Relação de Euler em Poliedros

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PARA REFLETIR: 
No cubo, temos 8 2 12 1 6 5 2 ou 8 1 6 5 12 1 2. 
 Escreva a relação de Euler para as outras figuras.
O valor 2 dessa expressão é uma característica de 
todos os poliedros convexos.
Note a relação de Euler em mais um poliedro con-
vexo:
V 2 A 1 F 5 2
↓ ↓ ↓
6 2 9 1 5 5 2
OBSERVAÇÕES:
1a) Em alguns poliedros (não em todos) não convexos 
vale também a relação de Euler.
 Examine um exemplo dessa afirmação no poliedro 
não convexo abaixo:
 V 2 A 1 F 5 2
 7 2 12 1 7 5 2
2a) A expressão V 2 A 1 F pode assumir valores dife-
rentes de 2 quando o poliedro não é convexo.
 Examine o poliedro abaixo, que é um exemplo des-
sa situação. Neste caso:
Poliedro n‹o convexo
 V 2 A 1 F ± 2
 ↓ ↓ ↓
16 2 32 1 16 5 0
 FIQUE ATENTO!
Todo poliedro convexo satisfaz a relação de Euler, mas 
nem todo poliedro que satisfaz a relação de Euler é 
 convexo.
V 5 6
F 5 5
A 5 9
 V 5 7
 F 5 7
 A 5 12
4. A RELAÇÃO DE EULER1
O matemático suíço Leonhard Euler (1707-1783) 
descobriu uma importante relação entre o número de 
vértices (V), o número de arestas (A) e o número de 
faces (F) de um poliedro convexo.
Observe estes exemplos:
Cubo
Tetraedro
Dodecaedro
Prisma de
base pentagonal
Pirâmide de
base triangular
Tronco de pirâmide
de base retangular
Observe que, para cada um dos poliedros, o núme-
ro de arestas é exatamente 2 unidades menos que a 
soma do número de faces com o número de vértices.
Essa relação pode ser escrita assim:
V 2 A 1 F 5 2 ou V 1 F 5 A 1 2 (relação de Euler)
1 Aprofunde seu conhecimento sobre a relação de Euler lendo o livro Meu professor de Matemática. Elon Lages Lima. Rio de Janeiro: SBM, 1991. p. 68-83.
F 5 6
V 5 8
A 5 12
Il
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o
ra
F 5 4
V 5 4
A 5 6
F 5 12
V 5 20
A 5 30
F 5 7
V 5 10
A 5 15
F 5 4
V 5 4
A 5 6
F 5 6
V 5 8
A 5 12
CAPêTULO 20 • POLIEDROS: PRISMAS E PIRÂMIDES 611
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C20_606a648.indd 611 8/22/18 2:56 PM
3a) Dados 3 números V, A e F tais que V 2 A 1 F 5 2, nem 
sempre existe um poliedro que tenha V vértices, A 
arestas e F faces. Por exemplo, V 5 1, A 5 3 e F 5 4.
4a) Em uma superfície poliédrica aberta, vale a relação:
V 2 A 1 F 5 1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
1. Determine o número de arestas e o número de 
vértices de um poliedro convexo com 6 faces qua-
drangulares e 4 faces triangulares.
Resolução
Como o poliedro tem 6 faces quadrangulares, 
temos:
6 ? 4 5 24 arestas
O poliedro tem 4 faces triangulares:
4 ? 3 5 12 arestas
Como cada aresta foi contada 2 vezes, o número 
total de arestas é:
A 5 
124 12
2
 5 18
Temos então F 5 10, A 5 18.
Aplicando a relação de Euler:
V 2 A 1 F 5 2 ⇒ V 2 18 1 10 5 2 ⇒ V 5 10
Logo, o poliedro tem 18 arestas e 10 vértices.
2. Arquimedes descobriu um poliedro convexo for-
mado por 12 faces pentagonais e 20 faces hexa-
gonais, todas regulares. Esse poliedro inspirou a 
fabricação da bola de futebol que apareceu pela 
primeira vez na Copa do Mundo de 1970. Quantos 
vértices possui esse poliedro?
Resolução
Como o poliedro tem 12 faces pentagonais, então:
12 ? 5 5 60 arestas
O poliedro tem 20 faces hexagonais, assim:
20 ? 6 5 120 arestas
Logo:
F 5 12 1 20 5 32
Cada aresta foi contada 2 vezes, portanto, temos:
2A 5 60 1 120 ⇒ 2A 5 180 ⇒ A 5 90
Como o poliedro é convexo, vale a relação de 
 Euler, V 2 A 1 F 5 2:
V 2 90 1 32 5 2 ⇒ V 5 2 1 90 2 32 ⇒ V 5 60
Assim, o número de vértices é 60.
EXERCÍCIOS
3. Em um poliedro convexo, o número de vértices 
é 5 e o de arestas é 10. Qual é o número de faces?
4. Em um poliedro convexo de 20 arestas, o núme-
ro de faces é igual ao número de vértices. Quan-
tas faces tem esse poliedro? 
5. Um poliedro convexo apresenta uma face hexa-
gonal e 6 faces triangulares. Quantos vértices 
tem esse poliedro? 
6. Um poliedro convexo tem 6 faces triangulares e 
4 faces hexagonais. Quantas arestas e quantos 
vértices tem esse poliedro? 
7. Qual é o número de faces de um poliedro conve-
xo de 20 vértices tal que em cada vértice concor-
rem 5 arestas? 
