Apostila de Função do 2 Grau (9 páginas, 56 questões, com gabarito)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR 
FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU 
 
*** RECURSO PEDAGÓGICO DE DISTRIBUIÇÃO GRATUITA *** 
 
SUMÁRIO 
 
1. DEFINIÇÃO .......................................................... 1 
2. O GRÁFICO .......................................................... 1 
2.1 Concavidade ...................................................... 1 
2.2 Raiz ou zero da função ........................................ 2 
2.3 Vértice da parábola (xv, yv).................................... 2 
2.4 Construindo o gráfico .......................................... 3 
2.5 Comportamentos da parábola em relação aos 
coeficientes a e b ...................................................... 4 
3. VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO ....................... 5 
4. IMAGEM DA PARÁBOLA (Imf) .................................. 7 
Recursos Pedagógicos Suplementares ........................ 9 
Referências ............................................................. 9 
 
 
 
 
McDonald's e as parábolas 
1. DEFINIÇÃO 
Chama-se função polinomial do 2º grau 
a qualquer função f: ℝ → ℝ dada por uma lei da 
forma f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são núme-
ros reais fixos (coeficientes) e a ≠ 0; x e f(x) são 
números reais variáveis ou chamados simples-
mente de variáveis. 
 
Exemplos: 
 
a) f(x) = 3x2 ‒ 4x + 1, onde a = 3, b = ‒ 4 e c = 1; 
 
b) f(x) = x2 ‒ 1, onde a = 1, b = 0 e c = ‒ 1; 
 
c) f(x) = 2x2 + 3x + 5, onde a = 2, b = 3 e c = 5; 
 
d) f(x) = ‒ x2 + 8x, onde a = ‒ 1, b = 8 e c = 0; 
 
e) f(x) = ‒ 4x2, onde a = ‒ 4, b = 0 e c =0. 
 
Observações: 
• f: ℝ → ℝ significa que a função é definida do 
domínio números reais ao contra domínio nú-
meros reais; 
• Alguns editais de processos seletivos e concur-
sos públicos e até alguns livros didáticos, no 
Brasil, chamam função polinomial do 2º grau 
de função quadrática. 
 
2. O GRÁFICO 
O gráfico de uma função polinomial do 2º 
grau é uma curva chamada parábola. 
 
Exemplo: Construir o gráfico da função y = 𝐱𝟐 + x: 
 
Resolução: Primeiro atribuímos alguns valores a va-
riável x e calculamos as respectivas imagens f(x), 
formando os pares ordenados (x, f(x)), que em 
seguida são representados no plano cartesiano, 
ligamos os pontos assim obtidos. 
 
 
x f(x) 
‒ 3 6 
‒ 2 2 
‒ 1 0 
0 0 
1 2 
2 6 
 
Para evitar a determinação de um número 
muito grande de pontos e obter uma boa repre-
sentação gráfica, vamos destacar três pontos im-
portantes características do gráfico da função do 
2º grau: 
• Concavidade; 
• Zero da função ou raiz da função; 
• Vértice. 
 
2.1 Concavidade 
Ao construir o gráfico de uma função poli-
nomial do 2º grau, y = a𝐱𝟐 + bx + c, a ≠ 0, se 
• a > 0 a parábola tem a concavidade voltada 
para cima; 
• a < 0 a parábola tem a concavidade voltada 
para baixo. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
1) Observando as seguintes funções polinomiais 
do 2º grau, diga se a parábola tem concavidade 
voltada para cima ou para baixo. Justifique: 
 
a) f(x) = x2 ‒ 5x + 6 d) f(x) = 2x2 ‒ 4x 
 
b) f(x) = ‒ x2 – x + 6 e) y = 1 ‒ 4x2 
 
c) y = 3x2 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
2)(Enem-2014) Um professor, depois de corrigir 
as provas de sua turma, percebeu que várias 
questões estavam muito difíceis. Para compensar, 
decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau 
menor que 3, para alterar as notas x da prova pa-
ra notas y = f(x), da seguinte maneira: 
• A nota zero permanece zero. 
• A nota 10 permanece 10. 
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• A nota 5 passa a ser 6. 
A expressão da função y = f(x) a ser utiliza-
da pelo professor é 
 
a) y = −
1
25
 x2 + 
7
5
 x c) y = 
1
24
 x2 + 
7
12
 x e) y = x 
 
b) y = −
1
10
 x2 + 2x d) y = 
4
5
 x2 + 2 R: (a) 
 
