desafio funções

Prévia do material em texto

Plano de trabalho confeccionado para estudantes do 1º ano do Ensino Médio 
Duração: 50 minutos parte teórica e 50 minutos parte prática. 
 
 
Função Quadrática 
Definição 
Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função quadrática ou do 2º grau quando 
associa a cada 𝑥 ∈ ℝ o elemento (𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐) ∈ ℝ, em que a, b e c são números 
reais dados e 𝑎 ≠ 0. 
Exemplo: 
 
 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3 
em que 𝑎 = −1, 𝑏 = 2 𝑒 𝑐 = 3. 
Gráfico dessa função é uma parábola e sua concavidade dependerá do valor de 𝑎. 
Se 𝑎 > 0 sua concavidade está voltada para cima. 
 
𝑓(𝑥) = 𝑥2(𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑔𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎. ) 
Se 𝑎 < 0 sua concavidade está voltada para baixo. 
 
𝑓(𝑥) = −𝑥2(𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑧𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑚 𝑔𝑒𝑜𝑔𝑒𝑏𝑟𝑎. ) 
 
 
 
Ponto de intersecção com o eixo y (ordenadas) será quando 𝑥 = 0, logo temos o ponto 
de intersecção (0,𝑐), vejamos: 
𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 
𝑓(0) = 𝑎(0)2 + 𝑏(0) + 𝑐 
𝑓(0) = 𝑐 
 
 
Raízes da função 
Raízes (ou zeros) da função quadrática 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 são os valores de 𝑥 reais tais 
que 𝑓(𝑥) = 0, logo, as soluções da equação de segundo grau. 
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 𝛥 = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
Se 𝛥 = 0, terá raízes real dupla. 
Se 𝛥 > 0, terá dua raízes distintas. 
Se 𝛥 < 0, não terá nenhuma raiz real. 
 
Vertice 
Representa o ponto mais alto ou baixo de uma parabóla, dependendo de sua 
concavidade, caso esteja voltada para cima temos um ponto mínimo e caso esteja 
voltada para baixo temos um ponto de máximo. 
Há duas maneiros de calcular o valor do vertice: 
𝑋𝑣 =
𝑥′ + 𝑥"
2
 𝑜𝑢 
−𝑏
2𝑎
 
𝑌𝑣 = 
−𝛥
4𝑎
 
 
Construindo o gráfico do exemplo da função apresentada acima: 
 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3 
𝛥 = 𝑏2 − 4. 𝑎. 𝑐 
𝛥 = 22 − 4. (−1). 3 
𝛥 = 16 
 
−𝑏±√𝛥
2𝑎
 
𝑥′ =
−(2)+√16
2(−1)
= 
2
−2
= −1 𝑋𝑣 =
𝑥′+𝑥”
2
 = 
−1+3
2
= 
2
2
= 1 
 
𝑥" =
−(2)−√16
2(−1)
 = 
−6
−2
= 3 𝑌𝑣 = 
−𝛥
4𝑎
= 
−16
4(−1)
= 4 
 
 
Exercícios 
 
1- Dada a função 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 2𝑥 + 3 podemos afirmar que: 
a) a parábola está voltada para cima, tem um ponto de máximo e intersecta o eixo y no ponto 
3. 
b) a parábola está voltada para baixo, tem um ponto de máximo e intersecta o eixo y no 
ponto 3. 
c) a parábola está voltada para cima, tem um ponto de mínimo e intersecta o eixo y no ponto 
3. 
d) a parábola está voltada para baixo, tem um ponto de mínimo e intersecta o eixo y no ponto 
2. 
 a<0 e c=3, logo a parábola está voltada para baixo e tem um ponto de máximo, alternativa correta b. 
 
2- Em cada um dos itens abaixo, determine se o ponto do vértice é de máximo ou mínimo. 
a) 𝑓(𝑥) = 3𝑥2 + 𝑥 − 2 a>0, ponto de mínimo. 
b) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 𝑥 a<0, ponto de máximo 
c) 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1 a<0, ponto de máximo 
d) 𝑓(𝑥) = 𝑥2 a>0, ponto de mínimo. 
 
 
 
 
 
 
 
3- Calcule as coordenadas do vértice de cada função do item anterior. 
 
