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RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO 
E ANALÍTICO CONTÁBIL 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Utilizamos a lógica em várias situações de nosso dia a dia. 
Frequentemente, a palavra lógica é utilizada para afirmar que algo é obvio ou 
evidente. Mas o que significa lógica e como a utilizamos? 
Segundo Barbosa (2017), o que precisamos entender e aceitar a respeito 
da lógica é que ela não se refere a nenhum ser ou objeto em particular, nem 
mesmo a algum conteúdo, mas a um modo de dar forma ao pensamento, de 
forma que possamos chegar à verdade ou à falsidade sobre nós mesmos ou 
sobre algo. 
Dentro da lógica definida como a ciência do raciocínio, estudamos a lógica 
matemática, que tem como base o estudo de proposições que permite raciocinar 
na investigação da verdade. De acordo com Barbosa (2017), a lógica 
matemática, também conhecida como lógica simbólica, é a que se preocupa com 
o discurso da linguagem natural e seus enunciados. Foi desenvolvida por meio 
de símbolos matemáticos para se entender a estrutura lógica das proposições, 
dos argumentos e do desenvolvimento lógico-matemático. 
CONTEXTUALIZANDO 
A lógica estuda os conceitos de prova e verdade, tendo como objetivo 
determinar se a argumentação utilizada para se chegar a certa conclusão é 
válida ou não. 
Saiba mais 
Vamos conhecer um pouco mais sobre lógica? Acesse: 
CABREIRA, I. Você já percebeu o quanto a lógica faz parte do nosso dia a dia? 
Implantando Marketing, 11 de julho de 2017 Disponível em: 
<https://www.implantandomarketing.com/logica-faz-parte-do-nosso-dia-a-dia/>. 
Acesso em: 27 set. 2019. 
UMA BREVE história da Lógica | História da Ciência. Humor com Ciência, 2 de 
dezembro de 2012. Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=ozMbm
Bp3onE>. Acesso em: 27 set. 2019. 
Nesta aula estudaremos as proposições, os valores lógicos, os 
conectivos, as notações, as operações lógicas e a construção da tabela-verdade. 
 
 
3 
TEMA 1 – PROPOSIÇÃO E VALORES LÓGICOS 
Segundo Castanheira (2016), uma proposição é um conjunto de palavras 
ou de símbolos que exprime um pensamento de sentido completo. Chamamos 
de proposição toda sentença declarativa afirmativa que permite raciocinar na 
investigação da verdade. Dessa forma, sentenças exclamativas (“Que belo 
dia!”), sentenças interrogativas (“O jogo terminou empatado?”) e sentenças 
imperativas (“Estude mais!”) não são consideradas proposições. 
Para cada proposição, podemos atribuir um valor lógico, ou seja, atribuir 
um valor verdadeiro ou um valor falso. Assim, uma proposição só pode assumir 
um de dois valores lógicos: verdadeiro (V) ou falso (F). 
Na lógica matemática, consideramos três princípios fundamentais: 
1. Princípio da identidade: uma proposição verdadeira é verdadeira; uma 
proposição falsa é falsa. 
2. Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser verdadeira 
e falsa ao mesmo tempo. 
3. Princípio do terceiro excluído: toda proposição ou é verdadeira ou é 
falsa, sendo assim, não há um terceiro valor. 
As proposições são classificadas em simples ou compostas. A proposição 
simples não contém nenhuma proposição como parte integrante de si mesma. 
Já a proposição composta é formada pela combinação de duas ou mais 
proposições simples por meio de um elemento de ligação que chamamos de 
conectivo. Observe os exemplos: 
Proposição simples: 
 Diego é médico. 
 Ana é dentista. 
 Brasília é a capital do Brasil. 
 O número 2 é par. 
Proposição composta: 
 Diego é médico e Ana é dentista. 
 Se chover amanhã, então não irei à praia. 
 O número 2 é par ou 6 + 8 = 14. 
 
 
 
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TEMA 2 – CONECTIVOS 
Segundo Barbosa (2017), as proposições simples podem ser combinadas 
com outras proposições por elementos de ligação que chamamos de conectivos, 
por meio dos quais, como o termo indica, elas se conectam umas às outras. 
Os conectivos são símbolos que representam letras ou palavras, sendo 
os mais usuais a negação, a conjunção, a disjunção, a condicional e a 
bicondicional, conforme veremos na Tabela 1: 
Tabela 1 – Conectivos 
Conectivos Símbolos Lê-se Exemplos 
Negação ~ Não ~p 
Conjunção ^ E p ^ q 
Disjunção v Ou p v q 
Condicional  Se... então p  q 
Bicondicional ↔ Se e somente se p ↔ q 
Disjunção 
exclusiva 
v Ou... ou p v q 
Vamos analisar alguns exemplos de proposições compostas destacando 
o uso dos conectivos: 
 Não está chovendo. 
 Diego é médico e Ana é dentista. 
 O número 2 é par ou 6 + 8 = 14. 
 Se chover amanhã, então não irei à praia. 
 O esporte é saudável se e somente se for bem praticado. 
 Ou te darei uma bola ou te darei uma bicicleta, mas não ambas. 
Ao verificar se uma proposição composta é verdadeira ou falsa, levamos 
em consideração os valores lógicos das proposições componentes e o tipo de 
conectivo que as une. 
TEMA 3 – NOTAÇÃO 
Uma proposição simples é designada por letras minúsculas (p, q, r, ...), 
chamadas letras proposicionais. Já uma proposição composta formada por duas 
ou mais proposições simples é representada pelas letras maiúsculas (P, Q, R, 
...). Veja os exemplos: 
 
 
 
5 
Proposição composta (P): 
 P: Diego vai trabalhar e está de terno. 
Proposições simples (p e q): 
 p: Diego vai trabalhar. 
 q: Diego está de terno. 
O valor lógico de uma proposição simples p qualquer é representado por: 
V(p) = V, se for verdadeira, ou V(p) = F, se for falsa. Vamos analisar duas 
proposições simples: 
 p: 2 é um número ímpar. 
 q: Um quadrado tem quatro lados. 
Analisando as proposições, temos que p é uma proposição falsa, assim 
V(p) = F e a proposição q é verdadeira, logo V(q) = V. 
Se considerarmos uma proposição composta, teremos os valores lógicos 
V(P) = V ou V(P) = F. Vamos analisar alguns exemplos: 
 p: 3 + 4 = 9 
 q: 20 = 1 
 P: p ^ q: 3 + 4 = 9 e 20 = 1 
Ao analisar o valor lógico de cada proposição simples, temos que V(p) = 
F, pois a soma de 3 + 4 é 7 e não 9. Já a proposição q tem resultado verdadeiro, 
pois todo número elevado ao expoente zero é 1, logo V(q) = V. Analisando a 
proposição composta p ^ q, temos V(P) = F. Quando utilizamos o conectivo e, a 
proposição composta só é verdadeira se as duas proposições simples forem 
verdadeiras. 
Quando formamos novas proposições ou temos proposições compostas, 
escrevemos as proposições na linguagem simbólica. Vamos considerar as 
seguintes proposições e indicar qual a linguagem simbólica de cada uma: 
 P: Se 4 é par, então 7 é par. 
Primeiramente, verificamos qual o conectivo presente na proposição, 
neste exemplo é o se... então. Após, identificamos as proposições simples que 
chamaremos de p e q e, por fim, indicamos a linguagem simbólica: 
 P: Se 4 é par, então 7 é par. 
 p: 4 é par. 
 
 
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 q: 7 é par. 
 Logo, p  q. 
 P: 3 é ímpar se e somente se 4 é par 
 Conectivo = se e somente se. 
 Proposições: 
 p: 3 é ímpar. 
 q: 4 é par. 
 Logo: p ↔ q. 
Aplicamos o mesmo raciocínio nas diferentes proposições compostas. 
Vamos analisar uma proposição composta e indicar qual a linguagem simbólica 
que a representa: 
 P: Não é verdade que se Daniel não fez a prova então João estudou. 
Verificando quais são os conectivos presentes na proposição, temos a 
negação e o se... então: 
 P: Não é verdade que se Daniel não fez a prova então João estudou. 
Agora, identificamos as proposições simples que chamaremos de p e q: 
 p: Daniel fez a prova. 
 q: João estudou. 
Por fim, indicamos a linguagem simbólica a qual vamos dividir em duas 
partes. Segue a primeira parte: 
 Se Daniel não fez a prova então João estudou. 
 Daniel não fez a prova = ~p. 
 João estudou = q. 
 Logo, ~p  q. 
Para finalizar a linguagem simbólica, precisamos considerar a frase 
inteira, assim: 
 P: Não é verdade que se Daniel não fez a prova então João estudou. 
Como temos um não no início da frase precisamos negar toda a sentença,logo: ~(~p  q). 
 
 
 
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TEMA 4 – OPERAÇÕES LÓGICAS 
Segundo Castanheira (2016), as operações lógicas são as realizadas 
sobre as proposições. Entre as operações temos: negação, conjunção, 
disjunção, disjunção exclusiva, condicional e bicondicional. 
A negação, também chamada de modificador lógico de uma proposição, 
tem a função de inverter o valor lógico. Dessa forma, se a proposição é 
verdadeira, a negação a torna falsa e, se for falsa, fica verdadeira. O símbolo 
que a representa é o ~ (til), assim, se temos uma proposição p, sua negação 
será ~p, ou seja, “não p”. Vamos considerar a seguinte proposição e realizar a 
sua negação: 
 p: Curitiba é a capital do Paraná 
 ~p: Curitiba não é a capital do Paraná. 
A proposição p é verdadeira e a sua negação ~p tornou a proposição 
falsa. 
A conjunção, também definida como produto lógico de duas proposições, 
representa o conectivo e é indicada pelo símbolo ^. Quando temos duas 
proposições p e q, a conjunção é dada por p ^ q (p e q). O conectivo e só é 
verdadeiro quando as duas proposições são verdadeiras, pois, ao utilizar este 
conectivo, consideramos que as duas proposições precisam ocorrer 
simultaneamente, ou seja, ao mesmo tempo. Vamos avaliar as seguintes 
proposições: 
 p: A Terra gira em torno do Sol. 
 q: A Lua gira em torno da Terra. 
 p ^ q: A Terra gira em torno do Sol e a Lua gira em torno da Terra. 
A proposição p é verdadeira e a proposição q também, assim p ^ q é uma 
proposição verdadeira. Vamos analisar mais um exemplo: 
 p: A Terra gira em torno do Sol. 
 q: O Sol gira em torno da Lua. 
 p ^ q: A Terra gira em torno do Sol e o Sol gira em torno da Lua. 
A proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, assim p ^ q é uma 
proposição falsa. 
 
 
8 
Na disjunção, ou soma lógica de duas proposições, temos o conectivo ou 
indicado pelo símbolo v. Quando temos duas proposições, p e q, a disjunção é 
dada por p v q (p ou q). O conectivo ou é verdadeiro quando pelo menos uma 
das proposições for verdadeira, pois, ao utilizá-lo, consideramos que ocorrendo 
uma das proposições, a proposição composta se torna verdadeira. A disjunção 
só será falsa quando as duas proposições forem falsas. Vamos avaliar as 
seguintes proposições: 
 p: 4 > 2. 
 q: 8 é um número ímpar. 
 p v q: 4 > 2 ou 8 é um número ímpar. 
A proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, assim p v q é uma 
proposição verdadeira, pois uma das proposições é verdadeira. 
Quando analisamos uma disjunção exclusiva, temos que a proposição só 
será verdadeira quando uma for verdadeira e a outra falsa. Isso ocorre porque 
temos a exclusividade, ou seja, duas proposições não podem ocorrer 
simultaneamente e só poderá ser verdade se for um caso ou outro, mas não os 
dois. Utilizamos o símbolo v e quando temos duas proposições, p e q, a disjunção 
exclusiva é dada por p v q (ou p ou q). Avaliando as seguintes proposições, 
temos: 
 p: O estudante é curitibano. 
 q: O estudante é carioca. 
 p v q: Ou o estudante é curitibano ou o estudante é carioca. 
Na proposição condicional, também conhecida como implicação, 
utilizamos o símbolo → e teremos um resultado falso sempre que a primeira 
proposição for verdadeira e a segunda falsa. Quando temos duas proposições, 
p e q, a condicional é dada por p → q (se p então q). Analisando as seguintes 
proposições, temos: 
 p: O time venceu o jogo. 
 q: O time empatou o jogo. 
 p → q: Se o time venceu o jogo, então o time empatou o jogo. 
Por fim, temos a proposição bicondicional ou equivalência, que possui 
como símbolo ↔. Quando temos duas proposições, p e q, a bicondicional é dada 
por p ↔ q (p se e somente se q). Segundo Barbosa (2017), a equivalência em 
 
 
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lógica é uma relação de igualdade lógica ou implicação mútua entre duas 
proposições, de tal forma que cada uma delas só é verdadeira se a outra também 
o for. Assim, será verdadeira somente quando as proposições forem ambas 
verdadeiras ou falsas, ou seja, será verdadeira sempre que os valores lógicos 
forem iguais, caso contrário, será falsa. Analisando as proposições, temos: 
 p: Aline é paranaense. 
 q: Aline nasceu no Paraná. 
 p ↔ q: Aline é paranaense se e somente se nasceu no Paraná. 
Após a análise de cada conectivo, temos a tabela a seguir, que resume as 
condições em que o valor lógico é verdadeiro e falso. 
Tabela 2 – Resumo das operações lógicas 
Conectivo Estrutura lógica Verdadeiro quando Falso quando 
Conjunção (e) p ^ q 
p e q são ambos 
verdadeiros 
um dos dois for falso 
ou ambos falsos 
Disjunção (ou) p v q 
um dos dois for 
verdadeiro ou ambos 
ambos são falsos 
Disjunção exclusiva 
(ou... ou) 
p v q 
p e q tiverem valores 
lógicos diferentes 
p e q tiverem valores 
lógicos iguais 
Condicional (se... 
então) 
p → q nos demais casos 
p é verdadeiro e q é 
falso 
Bicondicional (se e 
somente se) 
p ↔ q 
p e q tiverem valores 
iguais 
p e q tiverem valores 
diferentes 
TEMA 5 – TABELA-VERDADE 
A tabela-verdade é um dispositivo que demonstra os valores lógicos de 
uma proposição. Também é conhecida como matriz de verdade. Dessa forma, 
registram-se os valores lógicos, facilitando a verificação de proposições 
compostas e verificando a condição de verdade de todas as hipóteses possíveis. 
Vimos que quando temos apenas uma proposição simples há somente 
dois valores lógicos possíveis: V (verdadeiro) e F (falso). Assim, a tabela-verdade 
dessa proposição pode ser descrita como: 
p 
V 
F 
Segundo Barbosa (2017), para construir uma tabela-verdade, sempre 
começamos definindo o número de linhas que a compõem, o qual está em 
função do número de proposições simples (n), obedecendo à lei de formação de 
linhas = 2n. Logo, se tivermos uma proposição, temos n = 1 e 21 = 2, ou seja, 
 
 
10 
teremos duas linhas conforme a tabela anterior. Quando tivermos duas 
proposições, p e q, a tabela apresentará quatro linhas (22 = 4), como visto a 
seguir: 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
Se tivermos uma proposição composta com três proposições, teremos 
oito linhas no total, pois 23 = 8. 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
Já avaliamos cada conectivo, então vamos verificar a tabela-verdade para 
cada um, considerando as proposições p e q. 
 Negação: inverte o valor lógico. 
p ~p 
V F 
F V 
 Conjunção: só é verdadeira quando as duas proposições são 
verdadeiras. 
p q p ^ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 Disjunção: é verdadeira quando pelo menos uma das proposições for 
verdadeira. 
p q p v q 
V V V 
V F V 
F V V 
F F F 
 
 
 
 
11 
 Disjunção exclusiva: só será verdadeira quando uma for verdadeira e a 
outra falsa. 
p q p v q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F F 
 Condicional: falsa sempre que a primeira proposição for verdadeira e a 
segunda falsa. 
p q p → q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 Bicondicional: será verdadeira sempre que os valores lógicos forem 
iguais, caso contrário, será falsa. 
p q p ↔ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
Considerando as proposições p e q, temos a seguinte tabela-resumo que 
representa o resultado para cada conectivo estudado: 
p q p ^ q p v q p v q p → q p ↔ q 
V V V V F V V 
V F F V V F F 
F V F V V V F 
F F F F F V V 
Para elaborar a tabela, consideramos a seguinte ordem: negação, 
disjunção, conjunção, condicional e bicondicional. Quando temos parênteses, 
colchetes e chaves, consideramos esta ordem para a elaboração. Vamos 
analisar as seguintes proposições compostas e elaborar a tabela-verdade que 
representa cada proposição. 
1. ~[(~p) ^ (~q)] 
Analisando a proposição composta, temos duas proposições simples, p e 
q. Assim, a tabela terá quatro linhas (22 = 4). Temos também a negação (~) e o 
conectivo e (^), além de parênteses e colchetes. Vamos iniciar com os possíveis 
resultados de p e q. Após, faremos a negação destas proposições, a negação 
de p (~p) e q (~q). Lembre-se quea negação troca o valor lógico. 
 