3)(UEPA-2008) Um incêndio numa Reserva Flo-
restal iniciou no momento em que um fazendeiro 
vizinho à Reserva ateou fogo em seu pasto e o 
mesmo se alastrou até a reserva. Os prejuízos 
para o meio ambiente foram alarmantes, pois a 
área destruída foi crescendo diariamente até que, 
no 10º dia, tempo máximo de duração do incêndio, 
foi registrado um total de 16 000 hectares de área 
dizimada. A figura abaixo é um arco de parábola 
que representa o crescimento da área dizimada 
nessa reserva em função do número de dias que 
durou o incêndio. Nestas condições, a expressão 
que representa a área dizimada A em função do 
tempo T, em dias, é: 
 
 
(a) A = ‒ 16.000T2 + 10T (d) A = 160T2 ‒ 3.200T 
 
(b) A = 16.000T2 ‒ 3.200T (e) A = 16.000T2 ‒ 10T 
 
(c) A = ‒ 160T2 + 3.200T R: (c) 
 
4)(UEPA-2007) Partindo do princípio de que a 
altura H da barragem de uma usina hidrelétrica 
pode ser função da velocidade v da queda d’água; 
da gravidade g local e representada pela expres-
são H(v) = 
v2
2g
, o gráfico que melhor se assemelha a 
esta função é: 
 
(a) (c) (e) 
 
 
 
 
(b) (d) 
 R: (a) 
 
2.2 Raiz ou zero da função 
Chama-se raiz ou zero da função polinomial 
do 2º grau f(x) = a𝐱𝟐 + bx + c, a ≠ 0, o número real 
x tais que f(x) = 0. 
 
 
Exemplo: Determinar as raízes da função 
f(x) = x2 ‒ 6x + 5. 
 ⃰ 
Resolução: 
 
f(x) = 0 ⟹ 
x2 ‒ 6x + 5 = 0 (equação do 2º grau) 
 = 16 
x’ = 1 ou x” = 5 
 
Interpretação geométrica das raízes: 
 
 
 
As raízes são abscissas dos pontos em que 
parábola intercepta o eixo x. 
 
Observação: A quantidade de raízes reais de uma 
função do 2º grau depende do valor obtido para o 
 = 𝐛𝟐 ‒ 4ac, chamado discriminante, a saber: 
• Quando  é positivo, há duas raízes reais e 
distintas; 
• Quando  é igual à zero, há somente uma ra-
iz real (ou duas raízes reais e iguais); 
• Quando  é negativo, não há raiz real. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
5) Determine os zeros ou raízes das funções: 
a) f(x) = x2 ‒ 4x ‒ 5 R: S = {‒ 1, 5} 
 
b) f(x) = x2 ‒ 4x + 4 R: S = {2} 
 
c) f(x) = x2 ‒ 2x + 6 R: S =  
 
6) Seja a função f(x) = x2 ‒ 2x + 3k. Sabendo que 
essa função possui duas raízes reais e iguais, de-
termine o valor real de k. R: S = 1/3 
 
7) Os valores de m para os quais as raízes da 
função y = ‒ x2 ‒ mx ‒ 4 sejam reais e diferentes 
pertencem ao intervalo: 
 
(a) (–2,2) (c) (4,∞) (e) ℝ ‒ [– 4,4] 
 
(b) [–4,4] (d) [–2,2] R: (e) 
 
2.3 Vértice da parábola (xv, yv) 
• Quando a > 0, a parábola tem concavidade vol-
tada para cima e um ponto mínimo V; 
• Quando a < 0, a parábola tem concavidade vol-
tada para baixo e um ponto máximo V; 
• O ponto V é chamado vértice da parábola. 
 
Observe os gráficos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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a > 0 a < 0 
 
As fórmulas para calcular o vértice da pa-
rábola V(xv, yv) são: 
 
 
𝐱𝐯 = –
𝐛
𝟐𝐚
 
 
𝐲𝐯 = –

𝟒𝐚
 
 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
8) Determine o ponto V(xv, yv), vértice da parábo-
la que representa o gráfico das seguintes funções: 
a) y = x2 ‒ 6x + 5 R: V(3, ‒ 4) d) y = x2 ‒ 4 R: V(0, -4) 
 
b) y = 3x2 ‒ 4x R: V(2/3, ‒ 4/3) e) y = ‒ 6x2 R: V(0, 0) 
 
c) y = ‒ x2 + x ‒ 3 R: V(1/2, ‒ 11/4) 
 
2.4 Construindo o gráfico 
 
 
 
Agora que já conhecemos as principais ca-
racterísticas da parábola, podemos esboçar com 
mais facilidade o gráfico da função polinomial do 
2º grau. 
 
