MATRIZES E DETERMINANTES

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MATRIZES E DETERMINANTES 
 
 
 
 
1. 
 
 
Um grupo de estudantes está estudando matrizes em um curso de matemática aplicada. Durante 
uma aula, o professor explica a definição de matriz como um agrupamento ordenado de elementos 
em uma forma retangular com linhas e colunas. Ele também destaca a notação para representar os 
elementos individuais da matriz. Considerando a definição de matriz e sua notação, qual das 
seguintes alternativas corretamente descreve a representação de um elemento específico (aij) da 
matriz M? 
 O elemento (aij) é igual à matriz M na posição (i+j). 
 
 O elemento (aij) é o resultado da divisão entre a linha i e a coluna j da matriz M. 
 O elemento (aij) é a soma dos elementos das linhas i e j da matriz M. 
 O elemento (aij) é o resultado da multiplicação entre a linha i e a coluna j da matriz M. 
 
 O elemento (aij) é o elemento da matriz M na posição i, j representado por (M)ij = aij. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:42:36 
 
Explicação: 
De acordo com a definição apresentada, o elemento (aij) da matriz M é representado por (M)ij 
= aij. Isso significa que o elemento na posição i, j da matriz M é exatamente igual a aij. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Uma aplicação comum para o uso de matrizes é na resolução de sistemas 
lineares. Os sistemas lineares são utilizados para modelar uma variedade de 
problemas em diversas áreas, como engenharia, física, economia, entre 
outras. Considere as 
matrizes A=[522−1],B=[14−23−1]�=[522−1],�=[14−23−1] e C=[√
6√33√ 2 −1].0�=[6332−1].0 valor da 
expressäo y=det(A)xdet(B)det(C)�=det⁡(�)�det⁡(�)det⁡(�) é: 
 5(√ 6 −√ 66 )65(6−66)6. 
 
 6(√ 6 −√ 66 )56(6−66)5. 
 
 6(√ 2 −√ 5 )56(2−5)5. 
 5(√ 33 −√ 66 )55(33−66)5. 
 3(√ 6 −√ 66 )53(6−66)5. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:42:40 
 
Explicação: 
Calculando os determinantes das matrizes: 
A=[522−1]→det(A)=5⋅(−1)−2⋅2=−9B=[14−23−1]→det(B)=14⋅(−1)−3⋅(−2)=−8C=[√6√33√ 2
−1]→det(C)=√6 ⋅(−1)−√2+√33=−√6−√66�=[522−1]→det⁡(�)=5⋅(−1)−2⋅2=−9�=[14−2
3−1]→det⁡(�)=14⋅(−1)−3⋅(−2)=−8�=[6332−1]→det⁡(�)=6⋅(−1)−2+33=−6−66 
Resolvendo a expressäo: 
det(A)xdet(B)det(C)=−9⋅(−8)(−√ 6−√66 )=−9⋅(−8)(−√6−√66 )⋅(√6−√66 )(√6−√66 )=−9⋅(−
8)⋅(√6−√66 )−6+66det(A)xdet(B)det(C)=−9⋅(−8)⋅(√6−√66 )60=6(√6−√66 )5det⁡(�)�de
t⁡(�)det⁡(�)=−9⋅(−8)(−6−66)=−9⋅(−8)(−6−66)⋅(6−66)(6−66)=−9⋅(−8)⋅(6−66)−6+66det⁡(�
)�det⁡(�)det⁡(�)=−9⋅(−8)⋅(6−66)60=6(6−66)5 
 
 
 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp
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3. 
 
 
Um departamento de engenharia está desenvolvendo um software para realizar cálculos e 
operações com matrizes. Durante o processo de desenvolvimento, a equipe precisa garantir que as 
operações de adição e subtração de matrizes sejam realizadas corretamente, levando em 
consideração o tamanho das matrizes envolvidas. Considerando a definição de adição e subtração 
de matrizes, qual das seguintes alternativas corretamente descreve as condições necessárias para 
realizar essas operações? 
 A adição de matrizes é definida apenas se elas tiverem o mesmo número de colunas, mas 
o número de linhas pode ser diferente. 
 
 A adição e subtração de matrizes são definidas apenas se elas tiverem o mesmo número 
de linhas e colunas. 
 
