Matemática em Contexto Trigonometria e Sistemas Lineares (107)

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Sistemas lineares
Situação 1
Situação 2
Raciocínio lógico
O raciocínio lógico é muito importante para nos ajudar a 
desenvolver a criatividade e a capacidade de interpretar di-
versas situações. É comum que atividades de raciocínio lógi-
co possam ser representadas e resolvidas usando sistemas 
de equações. Cada sistema é um conjunto de equações com 
mais de uma incógnita. Essas equações podem ser analisadas 
e comparadas para determinar os resultados procurados.
Veja um exemplo de um sistema de equações que tem 
duas equações com duas incógnitas:
1 5
2 5
x y
x y
5
2 25



	a) A imagem acima pode ser representada em linguagem algébrica, usando um siste-
ma de equações. Faça essa representação no caderno e, depois, compare-a com as 
representações feitas pelos colegas. 
	b) Utilizando as três primeiras linhas da imagem, é possível determinar o valor de cada 
elemento (cavalo, ferradura e bota) separadamente? Se sim, calcule esses valores.
	 c) Então, qual é o valor da última linha?
Sim. Cavalo 5 10, ferradura 5 2 e bota 5 2.
22
Maçãs e peras
As feiras livres são caracterizadas como uma 
manifestação cultural urbana brasileira, nas quais 
podemos encontrar frutas, verduras, legumes, 
temperos e diversos tipos de produto. As frutas, 
por exemplo, costumam ser vendidas por medida 
de massa ou por unidade, mas também é comum 
que os feirantes ofereçam promoções de um ou 
mais produtos.
Por exemplo, em uma barraca da feira, 1 maçã 
e 1 pera custam R$ 1,40, enquanto 2 maçãs e 
1 pera custam R$ 1,80. Podemos relacionar es-
sas duas situações a um sistema de equações. 
	a) Compare as duas situações. Quantas maçãs ou peras foram acrescentadas à primeira situação para obter a 
segunda? E qual foi a variação no preço?
	b) Quanto custa 1 maçã? E quanto custa 1 pera? Escreva no caderno o sistema de equações que representa 
as duas situações e verifique se os valores que você calculou estão corretos.
1 maçã. Aumentou R$ 0,40.
Não escreva no livro.
Imagens como esta circulam com frequência nas 
redes sociais e podem ser usadas para exercitar o 
raciocínio lógico de maneira lúdica.
a) Exemplo de resposta: Indicando por x o valor de cada cavalo, por y o valor de cada ferradura e por z o valor de cada bota, temos: 
5
1 5
2 5
1 ? 5







x
x y
y z
z x y
3 30
 4 18
2 2
 ?
Tatevosian Yana/Shutterstock
R
2
 E
d
it
o
ri
a
l/
A
rq
u
iv
o
 d
a
 e
d
it
o
ra
As feiras livres têm características próprias em cada região, com 
variação na diversidade de produtos vendidos em função da 
produção local e da época do ano.
R$ 0,40. R$ 1,00. Indicando por a o preço da maçã e por p o preço da pera, ambos em reais, temos: 
1 5
1 5
a p
a p
 1,40
2 1,80




.
As imagens não 
estão representadas 
em proporção
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	19.	Reúna-se com um colega e, juntos, elaborem um problema que possa ser resolvido utilizando um sistema de duas equa-
ções com duas incógnitas. Depois, peça a outra dupla que o resolva aplicando o método dos chineses apresentado acima. 
Resposta pessoal.
Atividades Não escreva no livro.
Um pouco da história da resolução dos sistemas 
de equações
Nas páginas 91 e 92 deste capítulo, apresentamos um dos problemas do livro Os nove capítulos da arte 
matemática relacionado à representação de matrizes.
Entre os 246 problemas contidos nesse livro, podemos exemplificar outro problema que é representado, 
em notação moderna, pelo sistema de equações 
1 5
1 5
x y
x y
2
50 10 30



.
No Ensino Fundamental você estudou e resolveu sistemas com duas equações e duas incógnitas, como o reproduzido 
acima. Com um colega, determine os valores de x e y desse sistema usando a estratégia que preferir. 5 5x y 
1
4
 e 
7
4
.
Explore para descobrir
Não escreva no livro.
Os chineses antigos resolveram esse problema de uma maneira que provavelmente foi diferente da que 
você utilizou. Eles usaram o que podemos chamar de método de tentativa e erro, que consistia em dar dois 
“chutes” para o valor de x, calcular os valores correspondentes de y e, então, verificar os erros cometidos no re-
sultado de 50x 1 10y. Após verificá-los, eles aplicavam outro método para calcular os valores corretos de x e y.
Acompanhe essa resolução.
•	 Primeiro “chute”: x1 5 
1
2
Substituindo x1 na primeira equação, obtemos:
y1 5 2 2 5
1
2
3
2
Substituindo x1 e y1 na segunda equação, de-
terminamos o termo independente da segunda 
equação, considerando esses valores:
50 ? 1 ?
1
2
10
3
2
 5 40
A diferença entre o valor encontrado para o ter-
mo independente e o valor correto, dado no sis-
tema, é:
d1 5 40 2 30 5 10
•	 Segundo “chute”: x2 5 
1
5
Substituindo x2 na primeira equação, obtemos:
y2 5 2 2 5
1
5
9
5
Substituindo x2 e y2 na segunda equação, calcu-
lamos o termo independente da segunda equa-
ção, considerando esses valores:
50 ? 1 ?
1
5
10
9
5
 5 28
A diferença entre o valor encontrado para o ter-
mo independente e o valor correto é:
d2 5 28 2 30 5 22
Sabendo esses valores, os chineses usavam a seguinte proporção para calcular o valor de x:
2
5
2
d
x x
d
x x
1
1
2
2
Assim, considerando os dois “chutes” dados, obtemos: 
2
5
2
2x x
10
1
2
2
1
5
 ~ 10x 2 2 5 22x 1 1 ~ 12x 5 3 ~ x 5 
1
4
Então, substituindo na primeira equação do sistema inicial, obtemos: 
1
4
 1 y 5 2 ~ y 5 
7
4
Os valores de x e y agora estão corretos e você deve ter obtido esses valores ao resolver o sistema no 
Explore para descobrir.
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