Observações: 
• A reta que passa por V e é paralela ao eixo dos 
y é o eixo de simetria da parábola; 
• Para x = 0, temos y = a ∙ 02 + b ∙ 0 + c = c ⟹ 
y = c, gerando, portanto o par ordenado (0,c), 
que, no plano cartesiano, é o ponto em que a 
parábola corta o eixo y. Observe geometrica-
mente na figura abaixo: 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
9) Construa o gráfico das seguintes funções do 2º 
grau: 
a) y = x2 ‒ 5x + 6 d) f(x) = x2 ‒ 7x + 10 
 
b) y = x2 ‒ 5x + 4 e) f(x) = ‒ x2 + 7x ‒ 10 
 
c) f(x) = ‒ x2 + 5x ‒ 4 f) y = x2 ‒ 7x + 12 
 
10) Trace, no plano cartesiano, o gráfico das se-
guintes funções do 2º grau: 
a) y =x2 ‒ 4x + 3 d) y = ‒ 5x2 + 2x ‒ 1 
 
b) y = ‒ x2 + 6x ‒ 9 e) f(x) = x2 ‒ 4x 
 
c) f(x) = x2 ‒ 4 f) y = x2 ‒ 6x + 5 
 
11) Esboçar o gráfico da função y = 2x2 ‒ 3x + 1, 
determinando: 
a) as raízes; R: S = {1/2, 1} 
 
b) as coordenadas do vértice; R: V(3/4, ‒ 1/8) 
 
c) a classificação de yv; (valor mínimo ou valor 
máximo da função) R: Valor mínimo 
 
d) intersecção da curva com o eixo y. R: 1 
 
12) Dada a função f(x) = ‒ x2 + 4x ‒ 2: 
a) Determine as raízes de f, se houver; R: S = {2 ‒ √2, 2 + 
√2} 
b) Calcule as coordenadas do vértice de seu gráfi-
co; R: V(2, 2) 
c) Esboce seu gráfico. 
 
13) Determine os intervalos nos quais a função 
f(x) = x2 ‒ 6x + 5 é: 
a) crescente; R: (3, +∞) 
 
b) decrescente. R: (‒ ∞, 3) 
 
EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 
14) Uma pedra é lançada do solo verticalmente 
para cima. Ao fim de t segundos (s), atinge a altura 
h, em metros(m), dada por: h = 40t ‒ 5t2. 
a) Calcule a posição da pedra no instante 2s. R: 60 m 
 
b) Calcule o instante em que a pedra passa pela 
posição 75 m, durante a subida. R: 3s e 5s 
 
c) Determine a altura máxima que a pedra atinge. 
R: 80 m 
 
d) Construa o gráfico da função h para 0 ≤ t ≤ 8 s. 
 
15) Um corpo lançado do solo verticalmente para 
cima tem posição em função do tempo dada pela 
função h(t) = 28t ‒ 4t2, onde a altura h é dada em 
metros (m) e o tempo t é dado em segundos (s). 
Determine: 
a) a altura em que o corpo se encontra em relação 
ao solo no instante t = 3 segundos; R: 48 m 
b) os instantes em que o corpo está a uma altura 
de 48 metros do solo. R: 3 s ou 4 s 
c) Determine a altura máxima que o corpo atinge. R: 
49 m 
d) Construa o gráfico da função h para 0 ≤ t ≤ 7 s. 
 
16) O dono de uma marcenaria, que fabrica certo 
tipo de armário, sabe que o número de armários N 
que ele pode fabricar por mês depende do número 
x de funcionários trabalhando na marcenaria, e 
essa dependência é dada pela função 
N(x) = x2 + 2x. Qual é o número de empregados 
necessários para fabricar 168 armários em um 
mês? R: 12 empregados 
 
 
 
 
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EXERCÍCIO DE FIXAÇÃO 
17) Dado o gráfico da função 
f(x) = ax2 + bx + c, encontre os 
valores de a, b e c. R: x2 ‒ 4x + 3 = 0 
 
2.5 Comportamentos da parábola em re-
lação aos coeficientes a e b 
 De um modo geral, a parábola tem com-
portamento em relação ao eixo do y e sua conca-
vidade em relação aos coeficientes a e b da função 
do 2º grau, f(x) = a𝐱𝟐 + bx + c, respectivamente, 
conforme o esquema abaixo: 
 
a > 0 e b < 0 a > 0 e b > 0 
 
 
 
 
a < 0 e b > 0 a < 0 e b < 0 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
18) O trinômio y = ax2 + bx + c está representado 
na figura. A afirmativa certa é: 
 y 
x 
0 
 
 
(a) a > 0, b > 0, c > 0 (d) a < 0, b > 0, c > 0 
 
(b) a < 0, b < 0, c < 0 (e) a < 0, b > 0, c > 0 
 
(c) a < 0, b > 0, c < 0 R: (b) 
 
