potências de para e mostre que n=1 ex - 1 3.4G Encontre uma série de potências para representar a função e, por derivação termo a x termo, prove que 3.4H Encontre uma expansão em série de potências de para x2e-x e, derivando resultado, prove que = 8. n=2 n! 3.4I Derive duas vêzes, termo a termo, uma série de potências que representa a função exp e mostre que n=1 n!2n</p><p>3.4L Usando a representação In (1-t) = t < 1, calcule In (1.2) com 3 casas deci- mais e compare O valor com resultado obtido em uma calculadora. 3.4M Integrando termo a termo de 0 até x a série de potências de In (1-t) do Exercício 3.4L, mostre que = In Onde a representação é válida? 3.4N Integrando de = 0 até x 1 uma série de potências que representa a função mostre 1 que 2 1 1 3.40 Desenvolva as funções f = séries de em potências de de- - termine os respectivos intervalos de convergência e em seguida obtenha séries para representar as funções e dt.</p><p>3.5 Séries de Taylor e de Maclaurin Definição 3.5.1 Se f(x) é uma função derivável até a ordem n em um intervalo contendo a no seu interior, Polinômio de Taylor de ordem n gerado por f em = a é, por definição, polinômio Pn (x;a) dado por: f(n) (a) + (3.34) n! Se considerarmos em (3.34) a=0 obteremos Polinômio de Maclaurin de f : 2! f(n) n! (3.35) Exemplo : como Para todo D de Maclaurin 2 de f 21 n!</p><p>Teorema 3.5.2 (Fórmula de Taylor com Resto) Seja f (x) uma função derivável até a ordem 1 em um intervalo I contendo a no seu interior. Dado qualquer nesse intervalo, existe um número E entre a e tal que: f (3.38) Além disso, se f é infinitamente derivável a sequência {Pn (x;a)} converge para f (x) se, e só se: lim f(n+1) (3.39) O termo f(n+1) que aparece em (3.38) é denominado resto da apro- ximação da função f pelo seu Polinômio de Taylor. f(x) (x-a) + +</p><p>Se denotarmos por a sequência de somas parciais da série e se n=0 n! existirem constantes M er tais que f(n+1) < para todo n e todo E entre a e então e como e consequência do Critério do Confronto 1.3.13 do Exemplo (n+1)! 1.3.18, deduzimos que lim Rn (x,a) 0. Assim, de (3.39) segue que: lim (x) lim Pn (x;a) = lim [f(x) = - lim Rn (x) = f (x) e, portanto, a série converge para f (x) em cada do intervalo de convergência. Assim, f(n) de (3.41) n=0 n! de Exemplo 3.5.3 Se f(x) = temos que f(n) (0) = 1, para todo n e, portanto, a série de Maclaurin de é aquela obtida em (3.8). Ressaltamos que lim = &</p><p>3.5.1 Aproximação Polinomial Ao aproximar uma função f (x) pelo polinômio de Taylor Pn gerado por ela, devemos ter em mente dois aspectos: (i) se a aproximação atende às expectativas e (ii) que grau deve ter polinômio Pn para obtermos a precisão desejada. O grau do polinômio determina O número de termos que devem ser considerados na aproximação e O erro é estimado usando a relação Se a série for alternada a estimativa de Leibniz para séries alternadas pode ser utilizada para medir tamanho do erro. Em qualquer caso podemos usar a Fórmula de Taylor (3.38) para obtermos: onde , f(n+1) (t) < M, para t entre a e a x</p><p>Exemplo 3.5.4 Vamos encontrar os valores positivos de de modo que ao aproximar In (1 por x O erro não ultrapasse 1% do valor de P1(x) ?'(x)= 1 :- Pslo de Taylor com resto - xl 2! algum entre =</p><p>E, portants, x2 n= 2 Para 1% do valor de x, is que x . 2 100 Assim x x 2 100 10,0002</p><p>Exemplo 3.5.5 (aproximação quadrática para Ao considerarmos a aproximação quadrática no intervalo cometemos um erro que pode ser estimado pela Fórmula de Taylor ou pelo Critério de Leibniz, no caso em que < 0. De fato, resto de segunda ordem da aproximação é: R2 x Se -0.1 obtemos da estimativa de Leibniz R2</p><p>de Maclaurin de = seux = = (x) (x) (x) = (x) = (n) = n-1 sene a serie de Maclaurin de seux too 2n+1 i x - + x5 - 2 n=d (2n+1)!</p><p>Como para todo e todo n+1 X para (n+1)! Logo senx = 2n+1 n=0 (2n+1)!</p>