 
 
12 
p q ~p ~q 
V V F F 
V F F V 
F V V F 
F F V V 
Após a negação vamos analisar os resultados de [(~p) ^ (~q)], lembrando 
que no conectivo e só temos verdade se ambos forem verdadeiros. Para esta 
análise, utilizamos as colunas 3 (~p) e 4 (~q): 
p q ~p ~q (~p) ^ (~q) 
V V F F F 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
Para finalizar, precisamos resolver a proposição completa, ~[(~p) ^ (~q)], 
encontrando a negação da quinta coluna. 
p q ~p ~q (~p) ^ (~q) ~[(~p) ^ (~q)] 
V V F F F V 
V F F V F V 
F V V F F V 
F F V V V F 
2. p ∨ ~(p ∧ q) 
Temos duas proposições, p e q. Assim, a tabela terá quatro linhas (22 = 
4). Temos também a negação e os conectivos e (^) e ou (v), além de parênteses. 
Vamos iniciar com os possíveis resultados de p e q. Após, faremos p ^ q, a 
negação ~(p ^ q) e, por fim, p v ~(p ^ q). 
 Possíveis resultados de p e q: 
p q 
V V 
V F 
F V 
F F 
 Resolver p ^ q, lembrando que no conectivo e (^) só temos verdade se 
ambas proposições forem verdadeiras: 
p q p ^ q 
V V V 
V F F 
F V F 
F F F 
 
 
 
 
13 
 Resolver a negação ~(p ^ q), ou seja, trocar os valores lógicos de p ^ q da 
terceira coluna: 
p q p ^ q ~(p ^ q) 
V V V F 
V F F V 
F V F V 
F F F V 
 Por último, resolver p v ~(p ^ q). Lembrando que, no conectivo ou, é 
verdadeiro quando pelo menos uma das proposições for verdadeira. 
Neste último passo, analisamos a primeira coluna (p) com a quarta coluna 
~(p ^ q). 
p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q) 
V V V F V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F V V 
3. (p ^~ q) ↔ (~p v r) 
Neste exemplo, estamos trabalhando com três proposições (p, q e r), logo 
teremos oito linhas na tabela-verdade. Para resolver esta proposição composta, 
consideramos os seguintes passos: 
 Indicar todas as combinações de p, q, r: 
p q r 
V V V 
V V F 
V F V 
V F F 
F V V 
F V F 
F F V 
F F F 
 Resolver a negação de p e q:~p e ~q: 
p q r ~p ~q 
V V V F F 
V V F F F 
V F V F V 
V F F F V 
F V V V F 
F V F V F 
F F V V V 
F F F V V 
 
 
 
 
14 
 Resolver o primeiro parêntese (p ^ ~q), utilizando a primeira e quinta 
coluna: 
p q r ~p ~q (p ^ ~q) 
V V V F F F 
V V F F F F 
V F V F V V 
V F F F V V 
F V V V F F 
F V F V F F 
F F V V V F 
F F F V V F 
 Resolver o segundo parêntese (~p v r), utilizando a quarta e a terceira 
coluna: 
p q r ~p ~q (p ^ ~q) (~p v r) 
V V V F F F V 
V V F F F F F 
V F V F V V V 
V F F F V V F 
F V V V F F V 
F V F V F F V 
F F V V V F V 
F F F V V F V 
 Por fim, resolver a sentença completa (p ^ ~q) ↔ (~p v r). 
p q r ~p ~q (p ^ ~q) (~p v r) (p ^ ~q) ↔ (~p v r) 
V V V F F F V F 
V V F F F F F V 
V F V F V V V V 
V F F F V V F F 
F V V V F F V F 
F V F V F F V F 
F F V V V F V F 
F F F V V F V F 
TROCANDO IDEIAS 
Para aplicarmos a lógica, é importante conhecermos uma proposição e a 
utilização dos conectivos nas proposições compostas para assim construir e 
interpretar a tabela-verdade. Os conectivos são sinais de ligação entre as 
proposições e as tabelas-verdade são recursos que facilitam a verificação das 
proposições. 
 
 
 
15 
NA PRÁTICA 
Saiba mais 
A lógica é amplamente utilizada em diversas áreas, visto que 
constantemente precisamos tomar decisões. Podemos utilizá-la para nos auxiliar 
nesses processos, pois a lógica está relacionada ao modo de pensar. 
 Leia um artigo sobre a importância do raciocínio lógico e assista a um 
vídeo sobre lógica no cotidiano nos links a seguir: 
VIDEOAULA Matemática: Lógica no Cotidiano. Mayara Farias, 21 de junho de 
2015. Disponível em: < https://youtu.be/qFe9_YM8QFU>. Acesso em: 27 set. 
2019. 
ARAÚJO, M. A. L. de. Raciocínio lógico: uma maneira diferente de usar a 
matemática e tomar decisões mais assertivas. Recanto das Letras, 3 de 
setembro de 2017. Disponível em: <https://www.recantodasletras.com.br/artigo
s/6103684>. Acesso em: 27 set. 2019. 
Com base nos conteúdos apresentados nesta aula, vamos praticar os 
conceitos resolvendo alguns exercícios. 
1. Inúmeras sentenças fazem parte da nossa linguagem usual, mas nem 
todas podem ser classificadas em verdadeiras ou falsas. As sentenças 
que podem ser classificadas são chamadas de declarativas e toda 
sentença declarativa é uma proposição. Com base nesta afirmação, 
analise as seguintes sentenças e verifique qual é uma proposição. 
a. Saia já daqui! 
b. Não se esqueça de trabalhar. 
c. Como é seu nome? 
d. Todos os animais são mamíferos. 
Sabemos que uma proposição é toda sentença declarativa afirmativa que 
permite raciocinar na investigação da verdade. Dessa forma, sentenças 
exclamativas, sentenças interrogativas e sentenças imperativas não são 
consideradas proposições. Assim, analisemos cada sentença: 
a. Saia já daqui! 
Essa é uma sentença exclamativa, logo não é uma proposição. 
 
 
16 
b. Não se esqueça de trabalhar. 
Sentença imperativa, logo não é uma proposição. 
c. Como é seu nome? 
Sentença interrogativa, logo não é uma proposição. 
d. Todos os animais são mamíferos. 
É uma proposição cujo valor lógico é F. 
2. Um posto de combustível funciona apenas nos feriados ou em dias que 
não sejam segundas-feiras. Do ponto de vista da lógica, conclui-se que 
esse posto não funciona (Leite; Castanheira, 2017, p. 31): 
a. aos domingos. 
b. às segundas-feiras. 
c. em sábados que sejam feriados. 
d. em sábados que não sejam feriados. 
e. às segundas-feiras, desde que não sejam feriados. 
Neste exercício, temos a utilização do conectivo ou, em que, para ser 
verdadeiro, basta uma das duas condições ser satisfeita. Assim, se for um 
feriado ou um dia que não seja segunda-feira, o posto funciona 
normalmente. Dessa forma, não ocorrerá atendimento nas segundas, mas 
não pode ser feriado. Logo, o atendimento não ocorrerá nas segundas-
feiras, desde que não sejam feriados. 
3. Analise as seguintes proposições compostas e verifique qual é falsa: 
a. 2 é par ou 8 > 12. 
b. 5 é ímpar se e somente se 6 é par. 
c. Se 5 > 3, então 5 < 2. 
Vamos analisar cada proposição simples para depois analisar a 
proposição composta, levando em consideração o conectivo: 
a. 2 é par ou 8 > 12. 
Nessa proposição, temos o conectivo ou, em que basta uma das 
proposições simples ser verdadeira para o resultado ser verdadeiro. 
Vamos analisar cada proposição: 
 2 é par = verdadeiro. 
 
 
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 8 > 12 = falso. 
Assim, verdadeiro ou falso = verdadeiro. 
b. 5 é ímpar se e somente se 6 é par. 
Nesta proposição, temos o conectivo se e somente se, em que o resultado 
é verdadeiro sempre que os valores lógicos forem iguais. Vamos analisar 
cada proposição: 
 5 é ímpar = verdadeiro. 
 6 é par = verdadeiro 
Assim, verdadeiro se e somente se verdadeiro = verdadeiro. 
c. Se 5 > 3, então 5 < 2. 
Nesta proposição, temos o conectivo se então, em que o resultado é falso 
sempre que temos a combinação verdadeiro e falso, nesta ordem. Vamos 
analisar cada proposição: 
 5 > 3 = verdadeiro. 
 5 < 2 = falso. 
Assim, verdadeiro se então falso = falso. 
FINALIZANDO 
Estudamos aqui as proposições simples e compostas, os valores lógicos, 
os diferentes conectivos, a linguagem simbólica, as operações lógicas e os 
principais elementos para a construção de uma tabela-verdade. 
 
 
 
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REFERÊNCIAS 
BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: 
InterSaberes, 2017. 
CARVALHO, S.; CAMPOS, W. Raciocínio lógico simplificado. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2010. 
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. 
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Raciocínio lógico e lógica quantitativa. 
Curitiba: InterSaberes, 2017. 
QUILELLI, P. Raciocínio lógico matemático. Rio de Janeiro: Ferreira, 2010. 
SÉRATES, J. Raciocínio lógico. Brasília: Jonofon, 2004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO 
E ANALÍTICO CONTÁBIL 
AULA 2Profª Aline Purcote 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Anteriormente, estudamos os principais conceitos da lógica, entendemos 
a diferença entre proposição simples e composta, os valores lógicos, os 
diferentes conectivos e a elaboração de uma tabela-verdade. Com base nesses 
assuntos, vamos analisar as proposições compostas, classificando-as em 
tautologia, contradição e contingência. 
Ao estudar proposições compostas, veremos também que uma 
proposição pode ser equivalentes a outra, ou seja, é possível expressar a mesma 
sentença de maneiras distintas mantendo o significado lógico original. Mas como 
identificar se as proposições são equivalentes? 
Nesta aula, vamos classificar as proposições compostas, estudar as 
proposições equivalentes, além de abordar os principais conceitos relacionados 
à implicação lógica, dedução e argumento. 
CONTEXTUALIZANDO 
Uma proposição composta pode ser classificada em tautologia, 
contradição ou contingência. Para saber qual a diferença entre elas, assista ao 
vídeo: <https://www.youtube.com/watch?v=05-2-EQA73g>. 
Algumas situações podemos expressar a mesma sentença de formas 
distintas. Veja: 
 Se estudo com frequência, aprendo com facilidade. 
 Se não aprendo com facilidade, não estudo com frequência. 
Analisando as frases, percebemos que elas se equivalem, e é justamente 
essa situação que estudaremos na equivalência lógica. 
Nesta aula também abordaremos os principais conceitos relacionados à 
implicação lógica, dedução1 e argumento2. 
TEMA 1 – TAUTOLOGIA, CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 
De acordo com Carvalho et al. (2010), uma proposição composta formada 
por duas ou mais proposições simples p, q, r,... será dita uma tautologia se for 
 
1 Veja o conceito em: <https://www.significados.com.br/metodo-dedutivo/>. Acesso em: 30 set. 
2019. 
2 Veja o conceito em: <https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/argumento.htm>. 
Acesso em: 30 set. 2019. 
 
 
3 
sempre verdadeira, independentemente dos valores lógicos das proposições p, 
q, r, ... que a compõem. 
Para saber se uma proposição composta é uma tautologia vamos primeiro 
construir sua tabela-verdade e depois analisar a última coluna. Se na última 
coluna todos os valores lógicos forem verdadeiros, teremos uma tautologia. 
Lembre-se: para a construção da tabela-verdade, precisamos analisar as 
proposições e conectivos. Antes de resolver alguns exemplos, vamos recordar 
os valores lógicos considerando duas proposições para cada conectivo 
estudado: 
p q ~p p^q pvq pvq p→q p ↔q 
V V F V V F V V 
V F F F V V F F 
F V V F V V V F 
F F V F F F V V 
Agora vamos avaliar se as seguintes proposições compostas são uma 
tautologia construindo suas tabelas-verdade: 
Exemplo 1: p v ~p 
Temos a proposição p com o conectivo ou (v) e a negação. Vamos 
elaborar a tabela-verdade indicando os valores lógicos para p, após negar os 
valores de p (~p) e, por último, resolvendo p ou ~p (p v ~p). No conectivo ou 
basta ter um valor verdadeiro para a proposição composta ser verdadeira. 
p ~p p v ~p 
V F V 
F V V 
Analisando a última coluna da tabela, temos que todos os valores são 
verdadeiros (V), tratando-se, portanto, de uma tautologia. 
Exemplo 2: p v ~(p^q) 
Temos duas proposição p e q com os conectivos ou (v) e (^), além da 
negação. Vamos elaborar a tabela-verdade indicando os valores lógicos para p 
e q, após resolver p e q (p^q), negar os valores obtidos (~(p ^ q)) e, por último, 
resolver p v ~(p ^ q). 
 
 
4 
p q p ^ q ~(p ^ q) p v ~(p ^ q) 
V V V F V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F V V 
Como na última coluna temos apenas valores lógicos verdadeiros, nossa 
proposição composta é uma tautologia. 
Exemplo 3: verifique se a seguinte proposição é uma tautologia: 
Se Pedro é alto, então Pedro é alto ou João é magro. 
Primeiramente, reescrevemos a proposição composta na forma simbólica, 
identificando as proposições simples e os conectivos: 
Proposições simples: 
 p: Pedro é alto 
 q: João é magro 
Conectivos: se...então (→), ou (v): 
Se Pedro é alto, então Pedro é alto ou João é magro. 
 p → p v q 
Agora, vamos encontrar a tabela-verdade de p → (p v q): 
p q p v q p → (p v q) 
V V V V 
V F V V 
F V V V 
F F F V 
Analisando a tabela-verdade, temos que a proposição composta é uma 
tautologia. 
Além da tautologia, uma proposição composta pode ser uma contradição. 
Segundo Castanheira (2016), uma proposição é chamada de contradição 
quando o seu valor lógico é sempre falso quaisquer que sejam os valores lógicos 
 
 
5 
das proposições simples envolvidas. Analisando a tabela-verdade, a última 
coluna contém somente valores falsos. 
Vamos avaliar se as seguintes proposições compostas são uma 
contradição construindo suas tabelas-verdade: 
Exemplo 4: p ^ ~p 
Lembrando que no conectivo e (^) só temos verdadeiro (V) se os dois 
valores forem verdadeiros. 
p ~p p ^ ~p 
V F F 
F V F 
Como na última coluna apenas temos valores falsos, a proposição é uma 
contradição. 
Exemplo 5: (p v ~q) ↔ (~p ^ q) 
p q ~p ~q p v ~q ~p ^ q (p v ~q) ↔ (~p ^ q) 
V V F F V F F 
V F F V V F F 
F V V F F V F 
F F V V V F F 
Além da tautologia e da contradição, temos a contingência. Segundo 
Castanheira (2016), uma proposição composta é chamada de contingência 
quando não for uma tautologia nem uma contradição, ou seja, quando os valores 
lógicos não forem todos verdadeiros (tautologia) nem todos falsos (contradição). 
De acordo com Barbosa (2017), as contingências diferem da tautologia, 
em que o valor lógico das proposições compostas é sempre a verdade, e da 
contradição, em que há sempre falsidade na última coluna. As contingências 
apresentam tanto a verdade como a falsidade em seu valor lógico. Dessa forma, 
na tabela-verdade, a última coluna contém valores mistos, verdadeiros e falsos. 
Exemplo 6: p → ~p 
p ~p p → ~p 
 
 
6 
V F F 
F V V 
Analisando a última coluna, temos verdadeiro e falso, isto é, uma 
contingência. 
Exemplo 7: p ^ (~q →p) 
p q ~q ~q →p p ^ (~q →p) 
V V F V V 
V F V V V 
F V F V F 
F F V F F 
Verificamos que uma proposição composta pode ter três classificações 
conforme o resultado final obtido na tabela-verdade. Vamos verificar um 
diagrama que resume essa classificação: 
 
TEMA 2 – IMPLICAÇÃO LÓGICA 
De acordo com Carvalho et al. (2010), a implicação lógica trata de um 
conjunto de afirmações, proposições simples ou compostas, cujo encadeamento 
lógico resultará em uma conclusão a ser descoberta. 
Segundo Barbosa (2017), implicação é a relação estabelecida entre dois 
conceitos ou proposições, de tal forma que a afirmação da verdade de um deles 
conduz à inferência necessária da veracidade do outro. 
A implicação de duas proposições ocorre quando, em suas tabelas-
verdade, não ocorrer VF nessa ordem, ou seja, a proposição P(p,q,r,...) implica 
logicamente a proposição Q(p,q,r,...) quando Q é verdadeira todas as vezes que 
P for verdadeira. 
Proposição 
Composta
Tautologia
Valor Lógico = 
verdadeiro
Contradição
Valor Lógico = 
Falso
Contingência
Valor Lógico = 
misto (V e F)
 