19) Considere a função f, de ℝ em ℝ, dada por 
f(x) = 4x ‒ x2. Representando-a graficamente no 
plano cartesiano, obteremos: 
 
(a) (d) 
 
–4 0 x 
y 
 
 
–2 
0 x 
y 
 
 
 
 
(b) (e) 
–4 0 x 
y 
 
 
–2 
0 x 
y 
2 
 
 
(c) 
 
0 4 x 
y 
 R: (c) 
 
20) O gráfico da função do 
2º grau y = ax2 + bx + c é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Pode-se afirmar que: 
 
(a) a > 0, b > 0, c = 0 (d) a > 0, b = 0, c < 0 
 
(b) a > 0, b > 0, c > 0 (e) a > 0, b > 0, c < 0 
 
(c) a < 0, b = 0, c > 0 R: (d) 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
21)(Enem-2016) Um túnel deve ser lacrado com 
uma tampa de concreto. A secção transversal do 
túnel e a tampa de concreto têm contornos de um 
arco de parábola e as mesmas dimensões. Para 
determinar o custo da obra, um engenheiro deve 
calcular a área sob o arco parabólico em questão. 
Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo 
de simetria da parábola como eixo vertical, obteve 
a seguinte equação para a parábola: 
y = 9 ‒ x2, sendo x e y medidos em metros. 
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é 
igual a 
2
3
 da área do retângulo cujas dimensões 
são, respectivamente, iguais à base e à altura do 
túnel. Qual é a da parte frontal da tampa de con-
creto, em metro quadrado? 
 
(a) 18 (b) 20 (c) 36 (d) 45 (e) 54 
R: (c)
 
22)(UFPA-97) O gráfico da função y = ax2 + bx + 
c está esboçado pela parábola no painel. Sendo  
o discriminante, podemos afirmar que: 
 
 
 
(a) a < 0,  > 0 e c > 0 (d) a < 0,  > 0 e c < 0 
 
2 
 
 
1 3 0
 
 
x 
y 
3 
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(b) a > 0,  > 0 e c < 0 (e) a < 0,  > 0 e c = 0 
 
(c) a < 0,  = 0 e c < 0 R: (a) 
 
23)(UFPA-2010) O faturamento de uma empre-
sa na venda de produtos pode ser modelado por 
uma função quadrática, do tipo F(p) = ap2 + bp + c, 
sendo p o preço de venda praticado. A figura abai-
xo apresenta os faturamentos obtidos em função 
do preço e o gráfico da função quadrática que 
aproxima esse faturamento. 
 
 
 
Sobre os coeficientes da função quadrática, 
é correto afirmar que 
 
(a) a > 0, b < 0 e c < 0 (d) a < 0, b < 0 e c = 0 
 
(b) a < 0, b > 0 e c < 0 (e) a < 0, b > 0 e c = 0 
 
(c) a > 0, b < 0 e c > 0 R: (e) 
 
24)(Cesgranrio-RJ) O 
gráfico da função quadrática 
f(x) = x2 + bx + c é o da figu-
ra. Então, podemos concluir 
que: 
 
(a) b = ‒ 1 e c = 0 (d) b = 4 e c = 0 
 (b) b = ‒ 2 e c = 0 (e) b = 1 e c = 1 
 (c) b = 0 e c = – 1 R: (b) 
 
25)(UEPA-2003) Com os recursos do computa-
dor, as arbitragens nos jogos de futebol ficaram 
mais transparentes, pois nas transmissões pela 
TV, se tornou possível identificar se um lance foi 
falta; impedimento; se a bola saiu; qual o ângulo, 
trajetória e a velocidade do chute, etc. Uma emis-
sora, usando essa tecnologia, detectou que o tiro 
de meta cobrado por um zagueiro é tal que, a al-
tura h da bola varia com o tempo t (em segun-
dos), de acordo com a equação h(t) = ‒ 2t2 + 16t. 
Nessas condições, o tempo decorrido entre a co-
brança do tiro de meta e o momento em que a 
bola atinge o solo é: 
 
(a) 16 segundos (d) 8 segundos 
 (b) 12 segundos (e) 4 segundos 
 (c) 10 segundos R: (d) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3. VALOR MÍNIMO OU VALOR MÁXIMO 
 
 
Weirstrass (1815—1897) provou que toda função contínua com domínio em um 
intervalo fechado possui máximo e mínimo. 
 
