Lista Única-G E -Mod2-Aula 2 - Poliedros

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Lista de Exercícios (Única) – Geometria Espacial - Módulo 2 
(Aula 2: Poliedros) 
 
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1. (UEPG) 
Dois poliedros regulares são construídos utilizando 
folhas de cartolina. Um desses poliedros tem faces 
pentagonais e o outro tem faces triangulares. Se a soma 
de todas as faces desses poliedros é 20, assinale o que 
for correto. 
01) A soma dos ângulos de todas as faces do poliedro 
que tem faces pentagonais é 6.480 . 
02) O poliedro com faces triangulares tem 8 vértices a 
menos que o outro. 
04) Os dois poliedros têm o mesmo número de arestas. 
08) A soma de todas as arestas desses poliedros é 
maior que 40. 
 
2. (UFJF) 
Observe, abaixo, uma imagem desse vírus que tem a 
forma de um sólido geométrico. 
 
 
Qual é a planificação do sólido representado por esse 
vírus? 
a) 
 
 
 
3. (Enem PPL) 
O hábito cristalino é um termo utilizado por 
mineralogistas para descrever a aparência típica de um 
cristal em termos de tamanho e forma. A granada é um 
mineral cujo hábito cristalino é um poliedro com 30 
arestas e 20 vértices. Um mineralogista construiu um 
modelo ilustrativo de um cristal de granada pela junção 
dos polígonos correspondentes às faces. 
 
Supondo que o poliedro ilustrativo de um cristal de 
granada é convexo, então a quantidade de faces 
utilizadas na montagem do modelo ilustrativo desse 
cristal é igual a 
a) 10. b) 12. c) 25. d) 42. e) 50. 
 
4. (UERJ) 
Dois dados, com doze faces pentagonais cada um, têm 
a forma de dodecaedros regulares. Se os dodecaedros 
estão justapostos por uma de suas faces, que 
coincidem perfeitamente, formam um poliedro côncavo, 
conforme ilustra a figura. 
 
 
 
Considere o número de vértices V, de faces F e de 
arestas A desse poliedro côncavo. 
A soma V F A+ + é igual a: 
a) 102 b) 106 c) 110 d) 112 
 
5. (Enem) 
Um lapidador recebeu de um joalheiro a encomenda 
para trabalhar em uma pedra preciosa cujo formato é o 
de uma pirâmide, conforme ilustra a Figura 1. Para 
tanto, o lapidador fará quatro cortes de formatos iguais 
nos cantos da base. Os cantos retirados correspondem 
a pequenas pirâmides, nos vértices P, Q, R e S, ao 
longo dos segmentos tracejados, ilustrados na Figura 2. 
 
 
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Depois de efetuados os cortes, o lapidador obteve, a 
partir da pedra maior, uma joia poliédrica cujos números 
de faces, arestas e vértices são, respectivamente, 
iguais a 
a) 9, 20 e 13. b) 3, 24 e 13. 
c) 7,15 e 12. d) 10,16 e 5. 
e) 11,16 e 5. 
 
6. (Enem PPL) 
Os sólidos de Platão são poliedros convexos cujas 
faces são todas congruentes a um único polígono 
regular, todos os vértices têm o mesmo número de 
arestas incidentes e cada aresta é compartilhada por 
apenas duas faces. Eles são importantes, por exemplo, 
na classificação das formas dos cristais minerais e no 
desenvolvimento de diversos objetos. Como todo 
poliedro convexo, os sólidos de Platão respeitam a 
relação de Euler V A F 2,− + = em que V, A e F são 
os números de vértices, arestas e faces do poliedro, 
respectivamente. 
 
Em um cristal, cuja forma é a de um poliedro de Platão 
de faces triangulares, qual é a relação entre o número 
de vértices e o número de faces? 
a) 2V 4F 4− = b) 2V 2F 4− = 
c) 2V F 4− = d) 2V F 4+ = 
e) 2V 5F 4+ = 
 
7. (UECE) 
Um poliedro convexo com 32 vértices possui apenas 
faces triangulares. O número de arestas deste poliedro 
é 
a) 100. b) 120. c) 90. d) 80. 
 