 
7 
Para representar a relação entre duas proposições, utilizamos o símbolo 
⇒. Se considerarmos as proposições p ̂ q e p v q, a relação de implicação lógica 
é dada por p ^ q⇒ p v q. 
Vamos verificar se p ⇒q→p, ou seja, p implica em q→p. Para avaliar 
vamos construir a tabela verdade. 
p q q→p 
V V V 
V F V 
F V F 
F F V 
Analisando os valores lógicos da primeira coluna (p) com a última (q→p), 
verificamos que não há valor VF, logo ocorre à implicação p ⇒ q→p. 
Exemplo 8: verifique as seguintes implicações: 
a) p ^ q ⇒p v q 
Para avaliar a implicação vamos construir a tabela verdade: 
p q p ^ q p v q 
V V V V 
V F F V 
F V F V 
F F F F 
Avaliando a terceira coluna (p ̂ q) com a quarta (p v q), temos que sempre 
que (p ^ q)for verdadeiro, (p v q) também precisa ser verdadeiro. Podemos 
também avaliar que se a terceira (p ^ q) tiver V, não podemos ter F na quarta 
coluna (p v q). Como a condição é satisfeita, temos que p ^ q ⇒ p v q, ou seja, 
p ^ q implica em p v q. 
p q p ^ q p v q 
V V V V 
V F F V 
F V F V 
 
 
8 
F F F F 
b) p ^ q ⇒p ↔q 
Vamos elaborar a tabela-verdade e realizar a mesma análise na terceira 
e quarta colunas: 
p Q p ^ q p ↔q 
V V V V 
V F F F 
F V F F 
F F F V 
Avaliando a terceira e quarta colunas, sempre que uma for verdadeira, a 
outra também deve ser. Como a condição é satisfeita, temos que p ^ q ⇒p ↔q. 
Exemplo 9: verifique se a proposição p ↔~q implica a proposição p→q 
Para analisar a implicação, vamos elaborar a tabela-verdade e analisar os 
valores lógicos: 
p q ~q p ↔~q p→q 
V V F F V 
V F V V F 
F V F V V 
F F V F V 
 
Analisando a quarta e quinta colunas, precisamos ter verdadeiro e 
verdadeiro, ou seja, não pode aparecer VF. Na segunda linha, temos um VF, 
logo p ↔~q não implica a proposição p→q. 
TEMA 3 – EQUIVALÊNCIA LÓGICA 
Podemos considerar equivalência como algo que possui o mesmo 
significado, que expressa algo com igual valor ou que tem o mesmo sentido. 
Segundo Barbosa (2017), a relação de equivalência é entendida sempre que 
temos duas proposições com o mesmo valor lógico. Assim, concluímos que duas 
proposições são equivalentes quando apresentam a mesma tabela-verdade. 
 
 
9 
A equivalência lógica entre duas proposições é representada 
simbolicamente por P⇔Q, ou seja, P equivale a Q ou P é equivalente a Q. Vamos 
analisar o seguinte exemplo: 
Exemplo 10: (p →q) ⇔(~q → ~p) 
Para verificar a equivalência, vamos elaborar a tabela-verdade das duas 
proposições compostas e comparar os resultados obtidos. Se as tabelas forem 
iguais, temos uma equivalência lógica. 
1) (p →q) 
p q (p →q) 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
2) (~q →~p) 
p q ~p ~q (~q →~p) 
V V F F V 
V F F V F 
F V V F V 
F F V V V 
Comparando a última coluna das duas tabelas, temos que os resultados 
são iguais. Dessa forma, as proposições são equivalentes. 
Exemplo 11: (p ↔q) ⇔(p →q)^(q →p) 
Para avaliar a equivalência, vamos elaborar a tabela-verdade. 
1) (p ↔q) 
p q (p ↔q) 
V V V 
V F F 
F V F 
F F V 
 
 
10 
2) (p →q)^(q →p) 
p q (p →q) (q →p) (p →q)^(q →p) 
V V V V V 
V F F V F 
F V V F F 
F F V V V 
Comparando a última coluna das duas tabelas, temos que as proposições 
são equivalentes. 
Outra forma de verificar a equivalência lógica é analisar a bicondicional, 
ou seja, P só será equivalente a Q se a bicondicional P ↔Q for uma tautologia. 
Vamos testar este conceito no exemplo 2 e trocar o símbolo de equivalência ⇔ 
pela condicional ↔ e elaborar a tabela-verdade. 
(p ↔q) ⇔(p →q)^(q →p) 
(p ↔q) ↔(p →q)^(q →p) 
p q (p ↔q) (p →q) (q →p) (p →q)^(q →p) (p ↔q) ↔(p →q)^(q →p) 
V V V V V V V 
V F F F V F V 
F V F V F F V 
F F V V V V V 
Analisando a última coluna, verificamos que todos os resultados são 
verdadeiros, tratando-se, portanto, de uma tautologia. Como a bicondicional é 
uma tautologia, concluímos que as proposições são equivalentes. 
TEMA 4 – DEDUÇÃO 
Segundo Barbosa (2017), o método dedutivo consiste em fazer uso de 
deduções com base em implicações ou equivalências para validar proposições. 
Por meio de uma regra e uma premissa, utilizamos a dedução para determinar 
uma conclusão. 
 
 
 
11 
Exemplos: 
 Quando chove, a grama fica molhada. 
Choveu hoje. 
Portanto, a grama está molhada. 
 Todo homem é mortal (premissa maior). 
Daniel é homem (premissa menor). 
Logo, Daniel é mortal (conclusão). 
 Todo combustível é inflamável. 
Etanol é um combustível. 
Logo, etanol é inflamável. 
O método dedutivo é utilizado para simplificar proposições compostas 
complexas, pois possui o mesmo papel que a tabela-verdade e é usado quando 
temos várias proposições. O método consiste na aplicação de regras de 
inferência e equivalências para validar argumentos. 
TEMA 5 – ARGUMENTOS 
Segundo Barbosa (2017), argumentos são declarações que servem para 
afirmar ou negar um fato por meio de duas ou mais proposições. Normalmente, 
na linguagem coloquial, dizemos que, com base em hipóteses (premissas), 
podemos concluir (tese) afirmando ou negando um argumento. 
De acordo com Sérates (2004), chama-se argumento toda afirmação de 
que uma dada sequência finita de proposições P1, P2, P3,..., Pn tem como 
consequência uma proposição final Q. As proposições P1, P2, P3,..., Pn são 
chamadas de premissas do argumento, e a proposição final Q chama-se 
conclusão do argumento. 
Um argumento pode ser indicado na forma simbólica por: P1, P2, P3,..., Pn 
┣ Q, ou podemos utilizar a forma padronizada: 
P1 
P2 
P3 
. 
. 
. 
Pn 
-------- 
 
 
12 
Q 
Quando temos um argumento que consiste em duas premissas e uma 
conclusão, trata-se de um silogismo. Vamos analisar alguns exemplos: 
 Exemplo 1 
P1: Hoje é sábado ou domingo. 
P2: Hoje não é domingo. 
Q: Hoje é sábado. 
 Exemplo 2 
P1: Todos os paranaenses são brasileiros. 
P2: Aline é paranaense. 
Q: Aline é brasileira. 
 Exemplo 3 
P1: Jogamos futebol no sábado ou no domingo. 
P2: Não jogamos futebol no sábado. 
Q: Jogamos futebol no domingo. 
Podemos escrever um argumento na forma padronizada utilizando 
símbolos, dessa forma identificamos as proposições associadas a esse 
argumento. Vamos avaliar o exemplo 3: 
p: Jogamos futebol no sábado. 
q: Jogamos futebol no domingo. 
~p: Não jogamos futebol no sábado. 
Considerando as proposições, temos a representação na forma simbólica 
e padronizada: 
P1: Jogamos futebol no sábado ou no domingo = p v q 
P2: Não jogamos futebol no sábado = ~p 
Forma simbólica: p v q, ~p ┣ q 
Forma padronizada: 
p v q 
~p 
________ 
q 
 
 
13 
Para avaliar se um argumento é válido, construímos a tabela-verdade da 
condicional (P1^ P2 ^ P3 ^...^ Pn→ Q). Se a condicional associada for uma 
tautologia, temos um argumento válido. Vamos analisar o seguinte exemplo. 
 Exemplo 4 
Se chove então faz frio. 
Não faz frio. 
Logo, não chove. 
Vamos identificar as proposições para escrever o nosso argumento: 
p: Chove 
q: Faz frio 
P1: Se chove então faz frio = p →q 
P2: Não faz frio = ~q 
Q: Logo, não chove = ~p 
Forma simbólica: p →q, ~q ┣~p 
Considerando a forma simbólica, vamos indicar a condicional para 
elaborar a tabela-verdade: 
p →q, ~q ┣~p 
((p →q) ^ ~q) →~p 
p q ~p ~q p →q (p →q) ^ ~q ((p →q) ^ ~q) →~p 
V V F F V F V 
V F F V F F V 
F V V F V F V 
F F V V V V V 
Analisando a tabela-verdade, temos na última coluna apenas valores 
verdadeiros. Assim, temos uma tautologia e o argumento é válido. 
Quando temos um argumento não válido, chamamos de sofisma ou 
falácia. A validade de um argumento depende somente da relação existente 
entre as premissas e a sua conclusão. 
 Exemplo 5 
Se chove então faz frio. 
 
 
14 
Não chove. 
Logo, não faz frio. 
Vamos identificar as proposições para escrever o nosso argumento: 
p: Chove 
q: Faz frio 
P1: Se chove então faz frio = p →q 
P2: Não chove = ~p 
Q: Logo, não faz frio = ~q 
Forma simbólica: p →q, ~p ┣~q 
Considerando a forma simbólica, vamos indicar a condicional para 
elaborar a tabela-verdade: 
((p →q) ^ ~p) →~q 
p q ~p ~q p →q (p →q) ^ ~p ((p →q) ^ ~p) →~q 
V V F F V F V 
V F F V F F V 
F V V F V V F 
F F V V V V V 
 
Analisando a última coluna, não temos uma tautologia, assim, o 
argumento não é válido e trata-se, então, de uma falácia. 
TROCANDO IDEIAS 
Vimos que, por meio de uma regra e uma premissa, utilizamos a dedução 
para determinar uma conclusão. Você já utilizou a dedução no seu dia a dia para 
chegar a conclusões e tomar decisões? 
NA PRÁTICA 
A forma como pensamos e chegamos a conclusões é extremamente 
importante no cotidiano e nos ajuda a tomar decisões mais assertivas. Com a 
dedução, conseguimos organizar do geral para o particular, partindode uma 
verdade geral para chegar a conclusões mais individuais. Acesse o link a seguir 
e entenda um pouco mais como a lógica nos ajuda em nosso dia a 
 
 
15 
dia: <https://educacao.uol.com.br/disciplinas/filosofia/logica---deducao-partindo-
do-geral-para-chegar-ao-particular.htm>. 
Com base nos conceitos apresentados na aula, vamos praticar 
resolvendo o seguinte exercício: 
1) Analise a proposição e classifique em tautologia, contradição e 
contingência: 
Se hoje fez calor, então hoje fez calor e choveu. 
Para resolver esse exercício, precisamos elaborar a tabela-verdade e 
avaliar se os resultados serão todos verdadeiros, falsos ou mistos. Para isso, 
vamos transformar a frase na linguagem simbólica. 
Nessa proposição, temos dois conectivos, se ... então e e, além de duas 
proposições simples: 
Se hoje fez calor, então hoje fez calor e choveu. 
p: fez calor 
q: choveu 
Assim, temos a seguinte linguagem simbólica: 
p → (p ^ q) 
Agora vamos elaborar a tabela-verdade: 
p q p ^ q p → (p ^ q) 
V V V V 
V F F F 
F V F V 
F F F V 
 
Analisando a última coluna, temos valores mistos. Assim, a proposição é 
uma contingência. 
 
 
16 
FINALIZANDO 
Nesta aula estudamos as proposições compostas classificando-as em 
tautologia, contradição e contingência. Vimos também os principais conceitos 
relacionados à implicação, equivalência lógica, dedução e argumentos. 
 
 
 
17 
REFERÊNCIAS 
BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba: 
InterSaberes, 2017. 
CARVALHO, S; CAMPOS, W. Raciocínio lógico simplificado. Rio de Janeiro: 
Elsevier, 2010. 
CASTANHEIRA, N. P. Cálculo aplicado à gestão e aos negócios. Curitiba: 
InterSaberes, 2016. 
SÉRATES, J. Raciocínio lógico. Brasília: Jonofon, 2004. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E 
ANALÍTICO CONTÁBIL 
AULA 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote Quinsler 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Você sabe o que são conjuntos e quais os conjuntos numéricos 
existentes? Um conjunto pode ser uma coleção de objetos, números, pessoas e 
que possui uma característica em comum. Constantemente, trabalhamos com 
esta teoria, mas quais as relações e as operações que são utilizadas na teoria 
de conjuntos? 
Em algumas situações não trabalhamos com um único valor, mas com um 
conjunto de valores que estão em um intervalo. Na previsão do tempo falamos 
em temperatura em um intervalo com valor máximo e mínimo; podemos também 
falar de um intervalo de preço de um produto ou intervalo de faturamento. 
Nesta aula estudaremos a teoria de conjuntos, suas representações, as 
relações de pertinência e inclusão, subconjuntos, operações envolvendo 
conjuntos, além dos conjuntos numéricos e os intervalos. 
CONTEXTUALIZANDO 
A todo o momento trabalhamos com números para realizar contagens, 
pagamentos, fazer uma medida, mas você já parou para pensar como surgiram 
os números? Vamos assistir a um vídeo que conta como tudo começou. 
Vídeo 
Assista ao vídeo “Como surgiram os números”. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=G-0mhe2x1lc>. Acesso em: 9 out. 2019. 
Agora que já sabemos como surgiram os números vamos conhecer um 
pouco mais sobre conjuntos, os conjuntos numéricos e os intervalos. 
TEMA 1 – CONJUNTOS E SUAS RELAÇÕES 
Conjuntos são indicados por letras maiúsculas do alfabeto e definidos 
como uma coleção de objetos, números, pessoas que possuem alguma 
característica em comum. Os itens que constituem um conjunto são chamados 
de elementos e indicados por letras minúsculas ou algarismos. 
Um conjunto pode ser representado entre chaves com seus elementos 
separados por vírgula ou podemos representá-los por um diagrama chamado 
 
 
3 
Diagrama de Venn, que reúne os elementos em uma curva fechada. Vamos 
verificar as duas representações considerando o conjunto A. 
Representação entre chaves com seus elementos separados por vírgula: 
A = {1, 2, 3, 4, 5} 
Representação pelo Diagrama de Venn: 
A 
 
 
Quando trabalhamos com conjuntos, podemos ter diferentes tipos deles: 
 Conjunto unitário: é aquele que contém apenas um único elemento. 
Exemplo: A={2} 
 Conjunto vazio: aquele que não tem elementos. Podemos representar 
esse conjunto pelo símbolo { } ou  (phi). 
 Conjunto universo: formado por todos os elementos do contexto com o 
qual se está trabalhando. Exemplo: quando estudamos a população 
humana, o conjunto universo é formado por todos os seres humanos. 
Dados dois conjuntos que possuem os mesmos elementos em qualquer 
ordem, dizemos que eles são iguais, assim, os conjuntos A={2,5,4} e B={2,4,5} 
são conjuntos iguais, pois possuem os mesmos elementos, ou seja, (A =B). 
Quando trabalhamos com conjuntos consideramos a relação de 
pertinência e a relação de inclusão. A relação de pertinência relaciona elemento 
com um conjunto já a relação de inclusão relaciona um conjunto com outro 
conjunto. 
Segundo Leite e Castanheira (2014), a palavra pertinência nos transmite 
a ideia de pertencer, ou seja, quando dizemos que um elemento faz parte de um 
conjunto, podemos dizer que tal elemento pertence ao conjunto. A relação de 
pertinência utiliza os símbolos (pertence) e  (não pertence). 
Vamos considerar o conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5}, o número 5 pertence ao 
conjunto A; logo, 5  A; já o número 6 não pertence ao conjunto assim 6  A. 
Dessa forma, quando queremos indicar que um elemento pertence ao conjunto 
A escrevemos x  A, e quando o elemento não pertence x  A, em que x é uma 
variável que representa todos os elementos do conjunto A. Exemplos: 
1 3 5 
2 4 6 
 
 
4 
1. A = {conjuntos dos números pares} 
2  A 
3  A 
2. B = {conjuntos das cidades do Paraná} 
Curitiba  B 
Campinas  B 
A relação de inclusão, utilizamos sempre que um conjunto pode conter ou 
não conter outro conjunto. Essa relação é representada pelos símbolos  (está 
contido) e  (não está contido). 
Considerando o conjunto A={1, 2, 3} e o conjunto B={0,1,2,3,4} percebemos que 
todos os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B. Dessa 
forma, AB, ou seja, A está contido em B. Exemplos: 
3. AB 
 
4. AB 
 
O conjunto A não está contido no conjunto B, pois no conjunto A temos o 
número 2, que não está no conjunto B. 
Para representar a noção de inclusão podemos utilizar também os 
símbolos  (contém) e ⊅ (não contém). Assim, AB ou BA, ou seja, A está 
contido em B ou B contém A. 
Considerando as relações de pertinência e inclusão temos: 
 Relação de pertinência: 
Elemento  Conjunto 
Elemento  Conjunto 
 Relação de inclusão: 
Conjunto  Conjunto 
Conjunto  Conjunto 
 
 
5 
Tabela 1 – Símbolos de conjuntos e suas respectivas descrições 
Símbolo Descrição 
 Pertence 
 Não pertence 
 Está contido 
 Não está contido 
 Contém 
⊅ Não contém 
TEMA 2 – SUBCONJUNTO 
Já estudamos a relação de inclusão, em que relacionamos um conjunto a 
outro, e agora veremos que dessa relação surge a noção de subconjunto. 
De acordo com Macedo, Castanheira e Rosa (2006), dados dois conjuntos 
A e B, podemos dizer que o conjunto A é subconjunto do conjunto B, quando 
todo elemento do conjunto A for também elemento do conjunto B. Assim, 
dizemos que A está contido em B (A ⊂ B), ou seja, A é subconjunto de B. 
Podemos representar um subconjunto utilizando o seguinte diagrama: 
 
Considerando o conjunto A={2,7} e o conjunto B={2,3,4,5,6,7,8,9}, temos 
que os elementos do conjunto A também pertencem ao conjunto B, assim, A ⊂ 
B e A é subconjunto de B. Exemplos: 
1. A ⊂ B, então A é subconjunto de B. 
 