Seja a função polinomial do 2º grau, 
f(x) = a𝐱𝟐 + bx + c, a ≠ 0, se 
• a > 0, yv é o valor mínimo da função; 
• a < 0, yv é o valor máximo da função. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
26) Determine se as funções têm valor máximo 
ou mínimo, em seguida calcule esse valor. 
a) f(x) = 3x2 ‒ 6x + 2 R: Valor mínimo de ‒ 1 
 
b) f(x) = ‒ 2x2 + 4x ‒ 1 R: Valor máximo de 1 
 
c) f(x) = x2 ‒ 1 R: Valor mínimo de ‒ 1 
 
d) f(x) = 4 ‒ x2 R: Valor máximo de 4 
 
27) A função f(x) = x2 ‒ 2x + 1 tem mínimo no 
ponto em que x vale: 
 
(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 
R: (b) 
 
EXERCÍCIOS CONTEXTUALIZADOS 
28) O custo para se produzir x unidades de um 
produto é dado por C = 2x2 – 100x + 5000. Deter-
mine o valor do custo mínimo. R: 3 750 
 
29) Uma bola é lançada ao ar. Suponha que sua 
altura h, em metros (m), t segundos (s) após o 
lançamento, seja h = ‒ t2 + 4t + 6. Determine: 
 
 
 
 
a) o instante em que a bola atinge a sua altura 
máxima; R: t = 2 s 
b) a altura máxima atingida pela bola; R: 10 m 
c) quantos segundos depois do lançamento ela 
toca o solo. R: t = 2 + √10 s 
 
30) Sabe-se que o custo C para produzir x unida-
des de certo produto é dado por C = x2 ‒ 80x + 
3000. Nessas condições, calcule: 
a) a quantidade de unidades produzidas para que 
o custo seja mínimo; R: 40 unidades 
b) o valor mínimo do custo. R: 1 400 
 
31) Sabe-se que o lucro total de uma empresa é 
dado pela fórmula L = R ‒ C, em que L é o lucro 
total, R é a receita total e C é o custo total da pro-
dução. Numa empresa que produziu x unidades, 
verificou-se que R(x) =6000x ‒ x2 e 
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C(x) = x2 ‒ 2000x. Nessas condições, qual deve ser 
a produção x para que o lucro da empresa seja 
máximo? R: 2 000 unidades 
 
32) Um engenheiro pretende construir uma casa 
de formato retangular com 100 m de perímetro e 
de maior área possível. O valor dessa área será 
de: 
 
(a) 50 m2 (c) 100 m2 (e) 625 m2 
 
(b) 75 m2 (d) 125 m2 R: (e) 
 
33) Um fazendeiro quer construir um curral re-
tangular. Para cerca-
lo, dispõe de 400 m de 
arame e de uma pare-
de já existente (figura 
ao lado). Sabendo 
que a cerca de arame 
terá 4 voltas, determi-
ne as dimensões desse 
curral para que sua área seja máxima. R: 25 metros por 50 
metros. 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
34)(Enem-2017) Viveiro de lagostas são cons-
truídos, por cooperativas locais de pescadores, em 
formatos de prismas retangulares, fixados ao solo 
e com telas flexíveis de mesma altura, capazes de 
suportar a corrosão marinha. Para cada viveiro a 
ser construído, a cooperativa utiliza integralmente 
100 metros lineares dessa tela, que é usada ape-
nas pelas laterais. 
 
 
 
Quais devem ser os valores de X e de Y, 
em metros, para que a área da base do viveiro 
seja máxima? 
 
(a) 1 e 49 (c) 10 e 10 (e) 50 e 50 
 (b) 1 e 99 (d) 25 e 25 R: (d) 
 
35)(Enem-2017) A Igreja de São Francisco de 
Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar 
Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em 
Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A 
seta da Figura 1 ilustra uma das abóbadas na en-
trada principal da capela. A Figura 2 fornece uma 
vista frontal dessa abobada, com medidas hipoté-
ticas para simplificar os cálculos. 
 
 
 
Qual a medida da altura H, em metros, in-
dicada na Figura 2? 
 
(a) 
16
3
 (b) 
31
5
 (c) 
25
4
 (d) 
25
3
 (e) 
75
2
 
R: (d) 
36)(Enem-2015) Um estudante está pesquisan-
do o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. 
Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para 
armazenar as bactérias. A temperatura no interior 
dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela ex-
pressão T(h) = ‒ h2 + 22h ‒ 85, em que h represen-
ta as horas do dia. Sabe-se que o número de bac-
térias é o maior possível quando a estufa atinge a 
sua temperatura máxima e, nesse momento, ele 
deve retirá-las da estufa. A tabela associa interva-
los de temperatura, em graus Celsius, com as 
classificações: muita baixa, baixa, média, alta e 
muito alta. 
 