 A adição e subtração de matrizes são definidas independentemente do tamanho das 
matrizes envolvidas. 
 A adição e subtração de matrizes são definidas apenas se elas tiverem o mesmo número 
de elementos. 
 A adição de matrizes é definida apenas se elas tiverem o mesmo número de linhas, mas o 
número de colunas pode ser diferente. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:42:50 
 
Explicação: 
Para que as operações de adição e subtração sejam realizadas entre duas matrizes, é 
necessário que elas tenham o mesmo número de linhas e colunas. A adição de matrizes é 
feita somando os elementos correspondentes de cada matriz para obter a matriz resultante, 
enquanto a subtração é feita subtraindo os elementos correspondentes. Essas operações 
requerem que os elementos a serem somados ou subtraídos estejam em posições 
correspondentes nas matrizes envolvidas. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um grupo de cientistas está estudando transformações geométricas no espaço tridimensional. Eles 
utilizam matrizes para representar essas transformações. Durante suas pesquisas, eles 
descobriram um tipo especial de matriz chamada de matriz ortogonal. Qual é a definição correta de 
uma matriz ortogonal? 
 É uma matriz que possui apenas números positivos em suas entradas. 
 É uma matriz que possui determinante igual a zero. 
 É uma matriz que possui o mesmo número de linhas e colunas. 
 
 É uma matriz que possui elementos simétricos em relação à sua diagonal principal. 
 
 É uma matriz cuja inversa é igual à sua transposta. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:42:55 
 
Explicação: 
Uma matriz ortogonal é aquela em que sua inversa é igual à sua transposta. Isso implica que, 
ao multiplicarmos a matriz por sua inversa, obtemos a matriz identidade. Essa propriedade é 
fundamental para uma matriz ser considerada ortogonal. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Durante uma aula, o professor destaca que as matrizes podem receber diferentes denominações 
com base em seu tamanho e/ou valores dos elementos. Ele menciona alguns exemplos comuns, 
como matriz (ou vetor) linha, matriz (ou vetor) coluna e matriz quadrada. Considerando as 
denominações das matrizes com base em seu tamanho e/ou valores dos elementos, qual das 
seguintes alternativas corretamente descreve uma matriz quadrada? 
 Uma matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é sempre maior que o número 
de colunas. 
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 Uma matriz quadrada é aquela em que todos os seus elementos possuem o mesmo valor. 
 
 Uma matriz quadrada é aquela em que o número de linhas é igual ao número de colunas. 
 Uma matriz quadrada é aquela que possui apenas um elemento. 
 Uma matriz quadrada é aquela que possui mais colunas do que linhas. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:42:59 
 
Explicação: 
Uma matriz quadrada é definida como uma matriz em que o número de linhas é igual ao 
número de colunas. Isso significa que ela possui a mesma quantidade de linhas e colunas. 
Por exemplo, uma matriz 3x3, onde possui 3 linhas e 3 colunas, é uma matriz quadrada. As 
matrizes quadradas são importantes em muitos aspectos da álgebra linear e têm 
propriedades distintas. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Sabe que P = 2M-1. Calcule o determinante de P, sabendo que a matriz M 
= ∣∣∣211−2∣∣∣|211−2|: 
 
 
 −45−45 
 
 −15−15 
 −25−25 
 
4545 
 
2525 
Data Resp.: 23/09/2023 00:43:07 
 
Explicação: 
Primeiro precisamos calcular a matriz inversa, chegando a: 
∣∣∣2/51/51/5−2/5∣∣∣|2/51/51/5−2/5| 
Multiplicando a mesma por 2, temos: 
∣∣∣5/52/52/5−4/5∣∣∣|5/52/52/5−4/5| 
Calculando o determinante, chegamos a -20/25 ou -4/5. 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine o produto da matriz A = ∣∣∣1024−1−1∣∣∣|1024−1−1| com a matriz B = ∣∣ 
∣∣01102−1∣∣ 
∣∣|01102−1|. 
 
 ∣∣∣4−1−35∣∣∣|4−1−35| 
 ∣∣∣10312−1∣∣∣|10312−1| 
 
 ∣∣∣1384−50∣∣∣|1384−50| 
 ∣∣∣−413−5∣∣∣|−413−5| 
 ∣∣∣81−70∣∣∣|81−70| 
Data Resp.: 23/09/2023 00:43:12 
 
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Explicação: 
Cada elemento será a soma dos produtos de cada linha da primeira matriz, por cada coluna 
da seguna matriz, dessa forma teremos a matriz 2x2: 
∣∣∣4−1−35∣∣∣|4−1−35| 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
A matriz P = MNT. Sabe-se que a matriz N tem tamanho 3 x 2 e que a matriz PT tem 
número de colunas igual a 7. Determine o tamanho da matriz M. 
 7 x 5 
 3 x 7 
 
 7 x 2 
 
 2 x 7 
 7 x 3 
Data Resp.: 23/09/2023 00:43:17 
 
Explicação: 
A resposta correta é: 7 x 2 
 
 
 
 
 
9. 
 