 
 
 
6 
2. A  B, então A não é subconjunto de B, pois o elemento 2 pertence ao 
conjunto A, mas não é elemento do conjunto B. 
 
Segundo Macedo, Castanheira e Rocha (2006), os elementos de um 
conjunto A que satisfazem a uma dada propriedade constituem um subconjunto 
de A, definido por essa propriedade.Considerando que qualquer um dos 
elementos de um conjunto pode ser chamado de variável e representado por x, 
podemos formar subconjuntos por meio de propriedades. 
Analisando o conjunto A={1,2,3,4,5,6}, a notação x  A indica que x pode 
assumir qualquer um dos valores 1,2,3,4,5 ou 6, e a partir desse conjunto 
podemos encontrar o conjunto B formado pelos elementos de A que são pares, 
logo: B = {x  A | x é par }. 
Portanto, B é um conjunto formado pelos elementos que pertencem ao 
conjunto A tais que x é um número par. Assim: B = {2,4,6}. Exemplos: 
3. Considerando o seguinte conjunto A encontrar os subconjuntos B e C 
definidos pelas propriedades: 
A = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} 
B = { x ∈ A | x é ímpar} 
B = {1,3,5,7,9} 
C= { x ∈ A | x≤ 3} 
C = {1,2,3} 
TEMA 3 – OPERAÇÕES COM CONJUNTOS 
Estudamos os conjuntos e os subconjuntos e agora vamos trabalhar com 
as operações de união, interseção, diferença e complementar. 
Considerando dos conjuntos A e B, na união ou reunião temos um 
conjunto formado pelos elementos de A mais os elementos de B, ou seja, é um 
conjunto formado por todos os elementos que pertencem a cada um desses 
conjuntos sem repetir os elementos que aparecem nos dois conjuntos ao mesmo 
 
 
7 
tempo. A união de dois ou mais conjuntos é representada pelo símbolo U. 
Exemplos: 
1. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos indicar a 
união de A com B (AUB): 
AUB = {1,2,3,4,5,6} 
2. Considerando os conjuntos A={-1,0,3} e B = {-3,0,5,6}, vamos indicar a 
união de A com B (AUB): 
AUB = {-3,-1,0,3,5,6} 
Podemos representar a união de dois conjuntos pelo seguinte diagrama: 
 
A interseção de dois ou mais conjuntos é um conjunto composto pelos 
elementos que aparecem simultaneamente, ou seja, pelos elementos comuns a 
todos os conjuntos. Representamos a interseção pelo símbolo  e verificamos 
sua representação pelo diagrama seguinte, em que a área em azul representa a 
interseção dos conjuntos A e B: 
 
Vamos considerar o conjunto A={5,6,7} e o conjunto B={7,8,9}; o conjunto 
interseção AB vai ser formado pelo número 7, pois esse número aparece nos 
dois conjuntos, ou seja, AB = {7}. Exemplos: 
3. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos descrever 
a interseção de A com B (AB). Como os números 3 e 4 pertencem a dois 
conjuntos, temos AB = {3,4}. 
 
 
8 
4. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {5,6,7,8}, vamos descrever 
a interseção de A com B (AB). Como não temos elementos que 
pertencem aos dois conjuntos simultaneamente, o conjunto interseção 
será um conjunto vazio, logo AB = { }. 
Considerando dois conjuntos A e B, a diferença entre esses dois conjuntos 
é representada por A-B e formada pelos elementos que aparecem no conjunto 
A, mas que não pertencem ao conjunto B. A diferença é representada pela parte 
verde do seguinte diagrama: 
 
Exemplos: 
5. Considerando os conjuntos A={1,2,3,4} e B = {3,4,5,6}, vamos encontrar 
A-B formado pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B. 
Os números 1 e 2 pertencem apenas ao conjunto A, então A-B = {1,2}. 
6. Vamos encontrar a diferença entre os conjuntos A={0,1,2} e B={0,1,2,6,7}. 
Observamos que todos os elementos de A também pertencem ao 
conjunto B, assim A-B é igual ao conjunto vazio, A-B ={ }. 
Nossa última operação é o conjunto complementar, considerando dois 
conjuntos A e B, em que A está contido em B, chamamos de complementar a 
diferença B – A ou ABC , que indica o complementar de A em relação a B. 
Exemplo: 
7. Considerando os conjuntos A={4,5,6} e B = {3,4,5,6,7}, vamos encontrar 
B-A formado pelos elementos que pertencem a B e não pertencem a A. 
Observamos que A está contido em B (A⊂B), pois todos os elementos de 
A aparecem no conjunto B. Assim, os números 3 e 7 pertencem apenas 
ao conjunto B, então: 
A
BC =B – A = {3,7} 
 
 
 
9 
TEMA 4 – CONJUNTOS NUMÉRICOS 
Os números podem ser classificados e separados nos seguintes 
conjuntos numéricos: números naturais, inteiros, racionais, irracionais, reais e 
complexos. 
O primeiro conjunto numérico a surgir foi o conjunto dos números naturais, 
advindo da necessidade do ser humano de realizar contagens. Esse conjunto é 
representado pela letra N, começa com zero e ao acrescentar sempre uma 
unidade obtemos todos os elementos: 
N = {0,1,2,3,4,5,…}. 
O conjunto dos números naturais apresenta uma limitação sempre que 
subtraímos uma quantidade maior que a existente, por exemplo, 5 – 10. Diante 
dessa necessidade surgiram os números inteiros que são formados pelos 
números naturais mais os respectivos simétricos, ou seja, temos os números 
positivos e os números negativos. Esse conjunto é representado pela letra Z: 
Z = {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…} 
O conjunto dos números inteiros resolveu a limitação apresentada pelo 
conjunto dos números naturais, mas apresentava uma limitação sempre que 
ocorresse uma divisão que não tivesse um resultado inteiro, por exemplo, ¾. 
Assim surgiu o conjunto dos números racionais, que contém os números que 
podem ser escritos na forma de divisão. Esse conjunto é representado pela letra 
Q e formado pelos números na forma 
𝑎
𝑏
 , em que a e b são números inteiros e b 
um número diferente de zero. Assim: 






 0,,, bZbZa
b
a
Q 






 ,...
2
3
.1,
5
3
,0,
3
1
,
4
5
,2...,Q 
Temos também o conjunto dos números irracionais que é formado por 
números que não podem ser escritos na forma de uma fração e é representado 
pela letra I. Esses números são os decimais infinitos e não periódicos, por 
exemplo, √2 = 1,4142135…, π = 3,1415926535… 
I = {…, -π,…, -√3,…, -√2,…, √3,…, π,…} 
O nosso último conjunto é o conjunto dos números reais representado por 
R e formado pelos números racionais com os números irracionais. Dessa forma, 
 
 
10 
os números reais são: todos os números irracionais, racionais, inteiros e naturais. 
Podemos representar este conjunto por: 
R = Q U I = {x | x Q ou x I} 
Além dos números reais, há outros números como a raiz de índice par de 
um número negativo. Por exemplo, é impossível nos números reais resolver a 
raiz quadrada de – 4 (√−4 ), pois não existe número real que elevado ao 
quadrado dê um número negativo, assim surgem os números complexos ou 
imaginários. 
TEMA 5 – INTERVALOS 
Muitas vezes não trabalhamos com um único valor mais com um conjunto 
de valores. Sempre que um conjunto numérico precisa ser representado com 
uma quantidade infinita de valores, usamos os intervalos. 
De acordo com Leite e Castanheira (2014), sejam a e b dois números 
reais tais que a<b, chama-se intervalo entre a e b o conjunto de todos os 
números reais desde a até b, sendo a e b os extremos do intervalo. O número a 
pode ser chamado de limite inferior do intervalo e b de limite superior. 
Para representar os intervalos utilizamos os seguintes símbolos: 
 ( ): indica que os extremos não estão incluídos no intervalo. 
 [ ]: indica que os extremos estão incluídos no intervalo. 
 ] [: indica que os extremos não estão incluídos no intervalo. 
 : bolinhas vazias significam que os valores informados junto a elas não 
fazem parte do intervalo. 
 : bolinhas cheias significam que os valores informados junto a elas fazem 
parte do intervalo. 
Os intervalos podem ser classificados nos seguintes tipos: 
 Intervalo fechado: conjunto de todos os números reais compreendidos 
entre a e b, inclusive a e b. Representamos esse intervalo da seguinte 
maneira, em que as bolinhas cheias indicam que os extremos pertencem 
ao intervalo: 
 
Assim, {x R | a bx  } ou [a,b]. 
 
 
11 
 Exemplo: 
1. Uma pesquisa realizada indica que um candidato possui 60% das 
intenções de voto com uma margem de erro de 2% para mais ou para 
menos. Assim as intenções de voto desse candidato variam entre 58% e 
62%. Podemos representar o resultado dessa pesquisa utilizando 
intervalos: 
58%  x 62% 
[58%, 62%] Intervalo aberto: conjunto de todos os números reais compreendidos 
entre a e b, não considerando a e b. Representamos esse intervalo da 
seguinte maneira, em que as bolinhas abertas indicam que os extremos 
não pertencem ao intervalo. 
 
Assim, {x R | a < x < b} ou ]a,b[ ou (a,b). 
Exemplo: 
2. Uma pesquisa indica que a taxa de juros para compra de imóveis ficará 
entre 6,5% e 9,5% ao ano. Podemos representar o resultado desta 
pesquisa por meio de intervalo observando que a taxa de juros ficará entre 
os valores, assim não inclui os extremos. Portanto: 
6,5 < x < 9,5 
]6,5,9,5[ 
 
 Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda ou semiaberto à 
direita: temos os números entre a e b, incluindo o valor de a e não 
incluindo b, ou seja, a  x < b. Podemos representar esse intervalo por 
[a,b[ ou [a,b). 
 
 
 
 
12 
Exemplo: 
3. Uma loja de utensílios domésticos vende itens a partir de R$ 1,99 até 
valores inferiores a R$ 30. Podemos representar a faixa de preço dos 
produtos por meio de intervalo considerando que tenho produtos com 
preço inicial de R$ 1,99 até inferiores a R$ 30, ou seja, considera-se no 
intervalo R$ 1,99, mas o R$ 30 não pertence ao intervalo. Assim: 
 
 
 Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda ou semiaberto à 
esquerda: neste intervalo não incluímos o valor de a e consideramos o 
valor de b, ou seja, a < x  b. Podemos representar esse intervalo por 
]a,b] ou (a,b]. 
 
 Intervalo infinito ou semifechado: quando não definimos um dos 
extremos ou os dois extremos do intervalo. Podemos representar esse 
intervalo das seguintes maneiras: 
 
 
 
 
O conjunto dos números reais pode ser representado pelo intervalo: 
 ]- , + [ ou (- , ). 
 
 
13 
Considerando os diferentes tipos de intervalos, temos os dados da Tabela 2. 
Tabela 2 – Representação dos diferentes tipos de intervalos 
 
TROCANDO IDEIAS 
Nesta aula vimos os diferentes conjuntos numéricos e os intervalos que 
estão presentes em diversas situações do nosso cotidiano. Você se recorda de 
alguma situação em que utilizou ou podemos utilizar os intervalos numéricos? E 
onde utilizamos os diferentes conjuntos numéricos? 
NA PRÁTICA 
Diariamente utilizamos os diferentes tipos de conjuntos numéricos em 
nossas atividades ou analisamos intervalos numéricos que representam 
determinada situação. Podemos analisar o intervalo da temperatura, o intervalo 
de taxa de juros, o intervalo de preço de um determinado item ou até mesmo o 
intervalo de faturamento ou lucro de uma organização. Com esses conceitos 
nossas análises e decisões são cada vez mais assertivas. 
Vamos assistir a um vídeo (indicado a seguir) que mostra algumas 
aplicações envolvendo conjuntos. 
 
 
14 
Vídeo 
Assista ao vídeo “Os números irracionais, reais e suas aplicações”. 
Disponível em: <https://edulivre.org.br/videos/13388/os-numeros-irracionais-
reais-e-suas-aplicacoes>. Acesso em: 9 out. 2019. 
Agora que já conhecemos as diferentes operações envolvendo conjuntos, 
vamos resolver o seguinte exercício que trata destes conceitos. 
1. Em uma escola de idiomas que possui 510 estudantes, 350 estudam inglês e 
220, espanhol. Com base nos dados apresentados calcule: 
a. Quantos alunos estudam inglês e espanhol? 
Se somarmos a quantidade de alunos apresentados temos: 
350 + 220 = 570 
Avaliando o valor obtido, percebemos que é maior que 510 que é o 
número total de estudantes da escola; isso ocorre porque temos os alunos que 
fazem ambos os cursos assim precisamos descontar esse valor da quantidade 
total: 
570 – 510 = 60 
Logo temos 60 alunos que estudam inglês e espanhol. 
b. Quantos alunos estudam apenas inglês? 
Temos que 350 estudantes estudam inglês, mas sabemos que 60 fazem 
ambos os cursos, então precisamos descontar essa quantidade para 
encontrarmos a quantidade de estudantes que fazem apenas inglês, assim: 
350 – 60 = 290 
Logo, 290 estudantes fazem apenas inglês. 
c. Quantos alunos estudam apenas espanhol? 
Temos que 220 estudantes estudam espanhol, mas sabemos que 60 
fazem ambos os cursos então precisamos vamos descontar esta quantidade 
para encontrarmos a quantidade de estudantes que fazem apenas espanhol, 
assim: 
220 – 60 = 160 
Logo, 160 estudantes fazem apenas espanhol. 
Podemos representar esse problema pelo seguinte diagrama: 
 
 
15 
 
FINALIZANDO 
Estudamos aqui os principais conceitos envolvendo conjuntos e 
trabalhamos os seguintes temas: 
 
 
Conjuntos
Relação 
pertinência
Relação 
inclusão
Subconjunto
Operações
União
Interseção
Diferença
Complentação
Conjuntos 
numéricos
Intervalos
Inglês Espanhol 
 
 
16 
REFERÊNCIAS 
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Teoria dos números e teoria dos 
conjuntos. Curitiba: InterSaberes, 2014. 
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática 
Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E 
ANALÍTICO CONTÁBIL 
AULA 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Aline Purcote 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Anteriormente, estudamos os diferentes conjuntos numéricos e, agora, 
vamos estudar algumas operações que envolvem esses conjuntos, como a 
potenciação e a radiciação. A ideia de potência é muito antiga e representa uma 
multiplicação de fatores iguais, já a radiciação é a operação inversa da 
potenciação. 
Nesta aula, estudaremos também razão e proporção, que são utilizadas 
para realizar comparações ou estabelecer igualdade entre grandezas diferentes. 
Veremos, ainda, que, em situações que envolvem proporções, utilizamos a regra 
de três e entenderemos a diferença entre regra de três simples e composta. 
CONTEXTUALIZANDO 
Imagine que você convidou 14 amigos para um churrasco, mas não sabe 
exatamente quanto de carne comprar e lembra que, quando fez um churrasco 
para 6 pessoas, comprou 3 kg de carne. Com essa informação, como encontrar 
a quantidade de carne a ser comprada? 
Vamos considerar uma aplicação de R$ 400,00 na poupança, em que o 
valor do juro em um mês foi de R$ 3,50. Se a aplicação fosse de R$ 2.100,00, 
qual seria o valor do juro? 
Nas duas situações, podemos utilizar a regra de três, que permite 
encontrar um valor desconhecido e é muito útil para a solução de questões 
cotidianas de forma simples e prática. Além da regra de três simples e composta, 
estudaremos potenciação, radiciação, razão e proporção. 
TEMA 1 – POTENCIAÇÃO 
A potenciação representa a multiplicação de fatores iguais, ou seja, 
representa um número que é multiplicado por ele mesmo várias vezes. Nessa 
operação, trabalhamos com uma base e um expoente que vai indicar o número 
de vezes que a base será multiplicada, ou seja: 
an = a.a.a.a. ... .a 
em que a é a base e n o expoente. 
 
