Matemática em Contexto Geometria plana e espacial (41)

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Icosaedro: 20 faces limitadas por triângulos equiláteros e 5 arestas que concorrem em cada vértice.
 
Cubo: 6 faces quadradas e 3 arestas que concorrem em cada vértice.
 
Dodecaedro: 12 faces pentagonais regulares congruentes e 3 arestas que concorrem em cada vértice.
Verifique a relação de Euler para cada um desses poliedros regulares convexos.
Reflita
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	 1.	Determine o número de arestas e o número de vértices de um poliedro convexo com 6 faces quadrangulares e 
4 faces triangulares. 
Resolu•‹o
Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, calculamos: 6 ? 4 5 24; 24 arestas.
O poliedro tem 4 faces triangulares: 4 ? 3 5 12; 12 arestas.
Como cada aresta foi contada duas vezes, o número total de arestas é: 
A 5 
24 12
2
1
 5 18
Temos, então, F 5 10 e A 5 18.
Aplicando a relação de Euler: V 2 A 1 F 5 2 ~ V 2 18 1 10 5 2 ~ V 5 10
Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
Atividades resolvidas
A resposta encontra-se nas Orientações específicas deste Manual.
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	 7.	Em um poliedro convexo, o número de vértices é 5 e o de arestas é 10. Qual é o número de faces? 
	 8.	Em um poliedro convexo de 20 arestas, o número de faces é igual ao número de vértices. Quantas faces tem esse 
poliedro? 
	 9.	Um poliedro convexo apresenta 1 face hexagonal, 6 faces triangulares e 12 arestas. Quantos vértices tem esse poliedro?
	10.	Qual é o número de faces de um poliedro convexo de 20 vértices tal que em cada vértice concorrem 5 arestas? 
	11.	Determine o número de vértices de um poliedro convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face quadrangular, 1 face 
pentagonal e 2 faces hexagonais. 
	12.	Uma bola de futebol pode ser representada por um poliedro formado por 12 faces pen-
tagonais e 20 faces hexagonais, todas com lados congruentes entre si. Sabe-se que, para 
costurar essas faces lado a lado, formando a superfície da bola, usam-se 20 cm de linha 
em cada aresta do poliedro.
Qual é a medida de comprimento total, em metros, de linha que será utilizada para cos-
turar toda a bola?
	13.	Uma das estruturas da geometria molecular (que estuda como os átomos se distribuem espacialmente em uma mo-
lécula) é a octaédrica. Octaedro é um sólido geométrico de 8 faces e, se ele é regular, todas as faces têm o formato 
de um triângulo equilátero. O número de faces, vértices e arestas desse sólido pode ser obtido por meio da relação 
de Euler, V 2 A 1 F 5 2, em que V representa o número de vértices, F o número de faces e A o número de arestas. 
O hexafluoreto de enxofre, SF
6
, é um composto que apresenta geometria octaédrica, na qual cada átomo de flúor 
representa um vértice desse sólido. Supondo que, na representação geométrica, todos os átomos de flúor possam 
ser ligados por linhas, quantas linhas seriam necessárias para ligar todos esses átomos?
	a) 6
	b) 8
	c) 10
	d) 12
	e) 14
	14.	As Copas do Mundo de Futebol masculino da Federação Internacional de Futebol (Fifa) trazem consigo as histórias 
de milhares de torcedores apaixonados por esse esporte. A cada Copa é utilizada uma nova versão de bola. A bola 
da Copa de 2002, chamada de Fevernova, levou três anos para ser desenvolvida e tinha seis camadas de diferentes 
materiais, o que lhe proporcionava um deslocamento aéreo mais preciso e previsível.
Bola Fevernova, utilizada na Copa do 
Mundo de Futebol masculino de 2002, ano 
em que o Brasil se sagrou pentacampeão.
A bola de futebol, antes de ser inflada, tem o formato parecido com o de um icosaedro truncado, sólido que tem 
12 faces pentagonais regulares e 20 hexagonais regulares. O número de arestas desse sólido é:
	a) 32.
	b) 60.
	c) 90.
	d) 180.
	e) 120.
7 faces.
7 vértices.
32 faces.
10 vértices.
18 m
Alternativa c.
Atividades Não escreva no livro.
11 faces.
Alternativa d.
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