 
Calcule a matriz inversa da matriz M= [ 3 1 2 2 ].12[1 3 2−3]12[1 3 2−3] 
 
14[1−12−3]14[1−12−3] 
 
 
14[2−1−23]14[2−1−23] 
 
18[2−1−23]18[2−1−23] 
 
 
12[1 1 1−3]12[1 1 1−3] 
Data Resp.: 23/09/2023 00:43:21 
 
Explicação: 
A resposta correta é: 14[2−1−23]14[2−1−23] 
 
 
 
 
 
10. 
 
 
Marque a alternativa que apresenta uma matriz antissimétrica de ordem 3. 
 
 
∣∣ 
∣∣310132023∣∣ 
∣∣|310132023| 
 
 
∣∣ 
∣∣0−1−41024−20∣∣ 
∣∣|0−1−41024−20| 
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 ∣∣∣3−333−33∣∣∣|3−333−33| 
 
 
∣∣ 
∣∣3−14032003∣∣ 
∣∣|3−14032003| 
 ∣∣∣3−33−33−3∣∣∣|3−33−33−3| 
Data Resp.: 23/09/2023 00:43:25 
 
Explicação: 
Ao realizar a transposta e a inversa de ∣∣ 
∣∣0−1−41024−20∣∣ 
∣∣|0−1−41024−20| vemos que ambas são iguais. 
 
 
 
 
SISTEMAS DE EQUAÇÕES E TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
 
 
 
1. 
 
 
Uma empresa de produção de alimentos está analisando seu estoque de ingredientes para garantir 
a eficiência na produção. Para isso, eles precisam resolver um sistema de equações lineares para 
determinar a quantidade necessária de cada ingrediente em diferentes receitas. Sobre a definição e 
classificação do sistema de equações lineares, assinale a alternativa correta: 
 
 Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas são 
elevadas a potências maiores que 1 e representam parábolas no plano cartesiano. 
 
 
Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas são 
lineares, ou seja, elevadas a expoentes iguais a 1 e representam retas no plano 
cartesiano. 
 Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde as incógnitas são 
elevadas a diferentes potências e representam curvas no plano cartesiano. 
 Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde todas as incógnitas 
são constantes e representam pontos no plano cartesiano. 
 Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações onde todas as incógnitas 
têm expoentes iguais a 1 e representam retas no plano cartesiano. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:46:21 
 
Explicação: 
No contexto das equações lineares, uma equação linear é aquela em que as incógnitas 
aparecem apenas com expoentes iguais a 1. Portanto, um sistema de equações lineares é 
composto por equações lineares, e as incógnitas representam retas no plano cartesiano. As 
outras alternativas mencionam equações com potências diferentes de 1, o que não 
corresponde à definição de um sistema de equações lineares. 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Em uma competição de programação, os participantes foram desafiados a resolver um sistema 
linear utilizando uma matriz completa escalonada reduzida. Considerando um sistema linear 
representado por uma matriz completa escalonada reduzida, qual é a principal vantagem visual 
dessa forma reduzida para determinar a solução do sistema? 
 
 Permite a identificação imediata das linhas linearmente independentes do sistema. 
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 Mostra as possíveis combinações lineares das variáveis envolvidas no sistema. 
 Apresenta a solução em formato gráfico, facilitando a visualização das raízes. 
 Revela as coordenadas dos pontos de interseção das retas representadas pelo sistema. 
 Indica diretamente os valores dos coeficientes desconhecidos do sistema. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:46:25 
 
Explicação: 
A matriz completa escalonada reduzida apresenta um formato em que as linhas linearmente 
independentes são facilmente identificáveis. Essa característica é importante porque as 
linhas linearmente independentes representam as equações do sistema que são relevantes 
para determinar a solução. Dessa forma, a forma reduzida da matriz fornece uma 
visualização clara das linhas independentes e ajuda a identificar o número de soluções do 
sistema. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Considere o seguinte sistema de equações lineares: 
⎧⎪⎨⎪⎩−3x+2y−z=04x−y+2z=0x−3y+4z=0{−3�+2�−�=04�−
�+2�=0�−3�+4�=0 
Com base nas informações apresentadas, é correto afirmar que esse 
sistema é: 
 
 Um sistema linear possível e determinado. 
 Um sistema linear não homogêneo. 
 