8. (UPF) 
O poliedro representado na figura (octaedro truncado) é 
construído a partir de um octaedro regular, cortando-se, 
para tal, em cada vértice, uma pirâmide regular de base 
quadrangular. A soma dos ângulos internos de todas as 
faces do octaedro truncado é: 
 
 
 
a) 2160 
b) 5760 
c) 7920 
d) 10080 
e) 13680 
 
9. (Enem) 
Para o modelo de um troféu foi escolhido um poliedro 
P, obtido a partir de cortes nos vértices de um cubo. 
Com um corte plano em cada um dos cantos do cubo, 
retira-se o canto, que é um tetraedro de arestas 
menores do que metade da aresta do cubo. Cada face 
do poliedro P, então, é pintada usando uma cor distinta 
das demais faces. 
Com base nas informações, qual é a quantidade de 
cores que serão utilizadas na pintura das faces do 
troféu? 
a) 6 b) 8 c) 14 d) 24 e) 30 
 
10. (UEL) 
Leia o texto a seguir. 
 
Originalmente os dados eram feitos de osso, marfim ou argila. 
Há evidências da existência deles no Paquistão, Afeganistão 
e noroeste da Índia, datando de 3500 a.C. Os dados cúbicos 
de argila continham de 1 a 6 pontos, dispostos de tal maneira 
que a soma dos pontos de cada par de faces opostas é sete. 
Adaptado de: Museu Arqueológico do Red Fort. Delhi, India. 
 
Atualmente, além dos dados em forma de cubo 
(hexaedro), encontram-se dados em vários formatos, 
inclusive esféricos, como mostram as figuras a seguir. 
 
 
 
Apesar do formato esférico, ao ser lançado, o dado 
mostra pontos de um a seis, como se fosse um dado 
cúbico. Isso acontece porque no interior da esfera existe 
uma cavidade em forma de octaedro, na qual existe um 
peso (um chumbinho) que se aloja em um dos vértices 
do octaedro. 
 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a 
propriedade dos poliedros regulares que justifica o fato 
de a cavidade no interior da esfera ser octaédrica. 
a) O número de vértices do octaedro é igual ao número 
de faces do hexaedro. 
b) O número de vértices do octaedro é diferente do 
número de faces do hexaedro. 
c) O número de arestas do octaedro é igual ao número 
de arestas do hexaedro. 
d) O número de faces do octaedro é igual ao número de 
vértices do hexaedro. 
e) O número de faces do octaedro é diferente do número 
de vértices do hexaedro. 
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11. (UEMA) 
A bola de futebol evoluiu ao longo do tempo e, 
atualmente, é um icosaedro truncado, formado por 32 
peças, denominadas de gomos e, geometricamente, de 
faces. Nessa bola, 12 faces são pentágonos regulares, 
e as outras, hexágonos, também regulares. Os lados 
dos pentágonos e dos hexágonos são iguais e 
costurados. Ao unirem-se os dois lados costurados das 
faces, formam-se as arestas. O encontro das arestas 
formam os vértices. Quando cheio, o poliedro é similar 
a uma esfera. 
 
 
 
O número de arestas e o número de vértices existentes 
nessa bola de futebol são, respectivamente, 
 
Pode ser utilizado o Teorema de Descartes-Euler, 
A 2 V F+ = + 
a) 80 e 60 b) 80 e 50 
c) 70 e 40 d) 90 e 60 
e) 90 e 50 
 
12. (UECE) 
Um poliedro convexo tem 32 faces, sendo 20 
hexágonos e 12 pentágonos. O número de vértices 
deste polígono 
a) 90. b) 72. c) 60. d) 56. 
 
13. (IFSP) 
A figura mostra uma peça feita em 1587 por Stefano 
Buonsignori, e está exposta no Museu Galileo, em 
Florença, na Itália. Esse instrumento tem a forma de um 
dodecaedro regular e, em cada uma de suas faces 
pentagonais, há a gravação de um tipo diferente de 
relógio. 
 
