Decomposição Espectral

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DECOMPOSIÇÃO ESPECTRAL 
Considerando que uma matriz A de ordem n possui autovalores 𝜆𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 e que cada 
autovalor tem um autovetor correspondente, então 
𝐴𝑣𝑖 = 𝜆𝑖𝑣𝑖 , 𝑖 = 1,2,3, … , 𝑛 
𝐴𝑉 = 𝑉𝛬 
onde 𝛬 = 𝑑𝑖𝑎𝑔(𝜆1, 𝜆2, … 𝜆𝑛) é uma matriz diagonal contendo os autovalores 𝜆𝑖 e V é a matriz 
cujas colunas são os autovetores 𝑣𝑖. Pós-multiplicando a equação acima por 𝑉
−1, tem-se a 
matriz A decomposta em termos de seus autovalores e autovetores, então chamada a 
decomposição espectral de A: 
𝐴 = 𝑉𝛬𝑉−1 
Cálculo dos Autovetores 
Temos que (𝐴 − 𝜆𝑖𝐼)𝑣𝑖 = 0. No entanto, como a matriz 𝐴 − 𝜆𝑖𝐼 é singular (det(𝐴 − 𝜆𝑖𝐼) = 0) e o 
sistema é homogêneo, então ele apresenta infinitas soluções 𝑣𝑖. Atribuindo um valor arbitrário a 
um elemento de v, por exemplo 𝑣𝑖1 = 1, pode-se obter os demais elementos do autovetor pela 
solução do sistema resultante de ordem n-1. 
Solução de Sistema 
A solução do sistema 𝐴𝑥 = 𝑏 pode ser obtida por 𝑥 = 𝐴−1𝑏, então 
𝑥 = (𝑉𝛬−1𝑉−1)𝑏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Referências 
Campos, filho, F. F. (2018) 
Algoritmos Numéricos: uma abordagem moderna de Cálculo Numérico. 
LTC Editora, 3ª edição