 
 
4- Um objeto é lançado verticalmente para cima a partir do solo. Sua altura em relação ao 
tempo é dada pela função ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 20𝑡 + 10, onde (ℎ(𝑡)) é a altura em metros e 
(𝑡) é o tempo em segundos. Qual é a altura máxima atingida pelo objeto? Em que tempo 
ele atinge essa altura? 
 
 
5- Um foguete é lançado com velocidade inicial de 50m/s. Sua altura em relação ao tempo 
é dada por ℎ(𝑡) = −5𝑡2 + 50𝑡. Qual a altura máxima atingida antes de voltar ao solo? 
 
6- Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades 
variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão 𝐿(𝑥) = −𝑥2 + 12𝑥 – 2 0 , 
onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer 
um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo. 
 
Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de 
bonés igual a 
a) 4 b) 6 c) 9 d)10 e) 14 
 
 
 
 
 
7- Para evitar uma epidemia, a Secretaria de Saúde de uma cidade dedetizou todos os 
bairros, de modo a evitar a proliferação do mosquito da dengue. Sabe-se que o 
número f de infectados é dado pela função 𝑓(𝑡) = −2𝑡2 + 120𝑡 (em que t é expresso 
em dia e t = 0 é o dia anterior à primeira infecção) e que tal expressão é válida para os 
60 primeiros dias da epidemia. A Secretaria de Saúde decidiu que uma segunda 
dedetização deveria ser feita no dia em que o número de infectados chegasse à marca 
de 1600 pessoas, e uma segunda dedetização precisou acontecer. 
A segunda dedetização ocorreu em qual dia? 
 
a) 10º dia b) 20º dia c) 30º dia d)40º dia e) 50º dia 
 
8- Uma bola caiu do alto de um edifício e cai em direção ao solo. Sua altura h em relação 
ao solo, t segundos após o lançamento, é dada pela expressão ℎ(𝑡) = – 25𝑡² + 625. 
Após quantos segundos do lançamento a bola atingirá o solo? 
 
9- A trajetória de um projétil foi representada no plano cartesiano por 𝑓(𝑥) = −
𝑥2
64
+
𝑥
16
 com uma unidade representando um quilômetro. Determine a altura máxima que o 
projétil atingiu. 
 
 
 
 
10- O recorde olímpico no lançamento de dardo pertence ao norueguês Andreas 
Thorkildsen, nascido em 1982, que nas Olimpíadas de Pequim em 2008, atingiu a marca 
de 90,57m de distância. Ao ser lançado por um atleta, o dardo descreve uma trajetória 
aproximadamente parabólica, ou seja, uma trajetória que pode ser descrita por uma 
parábola. 
Sabendo que a trajetória do lançamento do dardo pode ser descrita pela parábola que 
representa a função 𝑓(𝑥) = −
1
88
𝑥2 + 𝑥, sendo 𝑥 a medida em metros. 
a) Calcular a distância d obtida nesse lançamento? 
b) Qual altura máxima atingida pelo dardo? 
 
Link da resolução do exercício: 
https://youtu.be/QmcYUeV7Ohk?si=U1xusRXMktUcB0HT 
 
 
 
 
Referências: 
 
Fundamentos de matemática elementar, 1: conjuntos, funções / Gelson Iezzi, Carlos 
Murakami. — 9. ed. — São Paulo : Atual, 2013 
Portal da OBMEP - Função Quadrática. Disponível em: 
<https://portaldaobmep.impa.br/index.php/modulo/ver?modulo=61>. Acesso em: 7 jun. 
2024. 
Concavidade de uma parábola disponível em 
http://www.brasilescola.com/matematica/concavidade-uma-parabola.htm acessado em 
06/06/2024. 
Unicanto- Lista de Exercícios Função de 2º Grau disponível em 
http://www.supletivounicanto.com.br/docs/matematica/funcao_2_grau.pdf acessado 
em 07/06/2024. 
 
https://youtu.be/QmcYUeV7Ohk?si=U1xusRXMktUcB0HT
http://www.brasilescola.com/matematica/concavidade-uma-parabola.htm%20acessado%20em%2006/06/2024
http://www.brasilescola.com/matematica/concavidade-uma-parabola.htm%20acessado%20em%2006/06/2024