 
Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783) 
descobriu o teorema conhecido por relação de Euler: 
em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas e F 
faces, vale a relação V A F 2.− + = Ao se aplicar a 
relação de Euler no poliedro da figura, o número de 
arestas não visíveis é 
a) 10. b) 12. c) 15. d) 16. e) 18. 
 
14. (Insper) 
De cada vértice de um prisma hexagonal regular foi 
retirado um tetraedro, como exemplificado para um dos 
vértices do prisma desenhado a seguir. 
 
 
 
O plano que definiu cada corte feito para retirar os 
tetraedros passa pelos pontos médios das três arestas 
que concorremnum mesmo vértice do prisma. O 
número de faces do poliedro obtido depois de terem 
sido retirados todos os tetraedros é 
a) 24. b) 20. c) 18. d) 16. e) 12. 
 
15. (UPE) 
Um poliedro convexo possui 8 (oito) faces, todas 
triangulares. Nestas condições, assumindo que tal 
poliedro exista, o número esperado de vértices para 
este será 
a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 
 
16. (UEPG) 
Dado que um poliedro convexo tem 2 faces 
pentagonais, 4 faces quadrangulares e n faces 
triangulares, assinale o que for correto. 
01) Se o número de vértices do poliedro é 11, então n = 4. 
 
02) Se o número de faces do poliedro é 16, então n = 10. 
 
04) O menor valor possível para n é 1. 
 
08) Se a soma dos ângulos de todas as faces do 
poliedro é 3600º, então n = 6. 
 
16) Se o número de arestas do poliedro é 25, então n = 8. 
 
 
17. (UFC) 
O número de faces de um poliedro convexo com 20 
vértices e com todas as faces triangulares é igual a: 
a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 36 
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18. (UFRGS) 
As figuras a seguir representam um octaedro regular e 
uma de suas planificações. 
 
 
 
Aos vértices A, B, E, F do octaedro correspondem, 
respectivamente, os pontos a, b, e, f da planificação. Ao 
vértice D do octaedro correspondem, na planificação, os 
pontos 
a) m, n, p. b) n, p, q. 
c) p, q, r. d) q, r, s. 
e) r, s, m. 
 
 
Gabarito: 
 
Resposta da questão 1: 
01 + 08 = 09. 
 
[01] CORRETA. De acordo com o enunciado, pode-se concluir 
que os dois poliedros são um dodecaedro regular e um 
octaedro regular. Assim, soma dos ângulos de todas as 
faces do poliedro que tem faces pentagonais é: 
i12 S 12 (n 2) 180 12 (5 2) 180 12 540 6480 . =  −  =  −  =  =  
 
[02] INCORRETA. Um dodecaedro regular possui 20 vértices 
enquanto que um octaedro regular possui 6 vértices. 
 
[04] INCORRETA. Um dodecaedro regular possui 30 arestas 
enquanto que um octaedro regular possui 12 arestas. 
 
[08] CORRETA. Um dodecaedro regular possui 30 arestas 
enquanto que um octaedro regular possui 12 arestas, e 
30 12 42.+ = 
 
 
 
 
Resposta da questão 2: 
[A] 
 
O sólido da figura é um icosaedro. Portanto, só pode ser a 
alternativa [A]. 
 
Resposta da questão 3: 
[B] 
 
Sendo V 20= e A 30,= pelo Teorema de Euler, segue que 
V A F 2 20 30 F 2
F 12.
− + =  − + =
 =
 
 
Portanto, a quantidade de faces utilizadas na montagem do 
modelo ilustrativo desse cristal é igual a 12. 
 
Resposta da questão 4: 
[D] 
 
Para o dodecaedro regular, temos: 
12 faces pentagonais. 
12 5
30
2

= arestas. 
Utilizando a relação de Euler, temos: 
V A F 2 2 30 12 V 20− + =  + −  = (vértices) 
 
Portanto, o poliedro formado terá: 
12 12 2 22 faces (F 22)
30 30 5 55 arestas (A 55)
20 20 5 35 vértices (V 35)
+ − = =
+ − = =
+ − = =
 
A soma pedida será dada por: 
V F A 35 22 55 112.+ + = + + = 
 
Resposta da questão 5: 
[A] 
 
Uma pirâmide quadrangular possui 5 faces, 8 arestas e 5 
vértices. Após os cortes, tais quantidades serão acrescidas 
em 4, 12 e 8 unidades, respectivamente. 
Portanto, a joia ficará com 9 faces, 20 arestas e 13 vértices. 
 