 
 
Quando o estudante obtém o maior número 
possível de bactérias, a temperatura no interior da 
estufa está classificada como 
 
(a) muito baixa. (c) média. (e) muito alta. 
 (b) baixa. (d) alta. 
 
37)(UEPA-2006) Uma fábrica de beneficiamento 
de peixe possui um custo de produção de x quilos 
de peixe, representado por C(x) = x2 + 10x + 900. 
O valor mínimo do custo, em reais, é: 
 
(a) 700 (b) 720 (c) 750 (d) 800 (e) 875 
R: (e) 
38)(UEPA-2005) Ao chutar uma lata, um cien-
tista observou que sua trajetória seguiu a lei ma-
temática h(t) = 6 + 4t ‒ t², na qual h é a altura, em 
metros, atingida pela lata em função do tempo t, 
em segundos, após o chute. Com base nesta situ-
ação e analisando as afirmativas a seguir: 
I. O gráfico que traduz a função acima descrita é 
uma parábola com concavidade voltada para cima. 
II. A altura máxima atingida por essa lata é de 10 
m. 
III. Essa função possui duas raízes reais. 
 
É correto afirmar que: 
 
(a) todas as afirmativas são verdadeiras 
 
(b) todas as afirmativas são falsas 
 
(c) somente a afirmativa I é falsa 
 
(d) somente a afirmativa II é verdadeira 
 
(e) somente a afirmativa III é verdadeira R: (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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39)(UEPA-2006) Um agricultor observou que a 
expressão P(x) = 25 + 16x ‒ 2x2 descreve a produ-
ção (P), em toneladas, de cacau que colhe em 
suas terras em função da quantidade (x), em to-
neladas, de fertilizante empregado. A produção de 
cacau será máxima quando a quantidade de fertili-
zante x empregada for igual a: 
 
(a) 1 tonelada (d) 16 toneladas 
 
(b) 4 toneladas (e) 25 toneladas 
 
(c) 9 toneladas R: (b) 
 
40)(UEPA-2001) Num jogo de futebol, obser-
vou-se que, num chute a gol, a trajetória da bola 
descreveu uma parábola. Considerando que a altu-
ra (h), em metros, alcançado pela bola num tempo 
(t), em segundos, seja dada por h = ‒ t2 + 4t, qual 
a altura máxima alcançada pela bola e o tempo 
gasto para isto? 
 
(a) 2 metros e 2 segundos 
 
(b) 3 metros e 4 segundos 
 
(c) 4 metros e 2 segundos 
 
(d) 8 metros e 2 segundos 
 
(e) 8 metros e 4 segundos R: (c) 
 
41)(UEL) A função real f, de variável real dada 
por f(x) = ‒ x2 + 12x + 20, tem um valor: 
 
(a) mínimo, igual a ‒ 16, para x = 6 
(b) mínimo, igual a 16, para x = ‒ 12 
(c) máximo, igual a 56, para x = 6 
(d) máximo, igual a 72, para x = 12 
(e) máximo, igual a 240, para x = 20 R: (c) 
 
42)(UEPA-2003) No Círio, a queima de fogos é 
realizada pelo Sindicato dos Estivadores é uma das 
emocionantes homenagens prestadas a Nossa Se-
nhora de Nazaré. Imaginemos que um destes fo-
gos, lançado do solo, apresentou problemas e des-
creveu uma trajetória tal que a sua altura h, em 
metros, variou de acordo com o tempo t, em se-
gundos, conforme a lei h(t) = 10t ‒ 5t2. Qual a 
alternativa que indica a altura máxima atingida por 
ele? 
 
(a) 2 m (b) 5 m (c) 10 m (d) 15 m (e) 50 m 
 R: (b) 
43)(Vunest-SP) Suponha que um grilo, ao saltar 
do solo, tenha sua posição no espaço descrita em 
função do tempo (em segundos) pela expressão 
h(t) = 3t ‒ 3t2, onde h é altura atingida em metros. 
a) Em que instante t o grilo retorna ao solo? R: 1s 
b) Qual a altura máxima em metros atingida pelo 
grilo? R: 3/4 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4. IMAGEM DA PARÁBOLA (Imf) 
O conjunto imagem Imf da função 
f(x) = a𝐱𝟐 + bx + c, a ≠ 0, é o conjunto dos valores 
reais que f(x) assume. Há duas possibilidades: 
1ª) Quando a > 0, 
 
 
 
Imf = {f(x) ∈ ℝ/f(x) ≥ yv} 
 
2ª) Quando a < 0, 
 
 
 