 
 
3 
Exemplos: 
1) 3² = 3.3 = 9 
2) 4³ = 4.4.4 = 64 
3) a4= a.a.a.a 
Ao trabalhar com potências, temos as seguintes regras: 
1) Quando o expoente é um número par, o resultado será sempre positivo: 
 (3)² = 3.3 = 9 
 (-5)² = (-5).(-5) = 25 
Obs.: nesse caso, utilizamos a regra de sinal da multiplicação: 
 
2) Quando o expoente é um número ímpar, o resultado terá sempre o 
mesmo sinal da base. 
(2)³ = 2.2.2 = 8 
(-7)³ = (-7). (-7). (-7) = - 343 
Obs.: nesse caso, utilizamos duas regras de sinal da multiplicação: 
1º - multiplicado por - = +, ou seja, (-7).(-7) = 49 
2º+ multiplicado por - = -, ou seja, 49. (-7) = -343 
(-7). (-7). (-7) 
3) Quando um número negativo for elevado a um expoente par ou ímpar e 
não estiver entre parênteses, o resultado será sempre negativo. Isso 
ocorre, pois o sinal negativo é de toda a expressão e não da base. 
 -4² = -(4.4) = -16 
 
 
4 
 -4³ = -(4.4.4) = -64 
Desta forma, (-4)² é diferente de -4². Isso ocorre, pois, no primeiro, o sinal 
de menos também está elevado ao quadrado, então, a base a ser multiplicada é 
-4 e a resposta é 16 (-4.-4 = 16). No segundo caso, o menos não está elevadoao quadrado, assim, a base a ser multiplicada é 4 e a resposta será -16 (-(4.4)=-
16). 
Agora, vamos analisar algumas propriedades da potenciação: 
1) Potência elevada a zero: Toda base diferente de zero elevada ao 
expoente zero é igual a 1: 
 20 = 1 
 1500 = 1 
 1
2
1
0






 
 (-2)0 = 1 
Obs.: 00 é uma indeterminação. 
2) Potência elevada a 1: Toda base elevada ao expoente 1 é igual à própria 
base: 
 21 = 2 
 501 = 50 
 
2
1
2
1
1






 
 (-2)1 = -2 
3) Potência de expoente negativo: Uma base elevada a um expoente 
negativo é igual ao inverso da base com expoente positivo: 
 
4
1
2
1
.
2
1
2
1
2
2
2 





 
 
8
125
2
5
.
2
5
.
2
5
2
5
5
2
33













 
4) Multiplicação de potências de base diferente: a potência de um produto 
é o produto das potências: 
 
 
5 
 (3.5)² = 3² . 5² = 9 . 25 = 225 
 (x.y)³ = x³ . y³ 
 [(-2).(5)]² = (-2)² . (5)² = 4 . 25 = 100 
5) Divisão de potências de base diferente: a potência de uma divisão é a 
divisão das potências: 
 125
27
5
3
5
3
3
33






 
 9
1
3
1
3
1
2
22






 
6) Multiplicação de potência de mesma base: repete a base e soma os 
expoentes: 
 2². 2³ = 22+3 = 25 
ou seja: 
2². 2³ = (2.2). (2.2.2) = 25 
 3125
32
5
2
5
2
5
2
5
2
.
5
2
5
553232

























 
7) Divisão de potências de mesma base: repete a base e subtrai os 
expoentes: 
 
222
2
2 134
3
4
 
 
ou seja: 
2
2.2.2
2.2.2.2
2
2
3
4

 
 
 
 
    333
3
3 123
2
3


 
 
 8
1
2
1
22
2
2
3
352
5
2






 
 
Com essa propriedade, conseguimos exemplificar a propriedade número 
1 da potência elevada a zero. Vamos supor a seguinte divisão: 
 
 
6 
122
2
2 022
2
2
 
 
ou seja: 
1
4
4
2.2
2.2
2
2
2
2

 
8) Potência de potência: repete a base e multiplica os expoentes: 
 (2³)² = 23.2 = 26 
ou seja: 
(2³)² = 2³. 2³ = (2.2.2). (2.2.2) = 26 
 (x²)5 = x2.5= x10 
Uma importante aplicação da potenciação é a notação científica, utilizada 
para expressar valores muito grandes ou muito pequenos em que usamos as 
potências de 10 como fator multiplicativo junto aos dígitos não nulos, de maneira 
que o valor a ser denotado esteja entre 0 e 10. 
Ao escrever um número na forma de notação científica, a vírgula será 
deslocada para a direita ou para a esquerda. Quando deslocamos a vírgula para 
a direita, o expoente da base 10 será negativo e igual ao número de casas 
decimais que a vírgula deslocou. Caso o deslocamento ocorra para esquerda, o 
expoente será positivo e igual ao número de casas decimais que a vírgula 
deslocou. 
Exemplos: 
1) 367 = 3,67 x 10² 
A vírgula foi deslocada duas casas para a esquerda. 
 
2) 0,0035 = 3,5 x 10-3 
A vírgula foi deslocada três casas para direita. 
 
 
 
 
7 
TEMA 2 – RADICIAÇÃO 
Já estudamos os principais conceitos e propriedades da potenciação, 
agora estudaremos radiciação, que é a operação inversa da potenciação. Vimos 
que a potenciação é uma multiplicação de fatores iguais, já a radiciação é a 
operação utilizada quando queremos descobrir qual o número que multiplicado 
por ele mesmo várias vezes resulta em um valor que conhecemos. 
Segundo Macedo, Castanheira e Rocha (2006), denomina-se raiz de 
índice n de A o número ou expressão que, elevado à potência n, reproduz A: 
AxxA nn  
em que: 
A = radicando 
n = índice 
x = raiz 
√= radical 
Exemplos: 
1) 416  , pois 4² = 16 ou -4, pois (-4)² = (-4). (-4) = 16 
2) 283  , pois 2³ = 8 
3) 283  , pois (-2)³ = -2.-2.-2 = -8 
De acordo com Macedo, Castanheira e Rocha (2006), ao trabalhar com a 
radiciação, deduzimos que: 
 Se o índice do radical é um número ímpar, a sua raiz é única e tem o 
mesmo sinal do radicando. 
 Os números negativos não têm raiz de índice par no campo dos números 
reais. Por exemplo, 4 . Isso ocorre porque não temos um número real 
que elevado ao quadrado resulte em um número negativo. Essas raízes 
podem ser resolvidas utilizando o conjunto dos números complexos. 
 Se o índice do radical é par, os números positivos têm sempre duas raízes 
reais diferentes e simétricas. 
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-potenciacao.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-multiplicacao.htm
 
 
8 
Sabemos que a radiciação é o inverso da potenciação. Assim, podemos 
transformar uma raiz em uma potência, utilizando expoente fracionário e 
facilitando facilitar os cálculos, pois podemos utilizar as mesmas propriedades 
que estudamos na potenciação. Para realizar essa transformação, dividimos o 
expoente do radicando pelo índice do radical: 
n
b
n b aa  
Exemplos: 
1) 4
3
4 3 88  
2) 3
1
3 1414  
3) 16444 24
8
4 8  
Para resolver problemas envolvendo radiciação, utilizamos algumas 
propriedades: 
1) Multiplicação de radicais de mesmo índice: multiplicar os radicandos e 
atribuir ao resultado o índice comum: 
nnn baba ..  
 155.3  
 333 2439.27  
2) Divisão de radicais de mesmo índice: dividir os radicandos e atribuir ao 
resultado o índice comum: 
0,  b
b
a
b
a
n
n
n
 
 3
2
6
2
6
 
 3
3
3
5
3
5
3
 
 
 
9 
3) Raiz de raiz: multiplicar os índices das raízes: 
nmm n aa . 
 123 4 2020  
 217 3 55  
4) Potência de expoente nde raiz n-ésima: se uma raiz de índice n está 
elevada a um expoente n, o resultado será o radicando: 
  aa nn  
   2222 17
7
7
7  
   33 1010  
5) Raiz de uma potência: elevar o radicando ao expoente indicado e 
conservar o índice: 
  n mmn aa  
   44 334 2733  
   33 223 2555  
   33 2423 2 1443.23.2  
Quando efetuamos operações de adição e subtração envolvendo radicais, 
somamos e subtraímos radicais de mesmo índice e mesmo radicando, ou seja, 
realizamos as operações com radicais semelhantes operando os coeficientes e 
mantendo o radical. 
Exemplos: 
1)   3324132343  
2)     532256322456532224  
 
 
 
10 
TEMA 3 – RAZÕES E PROPORÇÕES 
Razão e proporção estão relacionadas à operação da divisão em que a 
razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, e a proporção é 
determinada pela igualdade entre duas razões. 
A razão entre dois números é a divisão entre a e b, com b≠0 e indicada 
por 
b
a
em que a é chamado de antecedente e b de consequente. 
Exemplos: 
1) Em um campeonato, um jogador realizou 15 arremessos e acertou 9. Qual 
a razão do número de acertos para o número total de arremessos? Qual 
a razão entre o número de acertos e o número de erros? 
Para resolver essa questão, vamos verificar os dados fornecidos: 
 Totais de arremessos = 15 
 Totais de acertos = 9 
Agora vamos encontrar a razão de acertos para o total de arremesses, 
dividindo o número de acertos pelo total: 
5
3
15
9
 
Observe que simplificamos a fração dividindo o numerador e o 
denominador por 3, assim, para a cada 5 arremessos, o jogador acerta 3. 
Para encontrar a razão entre o número de acertos e o número de erros, 
precisamos saber quantos arremessos o jogador errou, assim, diminuímos o total 
pelo número de acertos: 
15 – 9 = 6 
Para encontrar a razão, dividimos o número de acertos pelo número de 
erros: 
2
3
6
9
 
Logo, para cada 3 acertos, o jogador erra 2 arremessos. 
 
 
11 
2) O salário de um funcionário é de R$ 2.000, e um segundo funcionário 
recebe R$ 1.000. Qual a razão do salário do primeiro para o segundo 
funcionário? 
Para encontrar a razão, vamos dividir o salário do primeiro pelo salário do 
segundo: 
2
1000
2000
 
Desta forma, o primeiro funcionário recebe o dobro do segundo 
funcionário. 
A razão também pode ser representada na forma percentual (%), sendo 
essa representação muito utilizada na área financeira no cálculode juros e 
descontos. Assim a razão 
b
a
, com b=100 pode ser escrita na forma de 
porcentagem. 
Exemplos: 
1) %3030,0
100
30
 
2) Uma fábrica produziu no ano de 2015 um total de 2.000 veículos e em 
2016 produziu 2.200 veículos. Qual foi o percentual de aumento em 2016 
comparado com 2015? 
Considerando a produção nos dois anos, foram produzidos 200 veículos 
a mais em 2016 comparado com 2015 (2.200 – 2000 = 200), assim, temos a 
seguinte razão entre o aumento da produção em 2016 e o número de veículos 
produzidos em 2015: 
%1010,0
100
10
2000
200
 
Desta forma, o crescimento na produção dessa fábrica foi de 10%. 
Além da porcentagem no nosso dia a dia, trabalhamos com várias razões, 
entre elas, destacamos: 
 
 
12 
 
Vimos que a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas, e 
a relação de igualdade entre duas razões chamamos de proporção. As 
proporções podem ser representadas como: 
d
c
b
a

 
Em que a e d são os extremos e b e c os meios. Em toda proporção, o 
produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja, a.d = b.c. 
Exemplos: 
1) 
20
15
16
12
 
12.20 = 240 
16.15 = 240 
2) Um vendedor recebe a cada 2 itens vendidos R$ 200,00 de comissão. 
Quanto ele receberá de comissão no mês que vender 15 itens? 
Sabemos que a cada 2 itens ele recebe R$ 200 assim temos 200
2
. Para 
15 itens não conhecemos o valor, então chamamos de x, logo x
15
. Agora, vamos 
montar a proporção e utilizar a propriedade para encontrar o valor de x: 
x
15
200
2

 
2.x = 200. 15 
Isolando o xe, utilizando as operações inversas, temos: 
 
 
13 
1500
2
3000
2
15.200
x
 
Logo, o vendedor receberá R$ 1.500 de comissão pela venda dos 15 
itens. 
As proporções são a base dos cálculos envolvendo regra de três simples 
e composta que veremos a seguir. 
TEMA 4 – REGRA DE TRÊS 
A regra de três simples é um processo prático usado em situações que 
envolvem quatro valores dos quais só conhecemos três, sendo que essas quatro 
medidas formam uma proporção. 
Segundo Rodrigues (2010), a regra de três é a operação de cálculo na 
qual estão envolvidas duas grandezas ou mais grandezas de forma direta ou 
inversamente proporcionais. 
Duas grandezas são consideradas diretamente proporcionais quando, 
aumentando uma das grandezas, a outra também aumenta na mesma proporção 
ou, quando o valor de uma diminui, a outra também diminui. 
Exemplos: 
1) Distância e tempo: quanto maior a distância, maior será o tempo para 
percorrer o trajeto. 
2) Produção e tempo: quanto mais horas disponíveis para produção, mais 
produtos serão produzidos. 
Duas grandezas são consideradas inversamente proporcionais quando, 
aumentando uma das grandezas, a outra diminui na mesma proporção ou, 
quando o valor de uma diminui, a outra aumenta. 
Exemplos: 
1) Velocidade e tempo: se aumentar a velocidade em uma viagem, 
diminuímos o tempo gasto para chegar ao destino. 
2) Número de funcionário e tempo: se aumentarmos o número de 
funcionários desempenhando a mesma atividade, reduzimos o tempo de 
finalização dessa atividade. 
Para resolver uma regra de três, utilizamos os seguintes passos: 
https://brasilescola.uol.com.br/matematica/regra-tres-simples.htm
https://brasilescola.uol.com.br/o-que-e/matematica/o-que-e-proporcao.htm
 
 
14 
1) Representar o termo desconhecido por x. 
2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões. 
3) Verificar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais. 
4) Montar a proporção e resolver a equação. 
Exemplos: 
1) Uma pessoa aplicou R$ 500,00 na poupança e recebeu de juros, em um 
mês, R$2,50. Ela pretende aplicar R$2.100 no mesmo mês, qual será o 
valor dos juros que receberá? 
Vamos seguir os passos para resolução utilizando regra de três: 
1) Representar o termo desconhecido por x: queremos saber qual o valor do 
juro quando aplicado R$ 2.100, então o juro será igual a x. 
2) Construir uma tabela com as grandezas, posicionadas em razões. 
Tabela 1 - Grandezas 
Aplicação Juro 
500 2,50 
2.100 X 
3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais: se 
aumentarmos o valor da aplicação o valor de juros que iremos receber 
também aumenta, assim temos grandezas diretamente proporcionais. 
Tabela 2 – Grandezas 2 
Aplicação Juro 
500 2,50 
2.100 X 
4) Montar a proporção e resolver a equação. 
x
50,2
2100
500
 
500x = 2100.2,50 
500x = 5250 
5,10
500
5250
x
 
 
 
15 
O valor dos juros será de R$ 10,5 na aplicação de R$ 2.100. 
2) Uma equipe, trabalhando 8 horas por dia, realiza um projeto em 20 dias. 
Se a equipe trabalhar apenas 5 horas por dia, em que prazo entregará o 
projeto? 
Vamos seguir os passos para resolução: 
1) Representar o termo desconhecido por x: queremos saber em quanto 
tempo a equipe entregará o projeto se trabalhar apenas 5 horas, então o 
tempo será x. 
2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões: 
Tabela 3 – Grandezas 3 
Horas Dias 
8 20 
5 x 
3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais: se 
diminuirmos a quantidade de horas trabalhadas, o prazo aumentará, 
dessa forma, temos grandezas inversamente proporcionais. 
Tabela 4 – Grandezas 4 
Horas Dias 
8 20 
5 x 
4) Montar a proporção e resolver a equação: como as grandezas são 
inversamente proporcionais, precisamos inverter a razão antes de 
resolver a equação, assim: 
x
20
5
8

205
8 x

 
8.20 = 5x 
160 = 5x 
32
5
160
x
 
Reduzindo as horas de trabalho para 5 horas diárias, o prazo para entrega 
do projeto será de 32 dias. 
 