Resposta da questão 6: 
[C] 
Poliedro de faces triangulares 
3F
A
2
 = 
3F F
V A F 2 V F 2 V 2 2V F 4
2 2
− + =  − + =  − =  − = 
 
Resposta da questão 7: 
[C] 
 
Sabendo que o poliedro possui 32 vértices, tem-se V 32.= 
Por conseguinte, sendo F e A, respectivamente, o número 
de faces e o número de arestas, pelo Teorema de Euler, vem 
V F A 2 32 F A 2 F A 30.+ = +  + = +  = − 
 
Daí, como o poliedro possui apenas faces triangulares, temos 
3F 2A= e, portanto, 
3(A 30) 2A A 90.− =  = 
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Resposta da questão 8: 
[C] 
 
O octaedro possui 6 vértices. Ao retirarmos uma pirâmide 
regular de base quadrangular de cada vértice do octaedro, 
obtemos um octaedro truncado com 6 4 24 = vértices. 
Portanto, a resposta é 360 (24 2) 7920 .  − =  
 
Resposta da questão 9: 
[C] 
 
Após os cortes, o poliedro P resultante é um sólido com 
+ =6 8 14 faces. Portanto, a resposta é 14. 
 
Resposta da questão 10: 
[A] 
 
A única alternativa que apresenta a propriedade dos poliedros 
regulares que justifica o fato de a cavidade no interior da 
esfera ser octaédrica é a alternativa [A]. As alternativas [C] e 
[D] apresentam assertivas corretas, porém não justificam o 
fato supra. 
 
Resposta da questão 11: 
[D] 
 
Total de faces: F = 32 (12 pentagonais e 20 hexagonais) 
 
Total de Arestas: 90
2
620512
A =
+
= 
 
Total de vértices (V): 
V A F 2
V 90 32 2
V 60
− + =
− + =
=
 
 
Portanto, 90 arestas e 60 vértices. 
 
Resposta da questão 12: 
[C] 
 
F: número de faces 
A: número de arestas 
V: número de vértices 
 
20 6 12 5
A 90
2
 + 
= = 
 
F = 32 
V = 2 + A – F 
V = 2 + 90 – 32 
V = 60. 
 
 
Resposta da questão 13: 
[A] 
 
Número de arestas: ( )12 5 /2 30. = 
Número de arestas visíveis: 20. 
Número de arestas não visíveis: 30 – 20 10.= 
 
 
Resposta da questão 14: 
[B] 
 
O prisma hexagonal regular possui 12 vértices e oito faces. 
Acrescentando-se uma nova face em cada vértice, teremos 
um total de 8 12 20+ = faces. 
 
 
Resposta da questão 15: 
[E] 
 
A = (8.3)/2 = 12 e F = 8 
 
Logo, V – A + F = 2 
V – 12 + 8 = 2 
V = 6 
 
 
Resposta da questão 16: 
01+ 02 + 08 + 16 = 27 
F = 6 + n 
A = 
2
3
13
2
.3 4.4 5.2 nn
+=
++
 
V – A + F = 2 
 
(01) Verdadeiro, V = 11, F = 10 , A = 19 e 11 – 19 + 10 = 2 
 
(02) Verdadeiro, F = 16, 6 + n = 16  n = 10 
 
(04) Falso, Se n = 1 temos A = 13,5 (o número de arestas não 
é definido) 
 
(08) Verdadeiro, n = 6, F =12 e A = 22. A soma é dada por S 
=(A – F).360o  S =(22 – 12).360o = 3600o 
 
(16) Verdadeiro, 25 = 13 + 3n/2  n = 8 
 
Resposta da questão 17: 
[E] 
 
Resposta da questão 18: 
[D] 
 
Faces: EAD, EAB, EBC, ECD, FAB, FBC, FCD e FAD.