Imf = {f(x) ∈ ℝ/f(x) ≤ yv} 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
44) Determine o conjunto imagem das seguintes 
funções do 2º grau: 
a) f(x) = x2 ‒ 10x + 9 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ ‒ 16} 
 
b) f(x) = 3x2 ‒ 2x ‒ 1 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ ‒ 4/3} 
 
c) f(x) = x2 ‒ 5x + 4 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ ‒ 9/4} 
 
d) f(x) = ‒ 2x2 + 1 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ 1} 
 
e) f(x) = x2 ‒ 6x R: Im = {x ∈ ℝ / x ≥ ‒ 9} 
 
f) f(x) = ‒ 3x2 + 2x ‒ 1 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≤ ‒ 2/3} 
 
g) f(x) = x2 – x ‒ 1 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≥ ‒ 5/4} 
 
h) f(x) = ‒ x2 + 4 R: Im = {x ∈ ℝ/ x ≤ 4} 
 
i) f(x) = ‒ x2 + 6x ‒ 10 R: Im = {x ∈ R/x ≤ ‒ 1} 
 
MAIS EXERCÍCIOS DE VERTIBULARES 
45)(UNIRIO) A função linear f(x) = ax + b é re-
presentada por uma reta que contém o ponto 
(2, ‒ 1) e que passa pelo vértice da parábola 
y = 4x ‒ 2x2. A função é: 
 
(a) f(x) = ‒ 3x + 5 (d) f(x) = 3x ‒ 7 
 
(b) f(x) = 2x – 5 (e) f(x) = x ‒ 3 
 
(c) f(x) = 
x
3
−
7
3
 R: (a) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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46)(UFRS) Um menino chutou uma bola. Esta 
atingiu altura máxima de 12 metros e voltou ao 
solo 8 segundos após o chute. Sabendo que uma 
função quadrática expressa a altura y da bola em 
função do tempo t de percurso, esta função é: 
 
(a) y = ‒ t2 + 8t (d) y = −
1
4
t2 + 2t 
 
(b) y = −
3
8
t2 + 3t (e) y = −
2
3
t2 + 
16
3
t 
 
(c) y = −
3
4
t2 + 6t R: (c) 
 
47)(UFOP-MG) Em relação ao gráfico da função 
f(x) = ‒ x2 + 4x ‒ 3, pode-se afirmar: 
(a) é uma parábola de concavidade voltada para 
cima. 
(b) seu vértice é o ponto V(2,1). 
(c) intersecta o eixo das abscissas em P(‒ 3,0) e 
Q(3,0). 
(d) o seu eixo de simetria é o eixo das ordenadas. 
(e) nda.R: (b) 
 
48)(UFPA-2008) O vértice da parábola 
y = ax2 + bx + c é o ponto (‒ 2,3). Sabendo que 5 é 
a ordenada onde a curva corta o eixo vertical, po-
demos afirmar que 
 
(a) a > 1, b < 1 e c < 4 (d) a < 1, b > 1 e c > 4 
 (b) a > 2, b > 3 e c > 4 (e) a < 1, b < 1 e c < 4 
 (c) a < 1, b < 1 e c > 4 R: (d) 
 
49)(UFPA-2006) Sobre um rio foi construída 
uma ponte, de 10 metros de largura, sobre vigas 
apoiadas em um arco de parábola, como mostra a 
figura abaixo. Se a distância da lâmina d’água até 
o ponto mais alto do arco da parábola é constante 
e igual a 5 metros, então o comprimento da viga 
que dista 8 metros da extremidade da ponte é, em 
metros, igual a 
 
 
 
(a) 0,2 (b) 1,6 (c) 1,8 (d) 3,2 (e) 3,4 
R: (c) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
50)(UFPA-2008) Um fornecedor A oferece a um 
supermercado, um certo produto com os seguintes 
custos: R$ 210,00 de frete mais R$ 2,90 por cada 
kilograma. Um fornecedor B oferece o mesmo 
produto, cobrando R$ 200,00 de frete mais R$ 3,00 
por cada kilograma. O gráfico que representa os 
custos do supermercado com os fornecedores, em 
função da quantidade de kilogramas é: 
 
(a) (d) 
 
 
(b) (e) 
 
 (c) 
 R: (a) 
 
51)(UEPA-2005) Com vistas à reforma agrária, 
uma fazenda foi desapropriada pelo Governo Fe-
deral e dividida em 100 lotes, todos de forma qua-
drada e de mesma área, para distribuição entre os 
“sem-terra”. A lei matemática que expressa a área 
z do terreno em função da medida x do lado de 
cada lote é: 
Dado: área do quadrado = (medida do lado)² 
 
(a) z = 100x (c) z = x² (e) z = x² + 100 
 
(b) z = 100x² (d) z = 100 R: (b) 
 
52)(UEPA-2003) Após uma cobrança de falta, 
uma bola de futebol descreveu uma trajetória pa-
rabólica. Observou-se que a altura h, em metros, 
da bola variava de acordo com o tempo t, em se-
gundos, após o chute. Considerando que a bola foi 
chutada no instante t = 0 segundo e que a altura 
máxima atingida por ela foi de 4 metros em 2 se-
gundos do chute, qual a lei matemática que define 
esta função? 
 