 Um sistema linear homogêneo. 
 Um sistema linear impossível. 
 Um sistema linear possível e indeterminado. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:46:30 
 
Explicação: 
Um sistema linear é considerado homogêneo quando todos os termos independentes das 
equações são iguais a zero. No sistema dado, todos os termos independentes são zero, o 
que implica que é um sistema linear homogêneo. As demais alternativas estão incorretas. 
 
 
 
 
 
4. 
 
 
Um grupo de arquitetos está projetando um complexo residencial em uma área urbana. Eles estão 
analisando as posições relativas de diferentes blocos de apartamentos para garantir que não haja 
superposição ou espaços vazios indesejados. Para isso, eles utilizam sistemas de equações 
lineares com três variáveis para representar os planos de cada bloco. Sobre a analogia entre a 
solução de sistemas de três variáveis e a posição relativa de planos na geometria analítica, 
assinale a alternativa correta: 
 
 
Um sistema possível e indeterminado corresponde à situação em que os planos dos 
blocos de apartamentos se interceptam em uma reta comum, permitindo diferentes 
combinações de posicionamento dos blocos. 
 
Um sistema possível e determinado corresponde à situação em que os planos dos blocos 
de apartamentos se interceptam em um único ponto, garantindo uma posição precisa para 
cada bloco. 
 
Um sistema possível e determinado corresponde à situação em que os planos dos blocos 
de apartamentos são paralelos e não se interceptam, resultando em uma distribuição 
desejada dos espaços. 
 Um sistema impossível corresponde à situação em que os planos dos blocos de 
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apartamentos se interceptam em diferentes pontos, gerando sobreposições indesejadas e 
inviabilizando a construção do complexo residencial. 
 
Um sistema possível e indeterminado corresponde à situação em que os planos dos 
blocos de apartamentos não têm pontos de interseção, resultando em um projeto 
arquitetônico impossível de ser concretizado. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:46:34 
 
Explicação: 
Ao considerar sistemas de equações lineares com três variáveis para representar os planos 
dos blocos de apartamentos, uma solução possível e indeterminada ocorre quando esses 
planos se interceptam em uma reta comum. Isso significa que existem diferentes 
combinações de posicionamento dos blocos que são viáveis, resultando em infinitas soluções 
para o sistema. As demais alternativas apresentam interpretações incorretas sobre os 
sistemas possíveis e determinados, sistemas impossíveis ou sistemas possíveis e 
indeterminados relacionados à posição relativa dos planos na geometria analítica. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Em um laboratório de física, um grupo de estudantes está realizando experimentos para coletar 
dados e determinar relações lineares entre diferentes variáveis. Durante a análise dos resultados, 
eles se deparam com a necessidade de resolver sistemas lineares para encontrar os coeficientes 
das equações. Nesse contexto, discutem as vantagens e desvantagens da regra de Cramer em 
relação ao método Gauss-Jordan. Considerando as características da regra de Cramer e sua 
relação com o método Gauss-Jordan, qual é uma desvantagem específica da regra de Cramer para 
a resolução de sistemas lineares? 
 A regra de Cramer é menos suscetível a erros de arredondamento durante o processo de 
cálculo. 
 
 A regra de Cramer normalmente requer o cálculo de todos os determinantes necessários, 
o que pode ser trabalhoso. 
 A regra de Cramer é mais eficiente em termos de tempo de execução para sistemas com 
muitas incógnitas.A regra de Cramer garante uma solução única para qualquer sistema linear. 
 A regra de Cramer resolve o sistema diretamente por um quociente de determinantes. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:46:38 
 
Explicação: 
Uma desvantagem específica da regra de Cramer em relação ao método Gauss-Jordan é 
que ela normalmente requer o cálculo de todos os determinantes necessários para resolver o 
sistema linear. Esse processo pode ser trabalhoso e demorado, especialmente em sistemas 
com um grande número de incógnitas. Por outro lado, o método Gauss-Jordan envolve a 
escalonamento da matriz completa do sistema, o que geralmente é mais direto e menos 
exigente em termos de cálculos adicionais. Portanto, a desvantagem da regra de Cramer é a 
necessidade de calcular todos os determinantes envolvidos, o que pode ser mais trabalhoso 
em comparação com o escalonamento da matriz do método Gauss-Jordan. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
Classifique o sistema de equações 
lineares ⎧⎪⎨⎪⎩x−2y+3z=1x+y+z=52x−4y+6z=3{�−2�+3
�=1�+�+�=52�−4�+6�=3 
 