 
16 
TEMA 5 – REGRA DE TRÊS COMPOSTA 
Já vimos que a regra de três simples é utilizada quando temos duas 
grandezas que envolvem quatro valores em que um deles é desconhecido. Já 
na regra de três composta, trabalhamos com problemas que envolvem três ou 
mais grandezas, direta ou inversamente proporcionais. 
Para resolver uma regra de três composta, utilizamos os seguintes 
passos: 
1) Representar o termo desconhecido por x. 
2) Construir uma tabela com as grandezas posicionadas em razões. 
3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, 
comparando as grandezas duas a duas sendo uma delas a variável. 
4) Montar a proporção e resolver a equação. 
Exemplos: 
1) Em uma empresa, 6 funcionários produzem 500 itens em 10 dias. 
Quantos itens serão produzidos por 10 funcionários trabalhando por 12 
dias? 
Analisando esse problema, temos três grandezas: número de 
funcionários, quantidade de itens e dias trabalhados. Para resolver esse 
problema, vamos seguir os passos: 
1) Representar o termo desconhecido por x: a nossa variável x será a 
quantidade de itens produzidos por 10 funcionários em 12 dias. 
2) Construir uma tabela com as grandezas, posicionadas em razões: 
Tabela 5 – Grandezas 5 
Número de funcionários Números de dias Quantidade de itens 
6 10 500 
10 12 x 
3) Verificar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais, 
comparando as grandezas duas a duas sendo uma delas a variável. 
 
 
17 
Vamos comparar o número de funcionários com a quantidade de itens: se 
aumentarmos a quantidade de funcionários, produzimos mais itens, assim, as 
grandezas são diretamente proporcionais: 
Tabela 6 – Grandezas 6 
Número de funcionários Quantidade de itens 
6 500 
10 x 
Agora vamos comparar o número de dias com a quantidade de itens, se 
aumentamos o número de dias, produzimos mais itens, logo, as grandezas 
também são diretamente proporcionais: 
Tabela 7 – Grandezas 7 
Número de dias Quantidade de itens 
10 500 
12 x 
4) Montar a proporção e resolver a equação: 
12
10
.
10
6500

x
 
120
60500

x
 
60x = 60000 
1000
60
60000
x 
Se 10 funcionários trabalharem por 12 dias, eles produzirão 1000 itens. 
2) Uma empresa possui 6 impressoras que gastam 40 minutos para 
impressão de 1.000 cópias, quanto tempo 3 impressoras gastarãopara 
imprimir 2.000 cópias? 
Analisando o enunciado, temos as grandezas: número de impressoras, 
quantidade de cópias e tempo: 
 
 
18 
Tabela 8 – Grandezas 8 
Impressoras Cópias Tempo 
6 1000 40 
3 2000 x 
Vamos analisar se as grandezas são diretamente ou inversamente 
proporcionais: 
Tabela 9 – Grandezas 9 
Impressoras Tempo 
6 40 
3 x 
Se reduzirmos o número de impressoras, o tempo irá aumentar, dessa 
forma, essas grandezas são inversamente proporcionais. 
Tabela 10 – Grandezas 10 
Cópias Tempo 
1000 40 
2000 x 
Aumentando o tempo, temos mais cópias, logo, as grandezas são 
diretamente proporcionais. Agora, vamos montar a proporção e resolver a 
equação, lembrando que, como temos uma grandeza inversamente 
proporcional, precisamos inverter os valores. 
2000
1000
.
3
640

x 
2000
1000
.
6
340

x 
12000
300040

x 
3000x = 480000 
 
 
19 
160
3000
480000
x
 
Assim, 3 impressoras gastarão 160 minutos para imprimir 2.000 cópias. 
TROCANDO IDEIAS 
A potenciação e a radiciação servem para simplificar expressões 
matemáticas. Você se lembra de situações em que precisou utilizar a 
potenciação e a radiciação? 
Vimos ainda que a razão e a proporção estão relacionadas à operação de 
divisão em que a razão estabelece uma comparação entre duas grandezas. 
Você se recorda de alguma situação em que utilizou razão para comparar 
grandezas? 
As proporções são a base dos cálculos envolvendo regra de três, que é 
um método prático para resolução de problemas cotidianos com inúmeras 
aplicações, como calcular os preços na hora de uma compra, ou elaborar uma 
receita em que precisamos saber as quantidades e proporções adequadas. 
Recorda-se de alguma situação em que utilizou a regra de três ou poderia 
utilizar? 
NA PRÁTICA 
Nesta aula, trabalhamos com a potenciação, que possui inúmeras 
aplicações no cotidiano, como nos cálculos de juro composto ou na notação 
científica que utiliza potências para representar números muito grandes ou 
pequenos. 
No juro composto, o juro de cada intervalo de tempo é somado ao capital 
inicial e passa a render juro também, por isso chamamos de juro sobre juro. 
Imagine uma aplicação de R$ 500 durante 8 meses a uma taxa de 5% ao mês, 
quanto teríamos no final desse período? Para calcular o valor final, utilizamos a 
fórmula M = C (1+i)n em que temos a utilização da potenciação. Vamos aplicar a 
fórmula para encontrar quanto teremos no final do período: 
M = C (1+i)n 
M = 500(1+0,05)8 
M = 500 (1,05)8 
M = 500.1,47746 
 
 
20 
M = 738,73 
Assim, teremos R$ 738,73 no final de 8 meses aplicando R$ 500 com uma 
taxa de 5% ao mês. 
Da mesma forma que utilizamos a potenciação nas operações financeiras, 
também podemos utilizar a radiciação para calcular a taxa de juro composto. 
Conhecendo o valor do capital, o montante e o tempo, podemos isolar o valor de 
i na fórmula do juro composto para encontrar a taxa assim: 
M = C (1+i)n 
1 n
C
M
i 
Vamos utilizar a mesma aplicação de R$ 500, em 8 meses, sabendo que 
o montante é de R$ 738,73, para encontrar a taxa de juros dessa aplicação, 
assim: 
1 n
C
M
i 
1
500
73,738
8 i 
147746,18 i 
i = 1,05 -1 = 0,05 x 100 = 5% ao mês. 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos os principais conceitos envolvendo potenciação, 
radiciação, razão, proporção e regra de três, além de aplicações e diferenças 
entre regra de três simples e composta. 
 
 
 
21 
REFERÊNCIAS 
MACEDO, L. R, D; CASTANHEIRA, N. P; ROCHA, A. Tópicos de Matemática 
Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. 
RODRIGUES, L. R. F. Matemática e Raciocínio Lógico Matemático para 
concursos. Campinas: Servanda Editora, 2010. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E 
ANALÍTICO CONTÁBIL 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof.ª Aline Purcote 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Muitas situações nas áreas de administração e ciências contábeis podem 
ser representadas por funções matemáticas. Mas, o que é função? Ela está 
presente sempre que relacionamos duas grandezas variáveis como: número de 
litros de combustível e preço a pagar; tempo e distância percorrida em uma 
viagem; e número de peças produzidas e o custo. Acrescentam-se inúmeros 
exemplos de nosso cotidiano dentro e fora das organizações. 
Nesta aula, estudaremos os principais conceitos envolvendo funções, 
além das funções composta, inversa, linear, afim, constante, quadrática, 
exponencial e logarítmica. Veremos também onde e como aplicá-las. 
CONTEXTUALIZANDO 
Diariamente nos deparamos com funções matemáticas: quando vamos ao 
supermercado, o preço a pagar por uma compra depende dos produtos 
selecionados; o valor gasto para encher o tanque de combustível é determinado 
pela quantidade de litros abastecidos; o salário de um vendedor comissionado 
está relacionado às vendas realizadas no mês; e o imposto de renda que 
pagamos varia conforme o salário. Logo, o conceito de funções está presente 
em nosso cotidiano e em diferentes áreas. 
As funções descrevem ainda a trajetória de objetos, como uma bola de 
futebol que realiza um movimento que acompanha uma parábola. Problemas 
relacionados a juros compostos, crescimento populacional, decaimento 
exponencial, prazo de uma aplicação financeira ou o tempo relativo ao 
crescimento da população também são exemplos de aplicações das funções. 
Saiba mais 
Vamos entender mais sobre as funções? Confira, então, os seguintes 
vídeos e os respectivos endereços eletrônicos: 
“Conceito de função”: <https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBnmLvQ>. 
“Noção de função”: <https://www.youtube.com/watch?v=84VbUs8GNfg>. 
 
 
 
3 
TEMA 1 – FUNÇÕES 
Anteriormente, estudamos os principais conceitos envolvendo conjuntos, 
e agora vamos utilizá-los para definir funções. Uma função está presente sempre 
que relacionamos duas grandezas variáveis. 
Segundo Rodrigues (2010), considerando dois conjuntos A e B não vazios 
e f a relação entre eles, se todos os elementos x de A estiverem associados a 
um único elemento y de B, dizemos que essa relação é uma função. 
De acordo com Macedo, Castanheira e Rocha (2006), chama-se função 
ou aplicação de A em B, representada por f: A → B; y = f(x), qualquer relação 
binária que associa a cada elemento de A um único elemento em B. 
 
Em algumas situações, temos relações que não são funções. Isso ocorre 
sempre que um valor da variável x estiver associado a dois ou mais valores ou 
quando algum valor de x não estiver relacionado, ou seja, algum elemento do 
conjunto A não tiver correspondente em B. 
 
Uma função pode ser representada por y = f(x), indicando que y está 
associado a x por meio da função f. A variável y é chamada de variável 
dependente, pois é uma consequência do valor de x, ou seja, y depende de x. 
Já a variável x é chamada de variável independente, que assume os possíveis 
valores do conjunto A. 
O conjunto A formado pelos possíveis valores da variável independente x 
recebe o nome de domínio, representado pela letra D. O conjunto B representa 
o conjunto das variáveis dependentes e chamamos de contradomínio 
 
 
4 
(representado por CD). Todos os elementos do contradomínio que se relacionam 
ao domínio formam o conjunto Imagem (Im). 
A lei que define como os elementos do domínio estão relacionados com o 
contradomínio é denominada lei de formação ou de associação de uma função. 
 
Exemplo: Dados os conjuntos A = {-2,-1,0,1} e B = {-5, -2, 1, 4, 5, 6} e a relação 
f(x) = 3x + 1, determinar o domínio, o contradomínio e a imagem. 
O domínio é o conjunto A formado pelos valores de x, já o contradomínio 
é o conjunto B que possui os valores de y. Assim: 
D(f) = A = {-2,-1,0,1} 
CD (f) = B = {-5, -2, 1, 4, 5, 6} 
Para encontrarmos o conjunto imagem valor, substituir os valores de x do 
conjunto A na relação f(x) = 3x + 1: 
A = {-2,-1,0,1} 
f(-2) = 3.(-2) +1 = - 5 
f(-1) = 3.(-1) + 1 = -2 
f(0) = 3.(0) + 1 = 1f(1) = 3.(1) + 1 = 4 
Assim: Im(f) = { -5, -2, 1, 4} 
 
Considerando que domínio e contradomínio pertencem ao conjunto dos 
números reais, precisamos avaliar algumas situações, pois há certas operações 
que não são realizadas no conjunto dos números reais. Dessa forma, avaliamos 
e determinamos o domínio de uma função levando em consideração as 
seguintes situações: 
 
 
5 
1. Caso o domínio da função não seja dado, consideramos que o domínio é 
o conjunto dos números reais; 
2. Caso seja dado um intervalo de validade da variável x, este será o domínio 
da função. Exemplo: f(x) = 4x – 2 com 0 ≤ x ≤ 6. 
3. Caso a variável independente esteja no denominador de uma fração, 
precisamos lembrar que o denominador deve ser ≠ 0. 
Exemplo: 
5
8
)(


x
xf 
Como o denominador precisa ser diferente de zero, temos que: 
x – 5 ≠ 0. 
Isolando o x, temos que x ≠ 5, ou seja, x precisa ser diferente de 5. 
Logo, o domínio será: D(f) = {x R | x ≠ 5} 
4. Caso a variável independente esteja em um radical de índice par, 
devemos lembrar que o radicando precisa ser maior ou igual a zero, 
conforme estudamos anteriormente. 
Exemplo: 153)(  xxf 
Como o radicando precisa ser maior ou igual a zero, temos: 
3x – 15 ≥ 0 3x ≥ 15 
3
15
x x ≥ 5 
Logo, o domínio será: D(f) = {x R | x ≥ 5}. 
As funções podem ser classificadas em sobrejetora, injetora e bijetora: 
 Sobrejetora: quando o conjunto imagem é igual ao contradomínio: 
 
 Injetora: quando elementos distintos do domínio possuem imagens 
distintas: 
 
 
 
6 
 Bijetora: quando é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora: 
 
Segundo Macedo (2006), seja dada uma função f: R → R definida pela lei 
de formação y = f(x). Pode-se representar os pares ordenados (x,y), obtidos por 
meio da lei de formação, que possuem x D(f) e y= f(x), em um sistema de 
coordenadas cartesianas. A curva obtida com a ligação dos pares ordenados é 
a representação geométrica da função, usualmente denominada de gráfico da 
função f. 
Exemplo: Elaborar o gráfico da função f(x) = 2x - 3, sabendo que A = {1,2,3,4} 
(Macedo; Castanheira; Rocha, 2006, p. 104). 
Para elaborar o gráfico, precisamos encontrar o conjunto imagem 
substituindo o valor de x pelos valores do conjunto A: 
f(1) = 2.1 – 3 = -1, par ordenado (1, -1) 
f(2) = 2.2 – 3 = 1, par ordenado (2, 1) 
f(3) = 2. 3 – 3 = 3, par ordenado (3, 3) 
f(4) = 2. 4 – 3 = 5, par ordenado (4, 5) 
Agora, representamos no plano cartesiano os pares ordenados: 
 
 
 
7 
TEMA 2 – FUNÇÃO COMPOSTA E FUNÇÃO INVERSA 
Uma função composta é constituída com base em outra ou em outras 
funções, ou seja, se forma pela relação entre duas ou mais funções. 
Dadas as funções f: A → B e g: B → C, chamamos de função composta 
de g e f a função g o f: A → C, que é definida por (g o f)(x) = g(f(x)), x A. 
 
Exemplo 1: Dadas as funções f(x) = x + 5 e g(x) = x² -1, determinar f(g(x)). 
Para encontrar f(g(x)), precisamos substituir o valor de x na função f(x) 
pela função g(x): 
f(x) = x + 5 
f(g(x))= f(x² -1) = (x² -1) + 5 
f(g(x)) = x² -1 + 5 f(g(x)) = x² + 4 
Exemplo 2: O lucro de uma empresa é representado pela função L = 0,5.V, em 
que V é o preço de venda. Sabendo que o preço de venda V é representado pela 
função V = 15 + 2,5.C, em que C é o custo da matéria-prima, encontrar o lucro 
por meio do custo da matéria-prima. 
Para descobrir o resultado, podemos utilizar a definição de função 
composta, fazendo uma composição entre as funções L e V. Dessa forma, 
podemos substituir V direto na função L; assim: 
L = 0,5.V 
V = 15 + 2,5.C 
L = 0,5.(15 + 2,5.C) L = (0,5 . 15) + (0,5 . 2,5C) 
L = 7,5 + 1,25 C 
Assim, identificamos o lucro relacionado diretamente com o custo da 
matéria-prima C. 
Temos também a função inversa, que é representada por f-1(x) e é a 
função contrária à f(x). Para existência da função inversa, a f(x) precisa ser uma 
 
 
8 
função bijetora; assim, considerando a função f: A → B bijetora, chamamos 
função inversa de f a função f: B → A. 
 