(a) h(t) = ‒ t2 + 4t (d) h(t) = ‒ 2t2 + 4t 
 (b) h(t) = ‒ t2 ‒ 4t (e) h(t) = ‒ 2t2 ‒ 4t 
 
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(c) h(t) = ‒ 4t2 + 2t R: (a) 
 
53)(UFPA-2007) Um cidadão, ao falecer, deixou 
uma herança de R$ 200 000,00 para ser distribuí-
da, de maneira equitativa, entre os seus x filhos. 
No entanto, três desses filhos renunciaram às suas 
respectivas partes nessa herança, fazendo com 
que os demais x ‒ 3 filhos, além do que receberiam 
normalmente, tivessem um adicional de 
R$ 15 000,00 em suas respectivas partes dessa 
herança. Portanto, o número x de filhos do referi-
do cidadão é 
 
(a) 8 (b) 10 (c) 5 (d) 4 (e) 7 
R: (a) 
54)(UFPA-2009) Em um planeta de atmosfera 
rarefeita, um vulcão em erupção expele para fora 
de sua cratera uma pedra incandescente localizada 
100 metros abaixo da superfície. Sabendo que a 
pedra demora 10 segundos para atingir a altura 
máxima de 400 metros e que sua trajetória é uma 
parábola, podemos afirmar que a pedra demora 
(a) 20 segundos para retornar à superfície e sua 
altura h em função do tempo t é dada pela expres-
são h(t) = t2 ‒ 10t ‒ 200. 
 
(b) 15 segundos para retornar à superfície e sua 
altura h em função do tempo 𝒕 é dada pela ex-
pressão h(t) = ‒ 2t2 + 20t + 150. 
 
(c) aproximadamente 18,94 segundos para retor-
nar à superfície e sua altura h em função do tem-
po t é dada pela expressão h(t) = ‒ t2 + 20t ‒ 20. 
 
(d) aproximadamente 18,94 segundos para retor-
nar à superfície e sua altura h em função do tem-
po t é dada pela expressão h(t) = ‒ 5t2 + 100t ‒ 
100. 
 
(e) 17 segundos para retornar à superfície e sua 
altura h em função do tempo t é dada pela expres-
são h(t) = t2 ‒ 20t + 51. R: (d) 
 
EXERCÍCIOS EXTRAS 
55) Um projétil da origem O(0,0), segundo um 
referencial dado, percorre uma trajetória parabólica 
que atinge sua altura máxima no ponto (2,4). Es-
creva a equação dessa trajetória. R: y = ‒ x2 + 4x 
 
56) O gráfico abaixo é uma 
parábola cuja equação é da for-
ma y = ax2 + bx + c. Calcule: 2a 
+ 3b + 8c. R: 0 ou 20 
 
 
 
 
 
Recursos Pedagógicos Suplementares 
(Ensino Híbrido) 
 
• Apostila de Função do 2º Grau (7 páginas, 39 
questões) 
• Laboratório de Função do 2º Grau com Geoge-
bra (3 páginas) 
• Apostila de Função e Função do 1º Grau (9 pá-
ginas, 36 questões) 
• Apostila de Função e Função do 1º Grau (24 
páginas, 118 questões) com gabarito 
• Apostila de Função Exponencial (8 páginas, 38 
questões) com gabarito 
• Apostila de Função Logarítmica (6 páginas, 43 
questões) 
• Apostila de Função Modular (6 páginas, 32 
questões) 
• Laboratório de Função do 1º Grau com Geoge-
bra (4 páginas, 10 exercícios) 
• Laboratório de Funções com planilhas eletrôni-
cas (7 páginas, 10 exercícios) 
• Apostila de Matemática Financeira (9 páginas, 
62 questões) 
• Apostila de Matemática Financeira (20 páginas, 
140 questões) com gabarito 
• Laboratório de Matemática Financeira em plani-
lhas eletrônicas (8 páginas, 10 exercícios) 
• Todas as apostilas de Matemática de Ensino 
Médio do Prof. Gilberto 
• Videoaulas de Matemática de Ensino Médio do 
Prof. Gilberto 
 
 
Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 2. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.1. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Atualizada em 3/1/2021 
 
 
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y 
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1 
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