8. Determine o número de vértices de um poliedro 
convexo que tem 3 faces triangulares, 1 face qua-
drangular, 1 face pentagonal e 2 faces hexa gonais. 
9. Em um poliedro convexo o número de vértices 
corresponde a 
2
3
 do número de arestas e o nú-
mero de faces é 3 unidades a menos que o de 
vértices. Descubra quantas são as faces, os vér-
tices e as arestas desse poliedro.
10. Um poliedro convexo de 20 arestas e 10 vértices 
só possui faces triangulares e quadrangulares. 
Determine quantas faces triangulares e quantas 
faces quadrangulares ele possui.
11. Um poliedro convexo de 18 faces tem somente 
faces quadrangulares e hexagonais. Determine 
o número de faces de cada tipo, sabendo que a 
soma dos ângulos das faces é igual a 8 640°.
12. A soma dos ângulos das faces de um poliedro 
convexo é 1 800°. Calcule o número de faces, sa-
bendo que o número de vértices corresponde a 
5 unidades a menos do que o número de arestas.
 FIQUE ATENTO!
Em uma definição informal, uma superfície poliédrica 
aberta pode ser entendida como um poliedro onde faltam 
uma ou mais faces adjacentes. Uma caixa de sapatos sem 
a tampa é uma superfície poliédrica aberta.
B
a
n
c
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UNIDADE 9 • POLIEDROS E CORPOS REDONDOS612
Contexto e Aplicacoes Matematica_U9_C20_606a648.indd 612 8/22/18 2:56 PM
SOMA DOS ÂNGULOS DAS FACES 
DE UM POLIEDRO CONVEXO
Em todo poliedro convexo, a soma dos ângulos das 
faces é dada por:
S 5 (V 2 2) ? 3608
em que V é o número de vértices do poliedro.
 FIQUE ATENTO!
Em um polígono, a soma dos ângulos internos é 
S
i
 5  (n 2 2) ? 180°, em que n é o número de lados do 
polígono.
Demonstração:
Seja n
1
, n
2
, n
3
, ..., n
F
 o número de lados de cada uma 
das F faces do poliedro.
Assim, a soma dos ângulos das faces é:
S 5 (n
1
 2 2) ? 1808 1 (n
2
 2 2) ? 1808 1 ... 1
1 (n
F
 2 2) ? 1808 ⇒
⇒ S 5 1808 
1 2444 3444
1 1 1(n n ... n )
1 2 F
2 A
 2 1808 
1 2444 3444
1 1 1 1(2 2 2 ... 2)
F parcelas
 ⇒
⇒ S 5 1808 ? 2A 2 1808 ? 2F ⇒ 
⇒ S 5 3608(A 2 F)
Da relação de Euler, V 2 2 5 A 2 F, temos: 
S 5 (V 2 2) ? 3608
 FIQUE ATENTO!
n
1
 1 n
2
 1 ... 1 n
F
 5 2A, pois, quando juntamos os polígo-
nos para formar o poliedro, cada 2 lados tornam-se uma 
aresta.
13. Determine a soma dos ângulos das faces de um 
poliedro que possui:
a) 5 vértices; 
b) 12 arestas e 6 faces. 
14. A soma dos ângulos das faces de um poliedro 
convexo é 5 760° e as faces são apenas triângu-
los e heptágonos. Quantas são as faces hepta-
gonais, sabendo que há um total de 28 arestas 
no poliedro?
a) 2
b) 3
c) 5
d) 7
e) 8
5. POLIEDROS REGULARES
Um poliedro convexo é regular quando todas as faces 
são regiões poligonais regulares e congruentes e em 
todos os vértices concorre o mesmo número de arestas.
Poliedro regular Poliedro regular
 FIQUE ATENTO!
Uma região poligonal regular é limitada por um polígono 
regular, ou seja, por um polígono que tem todos os lados 
e ângulos internos congruentes.
Observe agora:
A
B
Poliedro não 
regular: as faces 
não têm o mesmo 
número de lados.
Poliedro não regular: as faces são 
regulares e congruentes, mas para 
o vértice A convergem 3 arestas e 
para o B convergem 4 arestas.
PROPRIEDADE: EXISTEM APENAS 
5 POLIEDROS REGULARES CONVEXOS
Vamos demonstrar essa propriedade.
Consideremos um poliedro regular sendo n o nú-
mero de lados de cada face e p o número de arestas 
que concorrem em cada vértice.
Assim, temos:
2A 5 nF 5 pV
o que acarreta:
A 5 
nF
2
 e V 5 
nF
p
 
 PARA REFLETIR: 
O cubo (ou hexaedro regular) é um poliedro regular. 
Verifique nele que 2A 5 nF 5 pV.
Substituindo esses valores na relação de Euler, 
V 2 A 1 F 5 2, temos:
nF
p
 2 
nF
2
 1 F 5 2 ⇒ 
2 12nF npF 2pF
2p
 5 
4p
2p
 ⇒
⇒ F(2n 1 2p 2 np) 5 4p ⇒ F 5 
1 2
4p
2n 2p np
 FIQUE ATENTO!
2A 5 nF, pois cada aresta está contida em 2faces.
2A 5 pV, pois cada aresta contém 2 vértices.
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: 
B
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n
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EXERCÍCIOS
CAPêTULO 20 • POLIEDROS: PRISMAS E PIRÂMIDES 613
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