Para obter a função inversa, trocamos a ordem dos elementos de cada 
par ordenado da função f, ou seja, substituímos y por x e x por y e, em seguida, 
isolamos o valor de y. 
Exemplo 1: Determinar a função inversa das seguintes funções: 
a) f(x) = x + 2 
Para encontrar a função inversa f-1(x), escrevemos f(x) na forma: y = x + 
2 e trocamos y por x e x por y: 
y = x + 2 
x = y + 2 
Vamos isolar a variável y, utilizando as operações inversas: 
x = y + 2 
x – 2 = y ou y = x -2 
Assim: f-1(x) = x -2 
b) f(x) = -3x + 5 
y = -3x + 5 
Trocando x por y e y por x, temos: 
y = -3x + 5 x = -3y + 5 
x – 5 = -3y 
Multiplicando por (-1) e isolando y, temos: 
x – 5 = -3y - x + 5 = 3y 
3
5

x
y 
 
 
9 
TEMA 3 – FUNÇÃO LINEAR, AFIM, CONSTANTE 
Uma função afim ou de primeiro grau é escrita na forma y = ax + b, com a 
≠ 0. Quando temos apenas o coeficiente a, chamamos de função linear; assim 
uma função linear é escrita na forma f(x) = ax, sendo a ≠ 0 e b = 0. O coeficiente 
a é chamado de coeficiente angular, e o coeficiente b, coeficiente linear. 
Exemplos: 
1) f(x) = -7x + 120 
2) f(x) = 2x + 6 
3) f(x) = -3x + 
5
4
 
4) f(x) = 2x 
O gráfico de uma função de primeiro grau é representado por uma reta; o 
coeficiente angular (a) representa a inclinação da reta, e o coeficiente linear (b), 
o valor em que o gráfico corta o eixo y. O ponto onde a reta corta o eixo x é 
chamado de raiz da função e é dado por: 
a
b
x  
Analisando o coeficiente a, temos as seguintes funções: 
 a > 0 → função crescente 
Exemplo 1: f(x) = 2x + 1 
 
 a < 0 → função decrescente 
 
 
10 
Exemplo 2: f(x) = -3x + 2 
 
 a = 0 → função constante 
Exemplo 3: f(x) = 2 
 
Quando temos uma função linear na forma f(x) = ax, o gráfico é uma reta 
que passa pela origem: 
 
Exemplo 4: Construir o gráfico da função y = 3x - 1, determinar a sua raiz, o 
coeficiente angular e o coeficiente linear e verificar se a função é crescente ou 
decrescente. 
Vamos encontrar os coeficientes: 
 Coeficiente angular (a) = 3 
 Coeficiente linear (b) = -1 
 
 
11 
Analisando o coeficiente angular, temos que a é positivo (a>0); assim, 
nossa função é crescente. 
Agora, vamos determinar a raiz da função utilizando a fórmula: 
a
b
x  
Por fim, esboçamos o gráfico, indicando os pontos 3
1
x
, ponto em que a 
reta corta o eixo x, e b = -1, que é o ponto que corta o eixo y: 
 
TEMA 4 – FUNÇÃO QUADRÁTICA 
Uma função quadrática, também como função polinomial de 2º grau, é 
escrita na forma f(x) = ax² + bx + c, com a ≠ 0. 
Exemplos: 
1) f(x) = x² - 2x + 1, a = 1, b = -2, c = 1 
2) f(x) = -4x² + 4x -1, a = -4, b = 4, c = -1 
3) f(x) = x² -4, a = 1, b = 0, c = -4 
4) f(x) = -x² + 100x, a = -1, b = 100, c =0 
5) f(x) = -x², a = -1, b = 0, c = 0 
A função quadrática possui uma representação gráfica dada por uma 
curva, denominada parábola, que pode ter concavidade voltada para cima ou 
para baixo, dependendo do sinal do coeficiente a: 
 a > 0: a curva terá a sua concavidade voltada para cima, e a função terá 
um ponto de mínimo: 
 
3
)1(
x
3
1
x
 
 
12 
 a < 0: a concavidade da curva será voltada para baixo, e a função terá 
ponto de máximo: 
 
O ponto em que a parábola cruza o eixo y é indicado pelo parâmetro c da 
função, já o eixo x é interceptado pelas raízes da função. Para determinar as 
raízes, igualamos a função a zero e resolvemos a equação de 2º grau utilizando 
a fórmula de Bháskara. 
a
acbb
x
2
4² 
 
em que  é chamado de discriminante e igual a b² - 4ac. 
Uma função de 2º grau possui duas raízes x1 e x2, e, analisando o valor 
do discriminante ( ), sabemos como serão essas raízes. Assim: 
  > 0 ( um valor positivo): a função possui duas raízes reais diferentes, 
e a parábola intercepta o eixo x em dois pontos x1 e x2 : 
 
 = 0: a função possui duas raízes reais iguais, e a parábola intercepta o 
eixo x em um único ponto, pois x1 = x2 . 
 
  < 0 (  um valor negativo): a função não possui raízes reais, e a 
parábola não intercepta o eixo x. Isso ocorre, pois não existe raiz real de 
a
b
x
2


 
 
13 
um número negativo quando o índice é par, conforme aprendemos 
anteriormente sobre radiciação. 
 
Segundo Macedo (2006), toda parábola possui um vértice, que é o ponto 
no qual o gráfico representativo da função de 2º grau deixa de ser crescente e 
passa a ser decrescente, ou vice-versa. Para calcular as coordenadas do vértice, 
utilizamos as fórmulas: 
a
b
xv
2
 
Com base nas definições estudadas, podemos representar 
genericamente o gráfico de uma função de 2º grau conforme a figura a seguir: 
 
Exemplos: Para cada, função vamos determinar as raízes, as coordenadas do 
vértice, verificar se a concavidade é voltada para cima ou para baixo e traçar o 
gráfico da função. 
a) f(x) = x² - 5x + 6 
Vamos iniciar identificando os coeficientes a, b e c, lembrando que a forma 
geral da função de 2ª grau é f(x) = ax² + bx + c, assim a = 1, b = -5, c = 6. 
Analisando o coeficiente a, temos que ele é positivo, assim a concavidade 
será virada para cima. Vamos agora encontrar as raízes, utilizando a fórmula de 
Bháskara, substituindo os coeficientes: 
a
acbb
x
2
4² 
 
2
24255 
x 
a
yv
4


1.2
6.1.4)²5()5( 
x
2
15
x
2
15
x
 
 
14 
Uma das raízes será a soma, e a segunda, a subtração: 
3
2
6
2
15
1 

x
 
Agora, vamos calcular as coordenadas do vértice: 
a
b
xv
2

 
a
yv
4


 
Obs:  é o radicando que aparece dentro da raiz na fórmula de Bháskara. 
Com todos os dados calculados vamos traçar o gráfico da função: 
 
b) f(x) = x² -8x + 16 
a = 1 – como a é positivo, a concavidade será voltada para cima. 
b = -8 
c = 16 
Raízes: 
a
acbb
x
2
4² 
 
2
08 
x
 
4
2
8
2
08
1 

x
 
Vértice: 
a
b
xv
2

 
 
1.2
5
vx 2
5
vx
4
1
1.4
1
vy
1.2
16.1.4)²8()8( 
x
2
64648 
x
2
08
x
1.2
)8(
vx 4
2
8
vx
2
2
4
2
15
2 

x
4
2
8
2
08
2 

x
 
 
15 
a
yv
4

 
Gráfico: 
 
c) f(x) = -x² + 4 
a = -1 – como a é negativo, a concavidade será voltada para baixo. 
b = 0 
c = 4 
Raízes: 
a
acbb
x
2
4² 

 
2
160


x 
2
2
4
2
40
1 


x
 
Vértice: 
a
b
xv
2

 
a
yv
4

 
Gráfico: 
0
1.4
0
vy
)1.(2
4).1.(4²00


x
2
1600


x
2
40


x
0
)1.(2
0


vx
4
4
16
)1.(4
16




vy
2
2
4
2
40
2 





x
 
 
16 
 
TEMA 5 – FUNÇÃO EXPONENCIAL E FUNÇÃO LOGARÍTMICA 
A função exponencial é uma função com base constante e expoente 
variável e possui a forma f(x) = ax; ou seja, a variável x encontra-se no expoente, 
e a > 0 e a ≠ 1. Ela pode ser crescente ou decrescente, de acordo com o valor 
da base (a). Se a > 1, a função é crescente, e se 0 < a < 1, é decrescente. 
Vejamos no gráfico a representação dessa função. 
 
Exemplos: 
1) f(x) = 3x 
2) 
x
xf 






2
1
)( 
Esse tipo de função pode ser utilizado para descrever a desvalorização 
comercial, os juros compostos e o crescimento ou decrescimento de populações 
humanas. 
Saiba mais 
Vamos ver algumas aplicações da função exponencial no cotidiano? 
Confira, então, o seguinte material: <http://x-
damatematica.blogspot.com/2016/09/aplicacoes-funcao-exponencial-no.html>. 
A função logarítmica é a função inversa da exponencial; ela é definida pela 
lei de formação f(x) = logax, com a ≠ 1 e a > 0. Dizemos também que o logaritmo 
é o expoente de uma potência; assim: 
 
 
17 
xayx ya log 
Exemplos: 
1) f(x) = log2x 
2) xxf
4
1log)(  
Analisando o gráfico de uma função logarítmica, temos que a função será 
crescente se a base do logaritmo for maior que 1, e decrescente, se a base for 
um número entre 0 e 1. 
 
Saiba mais 
Vamos entender mais sobre a função logarítmica e verificar que diversos 
problemas podem ser resolvidos com o uso de logaritmos. 
“Funções logarítmicas”: <https://www.youtube.com/watch?v=LyumzT6br2A>. 
“Logaritmo na prática: matemática financeira”: 
<https://www.youtube.com/watch?v=k2WWRA5aMyY>. 
TROCANDO IDEIAS 
Vimos que as funções estão presentes em nosso dia a dia. Você se 
recorda de alguma situação na qual já utilizou funções? Em que circunstâncias 
podemos utilizar as funções dentro das organizações? 
NA PRÁTICA 
Podemos utilizar as funções em várias situações, como em aplicações 
que envolvam custos, lucros, demanda, oferta, receita e ponto de equilíbrio. 
Quando analisamos as coordenadas do vértice de uma função quadrática, 
podemos determinar valores máximos, mínimos e intervalos de crescimento ou 
 
 
18 
decrescimento das funções. Vamos verificar uma aplicação da função quadrática 
assistindo ao seguinte vídeo: 
<https://www.youtube.com/watch?v=8DaCpxRstYQ>. 
Agora, vamos aplicar os conceitos que aprendemos nesta aula na 
resolução dos seguintes exercícios: 
1) Um vendedor recebe por mês um salário fixo de R$ 1.500, mais uma parte 
variável de 6% de comissão sobre o total de vendas realizadas no período. Qual 
a função que representa o salário desse vendedor? 
Neste exercício, sabemos que o vendedor recebe um salário fixo, mais 
uma comissão variável que depende das vendas realizadas durante o mês. 
Como não sabemos o total de vendas do mês e esse valor é variável, vamos 
chamar o total de vendas realizadas de x; assim, o salário do vendedor seria: 
Salário = fixo + comissão 
Salário = 1.500 + 6% x vendas totais no mês 
Salário = 1.500 + 6%. X 
Transformando a comissão de 6% em decimal – dividindo 6 por 100 –, 
temos: 
Salário = 1.500 + 0,06. X 
Assim, o salário mensal do vendedor é dado em função do total de vendas 
que ele faz durante o mês, e essa função é uma função afim ou de 1º grau. 
2) Uma indústria possui um custo fixo mensal de R$ 24.000, e a cada unidade 
produzida, um custo de fabricação de R$ 180. Sabendo que o preço de venda 
do produto é R$ 420, vamos determinar a função custo total, função receita total 
e função lucro. 
A função custo total é a soma do custo fixo com o custo variável que é 
dependente da quantidade produzida. Como não sabemos qual é a quantidade 
produzida, a chamamos de x. Assim: 
Custo total = custo fixo + custo variável x quantidade produzida 
Custo total = 24.000 + 180.x 
Para encontrarmos a função receita, consideramos a quantidade vendida 
multiplicada pelo preço de venda. Como não sabemos qual a quantidade 
vendida, consideramos essa quantidade variável como x; logo: 
Receita total = preço de venda x quantidade vendida 
 
 
19 
Receita total = 420 x quantidade vendida 
Receita total = 420. x 
Agora, vamos encontrar a função lucro. Sabendo que o lucro é obtido pela 
diferença entre a função receita e custo, temos: 
Lucro = receita - custo 
Substituindo na fórmula do lucro as funções receita e custo, obtemos: 
Custo total = 24.000 + 180.x 
Receita total = 420. x 
Lucro = 420. x – (24.000 + 180.x) 
Lucro = 420. x – 24.000 - 180.x 
Lucro = 240 x – 24.000 
3) Sabendo que o lucro de uma empresa é dado pela função L(x) = -400x² + 
6800x + 12000 (em que x representa o preço de venda de um produto), 
determinar qual seria o preço que maximiza o lucro e qual o lucro máximo dessa 
empresa. 
Esse exemplo representa uma aplicação das coordenadas do vértice que 
estudamos no Tema 4. Como nessa função o valor de a é -400, temos a 
concavidade virada para baixo e um ponto de máximo que é obtido pelo cálculo 
do valor de x do vértice. Dessa forma, temos: 
 
a
b
xv
2

 
Vamos substituir os valores na fórmula, em que a = -400 e b = 6800: 
)400.(2
6800

vx 
5,8
800
6800
800
6800


vx 
Assim, o preço que maximiza o lucro é R$ 8,50. Com esse valor, 
conseguimos encontrar qual seráo lucro máximo da empresa, substituindo na 
função L(x): 
L(x) = -400x² + 6800x + 12000 
L(8,5) = -400.(8,5)² + 6800.(8,5) + 12000 
L(8,5) = -400.(72,25) + 57800 + 12000 
L(8,5) = -28900 + 57800 + 12000 
L(8,5) = 40900 
 
 
20 
O lucro máximo desta empresa será R$ 40.900. Outra forma de encontrar 
esse valor seria descobrir o valor de y do vértice (yv). 
FINALIZANDO 
Chegamos ao final desta aula, na qual estudamos os principais conceitos 
envolvendo funções. Vimos também as funções composta, inversa, linear, afim, 
constante, quadrática, exponencial e logarítmica. 
 
 
 
21 
REFERÊNCIAS 
APLICAÇÕES função exponencial no cotidiano. X da Matemática. [S.d.]. 
Disponível em: <http://x-damatematica.blogspot.com/2016/09/aplicacoes-
funcao-exponencial-no.html>. Acesso em: 18 dez. 2019. 
CURTAS matemáticos. Conceito de função. YouTube, 2 mar. 2017. Disponível 
em: <https://www.youtube.com/watch?v=72q6cBnmLvQ>. Acesso em: 18 dez. 
2019. 
FUNÇÃO quadrática. YouTube, 18 maio 2012. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=8DaCpxRstYQ>. Acesso em: 18 dez. 2019. 
FUNÇÕES logarítmicas. YouTube, 9 mar. 2013. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=LyumzT6br2A>. Acesso em: 18 dez. 2019. 
LOGARITMO na prática: matemática financeira. YouTube, 29 nov. 2017. 
Disponível em: <https://www.youtube.com/watch?v=k2WWRA5aMyY>. Acesso 
em: 18 dez. 2019. 
MACEDO, L. R, D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de Matemática 
Aplicada. Curitiba: Ibpex, 2006. 
MUROLO, A.; BONETTO, G. Matemática aplicada à Administração, 
Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2008. 
NOÇÃO de função. YouTube, 23 out. 2012. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=84VbUs8GNfg>. Acesso em: 18 dez. 2019. 
RODRIGUES, L. R. F. Matemática e raciocínio lógico matemático para 
concursos. Campinas: Servanda Editora, 2010. 
RACIOCÍNIO LÓGICO, CRÍTICO E 
ANALÍTICO CONTÁBIL 
AULA 6 
Profª Aline Purcote 
 
 
CONVERSA INICIAL 
Imagine que temos um conjunto de objetos em um local e queremos 
misturá-los. É possível realizar essa tarefa de diferentes formas e chegar a 
diversos resultados. Para projetar os possíveis resultados, utilizamos a análise 
combinatória, que auxilia de forma simples e eficiente na resolução desse 
problema. 
De acordo com Bongiovanni, Vissoto e Laureano (1998), foi a 
necessidade de calcular as possibilidades existentes nos chamados jogos de 
azar que levou ao desenvolvimento da análise combinatória, parte da 
Matemática que estuda os métodos de contagem. 
A análise combinatória tem por objetivo resolver problemas que consistem 
em escolher ou agrupar os elementos de um conjunto e é responsável pela 
análise das possibilidades e das combinações. 
Nesta aula, estudaremos análise combinatória, permutação simples e 
com repetição, arranjos e combinações. 
CONTEXTUALIZANDO 
Imagine que você vai realizar um jogo da Mega-Sena. Quantas 
combinações são possíveis? Suponha agora esteja em um restaurante que 
oferece variações de entrada, prato principal, sobremesa e bebida. De quantas 
maneiras diferentes você pode fazer o pedido? 
Para resolver esses e outros problemas de contagem, utilizamos a análise 
combinatória, que está presente em nosso cotidiano, sempre que verificamos as 
possibilidades de combinação de roupas, planejamento de pratos em cardápios, 
combinações de números em um jogo de loteria, elaboração de uma grade 
horária e outras situações. 
Saiba mais 
Quer saber do que se trata a análise combinatória? Então, confira dois 
exemplos apresentados no seguinte vídeo: 
<https://www.youtube.com/watch?v=YoLrNfTAqw0&t=44s>. 
Estudaremos os três principais tipos de agrupamentos e as diferenças 
entre permutações, arranjos e combinações. 
 