 
 Impossível 
 Possível e determinado com ( x, y , z ) = ( 1 ,2 , 2) 
 
 Possível e determinado com ( x, y , z ) = ( 2 ,2 , 1) 
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 Possível e indeterminado com solução do tipo ( x,y, z) = ( k, 3 , 7 - k), k real 
 Possível e indeterminado com solução do tipo ( x,y, z) = ( 1 - k , 2 , 5 - k), k 
real 
Data Resp.: 23/09/2023 00:46:43 
 
Explicação: 
A resposta correta é: Impossível 
Usando o método de subtituição temos: 
 
 
 
 
 
7. 
 
 
Determine os autovalores do sistema linear de 
equações {8x−2y=02y+4x=3{8�−2�=02�+4�=3 
 
 4 e 5 
 2 e 6 
 
 3 e 7 
 1 e 4 
 
 1/4 e 1 
Data Resp.: 23/09/2023 00:46:51 
 
Explicação: 
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A resposta correta é: 1/4 e 1. 
Por Gauss temos: 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Obtenha a imagem do vetor ( 3, 4) em relação a transformação linear definida por T:R2 →→ R2 tal 
que T(x,y) = ( 2x - y, x + y). 
 
 (2, 7) 
 (3, 8) 
 
 (1, 2) 
 (3, 4) 
 (7, 2) 
Data Resp.: 23/09/2023 00:46:58 
 
Explicação: 
Ao realizar a trasnformação temos: (3.2-4, 3+4), logo: 
(6-4, 7) = (2, 7) 
 
 
 
 
 
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9. 
 
 
(AGIRH/2022 - Adaptado) A representação gráfica de um sistema de 1º grau, cujo resultado é 
possível e indeterminado é dado por: 
 
 Duas retas concorrentes. 
 Duas retas paralelas. 
 
 Duas retas sobrepostas. 
 Duas retas ortogonais em R3. 
 Duas retas perpendiculares ortogonais. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:47:04 
 
Explicação: 
A resposta correta é: Duas retas sobrepostas 
A representação gráfica de um sistema de equações lineares de 1º grau com uma incógnita é 
dada por uma reta no plano cartesiano. Se o sistema tem uma única solução, a reta passa 
por um único ponto, que é a solução do sistema. Se o sistema não tem solução, as retas são 
paralelas e não se cruzam. Se o sistema tem infinitas soluções, as retas são coincidentes e 
se cruzam em todo o seu comprimento. 
 
 
 
 
 
10. 
 
 
Dadas as equações lineares 3x + 4y = 8 e y = 2x - 1, utilize o método da substiuição para encontrar 
o valor de x e y. 
 x = 14/10 e y = 11/12 
 x = 12 e y = 13 
 
 x = 14 e y = 11 
 x = 11/10 e y = 13/11 
 
 x = 12/11 e y = 13/11 
Data Resp.: 23/09/2023 00:47:08 
 
Explicação: 
Para utilizar o método da substiuição, devemos substituir uma das variáveis de uma equação 
pela expressão que a representa na outra equação. 
Primeiro, vamos substituir y na primeira equação: 
3x + 4(2x - 1) = 8 
3x + 8x - 4 = 8 
11x - 4 = 8 
11x = 12 
x = 12/11 
Agora, vamos substituir o valor encontrado para x na segunda equação: 
y = 2(12/11) - 1 
y = 24/11 - 1 
y = 13/11 
Então, x = 12/11 e y = 13/11 
 
 
 
 
02426 - EQUAÇÕES DINÂMICAS DE SISTEMAS LINEARES 
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1. 
 