 
 
3 
TEMA 1 – ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Os principais conceitos utilizados na análise combinatória são o diagrama 
de árvore, o Princípio Fundamental da Contagem e o fatorial. 
No estudo da contagem, podemos utilizar a árvore das possibilidades ou 
diagrama de árvore para representar os possíveis agrupamentos. Considerando 
os números 6, 7, 8 e 9, quantos números naturais de dois algarismos diferentes 
podemos formar? Consideramos que com o número 6 podemos formar três 
números distintos com os valores 7, 8 e 9, assim temos os números 67, 68 e 69. 
O mesmo ocorrerá com o valor 7, que possui três possibilidades com os valores 
6, 8 e 9; o valor 8, com três possibilidades combinando com 6, 7 e 9; e, por último, 
o número 9, combinado com 6, 7 e 8. Vamos representar todas as possibilidades 
descritas utilizando o diagrama de árvores, a seguir. 
 
Analisando o diagrama de árvore, temos um total de 12 possibilidades 
para organizar os quatro números. 
 
 
4 
Outra forma de chegarmos ao total de possibilidades por meio do Princípio 
Fundamental da Contagem, que indica de forma simplificada o total de possíveis 
combinações e consiste em multiplicar a quantidade total de cada um dos 
elementos que se quer agrupar. Também chamado de princípio multiplicativo, 
leva em conta que o número de possibilidades de ocorrer uma sucessão de 
eventos é igual ao produto dos números de possibilidades de ocorrer cada um 
dos eventos. 
Segundo Rodrigues (2010), se determinado acontecimento for dividido em 
etapas independentes e sucessivas, de tal modo que: 
P1: é o número de possibilidades da 1ª etapa; 
P2: é o número de possibilidades da 2ª etapa; 
Pk: é o número de possibilidades da k-ésima etapa; 
então, o número total de possibilidades de um acontecimento é dado por: 
T = P1 . P2 . ... Pk 
Voltando ao nosso exemplo, no qual encontramos a quantidade de 
números naturais de dois algarismos usando os algarismos 6, 7, 8 e 9, temos 
que para cada número há três possibilidades: para o número 6, temos três 
combinações com os números 7, 8 e 9, e o mesmo ocorre para os demais. Logo, 
temos quatro números (6, 7, 8 e 9), e para cada um formamos três números de 
dois algarismos; assim, podemos aplicar o princípio fundamental da contagem: 
4 x 3 = 12 possibilidades. Chegamos ao mesmo resultado obtido pelo diagrama 
de árvores. 
Exercício 1: Uma pessoa possui duas calças – uma preta e outra branca – e 
quatro camisas das cores cinza, marrom, verde e amarela. De quantos modos 
diferentes ela poderá se vestir? 
Vamos resolver esse problema de duas maneiras: pelo diagrama de 
árvores e pelo Princípio Fundamental da Contagem. Para construir o diagrama, 
consideramos que há duas calças, e cada uma pode ser combinada com quatro 
camisas de cores diferentes. Assim: 
 
 
5 
 
 Avaliando o diagrama, temos oito possibilidades diferentes de 
combinações. Agora, vamos encontrar o resultado pelo princípio fundamental da 
contagem, considerando que temos duas calças e quatro camisas. Dessa forma, 
multiplicamos os dois valores: 
Total de calças x total de camisas 
2 x 4 = 8 possibilidades 
Outro conceito importante na análise combinatória é o fatorial. Sendo n 
um número inteiro maior que 1, o fatorial de n é definido como o produto desse 
número por todos os seus antecessores, ou seja, os inteiros positivos menores 
ou iguais a n. 
n! = n(n – 1).(n – 2) . … . 1 
Vamos calcular o fatorial de 4? Precisamos multiplicar o número 4 pelos 
números menores que ele até chegar em 1, logo multiplicamos 4 por 3, 2 e 1: 
4! = 4.3.2.1 = 24 
Exercício 2: Encontrar o fatorial dos seguintes números: 
a) 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
b) 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1= 40.320 
 
 
 
 
6 
TEMA 2 – PERMUTAÇÃO SIMPLES 
Permutar significa trocar, misturar; assim, as permutações são formadas 
pelos mesmos elementos em ordem diferente. É o agrupamento formado com 
certo número de elementos distintos, tal que a diferença entre um agrupamento 
e outro aconteça apenas pela mudança de posição entre os elementos dele. 
De acordo com Bongiovanni, Vissoto e Laureano (1998), uma permutação 
simples dos n elementos de um conjunto é uma sequência desses n elementos, 
de modoque a mudança de ordem deles determina permutações diferentes. 
Na permutação simples, não há repetição de elementos, a ordem importa 
e o número de elementos a serem tomados para compor o resultado é igual ao 
número de elementos no conjunto. O cálculo da permutação simples de n 
elementos distintos é igual a n fatorial, ou seja: 
Pn = n! 
Exemplo 1: Quantas permutações simples podemos obter com os números 7, 8 
e 9? 
Precisamos formar números de três algarismos, trocando as posições dos 
números 7, 8 e 9. Podemos ter os números 789, 798, 879, 897, 978 e 987, logo 
temos seis possibilidades. Podemos encontrar esse valor, aplicando a fórmula 
de permutação. Sabendo que temos três valores, assim n = 3, resolvemos o 
fatorial: 
Pn = n! 
Pn = 3! 
Pn = 3.2.1 = 6 permutações 
Exemplo 2: Quantos anagramas podem se formar com as letras da palavra 
GRUPO? 
Obs.: Anagrama é a palavra formada pela mudança de todas as letras de uma 
palavra, podendo ou não fazer sentido. 
Na palavra GRUPO, temos cinco letras, e precisamos formar anagramas 
com elas. Dessa forma, na primeira posição temos cinco opções, na segunda 
são quatro opções, na terceira temos três opções, na quarta, apenas duas, e na 
última uma única opção: 
 
 
7 
 
Analisando a figura acima, temos o cálculo do fatorial de 5, logo: 
Pn = n! 
Pn = 5! 
Pn = 5.4.3.2.1 = 120 anagramas 
TEMA 3 – PERMUTAÇÕES COM REPETIÇÃO 
Já estudamos a permutação simples, e agora vamos conhecer a 
permutação com repetição, que é um agrupamento formado com n elementos 
repetidos de um conjunto. Consiste em cada um dos agrupamentos que 
podemos formar com certo número de elementos, em que ao menos um deles 
ocorre mais de uma vez. Assim, a diferença entre um agrupamento e outro se 
dá pela mudança de posição entre seus elementos. 
O número total de permutações é calculado por: 
 
em que: 
n = total de elementos do evento; 
n1! . n2! . n3! . … . nk! = elementos repetidos no evento. 
Exercício 1: Quantos anagramas podemos formar com a palavra 
MATEMÁTICA? 
Avaliando a palavra MATEMÁTICA, temos as letras M, A e T que se 
repetem; logo, temos uma permutação com repetição. A letra M aparece duas 
vezes, a letra A, três vezes, e a letra T, duas vezes. Assim, calculamos a 
permutação, em que: 
n = total de elementos do evento = 10 
n1= quantidade de vezes que aparece a letra M = 2 
n2= quantidade de vezes que aparece a letra A = 3 (desconsideramos o acento 
da palavra) 
n3= quantidade de vezes que aparece a letra T = 2 
 
 
8 
Logo: 
 
!2!.3!.2
!10
10 =P 
)1.2).(1.2.3).(1.2(
1.2.3.4.5.6.7.8.9.10
10 =P 
151200
24
3628800
.2.6.2
3628800
10 ===P 
Dessa forma, podemos formar 151.200 anagramas. Para facilitar os 
cálculos, é possível simplificar o fatorial: verificamos o maior valor que temos no 
denominador e abrimos o fatorial no numerador até chegar a esse valor, depois 
é só simplificar os valores iguais. No exemplo acima, o maior valor do 
denominador é 3, então vamos abrir o fatorial de 10 até chegar em 3!: 
!2!.3!.2
!3.4.5.6.7.8.9.10
10 =P 
!2!.2
4.5.6.7.8.9.10
10 =P 
151200
4
504800
10 ==P 
Exercício 2: Considerando o número 25.554.252, qual a quantidade de números 
que obtemos permutando esses valores? 
Percebemos que há repetições: o número 2 aparece três vezes, e o 
número 5, 4 vezes. Vamos calcular a permutação com repetição: 
• n = total de elementos do evento = 8 
• n1= quantidade de vezes que aparece o número 2 = 3 
• n2= quantidade de vezes que aparece o número 5 = 4 
Logo: 
 
!4!.3
!8
10 =P 
!4).1.2.3(
!4.5.6.7.8
10 =P 
 
 
9 
280
6
1680
10 ==P 
TEMA 4 – ARRANJOS 
No arranjo simples, a ordem de posicionamento no grupo ou a natureza 
dos elementos causam diferenciação no agrupamento; ou seja, a mudança de 
ordem dos elementos determina arranjos diferentes, logo a ordem importa. 
Arranjos simples de n elementos tomados p a p são os agrupamentos 
ordenados diferentes que se podem formar com p dos n elementos dados. Para 
calcular um arranjo, utilizamos a seguinte fórmula: 
 
 
em que n é o total de elementos, e p é a quantidade de elementos que vamos 
agrupar. 
Exercício 1: Usando os algarismos 2, 3, 5, 7 e 9, quantos números podemos 
formar com três algarismos distintos? 
Neste exercício, temos cinco números, mas queremos agrupar de 3 em 3; 
assim, temos um arranjo em que n = 5 e p = 3. Vemos que a ordem dos valores 
importa, pois o número 235 é diferente do valor 532. Vamos calcular as 
possibilidades aplicando a seguinte fórmula: 
 
 
( )!35
!5
, −
=pnA 
!2
!5
, =pnA 
60
!2
!2.3.4.5
, ==pnA 
Temos 60 arranjos considerando cinco elementos 3 a 3. 
Exercício 2: Quatro atletas disputam uma corrida. Supondo que todos terminem 
a prova, quais são as possibilidades de chegada para os três primeiros lugares? 
Neste exercício, temos quatro atletas e queremos agrupá-los de 3 em 3, 
ou seja, quatro atletas tomados 3 a 3, em que a ordem de chegada interfere no 
resultado. 
( )!
!
, pn
nA pn −
=
( )!
!
, pn
nA pn −
=
 
 
10 
n = 4 
p = 3 
( )!34
!4
, −
=pnA 
24
1
1.2.3.4
!1
!4
, ===pnA 
Temos 24 possibilidades de chegada para os três primeiros lugares. 
TEMA 5 – COMBINAÇÕES 
Segundo Bongiovanni, Vissoto e Laureano (1998), uma combinação 
simples de p elementos, tirados de um conjunto de n elementos, é qualquer 
subconjunto de p elementos desse conjunto, de modo que a mudança de ordem 
desses elementos determina a mesma combinação. Dessa forma, na 
combinação, a ordem dos elementos não importa. 
Uma combinação é calculada pela fórmula: 
 
 
em que n é o total de elementos, e p é a quantidade de elementos que vamos 
agrupar. 
Exercício 1: Uma escola possui nove professores, dos quais quatro devem ser 
escolhidos para representar a escola em um evento. De quantos modos a 
escolha pode ser feita? 
Neste exercício, temos nove professores e precisamos optar por quatro; 
a ordem de escolha não importa. O fato de um professor ser escolhido por 
primeiro, segundo, terceiro ou quarto não apresenta diferenciação, logo temos 
uma combinação em que n = 9 e p = 4. Aplicando a fórmula, temos: 
 
)!49(!4
!9
4,9 −
=C 
!5!4
!9
4,9 =C 
!5!4
!5.6.7.8.9
4,9 =C 
 126
24
3024
1.2.3.4
6.7.8.9
4,9 ===C 
( )!!
!
, pnp
nC pn −
=
( )!!
!
, pnp
nC pn −
=
 
 
11 
Exercício 2: Uma empresa com três diretores e cinco gerentes quer formar uma 
comissão de cinco funcionários. Essa comissão precisa conter dois diretores e 
três gerentes. Quantas comissões podem ser formadas com essa configuração? 
Temos uma condição na qual a comissão de cinco funcionários precisa 
ser formada por dois diretores e três gerentes. Dessa forma, precisamos calcular 
as combinações possíveis dos diretores, em que n = 3 e p = 2, e calcular também 
as possibilidades dos gerentes com n = 5 e p = 3. 
• Diretores: 
)!23(!2
!3
2,3 −
=C 
!1!2
!3
2,3 =C 
!1!2
!2.3
2,3 =C 
3
1
3
2,3 ==C 
• Gerentes 
)!35(!3
!5
3,5 −
=C 
!2!3
!5
3,5 =C 
!2!3
!3.4.5
3,5 =C 
10
2
20
3,5 ==C 
Agora, precisamos multiplicar os valores encontrados para determinar as 
combinações possíveis: 
3010.3. 3,52,3 ==CC 
Podemos formar 30 comissões. 
TROCANDO IDEIAS 
Estudamos as diferenças entre permutação, arranjos e combinação, além 
de resolver exemplos de diferentes situações nas quais podemos utilizar esses 
agrupamentos. Você se recorda de alguma situação onde é possível aplicar a 
análise combinatória em nosso cotidiano? 
 
 
12 
NA PRÁTICA 
Análise combinatória constitui um poderoso instrumento de antecipação 
de resultados em diferentes áreas, principalmente na probabilidade, pois faz 
análise das possibilidades e das combinações entre um conjunto de elementos. 
Para praticar os conteúdos estudados, vamos resolver alguns exercícios. 
Exercício 1: Uma empresa quer elaborar senhas para os clientes. Quantas 
senhas com quatro números diferentes podemos escrever com os algarismos 1, 
2, 3, 4, 5, 6, 7,8 e 9? 
Analisando o enunciado, percebemos que a ordem dos algarismos é 
importante, pois a senha 2134 é diferente da senha 4312; assim, temos um 
cálculo de arranjo no qual n = 9 elementos, e p = 4: 
( )!49
!9
4,9 −
=A 
!5
!9
4,9 =A 
!5
!5.6.7.8.9
4,9 =A 
30246.7.8.94,9 ==A 
Dessa forma, teremos 3.024 senhas diferentes. 
Exercício 2: Uma urna contém três bolas, das quais uma azul, uma verde e uma 
rosa. Retiram-se duas bolas. Quantas possibilidades diferentes podem ocorrer 
retirando duas bolas de uma vez? 
Neste caso, a ordem das bolas não importa, logo temos uma combinação 
na qual n = 3 e p = 2: 
)!23(!2
!3
2,3 −
=C 
!1!2
!3
2,3 =C 
!1!2
!2.3
2,3 =C 
3
1
3
2,3 ==C 
 
 
13 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos os principais conceitos da análise combinatória, 
além de identificar as diferenças entre permutação, arranjo e combinação. 
Normalmente, ocorrem dúvidas na aplicação da análise combinatória, por isso 
sugerimos que você assista aos seguintes vídeos, os quais o ajudarão nessa 
diferenciação: 
• Matemática: análise combinatória – 
<https://www.youtube.com/watch?v=y_Q3ZepnPq4> 
• Como saber quando utilizar: arranjo, combinação e permutação – 
<https://www.youtube.com/watch?v=3RaTJOZL6MA>. 
Podemos utilizar também o seguinte diagrama para diferenciar arranjo de 
combinação: 
 
 
 
 
14 
REFERÊNCIAS 
ANÁLISE combinatória – como usar os conhecimentos matemáticos para não 
perder tempo. YouTube, 1 jun. 2017. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=YoLrNfTAqw0&t=44s>. Acesso em: 19 dez. 
2019. 
BONGIOVANNI, V.; VISSOTO, O. R.; LAUREANO, J. L. T. Matemática: volume 
único. São Paulo: Editora Ática, 1998. 
COMO saber quando utilizar: arranjo, combinação e permutação. YouTube, 2 
ago. 2016. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=3RaTJOZL6MA>. Acesso em: 19 dez. 
2019. 
MATEMÁTICA: Análise combinatória. Youtube, 11 nov. 2014. Disponível em: 
<https://www.youtube.com/watch?v=y_Q3ZepnPq4>. Acesso em: 19 dez. 2019. 
METZ, L. I. Análise combinatória e probabilidade. Curitiba: InterSaberes, 
2018. 
RODRIGUES, L. R. F. Matemática e raciocínio lógico matemático para 
concursos. Campinas: Servanda Editora, 2010. 
	Conversa inicial
	Contextualizando
	Trocando ideias
	Na prática
	FINALIZANDO
	REFERÊNCIAS