 
Assegurar a estabilidade em um sistema é uma questão fundamental em qualquer projeto de 
sistema de controle. O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz é uma metodologia fundamental 
para analisar a estabilidade de sistemas dinâmico lineares. Observando o polinômio característico 
abaixo, é possível definir que o sistema será estável para: 
 
 k<0�<0 
 k>8�>8 
 
 0<k<80<�<8 
 k<8�<8 
 8<k<08<�<0 
Data Resp.: 23/09/2023 00:48:31 
 
Explicação: 
Gabarito: 0<k<80<�<8 
Justificativa: Através do critério de estabilidade de Routh Hurwitz é possível montar a 
seguinte tabela de Routh para o polinômio: 
 
Para a linha s1�1 é possível observar que para que não haja mudança de 
sinal (4−k/2)>0(4−�/2)>0, então: k<8�<8 
Para a linha s0�0 é possível observar que para que não haja mudança de sinal k>0�>0 
Então: 0<k<80<�<8 
 
 
 
 
 
2. 
 
 
Considerando a característica de linearidade das equações diferenciais, é possível dizer que a 
equação abaixo é: 
∂2d∂y2+∂2d∂x2=x+y∂2�∂�2+∂2�∂�2=�+� 
 não é linear pois existem derivadas parciais de ordem 2 
 é linear pois existem derivadas parciais de ordem 2 
 
 é linear pois as derivadas parciais aparecem sem potências 
 
 não é linear pois existem derivadas parciais 
 é linear pois existem derivadas parciais 
Data Resp.: 23/09/2023 00:48:43 
 
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Explicação: 
Gabarito: é linear pois as derivadas parciais aparecem sem potências. 
Justificativa: Também observando-se as diretrizes impostas para as equações diferenciais 
lineares, é possível observar que a única potência permitida para as derivadas das variáveis 
dependentes é 1. 
 
 
 
 
 
3. 
 
 
Assegurar a estabilidade em um sistema é uma questão fundamental em 
qualquer projeto de sistema de controle. Considerando as representações 
da posição da raiz de um sistema na figura abaixo, é possível afirmar que 
os sistemas a; b e c são, respectivamente: 
 
 (a) estável; (b) instável e (c) indiferente 
 (a) indiferente; (b) instável e (c) estável 
 (a) instável; (b) estável e (c) indiferente 
 
 (a) estável; (b) indiferente e (c) instável 
 (a) indiferente; (b) estável e (c) instável. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:48:49 
 
Explicação: 
Gabarito: (a) estável; (b) indiferente e (c) instável. 
Justificativa: Na Figura (a) a raiz no semiplano esquerdo confirma a estabilidade do sistema. 
Já, na figura (b) a raiz na origem não afeta o comportamento do sistema por ser nula. Por fim, 
na figura (c) a raiz no semiplano direito torna o sistema instável 
 
 
 
 
 
4. 
 
A representação de sistemas físicos através de modelos matemáticos é uma ferramenta de grande 
importância. Considere o sistema massa - mola da Figura baixo. Por meio da sua equação 
característica é possível definir que esse sistema possui um número de variáveis de estado igual a: 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp
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 1 
 3 
 
 2 
 4 
 0 
Data Resp.: 23/09/2023 00:48:57 
 
Explicação: 
Gabarito: 2 
Justificativa: Observando-se o sistema é possível identificar uma força u(t)�(�) sendo 
aplicada sobre o conjunto massa-mola. Essa força promove o 
deslocamento (y(t))(�(�)) do conjunto e a consequente distensão da mola, sendo o 
esforço atenuado pelo atrito com a parede. 
Dessa maneira, é possível montar a equação da seguinte maneira: 
Força - esforço da mola - atrito = força resultante 
 
Com duas diferenciais esse sistema possui 2 variáveis de estado. 
 
 
 
 
 
5. 
 
 
Considerando-se a classificação das equações diferenciais quanto a ordem da derivada de maior 
grau, é possível dizer que a equação diferencial abaixo é de: 
y′′′−3x(y′)2+xy=2x+1�‴−3�(�′)2+��=2�+1 
 
 
 segunda ordem 
 terceira ordem 
 primeiraordem 
 ordem única 
 
 quarta ordem 
Data Resp.: 23/09/2023 00:49:04 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp
 
Explicação: 
Gabarito: quarta ordem 
Justificativa: Como a ordem da equação diferencial é definida pela sua derivada de maior 
ordem, as únicas derivadas da equação são y′′′′�⁗ e y′�′ apresentam a maior ordem da 
equação (ordem 4), essa equação diferencial possui a mesma ordem dessas duas derivadas: 
quarta ordem ou ordem 4. 
 
 
 
 
 
6. 
 
 
A representação de sistemas físicos através de modelos matemáticos é 
uma ferramenta de grande importância. Considerando o sistema elétrico 
da figura abaixo, é possível dizer que o número de variáveis de estado que 
o mesmo apresenta é igual a: 
 
 1 
 3 
 
 4 
 5 
 
 2 
Data Resp.: 23/09/2023 00:49:10 
 
Explicação: 
Gabarito: 2 
Justificativa: Como o sistema apresenta dois elementos passivos armazenadores de 
energia (um capacitor e um indutor) é seguro afirmar que a representação no espaço de 
estado possuirá 2 variáveis de estado. 
 
 
 
 
 
7. 
 
A representação de sistemas físicos através de modelos matemáticos é uma ferramenta de grande 
importância. Observando-se o sistema mecânico de translação da figura abaixo, é possível 
determinar que o número de variáveis de estado que o mesmo apresenta é igual a: 
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 2 
 
 1 
 3 
 4 
 5 
Data Resp.: 23/09/2023 00:49:15 
 
Explicação: 
Gabarito: 2 
Justificativa: Observando-se o sistema é possível identificar uma força f(t)�(�) sendo 
aplicada sobre o conjunto mecânico. Essa força promove o deslocamento (x(t))(�(�)) do 
conjunto e a consequente distensão da mola e de um amortecedor. Vale destacar que o atrito 
não está sendo considerado 
Dessa maneira, é possível montar a equação da seguinte maneira: 
Força - esforço da mola - amortecedor = força resultante 
 
Com duas diferenciais esse sistema possui 2 variáveis de estado. 
 
 
 
 
 
8. 
 
 
Assegurar a estabilidade em um sistema é uma questão fundamental em qualquer projeto de 
sistema de controle. Considere a função de transferência de um sistema simples de ordem 1 
abaixo. Através dela é possível afirmar que: 
 
 
 estável se instável se a=0�=0 saída. 
 estável se a>0�>0 entrada/saída. 
 
 estável se a<0�<0 saída. 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp
 instável se a>0�>0 entrada. 
 instável se a<0�<0. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:49:20 
 
Explicação: 
Gabarito: estável se a<0�<0 saída. 
Justificativa: Encontrando-se a raiz da equação característica tem-se que: 
 
Dessa maneira, para valores de a<0�<0 o sistema possuirá seu único pólo no semiplano 
esquerdo garantindo sua estabilidade. 
 
 
 
 
 
9. 
 
 
Assegurar a estabilidade em um sistema é uma questão fundamental em qualquer projeto de 
sistema de controle. Um sistema de ordem 2 possui uma função de transferência definida pela 
equação do ganho abaixo. Observando essa equação é possível definir que esse sistema é: 
 
 instável pois possui raízes no semiplano direito. 
 estável pois possui raízes no semiplano esquerdo e direito. 
 
 estável pois possui raízes no semiplano esquerdo. 
 
 estável pois possui raízes somente reais. 
 instável pois possui raízes no semiplano esquerdo. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:49:26 
 
Explicação: 
Gabarito: estável pois possui raízes no semiplano esquerdo. 
Justificativa: 
 
O desenvolvimento dessa equação do segundo grau permite determinar que as raízes são: 
 
 
 
 
 
10. 
 
Assegurar a estabilidade em um sistema é uma questão fundamental em qualquer projeto de 
sistema de controle. O critério de estabilidade de Routh-Hurwitz é uma metodologia fundamental 
https://simulado.estacio.br/bdq_simulados_exercicio_temas.asp
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para analisar a estabilidade de sistemas dinâmico lineares. De acordo com a Tabela de Routh que 
representa a simplificação da tabela do polinômio abaixo, é possível afirmar que: 
 
 
 o sistema é instável pois a coluna de referência apresenta mudança de sinal. 
 o sistema é instável pois apresenta apenas raízes com partes reais negativas. 
 
 o sistema é estável pois apresenta apenas raízes com partes reais positivas. 
 o sistema é instável pois a coluna de referência não apresenta mudança de sinal. 
 o sistema é estável pois a coluna de referência apresenta mudança de sinal. 
Data Resp.: 23/09/2023 00:49:30 
 
Explicação: 
Gabarito: o sistema é instável pois a coluna de referência apresenta mudança de sinal. 
Justificativa: Através da coluna pivô da tabela é possível observar, através das duas 
mudanças de sinal (da linha s2�2 para a linha s1�1 e novamente da linha s1�1 para a 
linha s0�0). Sendo, por essa razão, instável